【精校】2020年安徽省淮南市高考一模数学文
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-…，|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-= B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．109．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．100810．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)12．（3分）若函数2()x f x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 ． 14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 ． 16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB = ．三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数()xa e f x blnx e =-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-． （Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-„，|B x y ⎧==⎨⎩，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)【解答】解：Q 集合{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，|{|2}B x y x x ⎧===<⎨⎩，{|12}[1A B x x ∴=<=I „，2)．故选：C ．2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±【解答】解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a iz i i i +++-++===--+Q 是纯虚数， ∴1010a a -=⎧⎨+≠⎩，即1a =．故选：B ．3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0lga lgb a b a b >⇒>>⇒>， 反之由“a b >”无法得出lga lgb >．∴ “lga lgb >”是“a b >”的充分不必要条件．故选：B ．4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由于函数1()3()2x f x x =-+是R 上的单调减函数，。
2020年高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)
2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin，∴，故tanα＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e，故选：A．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a、b关系是关键，属于中档题．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，由此能求出其正弦值相等的概率．解：∵集合，sin sin，，sin sin，，从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，∴其正弦值相等的概率是p．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．8．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴（0，﹣1，﹣1），（﹣1，1，0），∴cos，，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（1﹣cos2ωx）sin2ωx sin（2）（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）1有3个根；∴sin（2）有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（，2ωπ）；∵2π2ωπ2π⇒ω．故选：C．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k，Q（m，﹣1），k PQ，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|5，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．【分析】构造函数，则e x，设F（x）＝e x+c，即f（x）＝xe x+cx，又f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，再利用导数即可求得f（x）的最小值．解：由xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，构造函数，则e x，所以可以设F（x）＝e x+c，即，f（x）＝xe x+cx，又因为f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，由f'（x）＝e x（x+1）＝0得x＝﹣1，所以当x＜﹣1时f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，当x＞﹣1时f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，所以，故选：D．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则4．【分析】先求出f（log 2），从而f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log 2），∴f（）＝2．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos，2，及||的值，而||展开可求出其值．解：因为（）⊥，所以（）•0，即2＝0，因为||，向量，夹角为120°，整理可得2＝||•||cos，2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以||故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝9．【分析】根据可求出cos C，进而求出sin C．由可得sin A，最后利用正弦定理求出c的值．解：由得，∴．显然，结合，∴，∴．∵a＝8，由正弦定理得，即，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S，即可计算得解S表面积的值．梯形BB′CC′解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，∴OC′＝2•26，B′C′＝3，∴CC′＝BB′4，∴S梯形BB′CC′27，∴S表面积＝63216．故答案为：216．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d，由a1＝﹣8，a2＝3a4，求出d，进而求出a n；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n求b n，再利用裂项相消法求T n，从而解决n的值得问题．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，由a1＝﹣8，a2＝3a4得：﹣8+d＝3（﹣8+3d）解得d＝2，所以a n＝﹣10+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝﹣10+2n，∴，所以T n＝2[（）+（）+…+（）]，由T n解得n＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，，得AC＝1，则．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出||，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K24＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且||＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴，，∴k1k2•，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数（a∈一、选择题且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a时，f′（x）＝2x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2x（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a时，，所以f′（x）＝2x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），即x+y ﹣21＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），又因为x0∈（1，2），则x0∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以2，故：，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。
2020届江淮名校高考模拟试卷(一)文科数学及答案解析
江淮名校2020届高考模拟试卷（一）文科数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数z 满足(l+i)z=l+3i ，则z=（）A ．l+2iB ．2+iC ．l-2iD ．2-i2．已知集合，则A ∪B=A ．RB ．C ．{|3}x x <D ．3．设x ∈R ，则“x≥0”是“|x-l|≤1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值5．在递增等比数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 3=4，则a 19=（）A ．219B ．220C ．29D ．2106．平面直角坐标系xOy 中分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，向量a=2i ，b=i+j ，以下说法正确的是（）A ．|a|=|b|B ．(a—b)丄bC ．a·b=1D ．a//b7．已知sina=35，且a 为第二象限角，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．195-B ．519-31C.17-17D.31-8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．22019-1B ．22019-2C ．22020-2D ．22O2O -19．函数||3cos x y x e =-的图象可能是（）10．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．264B ．270C ．274D ．28211．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点的直线l ：x+y=c 在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为QF 2旳的中点，△QF 1F 2的面积为4，则双曲线E 的方程为（）A ．22122x y -=B ．2212x y -=C ．22144x y -=D ．22143x y -=12．若函数f(x)满足(2)2()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，1()ln 2f x x ax a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当X ∈(-4，-2）时，()f x 的最大值为-14，则实数a 的值为（）A ．3B ．e C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．13．曲线1y x =在点（1，1）处的切线方程为．14．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为．15．记S n 为数列{}n a 的前n 项和，若S n =2a n +1，则S 6=．16．在平面四边形ABCD 中，∠A=60°，AD ⊥DC ，，BD=2，则BC 的最小长度为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3口在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如右图所示，把年龄落在区间[15，35)和［35，75］内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”。
2022年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）1. 已知集合，，若，则a 的取值范围为( )A.B.C. D.2. 设复数z 满足，则( )A. 0B. 1C. D. 23. 已知命题p ：“且”是“”的充要条件；命题q ：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是( )A. B.C.D.4. 在区间上随机取一个数x ，则的值介于0到之间的概率为( )A.B.C.D.5. 若实数x ，y 满足约束条件，若的最大值等于3，则实数a的值为( )A.B. 1C. 2D. 36. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 为奇函数B. 为奇函数C. 为偶函数D.为偶函数7. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数无极值点，则角B 的最大值是( )A. B. C. D.8. .某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是( )A. B. 4 C. 2 D.9. 已知，，若，则的最小值为( )A. 6B. 9C. 16D. 1810. 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则( )A. B. C. 3 D. 611. 若直线l：与曲线有公共点，则实数m的范围是( )A. B. C. D.12. 已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为( )A. B. C. D.13. 在等比数列中，，，则______.14. 已知函数，则的值是______.15. 已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于______.16. 已知函数满足：当时，，当时，，当时，且若函数的图像上关于原点对称的点至少有3对，有如下四个命题：①的值域为R；②为周期函数；③实数a的取值范围为；④在区间上单调递减．其中所有真命题的序号是______.17. 为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了公共自行车服务系统．为了了解市民使用公共自行车情况，现统计了甲、乙两人五个星期使用公共自行车的次数，统计如下：第一周第二周第三周第四周第五周甲的次数111291112乙的次数9691415分别求出甲乙两人这五个星期使用公共自行车次数的众数和极差；根据有关概率知识，解答下面问题：从甲、乙两人这五个星期使用公共自行车的次数中各随机抽取一个，设抽到甲的使用次数记为x，抽到乙的使用次数记为y，用A表示满足条件的事件，求事件A的概率．18. 如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，O，E分别是BD，BC的中点，，求证：平面BCD；求点E到平面ACD的距离．19. 已知数列满足，求的值，并证明数列是等差数列；求数列的通项公式并证明：20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离是求椭圆C的方程；设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．21. 已知函数判断函数的单调性；已知，若存在时使不等式成立，求的取值范围．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为求曲线C的普通方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．23. 已知函数的最小值为求m的值；若实数a，b满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用并集定义、不等式性质直接求解．【解答】解：集合，，，的取值范围是故选：2.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，求出结果．本题主要考查复数代数形式的运算，求复数的模的方法，属于基础题．【解答】解：复数z满足，，，故选3.【答案】D【解析】解：对于p，当且时，可得出，充分性成立，当时，不能得出且，必要性不成立，是充分不必要条件，p为假命题；对于q，，，由曲线在点处的切线的斜率为1，得，，即，曲线在点处的切线斜率为，q为真命题；所以为真命题，故选：根据充分必要条件的定义对p，q进行判断，再利用真值表判断真假即可．本题考查了充分必要条件的判断，复合命题的真假判断，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当时，，则，由几何概型中的线段型可得：在区间上随机取一个数x，则的值介于0到之间的概率为，故选：先求出的解集，再结合几何概型中的线段型求解即可．本题考查了几何概型中的线段型，属基础题．5.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，即故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可求解a值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．6.【答案】C【解析】解：，，为偶函数，故A错误；，为偶函数，故C正确；，为非奇非偶函数，故B错误；，为非奇非偶函数，故D错误．故选：利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查二倍角的余弦的应用，考查型函数的图象与性质，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由题意可知，，则无解或有两个相等的实数解，所以，因此，由余弦定理可得，因为，所以，所以B的最大值为，故选：求导，根据导数与函数极值的关系，求得，结合余弦定理即可求得B的最大值．本题考查导数的应用，导数与函数极值的关系，余弦定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图的还原，由三视图可知：该三棱锥的侧面底面ABC，交线BC，，且，，，，据此即可计算出其体积．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的侧面底面ABC，交线BC，，且，，，，故选9.【答案】C【解析】解：由，，又，则，即，则，当且仅当，即，时取等号，故选：由平面向量共线的坐标运算求出x，y的关系，再结合均值不等式求最小值即可．本题考查了平面向量共线的坐标运算，重点考查了均值不等式，属基础题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，为偶函数，函数的图象关于直线对称，则有，是定义在R上的奇函数，则，综合可得：，函数是周期为3的周期函数，是定义在R上的奇函数，则，则，，故；故选：根据题意，由为偶函数分析的对称性，进而可得是周期为3的周期函数，由此求出和的值，计算可得答案．本题考查函数奇偶性和周期性的性质以及应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：直线方程即，联立直线方程可得直线过定点，曲线C的方程即，表示圆心为，半径为2的上半圆，当时，直线l为y轴，与曲线C显然有公共点，当时，直线l的斜率为，易知当直线过点时斜率最小，如图所示，所以，解得，综上，实数m的范围是，故选：首先确定直线所过的定点，然后考查C的特征，据此即可确定直线斜率最小时点的坐标，然后利用斜率公式即可求得直线的斜率．本题主要考查直线与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：令，当时，的图象如图所示，由对称性可知，，所以，又，，由图象可知，所以所以故选：令，将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的交点横坐标问题进行研究根据正弦函数的图象的对称性质得到，进而得到，结合图象和正弦函数的最大值，得到m的取值范围，进而得到的取值范围．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，用到了数形结合的思想，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：设等比数列的公比为q，由，得，所以故答案为：设等比数列的公比为q，由可得，从而利用即可求解．本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：根据题意，函数，则，则，故答案为：根据题意，由函数的解析式计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为双曲线，所以，渐近线方程为，所以，所以，所以焦距，故答案为：由双曲线E的方程，得，由渐近线方程，得b的值，再计算c，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．16.【答案】①③【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，当时，且，这部分函数的值域为R，则的值域为R，①正确；对于②，当时，，不具有周期性，不是周期函数，②错误；对于③，当时，，且当时，，作出函数在上的部分图象关于原点对称的图象，如图所示，若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，即函数的图象与所作的图象至少有三个交点，必有，解得，a的取值范围为，③正确；对于④，当时，，即，，则，，在区间上单调递增，④错误；其中正确的是①③；故答案为：①③．根据题意，依次分析题目4个命题的真假，即可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性和对称性，属于中档题．17.【答案】解：甲的众数是11和12，极差是，乙的众数是9，极差是从甲乙二人的次数中各随机抽一个，设甲抽到的次数为x ，乙抽到的次数为y ，则所有的为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有25个其中满足条件的有：，，，，，，，，共有8个事件A 的概率为【解析】利用众数，极差的定义直接求解．从甲乙二人的次数中各随机抽一个，设甲抽到的次数为x ，乙抽到的次数为y ，利用列举法能求出事件A 的概率．本题考查众数、极差、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】证明：连接OC ，OA ，，，，，，在中，由已知可得，，，而，，则，即，，平面BCD ，平面BCD ，平面BCD ；解：设点E 到平面ACD 的距离为h ，，，在中，，，，又，，点E到平面ACD的距离为【解析】连接OC，OA，由题意可得，，求解三角形证明，再由直线与平面垂直的判定可得平面BCD；设点E到平面ACD的距离为h，由，即可求得点E到平面ACD的距离．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．19.【答案】解：当时，，，当时，；相除得，整理为：，即，为等差数列，公差；证明：由得，整理得：，，又单调递增，所以【解析】根据数列通项与前n项积的关系结合等差数列的定义即可得出答案；求出数列的通项，即可求出数列的通项公式，再根据数列的单调性即可得证．本题考查数列的递推式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：因为椭圆的右焦点到直线的距离是4，，，又因为离心率，所以，，椭圆方程为：；解法一：由知，设，则，，当时，有最大值，此时或，当时直线l的斜率，直线l的方程为；当时直线l的斜率，直线l的方程为直线l的方程为或解法二：由知，当直线l的斜率不存在时；当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为：，联立，得，，，，令，，时即时最大为18，最大为，直线l的方程为或【解析】根据椭圆的右焦点到直线的距离是4，可求出c，再根据离心率求出a，即可求得椭圆方程；解法一：知，设，则有，即可求解；解法二：考虑斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，和椭圆方程联立，从而表示出弦长，进而求弦长最大时斜率的值，求得答案．本题考查了椭圆的有关性质及直线与椭圆相交时弦长问题，解法一利用了两点间的距离公式，解法二用了分类讨论思想，属于中档题．21.【答案】解：因为，所以，令，则，，所以函数在区间单减，又因为，所以当时，，所以函数在区间上单调递减．当时，所求不等式可化为，即，易知，由知，在单调递减，故只需在上能成立．两边同取自然对数，得，即在上能成立．令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，所以，又故的取值范围是【解析】求出导函数，令，利用导函数判断函数的单调性，推出结果即可．不等式可化为，即，只需在推出在上能成立．令，则，判断函数的单调性，求解函数的最大值，即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：由为参数，得为参数，消去t得曲线C的普通方程为由，得，联立得，，所以AB中点坐标为，，故以AB为直径的圆的直角坐标方程为，即，将，，代入得【解析】直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用方程组的解法求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：，故，，由可知，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为【解析】利用绝对值的几何意义，求解函数的值域，利用最小值求解m即可．利用的结果，通过配凑法，结合基本不等式求解表达式的最小值即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2021届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学文科试题(解析版)参照模板
