13、逻辑函数的最小项
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
最小项和标准与或式
例2.5.12 试将下列函数利 用真值表转化成两种标准 形式
Y ( A, B, C) AB AC BC
解：其真值表如表2.5.16 所示
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
00 0
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
则逻辑函数的标准与或型为
F ( A, B,C) m(0,1,3,4,6,7)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑函数的标准或与型为
F ( A, B, C) M (2,5)
( A B C)( A B C)
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
000
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0将逻辑函数变换为 与或式和或与式
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实 现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。
A
＆
C
B
＆
C
＆
Y
图 2.5.10 输 入 有 反 变 量 输 入
A
＆
C
＆
数字电路ch3补充：最大项、最小项、无关项
2 无关项在化简逻辑函数中的应用
【例3】 化简具有约束的逻辑函数
Y ABCD ABCD ABCD
给定约束条件为
ABC D ABCD ABCD ABCD ABC D ABCD ABCD 0
解：采用公式化简法
Y ( ABCD ABC D) ( AB C D ABCD) ( ABCD ABCD) ( AB CD AB CD )
解: Y1 A BCD BCD A
Y2 A B CD A B CD B CD Y3 Y4
ABC A B C AB C AB C C BD C C BD C C
B D D B
i
【例1】将逻辑函数展开为最小项之和的形式。
Y ABCD ACD AC
解： Y A BC D A( B B )CD A( B B)C
ABC D ABCD ABCD ABC ABC ABC D ABCD ABCD ABC( D D) ABC ( D D) ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D
强化： 逻辑函数的公式化简法
1 逻辑函数的最简形式
乘积项最少；每个乘积项里的因子也最少 一. 最简与-或式 二. 最简与非-与非式等
_ _
F AB A B
F AB A B
__________ ______ ____ __ __
三.最简与或非表达式
F AB AB
__________ ___ __ __
变量的各组取值 对应的最大项及其编号 最大项 编 号 A B C
0 0 0 0 1 1 1 1
数字逻辑 第三讲 逻辑函数的标准形式
逻辑函数的标准形式
一个逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不 一个逻辑函数具有唯一的真值表， 是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。 是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。 一、最小项与最大项 1. 最小项 设一逻辑函数为 F ( A, B, C ) = AB + AC 对函数进行扩展变换得： 利用互补律 A+ A =1对函数进行扩展变换得： 对函数进行扩展变换得 F ( A, B, C ) = AB (C + C ) + AC ( B + B )
最小项具有下列性质： 最小项具有下列性质： 个变量构成的任何一个最小项m ①n个变量构成的任何一个最小项mi，有且仅有一种变量取值 组合使其值为1 该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。 组合使其值为 1 ， 该种变量取值组合即序号 i 对应的二进制数 。 换言之，在输入变量的任何取值组合下必有一个最小项， 并 换言之， 在输入变量的任何取值组合下必有一个最小项 ， 且只有一个最小项的值为1 且只有一个最小项的值为1。 任意两个不同最小项相与为0 ≠j） ②任意两个不同最小项相与为0，即 mi·mj=0 （i≠j）。 m
3. 反演规则 的反函数F 例. 求F = A[B+(CD+EG)]的反函数 的反函数 方法一：反演规则 方法一： F = A[B+(CD+EG)] = A+B+(CD+EG) = A+B·CD+EG = A+B·CD·EG = A+B·(C+D)(E+G) F = A+B(C+D)(E+G) 方法二：直接对 求反 方法二：直接对F求反
= A B C ⋅ ABC ⋅ AB C ⋅ ABC = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) 最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量， 最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输 中包含了全部的输入逻辑变量 入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现， 入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可 以以反变量的形式出现，且只出现一次。 以以反变量的形式出现，且只出现一次。这种包含所 有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。 有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。
