“隐圆”最值问题
中考数学专题隐圆中最值问题
几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强 （常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题 目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常 会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016连续三年陕西中考的压轴题的最后一问都牵 扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。广大 学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。
A
P BD
P'
E
C
方法总结
名师说法
附：圆外一点到圆上的最小距离和最大距离 如图：点 P 为圆O 外一点，连接 PO 交圆O 于M 点，延长 PO 交圆O 于 N 点。 则线段 PM 长为点 P 到圆O 上一点的最小距离；线段 PN 长为点 P 到圆O 上一点的最大距离
P
O
N
M
名师数学
温馨提示：
在动点运动的过程中同学们要注意的是：虽然点在动（或不确定位置）， 但题目一定会有一些量是不变的，可能是某条线段的长度不变，也可能是 某个角度不变，也有可能某个线与线、线与角、角与角的关系不变，这样 才能化动态问题为定态问题。这个需要同学们对题目进行认真的分析和B = 900 ，AB = 6 ，BC = 8 ，D 为 AC 边一动点，过点 D 作DE ⊥DF
，分别交 AB 边、 BC 边于 E 、 F 两点，则 EF 的最小值是
。
A
E
D
B
F
C
思路）分析：
由于在四边形 EBFD 中 ，DE ⊥ DF ，∠B = 90o ，所以 E、B、F、D 四点共圆（对角互补的四边形 四个顶点共圆），且 EF 为圆的直径（如图 2）。所以，要求 EF 的最小值其实质就是求圆的直 径最小值。
专题18 隐形圆及最值问题
AB是 O 的直径，
ACB 90．
ABC 45 ， AC 5 ，
ABC 45 ，
AB AC 5 5 2 ， sin 45 2 2
MN最大
52 2
．
故答案为： 5 2 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3, 4) ，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切．点 A 、 B 在 x 轴上，且 OA OB ．点 P 为 C 上的动点， APB 90 ，则 AB 长度的最大值为 ．
1．如图，等边 ABC 的边长为 2， A 的半径为 1，D 是 BC 上的动点，DE 与 A 相切于 E ， DE 的最小值是 ( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
【分析】连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，因为 DE 与 A 相切于 E ，所以 AE DE ， 可得 DE AD2 AE2 AD2 1 ，当 D 与 H 重合时， AD 最小，此时 DE 最小，求出 AH 的长，即可得出 DE 的最小值． 【解答】解：如图，连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，
若平面上 A、B、C、D 四个点满足 ABC ADC ， 则 A、B、C、D 四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角．
两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．
D
C
H
O
A
B
四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 H， 若 AH CH BH DH ，则 A、B、C、D 四点共圆.
作 AM⊥BP 于 M．当点 P 从点 C 运动到点 A 时，线段 BM 的中点 N 运动的路径长为（
）
A． 2 π 2
中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆(解析版)
中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆【答案】634【分析】取AD 的中点O ，连接取AD 的中点O ，连接OM ，过点G ，则OM ME OF ，∵AB CD ，60DAB ，AD 120ADC ，∵AD CD ，4,4【答案】【分析】根据题意可知：点C在半径为的中位线，即得出OM=12CD，即当线上时，OM最大，根据勾股定理求出∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，∴即当OM最大时，CD最大，而D，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=62，【答案】933【分析】由ABD △与ACE △角形的性质得到ADC ABE 120BOC ，如图，当PO【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．如图，正方形ABCD的边长为【答案】5【分析】因为DG＝12EF从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出【详解】解：如图，当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，∵3【答案】2：接OC，交☉O于点P，此时的∵AB=6，【详解】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，二、解答题17．如图，在正方形ABCD中，点E在直线AD右侧，且1AE ，以DE为边作正方形DEFG，射线DF与边BC交于点M，连接ME、MG．∵对角线DF是正方形∴ME MG；（2）如图2，①当G、C、M三点共线时，∵AD DC，DE DG∵12AD BD ，12DE DF ADE EDB BDF ∴ADE BDF ∽△△，∴21BF BD AE AD ，∵1AE ，(1)如图①，当30OAM 时，求点O 的坐标；(2)如图②，连接 CO ，当CO AM ∥时．①求点M 的坐标；②连接OB ，求AO M △与AOB 重叠部分的面积；(3)当点M 在线段OC （不包括端点）上运动时，请直接写出线段()60,OAO OAO ⅱ\Ð=°V 是等边三角形，6,OO AO ¢\==90,AOM Ð=°Q 903060OMQ \Ð=°-°=°AM OO ¢^Q ，由①得：tan AO AMO OM 设,CE x 则3,ME x O ¢=-(1)求a的值；(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接【答案】(1)1(2)4 3223(1)y x x x ∵(1,4)D3,0,3,0B C ∵22112,CD BCQM 是BDK 的中位线112QM DK 根据题意点K 在以D 为圆心，2(3,0),(1,4)B D ∵1340(,)22Q 即 2,2Q (1,0),(2,2)A Q ∵设直线AM 的解析式为y 即022k d k d2。
