岭回归1
岭回归系数
岭回归系数摘要：一、岭回归系数的定义与性质1.岭回归的背景与作用2.岭回归系数的定义3.岭回归系数的性质二、岭回归系数的计算方法1.岭回归模型的构建2.岭回归系数的求解3.计算实例与分析三、岭回归系数在实际应用中的意义1.岭回归系数与特征选择2.岭回归系数与变量重要性评估3.实际案例分析四、岭回归系数的影响因素与选择策略1.岭回归系数的大小影响2.岭回归系数的稳定性分析3.选择合适的岭回归系数策略正文：岭回归系数是岭回归模型中的一个重要参数，对于模型的预测效果具有关键影响。
本文将对岭回归系数的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的意义和影响因素进行详细阐述。
一、岭回归系数的定义与性质1.岭回归的背景与作用岭回归（Ridge Regression）是一种线性回归的扩展，主要用于解决多重共线性问题。
当自变量之间存在高度相关性时，岭回归能够对回归系数施加惩罚，降低共线性问题的影响，从而提高模型的预测性能。
2.岭回归系数的定义在岭回归模型中，岭回归系数是指在满足回归系数满足L2 范数约束条件下的最优解。
简单来说，就是在满足一定的约束条件下，使得预测误差的平方和最小的系数值。
3.岭回归系数的性质（1）岭回归系数具有稀疏性，即只有部分系数是非零的，这有助于特征选择。
（2）岭回归系数具有单调性，即当岭参数增大时，回归系数逐渐减小。
（3）岭回归系数满足L2 范数约束，即岭回归系数的相关性可以通过参数进行调节。
二、岭回归系数的计算方法1.岭回归模型的构建岭回归模型是在普通线性回归模型的基础上，添加一个L2 范数正则项。
其优化目标是最小化预测误差的平方和加上岭参数乘以回归系数的L2 范数。
2.岭回归系数的求解利用最小二乘法求解岭回归模型时，需要引入拉格朗日乘子来处理L2 范数约束。
通过求解带有拉格朗日乘子的优化问题，可以得到岭回归系数。
3.计算实例与分析以一个简单的线性回归模型为例，假设自变量x1 和x2 与因变量y 之间存在线性关系。
岭回归
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性质4 以MSE表示估计向量的均方误差，则存在 k 0，使得
MSE[βˆ(k)] MSE(βˆ)
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3 岭参数 k 的选择
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(1) 岭迹法
当岭参数 k 在 (0,) 内变化时， ˆj (k) 是 k 的函数，在
平面坐标系上把函数 ˆj (k) 描画出来，画出的曲线称 为岭迹。在实际应用中，可以根据岭迹曲线的变化形
当自变量间存在多重共线性， XX 0 时，我们设想 给 XX 加上一个正常数矩阵kI(k 0), 那么 XX kI 接近奇异的程度就会比 XX 接近奇异的程度小得多。 考虑到变量的量纲问题，将数据先标准化，标准化后 的设计阵用X 表示。
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定义：对于数据标准化的线性回归模型，若
XX kI 可逆，则
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(4) 由残差平方和确定 k
岭估计 βˆ (k) 在减小均方误差的同时增大了残差平方 和，因此要将岭回归的残差平方和 SSE(k) 的增加 幅度控制在一定范围内，即要求
SSE(k) cSSE 其中，c 1；寻找使上式成立的最大的 k 值。
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4 用岭回归选择变量
岭回归可用于选择变量，选择变量的原则是： 1. 假设X已经中心化和标准化，这样就可以直接比较
状确定适当的 k 值，具体做法是：将 ˆ1(k), , ˆp (k)
的岭迹画在同一个图上，根据岭迹的变化趋势选择 k 值，使得各个回归系数的岭估计大体上稳定，并且各 个回归系数岭估计值的符号比较合理。最小二乘估计 是使残差平方和达到最小的估计。 k 愈大，岭估计跟 最小二乘估计偏离愈大。因此，它对应的残差平方和
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ˆ (k )
回归（三）：岭回归
回归（三）：岭回归概念在中提到⽤最⼩⼆乘法求解回归系数的过程中需要考虑特征矩阵是否可逆的问题，事实上当特征数量⽐样本数量多的时候（样本数m⼤于特征数n，X不是满秩矩阵）就会遇到这个问题，这个时候标准线性回归显然就⽆从下⼿了引⼊岭回归就是为了解决这个问题，它是最先⽤来处理特征数多余样本数的算法。
该算法的基本思想是在X T X上加上⼀个λI使得矩阵⾮奇异，从⽽能够对X T X+λI求逆，其中I是⼀个n*n的单位矩阵，λ是⼀个超参数，需要⽤户⾃⼰调试。
I 作为⼀个对⾓的单位阵，由1组成的对⾓线就像⼀条在0矩阵中的岭，这就是岭回归的由来。
那么根据中的思路，回归系数的求解公式变成如下所⽰：事实上这是⼀种缩减（shrinkage）的算法，这种⽅法能够通过系数反映出参数的重要程度，也就是说能够把⼀些系数缩减成很⼩的值甚⾄零。
这有点类似于降维，保留更少的特征能够减少模型的复杂程度，便于理解。
⽽且研究表明与简单的线性回归相⽐，缩减法能够取得更好的预测效果。
代码实现需要指出的是，使⽤岭回归和缩减技术，⾸先需要对特征作标准化处理，使得每个特征具有相同的重要性，这样才能从得到的系数中反应各个参数的重要程度。
演⽰所⽤的数据集是《机器学习实战》第⼋张提供的abalone.txt数据，数据有⼋个特征，最后⼀列为⽬标值，概览如下：代码如下：1def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):2'''3岭回归，lam是需要调试的超参数4'''5 xTx = xMat.T*xMat6 denom = xTx + eye(shape(xMat)[1])*lam7if linalg.det(denom) == 0.0:8print"This matrix is singular, cannot do inverse"9return10 ws = denom.I * (xMat.T*yMat)11return ws1213def ridgeTest(xArr,yArr):14 xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T15 yMean = mean(yMat,0)16 yMat = yMat - yMean #to eliminate X0 take mean off of Y17#岭回归和缩减技术需要对特征作标准化处理，使每维特征具有相同的重要性18 xMeans = mean(xMat,0)19 xVar = var(xMat,0)20 xMat = (xMat - xMeans)/xVar21 numTestPts = 3022 wMat = zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))23#在30个不同的lambda下计算，为了找出最优参数24for i in range(numTestPts):25 ws = ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))26 wMat[i,:]=ws.T27return wMat可以看到，为了找出最优的λ，ridgeTest()函数在30个不同的λ下调⽤岭回归。
岭回归ppt
二、方差扩大因子法
选择k使得矩阵c(k ) ( X ' X kI ) 1 ( X ' X kI ) 主对角线元素c jj (k ) 10 ˆ（k）的协方差阵为 由于岭估计 ˆ（k） ˆ（k） ˆ（k） D( ) cov( , ) cov((X ' X kI ) 1 x' y, ( X ' X kI ) 1 X ' y ) ( X ' X kI ) 1 cov(y, y )( X ' X kI ) 1 2 ( X ' X kI ) 1 X ' X ( X ' X kI ) 1 2 c(k )
一、INCLUDE'C:\Program Files\SPSS\Ridge regression.sps'.
