函数的性质与带有绝对值的函数(教师)

函数的性质与带有绝对值的函数一、复习要点基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法.二、基础训练1．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3x ，则f (x ) ＝ ．（2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)=0，则f (x )＜0的x 的取值范围是 ．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3x ，x ＜00， x ＝0 1＋3x ， x ＞0；（2）(－2，2).2.已知函数()log 1(01)a f x x a a =+>≠且，若当(0,1)x ∈时恒有()0f x <,则函数23()log ()2a g x x ax =-+的递减区间是 . 【答案】(0,)3a .3．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ．（2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝ ． 【答案】（1）log 2(4－x )；（2）－3或0． 4.已知函数()lg f x x =，若0a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】()3,+∞.5.()||f x x a =-在()2+∞，上为增函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤.6.关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 .【答案】1个. 7.23x mb --=有4个根，则实数b 的取值范围是 .【答案】02b <<.8.若不等式a ＋21x x-≥2log 2x在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【答案】1a ≥.例1已知函数()dx cbx ax x f +++=2（其中d c b a ,,,是实数常数，d x -≠）()x f d b ,（2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围；（3）若0b =，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()232-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时，不等式()()0<+x mf mx f 恒成立，求负实数m 的取值范围。

【分析】（1）转化为反比例函数模型；（2）考察反比例函数的单调性；（3）由条件可以确定各字母；然后等价转化.【解答】(1)0a =，()bx c c bdf x b x d x d+-∴==+++．类比函数k y x =的图像，可知函数()f x 的图像的对称中心是(,)d b -．又函数()f x 的图像的对称中心是(1,3)-，3,1.b d =⎧∴⎨=⎩ ，3()31c f x x -∴=++. 证明：函数()(,),-1,3(2,6)y f x P x y P x y '=---上任意取点它关于（）的对称点为，33(2)33211c c f x x x ----=+=---++,而3366(3)311c c y x x ---=-+=-++，所以(2)6f x y --=-，即(2,6)P x y '---也在()y f x =上.所以函数图像关于（-1，3）对称.(2)由(1)知，3()31c f x x -=++．依据题意，对任意0[3,10]x ∈，恒有0()[3,10]f x ∈．1若3c =，则()3f x =，符合题意．2若3c ≠，当3c <时，对任意[3,10]x ∈，恒有3()331c f x x -=+<+，不符合题意． 所以3c >，函数3()31c f x x -=++在[3,10]上是单调递减函数，且满足()3f x >．因此，当且仅当(3)10f ≤，即331c <≤时符合题意．综上，所求实数c 的范围是331c ≤≤．(3)依据题设，有()()0,(1)0,3(2).2f x f x f f ⎧⎪+-=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩解得1,1,0.a c d =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 于是，1()f x x x =-．由22()()0,10,20(21)11.f mx mf x m m mx x m mx x x +<⎧⎪<⇒--<⇒->⎨⎪≥⎩，解得2121m x <--．因此，min 21()21m x <--．考察函数21(1)21y x x =-≥-，可知该函数在[1,)+∞是增函数，故min(1)1y y ==-．所以，所求负实数m 的取值范围是1m <-．例2已知函数()axf x x b=+，且(1)1f =，(2)4f -=． （1）求a 、b 的值； （2）已知定点(1,0)A ，设点(,)P x y 是函数()(1)y f x x =<-图象上的任意一点，求||AP 的最小值，并求此时点P 的坐标； （3）当[1,2]x ∈时，不等式2()(1)||mf x x x m ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）简单，依据条件解方程；（2）换元法求最值；（3）注意分类讨论.【解答】（1）由⎧⎨⎩(1)1(2)4f f =-=，得⎧⎨⎩122a b a b =+-=-， 解得：⎧⎨⎩21a b ==．（2）由（1）2()1x f x x =+，所以22222||(1)(1)4()1x AP x y x x =-+=-++，令t x =+1，0t <，则22222142||(2)4(1)4()8AP t t t t t t =-+-=+-++22222()4()4(2)t t t t t t=+-++=+-因为1x <-，所以0t <，所以，当222t +≤-22||(222)AP ≥-，即AP 的最小值是222，此时2t =-21x =--，点P 的坐标是(21,22)-。