逻辑代数基础
所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC、与
m7 =ABC 在逻辑上相邻 m7
m6
两变量卡诺图 AB 0 1 m0 m1 0 AB AB 1 mB AB A 2 m3 三变量卡诺图 B
四变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
三、 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都填入小方格内，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,
L CD 00 01 AB 00 1 1 01 11 10 1 0 1 0 0 0 11 10 1 0 1 1 1 0 1 1
例2 画出下式的卡诺图
L ( A, B, C , D) ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
解
( A B C D)( A B C D) 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
结合律：A + B + C = (A + B) + C
A · · = (A · · B C B) C
A 分配律： ( B + C ) = AB + AC
A + BC = ( A + B )( A + C )
逻辑函数的运算
逻辑代数基础
1.1
基本定律和规则
逻辑函数的运算
3.逻辑函数运算规则
１） 代入规则 对于任何一个含有变量A 的等式， 如果所有出现A 的地方都以另一个逻辑 式代替，则等式仍然成立。 ２） 反演规则 对于逻辑函数F ， 将表达式中的所有“ · ” 换成“ ＋ ” ， “ ＋ ” 换成 “ . ” ， 常量０换成１ ， 常量１ 换成０ ， 所有原变量换成反变量， 所 有反变量换成原变量， 即得反函数 。 ３） 对偶规则 在介绍对偶规则前先定义对偶式。设F 为逻辑表达式， 如果将F 中所有的 “ ＋ ” 换成“ · ” ， “ · ” 换成“ ＋ ” ， １ 换成０ ， ０ 换成１ ， 而变量保持不变， 则所得新的逻辑式就称为F 的对偶式， 记为F′ 。
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
1.真值表
将输入变量所有取值情况及其相 应的输出结果， 全部列表表示， 即为真值表。
逻辑函数的运算
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的运算
2.逻辑表达式
将输入输出关系写成与或非等逻辑运算的组合式， 称为逻辑 表达式， 简称逻辑式。 如图所示判决电路， 当A 闭合， B 和C 中至少一个闭合， 则 可表示为A BC ＋A B C ＋ A BC ， 故其逻辑表达式为
逻辑代数基础
1.4
逻辑函数卡诺图化简
5项的函数时， 由于无关项 的取值对函数不产生影响， 加入的无关 项应与函数尽可能多的最小项具有相邻 性。在画矩形时， 无关项的取值以矩形 组合最大， 矩形数目最少为原则。
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的运算
5.逻辑表达式的标准表达式
逻辑函数最小项
逻辑函数最小项
逻辑函数中的最小项是指逻辑变量全部取反（即所有变量的值都为相反值）的特例。
例如，对于一个包含n个变量的逻辑函数，其最小项有2^n个。
例如，对于一个包含三个变量A、B和C的逻辑函数，其最小项可以是：
- A'B'C'（A和B为假，C为真）
- A'B'C（A和B为假，C为假）
- A'B'C'（A和B为真，C为假）
- A'B'C（A和B为真，C为真）
- A'B'C'（A和B为真，C为真）
- A'BC'（A为假，B和C为真）
- A'BC（A为假，B和C为假）
- A'BC'（A为真，B和C为真）
- A'BC（A为真，B和C为假）
- A'BC'（A为真，B和C为真）
- AB'C'（A为真，B为假，C为真）
- AB'C（A为真，B为假，C为假）- AB'C'（A为真，B为真，C为真）- AB'C（A为真，B为真，C为假）- AB'C（A为真，B为假，C为假）- ABC'（A、B和C都为假）
- ABC（A、B和C都为真）
这些就是该逻辑函数的所有最小项。
逻辑函数的三个规则和标准形式
A B C = m2
0
1
1
A B C = m3
1
0
0
A B C = m4
1
0
1
A B C = m5
1
1
0
A B C = m6
1
1
1
A B C = m7
① n 个变量的所有最小项（2n个）之和为1 ；
② 相同变量的任意两个最小项mi 和mj 之积为0（i≠j）； ③ n变量最小项有n 个相邻最小项。
数字电路与逻辑设计
数字电路与逻辑设计
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最大项表达式 全部由最大项相与而构成的或－与表达式称为最大项表达式，又称为标准或－与式， 或标准和之积式。
