麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程，它描述了电场和磁场的相互作用。
在电磁波方程的推导过程中，亥姆霍兹方程是一个重要的中间步骤。
在本文中，我们将推导麦克斯韦方程组，然后展示如何通过亥姆霍兹方程推导出电磁波方程。
一、麦克斯韦方程组的推导1.高斯定理第一个麦克斯韦方程是高斯定理，它描述了电场和电荷密度的关系。
根据高斯定理，一个封闭曲面上的电通量等于该曲面内的电荷总量的四倍πε0 (其中ε0是真空介电常数)。
∮ E·ds = 4πε0 Q这个方程表明了电场的源是带电粒子。
如果一个闭合曲面内没有电荷，电场通量将为零。
2.法拉第电磁感应定律第二个麦克斯韦方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场和电场的相互作用。
根据法拉第电磁感应定律，磁通量变化速率与产生感应电动势的电场强度成正比。
ε = -dΦm/dt这个方程表明了磁场的变化会产生电场。
电场和磁场是紧密相连的。
3.安培环路定理和位移电流定律第三个和第四个麦克斯韦方程分别是安培环路定理和位移电流定律。
安培环路定理描述了磁场和电流的相互作用，而位移电流定律描述了电场和时间变化的磁场之间的关系。
根据安培环路定理，通过一个封闭回路的磁通量之和等于该回路内的电流总和。
∮ B·ds = μ0 I其中μ0是真空磁导率。
根据位移电流定律，电场的旋转率等于时间变化的磁场的散度的负值。
rot E = - dB/dt二、亥姆霍兹方程的推导亥姆霍兹方程是电磁波方程的一个重要的中间步骤。
它可以通过麦克斯韦方程和一些向量运算得到。
我们首先从安培环路定律开始:∮ B·ds = μ0 I由斯托克斯定理得：∮ B·ds = ∬(rot B)·ds将rot B替换为-μ0ε0(dE/dt)，得到∮ B·ds = -μ0ε0(d/dt ∫ E·ds)因此，d/dt ∫ E·ds + ∮ B·ds = 0利用高斯定理，∮ (E·ds) = 4πε0 Q则d/dt ∫ E·ds + ∬(rot E)·ds = 0将rot E替换为- dB/dt得到d/dt ∫ E·ds - ∬(dB/dt)·ds = 0简化得到d^2/dt^2 ∫ E·ds - ∬(d^2B/dt^2)·ds = 0然后，我们使用向量恒等式rot(rot A) = grad(div A) - ∇^2 A其中，grad表示梯度，div表示散度，∇^2表示拉普拉斯算子。
麦克斯韦方程组推导波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律。
它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这四个方程联立起来可以推导出波动方程，从而揭示出电磁波的性质。
首先，我们来看麦克斯韦方程组的四个方程如下：1. 高斯定律：电场通量与电荷密度成正比。
∮E·dA = ε0∫ρdV这个方程告诉我们，电场的产生是由电荷所形成的，电场是由正负电荷相互引力或排斥所形成的。
2. 高斯磁定理：磁场的闭合环路积分与电流和变化的电场通量成正比。
∮B·ds = μ0∫(J+ε0∂E/∂t)·dA这个方程说明了磁场是由电流和变化的电场所引起的，磁场的产生是由电流流动所形成的。
3. 法拉第电磁感应定律：感应电动势与磁通量变化率成正比。
ε = -dΦB/dt这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电动势，也就是电磁感应现象。
4. 安培环路定理：磁场的闭合环路积分与通过这个环路的电流成正比。
∮B·ds = μ0I这个方程说明了磁场是由电流产生的，磁场和电流之间存在一种紧密的联系。
通过以上四个方程的联立，我们可以推导出波动方程，即电磁波的方程：∇^2E - με∂^2E/∂t^2 = 0这个方程描述了电场的传播和波动，其中∇^2是Laplace算符，μ和ε分别是真空中的磁导率和介电常数。
波动方程的解满足行波解的形式，也就是取决于时间和空间的函数的乘积：E(r,t) = E0e^(i(k·r - ωt))其中，E0是振幅，k是波矢，r是位置坐标，ω是角频率。
这个解表明电场以速度c = ω/k传播，c是真空中的光速。
通过波动方程的推导，我们可以看出电磁波的传播是由电场和磁场相互耦合形成的。
电场和磁场相互垂直并相位差90度，它们交替地变化和传播，形成了电磁波。
这种波动的传播方式是以空间和时间的函数关系来描述的，从而揭示了电磁波的特性和行为。
总结起来，麦克斯韦方程组推导出的波动方程对我们理解电磁波的本质和行为有着重要的指导意义。
麦克斯韦方程组三种形式
麦克斯韦方程组三种形式麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组，它包含了电场、磁场、电荷和电流之间的关系。
麦克斯韦方程组有三种形式，分别是积分形式、微分形式和矢量形式。
一、积分形式积分形式是麦克斯韦方程组最早被发现的形式，它是通过对电场和磁场的积分得到的。
积分形式包括四个方程式，分别是高斯定律、安培定律、法拉第电磁感应定律和高斯安培定理。
1. 高斯定律高斯定律描述了电场的产生和分布规律，它的数学表达式为：$$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}$$其中，$\vec{E}$表示电场强度，$S$表示一个闭合曲面，$Q$表示曲面内的电荷量，$\varepsilon_0$表示真空介电常数。
2. 安培定律安培定律描述了磁场的产生和分布规律，它的数学表达式为：$$\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I$$其中，$\vec{B}$表示磁场强度，$C$表示一个闭合回路，$I$表示回路内的电流，$\mu_0$表示真空磁导率。
3. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场对电场的影响，它的数学表达式为：$$\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$$其中，$\Phi_B$表示磁通量，$t$表示时间。
