函数的性质与带有绝对值的函数(教师)

函数的性质与带有绝对值的函数

一、复习要点

基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法.

二、基础训练

1．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3

x ，则f (x ) ＝ ．

（2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)=0，则f (x )＜0的x 的取值范围是 ．

【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3x ，x ＜0

0， x ＝0 1＋3

x ， x ＞0

；（2）(－2，2).

2.已知函数()log 1(01)a f x x a a =+>≠且，若当(0,1)x ∈时恒有()0f x <,则函数

23

()log ()

2a g x x ax =-+

的递减区间是 . 【答案】(0,)3

a .

3．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ．

（2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝ ． 【答案】（1）log 2(4－x )；（2）－3或0． 4.已知函数()lg f x x =，若0a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】()3,+∞.

5.()||f x x a =-在()2+∞，

上为增函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤.

6.关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 .

【答案】1个. 7.2

3x m

b --=有4个根，则实数b 的取值范围是 .

【答案】02b <<.

8.若不等式a ＋21x x

-≥2log 2x

在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 ．

【答案】1a ≥.

例1已知函数()d

x c

bx ax x f +++=2（其中d c b a ,,,是实数常数，d x -≠）

()x f d b ,（2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围；

（3）若0b =，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()2

3

2-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时，

不等式()()0<+x mf mx f 恒成立，求负实数m 的取值范围。

【分析】（1）转化为反比例函数模型；（2）考察反比例函数的单调性；（3）由条件可以确定各字母；然后等价转化.

【解答】(1)

0a =，()bx c c bd

f x b x d x d

+-∴=

=+

++．类比函数k y x =的图像，可知函数()f x 的图像的对称中心是(,)d b -．又函数()f x 的图像的对称中心是(1,3)-，3,

1.

b d =⎧∴⎨=⎩ ，

3

()31

c f x x -∴=+

+. 证明：函数()(,),-1,3(2,6)y f x P x y P x y '=---上任意取点它关于（）的对称点为，

33(2)33211c c f x x x ----=+=---++,而33

66(3)311

c c y x x ---=-+=-

++，所以(2)6f x y --=-，即(2,6)P x y '---也在()y f x =上.所以函数图像关于（-1，3）对称.

(2)由(1)知，3

()31

c f x x -=++．依据题意，对任意0[3,10]x ∈，恒有0()[3,10]f x ∈．

1若3c =，则()3f x =，符合题意．

2若3c ≠，当3c <时，对任意[3,10]x ∈，恒有3()331

c f x x -=+

<+，不符合题意． 所以3c >，函数3

()31

c f x x -=++在[3,10]上是单调递减函数，且满足()3f x >．

因此，当且仅当(3)10f ≤，即331c <≤时符合题意．

综上，所求实数c 的范围是331c ≤≤．

(3)依据题设，有()()0,(1)0,3(2).

2

f x f x f f ⎧

⎪+-=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩解得1,1,0.a c d =⎧⎪

=-⎨⎪=⎩ 于是，1()f x x x =-．

由22()()0,

10,20(21)11.

f mx mf x m m mx x m mx x x +<⎧⎪

<⇒--<⇒->⎨⎪≥⎩

，解得2121m x <--．

因此，min 2

1

()21m x <--．考察函数2

1

(1)21

y x x =-

≥-，可知该函数在[1,)+∞是增函

数，故min

(1)1y y ==-．所以，所求负实数m 的取值范围是1m <-．

例2已知函数()ax

f x x b

=

+，且(1)1f =，(2)4f -=． （1）求a 、b 的值； （2）已知定点(1,0)A ，设点(,)P x y 是函数()(1)y f x x =<-图象上的任意一点，求||AP 的

最小值，并求此时点P 的坐标； （3）当[1,2]x ∈时，不等式2()(1)||

m

f x x x m ≤

+-恒成立，求实数a 的取值范围．

【分析】（1）简单，依据条件解方程；（2）换元法求最值；（3）注意分类讨论.