选修2-1课件3.2.3 立体几何中的向量方法三)

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人教新课标版数学高二选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(三)

3.已知在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值是( )
2
3
2
1
A.3
B. 3
C. 3
D.3
解析答案
1 2345
4.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为_______.
解析答案
1 2345
5.在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是________.
与平面 α 所成的角为 θ，则
π2－〈a，n〉，当〈a，n〉∈[0，π2]，
θ＝〈a，n〉－π，当〈a，n〉∈π，π].
答案
(3)二面角的求法： ①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向). 如图所示，二面角 α－l－β 的大小为 θ，A，B∈l，AC⊂α，BD⊂β， AC⊥l 于 A，BD⊥l 与 B，则 θ＝〈A→C，B→D〉＝〈C→A，D→B〉. ②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角. 如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β， PA⊥l ，垂足分别为 O ， A ，连接 AO ，则 AO⊥l 成立，所以 ∠PAO就是二面角的平面角.
解析答案
课堂小结
(1)利用法向量求直线 AB 与平面 α 所成的角 θ 的步骤：第一步，求平面 α 的法向量 n；第二步，利用公式 sin θ＝|cos〈―A→B ，n〉|＝||―A―A→→BB|··|nn||，注意直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]. (2)利用法向量求二面角的余弦值的步骤：第一步，求两平面的法向量；第二步，求两法向量的夹角的余弦值；第三步，由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论.在用法向量求二面角的大小时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.

高中数学人教A选修2-1 3-2 立体几何中的向量方法课件(16张)

A
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习1: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , 求A到平面SCD的距离。 z
S A B x C D y
练2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
一、求点到平面的距离如何利用空间向量求点到平面的距离：
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
如图 A , 空间一点 P 到平面的距离为 d,已知平面的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
解：如图建立坐标系 C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). z CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2 x 2 y 4 z 0 n AB 0
y
二、求异面直线的距离
M
a
A
n
d
AB n n

N
B
b
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为

高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时用空间向量解决空间角

所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟踪训练 2 如图所示，三棱柱 ABC － A1B1C1 中， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

高中数学选修2-1课件：3.2 第3课时空间向量与空间角

反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中
点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分
别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；
证明在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，
－1)，C→E＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
解析答案
题型二直线与平面所成角的向量求法例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a ，侧棱长为 2a ，M为 A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
D.90°
解析 ∵cos〈m，n〉＝ 12＝ 22，
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答案
12345
3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝ 2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
解析答案
12345
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
232Fra bibliotekA. 3
B. 3
C.3
6 D. 3
解析答案
12345
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直 9
线A1B与B1C所成角的余弦值为_2_5__. 解析如图，建立空间直角坐标系. 由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3). ∴A→1B＝(0,4,3)，B→1C＝(－4,0,3)， ∴cos〈A—1→B，B—1→C〉＝295.

人教版高中数学选修2-1：3.2《立体几何中的向量方法》课件(精品)

于是 v 同时是、的一个法向量
∥.
2020/7/25
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
证：如图所示, 建立 Z
空间直角坐标系. A(6,0,0), 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
2020/7/25
练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点，求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
2020/7/25
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
a AP 0
P
A
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例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____
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3.2.2 立体几何中的向量方法 ——平行关系
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
一. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
Z
解1 立体几何法
P
E

选修2-1 3.2.1 立体几何中的向量方法 PPT

A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), D(1,0,0), z
P(0, 0,1) M (0, 1 ,0), N( 1 , 1 , 1)
2
222
P
N
D
C
MN ( 1 , 0, 1) PD (1, 0, 1)
22
A
DC (0,1, 0) MN PD ( 1
,
0,
1)
(1,
还可以具体表示出内的任意一点,这种表示在
解决几何问题时有十分重要的作用．
2、平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所
在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平
面 ,记作n ⊥ ，如果 n ⊥ ，那么向量
n叫做平面的法向量.
l
注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
例1：已知A(0, 2,3), B(2, 0, -1),C(3,-4,0) 求平面ABC的法向量.
问题：如何求平面ABC的单位法向量呢？
求法向量的步骤：
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的
v
u
例题讲解
例1.证明平面和平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行．
已知：直线l, m和平面, ，其中l, m ， l与m相交，l // , m // ．
求证： // ．证明：在内任取一条直线h，
设l, m, p的方向向量分
别为a,b, p， l, m ,且l, m相交,存在实数x, y，