最大项表达式的书写形式：
对于逻辑函数：F A B C A B C A B C
可以简写成： 或写成：
F A, B, C M0×M1×M4 F A, B,C M 0，1，4
等式仍成立。 解：
原式左边＝A[B +(C +D )]＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD 原式右边＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD
所以等式仍然成立。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
２．反演规则
设F 是一个逻辑函数表达式，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、 反变量互换，长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变，这样可得F 的反函数。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最小项表达式 全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－
西南大学《数字电路》复习思考题及答案
（9006）《数字电路》复习思考题一、 名词解释1、 反演定理2、 最大项3、 BCD 代码4、 卡诺图5、 补码6、 单稳态触发器电路7、 施密特触发器电路8、 时序逻辑电路9、 位权10、 最小项的性质11、 卡诺图12、 竞争冒险13、 计数器14、 寄存器二、 简答题1、时序电路在电路结构上的两个特点2、 最小项的性质3、 分析同步时序逻辑电路的一般步骤？4、 险什么是竞争冒？消除竞争-冒险现象的方法？5、 常用逻辑函数的表示方法是什么？6、 什么是无效状态和无效循环？如何判断某个时序逻辑电路是否能够自启动？7、 简述不同类型的触发器之间的转换步骤。
8、 简述时序逻辑电路的分类。
9、 触发器的定义和基本特点？10、 时序逻辑电路的特点是什么？11、 组合逻辑电路的设计步骤是什么？12、 将下列十六进制数转换为十进制数：(1) 103.2H (2) A45D.0BCH13、 一数字信号的波形如下图所示，试问该波形所代表的二进制数是什么？三、 综合题1、 求证：C A AB BC C A AB +=++。
2、 试化简逻辑函数：Y ABC ABC ABC =++3、 试化简逻辑函数Y AB AB BC BC =+++4、 用卡诺图表示逻辑函数Y ABCD ABD ACD AB =+++5、 用卡诺图表示逻辑函数C B C B C A C A Y+++=6、 证明：B A B A A +=+7、 证明：()E CD A E D C CD A C B A A ++=++++8、 证明：AC AB C AB C B A ABC +=++9、 求题中给出的逻辑函数的最小项表达式：BC A Y += 10、(10110010.1011) 2=( )8=( )16 11、(11010.011) 2 =(__________) 10 12、用公式化简逻辑函数: B A B B A Y ++= 13、用公式化简逻辑函数: C B A C B A Y +++= 14、用公式化简逻辑函数: CD D AC ABC C A Y +++= 15、 设：AB Y 1=，B A Y 2+=。
第3部分-计算机程序员(FPGA嵌入式应用)_3级_理论知识复习题-A
第3部分理论知识复习题基本概念数字电路基础一、判断题（将判断结果填入括号中。
正确的填“√”，错误的填“×”）：1.数字信号是由连续变化的模拟信号采样得到的。
（）2.要构成5进制计数器，至少需要3个触发器，其无效状态有3个。
（）3.十进制数（25）D转换为二进制数为（11001）B。
（）4.逻辑变量只有两个值，即0 和1，两者并不表示数量的大小。
（）5.某三个变量逻辑函数F，若以ABC的顺序列真值表，表中F=1的个数为5个。
若以CBA的顺序列真值表，则表中F=1的个数为4个。
（）6.逻辑代数运算与普通代数运算的运算规则相同。
（）7.无关项就是指取值一定为零的最小项。
（）8.组合逻辑电路通常由门电路组合而成。
（）9.组合电路的结构特点是输入信号单向传输的，电路中不含反馈回路。
（）10.奇校验位的值是其余各数据位的异或运算。
（）11.由于门电路平均延迟时间的差异，使信号从输入经不同的通路传输到输出级的时间不同，这样可能导致逻辑电路的错误输出，这种现象称为竞争冒险。
（）12.锁存器对脉冲电平敏感，在时钟脉冲的电平作用下改变状态，而触发器对脉冲边沿敏感，其状态只有在时钟脉冲的上升沿或下降沿的瞬间改变。
（）13.IP核的重用是设计人员赢得迅速上市时间的主要策略。
（）14.IP应具有多种工艺下的可用性，提供各种库的综合脚本，可以移植到新的技术。
（）15.规划和制定设计规范不属于IP设计的主要流程之一。
（）16.IP的验证必须是完备的，具有可重用性的。
（）17.可再用IP是着眼于按各种再使用标准定义的格式和快速集成的要求而建立的，便于移植，更重要的是有效集成。
（）18.国内IP市场相对落后的原因是IP使用公司的规模太小因而很难承受高昂的IP使用费用。
（）19.EDA技术的发展主要经过了CAD、CAE、ESDA这3个发展阶段。
（）20.电子系统级（ESL）设计主要分3步走，首先是功能设计，其次是基于应用的结构设计，最后是基于平台的结构设计。
数字电路自测题(§1-§5)