专题09巧用隐圆妙解最值(原卷版)
A09巧用隐圆 妙解最值模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。
AB 的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。
这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。
隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。
（可以解决动点轨迹。
）隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。
(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC ，则A,B,C,D 四点共圆。
在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D 四点共圆，且AC 为直径。
隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D 四点共圆。
隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D 四点共圆，且AC为直径。
隐圆四：定点定长，隐圆必现。
CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。
若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以 AO 中点M为圆心的圆。
（P为“主动点”，点Q为“从动点。
）典例分析如图11，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【点睛】图12，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP 中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．图13：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．实战训练一．选择题（共8小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（）A．5√5−5√2B．52C．3√5−3√2D．5√2−522．已知抛物线y=−316(x−1)(x−9)与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶OyxA BCMPOOyxA BCMPOPMCBA xyO图11图12图13点，以C 点为圆心的⊙C 半径为2，点G 为⊙C 上一动点，点P 为AG 的中点，则DP 的最大值与最小值和为（ ）A ．72B ．2√3C ．√412D ．53．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点P 是矩形ABCD 内一点，连接P A ，PC ，PD ，若P A ⊥PD ，则PC 的最小值为（ ）A ．2√13−4B ．2√10−3C ．2D ．44．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．√105．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB ＝4，∠AOC ＝120°，P 为⊙O 上的动点，连接AP ，取AP 中点Q ，连接CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）A ．3B ．1+√6C ．1+3√2D ．1+√76．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）A ．2B ．πC ．2πD ．√22π 7．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝12，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当∠ABD ＝∠BCE 时，线段AE 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =√3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+3√34C ．3√32D ．2π二．填空题（共12小题）9．如图，等边三角形ABC 和等边三角形ADE ，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB ＝6，AD ＝4，△ADE 绕点A 旋转过程中，MN 的最大值为 ．10．如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为√．11．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝8，sin A=45，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是．12．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则√2AC+BC的最大值为．13．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD=√3AB，则∠BDC＝．14．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点C作直线AP的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为．17．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=12．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为．18．如图，等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠P AD＝∠PDB，则线段CP长的最大值为．19．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD=√3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为．三．解答题（共3小题）21．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB ＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．22．阅读下列材料，回答问题．材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进而转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值．