高二上学期数学12月月考试卷第3套真题

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高二数学上学期第三次月考12月试题 (2)

嘉积中学2021-2021学年高二数学上学期第三次月考〔12月〕试题〔考试时间是是：120分钟满分是：150分〕欢送你参加这次测试，祝你获得好成绩！考前须知：1、把试题卷之答案写在答题卷上，并在方框内答题，答在框外不得分；2、制止考生使用计算器答题.一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题5分，满分是40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.设集合}1,3,2{2+=a A ，}1,{2-+=a a B ，}2{=⋂B A ，那么a 的值是 A ．1B ．21-或C ．0D ．2-2.x 满足不等式21)41(22-+≤x x ，那么x 的取值范围是 A ．]1,3[- B ．)1,3(- C ．),1[+∞ D ．]3,(-∞3.直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，M 为11C A 的中点，那么异面直线AM 与BC 所成角的余弦值是A ．1095 B ．35 C ．46 D ．1056π的直线l 经过双曲线422=-y x 的右焦点F ，与双曲线交于A 、B 两点，那么=AB A ．8 B ．38 C ．4 D ．345. 椭圆1422=+y x 的左右焦点分别是1F 、2F ，椭圆上一点P 使得 9021=∠PF F ，那么21PF F ∆的面积是A ．2B ．2C ．1D ．22 6.函数|sin |()ex f x x =⋅的图象大致为A ．B ．C ．D ．k 的直线与曲线342---=x x y 有公一共点，那么实数k 的取值范围是A ． ]0,3[-B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,33 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,0 D ．]3,0[ )0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，l AA ⊥1于点1A ，假设四边形CF AA 1的面积为312，那么准线l 的方程为A ．2-=xB ．22-=xC ．2-=xD ．1-=x二、多项选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分，在每一小题给出的四个选项里面，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，局部选对得3分，有选错的得0分〕9. 以下说法正确的选项是A ．”则”的否定是“若则命题“若1,11,1≠===x x x xB ．的充要条件是"065""1"2=---=x x xC ．”的逆否命题是真命题则命题“若y x y x cos cos ,≠≠D ．直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，"2"-=a 是""21l l ⊥的充分不必要条件10.方程023222=+++++a a ay ax y x 表示圆的方程，那么实数a 可以是A ．1B ．2C ．3D ．411.对非零平面向量a ，b ，c，以下说法正确的选项是A ．假设0=+b a μλ，那么0==μλ B ．假设0>⋅b a ，那么><b a, 不可能为钝角C ．假设b c a c b a )()(⋅=⋅，那么c b =D ．a ，b ，c两两之间的夹角可以是钝角 1cos 22=+θy x ，其中πθ≤≤0，那么该方程表示的图形有A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．直线三、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕13．双曲线12222=-by a x 〔0,0>>b a 〕的一条渐近线方程是x y 3=，那么该双曲线的离心率为__________14．数列}{n a 满足131=a ，n a a n n =-+1，那么=n ______时，na n获得最小值，最小值是__________15．有兄妹二人，当哥哥年龄是妹妹今年年龄时，妹妹6岁。

高二数学上学期第三次月考12月试题理word版本

2017-2018学年度第一学期第三次统考试卷高二理数（时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设x R ∈ ，则“21x -<”是“220x x +->”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.设命题：2,2n n N n ∃∈>，则为( )A.2,2n n N n ∀∈>B.2,2n n N n ∃∈≤C.2,2n n N n ∀∈≤D.2,=2n n N n ∃∈3.双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是( ) A ．169y x =±B ．169x y =± C ．43y x =±D ．43x y =±4.下列说法正确的是( )A.若且为假命题，则，均为假命题B.“2x >”是“2320x x -+>”的必要不充分条件C.若1m <，则方程220x x m -+=无实数根D.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题5.如果方程13422=-+-m y m x 表示椭圆，则的取值范围是（）A ．)4,3(且27≠m B ．),4()3,(+∞-∞ C ．),4(+∞D ．)3,(-∞6.设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；7.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( )A.3B.5C.5D.58.抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，是它的焦点，若|||,||,|CF BF AF 成等差数列，则（）A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列9.已知是抛物线214y x =的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（） A 221x y =-B ．21216x y =-C ．212x y =-D ．222x y =-10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )D.311.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若恰好将线段AB 三等分，则 ( )A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =舒中高二统考理数第1页（共4页）B12.抛物线26x by =-的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则双曲线的离心率为（）D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若抛物线x y 42=上的点到轴的距离是，则到焦点的距离为．14.过点(1,1)M 作一直线与椭圆22194x y +=相交于A 、B 两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．15.边长为2的正方形ABCD 中，点E F 、分别是AB BC 、的中点，将,,ADE EBF FCD ∆∆∆,分别沿,,DE EF FD 折起，使得A B C 、、三点重合于点，若四面体'A EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ⋅过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于,A B 两点，如果1ABF ∆恰好为等腰直角三角形，则该直线的斜率为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知0>a 且1≠a 。

北京市第三十五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

= 1中， b
=
4
，c
=
a2 + b2 =
a2 +16 ，
因为双曲线 C
的离心率为
e
=
c a
=
a2 +16 a
=
5 3
，\ a
=
3，c
=
5，
由双曲线的性质可知 PF2 ³ c - a = 2 ，由双曲线的定义可得 PF1 - PF2 = 2a = 6 ，
答案第31 页，共22 页
解得 PF2 = 4 或16 . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：在利用双曲线的定义求解问题时，需要注意以下两点：
11．
2 y = ±2x
【解析】根据题意得 a2 = 1， 2c = 2 5 ，进而根据双曲线的性质求解即可.
【详解】解：根据题意得 a2 = 1 ， 2c = 2 5 ，所以 c = 5 ， b = c2 - a2 = 2 ，
由于双曲线焦点在
x
轴上，故渐近线方程为：
y
=
±
b a
x
=
±2x
.
故答案为： 2 ； y = ±2x .
=
24 7
时，求直线
PQ
的方程；
（3）设线段 PQ 的中点在直线 x + y = 0 上，求直线 PQ 的方程.
17．已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
=1 (a
>
b
> 0) 的一个焦点为 F(-1,0)
， A1(-a,0) ，
A2(a,0) ，且
A2F = 3 ．（1）求椭圆 C 的方程；
试卷第31 页，共3Βιβλιοθήκη 页答案第41 页，共22 页

2020-2021学年人教版高二上册数学月考数学试卷(12月份)带答案

2020-2021学年高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)1. 过点P(−2, m)和Q(m, 4)的直线的斜率等于1，则m 的值是（） A.1 B.2 C.3 D.42. 向量a →=(2, 1, x)，b →=(2, y, −1)，若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为( ) A.−1 B.1C.4D.−43. 在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7=a 8+5，则S 11的值是（） A.55 B.11C.50D.604. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为ℎ，跨径为a ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ5. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于（） A.n B.n +1 C.2n −1 D.2n +16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（） A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1C.x 23−y 2=1D.x 2−y 23=17. 点P是直线x+y−3＝0上的动点，由点P向圆O:x2+y2＝4作切线，则切线长的最小值为（）A.2√2B.32√2 C.√22D.128. 已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A.e12+e22＝2B.e12+e22＝4C.1e12+1e22=2 D.1e12+1e22=4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9. 下列说法正确的是（）A.过点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1B.点(0, 2)关于直线y＝x+1的对称点是(1, 1)C.直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D.经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2＝010. 在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A.q＝1B.数列{S n+2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lg a n}是公差为2的等差数列11. 如图，设E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A.三棱锥D1−B1EF的体积为定值B.异面直线D1B1与EF所成的角为60∘C.D1B1⊥平面B1EFD.直线D1B1与平面B1EF所成的角为30∘12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1(−1, 0)和F2(1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称C.曲线C关于坐标轴对称a2D.若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 在等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}的前9项之和S9等于________．14. 已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为________．15. 数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，则数列{a n}的通项公式为________．16. 已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x−y+10＝0上．若动圆C过点(−5, 0)，求圆C的方程________，使得动圆C中满足与圆O:x2+y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知直线l1:ax+2y+1＝0，直线l2:x−y+a＝0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1 // l2，求a的值及直线l1与l2的距离．18. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)上的点M(1, m)到其焦点F的距离为2．（1）求C的方程；并求其焦点坐标；（2）过点(2, 0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．19. 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=loga n，求数列{b n}的前n项和．220. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB // CD ，AB ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，E 为BP 的中点，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1．（1）证明：EC // 平面PAD ；（2）求二面角E −AC −P 的正弦值．22. 已知O 为坐标原点，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过F 1，F 2的圆与直线x =−√2相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于M ，N 两点；(ⅰ)若直线l 的斜率等于1，求△OMN 面积的最大值；(ⅱ)若OM →⋅ON →=−1，点D 在l 上，OD ⊥l ．证明：存在定点W ，使得|DW|为定值．参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1.【答案】 A【解析】利用直线的斜率公式求解． 2. 【答案】 D 【解析】根据|a →|=√5求出x 的值，再根据a →⊥b →得出a →⋅b →=0，列方程求出y 的值，即可计算x +y 的值． 3.【答案】 A【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出． 4. 【答案】 A【解析】本题根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点(a2,−ℎ)代入抛物线方程解出p 的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p ． 5.【答案】 B【解析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式． 6.【答案】 D【解析】此题暂无解析 7.【答案】 C【解析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线x +y −3＝0的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．8.【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】B,C【解析】分类求出点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程判断A；由对称性判断B；求出直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积判断C；求出经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程判断D．10.【答案】B,C【解析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．11.【答案】A,B,D【解析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1−B1EF的体积为定值，可判断选项A；求得异面直线D1B1与EF所成的角为45∘可判断B；判断D1B1与平面B1EF不垂直可判断C；直线D1B1与平面B1EF所成的角是为30∘可判断D．12.【答案】B,C,D【解析】设动点坐标为(x, y)，根据题意可得曲线C的方程为[(x+1)2+y2]•[(x−1)2+y2]＝a4，对各个选项逐一验证，即可得出结论．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.【答案】99【解析】由等差数列的性质可求得a4，＝13，a6＝9，从而有a4+a6＝22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．14.【答案】4【解析】利用抛物线的定义，将d 1+d 2的最小值转化为焦点到直线4x −3y +16＝0的距离即可求得． 15. 【答案】a n ={2(n =1)2n −1(n ≥2)【解析】a 1＝S 1＝1+1＝2，a n ＝S n −S n−1＝(n 2+1)−[(n −1)2+1]＝2n −1．当n ＝1时，2n −1＝1≠a 1，由此能求出数列{a n }的通项公式． 16. 【答案】(x +10)2+y 2＝25或(x +5)2+(y −5)2＝25，存在正实数r ＝5√2−5 【解析】由已知先设原的标准方程，再由已知条件建立方程组即可求出圆的圆心，进而可以求解；然后再求出圆O 的圆心到直线l 的距离，利用直线与圆外切的圆只有一个可求出此时圆O 的半径，进而可以求解．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】∵ 直线l 1:ax +2y +1＝0，直线l 2:x −y +a ＝0，当直线l 1⊥l 2时，a ×1+2×(−1)＝0，解得a ＝2，∴ l 1:2x +2y +1＝0，直线l 2:x −y +2＝0，联立解得{x =−54y =34∴ a 的值为2，垂足P 的坐标为(−54, 34)；当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a ＝−2，∴ l 1:−2x +2y +1＝0，直线l 2:−2x +2y +4＝0，由平行线间的距离公式可得d =√(−2)2+22=3√24∴ a 的值为−2，直线l 1与l 2的距离为3√24【解析】（1）由垂直可得a ×1+2×(−1)＝0，解得a 值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；（2）当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a 值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案． 18. 【答案】由抛物线的方程可得其准线方程为x =−p2，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以1−(−p2)＝2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ，焦点F(1, 0)．由题意可得直线l 的方程为：y ＝x −2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y 2=4x y =x −2，整理可得：x 2−8x +4＝0，x 1+x 2＝8，x 1x 2＝4，所以弦长|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+1⋅√82−4×4=4√6，所以弦AB 的长为4√6．【解析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，起床p 的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；（2）由题意可得直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由弦长公式可得弦AB 的值． 19.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16，即q 2−2q −8=0，解得q =−2（舍）或q =4． ∴ a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1； (2)b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1，∵ b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴ 数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n }的通项公式代入b n ＝log 2a n ，得到b n ，说明数列{b n }是等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求解． 20. 【答案】第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1−15)万元，第n 年投入为800×(1−15)n−1万元．所以，n 年内的总投入为a n ＝800+800×(1−15)+...+800×(1−15)n−1=∑ n k=1800×(1−15)k−1＝4000×[1−(45)n ]；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n ＝400+400×(1+14)+...+400×(1+14)n−1=∑ n k=1400×(54)k−1＝1600×[(54)n −1]．设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 b n −a n >0，即1600×[(54)n −1]−4000×[1−(45)n ]>0．化简得5×(45)n +2×(54)n −7>0，设x ＝(45)n ，代入上式得5x 2−7x +2>0，解此不等式，得x <25，x >1（舍去）．即(45)n <25，由此得n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．【解析】（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n 年投入量，从而求出n 年内的总投入量a n ，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，归纳出第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元．从而得出n 年内的旅游业总收入b n ．（2）先设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n −a n >0，解得n 的取值范围即可． 21.【答案】证明：如图，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ∵ BE ＝PE ，PF ＝AF ，∴ EF ∥=12AB ，∵ 直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1， ∴ CD ∥=12AB ，∴ CD ∥=EF ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，∴ EC // FD ，∵ DF ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴ EC // 平面PAD ．如图，∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴ AP 、AB 、AD 两两垂直，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系 A(0, 0, 0)，P(0, 0, 1)，C(1, 1, 0)，B(2, 0, 0)，E(1, 0, 12)， AP →=(0, 0, 1)，AC →=(1, 1, 0)，AC →=(1, 1, 0)，AE →=(1, 0, 12)，设平面APC 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AP →=z =0m →⋅AC →=x +y =0，取x ＝1，得m →=(1, −1, 0)，设平面EAC 的法向量n →=(a, b, c)，则{n →⋅AC →=a +b =0n →⋅AE →=a +12c =0 ，取a ＝1，得n →=(1, −1, −2)，设二面角E −AC −P 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√2×√6=√33， sin θ=√1−(√33)2=√63． ∴ 二面角E −AC −P 的正弦值为√63．【解析】（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，推导出四边形EFDC 是平行四边形，从而EC // FD ，由此能证明EC // 平面PAD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −P 的正弦值． 22.【答案】由题意知：F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，由椭圆定义知，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=2√2，设椭圆的半焦距为c ，所以b 2+c 2＝a 2，所以a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1． (ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t试卷第11页，总11页将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2＝0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−21+2t 2，又因为k ＝1，得|AB|=√2|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3−t 23，点O 到直线l 的距离d =√1+k 2=√2，所以S △AOB =12⋅√24√3−t 23=√23×√t 2(3−t 2)≤√23×(t 2+3−t 22)=√22，等号当仅当t 2＝3−t 2时取，即当t =±√62时，△OMN 的面积取最大值为√22．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，由(ⅰ)知：x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−21+2k 2，所以y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=t 2−2k 21+2k 2，所以OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=3t 2−2−2k 21+2k 2=−1，解得t 2=13，t =±√33，直线y ＝kx ±√33过定点Z(0, √33)或(0,−√33) 所以D 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为W(0, √36)或(0, −√36)，半径等于√36，所以存在定点W(0, √36)或(0, −√36)，使得|DW|为定值．【解析】（1）利用椭圆的焦距求出c ，利用椭圆的定义求解a ，推出b ，即可得到椭圆方程．(2)(ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t 将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，利用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用基本不等式推出结果．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，求出向量的数量积，推出直线系方程得到定点，然后推出结果．。

辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1x =，12y =，12z =-C ．12x =，1y =，12z =-4．已知抛物线2:C y x =的焦点为为B ，1BF =，则BAF ∠=（A ．30°B ．45°5．美术绘图中常采用“三庭五眼鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（A ．524C ．9246．已知双曲线221(0)x y m m-=>曲线的渐近线方程为（）A ．2y x=±B ．y =±7．已知直线20kx y k -+=与直线二、多选题9．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法A ．无论λ取何值，三棱锥B ．若24λ=，则EG ⋅ C ．点1D 到平面EFG 的距离为D ．若异面直线EF 与AG 12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，圆的蒙日圆.若椭圆Γ：22x a 动点M 作Γ的两条切线，分别与A ．2a b=B ．MPQ 面积的最大值为C ．M 到Γ的左焦点的距离的最小值为D ．若动点D 在Γ上，将直线三、填空题四、解答题(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成角的余弦值．18．已知圆C 过点(02)M -，，(1)求圆C 的标准方程．(2)设直线10ax y -+=与圆C 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数19．已知圆22:22M x y x ++（1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，过点,AB AC 的斜率分别是12,k k ，试探索12k k ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∠=∠二面角P AD B --为直二面角．(1)求证：PA BD ⊥；(2)若直线PB 与平面PAD 弦值．21．已知双曲线C ：22x a -A(1)求双曲线C 的方程(2)动直线12y x t =+交双曲线22．抛物线1C ：24x y =，双曲线一点3,4M m ⎛⎫⎪⎝⎭作1C 的切线，其斜率为(1)求2C 的标准方程；。

高二数学12月(第三次)月考试题理-人教版高二全册数学试题

万全中学2016-2017学年高二第一学期第三次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题2",||0"x R x x ∀∈+≥的否定是( )0||,.2<+∈∀x x R x A 0||,.2≤+∈∀x x R x B2000.,||0C x R x x ∃∈+≥ 2000.,||0D x R x x ∃∈+< 2.下列说法中正确的是（）A ．“1a =”是直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件B ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实数根，则0m ≤”C ．命题“x R ∃∈，20x x ->”的否定“x R ∀∈，20x x ->”D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题3.某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查队食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（） A ．12500B ．1300C ．110D ．130004．若f (x )＝ln xx，0a b e <<<，则有 ( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>15.在平面区域02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机取一点，在所取的点恰好满足x y +≤ ）A ．14B ．18C ．116D ．126．函数1sin sin 33y a x x =+在x ＝π3处有极值，则a 的值为 ( )A ．－6B ．2C ．－2D ．67.设n m , 是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若αα⊥⊥n m ,，则//m n ； ②若n m n m //,,==γβγα 则βα//；③若βα//αγβ⊥m ,//,，则γ⊥m ④若⊥γα，βγ⊥，则α//β。

上海市川沙中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

上海市川沙中学2022-2023年高二上12月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.直线410x y +-=的倾斜角为．2.半径为2的球的表面积是．3.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25,则实数k 的值为．4.焦点在y 轴上,焦距为215,且过(0,4)-的椭圆方程为．5.若圆锥高为3,且母线与底面所成角为4arccos 5,则该圆锥的侧面积为． 6.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为102,则其渐近线的斜率是． 7.已知点(3,2)A 和(1,4)B -到直线10ax y ++=的距离相等,则a 的值为．8.过点(1,4)B -,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为．9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,点P 是棱1BB 上一点,若异面直线1AC 与PD 所11,则BP = ． 10.已知关于x 的方程224(3)1x k x -=++有两个不同的实数根,则实数k 的范围．11.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆C 上任意一点,N 为圆22:(3)(2)1E x y -+-=上任意一点,则1||MN MF -的最小值为．12.2222(8)(6)20x y x y +-+-=,则|34100|x y --的最大值为．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.直线310x y +-=的一个法向量可以是( )A.(3,1)-B.(3,1)C.(1,3)D.(1,3)-14.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的()条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要15.如图正方体1111ABCD A B C D -中,P 、Q 、R 、S 分别为棱1,,,AB BC BB CD 的中点,联结11,A S B D ,空间任意两点M 、N ,若线段MN 上不存在点在线段11,A S B D 上,则称M 、N 两点可视,下列选项中与点1D 可视的为（）A.点PB.点BC.点RD.点Q16.对于平面上点P 和曲线C ,任取C 上一点Q ,若线段PQ 的长度存在最小值,则称该值为点P 到曲线C 的距离,记作(,)d P C 若曲线C 足边长为6的等边三角形,则点集{(,)1}D P d P C =≤∣所表示的图形的面积为( )A.36B.363-C.36332π-D.3633π-三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,T 为1DD 上一点,已知2,4,2DT AB BC ===, 16AA =，(1)求直线TC 与平面ABCD 所成角的大小(用反三角函数表示);(2)求点1C 到平面1ATC 的距离.18.已知ABC 中,(2,1),(2,3)B C -(1)求BC 边所在直线的方程;(2)直线430kx y k -+-=过定点,设该定点为A ,求ABC 的面积.19.已知直线:1l x my =+,圆22:4C x y +=.(1)证明:直线l 与圆C 相交;(2)设l 与C 的两个交点分别为A 、B ,弦AB 的中点为M ,求点M 的轨迹方程.20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为22,21 ,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于A ,B 两点.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若A 为椭圆的上顶点,M 为AB 中点,O 为坐标原点,连接OM 并延长交椭圆Γ于N ,62ON OM =，求k 的值; (3)若原点O 到直线l 的距离为1,OA OB λ⋅=,当4556λ≤≤时,求OAB 的面积S 的范围.21.已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),A A A x y (第一象限),曲线Γ为12,ΓΓ上取满足A x x >的部分.(1)若6A x 求b 的值;(2)当25,b =Γ与x 轴交点记作点12,,F F P 是曲线Γ点,且在第一象限,且18PF = ,求12F PF ∠;(3)过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b -的直线l 与曲线Γ只有两个交点,记为M 、N ,用b 表示OM ON ⋅,并求OM ON ⋅的取值范围.。

高二数学12月(第三次)月考试题文-人教版高二全册数学试题

万全中学2016—2017学年度第一学期12月月考高二年级数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.下列命题错误的是A.若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题B.命题p ：∃0x ∈R ，使得20010x x ++<，则p ⌝：∀x ∈R ，都有210x x ++≥C.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 2.复数11z i=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 是 A.1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i -+ 3.运行如右图的程序框图，则输出s 的结果是 A.61B ．C ．D ．4.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如上表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 A. 12 B ．16 C ．18 D ．24 5.以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的渐近线方程为37±=y ，则双曲线C 的离心率为 A.35或34 B. 34 C. 774或34 D. 7746.若在区间[]20，中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于32的概率是 A.31B. 32C. 94D. 917.已知点P 是抛物线x y 82-=上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线010=-+y x 的距离是2d ，则21d d +的最小值是 A.26 B.32 C.3 D.3一年级二年级三年级女生 373 xy男生377370zx15 16 18 19 22y102981151151208.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为∧∧∧+=a x b y ，则点),(∧∧b a 与直线18100x y +=的位置关系是 A.点在直线左侧 B. 点在直线上 C. 点在直线右侧 D.无法确定9.已知定点B ,A 且4AB =，动点P 满足3PB PA =-，则PA 的最小值是 A. 5 B ．27C ．23 D ．21 10.已知函数)(x f y =对任意的)2,2(ππ-∈x 满足0>+x x f x x f sin )(cos )('（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是 A.)()(320πf f >B.)()(432ππf f < C.)()(420πf f > D.)()(432ππ-<-f f11.已知P 是双曲线2221(0)4x y b b -=>上一点，1F 、2F 是其左、右焦点，12PF F ∆的三边长成等差数列，且12120F PF ∠=︒，则双曲线的离心率等于A ．27 B ．253 C ．72 D ．753 12.已知函数()()1114()ln 1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（注：e 为自然对数的底数）A.1(0,)e B ．)1,41[e C ．1(0,)4 D ． ),41[e 二、填空题：（本大共4小题，每小题5分，满分20分） 13.5.2PM 是指大气中直径小于或等于5.2微米的颗粒物，也称为入肺颗粒物．右图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个 5.2PM 监测点统计的数据列出的茎叶图（单位：毫克/每立方米），则甲、乙两地浓度的中位数较低的是．14.已知()tan f x x =,则)34('πf 等于.___________15.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，得数列{}n a ，则1_______(2)n n a a n --=≥；对*n N ∈，_____n a =．16.已知函数qx px x y ++=23，其图像与x 轴切于非原点的一点，且该函数的极小值是4-，那么切点坐标为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿男女需要 40 30 不需要160270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818.(12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40,50)与[90,100] 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 19.(12分)设函数()ln ,R mf x x m x=+∈．（1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数3x x f x g -=)()('零点的个数.（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数）20.(12分)已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．21.(12分)已知椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->．（1）设E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点,求12EF EF +取得最小值时椭圆的方程（2）已知点(0,1)N -，斜率为(0)k k ≠的直线l 与条件（1）下的椭圆交于不同的两点,A B ，点Q满足AQ QB =，且0NQ AB ⋅=，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．22.(12分)已知函数112++-=x x a x f ln )()( （1）当41-=a 时，求函数)(x f 的极值；（2）当),[+∞∈1x 时，函数)(x f y =图像上的点都在⎩⎨⎧≤-≥01x y x 所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围.1.A2. C3. D4. B5. C6. C7. A8. C9. B 10. D 11. A 12. B13. 乙 14. 4 15. 23-n ；232nn - 16. （-3,0）17. 解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500= （2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．由于9．967>6．635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． 18. 解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.020.0250.01)1a ⨯+++++=，解得0.03a =．…………………3分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)0.85-⨯+=．由于该校高一年级共有学生640人，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人．………7分（3）成绩在[40,50)分数段内的人数为400.052⨯=人，成绩在[90,100]分数段内的人数为400.14⨯=人，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15．如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7．所以所求概率为7()15P M =．………………12分 19. 解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x，则f ′(x )＝x －ex2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee＝2，∴f (x )的极小值为2．(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)，设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23．又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．20. 解：（1）设直线AB的方程是)2py x =-，则与()022>=p px y 联立，22450x px p -+=，所以 4521px x =+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以4p =，抛物线方程为：x y 82=．（2）由4p =，22450x px p -+=，化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,2221=-=y y，从而(1,A B -．设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→y x OC =)2422,41(λλ+-+，又3238x y =，即()[]=-21222λ8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或．21. 解：由题意，知11m +>，即0m >.由22211y x x y m =+⎧⎪⎨+=⎪+⎩，得2(2)4(1)3(1)0m x m x m +++++= 又216(1)12(2)(1)4(1)(2)0m m m m m ∆=+-++=+-≥ 解得2m ≥或1m ≤-（舍去），2m ∴≥此时12EF EF +=2m =时，12EF EF +取得最小值此时椭圆的方程为2213x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx t =+.由方程组2233x y y kx t⎧+=⎨=+⎩消去y 得222(13)6330k x ktx t +++-=. 直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，222(6)4(13)(33)0kt k t ∆=-+-> ，即2213.t k <+()*设1122(,),(,),(,)Q Q A x y B x y Q x y ，则122613ktx x k +=-+由AQ QB =，Q 的为线段AB 的中点，则1223213Q x x kt x k +==-+，213Q Q ty kx t k=+=+. 0NQ AB ⋅=.∴直线AB 的斜率AB k 与直线QN 的斜率QN k 的成绩为1-，即AB k 1QNk ⋅=-,221131313tk t kt k ++⋅=--+ 化简得2132k t +=，代入()*式得22t t <，解得02t <<又0k ≠即21321k t +=>，故12t >. 综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是1(,2)2.22. 解：（1）当2=x 时，函数)(x f 取得极大值2432ln )(+=f ---4分（2）0≤a ---12分。

