八年级--专题十三 分类讨论解几何题
八年级数学几何题分类讨论
八年级数学几何题分类讨论八年级数学几何题主要涉及以下几个方面的分类讨论：一、点、线、面的性质1.点：讨论点的坐标、距离、中点等问题。
2.直线：讨论直线的斜率、截距、垂直平分线等问题。
3.平面：讨论平面的法向量、点到平面的距离、平面之间的位置关系等问题。
二、直线与角1.直线：讨论直线的位置关系、平行、相交、异面等问题。
2.角：讨论角的大小、角度、三角形的角度和、角的平分线等问题。
三、三角形1.分类：根据边长、角度、形状等特点进行分类讨论。
2.性质：讨论三角形的性质，如稳定性、等腰三角形、等边三角形等的性质。
3.判定方法：讨论判定三角形全等、相似的方法，如SSS、SAS、ASA等。
4.实际问题：利用三角形解决实际问题，如测量、建筑等领域的应用。
四、平行四边形1.性质：讨论平行四边形的性质，如对角线、中点、平行四边形面积等问题。
2.判定方法：讨论判定平行四边形的方法，如矩形、菱形、正方形的判定方法。
3.实际问题：利用平行四边形解决实际问题，如测量、设计等领域的应用。
五、矩形、菱形和正方形1.性质：讨论矩形、菱形和正方形的性质，如对角线、中点、面积、周长等问题。
2.判定方法：讨论判定矩形、菱形和正方形的方法，如对角线相等、菱形对角线垂直等方法。
3.实际问题：利用矩形、菱形和正方形解决实际问题，如测量、设计、建筑等领域的应用。
在解决几何题时，关键是要熟悉各种图形的性质和判定方法，掌握分类讨论的思想，同时要注意将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
初二分类讨论练习题
初二分类讨论练习题分类讨论是数学中常用的解题方法之一，通过将问题分解为若干个同类子问题来解决整体问题。
在初二数学学习中，分类思维的训练对于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力是十分重要的。
本文将给出一些初二分类讨论的练习题，帮助学生加深对该解题方法的理解和运用。
一、排列组合类练习题1. 一个三位数，各位数字均不相同，且都是奇数，有多少个？解析：首先，百位数有5个选择（1、3、5、7、9），十位数有4个选择（0除外），个位数有3个选择，所以总共的不同三位奇数有15个。
2. 一桶里共有红球、蓝球、黄球各若干个，其中红球至少有两个，蓝球至少有三个，黄球至少有四个。
问这桶球中至少有几个球？解析：设红球个数为x，蓝球个数为y，黄球个数为z，根据题意，可列出不等式组如下：x >= 2y >= 3z >= 4求解这个不等式组，我们可以得到最少球的个数为2+3+4=9个。
二、几何形状类练习题1. 如图所示，已知矩形ABCD的长为6cm，宽为4cm，将其四个角各剪去一个相同的小正方形，则所得图形的面积为多少？解析：设每个小正方形的边长为x cm，根据题意，可列出如下方程：(6-2x)(4-2x) = 24将方程化简并解方程，得到x=1，故每个小正方形的边长为1cm，所得图形的面积为24-4=20平方厘米。
2. 如图所示，正三角形ABC的边长为8cm，点P在边BC上，且AP的长度为5cm，则三角形ABP的面积为多少？解析：根据正三角形的性质，角APB也是一个等边三角形，所以三角形ABP的面积为1/2 * 5 * 4 = 10平方厘米。
三、代数方程类练习题1. 一个数的九倍减去这个数的四倍等于24，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可列出方程9x - 4x = 24解方程得到x = 4，所以这个数是4。
2. 一个三位数能被3整除，且百位、十位、个位数字之和为15，求这个三位数是多少？解析：首先，百位数字至少为1，因为3个位数的情况下最小值为102。
部编数学八年级上册专题13一线三等角模型证全等(解析版)含答案
专题13一线三等角模型证全等1．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 45 度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN 与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90o，点D为AB中点，则△AED∽ △BDF ；②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌ △CFD ；③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE＝1，CF＝2，则EF的长为 3 ．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为 （﹣，1） ．【模型变式】（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长．【解答】解：（1）①如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠FDB，∴∠AED＝∠EDB，∴△AED∽△BDF，故答案为△BDF；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，∴∠BED＝∠FDC，又∵BD＝CF，∴△BDE≌△CFD（AAS），故答案为：△CFD；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠CFB＝90°＝∠ABC，∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠CBF，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝2，∴EF＝3，故答案为：3；（2）如图④，过点A作AF⊥x轴于F，过点C作CE⊥x轴于E，∵点A的坐标为（1，），∴AF＝，OF＝1，∵四边形ABCO是正方形，∴AO＝OC，∠AOC＝90°，∵AF⊥EF，CE⊥EF，∴∠AFO＝∠CEO＝90°＝∠AOC，∴∠AOF+∠FAO＝90°＝∠AOF+∠COE，∴∠COE＝∠FAO，∴△AOF≌△OCE（SAS），∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，∴点C坐标为：（﹣，1），故答案为：（﹣，1）；（3）如图⑤，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2cm．3．直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG与△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G为CE的中点．4．已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 DE＝BD+CE ．【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直线l过点A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．5．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．（1）求证：CE＝AB．（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 55° ．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△DEC与△CAB中，，∴△DEC≌△CAB（ASA），∴CE＝AB；解：（2）∵△DEC≌△CAB，∴∠CED＝∠A＝125°，∴∠BED＝180°﹣125°＝55°，故答案为：55°．6．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A，B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．试说明AD＝CE；（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M，N到达相应的终点时停止运动，过点M 作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝ 8﹣t ，当N在F→C路径上时，CN＝ 6﹣3t ；（用含t的代数式表示）②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，8﹣t＝3t﹣6，解得，t＝3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．7．点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F．（1）如图所示，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE+BF．（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，并证明．（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，直接写出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠FCB＝90°，又∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，∴∠ECA+∠EAC＝90°，∴∠FCB＝∠EAC，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵EF＝EC+CF，∴EF＝AE+BF；（2）解：EF＝AE﹣BF，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠FCB＝90°，又∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠FCB，又∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF；（3）解：EF＝BF﹣AE，理由如下：∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∵AC＝BC，∴△CAE≌△BCF（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE，即EF＝BF﹣AE．