淮南市2020届高三第一次模拟考试数学试题(文科)一、选择题1.若集合{}21A x x =-≤，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B = ( ) A. []1,2- B. (]2,3 C. [)1,2D. [)1,3【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，然后再求交集.【详解】由{}21A x x =-≤得，[1,3]A = ,(),2B x y ⎧⎫===-∞⎨⎩则[1,2)A B ⋂= 故选：C【点睛】本题考查集合求交集,属于基础题. 2.已知R a ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+是纯虚数，则a 的值为( ) A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【详解】()()()()()()111=1112a i i a a ia i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =- 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 3.已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==. 所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数是( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数，数形结合可得结论． 【详解】函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数， 即方程132xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的根的个数， 所以只需求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数 在同一坐标系中分别作出函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像.如图所示，函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点有1个. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的图象的交点问题，函数的零点个数的判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．5.由下表可计算出变量,x y 的线性回归方程为( )x5 4 3 2 1 y21.5110.5A. ˆ0.350.15yx =+ B. ˆ0.350.25yx =-+ C. ˆ0.350.15yx =-+ D. ˆ0.350.25yx =+ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，543212 1.5110.53, 1.255x y ++++++++====∴样本中心点为(3，1.2)代入选择支，检验可知A 满足.故答案选A ． 考点：线性回归方程.6.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A. 230x y -+= B. 230x y +-=C. 230x y --=D. 230x y --=【答案】D 【解析】 【分析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程．【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-. 故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题． 7.函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为( ) A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.【详解】因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--.此时211()x f x x x x='-=-，当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-.. 由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合. 故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.8.在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅的值为( ) A. 26 B. 13C.523D. 10【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出.【详解】()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅如图,设,AB AC 的中点分别为,E F ,则,OE AB OF AC ⊥⊥,||||cos ||||428AO AB AB AO OAB AB AE ⋅=⋅∠=⋅=⨯= ||||cos ||||6318AO AC AC AO OAC AC AF ⋅=⋅∠=⋅=⨯=所以18810AO BC ⋅=-= 故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题． 9.已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数()32113n n a f x x a x +=-+()n N +∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦( )A. 2019B. 2018C. 1009D. 1008【答案】D 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，可得1(1)20n n f a a +'=-=，数列{}n a 为等比数列，可得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可得n b ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值．【详解】由21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数()f x 的极值点，所以1(1)20n n f a a +'=-=，即12n n a a +=所以数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列, 则12n na .由1222log log 21n n n b a n ++===+120182018112018(1)(2)12n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以122320182019201820182018b b b b b b ++⋅⋅⋅+ 1223201820191111112018[]b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1201911111009=20182018=1009220201010b b ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1223201820192018201820181009[1009]10081010b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=-=⎢⎥⎣⎦ 故选：D【点睛】本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A .2500cm 3πB.2625cm 9πC.2625cm 36πD.215625cm 162π【答案】B 【解析】 【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R 的方程并解出R 即可求出球的表面积．【详解】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得222(3)4R R =-+，解得：25=6R ． ∴球的表面积为2225625=4=4=369S R πππ⨯ ． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了正方体的性质、垂径定理以及勾股定理等知识，将立体图转化为平面图形是解题关键．11.已知双曲线22214x y b -=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为( )8 B. )41-8+ D. )22【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF所以8)m =+，解得：123m -=， 所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.若函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1,11e e e ⎛⎫--⎪-⎝⎭B. 11,1ee e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦C. 11,1ee e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭D. 1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦【答案】C 【解析】【详解】函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点,即方程ln ln x xa x x x =--有三个不同实数根.设ln ()(0)ln x xg x x x x x=->-, 则22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )()(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----'=-=-- 由1212ln ,2x y x x y x x-'=-=-=, 当1(0,)2x ∈时，0y '<，2ln y x x =-单调递减， 当1()2,x ∈+∞时，0y '>，2ln y x x =-单调递增, 所以112ln 2ln 1ln 2022y x x =-≥⨯-=+> 所以在(0,)x ∈+∞恒有2ln 0y x x =-> 令()0g x '=，得1x =或x e =.当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当e x <时，()0g x '< 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.(1)1g =，1()1e g e e e=-- 0x →时，ln x x→-∞，1ln ln 1x x x x x=→-- x →+∞时，ln 0x x→，11ln ln 1x x x x x=→--所以0x →时，()+g x →∞，x →+∞时()1g x →所以()g x的大致图像如下:方程lnlnx xax x x=--有三个不同实数根.结合函数图像有：11,1eae e⎛⎫∈-⎪-⎝⎭故选：C【点睛】本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.二．填空题13.若实数x，y满足0,20,20,x yx yx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y=+的最大值为______．【答案】3【解析】【分析】作出不等式组满足的平面区域，再将目标函数平移经过可行域，可得最值.【详解】由0,20,20,x yx yx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如下目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+. z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.即求直线2y x z =-+在y 轴上的截距的最大值. 由可行域的图像，可知目标函数过点(1,1)B 时截距最大. 所以z 的最大值为：2113z =⨯+= 故答案为：3【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意简单线性规划中目标函数的几何意义，属于基础题. 14.已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为______． 433- 【解析】 【分析】根据角的范围，先求出cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后用角变换66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可求解. 【详解】由5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，+,26ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2cos 1s 653in 6ππαα⎛⎫⎛⎫+=--+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos =cos cos +sin sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭341552=-+⨯=【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题. 15.已知函数()lnexf x e x =-，满足()2201810092019201920192e e e f f f a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a ，b 均为正实数)，则ab 的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出,a b 的关系，可得出答案. 【详解】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----. 22018201920192019e e e f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20182201710091010[][[]201920192019201920192019e e e e e e f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10092=⨯()10092a b =+ 所以4a b +=，且a ，b 均为正实数.则242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab 当且仅当2a b == 时取等号. 故答案为：4.16.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且4AF BF =，则弦长AB =______．【答案】258【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案． 【详解】抛物线焦点坐标为1(,0)2F ， 设点1122(,),(,)A x y A x y 设直线l 方程为12x my =+， 由抛物线的定义有111||22p AF x x =+=+，221||22p BF x x =+=+ 由4AF BF =，得1211422x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即1214(1)my my +=+. 所以有12(4)3(1)m y y -=，又由2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 得：2210y my --=，所以122y y m +=，121(2)y y ⋅=-由(1),(2)联立解得：2916m =. 又1212||||||12AB AF BF x x my my =+=++=++212925()22222168m y y m =++=+=⨯+=故答案为：258【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．三．解答题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB =ABC ∆的面积．【答案】(Ⅰ)60C =︒；(Ⅱ)S = 【解析】(Ⅰ)由正弦定理可得3sin cos sin sin A C C A =，可得答案.|(Ⅱ)由条件APC ∆为等边三角形，则120APB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒，可得AP ，从而得到三角形的面积.【详解】(Ⅰ)∵3cos sin a C c A =，由正弦定理可得3sin cos sin sin A C C A =， 又A 是ABC ∆内角，∴sin 0A ≠，∴tan 3C = ∵0180C <<︒，∴60C =︒．(Ⅱ)根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒， 解得，2AP =，∴5BC =，2AC =． ∴ABC ∆的面积153sin 6022S CA CB =⋅︒=． 【点睛】本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.18.高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中a 的值；(Ⅱ)现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；(Ⅲ)为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：经常使用偶尔使用或不用合计完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(Ⅰ)0.030a =；(Ⅱ)37P =；(Ⅲ)表见解析，没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图中的面积之和为1，求参数a .(Ⅱ)由题意前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，利用列举的方法可求得概率.(Ⅲ)先计算填好2×2列联表，然后代入公式计算2K ，与给出的表格比较得出答案. 【详解】(Ⅰ)由题意()100.010.01520.0250.0051a ⨯+⨯+++=解得0.030a =.(Ⅱ)由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()13,A C ； ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()23,A C ； ()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()13,B C ；()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()23,B C ；()31,B C ，()32,B C ，()33,B C ；()12,C C ，()13,C C ，()23,C C ；共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， ∴所求的概率为123287P ==. (Ⅲ)2×2列联表如下：由上表及公式可知()2220050406050 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.02＜2.072所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求参数，考查概率可独立性检验，属于中档题.19.如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥．(Ⅰ)求证：PE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)设F ，G 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13G BCF V -= 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据原图中的垂直关系，得到翻折后BE PE ⊥，PE BC ⊥，从而可证明. (Ⅱ)由F ，G 分别为PD ，PB 的中点111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，从而可求解体积.【详解】(Ⅰ)由题意可知BCDE 为正方形，∴BC BE ⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥ 又PE BC ⊥，且PB BE B =，∴BC ⊥平面PBE ，∵PE PB ⊂，E ，BC PE ⊥又BCBE B =，∴PE ⊥平面BCDE .(Ⅱ)∵G 为PB 的中点，∴PGF BGF S S ∆∆=，∴12C PGF C BGF C PBF V V V ---== 又F 为PD 的中点，∴PBF BDF S S ∆∆=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---== ∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----==== 又1142P BCDP BCDE V V --=，∴11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查翻折问题，考查线面垂直的证明和求体积,属于中档题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． (Ⅰ)求椭圆C 的方程(Ⅱ)过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22198x y ；(2)存在，0m ≤<或0m <≤【解析】 【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为13和2MNF ∆的周长为12可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可求椭圆方程.(Ⅱ)AB 的中点为()00,E x y ,由条件有DE AB ⊥，即1DE AB k k =-⋅,设(),0D m ，用直线AB 的斜率把m 表示出来，可求解其范围. 【详解】(1)由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以3a =，1c =，所以椭圆C 的方程为22198x y .(2)直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ．假设存在点(),0D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++当0k >时，89k k +≥=012m -≤<； 当k 0<时，89k k +≤-012m <≤ 综上：m取值范围是012m -≤<或012m <≤. 【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.21.设函数()ln xa e f xb x e=-，且()11f =(其中e 是自然对数底数)．(Ⅰ)若1b =，求()f x 的单调区间； (Ⅱ)若0b e ≤≤，求证：()0f x >． 【答案】(Ⅰ)增区间为1,，减区间为0,1；(Ⅱ)见解析【解析】 【分析】(Ⅰ)当1b =时()11x xe f x x--'=，令()11x t x xe -=-，对()t x 求导分析出其单调性，从而分析出函数值的符号，得到()f x 的单调区间.(Ⅱ)对()f x 求导讨论其单调性，分析其最小值，证明其最小值大于0即可. 【详解】(Ⅰ)由()11f =可得，1a =，又1b =，∴()1ln x f x e x -=-，()11x xe f x x--'=，0x >，令()11x t x xe-=-，()()11x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在0,单调增函数，又()10t =.∴当()0,1x ∈时，()0t x <，()‘0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0t x >；()‘0f x >，∴()f x 的单调增区间为1,，减区间为0,1(Ⅱ)当0b =时，()0f x >，符合题意. 方法(一)当0b e <≤时，()11x x b xe bf x e x x---'=-=令()1x h x xeb -=-，又()00h b =-<，()220h e b =->∴()h x 在()0,2∃唯一的零点，设为0x ，有010x x eb -=且()00,x x ∈，()00f x '<，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()00f x '>，()f x 单调递增 ∴()()0100min ln x f x f x eb x -==-∵010x x eb -=，∴01x be x -=，两边取对数， 001ln ln x b x -=-∴()()000ln 1bf x b b x x =-+-00ln 2ln ln b bx b b b b b b b b b b x ⎛⎫=+--≥--=- ⎪⎝⎭(当且仅当01x =时到等号) 设()ln m b b b b =-，∴()ln m b b =-，当()0,1b ∈时，()0m b '>，当(]1,b e ∈时，()0m b '<； 又()0m e =，且，0b >，趋向0时，()0m e >； ∴当0b e <≤，()0m b ≥，当且仅当b e =时取等号由(1)可知，当1b =时，01x =，故当b e =时，01x ≠，()()00f x m b >≥，∴()00f x > 综上，当0b e ≤≤时，()0f x > 方法(二)当0b e <≤时，(i )当01x <≤时ln 0x ≤，ln 0b x ≤，()1ln 0x f x e b x -=->显然成立；(ii )当1x ≥时，构造函数()ln 1F x x x =-+()110F x x'=-≤，()F x 在[)1,+∞为减函数，∴()()10F x F ≤=，∴0ln 1x x <≤- ∴()()0ln 11b x b x e x <≤-≤-，∴()0ln 1b x e x <<- ∴()()11ln 1x x f x eb x e e x --=->--又由ln 1x x ≤-，可得21x e x -≥-，进而()()110x f x e e x -=--≥综上：当0b e ≤≤时，()0f x >【点睛】本题考查求函数单调区间和证明函数不等式，考查了导数的应用，应用了放缩与指对互化的技巧，属于难题.四．选考题22.在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求1C ，2C 的极坐标方程； (2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：(1)将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ==，所以MN =12. 试题解析：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ==所以MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯= 考点：坐标系与参数方程.【此处有视频，请去附件查看】23.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】 试题分析：(1)解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：(1)当a ＝－3时，f(x)＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．6分(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|(4－x)－(2－x)≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【此处有视频，请去附件查看】百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
2020年普通高等学校招生全国统一考试1卷
积为 4 ， AB BC AC OO1 ，则球 O 的表面积为（ ）
A. 64
B. 48
C. 36
D. 32
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安徽省舒城中学
陶习满（WX:MY8550L）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x y 2 0
13.若
x,
y
满足约束条件
x y 1 0
，则 z x 7 y 的最大值为
5 1
A.