2021-2022年高二数学上学期第三次12月月考试题理

2021-2022年高二数学上学期第三次12月月考试题理一、选择题（每题5分共60分） 1 复数的共轭复数是（）A ．B ．C ．D ． 2若，，则是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）． A. B. C. D. 4设函数在上可导，其导函数为，如图是函数的图象，则的极值点是( )A. 极大值点，极小值点B. 极小值点，极大值点C. 极值点只有D. 极值点只有5如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为），则它的体积是（）.A. B. C. D.6若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D.7已知点是双曲线（，）右支上一点，是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率为（） A. B. C. D.8如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（）1 1侧视图正视图32A. B. C. D.9做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 610已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（） A. B. C. D.11若函数()()2122ln 2ax f x a x x =+--在区间内有极小值，则的取值范围是（） A. B. C. D.12已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D.二、填空题（每题5分，共20分）13 函数的单调减区间为___________________． 14曲线与直线所围成图形的面积 .15设曲线在点(0,1)处的切线与曲线上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 16已知函数有两个零点，则的取值范围是__________三、简答题17（本题10分）已知等差数列满足：，的前项和为（1）求及（2）令,求的前项和18（本题12分）在中，内角A,B,C 的对边分别为，已知（1）求（2）若，求的面积19（本题12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（1）求证：AC⊥平面BDEF ；（2）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值．20(本小题满分12分)若函数在x ＝1处取得极值． (1)求的值；(2)求函数的单调区间及极值．21已知椭圆上点P到左右焦点的距离之和为，离心率为（1）求椭圆方程（2）过右焦点的直线交椭圆于A,B两点①若轴上一点M满足，求直线斜率的值②为坐标原点，是否存在这样的直线，使的面积最大值是？，若存在求出直线的方程，不存在说明原因理由22已知函数．（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）设函数，在（Ⅰ）的条件下，试判断在上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．高二三模理数参考答案选择题BABCA CDCBB CC填空题13（0,1） 14 9 15 （1,1） 16 简答题所以数列的前项和= 。

2021-2022年高二上学期12月月考数学试题含解析

2021-2022年高二上学期12月月考数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“”的否定是．2．抛物线的焦点坐标为．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是．4．已知函数，则．【答案】.试题分析：两函数的差求导数.分别求导再相减.故填.正弦函数的导数是余弦函数.考点：1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为．则的概率为．6．若双曲线的离心率为2，则的值为．7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．【答案】.【解析】试题分析：如图总共有5个点，所以，每三个点一组共有10种情况.其中不能构成三角形的只有一种共线的情况.所以能够成三角形的占.本题考查的是线性规划问题.结合概率的思想.所以了解格点的个数是关键.3y=xx考点：1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则9．已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则10．若“”是 “”的必要不充分条件，则的最大值为．11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且．则的值是．12．设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号（写出所有真命题的序号）．考点：1.面面平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.13．已知可导函数的导函数满足＞，则不等式的解集是．14．已知椭圆E ：，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是．【答案】4. 【解析】试题分析：由题意得椭圆的半焦距为.i)当直线AB 与x 轴垂直的时候ABCD 为矩形面积为.ii)当直线AB 不垂直x 轴时假设直线:(3).:(3)AB CD l y k x l y k x ==.A （），B （）.所以直线AB 与直线CD 的距离d=.又有.消去y 可得：2222(41)831240x k k x k +-+-=.2212122834(31)41k k x x x x k -+==+.所以2222222834(31)4(1)()4414141k k k AB k k k -+=-⨯=+++.所以平行四边形的面积S=令.所以221383641681169(81)1081t tS t t t t +==++--++-因为时.S 的最大值为4.综上S 的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点：1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）求实数的取值组成的集合，使当时，“”为真，“”为假．其中方程有两个不相等的负根；方程无实数根．,044)]2(4[2<⨯--=∆m 即…………………10 分①② …………………13分综上所述：}.312|{<<-<=m m m M 或 …………………14分考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ；（2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．（1）若，求矩形ABCD面积；（2）若，求矩形ABCD面积的最大值．（2）设切点为，则, 因为，所以切线方程为, 即，18．（本小题满分15分）如图，在四棱柱中，已知平面，且31AB BC CA AD CD =====，． (1)求证：;(2)在棱BC 上取一点E ，使得∥平面，求的值．【答案】（1）证明参考解析；（2）【解析】试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD对称.所以可得.再由面面垂直即可得直线BD垂直于平面.从而可得.19．（本小题满分16分）已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方，．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．(1)22222211111c b e a a λλλλ-==-=-=++，∴,在上单调递减． ∴时，最小，时，最大，∴，∴．(2) 当时，，∴，∴．∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴=6．又221322622b a PF a a a a a =-=-==，∴．∴椭圆方程是 -------10分20．（本小题满分16分）已知函数(为实常数) ．（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；（2）当时，讨论方程根的个数．（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）.；（2）时，方程有2个相异的根. 或时，方程有1个根. 时，方程有0个根.（3）.（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数．设=， x x x x x x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' 当时，，函数递减，当时，，函数递增．又，，作出与直线的图像，由图像知：当时，即时，方程有2个相异的根；当或时，方程有1个根；当时，方程有0个根； -------10分（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等34900 8854 衔28564 6F94 澔32945 80B1 肱34815 87FF 蟿G26778 689A 梚32221 7DDD 緝*23653 5C65 履24992 61A0 憠37048 90B8 邸31243 7A0B 程x23206 5AA6 媦20974 51EE 凮。

上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(含答案解析)

上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．两条相交直线的夹角的取值范围是________2．直线2310x y +-=的一个法向量为__________.3．向量()1,0,1a =r ，(),1,2b x = ，且3a b ⋅= ，则向量b 在a 上的投影向量的坐标为______．4．已知直线过点()1,5P ，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_____________.5．设αβ､是两个不同的平面，直线m α⊂，则“m β ”是“αβ∥”的__________条件.6．若空间中三点()1,5,2A 、()2,4,1B 、(),3,C m n 共线，则m n +=__________.7．若直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:620l x ay ++=平行，则=a ___________．8．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_____.9．正三棱柱1111,2,ABC A B C AB AA D -==为ABC 内（包括边界）的动点，则11A DB △的面积的取值范围是__________.10．下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是________．11．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD △是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥A BMN -的体积是__________．12．已知函数()()131f x a x b =+++，若关于x 的方程()0f x =在[]6,12上有解，则22a b +的取值范围是__________.二、单选题13．在空间直角坐标系中，点()6,6,6A -关于xOz 平面对称点的坐标是（）A ．()6,6,6-B ．()6,6,6C ．()6,6,6-D ．()6,6,6--14．已知定点.()1,0P .和直线l ：()()133620x y λλλ++--+=，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（）ABC D ．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，八个顶点按红蓝间隔染色，使得每条棱上的两个顶点各不同色，则由红色顶点连成的四面体与蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积为（）A ．12B ．14C ．16D ．1816．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是122⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭；②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②三、解答题17．若直线l 经过()()21,4,2,3A x B x +两点，斜率为k ，倾斜角为α.(1)用x 分别表示直线l 的斜率k 和倾斜角α；(2)求α的取值范围.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，12AB BC CC ===.(1)求异面直线AC 和1BC 所成角的大小；(2)求点1B 到平面11A BC 的距离.19．已知ABC 的顶点()4,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.求(1)顶点C 的坐标；(2)求点B 到直线AC 的距离.20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,BCD O 是BD 的中点，AB AD =.OCD 是边长为1的等边三角形，E 在射线DA 上.(1)证明：OA CD ⊥；(2)若2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求二面角A BC D --的大小；(3)若1AO =，求直线CE 与平面BCD 所成角的正弦的最大值.21．过点()2,1P 的直线l 分别交()0y x x =≥与()0y x x =-≥于A B ､两点.(1)若直线l 的倾斜角为π4，求直线l 的一般式方程.(2)当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程；(3)已知O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，讨论这样的直线l 的条数.参考答案：1．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据两条相交直线的夹角的概念即得.【详解】两条相交直线的夹角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.2．()2,3(答案不唯一)【分析】根据直线的法向量的求法写出一个即可.【详解】解:由题知直线2310x y +-=的一个方向向量为()3,2-,故该直线的一个法向量可为:()2,3.故答案为:()2,3(答案不唯一)3．33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】向量b 在a 上的投影向量为||||a b a a a ⋅ ，利用公式求解.【详解】因为向量()1,0,1a =r ，(),1,2b x = ，且3a b ⋅= ，所以()()1,0,1,1,220x x ⋅=+=，解得2x =-，所以()2,1,2b =- ，所以333(1,0,1)()222||||a b a a a ⋅== ,则向量b 在a 上的投影向量的坐标为33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.4．60x y +-=或50x y -=【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x y a +=，把已知点坐标代入即可求出a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y kx =，把已知点的坐标代入即可求出k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【详解】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x y a +=，把(1,5)代入所设的方程得：6a =，则所求直线的方程为6x y +=即60x y +-=；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y kx =，把(1,5)代入所求的方程得：5k =，则所求直线的方程为5y x =即50x y -=．综上，所求直线的方程为：60x y +-=或50x y -=．故答案为：60x y +-=或50x y -=【点睛】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．5．必要非充分【分析】当m α⊂，m β 时，得到αβ∥或,αβ相交；当m α⊂，αβ∥时，得到m β ，得到答案.【详解】当m α⊂，m β 时，得到αβ∥或,αβ相交；当m α⊂，αβ∥时，得到m β .故“m β ”是“αβ∥”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分6．3【分析】A 、B 、C 三点共线，则AB AC ∥ ，求出AB 与AC 的坐标，用空间向量共线的坐标表示进行运算即可.【详解】∵()1,5,2A 、()2,4,1B 、(),3,C m n 三点共线，∴AB AC ∥ ，即AC AB λ= ，()1,1,1AB =-- ，()1,2,2AC m n =--- ∴()()()1,2,21,1,1,,m n λλλλ---=--=--∴122m n λλλ-=⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得230m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3m n +=.