RIDGEREG DEP=y/ENTER X1 X2 X3 X4 X5. INCLUDE'C:\Program Files\SPSS\Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=y/ENTER X1 X2 X3 X4 X5 /start=0.0/stop=0.2/inc=0.02. INCLUDE'C:\Program Files\SPSS\Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=y/ENTER X2 X3 X4 X5 /k=0.08.
P193 图A,系数趋于0,变量不重要 图B.系数由正变负,变化大,对Y有显著影响 图C. 古典模型时系数为正,岭回归时系数为负. 图D. 两个系数不稳定,一个增大时另一个减少, 但其和稳定,可以考虑保留一个变量. 图E. 变量对Y不显著 图F. 变量对Y的影响趋于稳定
岭回归基本步骤
岭回归基本步骤第一步：目标确定岭是指两个山脉之间的山脉脊，回归是指回归到原本的位置。
以岭回归即是指将两个山脉之间的岭回归到原本的位置。
在进行以岭回归之前，首先要确定回归的目标，即希望将岭回归到哪个位置。
这个位置可以是两个山脉之间的最高点，也可以是两个山脉之间的中间位置，具体取决于实际需求。
第二步：数据收集进行以岭回归需要大量的数据支持。
在这一步，需要收集与岭相关的各种数据，包括岭的高度、形状、材质等。
这些数据可以通过现场勘测、遥感技术、地图等方式获取。
同时，还需要收集两个山脉之间的地形地貌数据，以及相关的气候、地质等数据。
第三步：模型建立在进行以岭回归之前，需要建立相应的数学模型。
这个模型可以是基于统计学原理的回归模型，也可以是基于物理学原理的模拟模型。
通过对数据的分析和处理，可以建立一个能够描述岭与两个山脉之间关系的模型。
第四步：参数调整在建立模型之后，需要对模型进行参数调整。
这个过程通常需要通过实验和观测来获取调整参数的准确值。
通过不断地调整模型的参数，可以使模型更好地拟合实际情况，提高回归结果的准确性。
第五步：回归实施在完成前面的准备工作之后，即可进行以岭回归的实施。
根据模型和参数的设定，通过一系列的操作和措施，将岭逐步回归到目标位置。
这个过程可能涉及到土地平整、植被恢复、水土保持等方面的工作。
第六步：效果评估完成以岭回归之后，需要对回归效果进行评估。
这个评估可以从多个角度进行，包括岭的形态、生态环境的变化、生物多样性的恢复等方面。
通过评估效果，可以判断回归是否达到预期目标，并对后续的工作进行调整和改进。
总结：以岭回归是一项复杂而艰巨的任务，需要经过目标确定、数据收集、模型建立、参数调整、回归实施和效果评估等多个步骤。
在整个过程中，需要充分考虑人类的角度和情感，注重保护自然环境和生态系统，以实现岭的回归和生态恢复的目标。
只有通过科学的方法和细致的工作，才能实现以岭回归的愿望，并为人类和自然环境创造更美好的未来。
岭回归的基本思想
岭回归的基本思想岭回归原理简单分析与理解首先说明一下，岭回归用于回归。
学习岭回归，给我的感受是，它的数学公式推导比较简单，然而理解其含义相对难一些，所以本文着重引导你去理解它，而不仅仅是会推导公式。
至于背景介绍，网络上很多，这里就不再“复制”了。
这里对数据以及直线方程等全部进行定义与说明，后面就不再重复，直接使用。
现在有一些数据(x_1 , y_1 ) , (x_2 , y_2 ) , … , (x_n , y_n )，其中x_i，i=1 , 2 , … , n 表示第i个样本的一些特征，y_i，i=1 , 2 , … , n 表示第i个样本的数值。
对于拟合的线性方程这里，为了使式子变得简化，可以进行一定的变换，令则原线性方程可写成先看一下岭回归的目标函数：显然，它是在最小二乘的基础之上，在目标函数中增加了后面一项，为了完全弄明白上面这个式子的含义，我们还是先简单说一下最小二乘法。
这里就不介绍背景部分了，直接进入正题，简单介绍最小二乘法。
现在，想一个问题：下面的这些样本，用哪条直线进行拟合比较好？显然，我们会觉得使用绿色的线进行拟合相对来讲更好一些，那么，我们为什么会觉得绿色的这条线，好一些呢？能不能给出一个比较合理的解释呢？每一个x都对应一个相应的y值，那么，我们可以设计一条直线使得每个x在这个函数上的y‘值与y很接近，当然，如果每个y’与y值都相等是最好的。
所以就可以写出目标函数用图形来表示，大概如下图所示（注：此时x是1维的）然后，我们再进行求解这个目标函数，为了使公式更为简洁，令则目标函数可以写成由于这个函数是凸函数，而且是求极小值，所以可以对其求导，导数为0的点，即是极小值点，简化过程（具体如何求导，这里就不仔细讲了）如下令其导数等于0，得似乎，写到这里，最开始的那个问题就解决了，因为X与Y是训练样本，都已知，完全可以求出w的值。
但是，还有一下几个问题需要考虑1.如果X的转置与X的乘积如果不可导，这个方法可行吗？答：如果不可导，那这个方法就不太可行。
【原创】R语言多元线性回归模型：岭回归和Lasso回归案例分析报告附代码数据
多元线性回归模型中，如果所有特征一起上，容易造成过拟合使测试数据误差方差过大；因此减少不必要的特征，简化模型是减小方差的一个重要步骤。
除了直接对特征筛选，来也可以进行特征压缩，减少某些不重要的特征系数，系数压缩趋近于0就可以认为舍弃该特征。
岭回归（Ridge Regression）和Lasso回归是在普通最小二乘线性回归的基础上加上正则项以对参数进行压缩惩罚。
首先，对于普通的最小二乘线性回归，它的代价函数是：线性回归RSS通过拟合系数β来使RSS最小。
方法很简单，求偏导利用线性代数解方程组即可。
根据线性代数的理论可知，只要样本量合适，它就存在唯一解，也就是该模型的最优解。
这么做尽管使RSS达到了最小，它还是把所有的特征看作同样重要的程度来求解，并没有做任何特征选择，因此存在过拟合的可能。
岭回归在OLS回归模型的RSS上加上了惩罚项（l2范数），这样代价函数就成为：岭回归的代价函数λ是一个非负的调节参数，可以看到：当λ=0时，此时它与RSS一致，没有起到任何惩罚作用；当λ -> ∞时，它的惩罚项也就是无穷大，而为了使代价函数最小，只能压缩系数β趋近于0。
