李雅普诺夫稳定判据.ppt

可见，V (x) 是负定的，因此，系统在坐标原点处的平 衡状态是渐进稳定的。又因为时 x ，V(x) ，所以 是大范围渐进稳定的。

例4.14 线性系统的状态方程为


x 2
x1 x2 x1 x2
判别系统稳定性。
解：(0,0) 是唯一的平衡点。取 V (x) x12 x22 ，则
对于线性系统，若A是非奇异矩阵，系统只有一 个平衡点 xe 0 ，所以，若系统是稳定的，则也 是大范围稳定的。
对于线性定常系统，A(t) A,P(t) P 为常量矩阵，李 雅普诺夫矩阵微分方程变为矩阵代数方程
AT P PA Q

（4.43）
按照以上的介绍，判断线性定常系统稳定性的
步骤，应是先取一个正定的实对称阵Q，然后 根据式（4.43）解出P，最后检验P的正定性， 即可确定系统的稳定性。由于Q阵可以任意指 定，而判断结果与Q阵的具体选择无关，为简 化计算通常取Q=I 。
例4.16
系统的状态方程为
x

0 1
1 1 x
，分析系统
的稳定性。
A P PA Q 解
不恒等于0，V (x) 也不恒等于0，因此， 系统平衡状态是大范围渐进稳定的。
李雅普诺夫函数不是唯一的。本例也可
取 则
V ( x)

1 2
[( x1
x2 ) 2
2 x12

x
2 2
]
V (x) (x1 x2 )(x1 x 2 ) 2x1 x1 x2 x 2
P11

2P12 1 P12 P22
0
2P12 2P22 1
解得 , , ，则 P11

3 2
P12

1 2
P22 1
P

3 / 1 /
2 2
1 / 2
1

验证正定性：因为
P11

3 2

0
P11
P12
3/ 2
P12 P22 1 / 2
1/ 2 5 0 14
4.3 李雅普诺夫稳定判据
4.3.1 预备知识
1.标量函数的正定性
标量函数的正定性定义如下：
1）当 x 0 时，V(x) 0 ；当 x 0 时，V(x) 0 则称 V (x) 是
正定的； 2）若 V (x) 除原点和某些状态下为零，而其余部分都 大于零，则称 V (x) 为半正定的； 3）若 V (x) 是正定的，则称 V (x) 是负定的； 4）若 V (x) 是半正定的，则称V (x) 是半负定的； 5）若 V (x) 既可以是正值, 也可以是负值,则称 V (x) 是 不定的。
当 V (x) 是半负定的，V (x) 不恒等于0时，平 衡状态是大范围渐近稳定的；
当 V (x) 为正定时，则平衡状态是不稳定的。
标量函数称为李雅普诺夫函数。
离散系统的李雅普诺夫稳定判据：对于非线
性离散系统
x(k 1) f (x(k)) f (0) 0
(4.37)
若存在一个连续的标量函数 V (x) , V (0) 0 ,对任

4.3.3 线性连续系统的李雅普 诺夫稳定判据
李雅普诺夫稳定判据是最一般的方法， 适用于线性和非线性系统。但其主要的问题是 难以寻找李雅普诺夫函数。事实上，李雅普诺 夫稳定性理论本身没有提供构造Fra Baidu bibliotek雅普诺夫函 数的一般方法。但对线性系统，一定可以用二 次型来构造李雅普诺夫函数。下面介绍线性系 统的李雅普诺夫函数的构造方法与李雅普诺夫 稳定判据。
所以，P是正定的。因此，系统是（大范围） 渐近稳定的，李氏函数为:
V (x)

xT
Px

3 2
x12

x1 x2

x22
4.3.4 线性离散系统的李雅普 诺夫稳定判据
设线性定常离散系统的状态方程为:
x(k 1) Ax(k) （4.44）
取下列正定二次型函数为李雅普诺夫函数:
V[x(k)] xT (k)Px(k) （4.45）
根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性
1） V (x) = x12 2x22 是正定的；
2） V (x) = (x1 x2 )2 是半正定的,因为当 x1 x2 时 ， V ( x) =0；
3）V (x) 0
=－( x12

2
x
2 2
)是负定的；
4）V (x) = - (x1 x2 )2 是半负定的；
(x1 x2 )(x1) 2x1x2 x2 (x1 x2 )
( x12 x22 )
因 此 ， 是 V (x) 负 定 的 。 又 因 为 当 x ,V (x) ，所以，系统是大范围渐 进稳定的。
例4.15 分析系统
x1 x1 x2
塞尔维斯特准则：记P的主子行列式为
1 P11
2

P11 P21
P12 P22
P11
…… n
P21
Pn1
P12 P22

Pn 2

P1n
P2n
Pnn ( 4.33)
二次型标量函数 V (x) 为正定的充要条件是矩阵P的所 有主子行列式为正，即:
1 0 2 0 …… n 0
xe [xe1 xe2 ]T [0 0]T
取李雅普诺夫函数为 :
V (x) x12 x22
则
V (x)
dV (x) V

dt
x1
dx1 dt
V

x2
dx2 dt
2x1 x1
2x2 x2
将状态方程代入上式得
V(x) 2x1[x2 x1(x12 x22 )] 2x2[x1 x2 (x12 x22 )] 2(x12 x22 )

x
2
x1 x2
的稳定性。
解 平衡点为 xe 0 0T ，取 V (x) x12 x22 则
V(x) 2x1x1 2x2 x2 2x1(x1 x2 ) (x1 x2 ) 2(x12 x22 )
可见，V (x) 是正定的，所以，平衡点是不稳定的。
x2