4
5 1
B.
2
5 1
C.
4
5 1
D.
2
4.设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O , A ， B ， C , D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的
概率为（ ）
1
2
1
4
A.
B.
C.
D.
5
5
2
5
5.某校-个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x (单位: 0C )的关系，在 20 个不
安徽省舒城中学
陶习满（WX:MY8550L）
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（Ⅰ）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有 一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A x x2 3x 4 0 ， B 4,1,3,5，则 A B （ ）
D. y a b ln x
6.已知圆 x2 y2 6x 0 ，过点 (1,2) 的直线被该圆所截得的弦的於度的最小值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
7.设函数 f (x) cos(wx ) 在 , 的图像大致图像如下图，则 f (x) 的最小正周期为
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-…，|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-= B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．109．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．100810．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)12．（3分）若函数2()x f x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 ． 14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 ． 16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB = ．三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数()xa e f x blnx e =-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-． （Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-„，|B x y ⎧==⎨⎩，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)【解答】解：Q 集合{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，|{|2}B x y x x ⎧===<⎨⎩，{|12}[1A B x x ∴=<=I „，2)．故选：C ．2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±【解答】解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a iz i i i +++-++===--+Q 是纯虚数， ∴1010a a -=⎧⎨+≠⎩，即1a =．故选：B ．3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0lga lgb a b a b >⇒>>⇒>， 反之由“a b >”无法得出lga lgb >．∴ “lga lgb >”是“a b >”的充分不必要条件．故选：B ．4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由于函数1()3()2x f x x =-+是R 上的单调减函数，f （3）108=>，f （4）115101616=-+=-<，根据函数的零点存在性定理，函数只有1个零点． 故选：B ．5．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 【解答】解：1234535x ++++==，0.511 1.521.25y ++++==，5152215ˆ0.355i ii ii x yxy bxx ==-==-∑∑，ˆˆ 1.20.3530.15ay bx =-=-⨯=， y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.350.15yx =+． 故选：A ．6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=【解答】解：线段AB 的中点为(2,1)，12AB k =-，∴线段AB 的垂直平分线为：2(2)1y x =-+，即230x y --=，AC BC =Q ，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC ∆的欧拉线方程为230x y --=， 故选：D ．7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()()f x f x -=，函数为偶函数， 当x →+∞，()f x →+∞，排除A ，D ，f （1）111122=-=->-，∴排除B ， 故选：C ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．10【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点，()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ||||||||AC AT AB AS =-u u u r u u u r u u u r u u u r646422=⨯-⨯10=．故选：D ．9．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．1008【解答】解：函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈， 可得21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点， 可得：120n n a a +-=，即{}n a 是等比数列，首项为11a =，公比为2，可得12n n a -=，22log 21n n b a n ==-，122320182019201820182018111100930282018()1009100813354035403740374037b b b b b b ++⋯+=++⋯+=-=+⨯⨯⨯， 则122320182019201820182018[]1008b b b b b b ++⋯+=． 故选：D ．10．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π【解答】解：如图所示，设球的半径为R ，由题意可得OA OB =，O A OB '⊥交OB 于O '，4O A '=，3O B '=，在三角形OO A '中，222OO OA O A ''=-，即222(3)4R R -=-，解得256R =，所以球的表面积262549S R ππ==， 故选：B ．11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)【解答】解：由双曲线2221(0)4x y b b -=>，可得：2a =．如图所示，设2||AF m =，2||BF n =． 可得：1||4AF m =+，1||4BF n =+．4m m n ∴+=+．解得4n =．作1AD BF ⊥，垂足为D ．D 为线段1BF 的中点． 160F AD ∠=︒．13||(4)DF m ∴=+， ∴3(4)24m n +⨯=+，即3(4)4m n +=+． 又4n =，代入解得：834m =-． 1ABF ∴∆的周长44m m n n =+++++16382()8m n =++=+． 故选：A ．12．（3分）若函数2()xf x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-【解答】解：令()0f x =可得x lnxa x lnx x=--， 令()x lnxg x x lnx x=--，则2211()(1)()()g x lnx x lnx x '=---．令()0g x '=可得x e =或1x =或2x lnx =， 令()2h x x lnx =-，则1()2h x x'=-， ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(2，)+∞单调递增，()h x ∴的最小值为11()1022h ln =->，∴方程2x lnx =无解．当01x <<时，10lnx ->，x lnx x ->，当1x e <<时，10lnx ->，0x lnx x <-<， 当x e >时，10lnx -<，0x lnx x <-<，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当x e >时，()0g x '<，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，∴当1x =时，()g x 取得极小值g （1）1=，当x e =时，()g x 取得极大值g （e ）11e e e=--． ()f x Q 有3个零点，()a g x ∴=有3解，111e a e e∴<<--． 故选：A ． 二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 3 ． 【解答】解：作出实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„表示的平面区域，如图所示： 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大 作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B 时，z 最大 由20x y x y +=⎧⎨-=⎩可得(1,1)A ，此时3z =．故答案为：3．14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为 433-【解答】解：由5(,)36ππα∈，得(62ππα+∈，)π，由4sin()65πα+=，得23cos()1sin ()665ππαα+=-+-，所以cos cos[()]66ππαα=+-cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+++3341()552=-+⨯433-=433-． 15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 4 ． 【解答】解：由()exf x ln e x=-，可得2()()2f x f e x ln ln lne +-=+==， 因为220181009()()()()2019201920192e e e f f f a b ++⋯+=+， 所以20181009()222a b +⨯=， 即有4a b +=， 由基本不等式可得2()42a b ab +=…，当且仅当2a b ==时取等号，此时取得最大值4． 故答案为：4．16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB =258． 【解答】解：抛物线焦点坐标为1(2F ，0)，设直线方程为12x my =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2212y xx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得：2210y my --=，则由韦达定理有：122y y m +=，①，121y y =-，②||4||AF BF =Q ，∴12114()22x x -=-，124y y -=，③， 由①②③可得2916m =， 1212925||1()222168AB x x m y y ∴=++=++=⨯+=． 故答案为：258． 三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 【解答】解：()I ．Q cos sin C c A =cos sin sin A C C A =．又A 是ABC ∆内角，sin 0A ∴≠，∴tan C =0180C <<︒Q ，60C ∴=︒．()II 根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PAPB =+-︒， 解得2AP =，5BC ∴=，2AC =．ABC ∴∆的面积153sin 602S CA CB =︒=． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：经常使用 偶尔使用或不用合计 男性 50 100 女性 40 合计200完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.635【解答】解：（Ⅰ）由题意知，10(0.010.01520.0250.005)1a ⨯+⨯+++=， 解得0.030a =；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3， 分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：1(A ，2)A ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，1(A ，3)B ， 1(A ，1)C ，1(A ，2)C ，1(A ，3)C ；2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，2(A ，3)B ， 2(A ，1)C ，2(A ，2)C ，2(A ，3)C ；1(B ，2)B ，1(B ，3)B ，1(B ，1)C ， 1(B ，2)C ，1(B ，3)C ；2(B ，3)B ，2(B ，1)C ，2(B ，2)C ，2(B ，3)C ； 3(B ，1)C ，3(B ，2)C ，3(B ，3)C ；1(C ，2)C ，1(C ，3)C ，2(C ，3)C 共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， 故所求的概率为123287P ==； （Ⅲ）由题意填写22⨯列联表如下，经常使用 偶尔使用或不用合计 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计11090200由上表及公式可知2200(50406050) 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；因为2.02 2.072<，所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关．19．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意可知BCDE 为正方形，BC BE ∴⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥，又PE BC ⊥，且PB BE B =I ，BC ∴⊥平面PBE ，PE ⊂Q 平面PBE ，BC PE ⊥，又BC BE B =I ，PE ∴⊥平面BCDE ． （Ⅱ）解：G Q 为PB 的中点，PGF BGF S S ∆∆∴=，∴12C PGF C BGF C PBF V VV ---==，又F 为PD 的中点，PBF BDF S S ∆∆∴=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---==，∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，又1142P BCD P BCDE V V --=， ∴三棱锥G BCF -的体积为：11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，222b a c =-，所以3a =，1c =，28b =，所以椭圆C 的方程为22198x y +=（Ⅱ）直线l 的解析式为2y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点为0(E x ，0)y ， 假设存在点(,0)D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形， 则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++ 当0k >时，89k k +=…0m <； 当0k <时，89k k+-„012m <„，综上：m取值范围是[，0)(0⋃． 21．（12分）设函数()xa e f x blnx e=-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >．【解答】解：（Ⅰ）由条件可得，1a =，1b =，111()()x x xe f x elnxf x x---'∴=-=，0x > 令1()1x t x xe -=-，1()(1)x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在(0,)+∞单调增函数，又t （1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0t x <，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0t x >，()0f x '>，()f x ∴的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；（Ⅱ）当0b =时，()0f x >，符合题意， 当0b e <„时，11()x x b xe bf x ex x---'=-=， 令1()x h x xe b -=-，又(0)0h b =-<，h （2）20e b =->，()h x ∴在(0,2)∃唯一的零点，设为0x ，有010x x e b -=，且0(0,)x x ∈，0(0)f x '<，()f x 单调递减； 0(x x ∈，)+∞，0(0)f x '>，()f x 单调递增；∴0100()()x min f x f x e blnx -==-Q 010x x e b -=， ∴010x be x -=，两边取对数，001x lnb lnx -=-， ∴00000()(1)()2b bf x b lnb x bx blnb b b blnb b b blnb x x =-+-=+----=-…（当且仅当01x =时到等号），设m （b ）b blnb =-， m ∴（b ）lnb =-，当(0,1)b ∈时，m '（b ）0>， 当(1b ∈，]e 时，m '（b ）0<；又m （e ）0=，且，0b >，趋向0时，m （e ）0>；∴当0b e <„，m （b ）0…，当且仅当b e =时取等号，由（1）可知，当1b =时，01x =，，故当b e =时，01x ≠，0()f x m >（b ）0…， 0()0f x ∴>，综上，当0b e 剟时，()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于cos x ρθ=，sin y ρθ=，1:2C x ∴=- 的 极坐标方程为cos 2ρθ=-，故222:(1)(2)1C x y -+-=的极坐标方程为： 22(cos 1)(sin 2)1ρθρθ-+-=，化简可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=． （Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程()4R πθρ=∈代入圆222:(1)(2)1C x y -+-=，可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=， 求得122ρ=，22ρ=，12||||2MN ρρ∴=-=，由于圆2C 的半径为1，22C M C N ∴⊥，△2C MN 的面积为2211111222C M C N =⨯⨯=g g ．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-．（Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集； （Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当3a =-时，()3f x …即|3||2|3x x -+-…， 即①2323x x x ⎧⎨-+-⎩„…，或②23323x x x <<⎧⎨-+-⎩…，或③3323x x x ⎧⎨-+-⎩……；解①可得1x „，解②可得x ∈∅，解③可得4x …． 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{|1x x „或4}x …． （2）原命题即()|4|f x x -„在[1，2]上恒成立，等价于||24x a x x ++--„在[1，2]上恒成立，等价于||2x a +…，等价于22x a -+剟，22x a x ---剟在[1，2]上恒成立． 故当12x 剟时，2x --的最大值为213--=-，2x -的最小值为0， 故a 的取值范围为[3-，0]．。