但是因为λ不可能为无穷大，二次项求偏导时总会保留变量本身，所以事实上它也不可能真正地将某个特征压缩为0。
尽管系数较小可以有效减小方差，但依然留着一大长串特征会使模型不便于解释。
这是岭回归的缺点。
lasso回归的正项则就把二次项改成了一次绝对值（l1范数），具体为：lasso回归的代价函数一次项求导可以抹去变量本身，因此lasso回归的系数可以为0。
这样可以起来真正的特征筛选效果。
无论对于岭回归还是lasso回归，本质都是通过调节λ来实现模型误差vs方差的平衡调整。
训练构建岭回归模型cv.out的图如下：cv.out 当log(λ)为5.+时（log(bestlam)=5.3），MSE最小。
训练构建lasso回归模型。
岭回归系数
岭回归系数
岭回归系数是统计学中一种常用的回归分析方法，用于解决多重共线性问题。
在回归分析中，多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，导致回归模型中的估计系数不稳定或解释力下降的问题。
岭回归系数通过引入一个正则化项来解决这个问题，使得估计系数更加稳定。
岭回归系数的计算方法是通过最小二乘法来估计回归系数，在估计过程中加上一个惩罚项，该惩罚项的大小由岭参数决定。
岭回归系数具有一定的偏差，但对于共线性较严重的数据，可以有效地减小方差，提高模型的稳定性和预测能力。
岭回归系数的应用非常广泛。
在金融领域，岭回归系数可以用于解决股票市场中多只股票之间的共线性问题，提高股票预测的准确性。
在医学领域，岭回归系数可以用于解决多个生物指标之间的共线性问题，提高疾病预测的准确性。
在工程领域，岭回归系数可以用于解决多个变量之间的共线性问题，提高工程设计的可靠性。
岭回归系数的优点是可以有效地减小多重共线性带来的问题，提高模型的稳定性和预测能力。
但是，岭回归系数也有一些限制。
首先，岭回归系数的选择需要依赖于岭参数的设定，选择不当可能导致模型的欠拟合或过拟合。
其次，岭回归系数无法提供变量的具体解释，只能用于变量的选择和模型的建立。
岭回归系数是一种有效解决多重共线性问题的回归分析方法。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点和要求来选择合适的岭参数，以获得稳定且具有预测能力的回归模型。
通过合理应用岭回归系数，可以提高数据分析的准确性和可靠性，为决策提供科学依据。
岭回归系数
岭回归系数摘要：1.岭回归系数的定义与含义2.岭回归系数的作用与应用3.岭回归系数的计算方法与实例4.岭回归系数在实际问题中的应用5.岭回归系数的发展前景与挑战正文：岭回归系数是一种在统计学和数据分析领域中经常使用的概念，它主要用于岭回归模型的计算和分析。
岭回归模型是一种解决多重共线性问题的方法，它能够通过引入惩罚项来降低回归系数的大小，从而提高模型的稳定性和预测能力。
在这个过程中，岭回归系数扮演着至关重要的角色。
岭回归系数的作用与应用主要体现在以下几个方面：首先，岭回归系数可以用来衡量自变量与因变量之间的相关程度。
在回归分析中，回归系数表示自变量对因变量的影响程度，而岭回归系数则表示在考虑了多重共线性问题的情况下，自变量对因变量的影响程度。
其次，岭回归系数可以用来优化模型的预测效果。
在实际应用中，由于数据之间可能存在较高的相关性，这会导致模型的预测效果受到较大影响。
而岭回归系数可以通过降低相关性较强的自变量的权重，从而提高模型的预测能力。
再次，岭回归系数可以用来检验模型的可靠性。
在岭回归模型中，回归系数的大小受到惩罚项的影响，因此，我们可以通过观察岭回归系数的大小来判断惩罚项是否起到了预期的效果，从而检验模型的可靠性。
最后，虽然岭回归系数在实际问题中的应用已经非常广泛，但是，由于岭回归系数的计算方法较为复杂，需要借助于特殊的算法和工具，因此，对于研究者来说，如何快速准确地计算岭回归系数仍然是一个挑战。
同时，随着数据量的增加和数据分析需求的提高，如何更好地应用岭回归系数来解决实际问题，也是研究者们需要关注的问题。
总的来说，岭回归系数是一种重要的统计学概念，它在解决多重共线性问题，优化模型预测效果，检验模型可靠性等方面有着广泛的应用。
岭回归分析
§7.2 岭回归估计的性质
性质 3 对任意 k＞0，‖βˆ ‖≠0 ‖βˆ(k)‖＜‖βˆ ‖
这里‖ ‖是向量的模，等于向量各分量的平方和。 这个性质表明βˆ(k)可看成由βˆ 进行某种向原点的压缩，
从βˆ(k)的表达式可以看到，当 k→∞时，βˆ(k)→0， 即βˆ(k)化为零向量。
§7.2 岭回归估计的性质
因此，岭估计βˆ(k)是最小二乘估计βˆ 的一个线性变换， 根据定义式βˆ(k)(XX kI)-1 Xy 知βˆ(k)也是 y
这里需要注意的是，在实际应用中，由于岭参数 k 总是要通过数据来 确定，因而 k 也依赖于y，因此从本质上说βˆ(k)并非βˆ 的线性变换，也不是 y 的线性函数。
§7.2 岭回归估计的性质
性质 2 在认为岭参数 k 是与 y 无关的常数时，βˆ(k)(XX kI)-1 Xy 是最小二乘估计βˆ 的一个线性变换，也是y
因为 βˆ(k)(XX kI)-1 Xy =(XX kI)-1 XX(XX)-1 Xy =(X X kI)-1 XXβˆ
§7.5 用岭回归选择变量
计算X′X的15个特征为： 4.5272，2.7547，2.0545，1.3487，1.2227 0.9605，0.6124, 0.4729，0.3708，0.2163 0.1665，0.1275，0.1142，0.0460，0.0049
注：以上特征根是按照原文献的计算方式，自变量观测阵未包 含代表常数项的第一列1，与用SPSS计算结果有所不同
§7.4 岭参数k的选择
§7.4 岭参数k的选择
二、方差扩大因子法
方差扩大因子 cjj度量了多重共线性的严重程度，计算岭估计 βˆ(k)的协方差阵，得
D（βˆ(k)）=cov（βˆ(k)，βˆ(k)） =cov（(X′X+kI)-1X′y，(X′X+kI)-1X′y） =(X′X+kI)-1X′cov（y，y）X(X′X+kI)-1 =σ 2(X′X+kI)-1X′X(X′X+kI)-1 =σ 2(cij（k）)
第7章 岭回归1