9．如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）（1）如图①，如果∠PDB＝50°，∠PCA＝20°，∠CPD＝ 70° ．若∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ，请直接写出α，β，γ之间的数量关系 γ＝α+β ．（2）如图②，若MN⊥l1于点A，BD＝2，AB＝6，AC＝4，当AP为多少时，△ACP≌△BPD，请判断此时PC与PD的数量与位置关系，并说明理由．（3）请用尺规作图作出∠BDC的角平分线DP，其中P为角平分线与AB的交点，若此时点P为线段AB的中点，请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路，并直接写出线段AC、BD、CD的数量关系，不用再说明理由．【解答】解：（1）过点P作PQ∥l1，交ME于点Q，如图①，∵l1∥l2，PQ∥l1，∴PQ∥l2，∴∠BDP＝∠DPQ＝50°，∵PQ∥l1，∴∠QPC＝∠PCA＝20°，∴∠DPC＝∠DPQ+∠CPQ＝70°，∵∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ，同理可得：∠CPD＝∠PDB+∠PCA，∴γ＝α+β，故答案为：70°．γ＝α+β．（2）CP＝PD，CP⊥PD．理由如下：如图②，若△ACP≌△BPD，则AP＝BD＝2，∠CPA＝∠PDB，CP＝PD，∵MN⊥l1，∴∠DBM＝90°，∴∠DPB+∠PDB＝90°，∴∠CPA+∠BPD＝90°，∴∠CPD＝90°，∴CP⊥PD．（3）CD＝CA+BD．理由如下：以点D为圆心，以任意长度为半径画弧，交l1，ME于F、H，分别以H、F为圆心，以大于EF 的长为半径画弧，相交于Q、T两点，连接DQ，即为∠CDF的角平分线，设DQ交AB于P，交l1于G，如图③，在△DPB和△GPA中，，∴△DPB≌△GPA（AAS），∴BD＝AG，∵DG是∠CDF的角平分线，∴∠CDG＝∠FDG，∵l1∥l2，∴∠FDG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG，∵CG＝CA+AG＝CA+BD，∴CD＝CA+BD．10．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 BD＝AE ，CE与AD的数量关系为 CE＝AD ；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．11．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF ＝ DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，∴AC＝AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAF，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，故答案为：＝；②∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝EH＝CE，∴CE＝2CH，∵∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠BAF＝∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠AFB＝∠CHA，在△AFB和△CHA中，，∴△AFB≌△CHA（AAS），∴AF＝CH，∴CE＝2AF；（2）成立，证明如下：作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，∴∠BMA＝∠N＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，∵AH⊥CE，∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，在△AMB和△CHA中，，∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB＝AH，同理可证△AND≌△EHA（AAS），∴DN＝AH，∴BM＝DN，在△BMF和△DNF中，，∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF＝DF，MF＝NF，∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM＝CH，AN＝EH，∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，∵CE＝CH+EH，∴CH＝2AF，即BF＝DF，CE＝2AF．12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN＝DM．设OM＝a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标 （2+a，a） （用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD＝MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．【解答】（1）解：如图1中，作NE⊥OB于E，∵∠DMN＝90°，∴∠DMO+∠NME＝90°，∠NME+∠MNE＝90°，∴∠DMO＝∠MNE，在△DMO和△MNE中，，∴△DMO≌△MNE，∴ME＝DO＝2，NE＝OM＝a，∴OE＝OM+ME＝2+a，∴点N坐标（2+a，a），故答案为N（2+a，a）．（2）证明：如图2中，在OD上取OH＝OM，连接HM，∵OD＝OB，OH＝OM，∴HD＝MB，∠OHM＝∠OMH，∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°，∵NB平分∠CBE，∴∠NBE＝45°，∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°，∴∠DHM＝∠NBM，∵∠DMN＝90°，∴∠DMO+∠NMB＝90°，∵∠HDM+∠DMO＝90°，∴∠HDM＝∠NMB，在△DHM和△MBN中，，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴DM＝MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．证明：如图3中，在BO延长线上取OA＝CF，在△AOD和△FCD中，∴△DOA≌△DCF，∴AD＝DF，∠ADO＝∠CDF，∵∠MDN＝45°，∴∠CDF+∠ODM＝45°，∴∠ADO+∠ODM＝45°，∴∠ADM＝∠FDM，在△DMA和△DMF中，，∴△DMA≌△DMF，∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC，过M作MP⊥DN于P，则∠FMP＝∠CDF，由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°，∵∠NMB＝∠MDO，∠MDO+∠CDF＝45°，∴∠NMB＝∠NMF，即MN平分∠FMB．（在旋转过程中，FM＝AM，显然AM的长度是变化的，故FM的长度是变化的或取两个特殊位置，比较AM的值即可发现结论）．。
2021——2022冀教版初二上学期第十三章 三角形全等几何模型-“手拉手”模型(知识讲解)
专题13.3 三角形全等几何模型-“手拉手”模型（知识讲解）图一图二图三图四图五图六图七手拉手模型的定义：定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。
特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）3、如右图：手拉手模型的重要结论：结论1：∆ABC≅∆A/B/C/（SAS）BC=B/C/(左手拉左手等于右手拉右手)结论2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及顶角相等的等腰三角形底角相等）结论3：AO平分∠B O C/（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）典型例题讲练：在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB 全等的三角形是，此线BD和CE的数量关系是（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：（3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及△PBC+△PCB的度数、举一反三变式1：如图，AC△BC，DC△EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．（1）求证：AE＝BD；（2）求△AFD的度数．例题2．已如：如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N．（1）以下结论正确的有；△AD=BE△△EFD=60° △MC=NC△△AMB=△END（2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示．△问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由；△连接FC，如图3所示，求证：FC平分△BFD举一反三∆中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，变式：如图，在ABC∠的度数为（）连接AE，BD交于点O，则AOBA．100︒B．120︒C．130︒D．150︒例题3．（阅读材料）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若△BAC=△DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD△△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：△BD=EC；△△BOC=60°；△△AOE=60°；△EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，△ABC=△BDC=60°，试探究△A与△C的数量关系．举一反三变式：如图，C 为线段AE 上一动点(不与点,A E 重合)，在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形,CDE AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论：①AD BE =；①//PQ AE ；①60AOB ∠=︒；①CPQ 是等边三角形，恒成立的是______．。