2020学年高考模拟试卷安徽省淮北市高考一模数学文科试卷(解析版)
2020学年高考一模数学文科试卷一、选择题1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}2．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在区间[0，4]上随机地取一个数x，则事件“0≤log2（x﹣1）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．4．已知平面α，直线m，n，若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．函数的部分图象是（）A．B．C．D．6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数量N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如11≡2（bmod3），现将该问题以程序框图的算法给出，我行该程序框图，则输出的结果等于（）A．35 B．36 C．37 D．387．已知双曲线C的中心在坐标原点且焦点在坐标轴上，C的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且点F到双曲线C的渐近线的距离等于2，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的偶函数f（x）满足，当x∈[0，+∞）时，，，b＝f（20.3），c＝f（0.42），则下列不等式成立的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a9．已知函数，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．其图象关于直线对称C．在区间上的值域为[﹣2，﹣1]D．函数g（x）是奇函数10．设等差数列{a n}的公差不为0，其前n项和为S n，若（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）＝2020，（a2018﹣2）3+sin（a2018﹣2）＝﹣2020，则S2020＝（）A．0 B．﹣2020 C．2020 D．404011．已知正方形ABCD的边长为2，动点P满足，且，则2x+y的最大值为（）A．B．C．D．12．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面ADC，AD⊥AC，AD＝AC，，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A．7 B．12 C．6 D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知非零向量、满足，，且，则与的夹角为．14．已知，2sin（2α）＝cos（2α）+1，则＝．15．已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，以F2为圆心的圆过坐标原点，过点F1作直线l与圆F2相切，直线l与椭圆相交于点P、Q且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率为．16．已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，对于任意x∈R均有f（x）+2g（x）＝mx﹣4，若f（x）﹣3﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）都成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且10b2cos B＝6ab cos C+3（b2+c2﹣a2）．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）设，，求△ABC的周长．18．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，等比数列{b n}的公比q＞1，且b3+b4+b5＝28，b4+2是b3，b5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M，N 分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求点M到平面B1NC的距离．20．纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等而发行的法定货币．我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收藏.2019年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：（Ⅰ）根据已有数据，把表格数据填写完整，判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？（Ⅱ）已知在被调查的年龄不大于40岁的喜爱者中有5名男性，其中3位是学生，现从这5名男性中随机抽取2人，求至多有1位学生的概率．附：，n＝a+b+c+d．21．设A，B为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上不同两点，抛物线C的焦点到其准线的距离为4，A与B的横坐标之和为8．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若设M为抛物线C上一点，C在点M处的切线与直线AB平行，过M点作直线l与曲线C相交于点M，Q，与y轴交于点P，且满足，求△OPQ的面积．22．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数，g（x）＝f'（x）+1．（Ⅰ）当m＝2时，判断函数g（x）在（0，π）上是否存在零点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）在（0，π）上存在最小值，求m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意）1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，∴A∩B＝{1}．故选：A．2．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：＝＝，其对应的点（）在第四象限故选：D．3．在区间[0，4]上随机地取一个数x，则事件“0≤log2（x﹣1）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．解：在区间[0，4]的长度为4；0≤log2（x﹣1）≤1，解之得[2，3]，长度为1；故在区间[0，4]上随机地取一个数x，则事件“0≤log2（x﹣1）≤1”发生的概率为．故选：B．4．已知平面α，直线m，n，若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：由n⊂α，m⊥n，不一定得到m⊥α；反之，由n⊂α，m⊥α，可得m⊥n．∴若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选：C．5．函数的部分图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A．当x＝π时，f（π）＝＝＜0，排除C，且﹣＜f（π）＜0，排除D，故选：B．6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数量N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如11≡2（bmod3），现将该问题以程序框图的算法给出，我行该程序框图，则输出的结果等于（）A．35 B．36 C．37 D．38解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数；在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数是38．故选：D．7．已知双曲线C的中心在坐标原点且焦点在坐标轴上，C的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且点F到双曲线C的渐近线的距离等于2，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．解：抛物线即x2＝16y的焦点F（0，4），可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），可得c＝4，即a2+b2＝16，由点F（0，c）到双曲线C的渐近线by±ax＝0的距离等于2，可得d＝＝b＝2，解得a＝2，则双曲线的方程为﹣＝1，故选：A．8．已知定义在R上的偶函数f（x）满足，当x∈[0，+∞）时，，，b＝f（20.3），c＝f（0.42），则下列不等式成立的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a解：∵∀x1，x2≥0，且x1≠x2，，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据偶函数的对称性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，∵＝f（﹣2）＝f（2），b＝f（20.3），c＝f（0.42）＝f（0.16），∵1＜20.3＜2，∴a＞b＞c．故选：B．9．已知函数，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．其图象关于直线对称C．在区间上的值域为[﹣2，﹣1]D．函数g（x）是奇函数解：已知函数＝2sin（ωx+），当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为＝•，∴ω＝4，f（x）＝2sin （4x+）．把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（4x﹣+）＝﹣2cos4x的图象．在上，4x∈[π，2π]，g（x）是减函数，故排除A；当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线对称；故排除B；在区间上，4x∈[﹣，]，cos4x∈[，1]g（x）∈[﹣2，﹣1]，故C正确；由于g（x）＝﹣2cos4x为偶函数，故排除D，故选：C．10．设等差数列{a n}的公差不为0，其前n项和为S n，若（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）＝2020，（a2018﹣2）3+sin（a2018﹣2）＝﹣2020，则S2020＝（）A．0 B．﹣2020 C．2020 D．4040解：等差数列{a n}的公差不为0，且（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）＝2020，（a2018﹣2）3+sin （a2018﹣2）＝﹣2020，令f（x）＝x3+sin x，则f（﹣x）＝﹣f（x）即f（﹣x）+f（x）＝0，∵（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）＝2020，（a2018﹣2）3+sin（a2018﹣2）＝﹣2020，两式相加可得，（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）+（a2018﹣2）3+sin（a2018﹣2）＝0，∴（a3﹣2）+（a2018﹣2）＝0，∴a3+a2018＝4，则S2020＝＝1010（a3+a2018）＝4040．故选：D．11．已知正方形ABCD的边长为2，动点P满足，且，则2x+y的最大值为（）A．B．C．D．解：如图建立平面直角坐标系，A（0，0），B（2，0），D（0，2），设P（m，n），因为，所以（m，n）＝（2x，0）+（0，2y），即（m，n）＝（2x，2y），m＝2x，n＝2y，因为又因为动点P满足，所以，，即（x﹣1）2+y2，设z＝2x+y，当该直线与圆（x﹣1）2+y2＝相切时会取得z最大值，，z＝2±，所以z max＝2+，即2x+y的最大值为2+，故选：B．12．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面ADC，AD⊥AC，AD＝AC，，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A．7 B．12 C．6 D．解：根据题意，设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，如图，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2E＝b，由S＝4πR2＝28π，解得R＝，在△ABC中，由正弦正理得2r＝，∴2r＝，解得b＝，在Rt△OAO1中，7＝r2+（）2，解得r＝2，b＝2，∴AC＝2，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos∠ABC，∴12＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC，解得AB•BC≤12，∴≤＝3，∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值：＝＝6．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知非零向量、满足，，且，则与的夹角为．解：，，且，所以（+）•＝0，所以•＝﹣＝﹣1，所以cosθ＝＝＝﹣；又θ∈[0，π]，所以θ＝；即与的夹角为．故答案为：．14．已知，2sin（2α）＝cos（2α）+1，则＝ 3 ．解：由半角公式，则＝＝，由2sin（2α）＝cos（2α）+1＝2，化简得5cos22α+2cos2α﹣3＝0，故或者cos2α＝﹣1（舍弃），由2sin2α＝cos2α+1＝，sin2α＝，所以＝，故答案为：315．已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，以F2为圆心的圆过坐标原点，过点F1作直线l与圆F2相切，直线l与椭圆相交于点P、Q且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率为．解：以F2为圆心的圆过坐标原点，可得圆F2的圆心为（c，0），半径为c，PF2⊥x轴，可设P（c，m），m＞0，由+＝1，解得m＝|PF2|＝，在直角三角形PF1F2中，|PF1|+|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2a﹣＝，由三角形的面积公式可得••2c＝c•，化为2a2＝3b2，则e＝＝＝＝．故答案为：．16．已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，对于任意x∈R均有f（x）+2g（x）＝mx﹣4，若f（x）﹣3﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）都成立，则实数m的取值范围是[e2，+∞）．解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，对于任意x∈R均有f（x）+2g（x）＝mx﹣4，①∴f（﹣x）+2g（﹣x）＝﹣mx﹣4，即﹣f（x）+2g（x）＝﹣mx﹣4，②由①②得2f（x）＝2mx，得f（x）＝mx，若f（x）﹣3﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）都成立即若mx﹣3﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）都成立则mx≥3+lnx，m≥，设h（x）＝，则h′（x）＝，由h′（x）＞0得﹣2﹣lnx＞0，得lnx＜﹣2，得0＜x＜，此时函数为增函数，由h′（x）＜0得﹣2﹣lnx＜0，得lnx＞﹣2，得x＞，此时函数为减函数，即当x＝，时，函数h（x）取得极大值，同时也是最大值，最大值为h（）＝＝＝e2，即m≥e2，则实数m的取值范围是[e2，+∞），故答案为：[e2，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且10b2cos B＝6ab cos C+3（b2+c2﹣a2）．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）设，，求△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵10b2cos B＝6ab cos C+3（b2+c2﹣a2）＝，∴．（Ⅱ）∵，∴ac cos B＝3，∴ac＝5，∵b2＝a2+c2﹣2ac cos B，，∴，∴a+c＝6，∴△ABC的周长．18．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，等比数列{b n}的公比q＞1，且b3+b4+b5＝28，b4+2是b3，b5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）∵，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n，又n＝1时，a1＝S1＝2满足上式，∴a n＝2n；∵b4+2是b3，b5的等差中项，可得b3+b5＝2（b4+2），又等比数列{b n}的公比q＞1，且b3+b4+b5＝28，∴b4＝8，b3+b5＝20，又∵＝64，q＞1，解得b3＝4，b5＝16，∴q＝2，；（Ⅱ）∵＝，∴＝．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M，N 分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求点M到平面B1NC的距离．解：（Ⅰ）连接AC1，BC1交B1C于点O，∵AA1⊥平面ABC且AC＝CC1＝2，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1过点N，且点N为AC1中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，且，又∵MN不在平面BCC1B1内，BC1在平面BCC1B1内，∴MN∥面BCC1B1．（Ⅱ）由（1）可得四边形MBON为平行四边形，∴可证BM∥平面B1NC，∴点M到平面B1NC的距离等于点B到平面B1NC的距离，设为d，∵，N为A1C中点，∴，由，得，又∵，∴．20．纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等而发行的法定货币．我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收藏.2019年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：（Ⅰ）根据已有数据，把表格数据填写完整，判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？