土力学附加应力
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第三章基底接触压力与附加应力
水不能承受剪应力，因此孔隙水压 力对土体的抗剪强度没有任何贡献。
总结：
孔隙水压力对土体的变形和强
度没有直接影响，称为中性应 力.
孔隙水压 力的作用 有效应力 的作用 讨论
会引起土颗粒移动，也会使土 颗粒抵抗剪切、错动作用。
总结：
影响土体的强度和变形。
有效应力原理的讨论
17.2 17kN / m
3
H=50kN
0.8m
17.7 19kN / m3
1.2m
3.2m
地基中起建筑物沉 降的主要原因
• 集中荷载作用下的附加应力 基本解
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 条形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
附加应力是 引起土体压 缩变形的主 要外因
土体的自重应力
无地下水时自重应力的计算： 竖直向自重应力：地基中Z深度处的竖直向自重应力等 于单位面积上Z深度范围内的土柱重量。
• 均质地基：
cz z
土体的自重应力
无地下水时自重应力的计算：
• 成层地基：
cz i zi m zi
A AS A w
P
sv
uA w
P A
sv
Aw u A
a
a
1 有效应力σ
'u
饱和土有效应力原理
有效应力原理的讨论
孔隙水压 力的作用 有效应力 的作用 讨论 它在各个方向相等，使土颗粒本身 受到等向压力，因此不会使土颗粒 移动；由于颗粒本身不可压缩，故 孔隙水压力也不会使土体产生压缩 变形.
y
3dF z 3 3 p0 z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
土力学：第三章土中应力计算
附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。
地基附加应力的计算
可以求得a/z与竖向附加应 可以求得a/z与竖向附加应
α0 a/z
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.268
0.400
0.518
0.637
0.766
0.918
1.110
1.387
1.908
∞
纽马克感应图由9个同心圆和20条通过圆心均匀分布的放射线 纽马克感应图由9个同心圆和20条通过圆心均匀分布的放射线 组成，如下图所示。 根据上表中的数据，这9 根据上表中的数据，这9个 同心圆的半径a 同心圆的半径ai（i=1,2,3 …,9）分别为：a1=0.268z， ,9）分别为：a =0.268z， a2=0.400z，a3=0.518z… =0.400z， =0.518z… 则由第一个圆（半径为a 则由第一个圆（半径为a1） 上的均布荷载在圆心O点下
或查表3 或查表3－2可得αgi，则第i单元上的集中力Qi在M点引起的竖 可得α ，则第i单元上的集中力Q 向附加应力为
根据叠加原理，可得M点总的竖向附加应力为
等代荷载法是一种近似计算方法，其计算精度取决于单元划 分的多少。单元划分的数目越多，每个单元面积就越小，其 计算精度就越高。 利用此方法计算时，可根据具体工程问题编写计算机程序， 利用计算机计算以提高计算精度。 另外，等代荷载法虽然是一种近似计算方法，但其适用范围 十分广泛，对于任意面积、任意分布荷载均适用。
令
称为均布圆形荷载中心点下 的竖向附加应力系数
则σz=α0p0 式中：z——计算点至地表的垂直深度； 式中：z——计算点至地表的垂直深度； α ——圆形基底的半径。 ——圆形基底的半径。
土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
土力学名词解释
1、土粒级配：是指土中各粒组的相对百分含量，或土中中各粒组占总质量的百分数。
6、塑性指数：表示粘性土呈可塑状态的含水率的变化范围，其大小等于液限与塑限的差7、液性指数：表征了粘性土的天然含水率和界限含水率之间的相对关系，用来区分天然土所处的状态。
1、自重应力：由土体本身重量在地基中产生的应力。
2、附加应力：由外荷载（建筑荷载）作用在地基土体中引起的应力。
3、基底压力：建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传递给地基，作用于基础底面传至地基的单位面积压力。
3、渗透力：由渗透水流施加在单位土体上的拖曳力。
4、流土：渗流作用下，局部土体表面隆起，或某一范围内土粒群体同时发生移动的现象。
5、管涌：在渗流作用下，无粘性土中的细小颗粒通过较大颗粒的孔隙，发生移动并被带出的现象。
6、超固结比：先期固结压力pc与现时的土压力p0的比值。
7、前期固结压力：指土层在历史上曾经受过的最大有效固结压力。
8、最终沉降量：地基变形稳定后基础底面的沉降量。
9、固结：土体在压力作用下，压缩量随时间增长的过程。
1、土的抗剪强度：土体对外荷载产生剪应力的极限抵抗能力。
2、土的极限平衡状态：摩尔应力圆与抗剪强度线相切时的应力状态。
3、极限平衡条件：根据摩尔库仑破坏准则来研究土体单元处于极限平衡状态时的应力条件及大小主应力之间的关系，该关系称为土的极限平衡条件。
7、灵敏度：原状土的单轴抗压强度与重塑土的单轴抗压强度的比值。
1、土压力：指挡土墙后的填土因自重或外荷载作用对墙背产生的侧压力。