一、普通最小二乘估计带来的问题当自变量间存在复共线性时，回归系数估计的方差就给定x 表7.1现在我们假设回归系数与误差项是未知的，用普通最小二乘法二、岭回归的定义我们称为β的岭回归估计，其中因为岭参数实际是回归参数式中因变量观测向量性质当岭参数k§7.3中国人民大学六西格玛质量管理研究中心•（1从古典回归分析的观点看，应将要影响的因素。
但•（3著，但当古典回归分析看，•（5实例中最小二乘估计是否适用，把所有回归系数一、岭迹法岭迹法选择2016/2/16中国人民大学六西格玛质量管理研究中心二、方差扩大因子法三、由残差平方和来确定岭回归选择变量的原则：（例7.2空气污染问题。
中曾研究死亡率与空气污染、气候以及社会经济状况等因素x7—Percent of housing units which are sound & with all facilities 住房符合标准的家庭比例数x8—Population per sq. mile in urbanized areas, 1960计算4.5272，2.7547，2.0545，1.3487，1.2227进行岭迹分析把2016/2/16x4,x7本例共有k另外，因素再看从整体上看2016/2/16例7.4线性问题。
§7.5通过上面的分析，我们决定剔除做岭回归。
把岭参数步长改为K RSQ X2 X3 X4.00000 .99518 -.232694 -.134119 .787697 .516538 .02000 .99273 .191301 -.104683 .518190 .333153选取岭参数表7. 4Mult R .9950480 RSquare .9901205 Adj RSqu .9865280得y现在计算出含有全部【例7.5增加值这个问题产生的原因仍然是存在共线性，在此省略掉计算过程，。
线性回归、岭回归
线性回归、岭回归线性回归 Linear_model.LinearRegression,SGDRegressor ## 分类问题是离散型数据，回归问题是连续型数据 ##线性关系模型：⼀个通过属性的线性组合来进⾏预测的函数：f(x) = w1x1 + w2x2 + ... + wdxd + bw为权重，b成为偏置项，可以理解为：w0*1什么是线性回归？定义：线性回归通过⼀个或者多个⾃变量(特征）与因变量（⽬标值）之间进⾏建模的回归分析。
其中可以为⼀个或多个⾃变量之间的线性组合（线性回归的⼀种）⼀元线性回归：涉及到的变量只有⼀个多远线性回归：涉及到的变量两个或两个以上# T为转置 #矩阵乘法（⼆维乘法)(m⾏ , n列) * (n⾏ , l列) = (m⾏ , l列) 各⾃⼀⼀对应相乘相加的到m⾏的值,形成l列回归算法的评估： 预测结果和真实值有⼀定的误差。
如何去求解模型当中的w，使得损失最⼩? (⽬的是找到最⼩损失对应的w值）优化⽅法：最⼩⼆乘法之正规⽅程## -1是倒数的意思,矩阵 * 逆矩阵= 同阶的单位矩阵(对⾓线为1，其余为0) ##最⼩⼆乘法之梯度下降正规⽅程和梯度下降(图⽰，⽆动态图):## ⼀图为不断上下训练缩⼩损失值，找到最合适的线⼆图梯度下降，依次梯度下降，直到最⼩值. ##线性回归正规⽅程，梯度下降API:sklearn.linear_model.LinearRegression 正规⽅程 普通最⼩⼆乘线性回归 coef_:回归系数sklearn.linear_model.SGDRegressor 梯度下降 coef_:回归系数回归性能评估：sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true,y_pred)均⽅误差回归损失y_true:真实值y_pred:预测值return:浮点数结果注:真实值，预测值为标准化之前的值案例波⼠顿房价预测:sklearn 提供的数据集案例流程：1. 获取波⼠顿地区的房价数据2. 数据集划分(获取的数据为处理好的，直接使⽤)3. 训练与测试集的数据标准化处理4. 使⽤最简单的线性回归模型和梯度下降对房价进⾏预测from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor,Ridge #最⼩⼆乘法:正规⽅程和梯度下降,from sklearn.model_selection import train_test_split #数据集划分from sklearn.datasets import load_boston #波⼠顿房价数据from sklearn.preprocessing import StandardScaler #标准化处理from sklearn.metrics import mean_squared_error # 均⽅误差评价机制# 线性回归预测房价# 1.获取数据lb =load_boston()# 2.分割数据集x_train ,x_test ,y_train , y_test =train_test_split(lb.data,lb.target,test_size=0.25)# 3.标准化处理,统⼀标准化，std_x=StandardScaler()# 特征值标准化，(提升数据的稳定性，把值转到⼀个固定的范围)x_train=std_x.fit_transform(x_train)x_test=std_x.transform(x_test)# (特征值标准化值缩⼩，⽬标值和特征值不⼀样，需重新实例化)# ⽬标值标准化 ,标准化需要传递⼆维数据std_y =StandardScaler()y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape((-1,1))) #不知道有多少⾏，填-1，有多少是多少y_test=std_y.transform(y_test.reshape((-1,1)))# 正规⽅程预测lr=LinearRegression()lr.fit(x_train,y_train)print('正规⽅程求解系数：',lr.coef_,'\n')y_lr_predict =lr.predict(x_test) #标准化之后的值y_lr_predict=std_y.inverse_transform(y_lr_predict) # 转换为原始的数据print('正规⽅程房价预测结构:',y_lr_predict)print('正规⽅程的均⽅误差:',mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test),y_lr_predict))正规⽅程 ，梯度下降 ：# 梯度下降sgd=SGDRegressor()sgd.fit(x_train,y_train.reshape(-1,)) # 梯度下降的⽬标值，需要为⼀维的# 回归系数print('梯度下降求解系数：',sgd.coef_,'\n')y_sgd_predict =sgd.predict(x_test) #标准化之后的值y_sgd_predict=std_y.inverse_transform(y_sgd_predict) # 反标准化，还原print('梯度下降房价预测结构:',y_sgd_predict)print('梯度下降的均⽅误差:',mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test),y_sgd_predict))正规⽅程和梯度下降输出：总结：线性回归是最简单，易⽤的回归模型。
岭回归
岭回归一、普通最小二乘估计带来的问题当设计矩阵X 呈病态时,X 的列向量之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性,在这种情况下,用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计的方差太大,即jj jj j L C 2)ˆvar(σβ=很大，jβˆ就很不稳定,在具体取值上与真值有较大的偏差,有时会出现与实际经济意义不符的正负号。
下面看一个例子,可以说明这一点。
假设已知1x ,2x 与y 的关系服从线性回归模型:ε+++=213210x x y ,给定1x ,2x 的10个值,如下表1，2行所示：表7.1然后用模拟的方法产生10个正态随机数,作为误差项ε,见表第3行。
然后再由回归模型i i i i x x y ε+++=213210计算出10个i y 值,见表第4行。
现在假设回归系数与误差项是未知的,用普通最小二乘法求回归系数的估计得：0ˆβ=11.292,1ˆβ=11.307,2ˆβ=-6.591,而原模型的参数0β=10,1β=2,2β=3看来相差太大。
计算1x ，2x 的样本相关系数得12r =0.986,表明1x 与2x 之间高度相关。
通过这个例子可以看到解释变量之间高度相关时，普通最小二乘估计明显变坏。
二、岭回归的定义当自变量间存在多重共线性,|X X '|≈0时，设想给X X '加上一个正常数矩阵kI (k>0)那么X X '+kI 接近奇异的程度就会比X X '接近奇异的程度小得多。
考虑到变量的量纲问题，先要对数据标准化，标准化后的设计矩阵仍用X 表示，定义y X kI X X k '+'=-1)()(ˆβ称为β的岭回归估计，其中，k 称为岭参数。
由于假设X 已经标准化，所以X X '就是自变量样本相关阵。
y 可以标准化也可以未标准化，如果y 也经过标准化，那么计算的实际是标准化岭回归估计。
)(ˆk β作为β的估计应比最小二乘估计βˆ稳定，当k=0时的岭回归估计)0(ˆβ就是普通的最小二乘估计。
岭回归分析
·科研方法专题·
岭回归分析
胡良平１，２
（１．军事科学院研究生院，北京 １００８５０； ２．世界中医药学会联合会临床科研统计学专业委员会，北京 １０００２９
Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ：ＨｕＬｉａｎｇｐｉｎｇ，Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｐｈｕ８１２＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ） 【Ａｂｓｔｒａｃｔ】 Ｔｈｅａｉｍ ｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｗａｓｔｏｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓａｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｓｏｆｔｗａｒｅｏｆｔｈｅｒｉｄｇｅｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｔｈｅｒｉｄｇｅｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｗｅｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ． Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅｂａｓｉｃｐｒｉｎｃｉｐｌｅａｎｄｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔｅｐｓｏｆｔｈｅｒｉｄｇｅｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｗｅｒｅｄｅｓｃｒｉｂｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｒｉｄｇｅｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓｗａｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄｔｈｒｏｕｇｈａｒｅａｌｅｘａｍｐｌｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＳＡＳｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｗｅｒｅｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅｂｅｓｔｍｏｄｅｌｉｎｇａｐｐｒｏａｃｈ ｏｎｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｅｌｉｎｅａｒｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｃａｎｂｅａｃｈｉｅｖｅｄｂｙｆｏｌｌｏｗｉｎｇｔｈｅｔｗｏｓｔｅｐｓｂｅｌｌｏｗ：① ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｔｈｅｂａｓｉｃｍｕｌｔｉｐｌｅｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｅｒｉｖｅｄｖａｒｉａｂｌｅｓ；② ｍｏｄｅｌｉｎｇｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｅｌｉｎｅａｒｒｉｄｇｅｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｍｏｄｅｌｍｅｎｔｉｏｎｅｄｂｅｆｏｒｅ． 