几何中的分类讨论题
几何中的分类讨论题1、有一三角铁片ABC，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把他加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍。
问：加工成的铁片的面积为多少平方厘米？2、如图所示，现有一边长为12cm的正方形纸片，E为正方形的边AD上一点，AE=10cm，现欲从正方形纸片上剪下等腰三角形AEP（要求该等腰三角形的另一顶点P也在正方形的一边上）3、正在修建的冬奥会的体育馆外有一块边长为6和8的直角三角形空地需要绿化,从三角形的直角顶点出发作射线,将△ABC分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助画出图案,并计算出每块面积.4、为了美化校园，决定把两种花栽种到一块等腰三角形的花圃中，要求一腰上的中线把两种花分开，并把三角形的周长分成9m和15m两部分，求花圃的面积。
5、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计）请你计算这块等腰三角形菜地的面积。
6、在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cn，宽为16cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。
7、红光中学有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。
8、美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
9、已知四边形ABCD，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于O，AD=7，BD=10，∠BOC=120°，画出图形并求四边形面积。
10、一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B，在A的北偏东45度方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B、C间的距离是60千米，想到经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P与加油站A的距离（结果可保留根号）。
八年级数学上册 第13章 全等三角形 微卷专训3 四种常见的几何关系的探究试题 冀教版(2021学
2０１7秋八年级数学上册第13章全等三角形微卷专训3 四种常见的几何关系的探究试题(新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2０１7秋八年级数学上册第13章全等三角形微卷专训3 四种常见的几何关系的探究试题(新版)冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专训3 四种常见的几何关系的探究名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础,三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此获得直线之间的垂直(平行)关系,线段(面积)的和、差、倍、分关系.位置关系１．如图,已知BＥ⊥AC,CF⊥ＡB，ＢM=AC，ＣN＝AB。
求证：ＡM⊥AN.(第1题)相等关系2.【中考·珠海】已知△ABC，AB=AＣ，将△ABC沿ＢC方向平移得到△DEF．（1）如图①,连接BD,AＦ，则BＤ_＿_____＿AF。
(填“＞”“＜”或“=")(2）如图②，M为AB边上一点,过M作BC的平行线ＭN分别交边A C，ＤE,ＤF于点G，H,N,连接BＨ，GF。
求证:BH＝GＦ。
（第2题)和差关系3．如图，∠BCA=α，CA＝ＣB，Ｃ，E,F分别是直线CD上的三点,且∠BEC＝∠CFＡ=α，请提出对ＥF，BE,AF三条线段之间数量关系的合理猜想,并证明．(第3题)不等关系4.【中考·贵阳】（１)阅读理解:如图①,在△AＢC中,若AB＝１0，ＡC=6，求BＣ边上的中线ＡD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DＥ=AD，再连接BE（或将△ＡCD绕着点D逆时针旋转１80°得到△EBＤ）,把AB，AC，2AＤ集中在△ＡBE中.利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是____＿_______＿____＿_＿＿＿_＿＿___＿_＿_＿＿___＿_____＿__＿________＿__＿__________＿＿_；(2)问题解决:如图②,在△AＢＣ中，D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,ＤＥ交AB于点E,DＦ交AC于点F,连接EF,求证BＥ+CF＞EＦ;（3）问题拓展:如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD, ∠BＣD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E，F两点，连接EF,探索线段ＢE，DＦ,EF之间的数量关系，并加以证明．【导学号：42282025】(第４题）答案1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB,∴∠1+∠BAC=9０°,∠2＋∠ＢAC=90°.∴∠1=∠2。
华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形等腰三角形中的分类讨论专题测试题及答案
华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形等腰三角形中的分类讨论专题测试题一、腰或底边不确定时需讨论1．等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是()A．11 cm B．13 cmC．11 cm或13 cm D．以上答案都不正确2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10C．6或7 D．7或10二、顶角或底角不确定时需讨论3．等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为()A．50°B．65°C．80°D．50°或80°4．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________________．5．已知△ABC中，∠A＝40°，则当∠B＝_________________时，△ABC是等腰三角形．三、三角形形状不确定时需讨论6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是() A．30°B．60°C．150°D．30°或150°7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为____________．8．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．四、由题目条件的不确定性引起的分类讨论9．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或1010．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．11．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4.求CB的长．答案：1. C2. A3. D4. 80°或20°5. 70°或100°或40°6. D7. 63°或27°8. 两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠DBM ＝∠DAC ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°当∠ABC 为钝角时，如图2所示，∵BD ⊥AM ，BE ⊥AC ，∴∠BDM ＝∠BEC ＝90°，∵∠DBM ＝∠EBC ，∴∠M ＝∠C ，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠M ＝∠C ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，则∠ABC ＝135° .∴综上所述，∠ABC ＝45°或135°9. C10. 当F 在线段DA 的延长线上，如图1，作OM ∥AB 交AD 于M ，∵O 为等边△ABD 的边BD 的中点，∴OB ＝2，∠D ＝∠ABD ＝60°，∴△ODM 为等边三角形，∴OM ＝MD ＝2，∠OMD ＝60°，∴FM ＝FA ＋AM ＝3，∠FMO ＝∠BOM ＝120°，∵∠EOF ＝120°，∴∠BOE ＝∠FOM ，而∠EBO ＝180°－∠ABD ＝120°，∴△OMF ≌△OBE ，∴BE ＝MF ＝3；当F 点在线段AD 上，如图2，同理可证明△OMF ≌△OBE ，则BE ＝MF ＝AM －AF ＝2－1＝1.∴综上所述，BE ＝3或111. 此题分以下两种情况：①如图1，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝3，∴BC ＝7；②如图2，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝5，可得BC ＝9.综上所述，CB ＝7或9。