2、静止土压力：挡土墙在压力作用下不发生任何变形和位移，墙后填土处于弹性平衡状态时，作用在挡土墙背的土压力。
3、主动土压力：挡土墙背离土体方向移动时，当墙后土体达到主动极限平衡状态时，土压力降为最小值，作用在墙背的土压力。
4、被动土压力：挡土墙向着土体方向移动时，当墙后土体达到被动极限平衡状态时，土压力达到最大值，作用在墙背的土压力。
5、挡土墙：为了防止土体的滑坡或坍塌而修建的支挡结构物。
4.4地基附加应力的计算
过程：取元素面积 dA rdrd ，
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
土力学第三章土中应力计算详解
特点：一般自重应力不产生地基变形（新填土除 外）；而附加应力是产生地基变形的主要原因。
整理ppt
3
概述
有效应力：由土骨架传递或承担的应力
孔隙应力：由土中孔隙水承担的应力 静孔隙应力与超孔隙应力
自重应力：由土体自身重量所产生的应力
附加应力：由外荷载(建筑荷载、车辆荷载、 土中水的渗流力、地震作用等)的作用，在土
整理ppt
均匀 E
1
E2<E
1 50
3.4 有效应力原理
wF2 1ER z2321R 1
整理ppt
34
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛奈斯克课题
z
3F
2
z3 R5
R 2r2z2x2y2z2
z3 2 FR z3 523 [1(r/1z)2]5/2
F z2
3
1
2[1(r/z)2]5/2
集中力作用下的 地基竖向应力系数
整理ppt
z
F z2
查表3.1
a.矩形面积内
z (c Ac Bc Cc D )p
BA
C
h
b.矩形面积外
a
z (c be gc a hf gc c he gc d i ) fp gi
D ig df
整理ppt
b
c e42
c.矩形面积边缘线上
z (cIcI)Ip
d.矩形面积边缘线外侧
z (c I cI IcI II cI )p V
dPpdxdy dz 32dPR z35 23p R z35dxdy
z0 b0 ldzz(p,m ,n)
m=l/b, n=z/b
c F(bl ,bz)F(m,n)
dP
土力学---附加应力
,
z) B
F (m, n)
条形面积竖直三角形荷载作用时的 应力分布系数
根据 x , z BB
查表4-15
23
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
例题：某条形基础上作用着荷载F=300KN，基础宽度 b=2m,基础埋深1.2m,γ=19KN/m3 ， M=42KN.m,求基础 中点下的附加应力。
24
25
26
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
小结
z
k
P z2
——竖直集中荷载作用下
z ks p0 ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下
z kt pt ——矩形面积三角形分布荷载作用角点下
z
k
s z
p0
——条形面积竖直均布荷载作用时
z
k
t z
pt
——条形面积三角形分布荷载作用时
3. 各向异性地基
Ex与Ez不相等，泊松比相等时
•当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 •当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
29
3.5饱和土的有效应力原理
孔隙流体
三相体系
土＝ 固体颗粒骨架 + 孔隙水 + 孔隙气体
受外荷载作用
总应力由土骨架和孔隙流体共同承受 对所受总应力，骨架和孔隙流体如何分担？ 它们如何传递和相互转化？ 它们对土的变形和强度有何影响？
32
饱和土的有效应力原理
（1）饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分σ’ 和u，并且
'u
通常,
总应力已知或易知 'u
土力学-地基中的应力计算概述
基础传至地 基的荷载
地基
基础 埋深
（1）集中荷载作用下的解 ( Boussinesq 解，1885 )
P
x
r
y
x
y
R
z
z
• 位移解
ux4PG[R xz3(12)R(Rxz)]
uz
4PG[R z23
(1)1]
R
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学 家，对数学物理、流体力学 和固体力学都有贡献。
a
a
a
b
角点
b
p
b
中心点
1
2
34
任意点
z
z
z
k(a , b
z) b
p
z
z
z
4k(a, b
2z) b
p
z z
k k1 k2 k3 k4
z k p
3）矩形线性荷载 （角点下）
角点
b
角点
p
z
a
z
p
z
k(b , a
z) a
p
查表计算
3. 应力计算小结
（1）自重应力及均匀满布荷载作用下的附加应力，可利用平衡方程 等通过简单方法获得。
（2）线状荷载作用下的应力（Flamant解）
p
1）属平面应变问题，即：
a. 应变 y 0 。
dP pdy
b. 位移、应力等量仅与坐标
x、z有关。
x
2）利用Boussinesq解，通过 沿荷载分布线积分得到应力。
x - dx=2p(x2x2zz2)2