【Ｋｅｙｗｏｒｄｓ】 Ｍｕｌｔｉｃｏｌｌｉｎｅａｒｉｔｙ；Ｄｅｒｉｖｅｄｖａｒｉａｂｌｅ；Ｓｔａｎｄａｒｄｉｚｅｄｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；Ｒｉｄｇｅｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ；Ｒｉｄｇｅｔｒａｃｅ
岭回归和lasso
一、普通最小二乘估计带来的问题当自变量间存在多重共线性时，回归系数估计的方差就很大，估计值就很不稳定。
此时模型或数据的微小变化有可能造成系数估计的较大变化,对预测值产生较大影响。
下面进一步用一个模拟的例子来说明这一点。
例1 假设已知x 1，x 2与y 的关系服从线性回归模型y =10+2x 1+3x 2+ε给定x 1，x 2的10个值，如下表：现在我们假设回归系数与误差项是未知的，用普通最小二乘法求回归系数的估计值得：βˆ=11.292，1βˆ=11.307，2βˆ=-6.591 而原模型的参数β0=10， β1=2，β2=3看来相差太大。
计算x 1，x 2的样本相关系数得r 12=0.986，表明x 1与x 2之间高度相关。
二、岭回归提出的背景岭回归是1970年由Hoerl 和Kennard 提出的, 它是一种有偏估计，是对最小二乘估计的改进。
假定自变量数据矩阵X ={x ij }为n ×p 的，通常最小二乘回归（ols ）寻求那些使得残差平方和最小的系数β，即211(ols)(ols)(,)ˆˆ(,)arg min (y )n pi ij j i jx αβαβαβ===--∑∑岭回归则需要一个惩罚项来约束系数的大小，其惩罚项就是在上面的公式中增加一项λ∑βj 2p j=1，即岭回归的系数既要使得残差平方和小，又不能使得系数太膨胀：22111+(ridge)(ridge)ˆˆ(,)arg min {(y )}n p pi ij j j i j j x βαβαβλβ====--∑∑∑这等价于在约束条件∑βj 2p j=1≤s 下，满足 211(ridge)(ridge)ˆˆ(,)arg min (y )n pi ij j i j x βαβαβ===--∑∑设有多重线性回归模型εβ+=X y,参数β的最小二乘估计为y）（ˆ1X X X ''=-β 则 122）（)ˆ(-'=-X X tr E σββ242）（2)ˆ(-'=-X X tr D σββ当自变量出现多重共线性时,普通最小二乘估计明显变坏。
6、岭回归
6、岭回归（1）简单相关系数相关性不良贷款各项贷款余额本年累计应收贷款贷款项目个数本年固定资产投资额Pearson 相关性不良贷款 1.000 .844 .732 .700 .519 各项贷款余额.844 1.000 .679 .848 .780本年累计应收贷款.732 .679 1.000 .586 .472贷款项目个数.700 .848 .586 1.000 .747本年固定资产投资额.519 .780 .472 .747 1.000 Sig. （单侧）不良贷款. .000 .000 .000 .004 各项贷款余额.000 . .000 .000 .000本年累计应收贷款.000 .000 . .001 .009贷款项目个数.000 .000 .001 . .000本年固定资产投资额.004 .000 .009 .000 . N 不良贷款25 25 25 25 25 各项贷款余额25 25 25 25 25本年累计应收贷款25 25 25 25 25贷款项目个数25 25 25 25 25本年固定资产投资额25 25 25 25 25 Y与四个自变量x1、x2、x3、x4的相关系数为0.844、0.732、0.700、0.519。
说明y与4个变量是显著线性相关的，自变量之间也存在一定的相关性。
（2）系数a模型非标准化系数标准系数t Sig.B 的 95.0% 置信区间相关性B 标准误差试用版下限上限零阶偏部分1 (常量) -1.022 .782 -1.306 .206 -2.654 .610各项贷款余额.040 .010 .891 3.837 .001 .018 .062 .844 .651 .386 本年累计应收贷款.148 .079 .260 1.879 .075 -.016 .312 .732 .387 .189 贷款项目个数.015 .083 .034 .175 .863 -.159 .188 .700 .039 .018 本年固定资产投资额-.029 .015 -.325 -1.937 .067 -.061 .002 .519 -.397 -.195回归方程：y=-1.022+0.040x1+0.148x2+0.015x3-0.029x4。
岭回归系数
岭回归系数1. 介绍岭回归是一种用于处理线性回归问题的统计方法。
它通过引入一个正则化项，可以解决多重共线性（multicollinearity）问题，提高模型的稳定性和预测能力。
岭回归系数指的是在岭回归中得到的各个自变量的系数。
2. 多重共线性问题在线性回归中，当自变量之间存在高度相关性时，就会出现多重共线性问题。
这会导致模型不稳定，估计出来的系数具有很大的方差，难以解释和预测。
多重共线性问题可以通过岭回归来解决。
岭回归通过对自变量之间进行惩罚，使得估计出来的系数更加稳定。
3. 岭回归原理3.1 损失函数岭回归通过最小化一个带有正则化项的损失函数来求解模型参数。
损失函数可以定义为：其中，是观测值的响应变量，是自变量的系数，是第i个观测值的第j个自变量的取值。