2021——2022冀教版初二上学期第十三章 三角形全等几何模型-斜边上的中线(专项练习)
专题13.5 三角形全等几何模型-斜边上的中线（专项练习）通过斜边上的中线达到线段、角、面积等等的变换，此模型在几何证明中占据相当重要的地位，在压轴题里常常有此类题的身影，因为通过此模型的学习，对初学三角形全等的学生来讲，是十分必要的，对提升学生几何综合能力是相当重要。
本专题汇编了一些斜边上中线的常考题，供师生选择使用。
知识储备：0=∆∠∆∆如图一，在ABC 中，C 90，则边AB 叫ABC 的斜边，AC 、BC 是ABC 的直角边。
图一0=∆∠∆如图二，在ABC 中，C 90，CO 为ABC 斜边上的中线，则 OA=OB=OC 或AB=2OC ，即直角三角形斜边上的中线等于斜边一半。
图二一、填空题1．一副三角板如图摆放，点F 是45角三角板ABC 的斜边的中点，4AC =.当30角三角DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF EF ，分别与,AC BC 相交于点.M N ，则CMFN 的面积为____________．二、解答题2．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AC a =，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ．求证：CE CF +为定值．3．已知：在ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：BCE CAM ≌．4．如图在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系．（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．（3）当点M 、N 分别在AB 、AC 上运动时，四边形AMON 的面积是否发生变化？说明理由．5．已知：三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，（1）如图∠，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：∠DEF 为等腰直角三角形．（2）如图∠，若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，那么，∠DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．6．已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且满足EA CF =．连接AD ．求证：DE DF =．7．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 为斜边AB 的中点，90EDF ∠=︒，DEF 的顶点E ，F 分别在边AC ，BC 上，求EC CF +的长．8．如图，在ABC 中，,90CA CB ACB =∠=︒，O 为AB 的中点，D ，E 分别在,AC BC上，且OD OE ⊥．求证：CE CD AC +=．9．如图，在ABC 中，90,,ACB AC BC D ︒∠==是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =．求证：,DE DF DE DF =⊥．10．∠ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2，求证：CM∠AD 。
初中分类讨论例题
初中分类讨论例题
1. 哎呀呀，比如在求等腰三角形的角度时，就可能要分类讨论啦！如果只知道顶角的大小，那底角是多少呢？这时候就得想想，是锐角等腰三角形呢，还是钝角等腰三角形呀，不同情况答案可不一样哟！
2. 嘿，再看看绝对值的问题吧！比如x-1=3，那 x 到底是多少呢？是 x-
1=3 还是-(x-1)=3 呢？这是不是就需要分类讨论一下呀，好好想想哦！3. 你们知道吗，还有那种已知两边长求三角形周长的题目呢！要是只给了两条边的长度，第三边到底是多长呢？会不会有多种可能性呀？哈哈，这就得认真分类讨论咯！比如两边分别是 3 和 5，第三边是小于 8 大于 2 哟，这里面就有好几种可能呢！
4. 哇塞，在讨论圆中的线段长度时也很有趣呀！圆里有好多条线呢，它们的关系可复杂啦！比如一条弦把圆分成两段弧，不同的位置会得到不同的答案呢，这能不分类讨论吗？
5. 呀，还有解方程时遇到含有参数的方程！那参数取不同的值，方程的解是不是就不一样啦？就像走不同的路会看到不同的风景一样呢！例如
x+2a=3x-6，这里的 a 可就得好好研究下呢！
6. 哈哈，在讨论函数图像与坐标轴交点的时候也会用到分类讨论呀！到底有几个交点呢？会不会有特殊情况呢？这就好像闯关游戏一样刺激呢！
7. 哇，甚至在讨论图形的位置关系时也离不开分类讨论哟！两个图形是相交呢，还是相切呢，或者是相离呢？这中间的变化可多啦，就如同多变的天气一样让人捉摸不透呢！
我觉得分类讨论真的很重要，可以让我们考虑问题更全面，不会漏掉任何一种可能的情况呀！。
初中几何分类讨论问题经典题例析
初中数学分类讨论问题经典题例析(几何部分)山东省沂水县四十里镇第二初级中学（276406） 张荣建在几何计算中，根据题设条件常常可以做出形状不同的独立图形，因而必须针对不同图形进行分类求解。
1、三角形形状不确定时，需考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形、三角形的高在三角形内还是三角形外等情况画出不同图形，分别求解。
经典题1、已知△ABC 的AB=32,AC=2,BC 边上的高AD=3，求BC 长。
分析：三角形的高AD 与AB 、AC 的关系不确定，符合条件的图形有图1和图2，所以要在两个图形中分别求解。
解：在图1中，∵A D ⊥BC,∴BD=3)3(22222=-=-AD AB ，CD=1)3(22222=-=-AD AC ，∴BC=BD+CD=4。
在图2中，同理求得：BD=3，CD=1，BC=BD-CD=3-1=2。
经典题2、平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，A E ：CE=2：3，AB=5，BE=3.求平行四边形的面积。
解：符合条件的图形有两个，如图3和图4，在图3中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()36436=⨯+。
在图４中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()12436=⨯-。
经典题３、已知△ABC 的AB=32,AC=2, BC 边上的高AD=3，有一个正方形的一边在已知△ABC 的AB 边上，另外两个顶点分别在AC 和BC 上，求这个正方形的面积。
分析：正方形与三角形的位置关系有两种情况，如图５和图６，所以要在两个图形中分别求解。
解：由经典题1，BC=4或BC=2,当BC=4时，∵()2222216232BC AC AB ==+=+，∴△ABC 为直角三角形，所以图５符合题意，设正方形边长为x ，∵G E ∥AB ，∴3132323422232+=∴-=∴-=∴=x x ，x ，x x ，CA CE AB GE ，即正方形边长为3132+。
专题十三 几何证明之三角形全等与圆综合 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题十三几何证明之三角形全等与圆综合1、已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．3、已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．4、已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．5、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．6、如图，在△ABC中，A B＝AC，△O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与△O交于点F，延长BA到点G，使得△BGF＝△GBC，连接FG．（1）求证：FG是△O的切线；（2）若△O的径为4．△当OD＝3，求AD的长度；△当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．（1）证明：连接AF，△BF为△O的直径，△△BAF＝90°，△F AG＝90°，△△BGF+△AFG＝90°，△AB＝AC，△△ABC＝△ACB，△△ACB＝△AFB，△BGF＝△ABC，△△BGF＝△AFB，△△AFB+△AFG＝90°，即△OFG＝90°，又△OF为半径，△FG是△O的切线；（2）解：△连接CF，则△ACF＝△ABF，△AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，△△ABO△△ACO（SSS），△△ABO＝△BAO＝△CAO＝△ACO，△△CAO＝△ACF，△AO△CF，△＝，△半径是4，OD＝3，△DF＝1，BD＝7，△＝＝3，即CD＝AD，△△ABD＝△FCD，△ADB＝△FDC，△△ADB△△FDC，△＝，△AD•CD＝BD•DF，△AD•CD＝7，即AD2＝7，△AD＝（取正值）；△△△ODC为直角三角形，△DCO不可能等于90°，△存在△ODC＝90°或△COD＝90°，当△ODC＝90°时，△△ACO＝△ACF，△OD＝DF＝2，BD＝6，△AD＝CD，△AD•CD＝AD2＝12，△AD＝2，AC＝4，△S△ABC＝×4×6＝12；当△COD＝90°时，△OB＝OC＝4，△△OBC是等腰直角三角形，△BC＝4，延长AO交BC于点M，则AM△BC，△MO＝2，△AM＝4+2，△S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，△△ABC的面积为12或8+8．7、如图I，四边形ADBC内接于△O，E为BD延长线上一点，AD平分△EDC，（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，若CD为直径，过A点的圆的切线交BD延长线于E，若DE＝1，AE＝2．求△O的半径．