（Ⅱ）已知在被调查的年龄不大于40岁的喜爱者中有5名男性，其中3位是学生，现从这5名男性中随机抽取2人，求至多有1位学生的概率．附：，n＝a+b+c+d．解：（1）根据题意，设表中数据为则有e+22＝50，则e＝28；24+d＝50，则d＝26，a+20＝e＝28，则a＝8，a+b＝24，则b＝16，b+c＝22，则c＝6；故列联表为：则有≈9.623＞6.635．故能在犯错误的概率不超过1%的条件下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关．（2）根据题意，记不大于40岁的5位喜爱者中的3位学生记为a，b，c，非学生记为A，B，则从5人中任取2人，共有（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）10种结果．其中至多有1位学生的有7种，∴至多有1位学生的概率．21．设A，B为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上不同两点，抛物线C的焦点到其准线的距离为4，A与B的横坐标之和为8．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若设M为抛物线C上一点，C在点M处的切线与直线AB平行，过M点作直线l与曲线C相交于点M，Q，与y轴交于点P，且满足，求△OPQ的面积．解：（Ⅰ）由条件可知：p＝4，∴x2＝8y．设点A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴．（Ⅱ）设M（x0，y0），，∴，∴x0＝4，∴y0＝2．设点P（0，y3），Q（x4，y4），直线l为：y＝k（x﹣4）+2，∴，∴x2﹣8kx+32k﹣16＝0，∴x0+x4＝8k，x0x4＝32k﹣16．∵，∴﹣x0＝2x4，∴x4＝﹣2，，∴，∴．22．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数，g（x）＝f'（x）+1．（Ⅰ）当m＝2时，判断函数g（x）在（0，π）上是否存在零点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）在（0，π）上存在最小值，求m的取值范围．解：（Ⅰ）m＝2时，g（x）＝x﹣2sin x+1．令g'（x）＝0，即，x∈（0，π），得，当x变化时，g'（x），g（x）变化如下：∴函数g（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴g（x）的极小值为．∴函数g（x）在（0，π）上不存在零点．（Ⅱ）因为，所以f'（x）＝x﹣m sin x，令h（x）＝f'（x）＝x﹣m sin x，则h'（x）＝1﹣m cos x．①当m＜1时，1﹣m cos x＞0，即h'（x）＞0，∴h（x）＝f'（x）＝x﹣m sin x在（0，π）单调递增，∴x∈（0，π）时，h（x）＞h（0）＝0，∴f（x）在（0，π）单调递增，∴f（x）在（0，π）不存在最小值，②当m＞1时，，所以h'（x）＝1﹣m cos x＝0，即在（0，π）内有唯一解x0，当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，当x∈（x0，π）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π）上单调递增．所以h（x0）＜h（0）＝0，又因为h（π）＝π＞0，所以h（x）＝x﹣m sin x在（x0，π）⊆（0，π）内有唯一零点x1，当x∈（0，x1）时，h（x）＜0即g'（x）＜0，当x∈（x1，π）时，h（x）＞0即g'（x）＞0，所以g（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，π）上单调递增．所以函数g（x）在x＝x1处取得最小值，即m＞1时，函数g（x）在（0，π）上存在最小值．。
安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学(文)试卷
绝密★启用前数学试题（文）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目的要求的。
1．已知集合U ＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，集合A ＝｛1，2，3，4｝，B ＝｛3，4，5，6｝则A ∩C U B ＝A 、｛1，2，3，4｝B 、｛1，2，7｝C 、｛1，2｝D 、｛1，2，3｝2．下列各式的运算结果虚部为1的是 A 、(1)i i - B 、21i+ C 、2＋2i D 、2(1)i i +-3、从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中， 任意安排 2 名同学早上到校门口值日， 另外 2 名同学下午到校门口值日， 则甲和丁不在一起值日的概率为 A 、13 B 、12 C 、23 D 、564．若实数x ，y 满足的最大值是A 、9B 、12 C.3 D 、65．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国 到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A 、①②③B 、②③C 、①②D 、③6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的 2 倍， 焦距等于 23， 则椭圆 C 的方程为7．已知函数的图象与直线y ＝a (0<a <A )的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则f (x )的单调递减区间为8、已知数列｛｝的前n 项和为Sn ，若9．已知四边形ABCD 为平行四边形，||2AB =u u u r ||3AD =u u u rM 为CD 中点，2BN NC =u u u r u u u r ， 则AN MN u u u r u u u u r g ＝A 、13 B 、23 C 、1 D 、4310、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈(－∞,0] 时， f (x ) = x 2 + 2ax ，若曲线 y = f (x )在点(1， f (1)) 处的切线过点 (2,0) ， 则 a = A ．-34 B ． 1 C ． 2 D ． 3411．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。
2020届淮南市一模文科数学答案
2020届淮南一模文科参考答案一．选择题题号123456789101112答案CABBADCDDBAC二．填空题13.314.43310-15.416.258三．解答题17.解：（I ）cos sin ,C c A =由正弦定理可得cos sin sin ,A C C A =.......................................3分又A 是ABC ∆内角，sin 0,tan A C ∴≠∴=.......................................5分0180,60.C C ︒︒<<∴= .......................................6分(II)根据题意，120.APC APB ︒∆∠=为等边三角形，又...............................8分在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120,AB AP BP PA PB =+-︒ 解得，2AP =，5, 2.BC AC ∴==...............................10分153sin 6022ABC CA CB ︒∴∆== 的面积S ...............................12分18.10(0.010.01520.0250.005)10.030 ............................2I a a ⨯+⨯+++==解（）由题意解得分（II ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2：3：3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，...................................4分分别记为A1,A2,B1,B2,B3,C1,C2,C3,从中抽取2辆的结果有：（A1,A2），（A1,B1），（A1,B2），（A1,B3），（A1,C1），（A1,C2），（A1,C3）;（A2,B1），（A2,B2），（A2,B3），（A2,C1），（A2,C2），（A2,C3）;（B1,B2），（B1,B3），（B1,C1），（B1,C2），（B1,C3）;（B2,B3），（B2,C1），（B2,C2），（B2,C3）;（B3,C1），（B3,C2），（B3,C3）;（C1,C2），（C1,C3），（C2,C3）;...............................................................7分共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个，123P 287∴==所求的概率为....................................8分(II) 1 (82)PGF BGFC PGF C BGF C PBF PBF BDF G PB S S V V V F PD S S ∆∆---∆∆∴=∴==∴= 为的中点，分又为的中点，12111 (10244)C PBF C BDF C PBDG BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V V V --------∴==∴====分121111222 (128833)P BCD P BCDEG BCF P BCDE V V V V ----=∴==⨯⨯⨯⨯=又分（III)2×2列联表如下：由上表及公式可知，2220050406050 2.02.10010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯（）.................10分因为2.02<2.072所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关..................12分19.I BCDE BC BE BE AE,BE PE.......................................2PE BC,PB BE B,BC PBEPE PB,E,BC PE...............................................................4BC BE B,PE ∴⊥⊥⊥⊥⋂=∴⊥⊂⊥⋂=∴ 解：（）由题意可知为正方形，，且即分又且平面分又BCDE...........................................6⊥平面分20.【解析】（1）由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，…………………………2分所以3,1a c ==，…………………………4分所以椭圆C 的方程为22198x y +=…………………………5分经常使用偶尔使用或不用合计男性5050100女性6040100合计11090200（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)E x y .假设存在点(,0)D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥.由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898kx k -=+，00216298y kx k =+=+………………………………7分因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++…………9分当0k >时，89k k +≥=2012m -≤<；当0k <时，89k k +≤-分所以2012m <≤…………………11分综上：m取值范围是001212m m -≤<<≤或……………………………12分11'21.(I)a 1,1()ln 1(),0...................................................................................2x x b f x e xxe f x x x--==∴=--=>解：由条件可得，分1'1'()1,()(1)0()0,()0(1)0.................4(0,1)()0,()0 (1,)()0;()0()(1,)(0,1).................................x x t x xe t x x e x t x t x t x t x f x x t x f x f x --=-=+>>+∞=∴∈<<∈+∞>>∴+∞‘‘令当时，在（，）单调增函数，又分当时，当时，的单调增区间为，减区间为..........6分1'111(II) 0()0, (),,b<0,20(0,2) x x x x b f x b xe b b e f x e x xx xe b e b x x x e b︒----︒︒=>-<≤=-=-->∴∃=当时，符合题意方法（一）当0时，令h()=又h(0)=-h(2)=h()在唯一的零点，设为，有.......................8分''111min (0,)()0,();(,)()0();()()ln 1ln ln ()(ln 1)x x x x x f x f x x x f x f x bf x f x e b x x e b e x bx b x f x b b x x ︒︒︒︒︒︒︒---︒︒︒︒︒︒︒︒︒∈<∈+∞>∴==-=∴=-=-∴=-+- 且，单调递减，，单调递增，...........9分''' ()ln 2ln ln (1()ln ,()ln 01()0;1,()0;()0,0,0()0;0()0b bx b b b b b b b b b b x x m b b b b m b bb m b b e m b m e b m e b e m b b e ︒︒︒=+--≥--=-==-∴=-∈>∈<=>>∴<≤≥=当且仅当时到等号）设当（，）时，当（]时，又且，趋向时，当时，，当且仅当时取等号.............11分11 1()()0,()00 ()0b x b e x f x m b f x b e f x ︒︒︒︒===≠>≥∴>≤≤>由（1）可知，当时，，故当时，综上，当时，.............12分方法（二）10) 01ln 0,ln 0,()ln 0.....................................8x b e i x x b x f x e b x -<≤<≤≤≤=->当时，（当时显然成立；分') 1()ln 11()10,()[1ii x F x x x F x F x x≥=-+=-≤+∞（当时，构造函数在，）为减函数1121()(1)00ln 10ln (1)(1)0ln (1)()ln (1...............................................................10ln 11()(100x x x x F x F x x b x b x e x b x e x f x e b x e e x x x e x f x e e x b ----∴≤=∴<≤-∴<≤-≤-∴<<-∴=->--≤-≥-=--≥≤≤，）分又由，可得，进而）综上：当()0.....................................................................12e f x >时，分22【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，……………1分∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，……………2分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……………5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，……………7分|MN|=1ρ－2ρ，……………9分因为2C 的半径为1，则2C MN的面积o 11sin 452⨯=12.……………10分23.【解析】(Ⅰ)当3a =-时，()f x =25,21, 2325,3x x x x x -+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩，当x ≤2时，由()f x ≥3得253x -+≥，解得x ≤1；……………2分当2＜x ＜3时，()1f x =≥3，无解；当x ≥3时，由()f x ≥3得25x -≥3，解得x ≥4，…………4分∴()f x ≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}；……………5分(Ⅱ)()f x ≤|4|x -⇔|4||2|||x x x a ---≥+，……………7分当x ∈[1,2]时，|||4||2|x a x x +≤---=42x x -+-=2，……………9分∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]……………10分。
安徽省淮南市2020届高三第一次模拟考试文科数学试题