故答案为：3.7．3【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:620l x ay ++=平行，所以()()()1611261a a a ⎧-⨯=⨯⎪⎨-⨯≠⨯-⎪⎩，解得3a =，故答案为：3.8．2【分析】先求底面圆的半径，判断出母线夹角的范围，利用截面三角形面积公式求最值即可．【详解】底面圆的周长为23π，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积1S 222sin α=⨯⨯⨯，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为2π时，截面面积最大为2【点睛】本题是易错题，先求出面积的函数表达式进而判断最大值，学生容易误认为垂直截面为面积的最大值．9．⎡⎣.【分析】D 在平面111A B C 的投影为1D ，连接1DD ，过1D 作111D H A B ⊥于H ，连接HD ，证明11A B HD ⊥，11A DB S =△，计算得到范围.【详解】如图所示：D 在平面111A B C 的投影为1D ，连接1DD ，过1D 作111D H A B ⊥于H ，连接HD ，1DD ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，故111DD A B ⊥，111D H A B ⊥，111D H DD D = ，11,D H DD ⊂平面1DD H ，故11A B ⊥平面1DD H ，HD ⊂平面1DD H ，故11A B HD ⊥，111112A DB S A B HD =⨯=△当D 在AB 上时，10HD =，11A DB △的面积最小，为2；当D 和C 重合时，1HD =11A DB △；所以11A DB △的面积的取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣10．①④【分析】证明AB 所在的平面与平面MNP 平行可判断①；若下底面中心为O ，连接NO ，可得//NO AB 可判断②；由AB ⋂面PMN B =可判断③；证明//AB NP 可判断④，进而可得正确答案.【详解】在①中：如图：因为,,M N P 分别为其所在棱的中点，所以//MN AC ，//NP BC ，因为MN ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，所以//MN 面ABC ，同理可得//PN 面ABC ，因为MN NP N ⋂=，所以面//ABC 面MNP ，因为AB ⊂面ABC ，所以//AB 平面MNP ，故①成立；在②中，若下底面中心为O ，连接NO ，可得//NO AB ，NO ⋂面MNP N =，所以AB 与平面MNP 不平行，故②不成立；在③中：如图：平面PMN 即为平面PNBC ，因为AB ⋂面PNBC B =，所以AB 与面MNP 不平行，故③不成立；在④中：如图：//AC BD 且AC BD =，所以四边形ACDB 是平行四边形，可得//AB CD ，因为//NP CD ，所以//AB NP ，因为AB ⊄面MNP ，NP ⊂面MNP ，所以所以//AB 平面MNP ，故④成立．故答案为：①④.113【分析】2AB R =，BC R =，AC =，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，ABC AMB ∆∽，45AM AC =，类似有45AN AD =，24(5A BMN AMN A BCD ABCV S V S -∆-∆==，由此能求出三棱锥A BMN -的体积．【详解】2AB R = ，BC R =，AC =，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，BAM BAC ∴∠=∠，90AMB ABC ∠=∠=︒，ABC AMB ∴∆∆∽，∴AB AC AM AB =，AM R ∴，∴45AM AC =，类似有45AN AD =，∴2416()525A BMN AMN A BCD ABC V S V S -∆-∆===，∴三棱锥A BMN -的体积：231612253A BMN V R R -=⨯⨯⨯=．3R．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据()0f x =得到310xa b x +++=，故222a b +≥，根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】()()131310f x a x b xa b x =+++=+++=，转化为关于,a b 的直线方程，其中[]6,12x ∈，22a b +表示直线上一点到原点距离的平方，所以()2222222421199x x x a b x x -+++≥==+++，设4x t -=，[]6,12x ∈，则[]2,8t ∈，()()222422111259498x t y x t t t -=+=+++++++，函数()25g t t t=+在[]2,5t ∈上单调递减，在(]5,8上单调递增，故()()(){}max 298929max 2,8max ,282g t g g ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，249125458y t t=+≥++，所以22a b +的取值范围为49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13．B【分析】根据点的对称直接求解.【详解】在空间直角坐标系中，点()6,6,6A -关于xOz 平面对称点的坐标是()6,6,6.故选：B 14．C【分析】确定直线过定点()0,2A ，故点()1,0P 到直线l 的距离的最大值为d PA =，计算得到答案.【详解】直线()():133620l x y λλλ++--+=，整理得()()32360x y x y λ-+++-=，由320360x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，故直线过定点()0,2A故点()1,0P 到直线l 的距离的最大值为d PA ==故选：C 15．C【分析】画出几何体，找到多面体，根据棱锥体积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：多面体EFGHMN 即为四面体11D ACB -与四面体11A DBC -的公共部分，其中,,,,,E F G H M N 均为各个面的中心，且平面FGHM //面ABCD ，EN ⊥面FGHM ，故2EFGHMN E FGHM V V -=，又四边形FGHM 的面积与其投影在底面ABCD 所得四边形1111F G H M 的面积相等，如下所示：故四边形FGHM 的面积111122S =⨯⨯=，又点E 到平面FGHM 的距离为12，故1111223226EFGHMN E FGHM V V -==⨯⨯⨯=.故选：C.16．D【解析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴，又1PE C D ⊥ ，1AD C D D = ，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦.以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =，01a << ，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，212PQ ⎡=⎢⎣⎭，命题①正确；对于命题②，2CQ β⊥ ，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=-⎝⎭ ，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-== ，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎝⎭ ，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+= ，整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ^，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.17．(1)243k x x =-+，()2arctan 43x x α=-+或()2πarctan 43x x α=--+-(2)π3π0,π24α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】（1）计算243k x x =-+，根据0k ≥和0k <两种情况得到倾斜角.（2）2243(2)11k x x x =-+=--≥-，得到倾斜角范围.【详解】（1）22344321x x k x x +-==-+-，当1x ≤或3x ≥时，0k ≥，()2arctan 43x x α=-+；当13x <<时，0k <，()2πarctan 43x x α=--+-；（2）2243(2)11k x x x =-+=--≥-，所以π3π0,π24α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.18．(1)arccos 4【分析】（1）作辅助线找到异面直线AC 和1BC 所成角，利用余弦定理进行求解；（2）结合第一问的求解结果，利用等体积法求解点1B 到平面11A BC 的距离.【详解】（1）连接1BC ，1BA ，因为AC ∥11A C ，所以异面直线AC 和1BC 所成角即为11A C 与1BC 所成角，即11BC A ∠，因为120ABC ∠=︒，12AB BC CC ===，所以由余弦定理可得：222cos 1202AC AB BC AB BC =+-⋅∠︒=，所以11AC =，由勾股定理得：11BC A B ==所以11cosBC A ∠设异面直线AC 和1BC 所成角为θ，则θ=.（2）由（1）可知：111122sin1202A B C S =⨯⨯⨯︒= 故11111111122333B A BC A B C V S BB -=⋅=⨯= ，又11cos BC A ∠=11sin BC A ∠=111111111sin 22BC A S BC A C BC A =⨯⨯⨯∠=⨯ ，设点1B 到平面11A BC 的距离为h ，则11111111133BC A B BC A B A B C S h V V --⋅=== ，解得：5h =，点1B 到平面11A BC 的距离为.19．(1)()3,0C【分析】（1）首先设出C 点坐标，代入CM 的直线方程，再利用AC 边上的高BH ，建立斜率之积为-1的关系式，再解方程组，即可求得坐标.（2）先设B 点坐标，代入BH 所在直线方程，再利用AB 中点满足CM 所在直线方程，得到方程组，解出B 点坐标,再利用点线距离公式，即可求解.【详解】（1）解：设(),C m n ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.∴3021142m n n m --=⎧⎪-⎨⎛⎫⨯-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩，解得30m n =⎧⎨=⎩∴()3,0C （2）设(),B a b ，则220423022a b a b +-=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得10323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴102,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭2AC k =， ()4,2A ∴直线AC 的方程为260x y --=∴点B 到直线AC的距离15d ==20．(1)证明见解析(2)arctan 2【分析】（1）证明AO ⊥平面BCD 得到答案.（2）确定EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，根据角度计算1AO =，再确定AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，计算得到答案.（3）过点E 作EF BD ⊥于F ，连接FC ，确定ECF ∠为直线CE 与平面BCD 所成角，sin ECF ∠=.【详解】（1）AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，故AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO CD⊥（2）过E 作EF BD ⊥，交BD 于点F ，过F 作FG BC ⊥于点G ，连结EG，由题意得//EF AO ，又AO ⊥平面BCD ，故EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以EF BC ⊥，又,BC FG FG EF F ⊥⋂=，,FG EF Ì平面EFG ，故BC ⊥平面EFG ，又EG ⊂平面EFG ，所以BC EG ⊥，则EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，即45EGF ∠=︒，又1====CD DO OB OC ，所以120BOC ∠=︒，则30OCB OBC ∠=∠=︒，故90BCD ∠=︒，所以//FG CD ，因为23===DE DF EF AD OD AO ，则312,,233AO EF OF DF ===，所以23BF GF BD CD ==，则23GF =，23==EF GF ，321==AO EF ，过点O 作OM BC ⊥与M ，连接AM ，AO ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，故AO BC ⊥，又OM BC ⊥，OM AO O = ，,OM AO ⊂平面OMA ，故BC ⊥平面OMA ，AM ⊂平面OMA ，故BC AM ⊥，故AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，1122MO CD ==，tan 2AOAMO OM∠==，故arctan 2AMO ∠=，即二面角A BC D --的大小为arctan 2（3）如图所示：过点E 作EF BD ⊥于F ，连接FC ，则//EF AO ，又AO ⊥平面BCD ，故EF ⊥平面BCD ，ECF ∠为直线CE 与平面BCD 所成角，设()0EF a a =≥，1AO OD ==，AOD △为等腰直角三角形，故DF a =，在CFD △中，22222cos 1FC DF DC DF DC FDC a a =+-⋅⋅∠=-+，所以222221EC FC EF a a =+=-+，则sin EFECF EC∠====当2a =时，sin ECF ∠最大为721．(1)10x y --=(2)2x =(3)答案见解析【分析】（1）直接根据点斜式得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，计算交点坐标得到2631PA PB k =+-，得到最值和直线方程.（3）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算()22211k S k -=-，得到()24410S k k S --++=，()43S S ∆=-，讨论得到答案.【详解】（1）若直线l 的倾斜角为π4，则直线l 的方程为()112y x -=-，即10x y --=；（2）法一：当直线l 的斜率不存在时，3PA PB =；当直线l 的斜率存在时，设直线():12l y k x -=-，()(),11,k ∈-∞-+∞ ，()12y x y k x =⎧⎨-=-⎩得2121,11k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，()12y x y k x =-⎧⎨-=-⎩得2112,11k k B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭，PA =PB =所以()222231163331111k k PA PB k k k k ++===+>+⋅---，综上所述：·PA PB 的最小值为3，此时直线l 的斜率不存在，直线方程为2x =.法二：前面部分同法一，注意到133,,,1111k k PA PB k k k k --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭ ，且,PA PB 反向，所以2223363311k PA PB PA PB k k +=⋅==+>-- ，综上所述：·PA PB 的最小值为3，此时直线l 的斜率不存在，直线方程为2x =.（3）当直线斜率不存在时，()2,2A ，()2,2B -，142S OA OB =⋅=；当直线斜率存在时，()(),11,k ∈-∞-+∞ ，2121,11k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，2112,11k k B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭，()2221121S k OA OB k -=⋅==-，即()24410S k k S --++=，当4S =时，方程有1解，此时54k =；当4S ≠时，()()()1644143S S S S ∆=--+=-，当3S <时，Δ0<，方程无解；当3S =时，Δ0=，2k =，方程有1解；当43S >>时，0∆>，()()2441f k S k k S =--++，对称轴224S>-，且()110f =>，方程有两个大于1的解.当4S >时，0∆>，()()2441f k S k k S =--++开口向下，()110f =>，()190f -=>，方程有1个大于1的解，一个小于1-的解.综上所述：当3S <时，0条；当3S =时，1条；当3S >时，2条.。

