“隐圆”最值问题

B

M

C

D

A

E F

D C

B

A

B

D

C

F A

“隐圆”最值问题

教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法

教学重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题

【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．

分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3

【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是______

25

6

____．

分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值

【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．

分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是

3722

c x ≤≤

【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A

旋转一周，则线段AF 4242

22

AC -+≤≤ 分析：同例题

【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC，两顶点A、B分别在平面直角

坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC

长的最大值是（）

A．2 B．1 C．3D．3

分析：取AB中点M连接OM、CM。因为OM=1，3，所以

3

【练1】如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC3，两顶点A、B分别在平面

直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC

长的最大值为_______3___．

分析：取AB中点M，方法同例题

【练2】（2013·武汉中考·16）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，

满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边

长为2，则线段DH长度的最小值是51____．

分析：取AB中点M，方法同例题

【例4】如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在

OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．

分析：构造△ABO的外接圆。点O可以在圆上任意动，利用垂径定理即可得到

+

O到AB的最大距离为：552

【练1】（2013-2014·二中、七一九上期中·16）已知线段AB = 4，在线段AB上取一点P，在AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的最小值为____2______．

分析：可构造一个以CD为斜边的水平的直角三角形，快速得到当AP=BP时最小，CD最小

【练2】如果满足∠ABC = 60°，AC = 12，BC = k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是____012k <≤______．

分析：画出△ABC 的外接圆，观察动点B 在弧上面的运动即可

【例5】已知A （2，0），B （4，0）是x 轴上的两点，点C 是y 轴上的动点，当∠ACB 最大时，则点C 的坐标为__________．

分析：画出△ABC 的外接圆M 。要保证∠ACB 最大，即圆周角最大，只要圆心角最大即可。所以在等腰△MAB 中只要半径最小即可，半径什么时候最小呢？只要圆与Y 轴相切即可所以得答案为：(0,2)±

【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？ 如图，设墙壁上的展品最高点P 距底面2.5米，最低点Q 距底面 2米，观察者的眼睛E 距底面1.6米，当视角∠PEQ 最大时，站 在此处观赏最理想，则此时E 到墙壁的距离为（ B ）

A ．1米

B ．0.6米

C ．0.5米

D ．0.4米

分析：只要△PQE 的外接圆与人眼所在的水平线相切即可，通过垂径定理可得答案是B

【课外提升】

1．（2010·河南）如图，Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AB = 6， 点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA = DE ，则AD 的取值范围是（ ）

A ．2 < AD < 3

B ．2 ≤ AD < 3

C ．2 ≤ A

D ≤ 3 D ．1 ≤ AD < 2

A

D

C

B

O

y x

N

M

B

Q

C

P A 2．（2012·济南）如图，矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 1，当A 、B 两点 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时，矩形ABCD 的形状不变，则 OD 的最大值为（ ）

A 2+ 1

B 5

C 145

D ．5

2

3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC

= 30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0° < θ < 180° ），得 到△MNC ，P 、Q 分别是AC 、MN 的中点，AC = 2t ，连接PQ ，则旋转时

PQ 长度的最大值是（ ）

A ．6

B ．3t

C 6

D ．3t

4．已知点A 、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C 是x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标为__________．