xn
P21

P22

P2n
x2


(4.32)
Pn1
Pn2

Pnn xn
则称为二次型标量函数。其中P一般表示为实 对称矩阵，即 Pij Pji 。
若P表示为实对称矩阵，二次型标量函数的正定性可以 用塞尔维斯特(Sylvester)准则判别。该准则叙述如下：
(4.34)
二次型标量函数 V (x) 为负定的充要条件是矩 阵P的各阶主子式满足：
i =
0 0
i为偶数 i为奇数
(4.35)
4.3.2 李雅普诺夫稳定判据
若非线性连续系统的状态方程为:
x f (x, t)
(4.36)
不 失 一 般 性 , 设 系 统 的 平 衡 状 态 为 xe 0。 如 果 xe 0，可以通过 X x xe 变换为零。
V(x) 2x1x1 2x2 x2 2x1x2 2x2 (x1 x2 ) 2x22
当 x1 0, x2 0 时，V(x) 0 ，V ( x) 是半负定的。系统 平衡点是李氏意义下稳定的。
当 x1 0, x2 0 时，x 2 0 ，因此 x2 0 , x 2
5）V (x) = x1x2 x22 是不定的，
因为当 x1 0 ， x2 0 时，V (x) 0 ，而 当 x1 x2 0 ， x2 0 时，V (x) 0 。
2．二次型标量函数及其正定性条件
若
P11 P12 P1n x1
V (x) xT Px x1
例4.13 非线性系统的状态方程为


x1 x 2

x2

x1 (x12

x
2 2
)
x1 x2 (x12 x22 )
分析其平衡状态的稳定性。
解：确定平衡点:
xxe2e1
xe2 xe1
xe1(xe21 xe22 ) 0 xe2 (xe21 xe22 ) 0
式 中 ,P 为 正 定 的 实 对 称 阵 . 对 于 离 散 系 统 . 采 用
差分 :
V[x(k)] V[x(k 1)]V[x(k)]
代替 V (x) ，则 V[x(k)] xT (k 1)Px(k 1) xT (k)Px(k)
xT (k)AT PAx(k) xT (k)Px(k)
意 x(k) 0 , V (x) 是正定的,则当对任意 x 0 ，沿
轨线
V (x(k)) V (x(k 1)) V (x(k)) ( 4.38)
为负定时，它的平衡状态xe 0 是渐近稳定的，进一 步当 x ，V (x) 时,平衡状态则是大范围渐近稳定 的;当 V (x) 是正定时,平衡状态是不稳定的。标量函数 称为系统的李雅普诺夫函数。
xT (t)AT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)A(t)x(t)
xT (t)[AT (t)P(t) P(t) P(t)A(t)]x(t)
令
AT (t)P(t) P(t) P(t)A(t) Q(t)
(4.41)
式（4.41）称为李雅普诺夫矩阵微分方程。于是
V (x, t) xT (t)Q(t)x(t)
(4.42)
若Q是正定的，则 V ( x) 是负定的。
因此，满足式（4.41）的实对称矩阵所构成的正定二
次型函数 V (x, t) ，是线性连续系统的李雅普诺夫函 数。
线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：线
性系统稳定的充分必要条件是，给定一正定的实 对称阵Q(t)，存在一个正定实对称矩阵P(t)，使 得李雅普诺夫矩阵微分方程成立。
xT (k)[AT PA P]x(k)
令
AT PA P Q
(4.46）
式(4.43)称为离散系统的李雅普诺夫方程。于 是:
V[x(k)] xT (k)Qx(k)
（4.47）
若Q是正定的，则 V[x(k)] 是负定的。
线性系统的李雅普诺夫稳定判据 线
性定常离散系统 x(k 1) Ax(k) 渐近稳定的充要 条件是，给定任一正定实对称阵Q，存在一个 正定实对称阵P，满足离散系统的李雅普诺夫 代数方程.
连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个 标量函数 V (x) ，对所有 x(t) 的有连续的一阶 偏导数，且V (x) 是正定的，则
当
V ( x)

dV (x) dt
为负定时,平衡状态是渐近稳定的；
当 V (x) 为负定，且 x ,V (x) 时，平衡状态 是大范围渐近稳定的；
当 V (x) 为半负定时，平衡状态是李氏意义下 稳定的；



P12 P22
P11 P12

P12 P22


1

0
0 1
2P12

P11

P12

P22
P11 P12 P22 2P12 2P22


1

0
0 1
根据矩阵相等的定义，得到下列方程组:


设线性时变连续系统的状态方程为:
x(t) A(t)x(t)
(4.39)
总可以用下列正定二次型函数作为李雅普诺夫函数：
V (x,t) xT (t)P(t)x(t)
(4.40)
式中，P(t) 为实对称正定矩阵。 V(x,t) xT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)x(t)
取Q=I，P

P11

P12
P12
P22

,代入
T
得
0 1
1 P11

1

P12
P12 P22


P11

P12
P12 0
P22


1
1 1

10
0 1
P12

P11

P12
P12
P22 P22

xe2
xe1
xe1 (xe21 xe2 (xe21
xe22 ) xe22 )
0
xe1 xe1 (xe21 xe22 ) 2 0
x e1 [1
(x
2 e1

x
2 e2
)2
]

0
因为 1 (xe21 xe22 )2 0 ，所以 xe1 0 ， xe2 0 . 即系统 的平衡点为 :