（1）证明：△四边形ADBC内接于△O，△△EDA＝△ACB，由圆周角定理得，△CDA＝△ABC，△AD平分△EDC，△△EDA＝△CDA，△△ABC＝△ACB，△AB＝AC；（2）解：连接AO并延长交BC于H，AM△CD于M，△AB＝AC，△AH△BC，又AH△AE，△AE△BC，△CD为△O的直径，△△DBC＝90°，△△E＝△DBC＝90°，△四边形AEBH为矩形，△BH＝AE＝2，△BC＝4，△AD平分△EDC，△E＝90°，AM△CD，△DE＝DM＝1，AE＝AM＝2，在Rt△ABE和Rt△ACM中，△Rt△ABE△Rt△ACM（HL），△BE＝CM，设BE＝x，CD＝x+2，在Rt△BDC中，x2+42＝（x+2）2，解得，x＝3，△CD＝5，△△O的半径为2.5．8、如图，AB为△O的直径，弦CD△AB，垂足为F，CG△AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．（1）求证：CG是△O的切线；（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和所围成的弓形的面积．解：（1）证明：连接OC．△CD△AB，CG△AE，CG＝CF，△△CAG＝△BAC，△AFC＝△G＝90°，△OA＝OC，△△ACO＝△BAC．△△CAG＝△ACO，△OC△AG，△△OCG＝180°﹣△G＝90°，△CG是△O的切线；（2）过点O作OM△AE，垂足为M，则AM＝ME＝AE＝1，△OMG＝△OCG＝△G＝90°．△四边形OCGM为矩形，△OC＝MG＝ME+EG＝2．在Rt△AGC和Rt△AFC中△Rt△AGC△Rt△AFC（HL），△AF＝AG＝AE+EG＝3，△OF＝AF﹣OA＝1，在Rt△COF中，△cos△COF＝＝．△△COF＝60°，CF＝OC•sin△COF＝2×＝，△S弓形BC＝﹣×2×＝π﹣．9、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作△Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交△Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）求证：△BDE＝△ADP；（3）设DE＝x，DF＝y．请求出y关于x的函数解析式．解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入y＝kx+4，得：4k+4＝0，解得：k＝﹣1，则直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）由已知得：OB＝OC，△BOD＝△COD＝90°，又△OD＝OD，△△BOD△△COD（SAS），△△BDO＝△CDO，△△CDO＝△ADP，△△BDE＝△ADP；（3）如图2，连结PE，△△ADP是△DPE的一个外角，△△ADP＝△DEP+△DPE，△△BDE是△ABD的一个外角，△△BDE＝△ABD+△OAB，△△ADP＝△BDE，△DEP＝△ABD，△△DPE＝△OAB，△OA＝OB＝4，△AOB＝90°，△△OAB＝45°，△△DPE＝45°，△△DFE＝△DPE＝45°，△DF是△Q的直径，△△DEF＝90°，△△DEF是等腰直角三角形，△DF＝DE，即y＝x．10、如图1，在△ABC中，△ACB＝90°，△ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆△O与CB交于点D．（1）求证：AC是△O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求△O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP△AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：△BE△EF，△△BEF＝90°，△BF是圆O的直径，△OB＝OE，△△OBE＝△OEB，△BE平分△ABC，△△CBE＝△OBE，△△OEB＝△CBE，△OE△BC，△△AEO＝△C＝90°，△AC△OE，△AC是△O的切线；（2）解：△△ACB＝90°，△EC△BC，△BE平分△ABC，EH△AB，△EH＝EC，△BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，△Rt△BHE△Rt△BCE（HL），△BH＝BC＝9，△BE△EF，△△BEF＝90°＝△BHE，BF是圆O的直径，△BE＝＝＝3，△△EBH＝△FBE，△△BEH△△BFE，△＝，即＝，解得：BF＝10，△△O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，△EH△AB，△OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos△EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos△EOA＝＝，△OA＝OE＝，△AE＝＝＝，△AC＝AE+EC＝+3＝，，△AB＝OB+OA＝5+＝，△ACB＝90°，△△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，△CP＝＝＝．11、△ABC内接于△O，弦BD与AC相交于点E，连接BO，且AC△BD．（1）如图1，求证：△OBC＝△ABD；（2）如图2，作CG△AB于G，交BD于F，若△BAC＝△ABO+30°，求证：BO＝BF；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OF与AB相交于点M，与BC相交于点N，若NC：MA＝5：3，且S△BMN＝16，求线段AE的长．解：（1）延长BO交△O于点K，连接CK，则BK为△O的直径，△△BCK＝90°，△△OBC+△K＝90°，△AC△BD，△△AEB＝90°，△△ABE+△A＝90°，△，△△A＝△K△△OBC＝△ABD；（2）作OH△BC于H，则BC＝2BH，△△K+△KBC＝90°，△△BAC+△KBC＝90°，△△ABO+30°+△KBC＝90°，△△ABC＝60°△BC＝2BG，△BG＝BH，且△ABD＝△OBC，△BGF＝△BHO＝90°，△△BFG△△BOH（AAS）△BO＝BF；（3）作OH△BC于H，△△BFG△△BOH，△BF＝BO，△△MFB＝△BON，且BF＝BO，△ABD＝△OBN，△△BFM△△BON（ASA）△BM＝BN，且△ABC＝60°，△△MBN为等边三角形，△S△BMN＝BM2＝16，△BM＝BN＝8，△NC：MA＝5：3，△设NC＝5x，AM＝3x，△BC＝8+5x，BH＝＝BG，CG＝BG＝•（）△GM＝HN＝8﹣＝，△△MNB＝60°，△OH＝HN＝•（），△△OBC＝△ABD＝△ACG，△tan△OBC＝tan△ACG，△，△＝，△x＝1，△AM＝3，CN＝5，HN＝GM＝，OH＝，BH＝△OB＝＝＝7，△sin△OBH＝sin△ABD，△△AE＝＝．12、如图1，AB为△O的直径，BC为△O的切线，过点B作OC的垂线与△O的另一交点为点E，连接CE．（1）求证：CE为△O的切线；（2）如图2，过点C作BC的垂线交AE的延长线于点F，若BC＝AB，求的值．解：（1）证明：如图，连接OE，设OC与BE的交点为M△OB＝OE△OBM＝△OEM△BE△OC△△BMO＝△EMO△△BOC＝△EOC△在△OBC和△OEC中△△OBC△△OEC（SAS）△△OEC＝△OBC△BC为△O的切线△OB△BC△△OBC＝90°△△OEC＝90°△CE为△O的切线；（2）△AB为△O的直径，△△BEA＝90°△OB△BC△AF△OC△AB△BC，CF△BC△AO△CF△四边形AOCF为平行四边形△AF＝OC△BC＝AB△设BC＝AB＝2k，则OB＝OA＝k 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝k△AF＝k△△ABE+△CBE＝90°，△CBE+△BCO＝90°△△ABE＝△BCO△sin△ABE＝sin△BCO△＝sin△BCO＝＝△＝sin△ABE＝△AE＝×2k＝△EF＝AF﹣AE＝△＝．。
初中几何的分类讨论问题
初三4月21日孟老师学案一几何中分类讨论如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。
在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定）引起几何问题结果有多种可能，就需要分类讨论由于形状不确定造成的分类在三角形中分类（2012•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．（2011•广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．（2011•十堰）如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的毎个小正方形的边长均为1个单位1长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有（）A．4个B．6个C．7个D．9个（2010•佛山）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）？（2）请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC （不包括全等）的点D的个数？四边形中的分类讨论（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+（2011•安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E 为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标．．（2011•泰州）如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是平方单位．由位置不确定造成的分类（2012•鸡西）Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．（2011•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA 运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？（2012•江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．．（2012•襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=．点P到AB边的距离PE=．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA 的长．（2012江苏南京10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。