《立体几何中的向量方法》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第3课时)

可列出方程组
、y .
aa21xx
b1 b2
y y
c1z c2 z
0 0
z n 第五步(取):取为任意一个正数(取得越特殊越好), 便得到平面法向量的坐标.
巩固训练
练习1：在空间直角坐标系中,已知
,
个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
求平面
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(2, 2,1) (4,5, 3)
0 0
即
2x 4 x
2 5
y y
z0 3z 0
∴
y z
2 x 2x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
解得：xy
7 z
z
.
方法总结
第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n (x, y, z);
第二步(找):找出（求出）平面内的两个不共线的向量坐标为 a (a1,b1, c1), b (a2,b2, c2 )
第三步(列):根据 n a 0且
z 第四步(解):把看作常数,用
nb 0
z 表示 x
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴

选修2-1课件3.2.3_立体几何中的向量方法三)

A
y
x
B B
C C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
例题2：学习与评价P99-6
作业：1.学习与评价P99-7未完成的习题
2.向量在立体几何中的应用学案
3.单元检测
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC 上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 3 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
空间“角度”问题
空间“夹角”问题
1.二面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 l 的大小为
其中AB l , AB , CD l , CD
B
cos cos AB, CD
阶段基础训练题:
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______ 1350 .
3 4 ( 3 m)2
,
解得m 3 2或m 3 （舍）， 2
因此，当BE 3 2时，PA与平面PDE所成角的大小为45。
1、已知 AB =(2,2,1), AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1， 1），那么这条斜线与平面所成的角是______ 600 .
A1 1 B1 1 M
z
NC
D1 1
AM (6,2,6), AN (0,4,3). 设平面的法向量n ( x, y, z),由

人教A版高中数学选修2-1课件立体几何中的向量方法(3)

向量法
AB' AB BB' b a
BC' BA AC CC' c a b
练习：
B' C'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
0 A'C • AB ' (c a) • (b a)
C
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3.2立体几何中的向量方法（3）
----利用向量解决平行与垂直问题
xxz
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形问题）
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为，a ， b平面，
的法向量分别为，
uv
（1）平行关系
线线平行 l // m a // b a b 点击
线面平行 l // a u a u 0 点击
面面平行 // u // v u v 点击
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的
两条对角线交点为D, B1C1的中点Z 为M .
求证CD 平面BDM
A
A1
解:
如图,以C为原点建立空间直角坐标系.
D

高中数学人教A版选修21课件3.2立体几何中的向量方法(系列三)

人教版选修2-1
第三章空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
情境导入
任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题，蒸汽机的发明推动了工业革命；计算机的出现解决了复杂的运算问题，提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与地球村的形成．向量作为一种工具，它的应用又体现了在哪些方面呢？
设 a、b 分别是不重合直线 l1、l2 的方向向量，根据下列条件判断 l1、l2 的位置关系．
(1)a＝(2，－2，－2)，b＝(6，－6，－6)； (2)a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)； (3)a＝(0,0，－1)，b＝(0,0,4)．
[分析] l1、l2 的方向向量分别为 a，b，l1 与 l2 不重合，则
[点评] 求平面 ABC 的法向量的方法：设 v＝(x，y，z)是平面 ABC 的法向量，由vv··AA→→BC＝＝00 ，建立 x、y、z 的两个方程组成方程组，取其中某个字母为常数，即可写出一个法向量．
注意：(1)在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)在求 n 的坐标时，可令 x、y、z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
三.利用法向量研究线面位置关系
设 u、v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)、v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)、v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)、v＝(－3,1，－4)．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
2．判断直线l与平面α(l⊄α)的位置关系，取直线的方向向量a与平面的法向量v，若a·v＝0，则l∥α；若a∥v，则l⊥α.

