任意锐角的三等分

任意锐角的三等分

【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和

钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究.

【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）.

为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）.

实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只

能以近似的方式来解决•比如，以a为直径作一个圆，会容易

做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且

S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道.

本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是

指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角

有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究.

下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角.

题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）.

求解：三等分a .

一、作图（参照图2）

（1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取

OA=AA2=A2A3.

（2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB

同圆半径），

以O 为圆心，以OA2 为半径，作A2B2 ，此时OA2=OB2 （同圆半径），

以O 为圆心，以OA3 为半径，作A3B3 ，此时OA3=OB3 （同圆半径）.

（3）作/ a的平分线OP.

①以A3 为圆心，以OA3 为半径作弧lA ；

②以B3 为圆心，以OA3 为半径作弧lB ，交lA 于P；

③连接OP,交AB于C,交A2B2于C2,交A3B3于

C3，

此时，/ xOP= / POy= / AOC= / COB= / A2OC2= / C2OB2= / A3OC3= / C3OB3.

•••同一圆内等角对等弧，

••• AC=CB，A2C2=C2B2，A3C3=C3B3.

（4）连接弦A2C2，在C3B3上按照取弦A2C2的长度取弦A3W3=V3B3=A2C2 ，连接A3W3 ，V3B3.

（5）连接OW3，OV3，此时，OA3=OW3=OC3=OV3=OB3 （同圆半径），

贝y OW3 , OV3 三等分/ a ,即/ A3OW3= / W3OV3= /

V3OB3.

二、证明

1.作辅助图（参照图3）.

( 1)连接A3V3 交OW3 于KW.

(2)以OKW为直径作O R.

①以OKW 为半径，以O为圆心作弧101 ,102，以OKW 为半径，以KW为圆心作弧IK1交101于M，作弧IK2交102 于N.

②连接MN交OKW 于R,则MN是OKW 的垂直平分线，R 是垂足.

••• 0W3是OKW 所在的直线段，•••0W3丄MN.

③以R为圆心，以RO (=RKW )为半径，作O R,

交MN 于m, n,交0A3 于O, a,

交0W3 于0, KW，交0V3 于0, E,

交0B3 于O, b,交A3V3 于KW , KW 是A3V3 与O R 的唯一公共点.

2.证明.

(1)根据以上所作辅助图(参照图3)可知：O R交

A3V3于KW，即KW 是A3V3与O R的唯一公共点.

根据圆的切线定义：如果一条直线与一个圆只有一个公共点,则这条直线叫作这个圆的切线,该公共点叫作切点, 可以得出结论：A3V3是O R的一条切线；

另根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的

半径，可以得出结论：A3V3丄RKW. v 0W3是RKW 所在的直？段，••• A3V3丄0W3 , KW 是垂足.

（2）在Rt △ OKWA3 与Rt △ OKWV3 中，•/ A3V3 丄

OW3 , •••/ OKWA3= / OKWV3=90 ° ,v 同圆半径，OA3=OV3 , OKW 为共有直角边，

根据HL定理，Rt△ OKWA3 ◎ Rt△ OKWV3.〔•对应边相等，. A3KW=KWV3.

（3）在Rt△ W3KWA3 与Rt△ W3KWV3 中，T A3V3 丄OW3 ,•••/ W3KWA3= / W3KWV3=90。，根据证明（2）结论：

A3KW=KWV3 ，W3KW 为共有直角边.

根据SAS 定理，Rt△ W3KWA3 Rt△ W3KWV3 ,••对应边相等，. A3W3=W3V3.

（4）T根据证明（3）,可知A3W3=W3V3，又根据作图（4）的步骤，可知A3W3=V3B3 ，

. A3W3=W3V3=V3B3 （等量相等），

. A3W3=W3V3=V3B3 （等弦对等弧），

•••/ A3OW3= / W3OV3= / V3OB3 （等弦对等角）,

•••/ A3OW3+ / W3OV3+ / V3OB3= / a 得证.

综上，我们已证明：/a被三等分后，三个分角在A3B3 上且只有在A3B3 上的对应弦等于A2C2. 关于钝角的三等分问题，由于篇幅所限，简单说明如下：可将钝角二等分或四等分，变成相等的两个或四个锐角，再对得到的锐角按上述方法进行三等分后，进行角的合并（二合一或四合一），则可实现钝角的三等分.