初二数学中常见的几何问题解析
初二数学中常见的几何问题解析几何是数学中的一个重要分支，涉及到平面图形、几何体以及其性质和变换等内容。
在初二数学课程中，学生将接触到许多与几何相关的问题。
本文将对初二数学中常见的几何问题进行解析，帮助学生加深对几何概念的理解和运用。
一、长度、面积和体积计算问题首先，我们来解析一些涉及长度、面积和体积计算的几何问题。
1. 长度计算问题在几何中，我们经常需要计算线段的长度。
计算线段长度的公式是：长度 = 终点坐标 - 起点坐标。
举例来说，如果有一个线段的起点坐标是(2, 4)，终点坐标是(7, 9)，那么这个线段的长度就是 7 - 2 = 5。
2. 面积计算问题解析面积计算问题时，我们可以根据不同图形采用不同的方法。
如下所示，列举了几种常见图形的面积计算方法：矩形的面积计算公式是：面积 = 长 ×宽。
假设一个矩形边长分别是3 cm和5 cm，那么这个矩形的面积就是 3 × 5 = 15 平方厘米。
三角形的面积计算公式是：面积 = 底 ×高 ÷ 2。
比如一个底边为4 cm，高为6 cm的三角形的面积是 4 × 6 ÷ 2 = 12 平方厘米。
圆的面积计算公式是：面积= π × 半径的平方。
如果一个圆的半径是2 cm，那么这个圆的面积就是 3.14 × 2 × 2 = 12.56 平方厘米（取π ≈ 3.14）。
3. 体积计算问题对于涉及体积计算的几何问题，我们也需要根据不同几何体采用不同的计算公式。
以下是几个常见图形的体积计算方法：长方体的体积计算公式是：体积 = 长 ×宽 ×高。
例如，一个长方体的长、宽、高分别是10 cm、5 cm和3 cm，则该长方体的体积为 10 ×5 × 3 = 150 立方厘米。
圆柱体的体积计算公式是：体积= π × 半径的平方 ×高。
八年级数学解答题专题训练 13含答案解析.docx
八年级数学解答题专题训练(13)1.在Rt A AEB中，^AEB = 90°,以斜边AB为边向Rt A 4EB形外作正方形ABCD,若正方形ABCD 的对角线交于点0(如图1).图2⑴求证：EO平分厶AEB；(2)猜想线段OE与防、EA之间的数量关系为______ (直接写出结果，不要写出证明过程)；(3)过点C作GF丄EB于F,过点D作DH丄E4于H, CF和DH的反向延长线交于点G(如图2), 求证：四边形EFGH为正方形.2.在边长为1的正方形网格图中，点B的坐标为(2,0),点A的坐标为(0,-3).图2(1)在图1中，请建立合适的坐标系，把线段AB绕原点旋转180。
得线段DE(其中A与D是对应点)，则四边形ABDE是______ 形，面积等于______ .(2)在图2中，仅使用无刻度的直尺，作出以AB为边的矩形ABFG,使其面积为11.(保留作图痕迹，不写做法)3.【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1, RthABC^, ZC = 90°,若AC = 12, BC = 5,点M是斜边AB 1.一动点，求线段CM的最小值.在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：当GM丄时，线段CM取得最小值.请你根据小明的思路求出这个最小值.【思维运用】(2)如图2,在RtAABC■中，Z_C = 90°, AC = 4,BC = 3,M为斜边AB 1.一动点，过M作MD 丄4C 于点D,过M作ME丄BG于点E,求线段DE的最小值.【问题拓展】(3)如图3, AB = 6, P为线段上的一个动点，分别以AP, PB为边在的同侧作菱形APCD和菱形点P, C, E在一条直线上./.DAP = 60°, M, N分别是对角线AC, BE的中点，当点P在线段上移动时，点M, N之间的距离的最小值为___________________________ .(直接写出结果，不需要写过程)图36. 如图1,在直角坐标系中，直线y = x + m 与x 轴负半轴交于点A,与y 轴正半轴交于点且4 AOB 的面积是&(1) 求m 的值；(2) 如图2,直线y = kx + 3fc(fc < 0)交直线AB 于点E,交x 轴于点C,点D 坐标是(0,-2),过 D 点作DF 丄CD 交EC 于F 点，若厶AEC = KDO,求点F 的坐标；(3) 如图3,点P 坐标是(-1,-2),若AABO 以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P 以1个单 位/秒的速度向左平移，平移时间是/秒，若点P 落在A/IBO 内部(不包含三角形的边)，求r 的 取值范围.4. 如图，AABC 是等边三角形，NADC 与关于直线AC 对称， AE 与CD垂直交BC 的延长线于点E, /.EAF = 45°,且AF 与AB 在AE 的两狈EF丄AF.(1) 依题意补全图形.(2) ①在AE 上找一点P,使点P 到点B,点C 的距离和最短； ②求证：点D 到AF, EF 的距离相等.5.解方程：—— 12昭_9,7.如图1, P为Rt A ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，^ACB = 90°, M为AB边中点.操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连结PM并延长到点E,使ME = PM,连结DE.图2⑴请你利用图2,选择RtAABC内的任意一点P按上述方法操作；(2)经历(1)之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；(3)观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？请说明理由.(4)若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为(0,0), (5,3), (4,2), 能否在平面内找到一点M,使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标.如图1, O为坐标原点，矩形OABC的顶点4(-8,0), G(0,6),将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转一8.定的角度a得到矩形OA'B'C',此时边04'、直线B'C'分别与直线BC交于点P、Q.⑴连接AP，在旋转过程中，当"40 = "04时，求点P坐标；(2)连接OQ,当a <90。
初二数学中的立体几何问题解析
初二数学中的立体几何问题解析立体几何是初中数学中的一个重要内容，它通过研究空间中的图形和体来揭示其性质和相互关系。
在初二数学学习中，我们将面临一系列关于立体几何的问题，本文将对初二数学中的立体几何问题进行解析和讨论。
一、几何体的认识与性质在初二数学中，我们会接触到一些常见的几何体，如立方体、长方体、正方体、圆锥体、球体等。
这些几何体各具特点，对于理解其性质十分重要。
下面我们来详细讨论一些常见几何体的性质：1. 立方体立方体的六个面都是正方形，八个顶点和十二条棱都相等。
根据立方体的性质，我们可以通过计算得到立方体的表面积和体积。
2. 长方体长方体的六个面分别是长方形，其中相对的面相等。
长方体的体积计算方法是底面积乘以高。
3. 正方体正方体的六个面都是正方形，它具有与立方体相同的性质，即八个顶点和十二条棱都相等。
4. 圆锥体圆锥体有一个圆形的底面和一个尖顶。
根据圆锥体的性质，我们可以计算出圆锥体的体积和表面积。
5. 球体球体是由所有与球心距离相等的点构成的图形。
球体的半径是球体的重要属性，通过半径的大小可以计算出球体的体积和表面积。
二、立体几何的应用立体几何不仅仅是理论的研究，它在实际生活中也有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计立体几何可以用于建筑设计中，通过对建筑物外形和空间布局的研究，可以实现建筑物的美观、稳定和功能性。
2. 工程测量在工程测量中，立体几何可以用于计算各种工程结构的体积和表面积，如水库、坝体、水池等。
3. 数码制作数码制作是立体几何的另一个应用领域，它可以使用计算机软件对立体模型进行建模和渲染，从而制作出逼真的三维图像和动画。
4. 日常生活立体几何在日常生活中也有着广泛的应用，比如我们要买一个盒子用来装东西，我们可以通过计算盒子的体积来确定能够装下我们的物品。
三、立体几何问题的解析方法在初二数学中，我们会遇到一些关于立体几何的问题，例如计算体积、表面积、判断相似关系等。
2021——2022冀教版初二上学期第十三章 三角形全等几何模型-“手拉手”模型(专项练习)