4. 高斯安培定理高斯安培定理描述了电流对磁场的影响，它的数学表达式为：$$\oint_S \vec{B}\cdot d\vec{S}=\mu_0I+\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$$其中，$\Phi_E$表示电通量。
二、微分形式微分形式是麦克斯韦方程组的另一种形式，它是通过对积分形式进行微分得到的。
微分形式包括四个方程式，分别是高斯定理、安培定理、法拉第定律和连续性方程式。
1. 高斯定理高斯定理的微分形式是：$$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$其中，$\rho$表示电荷密度。
麦克斯韦公式推导过程
麦克斯韦公式推导过程麦克斯韦公式，也称作麦氏方程，是电磁学中最基本的方程之一，描述了电磁场的产生和传播。
它的完整形式由四个方程组成，即麦克斯韦方程组。
公式的推导过程相对复杂，需要基于一些关键的物理概念和数学原理。
下面是一个麦克斯韦公式的推导过程的简要阐述。
1.高斯定理的应用：首先，根据高斯定理，我们可以将磁场的闭合曲面积分转化为磁场的体积积分。
假设磁场的闭合曲面为S，磁场为B，磁场的体积为V，那么高斯定理可以表示为：∮B·dS=∫∫∫V(∇·B)dV2.安培环路定理的应用：根据安培环路定理，我们可以将电场的闭合曲线积分转化为电场的环路积分。
假设电场的闭合曲线为C，电场为E，电场的环路为L，那么安培环路定理可以表示为：∮E·ds = ∫∫∫S (∇×E)·dS3.法拉第电磁感应定律的应用：波动方程是电磁波在真空中传播时满足的方程。
根据法拉第电磁感应定律，磁感应强度的变化率与磁场强度的旋度有关。
假设磁感应强度为B，电场为E，时间变化率为∂/∂t，那么法拉第电磁感应定律可以表示为：∇×E=-∂B/∂t4.将波动方程和安培环路定理相结合：对于变化的电场和磁场，它们满足波动方程：∇²E-με(∂²E/∂t²)=0∇²B-με(∂²B/∂t²)=0其中，μ和ε分别是真空的磁导率和电容率。
将安培环路定理的方程应用到这个方程组中，得到：∮E·ds = -μ (∂/∂t) (∫∫∫S (∇×B)·dS)在右边的积分中运用高斯定理、安培环路定理和法拉第电磁感应定律，我们可以得到：∮E·ds = -μ (∂/∂t) (∫∫∫S (∇×B)·dS)=-μ(∂/∂t)(∫∫∫S(-με(∂E/∂t))·dS)=με(∂²E/∂t²)5.求解：将以上的结果代入波动方程，我们可以得到：∇²E-με(∂²E/∂t²)=0∇²B-με(∂²B/∂t²)=0结合以上两个方程，我们可以得到麦克斯韦方程组的完整形式：∇·B=0∇·E=0∇×E=-∂B/∂t∇×B=με(∂E/∂t)其中，∇是向量微分算子，·代表数量积，×代表矢量积，∂/∂t代表对时间的偏导数。
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程，描述了电场和磁场的变化规律。
其推导过程可以从麦克斯韦方程的几个组成部分出发，依次推导得到。
首先，我们考虑电场的变化规律。
根据库仑定律，两个电荷之间的作用力与它们的距离成反比。
以这个定律为基础，我们可以得到电场的高斯定律。
高斯定律表示电场通量与电场源的关系，即被电场穿过的表面上电场通量等于其所围体积内的电荷量的比例。
接着，我们考虑磁场的变化规律。
磁场的变化可以通过安培定律来描述。
安培定律表明，磁场的闭合环路积分等于通过该环路的电流的代数和的倍数。
这个定律描述了电流对磁场产生的影响。
然后，我们考虑电磁感应现象。
法拉第电磁感应定律是描述磁场变化对电场产生影响的基本定律。
该定律表示，当一个闭合线圈中的磁通量发生变化时，线圈的产生感应电动势。
最后，我们考虑变化电场对磁场的影响。
根据法拉第电磁感应现象，我们可以得到法拉第-楞次定律。
该定律表示，磁场变
化率与闭合回路内电场的环路积分之比等于该回路内的感应电流。
综上所述，我们可以得到麦克斯韦方程组的推导过程，包括电场的高斯定律、磁场的安培定律、磁场对电场的法拉第电磁感
应定律，以及变化电场对磁场的法拉第-楞次定律。
这些方程
描述了电场和磁场的变化规律，并建立了电磁学的基本理论。
总结起来，麦克斯韦方程组的推导过程涉及了电场的高斯定律、磁场的安培定律、电磁感应现象以及变化电场对磁场的影响。
这些定律和现象的综合运用和推导，得出了麦克斯韦方程组的表达式，为电磁学的研究提供了重要的理论基础。
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组八种麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
它描述了电荷与电流产生的电场和磁场之间的相互作用。
麦克斯韦方程组共有8个方程，分别描述了电场、磁场的产生和变化规律。
本文将详细介绍这八种方程，并解释其物理意义。
1. 高斯定律（Gauss’s Law）高斯定律是麦克斯韦方程组中的第一个方程，用来描述电场与电荷之间的关系。
它可以表述为：∇⋅E=ρε0其中，∇⋅E表示电场的散度（divergence），ρ是电荷密度，ε0是真空介质中的介质常数。
高斯定律实际上是一种守恒定律，它表明了通过一个闭合曲面的电通量等于该曲面内部所包围的总电荷。
这个方程可以用来计算电场的分布，理解电荷与电场的相互作用。
2. 麦克斯韦-法拉第定律（Maxwell-Faraday Law）麦克斯韦-法拉第定律描述了磁场的变化如何产生感应电场。
它可以表述为：∇×E=−∂B ∂t其中，∇×E表示电场的旋度（curl），B是磁感应强度。
这个方程说明了当磁场发生变化时，会产生一个环绕着磁场变化区域的感应电场。
这个定律是电磁感应现象的基础，也是电磁波传播的重要原理之一。
3. 安培环路定理（Ampere’s Circuital Law）安培环路定理描述了通过一条闭合回路的磁感应强度与该回路内部所包围的总电流之间的关系。