y
xz
2p
土力学---附加应力
begh σ z = (kc − kcafgh − kccegi + kcdfgi ) p0
h
i
d
g
a
f
例题4-6 P72 例题
b
c
e
9
10
11
12
13
14
§3 土体中的应力计算
σz = ∫
B L 0
§3.4 地基中附加应力的计算
y
dP
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
0
∫ dσ
P σz = k ⋅ 2 z
集中力作用下的 应力分布系数
查表3 查表3-1
4
§3 土体中的应力计算
P σz = k ⋅ 2 z
特点
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 k= 2π [1+ (r / z)2 ]5/ 2
1.P作用线上， 1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0 ， ， 2.在某一水平面上 在某一水平面上， 最大; r↑， 减小， 2.在某一水平面上，r=0, σ 最大; r↑，a减小，σz减小
22
八. 条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
σ z = k pt
t z
x z k = F(B, x, z) = F( , ) = F(m, n) B B
t z
条形面积竖直三角形荷载作用时的 应力分布系数
P84 例题 例题3.3
x z 根据 , B B
查表4-15 查表
23
§3 土体中的应力计算
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
h
i
d
g
a
f
例题4-6 P72 例题
b
c
e
9
10
11
12
13
14
§3 土体中的应力计算
σz = ∫
B L 0
§3.4 地基中附加应力的计算
y
dP
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
0
∫ dσ
P σz = k ⋅ 2 z
集中力作用下的 应力分布系数
查表3 查表3-1
4
§3 土体中的应力计算
P σz = k ⋅ 2 z
特点
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 k= 2π [1+ (r / z)2 ]5/ 2
1.P作用线上， 1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0 ， ， 2.在某一水平面上 在某一水平面上， 最大; r↑， 减小， 2.在某一水平面上，r=0, σ 最大; r↑，a减小，σz减小
22
八. 条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
σ z = k pt
t z
x z k = F(B, x, z) = F( , ) = F(m, n) B B
t z
条形面积竖直三角形荷载作用时的 应力分布系数
P84 例题 例题3.3
x z 根据 , B B
查表4-15 查表
23
§3 土体中的应力计算
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
4土中应力(自重-地基附加应力)解析
F
实际情况
F
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
d
p0
p
0
d
基底附加压力
p0 p 0 d
自重应力
基底压力呈梯形分布时， 基底附加压力
p0 m a x p0 m in
pm a x pm in
0d
注意
❖因为基础具有一定的埋深，弹性力学解答具有近似性。 ❖ 基坑平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在沉降 计算中，为了适当考虑这种坑底回弹和再压缩增加沉降，取
若基础底面的形状或分布荷载都是有规律时，用积分法。
dA dd dF p(x, y)dd
（ 3 ）圆形面积上作用均布荷载时，土中附加应力的计算
z r p0
r f (z / r0 )
additional stress induced by uniform circular load
条形均布荷载下地基中的应力分布规律
土力学中应力符号的规定
z
zx
地基：半无限空间
xy
x
o
∞
y yz
x
∞
y z
∞
ij=
x xy xz yx y yz
zx zy z
一. 土力学中应力符号的规定
- zx
z
+
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
e>l/6
e=l/6
pmin=0
基底ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力重分布
水利工程土力学教学课件：任务4.3地基中的附加应力
z 10m :
8
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa i 1
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算
Qo
r
x R
—西罗提（Cerruti）课题
x
y