数字电路自测题（§1-§5）第1章数字逻辑基础选择题1. （135．6）8＝（93. 75 ）102. （93. 75）10＝（5D.C）163. （35.85）10＝（100011.110）2保留3位。
4. （11110101．11011）2＝（356.66）85. （11110101．11011）2＝（F5.D8）86. （674.35）8＝（1BC.74 ）167. 与(11010101.1101)2相等的数有（A B C）。
A.（325. 64）8；B. (D5. D)16；C.（213. 8125）10；D.（1110101．110100）8421BCD；E.（10111．1000110101）；8421BCD8.（11011001．11）2=（217．75）10=（010*********.10101000）余3 BCD9．八进制数(573. 4)8的十六进制数是 C 。
A.（17C.4)16；B. (16B.4)16；C. (17B.8)16；D. (17B. 5)1610.用0，1两个符号对100个信息进行编码，则至少需要B 。
A. 8位；B. 7位；C. 9位；D. 6位；11. BCD代码(100011000100)表示的数为(594)10，则该BCD代码为 C 。
A. 8421BCD码；B. 余3BCD码；C. 5421BCD码；D. 2 421 BCD码；12. BCD代码(100011000100)表示的数为(1117)8，则该BCD代码为 B 。
A. 8421BCD码；B. 余3BCD码；C. 5421BCD码；D. 2 421 BCD码；填空题1．将二进制、八进制和十六进制数转换为十进制数的共同规则是按权展开。
2．十进制数26.625对应的二进制数为；十六进制数5FE对应的二进制数为。
3. 二进制数1101011.011B对应的十进制数为，对应的8421 BCD码为。
华中师大《数字电路》练习测试题库及答案
华中师范大学网络教育学院《数字电路》练习测试题库及答案一、单项选择题。
1、在下列逻辑电路中，不是组合逻辑电路的是------ 。
A. 译码器B. 编码器C. 全加器D. 寄存器2、时序电路可以由____________组成。
A.门电路B. 触发器或门电路C. 触发器或触发器和门电路的组合3、时序电路输出状态的改变____________。
A. 仅与该时刻输入信号的状态有关B. 仅与时序电路的原状态有关C. 与以上两者皆有关4、组合电路的竞争和险象是指___________。
A. 输入信号有干扰时，在输出端产生了干扰脉冲B. 输入信号改变状态时，输出端可能出现的虚假信号C. 输入信号不变时，输出端可能出现的虚假信号5、仅具有“置0” “置1”功能的触发器叫___________。
A. JK触发器B. RS触发器C. D触发器6、译码电路的输入量是____________。
A. 二进制B. 十进制C. 某个特定的输入信号7、由n个JK触发器构成的扭环形计数器，其有效计数状态共有___________个A．n；B．2的n次方；C．2n8、编码电路和译码电路中，____________电路的输出是二进制代码。
A. 编码B. 译码C. 编码和译码9、ROM是指_____________。
A. 随机读写存储器B. 只读存储器C. 不可擦除式只读存储器D. 可擦可编程只读存储器10、寄存器在电路组成上的特点是____________。
A. 有CP输入端，无数据输入端B. 有CP输入端和数据输入端C. 无CP输入端，有数据输入端11、组合电路的竞争和险象是指___________。
A. 输入信号有干扰时，在输出端产生了干扰脉冲B. 输入信号改变状态时，输出端可能出现的虚假信号C. 输入信号不变时，输出端可能出现的虚假信号12、若使JK 触发器仅有翻转功能，控制端J 、K 正确接法是___________。
A ．J= K= Q nB ．J=K=1C ．J=K=013、逻辑函数中的最小项_______________。
逻辑函数化简方法主要内容
四、配项消项法： AB AC BC AB AC
[例] Y BC AC AC BC AB
BC AC AB
冗余项
或 BC AC AC BC AB
AB AC BC [例 1. 2. 15] Y AB AC BC AB AC BC
AB AC BC 或 AB AC BC AB AC BC
AB AC BC
综合练习：
Y ACE ABE BC D BEC DEC AE E ( AC AB BC DC A ) BC D E ( C B D A ) BC D
CE BE DE AE BC D E (B C D) AE BC D
E BC D AE BC D E AE BC D E BC D
[例] 写出下列函数的标准与或式：
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
[解] Y AB(C C ) AC( B B)
ABC ABC AB C ABC
m6
m7
m1
m3
m6 m7 m1 m3
或 m 1 , 3 , 6 , 7
[例] 写出下列函数的标准与或式：
Y AB AD BC ( A B) ( A D) (B C )
二、吸收法： A AB A
[例 1. 2. 10] Y AB AD BE A B AD BE A B
[例 1. 2. 11] Y AB ACD BCD AB ( A B) CD AB AB CD AB A B
[例] Y A A BC ( A B C D) BC ( A BC) ( A BC) ( A B C D)
以此轴为对称轴（对折后位置重合）
3. 卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻 相接 — 紧挨着