它可以表述为：∇×B=μ0J其中，∇×B表示磁感应强度的旋度，μ0是真空中的磁导率，J是电流密度。
安培环路定理说明了电流会产生磁场，并且磁场的强度与电流的大小和方向有关。
这个定律对于计算磁场分布、设计电磁设备等都具有重要意义。
4. 法拉第电磁感应定律（Faraday’s Law of Electrom agnetic Induction）法拉第电磁感应定律描述了通过一个闭合回路的磁感应强度与该回路内部所包围的总磁通量之间的关系。
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组是电磁学中描述电场和磁场的基本方程组，由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪中期推导出来。
这个方程组总共包含四个方程，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
下面是麦克斯韦方程组的推导过程：1.高斯定律（电场的高斯定理）：高斯定律描述了电场的源和汇，即电荷和电场的关系。
我们从库仑定律出发，该定律描述了电荷之间的相互作用。
设一个正电荷Q位于原点，电场E为其造成的电场强度。
现在我们考虑一个半径为r的闭合球面S，它将原点包围。
根据高斯定律，电场通过球面的总通量等于包围在球心的电荷量的比例。
即，Φ(E) = ∮(E·dA) = (1/ε₀) * Q其中，Φ(E)表示电场E通过球面S的通量，∮(E·dA)表示电场E 的面积积分，ε₀是真空中的电介质常数（电容率）。
2.高斯磁定律：高斯磁定律指出，不存在孤立的磁荷（单极磁荷）。
这意味着磁场线总是形成闭合回路，没有类似电荷的单一起点或终点。
因此，对于任何闭合曲面S，磁场B通过曲面的通量为零。
即，Φ(B) = ∮(B·dA) = 0其中，Φ(B)表示磁场B通过曲面S的通量，∮(B·dA)表示磁场B的面积积分。
3.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律描述了磁场随时间变化时，电场的感应效应。
考虑一个线圈或导体回路，它的边界为曲面S。
当磁场B通过这个曲面的通量随时间变化时，将会在回路内部产生电动势（电压）。
该电动势大小与通量变化率成正比。
法拉第电磁感应定律的数学表达式为：∮(E·dl) = -(dΦ(B)/dt)其中，∮(E·dl)表示沿着闭合回路的电场E的线积分，dl表示回路的微小线段，-(dΦ(B)/dt)表示磁场B通过曲面S的通量随时间的变化率。
4.安培环路定律：安培环路定律描述了电流通过闭合回路时，磁场的环绕效应。
假设我们有一个闭合回路C，其中有电流I通过。
几种推导麦氏关系的方法
几种推导麦氏关系的方法
1. 矢量方法：利用矢量运算和矢量分解，将麦氏关系推导为矢量形式。
首先将麦氏关系写成等式形式，然后使用矢量内积、外积等运算，将该等式进行变换，最终得到麦氏关系的矢量形式。
2. 微分方法：利用电磁场的微分形式方程，如麦克斯韦方程组，结合适当的推导和变换，推导出麦氏关系。
这种方法常用于推导电场与磁场之间的关系，例如根据法拉第电磁感应定律结合麦克斯韦方程组中的对应项，可以得到麦氏关系的一种推导方法。
3. 基本积分定理方法：利用电磁场对应的矢量场具有无旋和无源性质，可以利用基本积分定理进行推导。
通过在闭合曲面上应用斯托克斯定理和在闭合曲线上应用高斯定理，将电磁场的体积分和面积分转化为对应的线积分，然后利用电场和磁场的定义和物理性质，最终推导出麦氏关系。
4. 麦氏关系的物理直观推导：根据电场和磁场之间存在的物理机制，例如洛伦兹力和安培力的作用、电荷守恒定律、电流连续性等，进行直观的物理推导。
通过分析电磁感应、电磁波传播等现象，利用物理常识和逻辑关系，可以推导出麦氏关系。
5. 科学实验方法：通过实验观测和测量电场和磁场的相互作用、现象和量值，结合实验数据与理论关系，对麦氏关系进行推导验证。
利用认知规律和实验结果，可以反推出麦氏关系的推导方法。
电磁学中的麦克斯韦方程组及其推导
电磁学中的麦克斯韦方程组及其推导电磁学是物理学中的一个重要分支，研究电荷和电流之间的相互作用以及电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组是电磁学的基础，描述了电磁场的运动和变化，对于我们理解电磁现象和应用电磁技术具有重要意义。
麦克斯韦方程组由四个方程组成，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律的积分形式。
这四个方程的推导过程相对复杂，需要借助一些数学和物理知识。
首先，我们从高斯定律开始推导。
高斯定律描述了电场和电荷之间的关系。
根据高斯定律，电场通过一个闭合曲面的通量与该曲面内的电荷量成正比。
通过一系列的数学推导和假设，我们可以得到高斯定律的微分形式和积分形式。
接下来，我们来推导法拉第电磁感应定律。
法拉第电磁感应定律描述了磁场的变化对电场的影响。
根据法拉第电磁感应定律，一个变化的磁场可以在闭合回路上产生感应电动势。
通过一系列的实验和观察，我们可以得到法拉第电磁感应定律的微分形式和积分形式。
安培环路定律是电磁学中的另一个重要定律。
安培环路定律描述了电流和磁场之间的相互作用。
根据安培环路定律，磁场的旋度等于通过一个闭合回路的电流的总和。
通过一系列的实验和观察，我们可以得到安培环路定律的微分形式和积分形式。
最后，我们推导法拉第电磁感应定律的积分形式。
通过对法拉第电磁感应定律的微分形式进行积分，我们可以得到法拉第电磁感应定律的积分形式。
这个积分形式给出了磁场变化对闭合回路上感应电动势的贡献。
通过以上的推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组的微分形式和积分形式。
这四个方程描述了电磁场的运动和变化，是电磁学的基础。
它们的推导过程相对复杂，需要借助一些数学和物理知识。
但是，它们的应用范围非常广泛，不仅仅局限于电磁学领域，还涉及到其他许多科学领域。
总之，电磁学中的麦克斯韦方程组是电磁学的基础，描述了电磁场的运动和变化。
这四个方程的推导过程相对复杂，需要借助一些数学和物理知识。