解决问题：（1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件时，AB有最小值为．（2）如图②，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到BC的距离最小值为．（3）如图③，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ＝4，则在线段PQ滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由．（4）如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求DB'的最小值，并说明理由．（5）如图⑤，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，求PQ长的最小值，并说明理由．23．在矩形ABCD中，BC=√3CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．。
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。
隐圆类最值问题
隐圆类最值问题一、隐圆类最值问题概述咱来唠唠隐圆类最值问题哈。
这隐圆啊，就像是一个躲猫猫的小调皮，它不会直接告诉你圆在哪，得咱们自己去找它的踪迹。
比如说，有些题目里会给出一些几何关系，像定线段、定角这些，这时候就可能藏着个圆哦。
为啥这么说呢？你看啊，当一个三角形的一条边是定长，它所对的角也是定值的时候，根据圆周角定理的推论，这个三角形的顶点就在一个圆上，这个圆就是所谓的隐圆啦。
二、常见的隐圆类型及最值情况1. 定弦定角型这种类型是比较常见的。
就像刚刚说的那个例子，有一条定长的弦，还有一个定大小的角对着这条弦。
那这个角的顶点的轨迹就是一个圆。
在这种情况下找最值呢，比如说求这个顶点到圆外一点距离的最值。
那最小值就是这个点到圆心的距离减去圆的半径，最大值就是这个点到圆心的距离加上圆的半径。
这就好比你站在一个圆形操场外面，要找你到操场上一个在特定轨迹上运动的人的最近和最远的距离，是不是有点感觉啦？2. 动点到定点距离为定值型这个其实就是直接告诉咱们有个动点到一个定点的距离是不变的，那这个动点的轨迹就是一个圆，圆心就是那个定点，半径就是这个定值。
在求最值的时候，就看这个圆和其他图形或者点的关系啦。
比如求这个动点到一条直线的距离的最值，最小值就是圆心到直线的距离减去半径，最大值就是圆心到直线的距离加上半径。
就好像你手里拿着一根绳子，绳子另一头绑着一个小球，小球能绕着你的手做圆周运动，你要找小球到旁边一堵墙的最近和最远的距离一样。
三、解决隐圆类最值问题的小技巧1. 先找隐圆要练就一双火眼金睛，从题目给出的各种条件里找出隐藏的圆。
这就需要对那些能确定圆的几何关系特别敏感，像刚刚说的定弦定角啦，动点到定点距离为定值啦这些。
一旦发现了隐圆，就像找到了宝藏的入口一样，后面的问题就好解决多了。
2. 确定圆心和半径找到隐圆之后，得把圆心和半径确定下来。
这就像是知道了宝藏在哪个岛上，还得知道这个岛的具体位置和大小一样。
圆心和半径确定了，就可以根据圆和其他元素的关系来求最值啦。
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。
隐圆问题 最值问题 7种题型 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
4、90o的圆周角所对的弦为直径
（动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径）
7、寻找特殊点和线段两端点形成特殊角
例1：如图， 为正三角形，做 的外接圆
（1）D为优弧 上一点，则 =
（2）已知线段 和直线 ，请用尺规作图在直线 上找一点 ，使得 .（可改成 ， ）
练习：1、如图， 为正三角形，做 的外接圆
（1）D为劣弧 上一点，则 =
（2）若三角形的3个内角均小于120°，三角形存在一点P，使得PA、PB、PC的夹角均为120°，我们称点P为 的费马点。
A．1B． C． D．5
3、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________.
例2、平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是___________
练习、如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）
解题技巧专题：圆中的最值问题(含隐圆问题)
8．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延 长线上一点，BC＝m.过点C任作一直线l，若l上总 存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直， 则∠ACP的最大值等于 45°.
解析：设PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互 相垂直，则∠MON＝90°.∴四边形PMON是正方 形．根据勾股定理求得OP＝ 2m.∴P点在以O为圆 心，以 2m长为半径的大圆⊙O上．过C点作大 ⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值， 如图所示．∵PC是大圆⊙O的切线， ∴OP⊥PC.∵OC＝2m，OP＝ 2 m， ∴PC＝ OC2 OP2＝ 2m.∴OP＝PC. ∴∠ACP＝45°. ∴∠ACP的最大值等于45°.故答案为45°.
(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线． ∴OF＝ 1 BC＝3.
2 ∴DF＝OD－OF＝5－3＝2.
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段 AB上任意一点，试求出PC＋PD的最小值． (3)解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于 P，连接OC，如图． ∵PC＝PC′， ∴PD＋PC＝PD＋PC′＝DC′. ∴此时PC＋PD的值最小． ∵ AD＝CD，∴∠COD＝∠AOD＝80°.
9．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2， AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ 2 3 .
解析：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交 于＝＝O2点BP2＝，′，12∠当AAB点D＝PO2与＝.∵P∠′A重ADO合＝D时2＝，，∠∠DOBPDA最CD短＝＝，4950则°°A.，∴O∴＝DPOO′＝DP′ OD－OP′＝2 2－2.过P′作P′E⊥CD于点E，则易得 P′E＝DE＝2－ 2.∴CE＝CD－ DE＝ 2＋2.∴CP′＝ PE2 CE2 ＝2 3.故答案为2 3.