正则化项使用了L2范数，可以有效地降低系数的大小。
参数控制了正则化项对模型拟合程度的影响。
当为0时，岭回归退化为普通最小二乘法。
3.2 岭回归系数通过最小化损失函数，可以得到岭回归的系数估计。
岭回归系数可以表示为：%20=%20argmin_%7Bb_0,%20b_1,%20…,%20b_p%7D%20L(%5Cbe ta))其中，是岭回归系数。
4. 岭回归的应用岭回归可以广泛应用于各种统计和机器学习问题中，特别是在处理高维数据和多重共线性问题时表现出色。
4.1 特征选择岭回归可以用于特征选择，通过调整正则化参数，可以控制模型中自变量的数量。
较大的可以使得一些系数变为0，从而实现特征选择。
4.2 预测岭回归可以用于预测问题。
通过拟合训练数据，得到岭回归系数后，可以使用这些系数对新的观测值进行预测。
4.3 参数估计岭回归的系数估计具有较小的方差，相比于普通最小二乘法能够提供更加稳定和可靠的参数估计结果。
5. 实例分析下面通过一个实例来展示如何使用岭回归进行建模和预测。
import numpy as npfrom sklearn.linear_model import Ridge# 生成随机数据np.random.seed(0)X = np.random.rand(100, 10)y = np.random.rand(100)# 岭回归模型拟合ridge = Ridge(alpha=0.5)ridge.fit(X, y)# 预测新的观测值new_X = np.random.rand(10)prediction = ridge.predict([new_X])print("岭回归系数:", ridge.coef_)print("预测结果:", prediction)6. 总结岭回归是一种用于处理线性回归问题的统计方法，通过引入正则化项解决多重共线性问题。
岭回归——精选推荐
岭回归Ridge regression 通过对系数的⼤⼩施加惩罚来解决普通最⼩⼆乘法的⼀些问题。
岭回归系数最⼩化的是带惩罚项的残差平⽅和，数学形式如下：minp∑i=1‖Xωi-y‖2+α‖ω‖2其中，α>= 0是⼀个控制缩减量（amount of shrinkage）的复杂度参数：α的值越⼤，缩减量就越⼤，故⽽线性模型的系数对共线性（collinearity）就越鲁棒。
（L2正则化）换句话说，让各个特征对结果的影响尽可能的⼩，但也能拟合出不错的模型。
与普通最⼩⼆乘法⼀样，Ridge 会调⽤ fit ⽅法来拟合数组 X， y，并且将线性模型的系数ω存储在其成员变量 coef_，截距存储在intercept_:from sklearn.linear_model import Ridgeridge = Ridge(alpha=.5)ridge.fit([[0, 0], [0, 0], [1, 1]], [0, .1, 1])print("coef: {}".format(ridge.coef_))print("intercept: {:.2f}".format(ridge.intercept_))coef: [0.34545455 0.34545455]intercept: 0.14%config InlineBackend.figure_format='svg' # ⽮量图设置下⾯⽤代码实现⼀个岭回归的案例绘制岭回归系数作为正则化量的函数的曲线图展⽰共线性（collinearity）对估计器系数的影响这个例⼦中⽤到的模型是岭回归估计器（Ridge）。
每种颜⾊表⽰系数向量的不同特征，并将其显⽰为正则化参数的函数。
此⽰例还显⽰了将岭回归应⽤于⾼度病态（ill-conditioned）矩阵的有效性。
对于这样的矩阵，⽬标变量的微⼩变化会导致计算出的权重的巨⼤差异。
岭回归1
1、做多自变量的线性回归，在统计量面板内选：共线性诊断（L）；2、如结果中的方差膨胀系数（VIF）>5，则可做岭回归分析；3、新建语法编辑器，输入如下命令：INCLUDE '安装目录\ regression.sps'. RIDGEREG DEP=因变量名/ENTER = 自变量名（用空格分开）/START=0 /STOP=1[或其它数值] /INC=0.05[或其它搜索步长]/K=999 .4、选择运行全部，得到各自变量岭迹图和决定系数R2与K值的关系图，在图上作参考线，取一岭迹平稳并且R2值较大的平衡点的K值；5、将语法编辑器中的K值改为所选K值，再运行全部，得到详细的最终模型参数。
岭回归分析实际上是一种改良的最小二乘法，是一种专门用于共线性数据分析的有偏估计回归方法。
岭回归分析的基本思想是当自变量间存在共线性时，解释变量的相关矩阵行列式近似为零，X'X是奇异的，也就是说它的行列式的值也接近于零，此时OLS估计将失效。
此时可采用岭回归估计。
岭回归就是用X'X+KI代替正规方程中的X'X，人为地把最小特征根由minλi提高到min（λi+k），希望这样有助于降低均方误差。
SAS可以用来做岭回归分析岭回归分析1 岭回归估计量岭回归分析是一种修正的最小二乘估计法，当自变量系统中存在多重相关性时，它可以提供一个比最小二乘法更为稳定的估计，并且回归系数的标准差也比最小二乘估计的要小。
根据高斯——马尔科夫定理，多重相关性并不影响最小二乘估计量的无偏性和最小方差性。
但是，虽然最小二乘估计量在所有线性无偏估计量中是方差最小的，但是这个方差却不一定小。
于是可以找一个有偏估计量，这个估计量虽然有微小的偏差，但它的精度却能够大大高于无偏的估计量。
在应用岭回归分析时，它的计算大多从标准化数据出发。
对于标准化变量，最小二乘的正规方程为rXXb=ryX式中，rXX是X的相关系数矩阵，ryX是y与所有自变量的相关系数向量。
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1、做多自变量的线性回归，在统计量面板内选：共线性诊断（L）；
2、如结果中的方差膨胀系数（VIF）>5，则可做岭回归分析；
3、新建语法编辑器，输入如下命令：
INCLUDE '安装目录\ regression.sps'. RIDGEREG DEP=因变量名
/ENTER = 自变量名（用空格分开）
/START=0 /STOP=1[或其它数值] /INC=0.05[或其它搜索步长]
/K=999 .