(1) 几何相邻： 相对 — 行或列的两头 相重 — 对折起来位置重合
电工电子技术-逻辑函数的化简
（2）吸收法
运用公式 A AB A 消去多余的项，其中，A、B可以是
任意一个复杂的逻辑式。例如：
Y1 AB AC DEB AB
Y2 AB ABC ABD AB D E AB AB C D D E AB
（3）消去法
运用公式 A AB A B 消去多余的因子。例如：
例如：逻辑函数Y的卡诺图。 Y ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD ABCD
（3）用卡诺图化简逻辑函数式 使用卡诺图化简逻辑函数所依据的原理是：具有相邻性 的最小项可以合并消去不同的因子。 ①2个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去1个取值不同的变量而合并为1项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
②4个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去2个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
③8个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去3个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
②化简具有无关项的逻辑函数 在卡诺图中用×表示无关项。使用卡诺图化简逻辑函数 式时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩 大卡诺圈，使逻辑函数式更简。
（2）卡诺图
卡诺图就是将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，
并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列起 来所得的图形。下图所示为2到4变量最小项的卡诺图。
若要画出某一逻辑函数的卡诺图，只需将该逻辑函数式 化为最小项之和的标准形式后，在卡诺图中这些最小项对应 的位置上填入1，在其余的位置上填入0即可。
1．公式化简法
4、逻辑函数的卡若图化简法
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。 对角线上不相 邻。
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3. 用卡诺图表示逻辑函数 （1）从真值表画卡诺图 根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一 个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。
1.3
1.3.5
逻辑函数及其化简
结束 放映
逻辑函数的卡诺图化简法
1. 最小项及最小项表达式 2. 卡诺图及其画法 3. 用卡诺图表示逻辑函数 4. 卡诺图化简法
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复习
与或表达式最简的标准是什么？ 公式化简法的优点？局限性？
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1.3.5
逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
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m3
BC D
m11
图1-15 两个最小项合并
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图1-16 四个最小项合并
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图1-17 八个最小项合并
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（2）利用卡诺图化简逻辑函数 A．基本步骤： ① 画出逻辑函数的卡诺图； ② 合并相邻最小项（圈组）； ③ 从圈组写出最简与或表达式。 关键是能否正确圈组 。 B．正确圈组的原则 ① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相 邻最小项； ② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次， 但可以圈多次； ③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能 大（消去的变量就越多）。
数字电子技术自测练习
参考书《数字电子技术》佘新平主编华中科技大学出版社自测练习汇编（版权所有，未经允许不得复制）第1章数制与编码自测练习：1.二进制是（）为基数的数制。
2.对于二进制数来说，位是指（）。
3.11010是以（）为基数。
4.基数为2的数制被称为（）。
5.基数为10的数制被称为（）。
6.十进制数的权值为（）。
(a) 10的幂(b) 2的幂(c) 等于数中相应的位7.二进制数的权值为（）。
(a) 10的幂(b) 2的幂(c) 1或0，取决于其位置8.二进制计数系统包含（）。
(a) 一个数码(b) 没有数码(c) 两个数码9.二进制计数系统中的一位称为（）。
(a) 字节(b) 比特(c) 2的幂10.2的5次方等于（）。