江苏省苏州园三2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知等比数列{}n a 中，11a =，48a=−，则公比q =（）A. 2B. 4−C. 4D. 2−【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意33418,2a a q q q ===−=−. 故选：D2. 已知过(,2),(,1)A m B m m −−两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（）A. 2B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用倾斜角求出1m =，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，12tan 451m m m−−=°=−−，解得1m =，故(1,2),(1,0)A B −，则,A B 故选：C3. 直线320x my m +−=平分圆C ：22220x x y y ++−=，则m =（）A.32B. 1C. -1D. -3【答案】D 【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】22220x x y y ++−=变形为()()22112x y ++−=，故圆心为()1,1−，由题意得圆心()1,1−在320x my m +−=上，故320m m −+−=，解得3m =−.故选：D4. 设双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的虚轴长为2，焦距为）A. y =B. 2y x =±C. y x =±D. 12y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到1b =，c =a =.【详解】由题意得22b =，2c =1b =，c =故a故双曲线渐近线方程为b y x x a=±. 故选：C5. 椭圆22192x y +=中以点()21M ，为中点的弦所在直线斜率为（） A. 49−B.12C.D. −【答案】A 【解析】【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为()11A x y ，，()22B x y ，，代入椭圆得22112222192192x y x y += += ，两式相减得()()()()12121212092x x x x y y y y −+−++=，即()()()()1212121292x x x x y y y y −+−+=−，即()()1212121229x x y y y y x x +−−=+−，即12122492y y x x −×−=×−，即121249y y x x −=−−，∴弦所在的直线的斜率为49−，故选:A ．6. 已知()1,0F c −，()2,0F c 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设点P .【详解】设()00,P x y ，则()22002210x ya b a b +=>>，∴2220021x y b a=−，由212PF PF c ⋅=，∴()()20000,,c x y c x y c −−−⋅−−=，化为2222x c y c −+=，∴22220212x x b c a+−=，整理得()2222023a x c a c=−， ∵220x a ≤≤，∴()2222203a c a a c≤−≤，e ≤≤，故选：B7. 过动点(),P a b （0a ≠）作圆C：(223x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=°，则ba的取值范围是（）A.B.C. , −∞+∞D.(),−∞∪+∞【答案】D 【解析】【分析】求出PC =，确定动点(),P a b 的轨迹方程，从而结合ba表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆C：(223x y +−=因为A ，B 分别为两条切线PA ，PB 的切点，且60APB ∠=°，则30APC BPC ∠=∠=°，所以2PC AC ==，所以动点(),P a b在圆(2212x y +−=上且0a ≠，b a表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，设bk a=，则直线y kx =与圆(2212x y +−=有公共点，≤，解得k ≤k ≥，即ba的取值范围是(),−∞∪+∞，故选：D8. 已知数列{}n a 满足()2123111N 23n a a a n n na n +++++=+∈ ，设数列{}nb 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（） A. 1,4+∞B. 1,4+∞C. 3,8∞+D. 38 +∞,【答案】D 【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.【详解】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n++++=+ ，① 当2n ≥时，()2123111111231n n a a a a n n −++++−−=+− ，②①−②得，12n a n n=，故22n a n =，则()()2222121211114411n n n n n b a a n n n n +++===− ++，则()()22222211111111114223411n T n n n=−+−++−=− ++，由于()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，故()2111411nn n λ −< ++，整理得：()21144441n n n λ+>=+++，因()11441n ++随n 的增加而减小，所以当1n =时，()11441n ++最大，且38，即38λ>. 故选：D二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）为9. 下列说法正确的是（）A. 直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1 C. 过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D. 已知点()1,2P，向量()m =，过点P 作以向量m为方向向量的直线为l ，则点()3,1A 到直线l的距离为1【答案】ABD 【解析】【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A 正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B 正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C 错误；根据题意，求得直线l 的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令0x =，可得=2y −，令0y =，可得2x =，则直线20x y −−=与两坐标轴围成三角形的面积12222S =××=，所以A 正确；对于B 中，设()0,2关于直线1y x =+对称点坐标为(),m n ，则212122n mn m − =−+ =+ ，解得1,1m n ==，所以B 正确；对于C 中，直线的两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，所以C 错误；对于D中，以向量()m =为方向向量的直线l的斜率k =，则过点P 的直线l的方程为)12y x −+，即10x +−−=，则点()3,1A 到直线l的距离1d −，所以D 正确．故选：ABD ．的10. 已知椭圆221259x y +=上一点P ，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，则（）A. 若点P 的横坐标为2，则1325PF = B. 1PF 的最大值为9C. 若12F PF ∠为直角，则12PF F △的面积为9D. 若12F PF ∠为钝角，则点P的横坐标的取值范围为【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，可直接解出点P 坐标，求两点距离；对B ，1PF 最大值为a c +对C ，设1PF x =，则210PF x =-，列勾股定理等式，可求面积；对D ，所求点P 在以原点为圆心，4c =为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为5a=，半焦距为4=c ，∴()()124,0,4,0F F −对A ，2x =时，代入椭圆方程得，=，1175PF ==，A 错；对B ，1PF 的最大值为9a c +=，B 对；对C ，12F PF ∠为直角，设1PF x =，则210PF x =-，则有()222210810180x x x x +-=⇒-+=，则12PF F △的面积为()11810922x x −==，C 对；对D ，以原点为圆心，4c =为半径作圆，则12F F 为圆的直径，则点P 在圆内时，12F PF ∠为钝角，联立2222125916x y x y += +=，消y得x =，故点P的横坐标的取值范围为，D 对. 故选：BCD11. 已知数列{}n a 满足12a =，12,2,n n na n a a n ++ = 为奇数，为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（）A. 520a =B. 32nn b =×C. 12632n n T n +=−−+×D. 2261232n n S n +=−−+×【答案】ACD 【解析】【分析】分析1n a +与n a 的递推关系，根据数列{}n a 的奇数项、偶数项以及分组求和法求得2,n n T S .【详解】依题意，2132435424,28,210,220a a a a a a a a =+====+===，A 选项正确. 112432b a ==≠×，所以B 选项错误.当n 为偶数时，2111222n n n n a a a a ++++==+=+，所以()2222n n a a ++=+，而226a +=，所以1122262,622nn nn a a −−+=×=×−，所以12242662622nn nT a a a n − ++++×++×−()16122263212n n n n +−=−=−−+×−，所以C 选项正确.当n 为奇数时，()211122224n n n n n a a a a a ++++++，所以()2424n n a a ++=+，而146a =，所以11122462,624n n nn a a +−−+=×=×−，所以1213521662624n n a a a a n −−+++++×++×−()16124463212n n n n +−=−=−−+×−，所以()()11224632263261232n n n n S n n n +++=−−+×+−−+×=−−+×，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】求解形如()11n n a pa q p +=+≠的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为()1n n a p a λλ++=+的形式，再结合等比数列的知识来求得n a .求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+．已知椭圆C，点A ，B 均在椭圆C 上，直线:40l bx ay +−=，则下列描述正确的为（） A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则01b <<D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆上点到原点最大距离为a ，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去a 可判断A ，利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B ，分析可得点Q 应在蒙日圆外，解不等式从而判断C ，依据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D.【详解】由离心率c e a ==，且222a b c =+可得223a b ，所以蒙日圆方程2224x y b +=；对于A ，由于原点O 到蒙日圆上任意一点的距离为2b ，原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为a ，所以椭圆C 上的点A 与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2b −，即A 错误；对于B ，由蒙日圆定义可知：直线:40l bx ay +−=与蒙日圆2224x y b +=相切，则圆心到直线l422b b=，解得1b =；所以椭圆C 的方程为2213x y +=，即B 正确；对于C ，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为π0,2，若若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，可知点Q 应在蒙日圆外，所以此时直线l 与蒙日圆2224x y b +=422b b >，解得11b −<<，又0a b >>，所以可得01b <<，即C 正确.对于D ，易知椭圆C 的方程为2213x y +=，即2233x y +=，蒙日圆方程为224x y +=，不妨设()0,Mx y ，因为其在蒙日圆上，所以22004xy +=，设()()1122,,,A x y B x y ，又MA MB ⊥，所以可知,MA MB 与椭圆相切，此时可得直线MA 的方程为1133x x y y +=，同理直线MB 的方程为2233x x y y +=；将()00,M x y 代入,MA MB 直线方程中可得101020203333x x y y x x y x +=+= ，所以直线AB 的方程即为0033x x y y +=，联立00223333x x y y x y +=+=，消去y 整理可得()2222000036990x y x x x y +−+−=；由韦达定理可得200121222220000699,33x y x x x x x y x y −+==++, 所以()20202122y AB y +=+，原点O 到直线AB的距离为d，因此AOB 的面积()2020********AOBy S AB d y +=⋅=×=+333222==≤=；，即201y =时等号成立，因此AOBD 正确；故选：BCD的【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积最值问题时，经常利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积的表达式，再利用基本不等式或函数单调性即可求得结果.三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）13. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =_________. 【答案】55 【解析】【分析】根据下标和性质求出6a ，再根据等差数列前n 项和公式及下标和性质计算可得.【详解】在等差数列{}n a 中7825a a =+，又7862a a a =+，所以65a =，所以()111611611112115522a a a S a +×====. 故答案为：5514. 已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为_____【解析】【分析】首先求12,PF PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解．【详解】因为12||||26PF PF a +==，12||2||PF PF =，所以12||4,||2PF PF ==， 212954,||24c F F c −====，则121||||4F F PF ==，等腰12PF F △边2PF 上的高h =，所以12122PF F S =×= ，设22PF F 的内切圆半径为r ，则121211(||||||)1022PF PF F F r r ++×=××=所以r =15. 已知圆M经过((()2,,1,0,A C B −．若点()3,2P ，点Q 是圆M 上的一个动点，则MQ PQ ⋅的最小值为__________．【答案】4−【解析】【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由于圆经过(2,A，(B ，()1,0C −，所以有72072010D F D F D F ++=++=−+=，解得203D E F =− = =− ，所以圆M 的一般方程为22230x y x +−−=，即标准方程为()2214x y −+=. 则圆M 的圆心()1,0M ，半径2==r MQ ，且=MP，因为()2424 ⋅=⋅−=−⋅≥−×=−MQ PQ MQ MQ MP MQ MQ MP ，当且仅当MQ 与MP同向时，等号成立，所以MQ PQ ⋅的最小值为4−.故答案为：4−.16. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作倾斜角为30 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.【详解】依题意，由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，得22220F P F Q QP F P F Q+⋅=，即2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，如图，设2PF Q ∠的平分线2F D 与直线PQ 交于点D ，则22PF D QF D ∠=∠，2290F DP F DQ ∠=∠= ，又22DF DF =，所以22PDF QDF ≌△△2QF ．由题得()1,0F c −，()2,0F c ，设2DF h =，2QF s =，1PF t =，在12Rt DF F △中，1290F DF ∠=，1230DF F ∠=，则h c =，1DF =，由双曲线的性质可得122122QF QF PQ t s a PF PF s t a −=+−=−=−= ，解得4PQ a =，则2PDQD a ==，所以在2Rt QDF△中，s=又12t DF PD a =−=−，2s t a −=)22a a −−=，，整理得222ac =，所以cea==四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列{}n a 满足：122,4a a ==，数列{}n a n −为等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12nn S a a a =++⋅⋅⋅+．【答案】（1）12n n −+ （2）2112122n n n ++− 【解析】【分析】（1）首先求出11a −，22a −，即可求出等比数列{}n a n −的通项公式，从而求出{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】因为12a =，24a =，数列{}n a n −为等比数列，所以111a −=，222a −=2=，即{}n a n −是以1为首项，2为公比等比数列，所以12n n a n −−=，则12n n a n −=+. 【小问2详解】12n n S a a a =++⋅⋅⋅+01211222322n n −=++++++++()()01211232222n n −=+++++++++()2112112121222n n n n n n +−=+=++−−. 18. 已知圆()()22:121M x y ++−=，直线l 过原点()0,0O ．（1）若直线l 与圆M 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，当MPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．的【答案】（1）0x =或34y x =− （2）y x =−或7y x =−．【解析】【分析】（1）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线l 的方程.（2）设出直线l 的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形PQM 面积的表达式，结合二次函数的性质求得MPQ 的面积最大时直线l 的方程. 【小问1详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为y kx =，圆M 的圆心坐标()1,2-，圆心到直线的距离d由题意得：直线l 与圆M1，解得：34k =−，所以直线l 的方程为：34y x =−，综上所述，直线l 的方程为：0x =或34y x =− 【小问2详解】直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =与圆相切，不符合题意，故直线l 斜率必存在，设直线l 的方程为：y mx =，圆心到直线的距离d，弦长PQ ==，所以12PQM S PQ d =⋅⋅=△当212d =时，面积S 最大，12=，整理得2870m m ++=，解得7m =−，或1m =−，所以直线l 的方程：y x =−或7y x =−．19.如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k −−=．（1）证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；（2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；（3）若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．【答案】（1）证明见解析，定点坐标为(2,；（2170y +−=；（3）2100x −=．【解析】【分析】（1）整理得到(2))0k x y −+−=，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S =得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D 点坐标，得到直线方程；（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到12P P k =由对称性得PK k =写成直线方程. 【小问1详解】直线:(20l k x y k +−−=可化为(2))0k x y −+−=，令200x y −= −=，解得2x y = = l经过的定点坐标为(2,；【小问2详解】因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12ABAC BC ===，由题意得直线AB方程为y =，故直线l经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM ==，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =××，所以3||||94AD AC ==，设00(,)D x y ，所以34AD AC = ，即003(6,(6,4x y −−=−，所以0212x =，0y =D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =，所以直线l 170y+−=；【小问3详解】设P 关于BC 的对称点1(2,P −，关于AC 的对称点2(,)P m n ，直线AC12612x −=−，即)12y x −，直线AC的方程为12)y x −，所以(12122m =−+ =− ，解得14,m n ==2P ，由题意得12,,,P K I P四点共线，12P P k =PK k =，所以入射光线PK的直线方程为2)y x −−，即2100x +−=．20.已知两定点()()12,2,0F F ，满足条件212PF PF −=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =−与曲线E 交于A ，B （1）求曲线E 的方程；（2）求实数k 的取值范围；（3）若||AB =AB 的方程．【答案】20. ()2210x y x −=<21. ()1−22.10x y ++= 【解析】【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为()2210x y x −=<；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解k 的取值范围；（3）由AB =，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于k 的方程，解方程即可得结果. 【小问1详解】由双曲线定义可知，曲线E是以()1F，)2F为焦点的双曲线的左支，且c =由2122PF PF a −==，所以1a =，1b ，所以曲线E 的方程为()2210x y x −=<.故曲线E 的方程为：()2210x y x −=<.【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意联立方程组2211x y y kx −= =− ，消去y 得()221220k x kx −+−=，又因为直线与双曲线左支交于两点，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k −≠ ∆=+−> − +=< −− => −，解得1k <<−. 故k的取值范围为()1−. 【小问3详解】因为2AB x =−====，整理化简得422855250k k −+=，解得257k =或254k =，因为1k<<−，所以k =AB 10x y ++=. 故直线AB 10x y ++=. 的【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=−，数列{}n b 满足2log 1nn a b n =+，其中*N n ∈. （1）证明2n n a为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n+的前n 项和为n T ；（3）求使不等式1321111111n m b b b −+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥n 都成立的最大实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；(1)2nn a n =+⋅ （2）188(4)4339n n T n =+⋅− （3【解析】【分析】（1）根据数列递推式可得122nn n a a −−=，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得答案；（3）将原不等式化为()111111321n+++≥ −调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】当1n =时，11124a S a ==−，则14a =，当2n ≥时，11,22nn n n n n a S S a a −−∴=−−=，即11122n n n n a a −−−=，即2n n a 是以122a =为首项，公差为1的等差数列，故(1,22)1n n n n a n a n =++⋅∴= 【小问2详解】由（1）可得2(1)41n n a n n =+⋅+，故22434(1)4n n T n =×+×+++⋅ ，故231424344(1)4n n n T n n +=×+×++⋅++⋅ ，则231324444(1)4n n n T n +−=×++++−+⋅14(14)884(1)4(4)41433n n n n n +−=+−+⋅=−+⋅−，故188(4)4339n n T n =+⋅−；【小问3详解】22log log 21n n n a b n n ===+，则1321111111n m b b b − +⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥即()111111321n+++≥ −即11321n m −≤对任意正整数n 都成立，令()11111?·1321n f n +++−=则()111111?·11321211n n f n  ++++−++故()()11f n f n +=>，即(),N f n n +∈随着n 的增大而增大，故()()1f n f ≥m ≤，即实数m【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得111111321n m +++−≤ 对任意正整数n 都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案.22. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()4,0M 的动直线l 与C 相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴的交点为E ，求ABE 的面积的最大值．【答案】（1）22143x y += （2【解析】【分析】（1）根据题意得到22212226c a a c a b c = +==+，再解方程组即可. （2）首先设出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点,B D 关于x 轴对称、,,A E D 三点共线得到()1,0E ，从而得到ABES = ，再利用换元法求解最值即可. 【小问1详解】由题知：2221222261c a a a c b a b c c == +=⇒ =+=，所以椭圆22:143x y C += 【小问2详解】如图所示：设直线():40l x ty t =+≠，()()1122,,,A x y B x y . ()222243424360143x ty t y ty x y =+ ⇒+++= += . ()()2224434360t t ∆−+×>，解得24t >.1222434t y y t −+=+，1223634y y t =+. 因为点,B D 关于x 轴对称，所以()22,D x y −. 设()0,0E x ，因为,,A E D 三点共线，所以AE DE k k =. 即121020y y x x x x −=−−，即()()120210y x x y x x −=−−. 解得()()()12211212122101212124424y ty y ty ty y y y y x y x x y y y y y y ++++++===+++ 2364124t t×=−+=. 所以点()1,0E 为定点，3EM =.1212ABE AME BME S S S EM y y =−=⋅−=令0m =>，则()22181818163163443ABE m m S m m m m===≤++++△ 当且仅当163m m =，即m =时取等号. 所以ABE。