隐形圆模型的最值问题-含答案
隐形圆模型的最值问题【母题示例】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________．【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息．【母题剖析】先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再根据勾股定理确定CD′的最小值即可．【母题解读】隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决.模型一直角模型【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．【基本图形】基本图形BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明以AB为直径的圆上【核心突破】1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为( )A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________．模型二定角模型【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．【基本图形】基本图形说明点P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝60°，则以AB为边在正方形ABCD 内作等边△ABM，点P在△ABM的外接圆在正方形内的部分弧上基本图形说明点P是平面内一点，且∠APB＝45°，则以AB为斜边作等腰Rt△AOB，点P在以O为圆心，OA为半径的圆的优弧上【模型突破】1．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝23，点P是矩形ABCD内(含边界)上一点，且∠APB＝60°，连接CP，则CP的最小值为________．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D均在x轴上，点B在第三象限，且OA＝2，OD＝1，AB＝4，点E是AB的中点，连接OE，动点P是平面内一点，且∠OPE＝45°，连接CP，求CP的最小值．模型三折叠、旋转模型【模型解读】折叠、旋转模型是在几何图形中，通过折叠或旋转变换得到动点，而此时动点的轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算．【基本图形】基本图形沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD′E，则点D′说明在以A为圆心，AD为半径的圆弧上基本图形△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转，则点F的轨迹为以A 说明为圆心，AF为半径的圆【模型突破】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．。
隐形圆模型的最值问题含答案
隐形圆模型的最值问题【母题示例】如图示意，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________．【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息．【母题剖析】先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再据勾股定理确定CD′的最小值即可．【母题解读】隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决.模型一直角模型【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．【基本图形】基本图形BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明以AB为直径的圆上【核心突破】1.如图示意，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH 长度的最小值为( )A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________．模型二定角模型【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．【基本图形】基本图形说明点P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝60°，则以AB为边在正方形ABCD内作等边△ABM ，点P在△ABM的外接圆在正方形内的部分弧上基本图形说明点P是平面内一点，且∠APB＝45°，则以AB为斜边作等腰Rt△AOB，点P在以O为圆心，OA为半径的圆的优弧上【模型突破】1．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝23，点P是矩形ABCD内(含边界)上一点，且∠APB＝60°，连接CP，则CP的最小值为________．2．如图示意，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D均在x轴上，点B 在第三象限，且OA＝2，OD＝1，AB＝4，点E是AB的中点，连接OE，动点P是平面内一点，且∠OPE＝45°，连接CP，求CP的最小值．模型三折叠、旋转模型【模型解读】折叠、旋转模型是在几何图形中，通过折叠或旋转变换得到动点，而此时动点的轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算．【基本图形】基本图形沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD′E，则点D′说明在以A为圆心，AD为半径的圆弧上基本图形△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转，则点F的轨迹为以A 说明为圆心，AF为半径的圆【模型突破】1．如图示意，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．2．如图示意，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形(∠ACB＝∠DCE＝90°)．保持△ABC固定不动，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，连接AD、AE、BD，直线AE与BD相交于点H.点P、M、N分别是AD、AB、DE的中点．若AC＝4，CD＝2，则在旋转过程中，△PMN的面积的最大值为________．参考答案【核心母题剖析】25－2 【点拨】∵将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，∴AD′＝AD，∴点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，连接AC交⊙A于D′，此时CD′取得最小值．∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∴由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝25，∴CD′的最小值为AC－AD＝25－2.【核心归纳突破】模型一、直角模型1．A 【点拨】∵DE＝CF，∴AE＝DF，在Rt△ABE和Rt△DAF中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DA ，∠BAE＝∠ADF，AE ＝DF ，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE＋∠BAH＝90°，∴AH⊥BE，点H 的轨迹是以AB 为直径的⊙P，如解图所示，连接DP ，交⊙P 于点H ，此时DH 的长度最小，∵AB＝AD ＝6，∴AP＝3，∴DP＝AD 2＋AP 2＝62＋32＝35，∴DH＝DP －PH ＝35－3.2．2 【点拨】∵AP⊥BP，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∵A(－3，0)，B(3，0)，∴AB 的中点为O ，如解图所示，连接OM 交⊙O 于P ，此时MP 最小，∵点M 的坐标为(3，4)，∴OM＝5，∴MP 的最小值为MO －OP ＝5－3＝2.模型二、定角模型1.19－2 【点拨】如解图，以AB 为边在矩形ABCD 内作等边△ABM，设△ABM 的外接圆圆心为O ，连接AO ，OC ，OM ，延长MO 交AB 于N ，过点O 作OE⊥BC 于E ，则AN ＝BN ＝3，易得∠AON＝60°，∴ON＝1，AO ＝2，∴CE＝BC －BE ＝BC －ON ＝4，在Rt△COE 中，由勾股定理得OC ＝OE 2＋CE 2＝19，∵∠APB ＝60°＝∠AMB，∴点P 在⊙O 在矩形内部分的弧上，∴当CO 交⊙O 于P 时，CP 最小，最小值为19－2.2．