z
z
y
x
M y
z
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
z
3Q
2R5
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
基本方法：
将荷载作用 面积分块
各分块产生的 竖向附加应力
叠加
土中任意点的 竖向附加应力
角点下竖向附加 应力计算公式
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
h
d 情况一：M点投影在矩形荷载
作用面积范围之内
等值线（应力泡）
集中荷载作用下的地面沉降
s Q(1 2 ) E0r
E0 —土的变形模量
—土的泊松比
例题 4.3
在地表面作用集中力Q＝200kN，计 算地面深度z=3m处水平面上竖向法向应 力σz分布，以及距Q作用点r=1m处竖直 面上竖向法向应力σz分布。
解答
解答
例题 4.4
O
有一矩形基础，b=2m，l=4m， 作用均布荷载p=10kPa，计算矩形 基础中点O下深度z=2m及10m处 的竖应力σz 值。
地基附加应力计算
均布线荷载作用下附加应力计算—弗拉曼（Flamant）解
M
地基附加应力计算
均布条形荷载作用下附加应力计算
z u p
应力系数
u
8
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa i 1
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算
Qo
r
x R
—西罗提（Cerruti）课题
x
y
z
z
y
x
M y
z
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
z
3Q
2R5
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
基本方法：
将荷载作用 面积分块
各分块产生的 竖向附加应力
叠加
土中任意点的 竖向附加应力
角点下竖向附加 应力计算公式
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
h
d 情况一：M点投影在矩形荷载
作用面积范围之内
等值线（应力泡）
集中荷载作用下的地面沉降
s Q(1 2 ) E0r
E0 —土的变形模量
—土的泊松比
例题 4.3
在地表面作用集中力Q＝200kN，计 算地面深度z=3m处水平面上竖向法向应 力σz分布，以及距Q作用点r=1m处竖直 面上竖向法向应力σz分布。
解答
解答
例题 4.4
O
有一矩形基础，b=2m，l=4m， 作用均布荷载p=10kPa，计算矩形 基础中点O下深度z=2m及10m处 的竖应力σz 值。
地基附加应力计算
均布线荷载作用下附加应力计算—弗拉曼（Flamant）解
M
地基附加应力计算
均布条形荷载作用下附加应力计算
z u p
应力系数
u
土力学地基中的应力计算
p
arctan
1
2(x / b) 2(z / b)
arctan 1 2(x / b) 2(z / b)
4 z [4( x )2 4( z )2 1]
bb
b
[4( x )2 4( z )2 1]2 16( z )2
b b
b
b
b
13
•带状三角形荷载
b
p
x
z
Mx
(x, z)
z
查表3－3
e 基底压力呈三角形分布
e 基底局部出现拉应力
基底与地基脱开
对于矩形底面，＝ b
6
37
(1) 矩形底面单轴偏心荷载作用时(e)
由竖向、弯矩平衡方程
P
b 2
(
p1
p2 ) a
M
b 2 ( p1
p2
)
a
(
b 2
b) 3
p1 p2
PM AW
P (1 A
e)
P 1 A
6e b
e a
b
P M Pe
z
p
{x b
(arctan
x z
/ /
b b
arctan
x
/b 1) z/b
z b
(x
/
b
x/b 1)2
1 (z
/
b)2
}
k(x b
,
z b
)
p
•带状梯形荷载
14
5、矩形均布面积荷载作用下附加应力旳计算
1）角点下旳垂直附加应力
dP pdxdy
d z
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
dxdy
土力学及地基基础第8讲 地基附加应力
p0 b/2 b/2 x z
0
x z M
x sx p0 z sz p0 xz sxz p0
附加应力系数，是z/b， x/b的函数，表2-3
1,3
p0
( 0 sin 0 )
大主应力方向与视角平分线一致。
6m
c
s
αc(查表2-2) 0.051 0.131 0.033 0.084
z 100 (0.051 0.131 0.033 0.084) 6.5kPa
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3m 1m
4m
a i
b r
j
三、均布条形荷载作用下的竖向附加应力
若在无限弹性体表面作用无限长条形的分布荷载，荷载在宽度上任意，
点法计算矩形基础外k点下深度z=6m处N点竖向应力sz值。
4m
d
6m
c 3m
s
z z (ajki) z (iksd ) z (bjkr) z (rksc)
郑州大学远程教育学院
3m
a i
r
1m
b
j k
【解】将k点置于假设的矩形 受荷面积的交点处。