广东省高二上学期12月月考数学试题(解析版)

高二上学期12月月考数学试题一、单选题1的倾斜角为（） 0y +=A ．B ．C ．D ．3π6π56π23π【答案】D【分析】得，所以0y +=y =tan k α==，结合直线的倾斜角的范围即可求得.α【详解】设该直线的倾斜角为α，则，解得. tan α=[)0,απ∈23πα=故选：D.2．已知圆C ：，则（） 2286100x y x y +---=A ．圆C 的圆心坐标为 B ．圆C 的圆心坐标为 ()4,3--()3,4C ．圆CD ．圆C 的半径为35【答案】C【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，得到圆心和半径，得到答案. 【详解】因为圆C ：的标准方程为. 2286100x y x y +---=()()224335x y -+-=所以其圆心坐标为ABD 错误，C 正确. ()4,3故选：C3．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是（）13A ．B ．C ．D ．1027162720272627【答案】C【分析】分前两局甲均赢，和前两局甲赢一场，输一场，第三局赢，分别求出概率相加得到答案. 【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为，23若前两局甲均赢，则结束比赛，甲获得胜利，此时概率为，224339⨯=前两局甲赢一场，输一场，第三局甲赢，此时甲获得胜利，则概率为，212122833333327⨯⨯+⨯⨯=所以最后甲获胜的概率. 482092727P =+=故选：C4．已知圆C ：和直线l ：，若圆C 上存在A ，B 2222420x y kx y k +-++-=()25130kx k y +--=两点关于直线l 对称，则k ＝（） A ．－2 B ．C ．2D ．或21212【答案】B【分析】根据圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，得到直线l 经过圆C 的圆心求解. 【详解】解：因为圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，所以直线l 经过圆C 的圆心，圆C 的标准方程为，圆心，()()221x k y -++243k k =-+(),1C k -所以，解得，222520430k k k k ⎧-+=⎨-+>⎩12213k k k k ⎧==⎪⎨⎪⎩或或所以. 12k =故选：B5．已知圆：和圆：，则圆与圆1C 2224230x y x ay a +-+++=2C 22224410x y x ay a ++-+-=1C 2C 的公切线的条数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距大于半径之和，得到两圆外切，故公切线条数为4. 【详解】两圆的标准方程分别为和， ()()2221x y a -++=()()22122x y a ++-=圆心分别为，，半径分别为，()12,C a -()21,2C a -11r=2r =圆心距，故， 123C C ==≥1212C C r r >+所以圆与圆外离，所以圆与圆有4条公切线. 1C 2C 1C 2C 故选：D6．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且，，设，，，则下列等式成立的是（）3AP PN =23ON OM = OA a = OB b = OC c =A ．B ．111444OP a b c =++ 1133AN a b c =++C ．D ．311444AP a b c =-+- 1122OM b c =- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则逐项进行计算即可判断.【详解】因，所以选项错误； ()2211133233AN AO ON AO OM AO OB OC b c a =+=+=+⨯+=+-B 因()()3333231144443422AP AN AO ON a OM a b c ==+=-+⨯=-+⨯+ .所以选项错误；311444a b c =-++C 因为，所以选项错误. ()111222OM OB OC b c =+=+ D 因为，所以选项正确；311111444444OP OA AP a a b c a b c ⎛⎫=+=+-++=++ ⎪⎝⎭A 故选：.A 7．已知点是平行四边形所在平面外的一点，，，P ABCD ()1,1,0AB =- ()1,0,2AD =()1,1,1AP =- ，为线段的中点，为线段的中点，则（） E AC F PD A ．直线与直线．是平面的法向量 BP CD AD PAB C ． D ．//EF PB AC BD ⊥ 【答案】C【分析】选项A 利用空间向量夹角公式计算即可，B 选项利用法向量性质判断即可，选项C 画出利用三角形的中位线判断即可，选项D ，利用向量垂直的条件判断即可.【详解】因为，，()0,2,1BP AP AB =-=-()1,1,0CD BA ==- 所以，cos ,BP CD BP CD BP CD ⋅<>===故A 错误；因为平面PAB ，且，所以不是平面PAB 的法向量，AB ⊂10AD AB ⋅=≠ AD故B 错误；连接，如图所示：BD因为为线段的中点，为线段的中点， E AC F PD 又为平行四边形的对角线， BD ABCD 所以为线段的中点 E BD 所以是的中位线，EF PBD △所以，即， //EF PB //EF PB故C 正确；因为，， ()2,1,2AC AB AD =+=-()0,1,2BD AD AB =-= 所，1430AC BD ⋅=-+=≠故不成立， AC BD ⊥故D 错误. 故选：C.8．如图，已知，，从点射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最()5,0A ()0,5B ()1,0P 后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出关于的对称点和它关于y 轴的对称点,则就是所求的路程长. P AB 1P 2P 12PP【详解】易知直线AB 的方程为，设点关于直线AB 的对称点为，5y x =-+()1,0P ()1,P a b 则解得即．1,115,22b a b a ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-+⎪⎩5,4,a b =⎧⎨=⎩()15,4P 又点关于y 轴的对称点为，()1,0P ()21,0P -=故选：.A二、多选题9．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A 为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C 为“两次点数之和为8”，事件D 为“两次点数之和为7”，则（） A ．A 与B 相互独立 B ．A 与D 相互独立 C ．B 与C 为互斥事件 D ．C 与D 为互斥事件【答案】ABD【分析】先求出, 再利用公式判断选项AB ，利用概念判断选项CD 得解. (),(),(),()P A P B P C P D 【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)．共36个． ,(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)依题意，，11(),()66P A P B ==事件C 包括，共5个，，事件D 包括(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)5()36P C =，共6个，． (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)61()366P D ==对于选项A ，事件只有结果，A 与B 相互独立，所以选项A 正AB 1(3,5),()()()36P AB P A P B ==⋅确；对于选项B ，事件只有结果，A 与D 相互独立，所以选项B 正AD 1(3,4),()()()36P AD P A P D ==⋅确；对于选项C ，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件不B C ，是互斥事件，所以选项C 不正确；对于选项D ，事件是不可能事件，即C 与D 是互斥事件，所以选项D 正确． C D ，故选：ABD10．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（）221124x y m m +=--A ．m 的取值范围为 B ．若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m ∈C ．若，则该椭圆的焦距为4 D ．若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D 错误. ((故选：BC.11．已知O 为坐标原点，圆M ：，则（） ()()222cos 2sin 4x y θθ-+-=A ．圆M 与圆内切2216x y +=B ．直线与圆M 相离sin cos 0x y αα-=C ．圆M 上到直线的距离等于1的点最多有三个0x y +=D上任意一点P 作圆M 的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAMB面积100y +-=的最小值为【答案】AD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；根据点到直线的距离公式和三角函数的有界性即可判断B ；根据点到直线的距离公式计算即可判断C ；根据点到直线的距离公式求出，利用三角的MP 恒等变换化简计算即可判断D.【详解】A ：圆M 的圆心，半径， ()2cos ,2sin M θθ12r =而圆的圆心，，2216x y +=()0,0O 24r =所以，，所以圆M 与圆内切，A 正确； 2OM ==21r r -2216x y +=B ：圆心M 到直线，故圆sin cos 0x y αα-=()2sin 2αθ-≤和直线相切或相交，B错误；C ：因为圆心到直线的距离()2cos ,2sin M θθ0x y +=， π14d θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因为，圆M 的半径为2，[]0,3d ∈所以圆M上到直线的距离等于1的点最多有四个，故C 错误； 0x y +=D ：四边形PAMB 的面积2S MA PA PA =⋅==当MP 时，有最小值，100y +-=MP ，πsin 52sin 53θθθ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭因为，所以，[]3,7MP ∈min 3MP =则四边形PAMB 面积的最小值D 正确. min S ==故选：AD.12．如图，已知正方体的棱长为2，P 为空间中一点，，1111ABCD A B C D -1AP xAA y AB z AD =++则（）A ．当，时，异面直线BP 与 12x z ==0y =1C D B ．当，时，三棱锥的体积为 1x y ==[]0,1z ∈1A PBC -43C ．当，，时，有且仅有一个点P ，使得平面 12x =1y =[]0,1z ∈1A C ⊥1AB P D ．当，时，异面直线BP 和所成角的取值范围是0y =[]0,1x z =∈1C D ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解.【详解】对于，连接，.由下图可知，P 为的中点，取的中点O .连接PO ，BO ，A 11B D 1AD 1AD 11B D则，所以∠BPO 或其补角即异面直线BP 与所成的角，易得，，1//PO C D 1C D BP =PO =正确； BO =cos BPO ∠=A对于，由条件可知（），P 点的轨速为线段，因为，所以B 1BP zBC BB =+ []0,1z ∈11B C 11B C BC ∥P 到平面的面积为，所以三棱锥的体积为1A BC 1A BC A 122⨯=1P A BC -定值，故选项正确； 43B 对于，如下图，由条件可知（），所以点P 在线段EF 上（E ，F 分别为C 112BP zBC BB =+ []0,1z ∈，的中点）.因为平面，所以平面即平面，点P 则平面与直1BB 1CC 1A C ⊥11AB D 1AB P 11AB D 11AB D线EF 的交点，此交点在FE 的延长线上，故选项错误；C对于，由条件可知（），可知点P 的轨速为线段，如下图，建立空D ()1AP x AA AD =+ []0,1x ∈1AD 间直角坐标系，得，，设，，则，所()12,0,2C D =- ()2,0,2B ()0,,2P a a -[]0,2a ∈()2,,BP a a =--以，当，即时，cos <1,>BP C D ==[]20,2a t -=∈2a =0=t ，此时直线BP 和所成的角是；当，即时，1cos ,0BP C D <>= 1C D 2π2a ≠(]0,2t ∈， 1cos ,BP C D <>=令，11,2m t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭1cos ,BP C D <>=所以，即时，， 112m t ==0a =1cos ,BP C D <> 直线BP 和所成角的最小值为，故选项正确.1C D π4D故选：.ABD三、填空题13．若直线与直线平行，则a ＝______________. ()2110x a y ---=()4230x a y -+-=【答案】4【分析】根据直线与直线平行时的条件计算即可.1110A x B y C ++=2220A x B y C ++=【详解】因为直线与直线平行， ()2110x a y ---=()4230x a y -+-=所以，解得， ()()2241a a -+=--4a =经检验，当时，两直线不重合， 4a =所以. 4a =故答案为：4.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A ，B 两点，若221369x y +=1F 2F 1F ，则______________.2214AF BF +=AB =【答案】10【分析】根据椭圆的定义可得，结合题意即可求解. 22||4AF BF AB a ++=【详解】因为，，， 6a =122AF AF a +=122BF BF a +=两式相加得. 22||424AF BF AB a ++==又，所以. 2AF +214BF =10AB =故答案为：10.15．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，1223p ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p ＝78______________. 【答案】## 140.25【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，解得.()1271111238p ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14p =故答案为：.1416．已知圆，M 是直线l ：上的动点，过点M 作圆O 的两条切线，切点22:2O x y +=40x y -+=分别为A ，B ，则的最小值为______.MA MB ⋅【答案】3【分析】画出图形，设,利用数量积公式将转化为求的最小值，从2AMB θ∠=MA MB ⋅2||cos 2MA θ而分析图形可知当时, 这时最小，即最小. OM l ⊥2||cos 2MA θMA MB ⋅【详解】设, 则 ,2AMB θ∠=2||||cos 2||cos 2MA MB MA MB MA ⋅== θθ可知当时, 最小且最大, 最小, 这时最小.OM l ⊥||MA 2θcos 2θMA MB ⋅设点到直线的距离为 , 则 O l d d =因为圆的半径为 , 所以当时, , 可得 , O OM l ⊥1sin 2θ=21cos 2,||2MA = θ226d =-=所以的最小值为3.MA MB ⋅ 故答案为：3 .四、解答题17．已知△ABC 的顶点，，BC 边上的高所在直线的方程为.()5,0A -()2,2B -550++=x y (1)求直线BC 的方程；(2)若，求直线AC 的方程.在①点C 在直线上；②BC 边上的中线所在直线的方程为这两个条件中任选一0x y -=120x y +-=个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)5120x y --=(2)选①：；选②：38150x y -+=1811900x y -+=【分析】（1）由BC 边上的高所在直线的方程求出直线的斜率，再由点斜式求方程即可； BC （2）若选①联立直线方程求出点坐标，再求出斜率，点斜式得直线方程；若选②先求出C AC 中点坐标，再由中点坐标公式求出点坐标，利用点斜式求方程即可.BC C 【详解】（1）因为BC 边上的高所在直线的方程为，550++=x y 所以直线BC 的斜率.5k =直线BC 的方程为，即.()252y x +=-5120x y --=（2）若选①.由， 05120x y x y -=⎧⎨--=⎩解得，即， 33x y =⎧⎨=⎩()3,3C 所以，直线AC 的方程为， 38AC k =()3058y x -=+即.38150x y -+=若选②.由，解得，即线段BC 的中点坐标为. 1205120x y x y +-=⎧⎨--=⎩48x y =⎧⎨=⎩()4,8设点，则， ()11,C x y 11242282x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得，即， 11618x y =⎧⎨=⎩()6,18C 所以，直线AC 的方程为， 1811AC k =()180511y x -=+即.1811900x y -+=18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．C ()1,1A ()2,2B -C :50l x y ++=（1）求圆的方程；C （2）若过点的直线被圆截得的弦长为的方程．()1,1D --m C m 【答案】（1）；()()223225x y +++=（2）直线的方程为或．m =1x -3470x y ++=【分析】（1）由圆的性质可得：的垂直平分线方程与直线联立方程组求得圆心为AB :50l x y ++=，用两点之间距离公式求得，即可求出圆的标准方差. ()3,2--5=（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距，再利用圆心2d ==到直线的距离为求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况. 2【详解】（1）因为，，所以线段的中点坐标为， ()1,1A ()2,2B -AB 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即AB 21321AB k --==--AB 113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．330x y --=圆心的坐标是方程组的解．解此方程组得：， C 33050x y x y --=⎧⎨++=⎩32x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心的坐标是．C ()3,2--圆的半径长， C 5r =所以圆心为的圆的标准方程是．C ()()223225x y +++=（2）因为，所以在圆内. ()()22131225-++-+<()1,1D --又因为直线被圆截得的弦长为m C所以圆心到直线的距离C m 2d ==①当直线的斜率不存在时，，m :1m x =-到的距离为，符合题意．()3,2--=1x -3(1)2---=②当直线的斜率存在时，设，即．m ():11m y k x +=+10kx y k -+-=，22⇒22(12)4(1)k k -=+解得，直线为：，即： 34k =-m 31(1)4y x +=-+3470x y ++=综上：直线的方程为或．m =1x -3470x y ++=【点睛】本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130](1)求语文成绩在内的学生人数．[]120,130(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．(3)若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中[)80,90[)80,90随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【答案】(1)5(2)0.21 (3)． 35【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为求出，即可求出语文成绩在内的学生1a []120,130人数；（2）直接利用频率分布直方图求概率；（3）利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】（1）由频率分布直方图，知，解得，()20.020.030.04101a +++⨯=0.005a =语文成绩在内的学生人数为．[]120,1300.005101005⨯⨯=（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率． 1201120.02100.005100.2110-⨯⨯+⨯=（3）由频率分布直方图，知语文成绩在内的学生有人，其中女生2名，[)80,900.005101005⨯⨯=男生3名，分别记2名女生为A ，B ，3名男生为a ，b ，c .样本空间为，其中抽到1名男生和1名女生的情况有{,,,,,,,,,}AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc 所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为． 63105=20．如图1，在△ABC 中，D 为AC 的中点，，△ABD 沿BD 折2BC =CD cos C =起，得到如图2所示的三棱锥P -BCD ，且平面PBD ⊥平面BDC .(1)证明：面PBD ；BC ⊥(2)求二面角C -PD -B 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)根据余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可得，结合面面垂直的性1BD =BC BD ⊥质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，根据余弦定理求出AB ，进而求得点P 的坐标，得平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积的定义即可即可求解.【详解】（1）在△BCD 中，， 2BC =CD cos C =由余弦定理知，即， 2225221BD =+-⨯=1BD =所以，即.222BD BC CD +=BC BD ⊥因为平面PBD ⊥平面BDC ，平面平面，BCD PBD BD =所以BC ⊥平面PB D.（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. ()0,0,0B ()2,0,0C ()0,1,0D在△ABC 中，由余弦定理知， (222222AB =+-⨯⨯解得AB =所以，， cos ABD ∠=4ABD π∠=可求得，()0,2,2P 从而，. ()0,1,2DP = ()2,1,0DC =- 设平面PCD 的法向量为，(),,n x y z =由，得，令，可得. 00DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020y z x y +=⎧⎨-=⎩2y =()1,2,1n =- 因为BC ⊥平面PBD ，所以可取平面PBD 的一个法向量为，()1,0,0m = 所以，cos ,m n 〈〉== 即二面角C -PD -B21．已知圆.224：+=C x y (1)若圆与直线相切，求的值； C 320：-+-=l x my m m (2)已知点，过点作圆C 的切线，切点为，再过作圆的切线，()10M ，P Q P ()()221112：'-+-=C x y 切点为，若，求的最小值.R =PQ PR MP 【答案】(1)或 0m=125m =(2)【分析】（1）利用圆的圆心到与直线等于半径可得答案；C l （2）设点，求出，，利用，可得点所在直线方程， (),P x y PQ PR =PQ PR P 的最小值即为点到所求直线的距离可得答案.MP P 【详解】（1）圆的圆心为半径为， 224：+=C x y ()00C ，2因为圆与直线相切，C 320：-+-=l x my m ，解得或； 20m =125m =（2）圆的圆心为半径为， 224：+=C x y ()00C ，2的圆心为半径为()()221112：'-+-=C xy ()11，'C 设点(),P xy=，PR ==因为，所以，=PQ PR =整理得，30x y ++=因为到直线，所以直线与圆相离， ()00C ，30x y ++=1>30x y ++=C因为到直线与圆相离， ()11，'C 30x y ++=>30x y ++=C '即点在直线上，P 30x y ++=的最小值即为点到直线MP P 30x y ++=22．已知四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，，点E 在33AD AB ===棱BC 上.(1)若E 为BC 的中点，求直线SE 与平面SCD 所成角的正弦值；(2)是否存在一点E ，使得点A 到平面SDE ？若存在，求出的值；若不存在，说BE EC 明理由.【答案】(1)310(2)存在，2【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD 的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；(2)设点E 的坐标，利用空间向量法求出平面SDE 的法向量，结合向量法即可求出点A 到平面SDE 的距离，列出等式，解之即可.【详解】（1）由平面，平面得，又，SA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ,SA AB SA AD ⊥⊥AD AB ⊥以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. AB AD AS因为，，，，， ()0,0,0A (S ()1,3,0C ()0,3,0D 31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，. 31,,2SE ⎛= ⎝ ()1,0,0CD =-(0,3,SD = 设平面SCD 的法向量为， (),,n x y z = 则，则，令，得. 00CD n SD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩030x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩1y=(n = 设直线SE 与平面SCD 所成的角为θ，则， 332sin cos ,51022SE n SE n SE n θ⋅====⨯ 所以直线SE 与面SCD 所成角的正弦值为. 310（2）设，平面SDE 的法向量为， ()()1,,003E λλ≤≤()111,,m x y z = 则，则， 00SD m SEm ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11111300y x yλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令. 1z =(3m λ=- 又， (AS = 当点A 到平面SDE，AS m m⋅==解得， 2λ=所以存在点，使得点A 到平面SDE ()1,2,0E 此时. 2BE EC =。

