基于DEA与联盟博弈的固定成本分摊方法_李勇军

的解 , 那么第 k 个 DMU 的分摊系数为
第 11 期
基于 DEA 与联盟博弈的固定成本分摊 方法
∑ φk(V)= k∈ S
(s
-1)!(n n!
-s)![
V(S )-V(S
SN
其中 , s 为联盟S 中包含的成员数 .
{k })]
83 (6)
3 算例分析与实证
3.1 算例比较分析
我们采用的样本数据来自于文献[ 6] , 见表 1 .表 1 中给出了 12 个 DMU , 每个 DMU 有三种投入要素 , 两
2 基于 DEA 合作博弈的固定成本分摊模型
2.1 基本假设
为了呈现各个决策单元之间的相互合作博弈关系 , 本文假设 :
1)所有决策单元都是自私自利的 , 在成本分摊过程中表现为各自均采取最小化的成本分摊战略 . 2)所有决策单元都愿意参与博弈 , 从而最终能达成一个公平的愿意接受的分摊方案 .
Method of allocating the fixed cost based on data envelopment analysis and cooperative game
LI Yong-jun , LIANG Liang
(School of Management , University of Science and Technology of China , Hefei 230026, China)
种产出要素 .待分摊成本总额为 R =100(万). 尽管该解法的计算复杂度为 O(2n), 作者通过 Matlab 编程可以求解出上述问题的解 ①, 所得的结果见
s
m
∑ ∑ R(S)=min
uryr(S)- vi xi(S)
r =1
i =1
n
s
m
∑ ∑ ∑ s .t .
uryrj - vi xij = R
j =1 r =1
i =1
s
m
∑ ∑ Rj = uryrj - vixij ≥0
r =1
i =1
(4)
ur , vi ≥0 , r , j
令 μr =ur R , υi =vi R , wj =Rj R , r , j , (wj 即是 DMUj 的分摊系数), 则联盟 S 的最小分摊系数 V (S)是下列线性规划问题的最小值 :
在模型(1)中 , v 1 , v2 , …, vm 和 u1 , u2 , … , us 分别是对应的投入量和产出量的权重 .其中 , 为了简便起见 , 设
定对应于分摊成本的权重为 1 .E0 表示为 DMU0 的相对效率值 .
定理 1 模型(1)中的所有 DMU 均可为有效单元 .
为了证明这个结论 , 我们只需要找出一组可行解使得所有 DMU 的效率值为 1 即可 .
成本为 Rj .那么 , 当 DMU0 在分摊到 R0 时 , 其效率评价可以考虑如下 DEA 模型 :
s
∑ uryr0
max
r =1 m
= E0
∑vixio +R0
i =1
s
∑ uryrj
s .t .m r =1
≤1 , j
∑ vi xij +Rj
i =1
(1)
n
∑Rj =R
j =1
ur , vi , Ri ≥0 , r , i , j
易得以下定理及推论 :
s
m
∑ ∑ V(S)=min
μryr(S)- υi xi (S)
r =1
i =1
n
s
m
∑ ∑ ∑ s .t .
μryrj - υixij =1
j =1 r =1
i =1
s
m
∑ ∑ wj = μryrj - υixij ≥0
r =1
i =1
μr , υi ≥0 , r定集在计算上有一定的难度 , 至今尚无一种通用的方法 .
夏普利值是 Shapley 在 1953 年提出的联盟博弈又一解的定义 , 由于任何联盟博弈都存在 Shapley 值解 以及计算的相对简单性 , 从提出到现在一直被广泛的应用[ 10] .故本文也将 Shapley 值作为联盟博弈(N , V)
0 引言
固定成本是指组织为组织内各子决策单元在建立公共平台上所花费的费用 .该类问题具有比较广泛 的应用背景 , 如 , 银行总行为各分行建立统一的交易系统所花费的投入成本 ;大型连锁超市为各子超市建 立物流配送系统的费用等等 .当建立公平平台的费用超出预算内费用时 , 组织要求各个子决策单元共同分 摊这部分超额费用 .无论从组织的角度还是从研究的角度 , 如何设计一个公平合理的分摊机制都是至关重 要的 .