（3）问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立，也就是||mx x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立，要使问题有意义，01m <<或2m >．法一：在01m <<或2m >下，问题化为||mx m x-≤对[1,2]x ∈恒成立，即m m m x m x x-≤≤+对[1,2]x ∈恒成立，即2mx m x mx m -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立，①当1x =时，112m ≤<或2m >，②当1x ≠时，21x m x ≥+且21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立，对于21x m x ≥+对(1,2]x ∈恒成立，等价于2max ()1x m x ≥+， 令1t x =+，(1,2]x ∈，则1x t =-，(2,3]t ∈，22(1)121x t t x t t-==+-+，(2,3]t ∈递增，2max 4()13x x ∴=+，43m ≥，结合01m <<或2m >，2m ∴>对于21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立，等价于2min ()1x m x ≤- 令1t x =-，(1,2]x ∈，则1x t =+，(0,1]t ∈，22(1)121x t t x t t+==++-，(0,1]t ∈递减，2min ()41x x ∴=-，4m ∴≤，0124m m ∴<<<≤或，综上：24m <≤。

法二：问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立，也就是||mx x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立，要使问题有意义，01m <<或2m >．故问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立，令()||g x x x m =-①若01m <<时，由于[1,2]x ∈，故2()()g x x x m x mx =-=-，()g x 在[1,2]x ∈时单调递增，依题意(2)g m ≤，43m ≥，舍去；②若2m >，由于[1,2]x ∈，故22()()()24m m g x x m x x =-=--+，考虑到12m>，再分两种情形：（ⅰ）122m<≤，即24m <≤，()g x 的最大值是2()24m m g =，依题意24m m ≤，即4m ≤，24m ∴<≤；（ⅱ）22m>，即4m >，()g x 在[1,2]x ∈时单调递增，故(2)g m ≤，2(2)m m ∴-≤，4m ∴≤，舍去。