计算基本假定： 地基土是连续、均匀、各向同性的半 无限空间的线弹性体。 所以，可用弹性力学公式，且叠加原理成立。
最基本的就是布辛奈斯克解答：竖向集中力作用下的附 加应力。
郑州大学远程教育学院
一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力
o x y P
3Pz3 3P x z 2R 5 2R 2 cos3 q
2
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两个集中力作用 下σz的叠加
土体中的应力计算—附加应力的计算(土力学课件)
土中任意点所受的附加应力
z 2 p
x
p x
z z
x z
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
2.条形面积受三角形荷载作用下的附加应力
土中任意点所受的附加应力
z 3 p
-x 0
z x
p x
z
注意坐标系的建立，以荷载0为坐标原点，向荷 载增大的方向为正方向。
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
3.圆形面积均布荷载作用下的竖向附加应力
(1)距离地面越深， 附加应力的分布范围 越广，r/z=2.5范围内。
(2)在距地面为z的平 面上，集中力作用线 下的附加应力最大， 向两侧逐渐减小。
集中力作用下附加应力分布图
一、竖直集中荷载作用下的地基附加应力计算
1、附加应力分布规律
(3)距P作用线为r竖直 线上的附加应力随深 度先增加再减小。
171
332 kPa
134
条形荷载作用下土中附加应力
（1）p1=134kPa
+x
+x
+（x 2）p2=198kPa
-x
z x1 x/b z/b
x2 x/b z/b
00 0 0 1
134 1 0.5 0 0.500 99 233
1 0 0 0.5 0.820 110 1 0.5 0.5 0.410 81 191
条形荷载作用下 土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
1.条形面积受均布荷载作用下的土中竖向附加应力
土中任意点所受的附加应力 x
z 2 p
2 ——条形均布荷载作用
下的竖向附加应力系数
2 (x / b, z / b)
z 2 p
x
p x
z z
x z
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
2.条形面积受三角形荷载作用下的附加应力
土中任意点所受的附加应力
z 3 p
-x 0
z x
p x
z
注意坐标系的建立，以荷载0为坐标原点，向荷 载增大的方向为正方向。
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
3.圆形面积均布荷载作用下的竖向附加应力
(1)距离地面越深， 附加应力的分布范围 越广，r/z=2.5范围内。
(2)在距地面为z的平 面上，集中力作用线 下的附加应力最大， 向两侧逐渐减小。
集中力作用下附加应力分布图
一、竖直集中荷载作用下的地基附加应力计算
1、附加应力分布规律
(3)距P作用线为r竖直 线上的附加应力随深 度先增加再减小。
171
332 kPa
134
条形荷载作用下土中附加应力
（1）p1=134kPa
+x
+x
+（x 2）p2=198kPa
-x
z x1 x/b z/b
x2 x/b z/b
00 0 0 1
134 1 0.5 0 0.500 99 233
1 0 0 0.5 0.820 110 1 0.5 0.5 0.410 81 191
条形荷载作用下 土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
1.条形面积受均布荷载作用下的土中竖向附加应力
土中任意点所受的附加应力 x
z 2 p
2 ——条形均布荷载作用
下的竖向附加应力系数
2 (x / b, z / b)
土力学-第三章-地基自重应力计算1、基底压力计算、地基附加应力计算 张丙印
竖直集中力－布辛内斯克课题
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年
推出了该问题的理论解，包括六个应力分量和三
个方向位移的表达式
其中，竖向应力z：
教材P98~99页
σz
P π
z R
π [ (r / z) ]/
P z
K
P Z2
集中力作用下的 应力分布系数 查图3－23
集中荷载的附加应力
19
§3.5 附加应力计算– 集中荷载
竖直集中力－布辛内斯克课题
智者乐水 仁者乐山
σz
π [ (r / z) ]/
P z
K
P Z2
垂直应力分布规律
σz与α无关，呈轴对称分布 P
P作用线上 在某一水平面上 在r﹥0的竖直线上
z等值线-应力泡
集中荷载的附加应力
20
基底压力是地基和 基础在上部荷载作 用下相互作用的结 果，受荷载条件、 基础条件和地基条 件的影响
暂不考虑上部结构的影 响，用荷载代替上部结 构，使问题得以简化
智者乐水 仁者乐山
•大小
荷载条件： •方向
•分布
基础条件:
• 刚度 • 形状 • 大小 • 埋深
• 土类
地基条件： • 密度
• 土层结构等
简化计算方法： 假定基底压力按直线分布的材料力学方法
基底压力的简化计算
10
§3.4 基底压力计算 – 计算方法