(a) 5个2相加(b) 5个2相乘(c) 2乘以511.二进制整数最右边一位的权值为（）。
(a) 0 (b) 1 (c) 212.二进制数中的最低有效位（LSB）总是位于（）。
(a) 最右端(b) 最左端(c) 取决于实际的数13.二进制数（）。
(a) 只能有4位(b) 只能有2位(c) 可能有任意位14.MSB的含义是（）。
(a) 最大权值(b) 主要位(c) 最高有效位15.LSB的含义是（）。
(a) 最小权值(b) 次要位(c) 最低有效位16.1011102 + 110112 = （）。
17.10002–1012 = （）。
18.10102× 1012 = （）。
19.101010012÷ 11012= （）。
20.基数为8的数制被称为（）。
21.八进制计数系统包含（）。
(a) 8个数码(b) 16个数码(c) 10个数码22.列出八进制中的8个符号（）。
23.基数为16的数制被称为（）。
24.列出十六进制中的16个符号（）。
25.十六进制计数系统包含（）。
(a) 6个数码(b) 16个数码(c) 10个数码自测练习：1.10100102= （）8。
2.110111101.101012= （）8。
电子技术基础-卡诺图补充最大项及例题
01 AD 11
1 1
0 0
10
0 0
AD
9
举例:由真值表到表达式
与或式: ① 该函数F的标准与或式是由那些使F=1 的所有输入变量组合所对应的最小项相或而成的， 即F(A，B，C)＝ A B C+ A B C+ A B C+ABC 或写成： F(A，B，C)＝m1+m2+m4+m7
③逻辑函数式中的无关项：我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的 无关项。
这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可 以写入也可以删除。
④无关项在化简逻辑函数中的应用 :
合并最小项时，究竟把卡诺图上的“Ⅹ” (或φ)作为1(即认为函数式
中包含了这个最小项)，还是作为0(即认为函数式中不包含这个最小项)
1
φ
10
φ
01
1
最简与或式F7=C+BD+B D
图7-2 F7的填0卡诺图
CD 00 01 11 10
AB
00 01
00
0000
φ
11 111
φ
0
10
1
φ
0
0 φ
0
最简或与式 F7=(A+B+C)(A+C+D)(B+C+D)
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越多； ⑤每个圈至少包含一个新的“1”格，否则这个圈是多余的。
“可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有 一个新‘1’格”
6
画圈应注意的几个问题
①“1”格允许被一个以上的圈所包围，这是因为A+A=A； ②“1”格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不
第四讲 逻辑函数表示方法转换及最小项最大项
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
相 邻
A' B ' C ' A' B ' C A' BC ' A' BC AB' C ' AB' C ABC' ABC
相 邻
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
( A B)
3.波形图与真值表的相互转换 由波形图得到真值表
根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应 的输出值
例已知逻辑函数Y的输出波形如图所示，试分析其 逻辑功能。
A
解：由所给的波形 写出输入输出的真 值表，如表所示
O B O Y O
t
t
t
A O B O Y t
t
O
t
A
B
Y
0
1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7
① ④ 只有一个变量不同的两个最大项的乘 (A 在输入变量的任何取值下，必有一个 B 'C )( A B'C ' ) A B 'C C ' A B' ② 全体最大项之积为 0。
0
0 1 1
1
0 1 0
作业： P59 习题 2.3 (a) 2.4 (a) 2.6 2.8
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式 一、最小项 在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个 因子的乘积项，而且这n个变量均以原 变量或反变量的形式在m中出现一次， 则称m为该组变量的最小项。
最小项的真值表
最小项的真值表全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在逻辑代数中，最小项是一个含有所有变量的布尔表达式，并且只对应一个可能的布尔函数取值为真的情况。
在逻辑门电路设计中，最小项是一种十分重要的概念，可以用来描述组合逻辑电路的工作方式。
最小项的真值表是一种对布尔函数进行真值描述的方法，通过列出函数的所有可能输入组合以及对应的输出值，可以清晰地展示出函数的行为。
以一个简单的布尔函数为例，假设有一个具有两个输入变量A和B 的布尔函数F，它的真值表如下所示：| A | B | F(A,B) ||---|---|--------|| 0 | 0 | 0 || 0 | 1 | 1 || 1 | 0 | 1 || 1 | 1 | 0 |在这个真值表中，每一行对应一个不同的输入组合，列分别表示输入变量A和B的取值以及对应的函数F的取值。