4、选择运行全部，得到各自变量岭迹图和决定系数R2与K值的关系图，在
图上作参考线，取一岭迹平稳并且R2值较大的平衡点的K值；
5、将语法编辑器中的K值改为所选K值，再运行全部，得到详细的最终模型
参数。
岭回归分析实际上是一种改良的最小二乘法，是一种专门用于共线性数据分析的有偏估计回归方法。
岭回归分析的基本思想是当自变量间存在共线性时，解释变量的相关矩阵行列式近似为零，X'X是奇异的，也就是说它的行列式的值也接近于零，此时OLS估计将失效。
此时可采用岭回归估计。
岭回归就是用X'X+KI代替正规方程中的X'X，人为地把最小特征根由minλi提高到min（λi+k），希望这样有助于降低均方误差。
SAS可以用来做岭回归分析
岭回归分析
1 岭回归估计量
岭回归分析是一种修正的最小二乘估计法，当自变量系统中存在多重相关性时，它可以提供一个比最小二乘法更为稳定的估计，并且回归系数的标准差也比最小二乘估计的要小。
根据高斯——马尔科夫定理，多重相关性并不影响最小二乘估计量的无偏性和最小方差性。
但是，虽然最小二乘估计量在所有线性无偏估计量中是方差最小的，但是这个方差却不一定小。
于是可以找一个有偏估计量，这个估计量虽然有微小的偏差，但它的精度却能够大大高于无偏的估计量。
在应用岭回归分析时，它的计算大多从标准化数据出发。
对于标准化变量，最小二乘的正规方程为
rXXb=ryX
式中，rXX是X的相关系数矩阵，ryX是y与所有自变量的相关系数向量。
岭回归估计量是通过在正规方程中引入有偏常数c（c≥0）而求得的。
它的正规方程为+
（4-8）（rXX+ cI）bR=ryX
所以，在岭回归分析中，标准化回归系数为
（4-9）bR =（rXX+ cI）-1 ryX
2 岭回归估计量的性质
（1）岭回归系数是一般最小二乘准则下回归系数的线性组合，即
（4-10）bR =（I+ crXX-1）-1b
（2）记β是总体参数的理论值。
当β≠0时，可以证明一定存在一个正数c0，使得当0< c< c0时，一致地有
（4-11）E|| bR -β||2≤ E|| b -β||2
（3）岭回归估计量的绝对值常比普通最小二乘估计量的绝对值小，即
（4-12）|| bR ||<|| b ||
岭回归估计量的质量取决于偏倚系数c的选取。
c的选取不宜过大，因为
E（bR）=（I+ crXX-1）-1 E （b）=（I+ crXX-1）-1β
关于偏倚系数c的选取尚没有正规的决策准则，目前主要以岭迹和方差膨胀因子为依据。
岭迹是指p-1个岭回归系数估计量对不同的c值所描绘的曲线（c值一般在0~1之间）。
在通过检查岭迹和方差膨胀因子来选择c值时，其判断方法是选择一个尽可能小的c值，在这个较小的c值上，岭迹中的回归系数已变得比较稳定，并且方差膨胀因子也变得足够小。
从理论上，最佳的c值是存在的，它可以使估计量的偏差和方差的组合效应达到一个最佳水准。
然而，困难却在于c的最优值对不同的应用而有所不同，对其选择还只能凭经验判断。
其他补救方法简介
最常见的一种思路是设法去掉不太重要的相关性变量。
由于变量间多重相关性的形式十分复杂，而且还缺乏十分可靠的检验方法，删除部分多重相关变量的做法常导致增大模型的解释误差，将本应保留的系统信息舍弃，使得接受一个错误结论的可能和做出错误决策的风险都不断增长。
另一方面，在一些经济模型中，从经济理论上要求一些重要的解释变量必须被包括在模型中，而这些变量又存在多重相关性。
这时采用剔除部分相关变量的做法就不符合实际工作的要求。
另一种补救的办法是增加样本容量。
然而，在实际工作中，由于时间、经费以及客观条件的限制，增大样本容量的方法常常是不可行的。
此外，还可以采用变量转换的方式，来削弱多重相关性的严重性。
一阶差分回归模型有可能减少多重相关性的严重性。
然而，一阶差分变换又带来了一些其它问题。
差分后的误差项可能不满足总体模型中关于误差项不是序列相关的假定。
事实上，在大部分情形下，在原来的误差项是不自相关的条件下，一阶差分所得到的误差项将会是序列相关的。
而且，由于差分方法损失了一个观察值，这在小样本的情况下是极不可取的。
另外，一阶差分方法在截面样本中是不宜利用的。
二、岭回归法(Ridge Regression)
岭回归分析法，是通过牺牲估计的无偏性来换取估计方差的大幅减小，以修正最小二乘法在多重共线性情况下的估计效果。
其基本原理如下：
假设变量已经过标准化，对于最小二乘法的正规方程，引入有偏常数c(c≥0)，得到新的正规方程：=，
从而模型参数的估计量：。
可以证明，总存在着一个c值，使得岭估计的均方误差小于最小二乘估计的均方误差。
C的引入使得岭回归估计不再是无偏的，但却有效解决了矩阵在多重共线性下求逆的不稳定问题，降低了估计方差，提高了估计的稳定性。
目前，比较常用的选择C的方法包括岭迹法、方差膨胀因子法和Hoed—Kennard公式法等。