麦克斯韦方程组的应用范围非常广泛，不仅仅局限于电磁学领域，还涉及到其他许多科学领域。
麦克斯韦关系式的推导
麦克斯韦关系式的推导1. 引言麦克斯韦关系式是电磁学中的一个重要公式，描述了电场、磁场和电流之间的相互关系。
它由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出，并成为了电磁学理论的基础之一。
本文将对麦克斯韦关系式进行推导，以便更好地理解其物理意义和应用。
我们将从基本的电场和磁场定律出发，逐步推导得到麦克斯韦关系式。
2. 推导过程2.1 安培定律安培定律是描述电流与磁场之间关系的基本定律。
根据安培定律，通过一个闭合回路的磁场积分等于该回路所包围的电流乘以真空中的磁导率μ₀。
数学表达为：∮B⃗ ⋅dl=μ0I其中，∮表示对闭合回路上路径积分，B⃗ 表示磁场强度，dl表示微元路径长度，μ0表示真空中的磁导率，I表示通过闭合回路的电流。
2.2 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是描述磁场变化引起感应电动势的定律。
根据法拉第电磁感应定律，一个闭合回路中的感应电动势等于该回路所包围的磁通量变化率的负值。
数学表达为：ε=−dΦdt其中，ε表示感应电动势，Φ表示磁通量，t表示时间。
2.3 麦克斯韦-安培定律麦克斯韦-安培定律是描述电场和磁场之间关系的基本定律。
根据麦克斯韦-安培定律，一个闭合回路中的电场积分与该回路所包围的时间变化率的负值成正比。
数学表达为：∮E⃗⋅dl=−dΦdt其中，E⃗表示电场强度。
2.4 法拉第旋度定理法拉第旋度定理是描述旋度与闭合环路上的环流之间关系的定理。
根据法拉第旋度定理，一个闭合回路上的环流等于该回路所包围的磁场旋度积分。
数学表达为：∮B⃗ ⋅dA=μ0I enc其中，B⃗ 表示磁场强度，dA表示微元面积矢量，I enc表示通过被闭合曲面所包围的电流。
2.5 麦克斯韦方程组将安培定律和法拉第旋度定理结合起来，可以得到麦克斯韦方程组：∇×E⃗=−∂B⃗ ∂t∇×B⃗ =μ0J+μ0ε0∂E⃗∂t其中，∇表示梯度算子，×表示向量叉乘，J表示电流密度，ε0表示真空中的介电常数。
麦克斯韦方程组 变分法
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，而变分法则是数学中的一个工具，用于寻找函数的极值或最小值。
将这两者结合起来，我们可以使用变分法来推导麦克斯韦方程组。
首先，麦克斯韦方程组可以写成以下形式：其中， 是电场强度， 是磁感应强度， 是电荷密度， 是电流密度， 是真空中的介电常数， 是真空中的磁导率。
接下来，我们可以使用变分法来推导这些方程。
具体来说，我们可以定义一个拉格朗日函数 ，该函数包含了电场和磁场的所有可能配置。
然后，我们可以使用欧拉-拉格朗日方程来找到使 取得极值的电场和磁场配置。
具体来说，拉格朗日函数 可以写成以下形式：其中， 是矢量势， 是标量势，它们与电场和磁场的关系为：然后，我们可以使用欧拉-拉格朗日方程来找到使 取得极值的 和 。
具体来说，欧拉-拉格朗日方程可以写成以下形式：通过将这些方程与麦克斯韦方程组进行比较，我们可以发现它们是一致的。
因此，我们可以说麦克斯韦方程组是通过使用变分法从拉格朗日函数推导出来的。
需要注意的是，这只是一种推导麦克斯韦方程组的方法之一。
还有其他方法，例如直接使用物理定律和数学原理来推导这些方程。
但是，使用变分法可以让我们更好地理解这些方程的物理意义和数学结构。
1. 高斯定律：∇⋅E = ϵ0ρ2. 高斯磁定律：∇⋅B =03. 法拉第感应定律：∇×E =− ∂t∂B 4. 安培-麦克斯韦定律：∇×B =μJ +0μϵ 00∂t∂E E B ρJ ϵ0μ0L L L L = ϵE − μB +J ⋅A −ρϕdV∫(2102210−12)A ϕE =−∇ϕ− ,B =∂t ∂A ∇×AL ϕA −∂t ∂(∂(∂ϕ/∂t )∂L )∇⋅ =(∂(∇ϕ)∂L )0, −∂t ∂(∂(∂A /∂t )∂L )∇⋅ =(∂(∇A )∂L )0。
麦克斯韦方程组五个公式和含义
麦克斯韦方程组五个公式和含义
麦克斯韦方程组是由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，它描述了电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
以下是五个麦克斯韦方程组的公式和它们的基本含义：
1. 积分形式的麦克斯韦方程组：
（1）全电流定律：磁场强度H沿任意闭合曲线的线积分，等于穿过此曲线限定面积的全电流。
等号右边第一项是传导电流，第二项是位移电流。
（2）法拉第电磁感应定律：电场强度E沿任意闭合曲线的线积分等于穿过由该曲线所限定面积的磁通对时间的变化率的负值。
这里提到的闭合曲线，并不一定要由导体构成，它可以是介质回路，甚至只是任意一个闭合轮廓。
（3）磁通连续性原理：对于任意一个闭合曲面，有多少磁通进入曲面就有同样数量的磁通离开。
即B线是既无始端又无终端的；同时也说明并不存在与电荷相对应的磁荷。
（4）高斯定律：在时变的条件下，从任意一个闭合曲面出来的D的净通量，应等于该闭曲面所包围的体积内全部自由电荷之总和。
2. 微分形式的麦克斯韦方程组：
全电流定律的微分形式说明磁场强度H的旋度等于该点的全电流密度（传导电流密度J与位移电流密度ρ）。
麦克斯韦方程组深度解析
麦克斯韦⽅程组深度解析电动⼒学应该是四⼤⼒学⾥脉络最清晰的⼀门，因为所有的经典电磁现象⽆⾮就是麦克斯韦⽅程的解，在不同的情况我们使⽤麦克斯韦⽅程不同的写法，这⾥写四种。
⽅程的物理意义普物电磁学已经谈过，这⾥不再讨论。
（⼀) 积分形式麦克斯韦⽅程积分形式的麦克斯韦⽅程为：众所周知，积分某种程度上就是⼀种求和或者取平均的操作（积分中值定理），积分形式麦克斯韦⽅程就是⽤在这种需要平均的地⽅，也就是当电荷分布或者⾃由电流分布在界⾯上出现不连续的情况时。
什么时候界⾯会出现电流电荷分布的不连续？也就是不同介质的交界⾯上。