高中数学选修2-1第三章3.2立体几何的向量方法(3)——空间角

C
D CA, DB
进行向量运算
d2

2
AB

( AC

CD

DB)2
A
图3
2
2
2
AB CD BD 2(AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2AC DB
a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
3.2立体几何的向量方法（3）
• 空间向量与空间角
例 1、如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,M、N 分别是
棱 CD、CC1的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角
的大小是
.
法二以 D 为原点,DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设 AB=1,
则 D(0,0,0),N0,1, 1 ,
15
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B
处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d.
化为向量问题

B
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
a, b), 1 a2 b2
2

0
C1(0, 0, b),
z C1
2
∵ CC1B在坐标平面yoz中
C
∴ 可取 n＝（1，0，0）为面CC1B的法向量 x
D
设面 C1BD 的一个法向量为 m ( x, y, z)

选修2-1课件3.2.2_立体几何中的向量方法(全面)

化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
空间“距离”问题(1)
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
P
n

A
O
这个结论说明,平面外一点到平面的距离为：连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量与该平面的法向量数量积的绝对值与该法向量模长的商.
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
z
G
C

1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
空间“距离”问题(2)

高二数学选修2-1课件：3.2 立体几何中的向量方法3

的高都为2，AB＝4，求点P到平面QAD的距
离.
Pz
D
C
A
B
x y
d
| n PQ | |n |
Q22第六页，编源自于星期一：一点二十二分。作业：
P107练习：2.
P112～113习题3.2
A组：3,5，9.
第七页，编辑于星期一：一点二十二分。
法向量为n，则直线l上一点P到平面 α的距离为 d | a n |
|n | 第二页，编辑于星期一：一点二十二分。
应用举例
例1 一个结晶体的形状为平行六面体，其中
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们
彼此之间的夹角都是60°，那么以这个顶点
为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关
系？
D1
C1
晶体的对角线的长 A1
B1
是棱长的 6 倍.
D
C
A
B
第三页，编辑于星期一：一点二十二分。
例2 如图，两条异面直线a、b所成的角
为θ，在直线a，b上分别取点A，E和点B，
F，使AB⊥a，AB⊥b(AB称为异面直线a、
b的公垂线)，已知AE＝m，BF＝n，EF＝l，
求公垂线AB的长.
A mE
a
l
| AB |
b B nF
l2 m2 n2
3.2 立体几何中的向量方法
第三课时
第一页，编辑于星期一：一点二十二分。
基本原理
（1）若 AB ＝a1＋a2＋…＋an，则 | AB |2＝(a1＋a2＋…＋an)2.
(2)若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，
则 dAB
(x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2.

2014年人教A版选修2-1课件 3.2 立体几何中的向量方法

本章内容
3.1 空间向量及其运算
3.2 立体几何中的向量方法第三章小结
3.2
第一课时(向量确定空间位置关系)
第二课时(向量的几何运算与证明)
第三课时(向量坐标证明平行垂直) 第四课时(向量坐标求距离与角)
3.2 立体几何中的向量方法 (第一课时)
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1. 用向量能确定空间的点, 直线, 平面吗? 2. 用向量怎样判定点在直线上, 点在平面内, 直线在平面内? 3. 用向量怎样判定直线与直线平行, 直线与平面平行, 平面与平面平行, 直线与直线垂直, 直线与平面垂直, 平面与平面垂直?
问题2. 用向量能确定空间的点、直线、平面吗? 如果能, 怎样确定? 如果不能, 需加上什么条件?
如果知道一直线 l 的方向向量 a, 和直线 l 上一点P, 就能确定直线 l 的位置.
l 为直线AP: AP ta (A是直线上任意的点).
另一方面: 已知直线 l 的方向向量, 和 l 上一点 P, 如果存在实数 t, 有 PA ta , 则点A在直线 l 上.
问题2. 用向量能确定空间的点、直线、平面吗? 如果能, 怎样确定? 如果不能, 需加上什么条件? 另一方面: 如果 a, b 是平面 a 内两相交直线的方向向量, O 为平面 a 内一点, 如果存在实数 x, y, 使 OP xa yb , 则点 P 在平面 a 内, 直线 OP 在平面 a 内. 由此可得:
问题2. 用向量能确定空间的点、直线、平面吗? 如果能, 怎样确定? 如果不能, 需加上什么条件? 一定点与一向量就能确定空间的点. 如图, 取定点O为基点, P B OA 确定了点 A; OB 确定了点 B; Q A OP 确定了点 P; OQ 确定了点 Q.