综上可得，24m <≤。

【反思】恰当地转化是解决本题的关键，另外本题也是含参问题，涉及到分类讨论思想的运用. 例题3已知()||23f x x x a x =-+-.（1）当4a =，25x ≤≤时，问x 分别取何值时，函数()f x 取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（2）若()f x 在R 上恒为增函数，试求a 的取值范围.【分析】(1)是一个具体清晰的函数，讨论去掉绝对值就可以了，（2）必须结合图像进行分析. 【解答】（1）当4a =时，()|4|23f x x x x =-+- . (ⅰ)24x ≤<时，2()(4)23(3)6f x x x x x =-+-=--+，当2x =时，min ()5f x =；当3x =时，max ()6f x =. (ⅱ)当45x ≤≤时，2()(4)23(1)4f x x x x x =-+-=--当4x =时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x = .综上所述，当2x =或4时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x = .（2）2222222(2)()3,(2)3,24()(2)3,2(2)()3,24a a x x ax a x x a f x x a x x a a a x x a⎧-----≥⎪⎧+--≥⎪==⎨⎨-++-<++⎩⎪--+-<⎪⎩， ()f x 在R 上恒为增函数的充要条件是2222a a a a -⎧≤⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，解得22a -≤≤ .【反思】对于既有自变量又有参变量的问题，应该充分利用数形结合思想进行分析.例2 已知函数1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g .（1）若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求函数)()()(x f x g x h -=在区间[-2,2]上的最大值.【分析】本题是含有绝对值的二次型函数，涉及最值问题，去掉绝对值后，就属于二次函数（动轴定区间、定轴变区间）的最值问题了.【解答】(1)方程)(|)(|x g x f =即0|1|12=---x a x ，[]011=-+-a x x ，显然1=x 是方程的根，所以方程0|1|=-+a x 无解或者只有一个解1=x （这种情况不成立），0<∴a .（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤. （3）解法一：去掉绝对值后单独讨论.⎩⎨⎧≤≤+-+-<≤-++--=---=21,112,1)1(1)(222x a ax x x a ax x x x a x h , 当14)2(1)(,12-2221++++-=++--=<≤a a a x a ax x x h x .（ⅰ）当22--≤a即4≥a 时，33)2()(1max 1-=-=a h x h ；(ⅱ)当12-2<<-a 即24a -<<时，14)2()(21max 1++=-=a a a h x h ；(ⅲ)当12-≥a即2a ≤-时，0)1()(1max 1==h x h .当1-4)2-(1-)(,212221++-=++-=≤≤a a a x a ax x x h x .（ⅰ）当12≤a即2≤a 时，0)1()(2max 2==h x h ；(ⅱ)当221<<a 即4a 2<<时，1-4)2()(22max 2+==a a a h x h ；(ⅲ)22≥a即4≥a 时，3)2()(2max 2-==a h x h .综上所述：当2-≤a 时，0)(max =x h ；当2a 2-<<时，140,14max )(22max ++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=a a a a x h ； 当4a 2<≤时，141-4,14max )(222max ++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=a a a a a a x h ；当4≥a 时，{}333,33m ax )(max -=--=a a a x h .解法二：考虑到对称轴是关于y 轴对称的，所以两个图像整体研究，注意到两个函数图像都经过（1,0）. （ⅰ）当4a ≥时，即22a≥，此时[][]()2,11,2h x -在单调递减，在单调递增， max (2)33,(2)3,0,333,()33h a h a a a a h x a -=-=->∴->-∴=-.(ⅱ)当24a ≤<时，即122a ≤<，此时()2,1,22a a h x ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在,单调递增，在-,1,,222a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单调递减，222max ()1,()1,0,()124244a a a a a h a h a a h x a -=++=-+>∴=++.(ⅲ)当22a -<<，即112a-<<时， ()2,2a h x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦在单调递增，在 -,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单独递减，2max ()()124a a h x h a =-=++.(ⅳ)当2a ≤-时，12a≤-，[]()2,1h x -在单调递增，在 []1,2单独递减，max ()(1)0h x h ==.【反思】本题是改编题，分段函数的性质是高考考查的重要知识点，该试题立足基础考查了分类讨论、数形结合的思想方法.对学生思维能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力较高.四、课后练习1.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 . 【答案】(1,1)(1,)-⋃+∞2.已知21(),()()2x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 . 【答案】14m ≥. 3．设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，(1)则f (7.5)＝ ；(2)当x ∈[4，6]时，f (x )＝ ．【答案】（1）－12；（2）⎩⎨⎧x －4，4≤x ≤56－x ，5＜x ≤64.若关于x 的不等式22x x t <--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是 ．【答案】.9,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5.设,m n Z ∈,已知函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ,值域是[]0,2,若关于x 的方程1210x m -++=有唯一的实数解,则m n += ． 【答案】1. 6.函数2x my -=在(2+)∞，上是增函数，则实数m 的取值范围是 . 【答案】2m ≤. 7.已知t 为常数，函数3()31f x x x t =--+在区间[]2,1-上的最大值为2，则实数t = ．【答案】1.8.已知f （x ）=|x 2－4|+x 2+kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是 .【答案】（-7,-2). 9.已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题： ① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为 ． 【答案】①②③④.10.若关于x 的方程2||1x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】(,4)-∞-.11.已知函数()f x x a a x =+，a 为实数．(1) 当[]1,1,1a x =∈-时，求函数()f x 的值域；(2) 设,m n 是两个实数，满足m n <，若函数()f x 的单调减区间为(),m n ，且3116n m -≤. 求a 的取值范围．【分析】对a x +进行换元，将问题化归为二次函数在给定区间的值域问题。