在⼀个界⾯上如果存在不连续的电荷分布，⾸先造成电场法向分量不连续：取⼀个薄⾼斯⾯包围界⾯⼀点，根据第⼀个麦克斯韦⽅程，得到不连续的值为：再做⼀个环路包围界⾯⼀点，穿过两种介质，可以得到电场切向分量是连续的。
对磁场如法炮制，得到法向分量是连续的（第三式），切向分量是不连续的（第四式）：统⼀以下，写成⽮量形式就是：（⼆) 微分形式麦克斯韦⽅程根据⾼斯定理和斯托克斯定理，我们可以⽴刻把积分形式麦克斯韦⽅程写成微分形式：微分形式麦克斯韦⽅程+积分形式得到的边界条件，可以解决⼤多数问题了，当电磁场不含时的时候，我们要解决的就是静电静磁问题：2.1 静电场注意到静电场旋度是0，因此它是保守场，因为标量梯度的旋度总是0，所以存在标势Φ，满⾜：解决静电学的⽅法有很多种，但⽆⾮都是叠加原理思想的运⽤。
第⼀种是直接⽤库伦定律+叠加原理。
库仑定律告诉我们，⼀个点电荷激发的电势为:对于⼀个给定了电荷分布的系统，使⽤叠加原理第⼆种是解泊松⽅程，在线性，各项同性的，均匀的介质中，电位移⽮量D和场强E只差⼀个介电常数ε：把标势代⼊电场散度中，得到泊松⽅程：在没有电荷分布的地⽅，标势也就满⾜拉普拉斯⽅程：求解的⽅法很多，参见数学物理⽅法。
叠加原理得到的Φ就是泊松⽅程的⼀个特解。
第三种是对特解进⾏多级展开，因为特解的积分不好求，因此把它展开成泰勒级数，因为各阶的系数（电多级矩）是好求的，只要我们展开够多，得到的结果就更精确：2.2 静磁场磁场旋度⼀般不是0，因此不是保守场，但它的散度是0，因为⽮量旋度的散度总是0，因此我们可以定义失势：于是多了⼀个静电场不存在的⿇烦：我们完全确定⼀个场，需要知道它的旋度，散度和边界条件，静磁场中引⼊了新的场A，并且知道了A的旋度，但我们不知道它的散度，也就是说引⼊⽮势后增加了⼀个⽅程，如果需要唯⼀解，我们需要为A添加新的约束条件，不同约束条件就是所谓不同的规范。
麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较
麦克斯韦方程组得几种推导方法及其比较摘要:介绍麦克斯韦方程组得几种推导方法。
从经典、能量守恒、拉格朗日方程得方面推导得出现有得麦克思维方程组,从侧面说明了麦克斯韦得普遍适用性与有其她一些普遍存在得定理定律得等价性。
通过分析三种方法得优缺点,从而加深对麦克斯韦方程组得物理意义得理解,培养科学求真得探索精神。
关键词:拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律目录引言: (1)1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法 (2)1、1 第一方程式得推导 (2)1、2第二方程式得推导 (3)1、3第三方程式得推导 (3)1、4第四方程式得推导 (5)2_从电磁场能量与能流形式推导麦克斯韦方程组 (6)3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组得方法。
(8)4_三种方法得比较 (11)4、1经典方法得优势 (11)4、2能量方法推导得优缺点 (12)4、3拉格朗日方程推导得特点 (12)结束语: (13)参考文献: (13)引言:麦克斯韦方程组就是电磁理论得基本方程,在电磁学中有很重要得地位,在与很多工业领域有很多应用。
关于它得推导建立,有我们熟知得经典方法,还有后来得根据拉格朗日方程等分析力学方法推导,以及由能量守恒得方法推导等诸多方法。
下面我们来一一推导证明1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法1、1 第一方程式得推导电荷得库仑定律:F =0ε41πr r q q 3' 此电荷得场强为:E =0ε41πr rq 3 对电荷得场强沿着球面求面积分,得到:⎰S dS E =∑0εi Q =⎰V 01dV ρε电场强度通过面元d S 得通量为:dS E • =Ecos θds=204r Qπεcos θds 。
θ就是d S 与E 得夹角,cos θds/2r 位球面得立体角元。
所以包裹电荷得闭合曲面与球面得积分就是相同得。
由于对电荷得场强求面积分只与包裹着得电荷有关系,所以积分得面没有关系。
又因为电荷得体密度得定义:ρ=Vq 根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度得体积分: ⎰•∇VdV E =ρV/0ε 得到:0/ερ=•∇E等效都就是在真空下得方程式,如果在介质下得束缚电荷密度p ρ,那么:E •∇=(ρ+p ρ)/0ε。
由麦克斯韦方程组推导出毕奥-萨伐尔定律的几种方法
由麦克斯韦方程组推导出毕奥-萨伐尔定律的几种方法：毕奥-萨伐尔定律描述了电流和磁场之间的关系，可以从麦克斯韦方程组中推导出来。
以下是几种方法：1、利用安培环路定理首先，根据麦克斯韦方程组中的安培环路定理，我们可以得到环路积分形式的电磁感应定律：∮ B·dl = μ0I其中，B表示磁感应强度，l表示环路路径，μ0表示真空中的磁导率，I表示穿过环路的电流。
接下来，如果我们将一个平面圆形环路放在一段直线电流旁边，那么由于线圈中的电流会产生磁场，这个磁场会穿过圆形环路并在其内部形成一个磁通量Φ。
此时，我们可以利用安培环路定理得到：∮ B·dl = μ0IB·2πr = μ0I其中，r是圆形环路的半径。
将磁感应强度B表示为Φ/πr^2，可以得到毕奥-萨伐尔定律的积分形式：Φ = μ0Iπr^22、利用法拉第电磁感应定律另一种方法是利用法拉第电磁感应定律。
根据这个定律，当一个导体中的磁通量发生变化时，将会在导体中产生感应电动势。
场，这个磁场穿过圆形环路并在其内部形成一个磁通量Φ。
如果电流发生变化，那么这个磁通量也会变化，于是根据法拉第电磁感应定律，环路内部就会产生一个感应电动势ε：ε = -dΦ/dt根据磁通量Φ和毕奥-萨伐尔定律的积分形式，可以得到：ε = -d(μ0Iπr^2)/dtε = -μ0πr^2(dI/dt)这个公式描述了磁场变化所引起的感应电动势大小与电流变化率之间的关系，即毕奥-萨伐尔定律的微分形式。
3、利用洛伦兹力公式另一种方法是利用洛伦兹力公式。