027：选修2-1 3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角问题和求点到平面的距离问题

选修2-1 第三章空间向量与立体几何§3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角，求点到平面的距离问题班级姓名一、目标导引1．会利用法向量解决立体几何中的线面角； 2．会求点到平面的距离问题．二、教学过程题型一利用法向量解决立体几何中的线面角【知识准备】如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ，则有 ,OP AP θ+<>= ,由此，在Rt AOP ∆中，sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>= = ．【注意】直线与平面所成的角的范围是θ∈例1 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. （1）证明：AB ⊥A 1C ；（2）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．11【变式1】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，求AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．C1题型二利用法向量求点到平面的距离问题【知识准备】设P 是平面α外一点，P A 是α的一条斜线，交平面α于点A ， n 是平面α的法向量，那么向量PA 在n 方向上的正射影长OP 就是点A 到平面α的距离h ，在Rt AOP ∆中，OP = = ．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．A1【课时作业027】班级姓名作业等级A 级学业水平达标1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值．【答案：63】12．正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案：155】3．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；【答案：1515】(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；【答案：33】(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案：66】B 级应试能力达标4．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1； (2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．（答案k=1）5．如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．（答案32）1选修2-1 第三章空间向量与立体几何§3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角，求点到平面的距离问题一、目标导引1.利用法向量解决立体几何中的线面角；2.求点到平面的距离问题二、教学过程题型一利用法向量解决立体几何中的线面角【知识准备】如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ，则有 ,OP AP θ+<>= ,由此，在Rt AOP ∆中，sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>= =【注意】直线与平面所成的角的范围是θ∈例1 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. ①证明：AB ⊥A 1C ；②若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． ①证明取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . ∵CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，∴OA 1⊥AB .∵OC ∩OA 1＝O ， ∴AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .②解由①知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ，OA 1，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .设AB ＝2，则A (1,0,0)，A 1(0，3，0)， C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)， A 1C -→＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)．故cos 〈n ，A 1C -→〉＝n ·A 1C -→|n ||A 1C -→|＝－105，∴A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.【变式1】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，求AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值解析取AC 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥AC ，以B 为坐标原点，BE ，BB 1所在直线分别为x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，D (0,0,1)，B (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫32，0，0，则AD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，1，BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0. ∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，BE ⊥AC ，BE ⊂平面ABC ， ∴BE ⊥平面AA 1C 1C ，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0为平面AA 1C 1C 的一个法向量．设AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，∵cos 〈AD →，BE →〉＝－64，∴sin α＝|cos 〈AD →，BE →〉|＝64.题型二利用法向量求点到平面的距离问题【知识准备】设P 是平面α外一点，P A 是α的一条斜线，交平面α于点A ，n 是平面α的法向量，那么向量PA 在n 方向上的正射影长OP 就是点A 到平面α的距离h ，在Rt AOP ∆中，OP = =例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)．所以AG →＝(0,1,0)，GE →＝(－2,1,1)，GF →＝(－1，－1,2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE →＝0，n ·GF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z .令z ＝1，此时n ＝(1,1,1)，所以d ＝|AG →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.A 级学业水平达标1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值．【答案：63】解析以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B -→＝(0,1，－1)， A 1D -→＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B -→＝1－1＝0，AC 1→·A 1D -→＝1－1＝0.∴AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D .又A 1B ∩A 1D ＝A 1，且A 1B ，A 1D ⊂平面A 1BD ，∴AC 1⊥平面A 1BD . ∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63.2.正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设BC ＝1，A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32， BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA ―→＝0，n ·BD ―→＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD ―→＝32＋325×1＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.3.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；【答案：1515】(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；【答案：33】(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案：66】解以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz . 则A 1(0,0，a )，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0， (1) A 1C -→＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫a ，－a 2，0，∴cos 〈A 1C -→，DE →〉＝A 1C -→·DE →|A 1C -→||DE →|＝1515，故A 1C 与DE 所成角的余弦值为1515.(2)连接DB 1，∵∠ADE ＝∠ADF ，∴AD 在平面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上．又B 1EDF 为菱形，∴DB 1为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1.由DA →＝(0，－a,0)，DB 1→＝(a ，－a ，a )，∴cos 〈DA →，DB 1→〉＝DA →·DB 1→|DA →||DB 1→|＝33，又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， (3)由已知得ED →＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2，0， EB 1→＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a ，平面ABCD 的一个法向量为m ＝AA 1→＝(0,0，a )．设平面B 1EDF的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0，n ·EB 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝66，∴平面B 1EDF与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为66. B 级应试能力达标4.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1； (2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE .∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k . 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD .又BE ∥AD ，∴CD ⊥AD . ∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为坐标原点，DA ―→，DC ―→，DD 1―→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，∴AC ―→＝(－4k,6k,0)，AB 1―→＝(0,3k,1)，AA 1―→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AC ―→·n ＝0，AB 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，可得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1―→，n 〉|＝|AA 1―→·n ||AA 1―→|·|n |＝|－6k |36k 2＋13＝67，解得k ＝1.故k 的值为1. 5.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：∵P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AE ，P A ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C ⎝⎛⎭⎫32，12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，B (0,2,0)，PC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，－h ，DC ―→＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC ―→＝0，n 1·DC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫h ，0，32.由(1)知平面P AC 的一个法向量为BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，∴|cos 〈n 1，BC ―→〉|＝32h h 2＋34×3＝55，解得h ＝3，同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)，所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝|AP ―→·n 2||n 2|＝234＝32.。