专题13.3 三角形全等几何模型-“手拉手”模型（专项练习）（基础篇）一、单选题∆和等1．如图所示，C是线段BD上一点，分别以BC，CD为边在BD同侧作等边ABC∆，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的边CDE对数为（）对.A．1B．2C．3D．42．如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50° ，以下四个结论：①①ADC①①ABE；①CD=BE；①∠DOB=50°；①点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题△都是等边三角形，下列结论：3．如图，点B、C、E在同一条直线上，ABC与CDE≌；①线段AE和BD所夹锐角为80°；①FG①BE．其中正确的①AE=BD；①DGC EFC是______．（填序号）三、解答题4．如图，AC BC ⊥，DC EC ⊥，AC BC =．DC EC =，AE 与BD 交于点F ． （1）求证：AE BD =；（2）求AFD ∠的度数．5．在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（点D 不与点B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图（1），若点D 在线段BC 上，BCE ∠和BAC ∠之间有怎样的数量关系？（不必说明理由）（2）若60BAC ∠≠︒，当点D 在射线BC 上移动时，如图（2），BCE ∠和BAC ∠之间有怎样的数量关系？说明理由．6．如图，①ACB 和①DCE 均为等腰三角形，①ACB=①DCE=90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，连接BE ．（1）求证：AD=BE ；（2）若①CAE=15°，AD=4，求AB 的长．7．如图，A 、B 、C 在同一直线上，且①ABD ，①BCE 都是等边三角形，AE 交BD 于点M ，CD 交BE 于点N ，MN①AC ，求证：（1）①BDN=①BAM ；（2）①BMN 是等边三角形．8．如图，若ABD △和ACE △都是等边三角形，求BOC 的度数．9．如图，在①ABC 中，AB ＝BC ，①ABC ＝120°，点D 在边AC 上，且线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，点F 是ED 与AB 的交点．（1）求证：AE ＝CD ；（2）若①DBC ＝45°，求①BFE 的度数．10．如图，ABC 中，AC BC =，DCE 中，DC EC =，且DCE ACB ∠=∠，当把两个三角形如图①放置时，有AD BE =．（不需证明）（1）当把DCE 绕点C 旋转到图①①①的情况，其他条件不变，AD 和BE 还相等吗？请在图①①中选择一种情况进行证明；（2）若图①中AD 和BE 交于点P ，连接PC ，求证：PC 平分BPD ∠．11．如图，在等边三角形ABC 中，点P 在BA 的延长线上，以AP 为边在射线BA 的右侧作等边三角形PAD ，连接CP ，BD ，求证：CP BD =．12．如图，以ABC 的边AB 、AC 向外作等边ABD △和等边ACE △，连接BE 、CD ．问：线段BE 和CD 有什么数量关系？试证明你的结论．13．如图所示，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，且B A E 、、在同一直线上，连结BD 交AC 于M ，连接CE 交AD 于N ，连结MN ．求证：（1）BD CE =；（2）ABM ACN ∆≅∆；（3）AMN ∆是等边三角形．14．如图，点C 是线段AB 上任意一点（点C 与点A ，B 不重合），分别以AC ，BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．连接MN ．证明：（1）①ACE①①DCB ；（2）①ACM①①DCN ；（3）MN①AB ．15．图1、图2中，点C为线段AB上一点，①ACM与①CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）线段AN与线段BM交于点O，求①AOM的度数；（3）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究①CEF的形状，并证明你的结论．16．如图，①1=①2，AD=AE，①B=①ACE，且B、C、D三点在一条直线上．若①B=60°，求证：CE=AC+CD．17．如图，①ABD和①BCE都为等边三角形，连接AE、CD．求证：AE＝DC．参考答案1．C【解析】本题考查的是全等三角形的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．根据等边三角形的三边相等、三个角都是60°，以及全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），进行证明．解：①EBC①①ACD，①GCE①①FCD，①BCG①①ACF．理由如下：BC=AC，EC=CD，①ACB=①ECD，①ACE是共同角①①EBC①①ACD．CD=EC，①FCD=ECG，①GEC=①CDF①①GCE①①FCD．BC=AC，①GBC=①FAC，①FCA=①GCB①①BCG①①ACF．故选C．2．D【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．【详解】①∠DAB=∠CAE①∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC①∠DAC=∠EAB①AB=AD，AC=AE①①ADC①①ABE①CD=BE，故①①正确；①①ADC①①ABE①∠ADC =∠ABE设AB与CD交于G点，①∠AGD =∠BGC①∠DOB=∠DAB=50°,故①正确；过点A作AF①CD于F点，过点A作AH①BE于H点，则AF、AH分别是①ADC与①ABE边上的高①①ADC①①ABE①点A 在∠DOE 的平分线上，①正确故选D ．【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．3．①①①【分析】利用等边三角形的性质证明BCD ACE ≌可判断①，利用BCD ACE ≌，可得,BDC AEC ∠=∠利用三角形的外角的性质可得60,AHB ∠=︒ 从而可判断①， 再结合等边三角形的性质证明DGC EFC ≌可判断①， 由DGC EFC ≌可得：CG CF =，结合60,ACD ∠=︒可得60CFG ∠=︒，从而可判断①．【详解】解：如图，记AE 与BD 的交点为H ，①ABC 与CDE △都是等边三角形，①AC=BC ，CD=CE ，①BCA=①DCE=60°①点B 、C 、E 在同一条直线上，①①ACD=60°，①①BCD=①ACE=120°在BCD 和ACE △中，BCD ACE CD CE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩①BCD ACE ≌，,BD AE ∴= 所以结论①正确；①BCD ACE ≌，①①BDC=①CEA ，①①AHB=①DBE+①BEA=①DBE+①BDC=180°-①BCD=60°， 所以①错误；在GCD 和FCE △中，GCD DCE CE CDCDB CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①GCD FCE ≌，①所以①正确；GCD FCE ≌，①CG=CF ，①ACD=60°，①①GFC=60，又①①DCE=60°，①①GFC=①DCE ，①GF①BC ，所以①正确．故答案为：①①①．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，解决本题的关键是找到判定三角形全等的条件．4．（1）见解析（2）90°【分析】（1）根据题意证明①ACE①①BCD 即可求解；（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到AFD ∠的度数．【详解】（1）①AC BC ⊥，DC EC ⊥，①①ACB=①ECD=90°①①ACB+①BCE=①ECD+①BCE即①ACE=①BCD又AC BC =．DC EC =①①ACE①①BCD①AE BD =（2）①①ACE①①BCD①①A=①B设AE 与BC 交于O 点,①①AOC=①BOF①①A+①AOC+①ACO=①B+①BOF+①BFO=180°①①BFO=①ACO=90°故AFD ∠=180°-①BFO=90°．【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．5．（1）180BCE BAC ∠+∠=︒；（2）180BCE BAC ∠+∠=︒，理由见解析【分析】（1）根据题意证明ABD ACE △≌△，根据三角形的内角和即可求解；（2）设AD 与CE 交于F 点，根据题意证明ABD ACE △≌△，根据平角的性质即可求解．【详解】（1）180BCE BAC ∠+∠=︒．理由如下：BAC DAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠．AB AC =，AD AE =，ABD ACE ∴≌，ABC ACE ∴∠=∠，①BCE BCA ACE ∠=∠+∠=BCA ABC ∠+∠①180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒①180BCE BAC ∠+∠=︒;（2）180BCE BAC ∠+∠=︒．理由如下：设AD 与CE 交于F 点．BAC DAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠．AB AC =，AD AE =，ABD ACE ∴≌，ADB AEC ∴∠=∠．AFE CFD ∠=∠，EAF ECD ∴∠=∠．BAC FAE ∠=∠，180BCE ECD ∠+∠=︒，180BCE BAC ∴∠+∠=︒．【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．6．（1）见解析；（2）8【分析】（1）直接证明≌ACD BCE ，即可得出结论；（2）由（1）可进一步推出AEB △为直角三角形，且30EAB ∠=︒，从而由2AB BE =求解即可．【详解】（1）①ACB 和①DCE 均为等腰三角形，①ACB=①DCE=90°，ADC BCE ∴∠=∠,在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，及含30角的直角三角形的性质，根据“手拉手”模型证明全等，并推导出直角三角形是解题关键．7．（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解。
八年级数学上册 第十三章 轴对称 专题(六)等腰三角形中的分类讨论问题作业课件
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5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是38°，求顶角是多少？
解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形外部．根 据三角形的一个外角(wài jiǎo)等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是 90°＋38°＝128°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°－38°＝52°.综上，等腰三角形的顶角为128°或52°.