解：∵AB＝4，点E 是AB 的中点，∴AE＝BE ＝2，如解图，过点E 作EF⊥y 轴于F ，则四边形AEFO 是正方形，以F 为圆心，FE 为半径画圆，在优弧EO 上取点P ，连接OP ，EP ， 则∠EPO＝12∠EFO＝45°. 连接CF 交⊙F 于P ，则此时CP 最小．设BC 交y 轴于G ，则CG ＝OD ＝1，FG ＝2，∴由勾股定理得FC ＝5，∴CP 的最小值为CF －FP ＝5－2.模型三、折叠、旋转模型1.1255【点拨】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，如解图，连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD＝BD ＝3，而AC＝4，由勾股定理得：AD ＝5，而FD ＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH⊥BC 于H ，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF＝125，DH ＝95，∴BH＝245，∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255. 2.92【点拨】∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，∴AC＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB＋∠BCE＝∠BCE＋∠ECD，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD ，∠CAE＝∠CBD，∴∠HBA＋∠HAB＝∠HBC＋∠CBA＋∠HAB＝∠CBA＋∠CAB＝90°，∴BD⊥AE.∵P，M 分别是AD ，AB 的中点，∴PM∥BD，且PM ＝12BD ，同理，PN∥AE，且PN ＝12AE ，∴PM⊥PN，PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴S △PMN ＝12PM 2＝18BD 2，∴当BD 最大时，△PMN 的面积最大，∵△CDE 绕点C 旋转，∴点D 在以C 为圆心，CD 为半径的圆上，∴当点D 在BC 的延长线上时，BD 最大，此时BD ＝AC ＋CD ＝6，∴△PMN 面积的最大值为18×62＝92.。
“隐圆”最值问题
BMCDAEFD CBABEDCF A“隐圆”最值问题教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法教学重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。
直角对直径所以以AB 为直径画圆。
使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是______256____．分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。
接下来考虑重点M 的用途即可。
中点的用法可尝试下倍长和中位线。
此题使用中位线。
答案是3722c x ≤≤【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是424222AC -+≤≤． 分析：同例题【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是（）A．2 B．1 C．1 +3D．3分析：取AB中点M连接OM、CM。
专题11 圆的最值问题(隐圆模型)(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题11圆的最值问题（隐圆模型）【知识点梳理】隐圆模型汇总固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径A．1B．作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于=，根据对称性有：PD PF+=+，则有：PE PD PE PF+的长度最小值，则线段EF的长即为PE PD【答案】634-【分析】取AD 的中点O ，连接OF BC ⊥于F ，交CD 于G 取AD 的中点O ，连接OM ，过点于F ，交CD 于G ，则OM ME + AB CD ，60DAB ∠= ，AD ∴120ADC ∠=︒，AD CD =，【答案】3∴BD＝2，∴11 2BD=．D运动的一个动点，联结EF，将AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（）A．23πB C．3πD．1【答案】A【详解】解：∵点E 为AB 中点，点F 为AD 边上从A 到D 运动的一个动点，联结EF ，将AEF 沿EF 折叠，∴AE EB EG ==，∴G 点在以E 为圆心，AE 长为半径的圆上运动．当F 与D 点重合时，如图，则G 点运动的路径为 AG ．∵AB ＝2，点E 为AB 中点，∴112AE AB ==，∵矩形ABCD ，∴90EAD ∠=︒，∵1AE =，AD =90EAD ∠=︒，∴tan AD AED AE∠==60AED ∠=︒．∵将AEF 沿EF 折叠，∴60DEG AED ∠=∠=︒，∴120AEG ∠=︒，∵1AE =，∴120223603AG AE ππ=⨯⨯=．故选：A ．3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5AC =，12BC =，D 是以点A 为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD ，M 是BD 的中点，则线段CM 长度的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【详解】作AB 的中点E ，连接EM 、CE 、AD ，则有AD =3，∵∠ACB =90°，即在Rt ABC 中，13AB ==，∵E 是Rt ABC 斜边AB 上的中点，∴11322CE AB ==，∵M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，∴1322ME AD ==，∴在CEM 中，1331332222CM -+＜＜，即58CM ＜＜；当C 、M 、E 三点共线时有133822CM +==或者133522CM -==；即58CM ≤≤，∴CM 最小值为5，故选：C ．【答案】21022-【分析】由题意可知，AGB ∠圆周角45APB ∠=︒的圆上，（要使。
中考专题北师大版本九下专题隐形圆的最值问题
3、应用隐圆解决实际问题；最值问题之“隐圆再现”的问题【知识要点】点到圆的最小距离和最大距离总结：（圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。
）圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O) ．二、圆的存在条件（常见的类型，还有定半径长度类）类型1、圆的定义：（定长）在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆；类型2、定直角：直径所对的圆周角为90°；应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．【例题精讲】知识点一、翻折定点定长--隐圆现。
例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．2.如图，在矩形ABCD中，AC=6，BC=8，点F是边AC的中点，点E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到点D的距离的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是．5．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是．知识点二、动点定直角---隐圆现1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O 交BM于N，则线段AN的最小值为．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为．6．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．4、（湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．知识点三、动点定长隐圆现1．如图，⊙O的半径为2，AB.CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）．2．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从点B 出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A．2B．4﹣πC．πD．π﹣13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为（）A．