淮南市2017届高三第一次模拟考试数学文科试卷 第 I 卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．已知集合A={x|x 2≤1），B={x|x<a ），若A B=B ，则实数a 的取值范围是 A. (1,+∞) B. [1,+∞) C ．（一∞，-1] D ．（一∞，1) 2．若复数z 满足i ·z=12(1+i)，则z 的虚部是 A ．12i B ．一12i C ．一12 D ．123．从数字1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是 A ．15 B ．25 C ．35 D ．454．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为2π的扇形，则该几何体的侧面积为 A ．2 B ．4+ πC ．4+2πD ．4+ π+2π5．已知函数f(x)=sin(x ω+ϕ)(ω>0，0<ϕ<π)，直线x=6π是它的一条 对称轴，且（23π，0）是离该轴最近的一个对称中心，则ϕ= A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π6．下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框 图，若输入的a,b 分别为8，12，则输出的a= A ．2 B ．0 C. 4 D ．167．函数y=f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x+2)是偶 函数，则下列结论成立的是A. f(1)<f(52)<f(72) B. f(52)<f(1)<f(72) C ．f(72）<f(52）<f(1） D ．f(72）<f(1）<f(52）8．已知三棱锥A-BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面 上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC=3，BC=2，CD=5， 则球O 的表面积为A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π9．设e 是自然对数的底，a>0且a ≠1，b>0且b ≠1，则“log a 2>log b e ”是“0<a<b<l ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，且对任意的x ，y R 都有f(x+y ）=f(x ）+f(y)，若动点P(x ，y)满足等式f(x 2+2x+2)+f(y 2+8y+3)=0，则x+y 的最大值为 A. 26 -5 B. -5 C. 26+5 D. 5 11．已知点F 1、F 2是双曲线C ：=1(a>0，b>0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且满足 |F 1F 2|=2|OP|，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．(1，+∞)B ．[102，+∞） C ．(1, 102] D ．(1, 52] 12．如果定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)≥x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则称f(x)为“H 函数”．给出下列函数： ①y=-x 3+x+l ；②y=3x-2(sinx-cosx)；③y=l-ex ；④f(x)= ，其中“H 函数”的个数有：A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第 Ⅱ 卷二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，则|a +2b |=____．14．实数x ，y 满足，则yx的取值范围是 ． 15．已知数列{a n }满足递推关系式a n+1=2a n +2n -1(n ∈N*)，且{2n na λ+}为等差数列，则λ的值为____． 16．已知函数f(x)=, 其中m>0．若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)=b有三个不同的根，则m 的取值范围是 ． 三、解答题 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 33c)cosA ． (1)求角A 的大小； (2)求cos(52π-B)一2sin 22C的取值范围． 18．（本小题满分12分）为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．( I)求a,b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；(Ⅱ)按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；(Ⅲ)在第(Ⅱ)问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在[90，100]的概率．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA,，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．(1)若BE=3EC，求证：DE∥平面A1MC1；(2)若AA1=l，求三棱锥A-MA1C1的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：=1(a>b>o)的左、右焦点分别为F1(一2，F2(2,0)，直线x+2y=0与椭圆E的一个交点为（一2，1），点A是椭圆E上的任意一点，延长AF1交椭圆E于点B，连接BF2,AF2．(1)求椭圆E的方程；．(2)求△ABF2的内切圆的最大周长．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=xlnx-a(x-l)2_x+l(a∈R).(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)<0对x∈(1，+∞)恒成立，求a的取值范围．请考生在22,23两题中任选一题作答。
2020年安徽高三一模数学试卷(文科)
2020年安徽高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.已知集合，，则（ ）．A.B.C.D.2.已知复数（为虚数单位），则（ ）．A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）．4.函数在上的图象大致为（ ）．A.xyOB.xyOC.xyOD.xyO5.在年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为，，，，，从中用系统抽样（等距抽样）的方法抽取袋进行检测，如果编号为的食品被抽到，则下列个编号的食品中被抽到的是（ ）．A.号B.号C.号D.号6.已知，则（ ）．A.B.C.D.7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）．A.B.C.D.8.执行下面的程序框图，则输出的值为（ ）．开始，否是输出结束？A.B. C.D.9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于的偶数都可以写成两个质数（素数）之和．也就是我们所谓的“”问题．它是年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将拆成两个正整数的和．则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）．A.B.C.D.10.在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为（ ）．A.B.C.D.11.已知椭圆的焦距为，为右焦点，直线与椭圆相交于，两点， 是等腰直角三角形，点的坐标为，若记椭圆上任一点到点的距离的最大值为，则的值为（ ）．A.B.C.D.12.已知．给出下列判断：①若，，且，则；②存在，使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为．其中，判断正确的个数为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．14.已知双曲线的离心率为，则双曲线的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 ．15.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为 ．16.已知在三棱锥中，，，，四点均在以为球心的球面上，若，，，则球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列是递增的等比数列，是其前项和，，．求数列的通项公式．记，求数列的前项和．（1）（2）18.移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、终端设备、金融机构有效地联合起来，形成了一个新型的支付体系，使电子货币开始普及．某机构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了名市民，得到如下表格：年龄（岁）使用移动支付不使用移动支付画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄．完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系？年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计附：，．（1）（2）19.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点．求证：平面．求三棱锥的体积．（1）（2）20.已知函数．当时，讨论的单调区间．若对，成立，求实数的取值范围．（1）（2）21.已知抛物线，若圆与抛物线相交于，两点，且．求抛物线的方程．过点的直线与抛物线相切，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，直线，交于点，求证：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．若直线，的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线．求曲线的普通方程．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点．求点的极径．23.已知函数．【答案】解析:，，则．故选．解析:由，则．故选．解析:因为弧长比较短的情况下分成等分，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为（厘米）．故选．解析:由，可知函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，当时，．故选．解析:由系统抽样的特点知，从编号为，，，的食品中抽取袋，需要将它们分成组，每组个，因为抽到的编号为，则所有被抽到的食品编号满足，所以所给四个编号符合条（1）（2）求不等式的解集．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．D1.A2.B3.C4.D5.件的是号．故选．解析:由，．故选．解析:因，所以，因为，所以，，即，故有．故选．解析:，故选．解析:由古典概型的基本事件的等可能性可得拆成两个正整数的和含有的基本事件有：，，，，，而加数全为质数的有，所以所求概率为．故选．解析:因为，由正弦定理得，所以，所以．C 6.A 7.D 8.A 9.B 10.因为，所以，所以，所以，因为，，，所以，所以，所以．故选：．解析:由题意可得，所以点的坐标为，代入椭圆方程有，又，所以，解得或（舍去），所以，所以椭圆的方程可化为，设点的坐标为，则，所以，所以，．故选．解析:因为，所以周期．对于①，由条件知，周期为，所以，故①错误；对于②，函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；对于③，由条件得，解得，故③正确；对于④，由条件得，解得，又，所以，故④正确．C 11.B 12.故选．13.解析:的导函数为，∴，∵,∴在处的切线方程为，即．14.解析:设双曲线的焦距为，因，，所以，，故双曲线的右顶点的坐标为，一条渐近线的方程为，则右顶点到渐近线的距离为．故答案为：．15.解析:∵点在的平分线上，∴存在，使，又∵，∴，∴．16.解析:设球О的半径为，过作平面，垂足为，连接，，，由易得，即为的外心，（1）（2）所以球心在射线上，在中，，，设外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，所以，连接，则，即，解得，所以．解析:由题意，设等比数列的公比为，∵，，∴，，∴，，∴，解得或，∵数列是递增的等比数列，∴，∴，∴．，∴，两式相减得：∴．（1）．（2）．17.（1）（2）解析:样本中使用移动支付的人数为人，所以每段的频率分别为：，，，，，0.025.所以其频率分布直方图为年龄（岁）频率组距所以使用移动支付的平均年龄为，所以估计使用移动支付的平均年龄为岁．完成列联表如下：年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计由，故在犯错误概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．（1）画图见解析，岁．（2） 年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计在犯错误概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．18.（1）证明见解析．19.（1）（2）解析:如图所示，取中点，连接和，∵点为的中点，∴为的中位线，∴且，∵，∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．方法一：如图所示，取中点，连接，和，∵为等腰直角三角形，∴，且，（2）．∴平面，∵平面，∴，∴为直角三角形，∵，，∴，∵四边形为等腰梯形，∴，在中，由余弦定理知，∵，∴，∴的面积为，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为，∵的面积,∴三棱锥的体积为，∵，∴，∴，即点到平面的距离为，∵平面，∴点到平面的距离为．则三棱锥的体积为．方法二：由知，平面，∴点到平面的距离等于到平面的距离，∴．如图取的中点，连接，∵，∴，（1）（2）平面，∴平面，∵为等腰三角形，，，∴．∵四边形为等腰梯形，且，，，∴梯形的高为，则．∴三棱锥的体积为．解析:的定义域为，则，的两根为，．①当，即时，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增；②当，即时，对，，所以在上单调递增；③当，即时，当时，，当时，，所有在区间上单调递减，在区间，上单调递增．综上所述，当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减．方法一：因为对恒成立，所以，即恒成立，所以．（1）当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减．（2）．20.（1）令，则问题转化为，，令，则，所以在上单调递增，又，所以在上，在上，所以在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为．方法二：因为对恒成立，所以，即恒成立．令，，由二次函数性质可知，存在，使得，即，且当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，由题意可知，设，则，即单调递增，又，∴的解集为，即，∴．解析:如图所示，（1）抛物线方程为．（2）证明见解析．21.（2）设，由题意可知，∴，∵点在圆上，∴，解得，∵点也在抛物线上，∴，解得，∴抛物线方程为．对抛物线方程求导，点在抛物线上，故，，设直线的方程为，联立， 得，设，，；，，，联立，得，，，，（1）（2）（1）（2），代入韦达定理得：，∴．解析:直线的普通方程为，直线的普通方程为，联立直线，方程消去参数，得曲线的普通方程为，整理得．设点的直角坐标系坐标为，由，可得，，代入曲线的方程可得，解得，（舍），所以点的极径为．解析:①当时，不等式可化为，得，无解；②当时，不等式可化为，得，故；③当时，不等式可化为，得，故．综上，不等式的解集为．由题意知在上恒成立，所以，（1）．（2）点的极径为．22.（1）．（2）．23.令，则当时，，又当时，取得最小值，且，又，所以当时，与同时取得最小值，所以，所以．即实数的取值范围为．。
安徽省淮南市2020届高三语文第一次模拟考试试题
淮南市2020届高三第一次模拟考试语文试题详细解析及命题思路阐释执笔程道流备受高三师生及社会各界关注的一模考试已经落下帷幕，作为语文命题组的所有成员也必将在诚惶诚恐中面对来自各个层面的“说三道四”，对此，我们都会虚心接受，因为这必定会促进我们将工作做得更好。
下面将试题设置时的一些考虑简单阐释一下，不仅让一线老师更明确了解我们的意图，也算作是我们自己的反思吧。
【命题思路阐述】由于今年高考是新课改后的首次高考，所以模拟测试命题理应跟着有所转变。
但在组织命题时，各方面的情况还不明朗，尤其是选修课到底有哪些内容会进入今年的高考，没有明确的信息。
就是有关试卷的形式虽说有较多理由可以按照新的形式尝试一下，但最终还一切照旧，因为我们不想给一线的师生以任何的误导。
“一模”试卷，无论是题型、题量、试题的结构，还是所考查的知识点及相关的内容，都没有什么深、偏、难、怪之处，整体上延续了2020年高考安徽语文卷的命题特征。
其基本题量、题型、试卷结构、分值、出题范围等与去年的安徽卷基本相当，往届生、应届生做卷时都会感到“似曾相识”。
给大家的感觉可能是保守有余，创新不足，没有什么亮点。
基础知识部分的四个题目，前三题分别考查的是语音、成语、病句，与2020年的安徽卷完全一致，第四题有所变化，考查的是连贯，与2020年安徽卷考查的得体属于一个大的知识点。
现代文小阅读选用文体上有所变化，应该属于社会科学类的文章，但题目设置的考查点没有变化。
选文的变化也是为了体现新课程高考的精神。
古诗文阅读只是在文言稳定选文上有所变化，是一篇人物传记，接近于史传类文章，但又有所不同。
设置的三个题目所考查的知识点没有变化。
诗歌鉴赏选的是一首词，文体有所变化。
古诗文默写仍然是八选五的形式，只是增加了选修内容的现代文文学类文本的阅读仍然为散文，与2020年安徽卷相比，阅读的难度稍低些，设置的问题也不大难。
语言文字应用还是三个题目，除20题沿袭了2020年考查的“言外之意”外，还考查了用语的得体，18、19题变化较大，所考查的注重了语言的实际运用和生活化，主要是拟写性的，有一定的难度。
20xx年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)
2019 年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一个切合题目要求的．1．（ 5 分）已知 P { x | 1 x 1} ， Q { x | 2 x 1)}，则P Q (2A． ( 1,1) B． ( 2,1) C． (1,1) D．( 2, 1) 2 22．（ 5 分） |1 2i | ( )A ． 3 B． 7 C． 5 D ．33．（ 5 分）函数 f ( x) x2 ( e x e x ) 的大概图象为 ( )A．B．C．D．4．（ 5 分）某三棱锥的三视图如下图，其侧（左)视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A． 50 B．50 2 C． 40 D．40 25．（ 5 分）已知锐角ABC 的内角A，B， C 的对边分别为a， b ，c， 23cos 2 A cos2 A 0 ， a 7 ， c 6 ，则 b ()A．10 B． 9 C． 8 D ．56 ．（ 5 分）在平行四边形ABCD 中，已知AB 4，AD 3， CP 3PD ， AP BP 2，则 AB AD 的值是 ()A ． 4 B． 6 C． 8 D ．107．（ 5 分）如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为《周髀算经》作注时考证勾股定理的表示图，它是由 4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，现向大正方形内丢一粒黄豆，当每个直角三角形的两直角边之比都是2 :3 时，则该黄豆落入小正方形内的概率为()A ．2B ．1C ．2 D ．13313 138．（ 5 分）某圆锥的侧面睁开图是面积为3 ，圆心角为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦3值为 ( )A ．1B ．1C ．1D ．123459．（ 5 分）已知奇函数 f ( x) 知足 f ( x) f ( x 4) ，当 x (0,1) 时， f (x) 4 x ，则 f (log 4 184) ()A ． 23B ．23C ．3D ． 3323248 10．（ 5 分）已知点 P 是双曲线x 2 y 21(a 0,b 0) 右支上一点， F 1 、 F 2 分别是双曲线的左、 右焦点， M 为a 22b△ PF 1F 2 的心里，若 S IPFSMPF1()2S MF F 成立，则双曲线的离心率为121 2A ． 4B ．5C ． 2D ．52311．（ 5 分）如图是函数y sin( x)( 0,0 )在区间 [5] 上的图象，将该图象向右平移6 ,26| m | (m 0) 个单位后，所得图象对于直线x对称，则 m 的最大值为 ( )4A ．B ．C ．4D ．126312．（ 5 分）在平面直角坐标系中，设点 p(x, y) ，定义 [OP ] | x | | y |，此中 O 为坐标原点，对于以下结论：（ 1）切合 [ OP] 2 的点 p 的轨迹围成的图形面积为 8；（ 2）设点 p 是直线： 3x 2 y 2 0 上随意一点，则 [OP]min 1；（ 3）设点 p 是直线： ykx 1(k R) 上随意一点， 则使得 “ [OP]最小的点 P 有无数个” 的必需条件是 k 1 ；2 22 上随意一点，则 [ OP] max 2 ．（ 4）设点p是圆 x y此中正确的结论序号为( )A ．（ 1）（ 2）（ 3）B．（ 1）（3）（ 4）C．（2）（ 3）（4） D ．（1）（ 2）（4）二、填空题：此题共 4 小题，每题5分，共 20分13．（ 5 分）若直线 x my m 0 经过抛物线 x2 2 py ( p 0) 的焦点，则p ．x y 2 0114．（ 5 分）若x，y 知足拘束条件 y ，则z ．2 0 x y 的最小值为x y 2 0 215．（ 5 分）已知等差数列{ a n } ，若点 ( n, a n )( n N * ) 在经过点 (4,8) 的定直线 l 上，则数列 { a n } 的前7 项和S7 ．16．（ 5 分）已知函数 f (x) 1 3 23x ，若对于2tf (x) 15 0(t R) 有m个不一样的实数解，3 x x x 的方程[ f (x)]则 m 的全部可能的值组成的会合为．三 .解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～ 21 题为必考题，每个试题考生都一定作答，第22、 23 为选考题，考生依据要求作答．17．