2008 年 11 月
文章编号 :1000-6788(2008)11-0080-05
系统工程理论与实践
第 11 期
基于 DEA 与联盟博弈的固定成本分摊方法
李勇军 , 梁
(中国科学技术大学 管理学院 , 合肥 230026)
摘要 : 结合 DEA(Data Envelopment Analysis)和联盟博弈方法研究固定成本分摊问题 .首先证明了 如果将 分摊成本作为新的投入 , 则所有的决 策单元将是 DEA 有效 .在此基础上 , 结合联盟博弈理论 , 定义了联盟 博弈的特征函数 , 提出了 Shapley 值 的成本分摊方案 , 最后通过算 例说明了该方法的 有效 , 以及 与已有的 用 DEA 进行固定成本分摊的 方法相比在可实施方面具有一定的优势 . 关键词 : 数据包络分析 ;成本 ;分摊 ;效率 ;联盟博弈 中图分类号 : C934 文献标志码 : A
2.2 基本模型
设联盟 S 是局中人集 N ={1 , 2 , …, n}的一个子集 , 则联盟 S 的投入量和产出量分别记为 :
∑ ∑ xi(S)= xij , yr (S)= yrj
j ∈S
j∈ S
(3)
联盟的目的在于使得分摊的成本最小 , 联盟 S 的最小分摊R(S)是下列线性规划问题的最小值 :
1 考虑分摊成本的 DMU 的效率评价
当分摊的成本被视为 DMU 的一种新投入要素[ 6 , 9 ,10] 时 , 单个 DMU 最为关心的是什么样的分摊方案才
能使其在成本分摊后的相对效率达到最大 , 以及到底能到达多大 .为此 , 设 DMUj 的输入和输出向量分别
为 :Xj =(x 1j , x2 j , …, xmj )T , Y j =(y 1j , y 2j , …, ysj )T , 待分摊固定成本总额为 R , DMUj (j =1 , 2 , … , n)的分摊
r =1 m
vi xij +Rj
= ulylj Rj
ylj ×R =
R ×ylj
i =1
n
∑ylj
j =1 n
=1 , j =1 , 2 , … , n
∑ylj
j =1
ur , vi , Ri ≥0 , r , i , j 可见 , 在模型(1)中 , 所有 DMU 均可为有效单元 .
推论 1 DMUj 分摊的成本等式为
(5)
定理 2 V( )=0 , V(N)=1
因此 V(S)定义了联盟 S 的一个特征函数 , 并且定义该博弈为(N , V).
推论 2 R(S)=R ×V(S)
2.3 基于 Shapley 值的联盟博弈的解
联盟博弈有多种 解的定义 , 包括核心(core)、核子(nucleolus)、稳定 集(stable set)、谈判集(bargaining set)、核(kernel)以及夏普利值(Shapley value)等 .把核心中的分配作为合作博弈的解 , 一个致命的缺陷是核
令
n
n
∑ ∑ vi =0 , i ;ul = R
ylj , l ∈ {1 , 2 , …, s}, ur =0 , r ≠ l ;Rj = R ×ylj
y lj , j ,
j =1
j =1
则有 :
n
n
n
∑ ∑ ∑ Rj = R × ylj
y lj =R
j =1
j =1
j =1
s
∑∑ Ej
=
ur y rj
Abstract: Combining DEA (Data Envelopment Analysis) and cooperative game , this paper has studied how to allocate the fixed cost among decision making units (DMU).It is firstly proofed that all DMUs are DEA efficiency if the allocated cost is as an additional input .Then, based up the conclusion , we combine it with cooperative game , define the characteristic function , and propose a Shapley-Value cost allocation.Finally , Both numerical experiment and comparison with the existing methods based up DEA have shown that the proposed method is relatively reasonable and executive . Key words : DEA ;cost;allocation ;efficiency ;cooperative game
收稿日期 :2007-05-09 资助项目 :国家杰出青年科学基金(70525001);中国科 学技术大学研究生创新基金 作者简介 :李勇军(1982-), 男(汉), 安徽 无为人 , 中 国科学 技术大学 管理学 院博士 生 , 研究方 向 :数 据包络 分析 ;梁 (1962-), 男 , 汉族 , 北京人 , 中国科学技术大学管理学院执行院长 , 教授 , 博士生导师 , 研究方向 :数据包络分析 , 供应链管理 等.