竖直中心
竖直偏心
矩
P
形
l
b
pP A
P
x y
o
l
b
p( x, y) P M x y M y x
A Ix
Iy
土力学第四章-附加应力
土力学第四章-附加应力
附加应力是土力学中重要的概念，它指的是在加载或者其他类型的地质活动作用下，
实际应力大于平均应力的本构必需承受的应力。
附加应力主要来自于三个主要方面：第一是由于地质活动的作用而产生的应力；第二
是由于形成构造部分的应力；第三是由于结构失稳而产生的应力。
在地质活动作用下，从加应力和结构失稳产生附加应力，它是实际应力产生时本构问
题中必不可少的。
特别是该地区新型地质活动，非常重要，可能会带来严重后果，因此，
在地质作用下，对附加应力的研究和理解尤为重要。
结构失稳产生的附加应力，主要是山体立足点发生位移后，其坡面、基底和连接点处
造成的应力，这样的含水体在特定的水位变化下，会产生垂直和水平的结构失稳，以及边
坡附加应力和耕作痕和。
它们会占限加应力的很大比例，因此在山体滑动中也是不可忽视的。
此外，山体构造也会构成附加应力。
由于山体构造比装置构造更为复杂，因此在结构
方向上产生的应力和加应力也会增加。
山体构造部分的附加应力，主要是山体断层移动产
生的类似拉力的力，山体接连处的应力和构造变形产生的附加应力，这些应力的分布也
会影响山体的滑动稳定性。
因此，附加应力是决定山体地面滑动稳定性的重要因素，研究者在分析结构体滑动和
滑坡稳定性时，必须正确估计附加应力，以此估计从构造成型到发生滑坡期间可能发生的
滑动方向及滑坡角度，以提高滑坡预测的准确性。
因此，对附加应力有较全面系统的理解，对于山体滑动的研究是不可或缺的。
土力学附加应力习题
一：选择题1. 土的含水量ω的正确定义为：a.100%wsmmω=⨯b.100%swmmω=⨯c.100%wmmω=⨯d.100%smmω=⨯2．土中自重应力将随深度增加而，附加应力将随深度增加而减小。
A、增大B、减小C、不变D、增大或减小3．表示无粘性土的密实度的指标是。
A、重度B、含水量C、相对密实度D、塑性指数4．表示土的软硬程度的指标是。
A、液性指数B、含水量C、饱和度D、饱和重度5．导致地基产生压缩变形的根本原因是作用的结果。
A、自重应力B、附加应力C、基底压力D、自重与附加应力6．桩通过极软弱土层，端部打入岩层面的桩可视作。
A、摩擦桩B、摩擦端承桩C、端承摩擦桩D、端承桩7.基底附加应力p0作用下，地基中附加应力随深度Z增大而减小，Z的起算点为：（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面8.土中自重应力起算点位置为：（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面9.深度相同时，随着离基础中心点距离的增大，地基中竖向附加应力：（A）斜线增大（B）斜线减小（C）曲线增大（D）曲线减小10.单向偏心的矩形基础，当偏心距e < l/6（l为偏心一侧基底边长）时，基底压应力分布图简化为：（A）矩形（B）梯形（C）三角形（D）抛物线形11.矩形面积上作用三角形分布荷载时，地基中竖向附加应力系数Kt 是l/b 、z/b 的函数，b 指的是：（A ） 矩形的长边（B ） 矩形的短边（C ） 矩形的短边与长边的平均值（D ） 三角形分布荷载方向基础底面的边长您的选项（ ）二：填空题1.由土筑成的梯形断面路堤，因自重引起的基底压力分布图形是 ，桥梁墩台等刚性基础在中心荷载作用下，基底的沉降是 。
2.地基中附加应力分布随深度增加呈 ，同一深度处，在基底 点下，附加应力最大。
3.单向偏心荷载作用下的矩形基础，当偏心距e > l /6时，基底与地基局部 ，产生应力 。
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1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0
2.在某一水平面上，r=0, ? z 最大; r↑，a减小，σz减小
3.在r>0的竖直线上，z=0, σz=0； 随z↑，σz先增加后减小
4.σz 等值线－其空间曲面形状如泡状称为应力泡
P
P
0.1P
0.05 0.P02
P
0.01
4
? 工程应用
当基础底面形状不规则或荷载， 分布较复杂时，可将基底分为若 干个小面积，把小面积上的荷载 当成集中力，然后利用上述计算 附加应力公式，进行叠加，可求 出附加应力总和。
Pi
ri
? z ? ? ?zP2
z
如果小面积的最大边长小于计算应
力深度的1/3时，用此法所得的应 力值与正确应力之相比，误差不 超过5% 。
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
竖直 矩形内积分 集中力
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
积
内分 圆
竖直线布荷载 宽度积分
圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
1
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
αr
x R
23
24
25
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
小结
?