（ 12 分）已知等差数列{ a n }的前 n 项和为S n，且S3 9，a1 3 7， a ， a 成等比数列．（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2）若 a n a1（当n⋯2时），数列 { b n } 知足 b n2a n，求数列 { a n b n } 的前n项和 T n．18．（ 12 分）某市为加强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从切合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年纪分组：第 1 组 [20 ， 25) ，第 2 组 [25 ， 30) ，第 3 组 [30 ， 35) ，第 4 组 [35 ， 40) ，第 5 组 [40 ， 45] ，获得的频次散布直方图如下图．（Ⅰ）若从第3， 4， 5 组顶用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5 组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至罕有一名志愿者被抽中的概率．19．（ 12 分）如图，在四棱锥中 O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，侧棱 OB底面 ABCD ，且侧棱 OB 的长是 4，点 E ，F ，G 分别是 AB ，OD ，BC 的中点．（ 1）证明： OD平面 EFG ；（ 2）求三棱锥 O EFG 的体积．2 220．（ 12 分）设椭圆 C :xy 2 1(b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，上极点为 A ，过点 A 与 AF 2 垂直的直 4 b线交 x 轴负半轴于点 Q ，且 F 1QF 1F 2 0 ．（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）过椭圆 C 的右焦点 F 2 作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M ，N 两点，试在 x 轴上求一点 P ，使得以 PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形．21．（ 12 分）已知函数 f ( x) 2lnxx 2mx( m R) ．（ 1）若 f (x) 在其定义域内单一递加，务实数 m 的取值范围；（ 2）若 5 m17 , 且f x 有两个极值点 x 1 ， x 2 (x 1 x 2 ) ，求 f (x 1 )f (x 2 ) 的取值范围．2[选做题 ]22．（ 10 分）已知直线 l 过点 P(1,0) ，且倾斜角为，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立坐标系，圆 C 的极坐标方程为4cos ．（ 1）求圆 C 的直角坐标系方程及直线 l 的参数方程；（ 2）若直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点，求11的最大值和最小值．|PA| |PB|23．已知函数 f (x) | 2x 1| | x2 |．（ 1）求不等式 f ( x) 3 的解集；（ 2）若 f (x)1 1 (m, n 0)对随意x R恒成立，求m n的最小值．m n2019 年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一个切合题目要求的．【解答】解：P { x | 1 x 1} ， Q { x | 2 x 1} ，2P Q { x | 2 x 1} ( 2,1) ．应选： B．【解答】解： |1 2i |1 4 5 ，应选： C．【解答】解： f ( x) x2xex，( e )f ( x) ( x)2 (e x e x ) x2 (e x e x ) f ( x) ，f (x) 为奇函数，其图象对于原点对称，故清除B，D，y x2，是增函数 x (0, ) ，f ( x) 0y e x e x) ，y 0 ，f ( x) x2 (e x e x )在(0, ) ，是增函数 x (0,是增函数，清除 C ．（或许）当x时， f ( x)，故清除C，应选： A．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球，由底面三边长为3，4， 5，故底面外接圆半径 r 5 ，2球心究竟面的距离 d 5 ，2故球半径 R52，22故外接球的表面积S 4 R50，应选： A．【解答】解：23cos2 A cos2 A 23cos 2 A 2cos 2 A 1 0 ，即 cos2 A 1， A为锐角，25cos A 1 ，5又 a 7 ， c 6 ，依据余弦定理得： a 2 b2 c2 2bc cos A ，即49 b 2 36 12b ，5解得： b 5 或 b 13（舍去），5则 b 5 ．应选： D．【解答】解：平行四边形ABCD 中，已知AB 4 ， AD 3，CP 3PD ，又AP BP 2，(AD DP) (BC CP) 2 ，AD BC AD CP DP BC DP CP 2 ，即 9 3 11 32 ，AD AB AD AB4 4AD AB 8．应选： C．【解答】解：设小正方形的边长为 a ，由每个直角三角形的两直角边之比都是2: 3，则直角三角形的两边长分别为：2a ，3a ，则大正方形的边长为：(2a)2 (3a)2 13a ，设事件 A 为“向大正方形内丢一粒黄豆，黄豆落入小正方形内”，则P（A）S小正方形 a 2 1 ，S大正方形 ( 13a) 2 13应选： D．【解答】解：圆锥的侧面睁开图是面积为 3 ，圆心角为2的扇形，3则圆锥的母线 l 知足：1l 2 3 3故圆锥的母线长为 3，又由r 23 l 2可得圆锥的底面半径为1，故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为1 ．3应选： B．【解答】 解： 奇函数 f ( x) 知足 f ( x) f (x4) ，当 x (0,1) 时， f (x) 4 x ，f (log 4 184)f (log 4 184 4)(4log 41844 ) 18423 ． 4432应选： A ．【解答】 解：如图，设圆 M 与△ PF 1 F 2 的三边 F 1F 2 、 PF 1 、 PF 2 分别相切于点 E 、 F 、 G ，连结 ME 、 MF 、MG ，则 MEF 1F 2 ， MF PF 1 ， MG PF 2 ，它们分别是△ MF 1F 2 ， MPF 1 ， MPF 2 的高，SMPF 11|PF 1| |MF | r|PF 1 |，2 2SMPF 21 |PF 2||MG | r| PF 2 |22S MF 1F 21 | F 1F2 | r | F 1F 2 |，此中 r 1 2的内切圆的半径．2|ME |是△ PFF2SMPFS MPF112SMFF21 2rr|PF 2 |r | F 1F 2 ||PF 1|2 42两边约去 r得：|PF 1| |PF 2|1 | F 1F2 |2 2|PF | |PF | 1|FF 2 |12 2 1依据双曲线定义，得 |PF 1| |PF 2| 2a ， | F 1 F 2 | 2c2a c离心率为 ec 2a应选： C ．【解答】解：由函数 y sin( x ) ， ( 0,| | ) 的图象可得2 5) ，T (2 6 6可得： 2 ．再由五点法作图可得 2 ( ) 0 ，6可得：．3故函数的 f (x) 的分析式为 f (x) sin(2 x ) sin 2( x ) ．3 6故把 f ( ) sin 2( x ) 的图象向右平移| m | (m 0) 个单位长度，可得 g ( x) sin 2( x | m | ) 的图象，x6 6因为：所得图象对于直线x4对称，可得： sin 2(| m | ) 1，4 6可得： 2( | m | ) k ，解得： | m | 1， k Z ，6 2 k4 6 2因为： m 0 ，可得：m 1， k Z ，k2 6可得：当 k 0 时，m的最大值为：．6应选： B．【解答】解：（ 1）由 [ OP] 2 ，依据新定义得：| x | | y | 2 ，由方程表示的图形对于x ，y 轴对称和原点对称，且 x y 2(0剟x 2,0剟y 2) ，画出图象如下图：依据图形获得：四边形ABCD 为边长是 2 2 的正方形，面积等于8，故（ 1）正确；（ 2） P(x, y) 为直线：3x 2 y 2 0 上任一点，可得3x ，y 12可得 | x | | y | | x | |1 3x | ，2当 x, 0时，[OP] 1 (1 3 ) x 1；当 0 x 2 时， [OP] 1 (1 3 )x (1 ，2 ) ；2 3 2 3当 x 2时，可得 [ OP] 1 (1 3 ) x2，综上可得 [OP ] 的最小值为1，故（ 2）正确；3 2 3（ 3） | x | | y | | x y | | ( k 1)x 1| ，当 k 1 时， | x | | y | |1| 1 ，知足题意；而 | x | | y | | x y | | (k 1) x 1| ，当 k 1 时， | x | | y | | 1| 1 ，知足题意．“使 [OP] 最小的点P有无数个”的充要条件是“k1”，（ 3）正确；（ 4）2 22 上随意一点，则可设x 2 cos ， y 2 sin ，[0，2 ) ，点 P 是圆x y[OP] | x| | y | 2(cos sin ) 2sin(4 ) ，[0 ，] ， [OP]max 2 ，（ 4）正确．2则正确的结论有：（ 2）、（ 3）、（ 4）．应选： C．二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分【解答】解：直线 x my m 0 过点 (0,1) ，即抛物线 x2 2 py( p 0) 的焦点F为 (0,1) ，p2 ；1 ，则 p2故答案为： 2．x y 2 0【解答】解：先依据 x ，y知足拘束条件y 2 0画出可行域：x y 2 0当直线 z 1y 过点 B (0, 2) 时，x2z 最小是 2 ，故答案为： 2 ．【解答】解：等差数列 { a n } 中，点 ( n, a n )( n N * ) 在经过点 (4,8) 的定直线 l 上，a4 8 ，数列 { a n} 的前 7 项和 S7 7a7 ) 7a4 56 ．(a12故答案为： 56．【解答】解：函数 f ( x) 的导数为22 x3 ，f ( x) x由 f ( x) 0 ，得 x 1 或 x 3 时， f ( x) 递加；由 f ( x) 0 ，得 3 x 1 时， f ( x) 递减．即有 f ( x) 在 x 1 处取得极小值 f （ 1 ） 1 1 3 5；在 x 3处获得极大值3 3f ( 3) 1 ( 3)3 ( 3)2 3(3) 9，3作出 f ( x) 的图象，如下图；对于 x 的方程f2( x) tf (x) 15 0 ，由鉴别式△t2 60 0 ，方程有两个不等实根，令 n f ( x) ，则 n2 nt 15 0 ，n1n2 15 0 ，则原方程有一正一负实根．5而915， 3即当 n1 9 ，则 n2 5，此时 y n1，和 f (x) 有两个交点，y n2与 f ( x) 有两个交点，此时共有 4 个交点，3当 n150 ，此时 y n1，和 f (x) 有 1 个交点， y n2与 f ( x) 有 3 个交点，此时共有 4 个交点，9 ，则n23当 5 n1 9 ，则 n2 5或 n2 9 ，此时 y n1和 f (x) 有 3 个交点， y n2与 f ( x) 有 1 个交点，此时共有 43 3个交点，当 n 15 ，则 n 2 9 ，此时 y n 1 和 f ( x) 有 2 个交点， y n 2与 f (x) 有 2 个交点，此时共有 4 个交点，3当 n 15 ，则 0 n 2 9 ，此时 yn 1 和 f ( x) 有 1 个交点， yn 2 与 f (x) 有 3 个交点，此时共有4 个交点，3综上方程 [ f ( x)]2R) 恒有 4 个不一样的实数解，即 m 4 ， tf ( x) 15 0(t 即 m 的全部可能的值组成的会合为 {4} ，故答案为： {4} ．三 .解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～ 21 题为必考题，每个试题考生都一定作答，第 22、 23 为选考题，考生依据要求作答．【解答】 解：（ 1） S 3 9 ， a 23 ， a 1 d 3 ①a 1 ， a 3 ， a 7 成等比数列， a 32 a 1a 7 ，(a 1 2 d )2 a 1 (a 16d) ②由①② 得：d 0 d 1 ，a 13或2a 1d 0当时， a n 3 a 1 3当d1时， a n n 1 ；a 1 2（ 2） a na 1 （当 n ⋯2 时）， d0 ，a n n 1 ，b n 2 n 1 ， a n b n ( n 1)2n 1 ，T n 2 2 2 3 23 4 2 4 (n 1)2n 1①2T n3 4 5 n 2②22 32 4 2 ( n 1)2① ②得 T n 4 22 23 24 2n 1 (n 1)2n 24 4(1 2n ) n 2n 2 n 2 1(n 1)22T n n 2n 2【解答】解：（Ⅰ）第 3 组的人数为0.3 100 30 ，第 4 组的人数为0.2 100 20 ，第 5 组的人数为 0.1 100 10 ．因为第 3， 4， 5 组共有60 名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60 名志愿者中抽取 6 名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：306 3；第4组：206 2；第 5组：106 1 ．60 60 60所以应从第3， 4， 5 组中分别抽取 3 人， 2 人， 1 人；（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为A1， A2， A3，第 4 组的 2 名志愿者为B1， B2，．则从 5 名志愿者中抽取2名志愿者有：(A1， A2) ，(A1， A3) ，(A1， B1) ，(A1， B2) ，(A2， A3) ，(A2， B1)， (A2， B2)，(A3， B1) ，(A3， B2)，(B1， B2)共有 10种．此中第 4 组的 2 名志愿者B1， B2起码有一名志愿者被抽中的有：(A1， B1)， (A1， B2) ，(A2， B1) ，(A2， B2)，(A3， B1) ，(A3， B2)，(B1， B2)，共有 7种所以第 4 组起码有一名志愿者被抽中的概率为7 ．10【解答】（ 1）证明：四边形ABCD是边长为4 的正方形， E 是 AB 的中点，DE 2 5 ，又侧棱 OB底面ABCD，AB面ABCD，OB AB ，又OB 4，EB2，OE 2 5，DE OE 2 5，ODE 是等腰三角形，F 是OD的中点，EF OD．同理 DG DO 2 5 ，ODG 是等腰三角形，F 是 OD 的中点，FG OD ，EF FGF ，EF ，FG面EFG ，OD平面 EFG ；（ 2）解： 侧棱 OB 底面 ABCD ， BD面 ABCD ， OB BD ，OB 4，BD4 2，OD4 3 ，由（ 1）知： OD 平面 EFG ， OF 是三棱锥中， O 到平面 EFG 的距离，F 是 OD 的中点， OF 23，DE OE 2 5 ， EF OD ，EF 2 2 ，DGDO 2 5，FHOD ，FG2 2，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E 、 G 分别是 AB 、 BC 的中点，EG 2 2 ， EFG 是等边三角形，SEFG2 3 ，三棱锥 OEFG 的体积 V O EFG1 SEFGOF 13234．3 23【解答】 解：（ 1）设椭圆 C 的焦距为 2c(c 0) ，则点 F 1 的坐标为 ( c,0) ，点 F 2 的坐标为 (c,0) ，设点 Q 的坐标为 (x 0 ， 0) ，且 x 00 ，F 1Q ( x 0 c,0) ， F 1 F 2 (2c,0) ，F 1Q F 1F 2 0 ，则 x 0c2c 0 ，所以， x 0 3c ，则点 Q 的坐标为 ( 3c,0) ，直线 AF 2 与直线 AQ 垂直，且点 A(b,0) ，所以， AF 2 (c, b) ， AQ ( 3c, b) ，由 AF 2AQ b 2 3c 2，得 b 23c 2 ，2c 22b 3 ，c 1．4 b 4c ，所以， 所以，椭圆 C 的方程为x 2y 2 1 ；43（ 2）设点 M (x 1 ， y 1 ) 、 N (x 2 ， y 2 ) ，直线 l 的方程为 y x 1 ，y x 1 ，消去 y 并整理得 7x 2将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立x 2 y 2 8 x 8 0 ，431由韦达定理得 xx 28， x x8，所以，x 1x 2 4 ．17 1 2727所以，线段 MN 的中点为 E ( 4 , 3 ) ．7 7设点 P 的坐标为 (t ,0) ，因为 PM ， PN 为邻边的平行四边形是菱形，则PEMN ．33直线 PE 的斜率为 k PE 7 1，解得 t1 ．7t 4t 477所以，当点 P 的坐标为 (1,0) 时，以 PM ， PN 为邻边的平行四边形是菱形．7【解答】 解：（ 1）f ( x) 2lnx2mx 的定义域为 (0, ) ，且 f (x) 在其定义域内单一递加，xf ( x) 22x m 0 ，即 m,2(1x) 在区间 (0, ) 恒成立，x x1 x) 4 x 1 4 ，当且仅当 x 1 时取等号，2( xxm, 4 ，即实数 m 的范围 (， 4]；（ 2）由（ 1）知 f ( x)2 2x m 2x 2mx 2 ，x x2mx 2 0 ，令 2 x5 m17时， f ( x) 有两个极值点，2此时 x 1x 2m 0 ， x 1 x 21 ，20 x 1 1 x 2 ，m 2( 1 x 1 ) (5，17 )，解得 1x 1 ，x 1 2 4 12因为 x 21 ，于是 f ( x 1 ) 2mx 12f (x 2 ) ( x12lnx 1 ) ( x 2 mx 2 2lnx 2 )x 1(x 12x 22 ) m(x 1x 2 ) 2(lnx 1 lnx 2 ) 1 x 12 4lnx 1 ，x 12令 h(x) 1 x 24lnx ，x 2则 h ( x) 2( x 2 1)230 ，xh(x) 在区间 ( 1 ， 1) 内单一递减，4 2h(1)16 1 8ln 2 255 4 16 16 即 15 4ln 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 4故 f ( x 1 ) f (x 2 ) 的取值范围为 [选做题 ]8ln 2 ， h(1) 4 1 4ln 2 15 4ln 2 ， 2 442558ln2 ，16 (154ln2 ，2558ln 2) ．416【解答】 解：（ 1）由4cos，得24 cos ，即 x 2 y 2 4x ，所以圆 C 的直角坐标方程为(x 2) 2y 24 ，直线 l 过点 P (1,0) ，且倾斜角为，所以直线 l 的参数方程为x 1 t cos (t 为参数）．yt sin（ 2）将x 1 t cos 代入 ( x 2) 2y 2 4 ，y t sin得 t 2 2t cos3 0 ，△ (2 t cos )212 0 ，设 A ， B 两点对应的参数分别为 t 1 ， t 2 ，则11|AB|| t 1 t 2 | (t 1 t 2 )24t 1t 2 2 cos 23| t 1t 2 |33 ，|PA| |PB| |PA||PB|因为 cos[ 1 ， 1]，所以 1 1 的最大值为4，最小值为 23 ． |PA | |PB | 333x 3( x, 1)2【解答】 解：（ 1） f ( x)x1x, 2) ，1(23x 3(x2)x, 11 x,2 或 x 2f (x) 3 ，2或 23xx3x3 33 3 1 3解得 { x | x, 0 或 x 2} ，故 f ( x) 3 的解集为 { x | x, 0 或 x 2} ．（ 2）由函数的分析式得：f (x)min3 ， 1 1 , 3 ， m n , 3 ，2 m n 2mn 2即 m n 剟3mn? 3 (m n)2 ，当且仅当 m n 时等号成立，22mn m ， n 0 ，解得 mn 8，当且仅当 mn 时等号成立，3故 m n 的最小值为 8． 3。