根据这个公式，一个带电粒子在磁场中受到的力可以表示为：F = q(v × B)其中，q是电荷，v是电荷的速度，B是磁场强度。
如果我们将一个带电粒子放在磁场中，那么它将受到一个向环路中心的力。
这个力可以表示为：F = Il × B其中，I是电流，l是线圈的长度，B是磁场强度。
流将受到一个向圆心的力，这个力会使线圈开始旋转，并在其内部形成一个磁通量Φ。
麦克斯韦方程组的协变形式与两个相对论不变量的推导
麦克斯韦方程组的协变形式与两个相对论不变量的推导以麦克斯韦方程组的协变形式和两个相对论不变量的推导为标题，本文将对麦克斯韦方程组的协变形式以及相对论不变量的推导做一个全面而准确的总结。
首先，将介绍麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组，也就是物理学家爱因斯坦提出的广为人知的相对论方程组，是一套用于研究物理问题的关于重力及空间与时间的形式化系统。
相对论的研究主要集中在物理现象的大小，形状，方向和位置之间的关系。
麦克斯韦方程组的推导是以协变形式的形式进行的，最简单的形式为Ricci变量的平方形式，这也是爱因斯坦所提出的唯一相对论方程组。
其次，将介绍两个相对论不变量。
这两个不变量是爱因斯坦认为是衡量物理现象的不变量，即爱因斯坦在相对论现象中所研究的“相对论不变量”。
第一个不变量是光速不变量，它表明光的速度是固定的，并且是每一个观测者都会体验的相同的光速。
第二个不变量是时空不变量，它表明任何一个观测者都会体验到时空的变化，并且在广角下也会体验到时空变形。
最后，将对麦克斯韦方程组的协变形式和两个相对论不变量的推导进行正式总结。
首先，利用协变形式定义麦克斯韦方程组，其中包括关于时空及重力的关系。
然后，利用协变形式定义两个相对论不变量，其中包括光速不变量和时空不变量。
最后，利用协变形式定义麦克斯韦方程组的双不变量、双可变量及其他一些派生参数，以及爱因斯坦及其他人研究室包含在相对论中的派生概念。
综上所述，本文全面总结了麦克斯韦方程组的协变形式以及两个相对论不变量的推导。
通过对麦克斯韦方程组的协变形式、相对论不变量的推导以及爱因斯坦和其他人所汲取的派生概念，我们可以更好的理解物理现象的大小、形状、方向和位置之间的关系，并更深入地探索物理学的奥秘。
电动力学中的麦克斯韦方程的推导
电动力学中的麦克斯韦方程的推导引言电动力学是研究电荷产生的电场和电流产生的磁场之间相互作用的学科。
它的基础是麦克斯韦方程组，由麦克斯韦在19世纪提出，并且被广泛应用于理解电磁现象和设计电磁设备。
麦克斯韦方程组描述了电场和磁场的产生和演化，是电磁学的核心理论。
本文将详细介绍电动力学中的麦克斯韦方程组的推导过程，并对每一个方程进行解释和解读。
麦克斯韦方程的形式麦克斯韦方程组包含四个方程： 1. 高斯定律：描述电场和电荷之间的关系。
2. 高斯磁定理：描述磁场和磁荷之间的关系。
3. 法拉第电磁感应定律：描述变化的磁场产生的感应电场。
4. 安培环路定理：描述电流和磁场之间的关系。
下面将逐个推导这些方程。
高斯定律的推导高斯定律描述了电场和电荷之间的关系。
根据高斯定律，电场通过一个闭合曲面的通量与该曲面内的电荷量成正比。
设电场强度为E，在一个闭合曲面S内部的电荷量为q，曲面法线方向上的矢量微元为$d\\mathbf{S}$，则通过这个微元的电场通量$\\Phi_E$为$E \\cdotd\\mathbf{S}$。
根据高斯定律，我们有：$$\\oint_S \\mathbf{E} \\cdot d\\mathbf{S} = \\frac{1}{\\varepsilon_0}\\int_V \\rho dV$$其中$\\oint_S$表示对曲面S进行闭合曲面积分，$\\varepsilon_0$是真空介电常数，$\\rho$是电荷密度。
高斯磁定理的推导高斯磁定理描述了磁场和磁荷之间的关系。
根据高斯磁定理，磁场通过一个闭合曲面的磁通量总是为零。
设磁场强度为B，在一个闭合曲面S内部的磁荷量为q m，曲面法线方向上的矢量微元为$d\\mathbf{S}$，则通过这个微元的磁场通量$\\Phi_B$为$B \\cdotd\\mathbf{S}$。
根据高斯磁定理，我们有：$$\\oint_S \\mathbf{B} \\cdot d\\mathbf{S} = 0$$这意味着磁场是无源的，不存在磁单极子。
麦克斯韦方程组的推导
麦克斯韦方程组的推导麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组，包括四个方程：高斯定律、法拉第定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。
首先推导高斯定律，即电场的高斯定理。
根据高斯定律，电场从闭合曲面内流出的电通量与该曲面所包围的电荷量成正比，即：∮ E · dA = Q/ε₀其中，∮表示对闭合曲面的面积分，E为电场强度，dA为曲面的面积微元，Q为闭合曲面内的总电荷，ε₀为真空中的介电常数。
其次推导法拉第定律，即电磁场的高斯定理。
根据法拉第定律，磁感应强度的散度等于磁场中的总电流密度，即：∮ B · dA = 0其中，B为磁感应强度，dA为曲面的面积微元。
再次推导安培定律，即电场中的环路定理。
根据安培定律，电场强度沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的电流磁场的总磁通量的变化率，即：∮ E · dl = - d(∮ B · dA) / dt其中，∮表示对闭合回路的环路积分，E为电场强度，dl为回路的位移微元，B为磁感应强度，dA为回路所包围的面积微元，t为时间。
最后推导法拉第电磁感应定律，即磁场中的环路定理。
根据法拉第电磁感应定律，磁感应强度沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的总电流磁场的磁通量的变化率与由电场引起的涡旋电场的环路积分之和，即：∮ B · dl = μ₀(∮ J · dA + ε₀ d(∮ E · dA) / dt)其中，∮表示对闭合回路的环路积分，B为磁感应强度，dl为回路的位移微元，μ₀为真空中的磁导率，J为回路所包围的总电流密度，dA为回路所包围的面积微元，ε₀为真空中的介电常数，E为电场强度，t为时间。