人教A版高中数学选修2-1课件3.2.3立体几何中的向量方法.pptx

高中数学课件
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3.2.3 立体几何中的向量方法 ——垂直关系
垂直关系：
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
r r rr (1) l m a b a b 0
l
r
a
r
b
m
垂直关系：
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
1
uuur AB
uuur AD
1
uuur DC
2
2
M
1
uuur AB
uuur AD
1
uuur ( AC
uuur AD)
2
2
B
D
1
uuur AB
1
uuur AC
1
uuur AD
N
2
2
2
C
uuuur MN
uuur AB
(
1
uuur AB
1
uuur AC
1
uuur AD)
uuur AB
0
22 2
MN⊥AB,同理MN⊥CD.
形, PD 底面ABCD, PD DC ,点E是PC的中点,
作EF PB交PB于点F , 求证 : PB 平面EFD.
证2：
Z
P
E F
D
C Y
A B
X
练习正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
uuur uuur uuuur
证明：设正方体棱长为1，为单以位D正A，交D基C底,，DD建1 立如
rr

高中数学 3.2 立体几何中的向量法课时3课件新人教A版选修2-1

设直线 l的方向向量为 a ，平面 α 的法向量为 u ，且直线 l与平面 α 所成的角为 θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) , 则
2
a u
u
l a
sin
au
l a
u
二面角
1 方向向量法 :将二面角转化为二面角的两个面
两个向量的夹角
如图,已知两个非零向量 a, b ,在空间任取一点 O , 作 OA a , OB b ,则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作: a, b .
a
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
⑵ a, b＝b, a .
b
A
a
O
B
b
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b .
B
n2
os |cosn1,n2|
u
v
α ,β 的夹角为 θ ，cos uv
| u || v |
u
v
,的夹角为，cos u v
| u || v |
典例展示
例1：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。
从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG.
z
依题意得A(1,0,0), P(0,0,1),
11 E(0, , ),
P
22
因为底面ABCD是正方形，
F
E
所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(1 ,1 ,0), 22
D
C y
A
G
B
x

人教A版高中数学选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(3)

求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1
B1
A1
D1
C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz
如图所示，设 CC1 1 则： A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
C1 z
F1
B1
1
11
F1( 2 , 0, a), D1( 2 , 2 ,1)
A1
D1
C
所以：
AF1

空间三种角的向量求解方法
1.两条异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线
a ′∥a, b ′∥b,则a ′, b ′所夹的锐角或直角叫a与b所
成的角.
(2)范围:
(0,

2
]
(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a, b ,其夹角
为 ,则有 cos | cos | | a b | |a || b|
求B1C1与面AB1C所成的角的余弦.
A1 以AB所在直线为x轴,AD所 B1 在直线为y轴,所在直线为z轴.
D1 C1
易求平面AB1C的一个法向量 A
n (1, 1, 1),及B1C1 (0,1,0) B 故得B1C1与面AB1C所成得角得余弦为 3
3
D C
例3 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
小结：
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；