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6．在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线与AB所在直线 相交所得的锐角为40°，求∠C的度数．
解：①当△ABC为锐角三角形时，如图1，设AC的垂直平分线交线段AB于点D，交 AC于点E，∵∠ADE＝40°，DE⊥AC，∴∠A＝90°－40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠C＝ (180°－∠A)＝65°；②当△ABC为钝角(dùnjiǎo)三角形时，如图2，设AC的垂直平分线交AC 于点E，交BA的延长线于点D，∵∠ADE＝40°，DE⊥AC，∴∠DAC＝50°，∵AB＝ AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠C＝∠DAB，∴∠C＝25°.综上可知∠C的度数为65°或 25°.
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4．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度， 等腰三角形顶角的度数是多少(duōshǎo)？ 解：设另一个角是x，表示出一个角是2x－20°. ①当x是顶角，2x－20°是底角时，x＋2(2x－20°)＝180°，解得x＝44°，所以顶角 是44°；②当x是底角，2x－20°是顶角时，2x＋(2x－20°)＝180°，解得x＝50°，所 以顶角是2×50°－20°＝80°；③当x与2x－20°都是底角时，x＝2x－20°，解得x＝ 20°，所以顶角是180°－20°×2＝140°.综述，这个等腰三角形顶角的度数是44°或80°
创界学校八年级数学上册第十三章轴对称微专题等腰三角形中的多解与画图同步精练试题
智才艺州攀枝花市创界学校微专题等腰三角形中的多解与画图【方法技巧】当等腰三角形的腰与底、顶角与底角、锐角与钝角不明时，往往需要分类讨论．一、腰与底不明时需分类讨论1．等腰三角形的两边长分别为3和5，那么其周长为__11或者13__.二、顶角和底角不明时需分类讨论2．假设等腰三角形的一个角为80°，那么顶角为__20°或者80°__.3．假设等腰三角形的一个角为110°，那么顶角为__110°__.4．假设等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，那么其底角为__45°或者72°__.三、锐角与钝角不明时需分类讨论5．△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于D，∠CAD＝50°，求∠B的度数．【解题过程】解：①当∠C为锐角时，∠B＝70°；②当∠C为钝角时，∠B＝20°.6．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，假设BF＝AC，求∠ABC的度数．(导学号：58024204)【解题过程】解：证△BDF≌△ADC，①∠ABC为锐角时，∠ABC＝45°；②∠ABC为钝角时，∠ABC＝135°.四、动点与动线引起的分类讨论7．(2021·)如图，等腰直角△BDC的顶点D在等边△ABC的内部，∠BDC＝90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，那么分割成的这两个等腰三角形的顶角分别是__120°或者150°__.(导学号：58024206)8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，求∠ABC的平分线与△ABC的一条外角平分线所夹的角的度数．(导学号：58024205)【解题过程】解：提示：过A，B，C各有一条外角平分线．解得所夹的角的度数为90°或者25°或者40°.9．(2021·外校月考改)等边△ABC的边长是4，D，F分别是直线AB，AC上一点，且BD＝CF＝2，DF交BC于E，求CE的长．(导学号：58024207)【解题过程】解：①如图1，作FG∥AB交BC于G，那么△CFG是等边三角形，CG＝2，BE＝EG＝1，∴CE＝3；②如图2，同①可得CE＝1.。
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P63--66
例1.
点D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、BC上，且DE ＝DF，试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由。
M 1.∠BED = ∠BFD
N M
N
2.∠BED = ∠BFD=900 3.∠BED +∠BFD =1800
P65-14. 如图,已知△ABC是等边三角形,求作一点P,使得
△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形,
A
B
C
1.分别过等边三角形边AB、BC做它们的垂直平分线, 两者相交于一点P1。 这点即为所求作的点P1.
2.分别以点A、B、C为圆心，以等边三角形的边长为半径作圆，各圆两两相 交于点P2，P3，P4，各圆分别与它们的垂直平分线相交于点P5，P6，P7， P8，P9，P10。
过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB， ∴∠NMC=∠B=60°，则∠PMH=30°，
∴
则
∴MH=PM·cos30°= 在Rt△PNH中， ∴△PMN的周长=PM+PN+MN=
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但
△MNC恒为等边三角形，
当PM=PN时，如图（3）
作PR⊥MN于R，则MR=NR，
∴∠PNM+∠MNC=180°，
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形，
∴MC=PM·tan30°=1，
此时，x=EP=GM=6-1-1=4，
综上所述，当x=2或4或
时，△PMN为等腰三
角形。
这点即为所求作的点P
共有10个P点： P1， P2，P3，P4， 16 已知：正方形ABCD。求作：点P，使⊿PAB, ⊿PBC, ⊿PAD,
⊿PCD都是等腰三角形。
A
D
B
C
1.连结对角线AC、BD得交点P1，P1即为所求。 2.分别以点A、B、C、D为圆心，以正方形的边长为半径作圆，各圆两两相 交于点P2，P3，P4， P5，P6，P7，P8，P9。这点即为所求作的点P
解：（1）如图（1），过点E作EG⊥BC于点G. ∵E为AB的中点，
∴
在Rt⊿EBG中，∠B=60°， ∴∠BEG=30°，
∴
即点E到BC的距离为
。
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变，
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，
∵EF∥BC，
∴EP=GM，PM=EG=
，
同理，MN=AB=4，如图（2），
类似①，
，
∴MN=2MR=3，
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3，
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2，
当MP=MN时，如图（4），
这时MC=MN=MP= ，
此时．x=EP=GM=6-1- =5- ，
当NP=NM时，如图（5），∠NPM=∠PMN=30°，
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
共有9个P点： P1， P2，P3，P4， P5，P6，P7，P8，P9。
• 如图（1）所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过 点E作EF∥BC交CD于点F，AB=4，BC=6，∠B=60°。
• （1）求点E到BC的距离；
• （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M 作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。 ①当点N在线段AD上时（如图（2）），△PMN的形状是否发生改 变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图（3）），是否存在点P，使△PMN为 等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在， 请说明理由。