高二数学12月月考试题03

上学期高二数学12月月考试题03一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A.11π6 B.5π3 C. 5π6D.2π32、数列{n a }的通项公式是n a ＝122+n n(n ∈*N )，那么n a 与1+n a 的大小关系是（） A.n a ＞1+n a B.n a ＜1+n a C.n a ＝ 1+n a D.不能确定 3、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A. 关于直线x ＝π4对称B. 关于点(π3，0)对称C. 关于点(π4，0)对称D. 关于直线x ＝π3对称4、)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是（） A ．1813 B ．2213 C ．223 D ．615、函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像如图所示，则它的解析式是（）6、若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +的值是（）A ．20B ．24C ．36D ．72 7、数列2211,(12),(122),,(1222)n -+++++++的前n 项和为 ( ) A.21n - B. n n n -⋅2 C. 12n n +-D. 122n n +--8、已知正项等比数列}{n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a 、，使得14a a a n m =，则n m +的值为()A.10B.6C.4D.不存在9、数列{}()()=⊥+===+10011,,1,,,,1a b a n a b a n a a a n n n 则且中（）A ．99100B ．—99100C ． 100D ．—10010、将正偶数集合{} ,6,4,2从小到大按第n 组有n 2个偶数进行分组：{}{}{} ,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2则2120位于第（）组A.33B.32C.31D.3011、数列{}n a 满足21(*)2n n n a a a n N ++=∈，且121,2a a ==，则数列{}n a 的前2011项的乘积为 ( ) A ．20092B ．20102C ．20112D ．2012212、数列{}n a 满足2*113,1()2n n n a a a a n N +==-+∈，则122009111m a a a =+++的整数部分是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题（每题5分，共20分。

2021年高二上学期第三次(12月)月考数学(理)试题含答案

5主视图侧视图2021年高二上学期第三次（12月）月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题、否命题和逆否命题中( ) A ．都真 B ．都假 C ．否命题真 D ．逆否命题真2．已知是两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题中错误．．的是( ) A ．B ．C ．D ．3．下列命题中正确的是（）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p 且q”为真命题 B.“”是“”的充分不必要条件C ．为直线，,为两个不同的平面，若,则；D ．命题“x ∈R,2x＞0”的否定是“x 0∈R,≤0”4．一个空间几何体的主视图，侧视图如下图，图中的单位为cm ，六边形是正六边形，则这个空间几何体的俯视图的面积是（） A ．cm2B ．cm 2C ．cm 2D ．20 cm 25.如图，在平行六面体中，为的交点.若，，则下列向量中与相等的向量是( ) A. B. C. D.6．方程表示的曲线为( )A.一条直线和一个圆B.一条线段与一段劣弧C.一条射线与一段劣弧D.一条射线与半圆 7．正方体-中，与平面所成角的余弦值为( ) A ．B ．C ．D ．8．圆,则经过点的切线方程为（）A. B. C. D.9.已知、是椭圆的左右焦点，是上一点，，则的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为( )A . B. C. D.11.若双曲线与直线无公共点,则离心率的取值范围( )A．B．C．D．12．若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点的坐标是；14．如图所示，是棱长为的正方体，M，N分别是下底面的棱的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝__________．15.如果直线与椭圆相交于A、B两点，直线与该椭圆相交于C、D两点，且ABCD是平行四边形，则的方程是；16.给出下列命题：①直线的倾斜角是；②已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则有；③已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则的内心始终在一条直线上.其中所有正确命题的序号为 .xx届高二年级第三次月考数学（理科）答题卡一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．13．；14．；15．；16．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2021-2022年高二数学上学期第三次联考(12月)试题理

2021-2022年高二数学上学期第三次联考（12月）试题理（时间：120分钟总分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只且仅有一项是符合题目要求的。

1．已知命题: ，则（） A ．():0 sin 0p θπθ⌝∃∈>，，B ．C ．():0 sin 0p θπθ⌝∃∈≤，，D ．():0,sin 0p θπθ⌝∃∈<， 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（） A. B. C. D.3．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等于（） A ．B ．C ．D ．4．墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．与a 的取值有关5.“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的( )A ．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 6．某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如右表所示，根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为，那么a 的值等于（）A．0.35 B．3.15 C．3.5 D．0.47. 直线：y=kx+1与双曲线2x2-y2=1有且仅有一个公共点，则直线条数为（）A．2 B．4 C．6 D．38．设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．19. 下列结论错误的．．．是（）A．命题“若，则”与命题“若则”互为逆否命题;B．命题，命题则为真;C．“若则”的逆命题为真命题;D．若为假命题，则、均为假命题．10．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝1320，那么判断框中应填入（）A．B．C．D．11.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于（）A. B.或2 C.2 D.12.设表示不超过实数的最大整数，则在坐标平面上，满足的点所形成的图形的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．某公司共有员工名，现须新设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取人，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是14．右图是某市歌手大奖赛中评委组为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为15．F是抛物线的焦点，A是抛物线E上任意一点。

