几何光学

第一章几何光学的近轴理论

§ 几何光学的基本概念

一．几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的理论。

二．几何光学中光的物理模型

光线：任意一点可以向任一方向发出直线，称为光线。光的直线传播、反射和折射都可以用直线段及其方向

的改变表示。

对于光线，是无法从物理上定义其速度的。

三．几何光学的实验定律

1.光的直线传播定律

在均匀媒质中，光沿直线传播。

2.光的反射定律

光线1入射到平面上的O点，反射光为1'。

O点处的法线为，由1和构成的平面为入射面。则反射光线1'在入射面内。1和1'与法线的

夹角分别为和，则=。

3.光的折射定律

为两种媒质的分界面。光线1由介质1入射到介质2中，发生折射，沿2方向传播。入射角和折射

角分别为和。则折射光2在入射面内,且有,和分别为两种媒质的折射率。

此为Snell定律（1621年）

4.光路可逆原理

在反射和入射定律中，光线如果沿反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射

光的方向。即光路是可逆的。

如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q'点成像，则Q'点发出的光线经同一系统后必然会在Q点成

像。即物像之间是共轭的。

四．Fermat 原理

关于光的传播，可用费马原理概括。

1．光程：折射率×光所经过的路程，即n S，n：折射率，或光学常数；S：沿光的路径的距离。

2．费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是光程平稳的路径。(1679年）

平稳：极值（极大、极小）或恒定值。

在数学上，用变分表示为

原理，不是建立在实验基础上的定律，也不是从数学上导出的定理，而是一个最基本的假设，

是一切理论的出发点。一切定理和定律都建立在它的基础之上，即原理是一切理论体系的出发点。

Fermat 原理不是定理，也不是定律，它是最基本的假设。

3．由Fermat原理导出几何光学的实验定律

（1）光的直线传播定律

在均匀媒质中，两点间光程最短的路径是直线。

（2）光的反射定律

Q，P两点在反射面的同一侧。

P'是P点关于面的对称点。P，Q，O'三点确定平面。直线QP'与反射面交于O点。

则易知QO+OP为光程最短的路径。

（3）光的折射定律

Q、P分别在介质1和介质2中，分界面为。

从Q、P两点分别向面做垂线,垂足为Q'和P'，则平行线QQ'和PP'可以确定一个平面。

在上，O'为两平面交线Q'P'外任一点，从O'向Q'P'做垂线，垂足为O。则由Q到P的路径中，

过O'点的总比过O点的要大。即实际路径一定在平面中。

光程

取微商，

即得折射定律。

4．物像之间的等光程性

由Fermat原理，物点Q与像点Q'之间的光程总是平稳的，即不管光线经何路径，

凡是Q通过同样的光学系统到达Q'的光线，都是等光程的。

五．几何光学定律成立的条件

1．光学系统的尺度远大于光波的波长。

2．介质是均匀和各向同性的。

3．光强不是很大。

§ 近轴光在单球面上的成像

一.物与像的虚实性

1.同心光束

从同一点发出的或汇聚到同一点的光线，称为同心光束。

2.光具组：若干反射面或折射面组成的光学系统。

3.物方、物空间、象方

理想光具组：使同心光束保持同心性的光具组

4.实物与虚物，实像与虚像

发出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。

同心光束汇聚在像方形成的点,为实像点；像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点,为虚像点。

二．近轴光在单球面上的成像

1.轴上物点成像

在和中，有折射定律和以下几何关系

（1）

正弦定理（2）

（3）

余弦定理（4）

（5）由（1）（2）（3）可得

（6）（4）（5）分别化为

（7）

（8）

由（6）（7）（8）式，可得

(9)

即=

（10）

由(10)式可见,同一物点,光线方向不同时,即不同时,折射后的光线与主光轴的交点是不同的。

即同心光束经球面折射后,失去同心性。

欲使折射光线保持同心性,必须满足近轴（傍轴）条件,即很

小,0,。此时(10)式左端

为0，有，化为

，为折射球面的光焦度。

平行光入射 ,,得，像方焦距，像点Q'所在位置为像方焦点。

折射光为平行光，，得，物方焦距，物点Q所在位置为物方焦点。

上式亦可写为，为Gauss公式。

2．轴外物点成像

物点Q1在主光轴之外。连接Q1和球面中心C，则Q1C也可以看作是球面一条与主光轴完全相同

的光轴。Q1的像Q1'在Q1C的连线上。相当于主光轴绕C点旋转一个角度，同时物点和像点旋转。

圆弧的像为圆弧。

即圆弧和圆弧相互共轭。过Q点作垂直于主光轴的直线QP，用上述方法可得到PQ的像

为曲线P'Q'。在满足近轴条件时，圆弧和圆弧可作为直线，即圆弧和垂直于主光轴的

直线QP重合，同时圆弧曲线P'Q'重合，都是垂直于主光轴的直线，且相互共轭。

像的横向放大率为如果物距为无限远，像的位置在像方焦点处。

或者说，平行于PP' 的入射光线，将汇聚于光轴PCP'的像方焦点上。绕C 旋转时，其像点的轨迹亦

绕C旋转成为圆弧。近轴条件下，圆弧为过像方焦点F'的直线，该直线所在的位置即位像方焦平面。

同理，过物方焦点F的平面为物方焦平面。

3．符号规定

假设光线自左向右入射，物点在球面顶点左侧，像点在球面顶点右侧。线段和角度的符号规定

如下:

（1）物点在顶点左侧，物距s>0；物点在球面右侧，物距s<0。

（2）对于折射球面，像点在顶点右侧，像距s'>0；像点在顶点左侧，像距s'<0。对于反射球面，

像点在顶点右侧，像距s'<0；像点在顶点左侧，像距s'>0。

（3）线段在主光轴之上，y>0；线段在主光轴之下，y<0。

（4）球面曲率中心在顶点右侧，其曲率半径r>0；球面曲率中心在顶点左侧，r<0。

（5）物方焦点在顶点左侧，物方焦距f>0；像方焦点在顶点右侧，像方焦距f'>0。

（6）角度自主光轴或球面法线算起，逆时针方向为正，顺时针方向为负。

则前面推导的折射面的物像公式如下

，光焦度