z
?
k
P z2
——竖直集中荷载作用下
? z ? ks p0 ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下
? z ? kt pt ——矩形面积三角形分布荷载作用角点下
? z ? kzs p0 ——条形面积竖直均布荷载作用时
? z ? kzt pt ——条形面积三角形分布荷载作用时
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
?z
?
3P 2?
z3 R5
R 2 ? r 2 ? z2 ? x2 ? y2 ? z2
y
[ ? z
?
3P 2?
z3 R5
?
3 2?
1
P
1 ? (r / z)2 ]5/ 2 z 2
k?3源自2?[1 ?1 (r / z)2 ]5/ 2
P
o
αr
y
x
x
M'
R βz
b.矩形面积外
?
z
?
(
kbegh c
?
k afgh c
?
k cegi c
?
k dfgi c
)
p0
例题4-6 P72
BA
CD
h
ig
a
df
b
ce 8
9
10
11
12
13
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
? ? ? z ?
B 0
1. 角点下的垂直附加应力 ——B 氏解的应用
dP ? p0dxdy
dP
p0
y
d?
z
?
3 p0
2?
z3 R5
dxdy
? ? ? z ?
B 0
L d?
0
z
? ? z ( p0 , m, n)
x
L
B
? z ? ks p0
z
M
m=L/B, n=z/B
ks
?
F (B, L, z)
?
F(L, B
z) B
?
F (m, n)
? ?
z
?
i?n i?1
ki
Pi z
Mi
5
二. 圆形面积均布荷载作用时圆心下的附加应力计算
? z ? ? c p0
?
c
?
F(r , R
z) R
R
r
R--圆形面积的半径 r-计算点到z轴的距离
? c 查表4-6
P69 例题4-5
z
z
Mi
6
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
布辛内斯克(J.Boussinesq) 课题
x
y M'
βz
?z
?zx
y
?xy
?x
M
? y ?yz
z R 2 ? r 2 ? z 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 r / z ? tg?
? x ? y ? z ?xy ?yz ?zx u v w
2
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
L 0
d?
z
? ? z ( p0 , m, n)
dP
p0
? z ? kt pt
kt
?
F (B, L, z)
?
F
(L, B
z) B
?
F (m, n)
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
B
z
M
z
查表4-11
L
x
14
15
16
17
18
19
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
? z ? kzs p0
p0
x
kzs
?
F (B,
x, z)
?
F
(x, B
z) B
?
F (m, n)
y
z
Bx
M
条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数
z
根据 x , z BB
查表4-14
21
八. 条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
P84 例题3.3
? z ? kzt pt
? z ? k0 p0 ——条形面积梯形分布荷载作用时
? ? ? p z
l z
0
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计
十. 影响土中应力分布的因素 算
B
1. 非均匀性—成层地基
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基
M
z R 2 ? r 2 ? z2 ? x2 ? y2 ? z2
?
z
?
k
?P z2
集中力作用下的 应力分布系数
查表3-1
3
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
?
z
?
k
?
P z2
特点
k
?
3
2?
[1 ?
(r
1 / z)2 ]5/ 2
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数
z
查表4-9
7
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应力
两种情况：
a.矩形面积内
? z ? (kcA ? kcB ? kcC ? kcD ) p0
kzt
?
F (B, x, z)
?
F(x, B
z) B
?
F (m, n)
条形面积竖直三角形荷载作用时的 应力分布系数
根据 x , z BB
查表4-15
22
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
例题：某条形基础上作用着荷载 F=300KN ，基础宽度 b=2m, 基础埋深 1.2m, γ=19KN/m 3 ， M=42KN.m, 求基础 中点下的附加应力。
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
--B 氏解的应用
?z
?
2p z 3 ?(x2 ? z2)2
?x
?
2px2z ?(x2 ? z2 )2
?zx
?
2p xz2 ? (x2 ? z2 )2
p
x
z
y
xM
z
20
§3 土体中的应力计算 §3.4地基中附加应力的计算
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算