这样，通过以上推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组的表达式。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
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麦克斯韦方程组的几种推导方法及其比较摘要：介绍麦克斯韦方程组的几种推导方法。
从经典、能量守恒、拉格朗日方程的方面推导得出现有的麦克思维方程组，从侧面说明了麦克斯韦的普遍适用性和有其他一些普遍存在的定理定律的等价性。
通过分析三种方法的优缺点，从而加深对麦克斯韦方程组的物理意义的理解，培养科学求真的探索精神。
关键词：拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律目录引言： (4)1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 (4)1.1 第一方程式的推导 (4)1.2第二方程式的推导 (5)1.3第三方程式的推导 (6)1.4第四方程式的推导 (7)2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 (8)3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。
(10)4_三种方法的比较 (14)4.1经典方法的优势 (14)4.2能量方法推导的优缺点 (14)4.3拉格朗日方程推导的特点 (15)结束语： (15)参考文献： (15)引言：麦克斯韦方程组是电磁理论的基本方程，在电磁学中有很重要的地位，在与很多工业领域有很多应用。
关于它的推导建立，有我们熟知的经典方法，还有后来的根据拉格朗日方程等分析力学方法推导，以及由能量守恒的方法推导等诸多方法。
下面我们来一一推导证明1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 1.1 第一方程式的推导 电荷的库仑定律：F =0ε41πr r q q 3'此电荷的场强为：E =0ε41πr rq 3对电荷的场强沿着球面求面积分，得到：⎰SdS E =∑0εi Q =⎰V1dV ρε电场强度通过面元d S的通量为：dS E •=Ecos θds=204rQ πεcos θds 。
θ是d S与E 的夹角，cos θds/2r 位球面的立体角元。
所以包裹电荷的闭合曲面和球面的积分是相同的。
由于对电荷的场强求面积分只与包裹着的电荷有关系，所以积分的面没有关系。
又因为电荷的体密度的定义：ρ=V q根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度的体积分：⎰•∇VdV E=ρV/0ε得到：0/ερ=•∇E等效都是在真空下的方程式，如果在介质下的束缚电荷密度p ρ，那么：E•∇=（ρ+p ρ）/0ε。
定义电位移矢量：D =0εE +P－∇P=p ρ， 则推广后得：D•∇=ρ， (1.1.1)D =εE,其中ρ是自由电荷密度。
1.2第二方程式的推导静电力是保守力，对静电场强度对任意闭合曲线的积分为零： l d F L⎰=0所以对应的电场强度也为零，即： l d E L⎰=0由法拉第电磁感应定律：ε=－dt d φ=－S d B dt d S ⎰又因为在闭合电路中感应电动势是电场强度的线积分： l d E L⎰=ε得到： l d E L ⎰=－S d B dt d S⎰ 根据斯托克斯公式将电场强度的线积分化成电厂强度的旋度的面积分： ⎰⨯∇S E =－S d B dt d S⎰ 将上式化成微分形式，所以有：∇×E =－t B∂∂(1.2.1) 由于上式中只有电场强度、磁感应强度等电磁场的特点的参数，于介质无关，所以无论是介质中还是真空中都是一样的。
1.3第三方程式的推导根据比奥－萨法尔定律可以得到一小段电流元产生的磁场：d B =304r r l Id⨯πμ 那么长度为无穷大导线电流产生的磁场为： B=rIπμ20， （r 是离导线的距离）对包围直导线的闭合的回路，并求积分得到： l d B L⎰=0μI (1.3.1)对于没有包围载流直导线的回路磁感应强度的线积分为零。
根据斯托克斯公式和电流密度的定义式（1.3.1）还可以写成：⎰⨯∇SdS B =⎰SS d J 0μ去掉积分符号化成微分形式后：∇×B=J 0μ (1.3.2) 变化的电场会产生位移电流，位移电流也会产生磁场：⎰L l d B0μ=dS tE S ⎰∂∂ 9ε 同理也可变为：∇×B =00μεt E ∂∂(1.3.3)综合(1.3.2)、 (1.3.3)得到：∇×B =0μJ +tE ∂∂00με推广到介质中，电磁介质中的分子在电场下会出现极化电荷，极化电荷运动会出现极化电流P J，就会出现和自由电荷类似的极化电流密度；在磁场作用下，分子电流就先通电的小线圈在磁场中受到磁场的作用一样，也会出现定向的规则取向，很多分子电流产生的磁场相当于总的磁化电流产生的磁场，所以就要求出等效的磁化电流的密度M J。
上式就变为：∇×B =0μJ +P J +M J +tE∂∂0με。
(1.3.4) J可以通过实验来测定，但是P J 、M J 会随着电场和磁场的增强而增大。
定义：H =0μB－M ，M J =∇×M；又因为：D =0εE +P，P J =tP ∂∂；所以上式可以化为 ：∇×H =J +t D∂∂(1.3.5) 1.4第四方程式的推导 根据比奥萨法尔定律B =dV r r x J V ⎰⨯'30)(4 πμ=－dV rx J V⎰∇⨯'1)(40πμ ∇是对x 的作用的算符，得：∇×[J （x '）]=（r 1∇）×J （x '）因此：B =∇πμ40×V d r x J V ''⎰)(=∇×A 式中A =πμ40V d rx J V''⎰)( 用∇点乘B =∇×A 左右两边，由于旋度的散度为零得到•∇B=0；也可以认为磁感应强度是闭合的，对任何闭合曲面的通量为零，即根据高斯定理写出：⎰⎰SS d B=0；根据斯托克斯公式化成：⎰⎰SS d B=⎰⎰⎰•∇VB =0；其化成微分形式为：B•∇=0 (1.4.1)由于方程式中仅包含磁感应强度B ，代表的是电磁场的性质，仅与电磁场本身有关系，无论在真空还是在介质中表达式是一样的。