通过填充这个真值表，可以清晰地看出函数F在不同输入组合下的输出值，有助于设计者对函数的行为有更直观的了解。
最小项的真值表是逻辑电路设计中不可或缺的方法之一，它能够直观地展示函数的输入输出关系，帮助设计者理解和分析函数的行为。
通过观察真值表中的输入输出关系，设计者可以更加深入地了解逻辑电路的工作原理，有助于优化电路的结构和性能。
第二篇示例：在逻辑代数中，布尔代数是一种代数系统，它是由美国数学家George Boole于19世纪中叶创立的。
布尔代数主要研究二进制逻辑运算的代数规则，即0和1之间的代数关系。
在布尔代数中，最小项是最基本的逻辑表达式，通常用于表示逻辑函数的特定输入组合。
最小项的定义是包含了一个最少变量数的布尔子代数表达式。
一个最小项具有n个布尔变量，并且只有一个变量的逻辑取值为1，其他变量的逻辑取值为0。
最小项也被称为Minterm。
一个n变量的最小项共有2^n个，其中每个最小项都对应一个唯一的布尔函数输出值为1的输入组合。
举个例子，对于一个2变量的最小项，共有4个最小项，分别是m₀、m₁、m₂、m₃，它们对应的逻辑表达式分别为：m₀ = x'y'm₁ = x'ym₂ = xy'm₃ = xy一个典型的最小项真值表是在实际电路设计和逻辑函数分析中经常使用的，用于列举所有可能的输入组合和对应的输出。
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利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它 克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函 数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方 法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一 下最小项及最小项表达式。
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一.最小项及最小项表达式
ABC ABC ABC 或：Y ( A, B,C ) m3 m6 m7
m(3,6,7)2020/ Nhomakorabea0/16
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2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点
思考练习： 1.写出函数Y=AC+AB的标准与或式 2. 课后习题第六题的单数题
教学内容
教学目标： 1.知道最小项及最小项表达式的定义 2. 掌握最小项的性质 3. 能对最小项进行编号
思考练习
2
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点
重点难点： 1.最小项的性质 2.最小项的编号
教学内容
思考练习
3
2.6.1 逻辑函数的最小项
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点 教学内容
课程引入：
1.公式化简法的优缺点
2. 用公式法化简
Y A A B C ACD (C D)E
思考练习
1
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点 教学内容
表2-11 三变量最小项真值表
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二、最小项的性质
1、对于任意一个最小项，只有一组变量取值使 它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
2、任意两个不同的最小项之积恒为0； 3、变量全部最小项之和恒为1。
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三、最小项的编号 最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
AB是三推变广量 ：函 一数 个的 变最量小仅项有吗原？变量和反变量两种形式，
A因B此BC是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表2-12 三变量最小项的编号表
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四、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例2-8 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：Y AB BC AB(C C) ( A A)BC
1、最小项
设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项：
（1）每个乘积项都只含三个因子，且每个变量 都是它的一个因子；
（2)每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量 (A、B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘 积项为三变量A、B、C的最小项。
思考练习
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