3B．4C．2D．5【立马试试】2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，问△A'PC 周长是否存在最小值是，若存在，请计算出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．(1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？(2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？类型四、三条相等线段造成的隐形圆1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（）A．14B．15C．18D．12【课堂总结】隐形圆的几种存在情况1.2.3.4.【2019锦江1诊真题再现】（武侯二诊）24．（4分）如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF 经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是，此时折痕EF的长为．（2018•锦江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF 于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为．【课后练习】3．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（）A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°4．直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（）A．2﹣2B．3﹣2C．D．1二．填空题（共5小题）5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．三．解答题（共2小题）7．（阿氏圆）问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．8．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB＝，求点P的坐标；②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．。
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B
M
C
D
A
E F
D C
B
A
B
D
C
F A
“隐圆”最值问题
教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法
教学重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题
【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．
分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。
直角对直径所以以AB 为直径画圆。
使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3
【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是______
25
6
____．
分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值
【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．
分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。
接下来考虑重点M 的用途即可。
中点的用法可尝试下倍长和中位线。
此题使用中位线。
答案是
3722
c x ≤≤
【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A
旋转一周，则线段AF 4242
22
AC -+≤≤ 分析：同例题
【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC，两顶点A、B分别在平面直角
坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC
长的最大值是（）
A．2 B．1 C．3D．3
分析：取AB中点M连接OM、CM。
因为OM=1，3，所以
3
【练1】如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC3，两顶点A、B分别在平面
直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC
长的最大值为_______3___．
分析：取AB中点M，方法同例题
【练2】（2013·武汉中考·16）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，
满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边
长为2，则线段DH长度的最小值是51____．
分析：取AB中点M，方法同例题
【例4】如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在
OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．
分析：构造△ABO的外接圆。
点O可以在圆上任意动，利用垂径定理即可得到
+
O到AB的最大距离为：552
【练1】（2013-2014·二中、七一九上期中·16）已知线段AB = 4，在线段AB上取一点P，在AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的最小值为____2______．
分析：可构造一个以CD为斜边的水平的直角三角形，快速得到当AP=BP时最小，CD最小
【练2】如果满足∠ABC = 60°，AC = 12，BC = k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是____012k <≤______．
分析：画出△ABC 的外接圆，观察动点B 在弧上面的运动即可
【例5】已知A （2，0），B （4，0）是x 轴上的两点，点C 是y 轴上的动点，当∠ACB 最大时，则点C 的坐标为__________．
分析：画出△ABC 的外接圆M 。
要保证∠ACB 最大，即圆周角最大，只要圆心角最大即可。
所以在等腰△MAB 中只要半径最小即可，半径什么时候最小呢？只要圆与Y 轴相切即可所以得答案为：(0,2)±
【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？ 如图，设墙壁上的展品最高点P 距底面2.5米，最低点Q 距底面 2米，观察者的眼睛E 距底面1.6米，当视角∠PEQ 最大时，站 在此处观赏最理想，则此时E 到墙壁的距离为（ B ）
A ．1米
B ．0.6米
C ．0.5米
D ．0.4米
分析：只要△PQE 的外接圆与人眼所在的水平线相切即可，通过垂径定理可得答案是B
【课外提升】
1．（2010·河南）如图，Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AB = 6， 点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA = DE ，则AD 的取值范围是（ ）
A ．2 < AD < 3
B ．2 ≤ AD < 3
C ．2 ≤ A
D ≤ 3 D ．1 ≤ AD < 2
A
D
C
B
O
y x
N
M
B
Q
C
P A 2．（2012·济南）如图，矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 1，当A 、B 两点 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时，矩形ABCD 的形状不变，则 OD 的最大值为（ ）
A 2+ 1
B 5
C 145
D ．5
2
3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC
= 30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0° < θ < 180° ），得 到△MNC ，P 、Q 分别是AC 、MN 的中点，AC = 2t ，连接PQ ，则旋转时
PQ 长度的最大值是（ ）
A ．6
B ．3t
C 6
D ．3t
4．已知点A 、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C 是x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标为__________．。