综合(1.1.1) (1.2.1) (1.3.5)（1.4.1）为麦克斯韦方程组 2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 为了以下都是真空中的麦克斯韦方程推导。
电磁场对电荷做的功率为dV v f V⎰•空间内电磁能变化率为：－⎰V wdV dt d流出闭合空间V 的能流为：⎰Sd S σS 、V 分别表示闭合空间的总的表面积、总的体积。
参照热力学第一定律：能量的变化=对外做的功+因为热传导热量的变化，可以得到电磁场的能量守恒定律：－⎰VwdV dt d=dV v f V ⎰• +⎰S d S σ微分形式是：S •∇+t w∂∂=－v f • 【1】 (2.1)又因为：f =V 洛伦兹F =V B v q E q ⨯+=ρE +ρv ×B 带入（2.1）得：v f •=（ρE +ρB v⨯）v •=ρv E •+ρv ×B v •由于第二项B v ⨯与v垂直所以为零，那么v f •=ρv E •=E j • (2.3)其实（2.2）表示电场对电荷做功，磁场不做功。
能量密度为： )1(212020B E w με+=(2.4) S是电磁波传播的能量密度，在时变电磁场中可能有电磁波，波就是能量的流动，所以S≠0；S的表达式为：S =B E⨯01μ ])()[(1)(100E B B E B E S •⨯∇-•⨯∇=⨯•∇=•∇μμ （2.5）将(2.3) (2.4)(2.5)带入(2.1)得到：0)1(][1000=+⨯∇-∂∂•+•∂∂+⨯∇J B t E E B t B E μεμ 【2】(2.6) 要让（2.6）有三种情况第一种情况：B 和E 等于零,中括号内的不为零。
（2.6）是对任意的在真空中的电磁场都是成立的， 任意的B 和E 可以不为零。
第一种程度不成立。
第二种情况：(∇×E )+t B ∂∂ 与B 并且(t EJ B ∂∂++⨯∇-01εμ)与E 都是垂直的，那么t B ∂∂ 与B 垂直，t E ∂∂与E 垂直，那么电磁场都是特定的。
所以不符合任意真空电磁场的条件。
第三种情况：0=∂∂+⨯∇t B E ，0100=∂∂++⨯∇-tE J B εμ整理得到：∇×E =－tB ∂∂ (2.7)t E J B ∂∂+=⨯∇0ε (2.8)用∇点乘（3.8）式的左右两边，由于旋度的散度为零，所以:－t B ∂•∂∇ =0,再对方程左右两边t 积分得到：B•∇=0 （2.9）用∇点乘（2.8）式的左右两边，由于旋度的散度为零，所以：00=∂•∂∇+•∇t E Jε在非恒定电流中有电荷守恒定律：j •∇=－t ∂∂ρ,（恒定电流中t∂∂ρ=0是特殊情况）带入上式有t E ∂•∂∇ 0ε=t∂∂ρ，在对左右求关于t 的积分有：E•∇0ε=ρ (2.10)（2.7）(2.8) (2.9)(2.10)构成了真空中的麦克斯韦方程组。
3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。
拉格朗日量：L=T －V=21m 2v －q(ϕ－A v •)带入拉格朗日方程：αq L dt d ∂∂－αq L ∂∂=0（α=1,，2，3，…s ） (3.1) 在这里α等于3；∂q 分别等于x ，y ，z 。
由于推迟势：【3】V d rc rt x t x V'-'=⎰04),(),(περϕV d rc r t x J t x A V '-'=⎰),(4),(0 πμ 因为A,ϕ都是x,t 的函数，所以写成),(),,(t x A t x ϕ所以：拉格朗日量可以变为：)],(),([212121222t x A v t x q z m y m x m L •--++=ϕ 那么拉格朗日量对广义坐标的偏导为：xA v q x q x L ∂•∂+∂∂-=∂∂)(ϕ yA v q y q y L ∂•∂+∂∂-=∂∂)(ϕ z A v q z q z L ∂•∂+∂∂-=∂∂)( ϕ拉格朗日量对广义速度的偏导为：1qA x m x L-=∂∂ 2qA y m yL+=∂∂ 3qA z m zL+=∂∂ 将上一组式子对t 求导：dtdA q x m x Ldt d 1+=∂∂ dtdA q y m y Ldt d 2+=∂∂ dt dA q z m y Ldt d 3+=∂∂ 带入拉格朗日方程组得到：)(1xA v q x q dt dA q x m ∂•∂+∂∂--+ϕ=0)(2y A v q y q dt dA q y m ∂•∂+∂∂--+ϕ=0)(3zA v q z q dt dA q z m ∂•∂+∂∂--+ ϕ=0分别将上式乘以i ，j ，k ，相加)]([)()(321kA jA iA dt d q z A v k y A v j x A v i q z k y j x i q a m ++-∂•∂+∂•∂+∂•∂+∂∂+∂∂+∂∂-= ϕϕϕ 上式第一项可以变为：ϕ∇-q上式第二项可以变为：)(A v q•∇上式第三项可以变为：dtAd q -则上式可以变为：dt Ad q A v q q a m-•∇+∇-=)(ϕ (3.2)由于：dz zA dy y A dx x A dt t A A d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=+∂=dt A dt A dzzAy y A x x A ∂∂+∂∂+∂∂ A v tA dt A d∇•+∂∂= (3.3) 将上式带入(3.2)得到：])([)(A v A v q t Aq a m∇•-•∇+∂∂+∇-=ϕ由于公式：A v A v A v∇•-•∇=⨯∇⨯)()( 化简得到：)]()[(A v tA q a m⨯∇⨯+∂∂+∇-=ϕ【4】又因为运动电荷的所受的洛仑兹力：B v q q E F⨯+==)(B v E q ⨯+在理想状态下，电荷不受重力，则合力与洛仑兹力相等。