山东省高二上学期12月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．在等比数列中，，则（） {}n a 3725a a =5a =A B ．5 C ．D ．5±【答案】D【分析】根据等比数列的性质求得正确选项.【详解】根据等比数列的性质得.2375525,5a a a a ===±故选：D2．设直线、的方向向量分别为，，能得到的是（）1l 2l a b12l l ⊥A ．，B ．，(1,2,2)a =- (2,4,4)b =-(2,2,1)a =- (3,2,10)b =-C ．，D ．，(1,0,0)a =(3,0,0)b =- (2,3,5)a =-(2,3,5)b = 【答案】B【分析】利用向量垂直的坐标表示，逐一验证各选项中的两个向量即可判断作答.【详解】对于A ，因，，则，A 不能；(1,2,2)a =- (2,4,4)b =- 1(2)242420a b ⋅=⨯-+⨯-⨯=-≠对于B ，因，，则，B 能； (2,2,1)a =- (3,2,10)b =- ·2322100a b =-⨯-⨯+=对于C ，因，，则，C 不能；(1,0,0)a = (3,0,0)b =- ·30a b =-≠对于D ，因，，则，则D 不能. (2,3,5)a =- (2,3,5)b = ·223355300a b =-⨯+⨯+⨯=≠故选：B3．已知为等差数列，为其前项和，若，则公差等于（） {}n a n S n 555a S ==d A ．3 B ． C ． D ．3-22-【答案】C【分析】根据等差数列的通项和前项和公式，列方程求解即可.n 【详解】设等差数列的首项为，则，联立解得{}n a 1a 151545,5105a a d S a d =+==+=13,2a d =-=，故选:C4．若数列{an }满足an ＋1＝ (n ∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝（） 434n a +A ．13 B ．14 C ．15D ．16【答案】A【分析】由已知条件可得an ＋1－an ＝，然后利用累加法可求得答案 34【详解】由an ＋1＝，得an ＋1－an ＝， 434n a +34所以a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋×16＝13， 34故选：A.5．已知数列的前项和为，且满足，，若，则{}n a n n S {}n a 122n n n a a a ++=+532a a -=22S =9a =（） A ． B ．C ．10D ．9172192【答案】B【分析】确定数列为等差数列，然后由基本量法求得公差和首项的可得结论．【详解】因为，所以数列是等差数列， 122n n n a a a ++=+{}n a 则，，5322a a d -==1d =，， 211(1)2S a a =++=112a =所以． 9117822a =+=故选：B ．6．已知等差数列的前n 项和为，若，，则（） {}n a n S 954S =8530S S -=11S =A ．77 B ．88C ．99D ．110【答案】B【分析】根据等差数列的性质，计算出等差数列的基本量，即可利用等差数列的求和公式求解. 【详解】，得，解得，954S =5954a =56a =，得，解得， 8530S S -=6787330a a a a ++==710a =故， 7522a a d -==. 11651111()11888S a a d ==⨯+=⨯=故选：B7．已知数列的前项和，则的通项公式为（）{}n a n ()2*n S n n N =∈{}n aA ．B ．C ．D ．2n a n =21n a n =-32n a n =-1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩【答案】B【解析】利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最后写出的式1n n n a S S -=-2n ≥n a 1a n a 子即可.【详解】，当时，，2n S n = ∴2n ≥221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-当时，，上式也成立， 1n =111a S ==，()*21n a n n N ∴=-∈故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即，算出之后一定要判断时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1n =的分类思想与运算求解能力，属于基础题.8．已知数列的前项和且，，则等于（）{}n a n 2)R (n S an bn a b ∈＝＋，23a ＝611a ＝7S A ．13 B ．49 C ．35 D ．63【答案】B【分析】先判断出数列{an }是等差数列.利用基本量代换求出通项公式，进而求出. 7S 【详解】由可知 2)R (n S an bn a b ∈＝＋，当时，;1n =1a a b ＝＋当时，有. 2n ≥()()221112n n n a S S an bn a n b n an a b -⎡⎤--=⎣⎦--＝-＝＋＋+经检验，对也成立. 2n a an a b =-+1n =所以数列{an }是等差数列. 依题意得，d ＝＝＝2，则an ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1. 6262a a --1134-所以a 1＝1，a 7＝13，所以S 7＝×7＝×7＝49.172a a +1132+故选：B二、多选题9．下列说法错误的有（）A ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列222,,a b c B ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列 222log ,log ,log a b c C ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列 2,2,2a b c +++D ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列 2,,22a b c 【答案】ABD【分析】根据等差数列的定义，结合特例法进行判断即可.【详解】A ：显然成等差数列，但是显然不成等差数列，因此本说法不正确； 1,2,31,4,9B ：显然成等差数列，但是这三个式子没有意义，因此本说法不正确； 0,0,0222log ,log ,log a b c C ：因为a ，b ，c 成等差数列，所以，因为， 2b a c =+2(2)(22)20b a c b a c +-+++=--=所以成等差数列，因此本说法正确；2,2,2a b c +++D ：显然成等差数列，但是，显然不成等差数列，因此本说法不正1,2,32,24,282a b c ===2,,22a b c 确；故选：ABD10．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列与数列是同一个数列 202104-，，402021-，，B ．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 {}n a (1)n a n n =+C ．在数列中,第8个数是⋅⋅⋅D ．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为21nn a =+【答案】BCD【分析】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A 错误, 使,即可得出项数,判断选项B 的正误, (1)110n n +=根据数列的规律可得到第8项可判断选项C 的正误, 根据数列的规律可得到通项公式判断选项D 的正误.【详解】对于选项A,数列与中数字的排列顺序不同, 202104-，，402021-，，不是同一个数列, 所以选项A 不正确;对于选项B,令,2110n a n n =+=解得或（舍去）, 10n =11n =-所以选项B 正确;对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,第8即所以选项C 正确;对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为, n a =21n +所以选项D 正确. 故选:BCD11．已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（） {}n a 12a =5342a a a -=q n n S A ． B ． C ． D ．2q =2n n a =102047S =12n n n a a a +++<【答案】ABD【分析】先求得公比，然后结合等比数列的通项公式、前项和公式对选项进行分析，从而确定q n 正确选项.【详解】因为，所以，即，解得或，5342a a a -=4231112a q a q a q -=220q q --=2q =1q =-又，所以，所以A 正确；0q >2q =数列的通项公式为，所以B 正确；{}n a 112n nn a a q -==，所以C 不正确；()10111021222204612S -==-=-由，得，，2n n a =112232n n nn n a a +++=+=⋅22242n n n a ++==⋅所以，所以D 正确． 12n n n a a a +++<故选:ABD12．已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（） {}n a A ．（d 为常数）B ．数列是等差数列 1n n a a d +=+{}n a -C ．数列是等差数列D ．是与的等差中项1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n a +n a 2n a +【答案】ABD【解析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；{}n a 1n n a a d +-=1n n a a d +=+B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列{}n a 1n n a a d +-=()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-是等差数列，故B 正确；{}n a -C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C 不正确； 111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D 正确. 122n n n a a a ++=+1n a +n a 2n a +故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.三、填空题13．在正方体中，点P 是底面的中心，则直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D -ABCD 1B P 1AD 为___________.【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线的夹角.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐1A1111,,A A A B A A 标系，设正方体棱长为2，则，，，， ()0,0,2A ()12,0,0D ()10,2,0B ()1,1,2P 设直线与所成角为，1B P 1AD θ则1cos cos ,B P θ=14．等比数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式_______. {}n a {}n a 【答案】 12n na =【分析】根据等比数列的性质进行求解即可.【详解】等比数列为单调递减数列，，或，，满足上述条件的 {}n a 10a ∴>01q <<10a <1q >∴一个数列的通项公式为： {}n a 12n na =故答案为： 12n na =15．已知等差数列的前项和为，若，则______． {}n a n n S 7924a a =+9S =【答案】36【分析】根据等差数列的性质求得，再求得和． 5a 9S 【详解】因为，所以，因此，． 5972a a a +=79524a a a -==()199599362a a S a +===故答案为：36．16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，，，，1，，，，1，…，其中第一项是1，接下来的两项是，1，再接下来的三项112，132314123412是，，1，依此类推，求满足如下条件的最小整数N ；该数列的前N 项和大于46，那么该款软1323件的激活码是______．【答案】83【分析】根据题意可求得该数列的前项和，再根据()1122k k k +++⋅⋅⋅+=()21234k k k k S +⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+=，求得，即可求得答案. 23464k k+>k 【详解】解：该数列的前项和为 ()1122k k k +++⋅⋅⋅+=()121121112k k S k k +⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11121312222k++++=++++ ， ()241223k k k k k ++=+=要使，当时，，则，23464k k +>12k =23454k k+=13k ≥又， 12345151131313131313++++=>所以对应满足条件的最小整数． 12135832N ⨯=+=故答案为：83.四、解答题17．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列． n S {}n a n 25a 33a 41S -(1)求的通项公式； {}n a (2)若，求数列的前项和． 11n n n n a b S S ++={}n b n n T 【答案】(1) 21n a n =-(2)()2221n n nT n +=+【分析】（1）通过题目所给条件列出关于的两个方程，解出，即可写出数列的通项1,a d 1,a d {}n a 公式（2）先写出数列的通项公式，再根据通项公式的特征进行裂项相消求和 {}n b 【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 因为，，既成等差数列，又成等比数列， 25a 33a 41S -所以，，均相等且不为0，25a 33a 41S -所以即 23345331a a a S =⎧⎨=-⎩1111553(2)3(2)461a d a d a d a d +=+⎧⎨+=+-⎩解之得，，满足条件． 11a =2d =故．()12121n a n n =+-=-（2）由（1）得，，121n a n +=+()21212n n n S n +-==所以．()()122221211111n n n n a n b S S n n n n +++===-++故 ()()()22222111111211449111n n n T n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦18．在等差数列中：{}n a (1)已知，，求和； 610a =55S =8a 10S (2)已知，，求和. 14a =8172S =8a d 【答案】(1)， 816a =1085S =(2)， 839a =5d =【分析】（1）利用等差数列通项公式与求和公式列出方程组，解出首项和公差，进而求解出和8a ；（2）先用等差数列求和公式和首先的值，求出，再利用通项公式求公差10S 8a d 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为{}n a 1a d 则 51615455,2510,S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩解得，.15a =-3d =∴， 862102316a a d =+=+⨯=()10110910105593852S a d ⨯=+=⨯-+⨯⨯=（2）由已知得 ()()188888417222a a a S ++===解得，839a =又∵， ()848139a d =+-=∴.5d =∴，.839a =5d =19．在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面111ABCA B C -ABC A ,AB BC AC ==11ACC A ⊥底面，.ABC 112A B AA ==(1)证明：；1A B AC ⊥(2)求二面角的正弦值. 11A BC C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由线面垂直判定定理，性质定理解决即可；（2）根据空间向量法计算出二面角的余弦值，再求出二面角的正弦值即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示： AC O 1,OA OB∵是等腰直角三角形， ,AB BC AC ABC ==△∴，且，OC OB ==OB AC ⊥∵平面底面，平面底面平面， 11ACC A ⊥ABC 11ACC A ,ABC AC OB =⊂ABC ∴平面， OB ⊥11ACC A ∵平面， 1A O ⊂11ACC A ∴， 1A O BO ⊥∵， 112A B AA ==∴，11AO ===∴，（符合勾股定理），22211A O AO AA +=∴，1A O AC ⊥∵平面，11,,AO OB O AO OB =⊂ 1A OB ∴平面，AC ⊥1A OB ∵平面，1A B ⊂1A OB ∴.1A B AC ⊥（2）由（1）知，可以建立分别以为轴的空间直角坐标系，1,,OB OC OA ,,x yz则，1(0,(0,0,1)B C A A 又因为斜三棱柱中，，111ABC A B C -11//AC AC 所以，1C 所以，11((BC BA CC === 设平面的法向量，1A BC (,,)n x y z = 则，令，则1.0.0n BC n BA z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩1x=1,y z ==∴平面的法向量，1A BC n = 设平面的法向量，1BCC (,,)m a b c = 则，令，则1·0·0m BC m CC c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩ 1a =1,b c ==∴平面的法向量，1BCC (1,1,m = 设二面角的平面角为，11A BC C --θ则|cos ,n m 所以sin θ==故二面角. 11A BC C --20．如图1，在中，，，，是的中点，在上，ABC A 90C ∠=︒BC =3AC =E AB D AC .沿着将折起，得到几何体，如图2DE AB ⊥DE ADE V A BCDE -(1)证明：平面平面；ABE ⊥BCDE (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.A DEB --60︒AD ABC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据图1可知折叠后，，由此可证平面，再根据面面垂DE AE ⊥DE BE ⊥DE ⊥ABE 直的判定定理，即可证明结果；（2）由题可知是二面角的平面角，易证是等边三角形，连接，根据图AEB ∠A DE B --ABE A CE 1中的几何关系和面面垂直的性质定理可证平面，再以为原点，，，为AO ⊥BCDE O OB OC OA ，，轴建系，利用空间向量法即可求出线与平面所成角. x y z AD ABC 【详解】（1）证明：因为在图1中，沿着将折起， DE AB ⊥DE ADE V 所以在图2中有，，DE AE ⊥DE BE ⊥又，AE BE E =I 所以平面，DE ⊥ABE 又因为平面，DE ⊂BCDE 所以平面平面；ABE ⊥BCDE （2）解：由（1）知，，，DE AE ⊥DE BE ⊥所以是二面角的平面角，AEB ∠A DE B --所以，60AEB ∠=︒又因为，AE BE =所以是等边三角形，ABE A 连接，CE 在图1中，因为，，90C ∠=︒BC =3AC =所以，60EBC ∠=︒AB =因为是的中点，E AB 所以BE BC ==所以是等边三角形.BCE A 取的中点，连接，，BE O AO CO 则，，AO BE ⊥CO BE ⊥因为平面平面，平面平面， ABE ⊥BCDE ABE ⋂BCDE BE =所以平面，AO ⊥BCDE 所以，，两两垂直，OB OC OA 以为原点，，，为，，轴建系，如图所示.O OBOC OA x y z，，， 30,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ⎫⎪⎪⎭30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，， 32AB ⎫=-⎪⎪⎭ 330,,22AC ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 32AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为， ABC (),,n x y z =则即 0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩30,2330.22z y z -=⎪-=⎪⎩取，得平面的一个法向量为，1z =ABC )n = 所以. cos ,n AD AD n n AD⋅=== 设直线与平面所成角为，则. AD ABCθsin θ=21．在等比数列中，已知，， {}n a 320a =6160a =（1）求；5a （2）求.8S 【答案】（1）；（2）.801275【解析】（1）由得公比，进而由即可得解3638aq a ==253a a q =（2）先求出首项，再利用求和公式求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，{}n a q 3638aq a ==2q =所以；25320480a a q ==⨯=（2）由（1）可得， 3125a a q==所以. 818(1)5(1256)127511a q S q -⨯-===--22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 4PA AD ==2AB =，是中点.M PD（1）求直线与平面的夹角余弦值；AD ACM （2）求点到平面的距离.P ACM【答案】（12【分析】由于底面是矩形，平面，所以可得两两垂直，所以如图建立ABCD PA ⊥ABCD ,,AB AD AP 空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【详解】因为平面，平面，平面， PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD AD ⊂ABCD 所以,,PA AB PA AD ⊥⊥因为四边形为矩形，所以，ABCD AB AD ⊥所以两两垂直，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空,,AB AD AP A ,,AB AD AP ,,x y z 间直角坐标系，如图所以示，因为，，是中点，4PA AD ==2AB =M PD 所以，,(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0),(0,0,4)A B C D P (0,2,2)M 所以，(2,4,0),(0,2,2)AC AM == 设平面的法向量为，则ACM (,,)m x y z = ，令，则， 240220m AC x y m AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1z =(2,1,1)m =- （1），设直线与平面的夹角为，(0,4,0)AD = AD ACM α则sin α因为 [0,]2πα∈所以， cos α===（2）因为，面的法向量为，(0,0,4)AP = ACM (2,1,1)m =-所以点到平面的距离为P ACM d =。

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高二上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1. 数列2，6，12，20,,的第6项是（）
A . 42
B . 56
C . 90
D . 72
2. 设，则“ ”是“ ”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是
A . 6
B . 4
C . 8
D . 12
4. 如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+
（- ）等于（）
A .
B .
C .
D .
5. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（）
A .
B .
C .
D .
6. 若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是（）
A . -1
B . 1
C . 10
D . 12
7. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）
A . （￢p）∨（￢q）
B . p∨（￢q）
C . （￢p）∧（￢q）
D . p∨q
8. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（）
A .
B .
C .
D . 或
9. 方程（3x-y+1）（y- ）=0表示的曲线为（）
A . 一条线段和半个圆
B . 一条线段和一个圆
C . 一条线段和半个椭圆
D . 两条线段
10. 已知，，，且，则的最大值为（）
A . 3
B .
C . 18
D . 9
11. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为
，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为
A .
B .
C .
D .
12. 已知数列是递增的等差数列，且，是函数的两个零点．设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒
成立，则实数的取值范围为
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13. 给出下列命题：
①命题“若，则”的否命题为“若，则
”；
②“ ”是“ ”的必要不充分条件；
③ 命题“，使得”的否定是：“ ，均有”；
④命题“若，则”的逆否命题为真命题
其中所有正确命题的序号是________.
14. 在平面直角坐标系中，若双曲线
的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
15. 已知函数，若对于任意的都有
，则实数的取值范围为________.
16. 设，，，则
的最小值为________.
三、解答题
17. 在锐角ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求ΔABC的面积．
18. 已知数列的前项和为，且
.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和 .
19. 设函数 .
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
20. 在直角坐标系中，点到两点，
的距离之和为4，设点的轨迹为，直线
与轨迹交于两点.
（1）求出轨迹的方程；
（2）若，求弦长的值
21. 己知二次函数（、、
均为实常数，）的最小值是0，函数的零点是
和，函数满足
，其中，为常数.
（1）已知实数、满足、，且，试比较与的大小关系，并说明理由；
（2）求证：．。