2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．若集合{}21A x x =-≤，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =I （ ）A ．[]1,2-B ．(]2,3C ．[)1,2D ．[)1,3【答案】C【解析】先求出集合,A B ，然后再求交集. 【详解】由{}21A x x =-≤得，[1,3]A = ,(),2B x y ⎧⎫===-∞⎨⎩则[1,2)A B ⋂= 故选：C 【点睛】本题考查集合求交集,属于基础题. 2．已知R a ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】()()()()()()111=1112a i i a a ia i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =- 故选：A 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 3．已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论． 【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==.所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数，数形结合可得结论． 【详解】函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数， 即方程132xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的根的个数， 所以只需求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数 在同一坐标系中分别作出函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像.如图所示，函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点有1个. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图象的交点问题，函数的零点个数的判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．5．由下表可计算出变量,x y 的线性回归方程为（ ）x54 3 2 1 y21.5110.5A ．ˆ0.350.15y x =+B ．ˆ0.350.25yx =-+ C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 【答案】A【解析】试题分析：由题意，543212 1.5110.53, 1.255x y ++++++++====∴样本中心点为（3，1.2）代入选择支，检验可知A 满足.故答案选A ． 【考点】线性回归方程.6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ）A ．230x y -+=B ．230x y +-=C ．230x y --=D ．230x y --=【答案】D【解析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程． 【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1) 201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-. 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题． 7．函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案. 【详解】 因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--. 此时211()x f x x x x='-=-，当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<.所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-.. 由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合. 故选：C 【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.8．在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．26B ．13C ．523D ．10【答案】D【解析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出. 【详解】()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r如图,设,AB AC 的中点分别为,E F ,则,OE AB OF AC ⊥⊥,||||cos ||||428AO AB AB AO OAB AB AE ⋅=⋅∠=⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ||||6318AO AC AC AO OAC AC AF ⋅=⋅∠=⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以18810AO BC ⋅=-=u u u r u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题．9．已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数()32113n n a f x x a x +=-+()n N +∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦（ ） A ．2019 B ．2018 C ．1009 D ．1008【答案】D【解析】求得()f x 的导数，可得1(1)20n n f a a +'=-=，数列{}n a 为等比数列，可得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可得n b ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值． 【详解】由21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数()f x 的极值点，所以1(1)20n n f a a +'=-=，即12n n a a +=所以数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列,则12n n a -=.由1222log log 21n n n b a n ++===+120182018112018(1)(2)12n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以122320182019201820182018b b b b b b ++⋅⋅⋅+ 1223201820191111112018[]b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1201911111009=20182018=1009220201010b b ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1223201820192018201820181009[1009]10081010b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=-=⎢⎥⎣⎦ 故选：D 【点睛】本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 10．如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（ ）A ．2500cm 3πB ．2625cm 9πC ．2625cm 36πD ．215625cm 162π【答案】B【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R 的方程并解出R 即可求出球的表面积． 【详解】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得222(3)4R R =-+，解得：25=6R ． ∴球的表面积为2225625=4=4=369S R πππ⨯ ． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了正方体的性质、垂径定理以及勾股定理等知识，将立体图转化为平面图形是解题关键．11．已知双曲线22214x y b -=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ）A ．83+ B ．)41C ．83+ D ．)22【答案】A【解析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF V 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=2(4)81628m ++=+=+故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12．若函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,11e e e ⎛⎫--⎪-⎝⎭ B ．11,1e e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦C ．11,1ee e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭D ．1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦【答案】C 【解析】【详解】函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点,即方程ln ln x xa x x x =--有三个不同实数根.设ln ()(0)ln x xg x x x x x=->-,则22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )()(ln)(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----'=-=-- 由1212ln ,2x y x x y x x-'=-=-=, 当1(0,)2x ∈时，0y '<，2ln y x x =-单调递减， 当1()2,x ∈+∞时，0y '>，2ln y x x =-单调递增, 所以112ln 2ln 1ln 2022y x x =-≥⨯-=+> 所以在(0,)x ∈+∞恒有2ln 0y x x =-> 令()0g x '=，得1x =或x e =.当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当e x <时，()0g x '< 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.(1)1g =，1()1e g e e e=-- 0x →时，ln x x→-∞，1ln ln 1x x x x x=→-- x →+∞时，ln 0x x→，11ln ln 1x xx x x=→-- 所以0x →时，()+g x →∞，x →+∞时()1g x → 所以()g x 的大致图像如下:方程ln ln x xa x x x=--有三个不同实数根.结合函数图像有：11,1ea e e ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.二、填空题13．若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值为______．【答案】3【解析】作出不等式组满足的平面区域，再将目标函数平移经过可行域，可得最值. 【详解】由0,20,20,x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如下目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+. z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.即求直线2y x z =-+在y 轴上的截距的最大值. 由可行域的图像，可知目标函数过点(1,1)B 时截距最大. 所以z 的最大值为：2113z =⨯+= 故答案为：3 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意简单线性规划中目标函数的几何意义，属于基础题. 14．已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为______． 433-【解析】根据角的范围，先求出cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后用角变换66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可求解. 【详解】由5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，+,26ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos 653πα⎛⎫+==-⎪⎝⎭cos cos =cos cos +sin sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-=-⨯+⨯=【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题. 15．已知函数()lnexf x e x=-，满足()2201810092019201920192e e e f f f a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（a ，b 均为正实数），则ab 的最大值为______． 【答案】4【解析】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出,a b 的关系，可得出答案. 【详解】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----. 22018201920192019e e e f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20182201710091010[][[]201920192019201920192019e e e e e e f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10092=⨯()10092a b =+ 所以4a b +=，且a ，b 均为正实数.则242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab 当且仅当2a b == 时取等号. 故答案为：4.16．设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且4AF BF =，则弦长AB =______．【答案】258【解析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案． 【详解】抛物线焦点坐标为1(,0)2F ， 设点1122(,),(,)A x y A x y 设直线l 方程为12x my =+， 由抛物线的定义有111||22p AF x x =+=+，221||22p BF x x =+=+ 由4AF BF =，得1211422x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即1214(1)my my +=+. 所以有12(4)3(1)m y y -=L L ，又由2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 得：2210y my --=，所以122y y m +=，121(2)y y ⋅=-L L 由(1),(2)联立解得：2916m =. 又1212||||||12AB AF BF x x my my =+=++=++212925()22222168m y y m =++=+=⨯+= 故答案为：258【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB =ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）60C =︒；（Ⅱ）2S =【解析】（Ⅰcos sin sin A C C A =，可得答案.| （Ⅱ）由条件APC ∆为等边三角形，则120APB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒，可得AP ，从而得到三角形的面积.【详解】（Ⅰ）cos sin C c A =cos sin sin A C C A =，又A 是ABC ∆内角，∴sin 0A ≠，∴tan C =∵0180C <<︒，∴60C =︒．（Ⅱ）根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒， 解得，2AP =，∴5BC =，2AC =．∴ABC ∆的面积1sin 602S CA CB =⋅︒=【点睛】本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率； （Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表： 经常使用 偶尔使用或不用 合计 男性 50 100 女性 40 合计200完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（Ⅰ）0.030a =；（Ⅱ）37P =；（Ⅲ）表见解析，没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中的面积之和为1，求参数a .（Ⅱ）由题意前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，利用列举的方法可求得概率.（Ⅲ）先计算填好2×2列联表，然后代入公式计算2K ，与给出的表格比较得出答案. 【详解】（Ⅰ）由题意()100.010.01520.0250.0051a ⨯+⨯+++=解得0.030a =. （Ⅱ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()13,A C ； ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()23,A C ； ()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()13,B C ；()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()23,B C ；()31,B C ，()32,B C ，()33,B C ；()12,C C ，()13,C C ，()23,C C ；共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， ∴所求的概率为123287P ==. （Ⅲ）2×2列联表如下：由上表及公式可知()2220050406050 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.02＜2.072所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求参数，考查概率可独立性检验，属于中档题. 19．如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥．（Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，G 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13G BCF V -=【解析】（Ⅰ）根据原图中的垂直关系，得到翻折后BE PE ⊥，PE BC ⊥，从而可证明.（Ⅱ）由F ，G 分别为PD ，PB 的中点111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，从而可求解体积.【详解】（Ⅰ）由题意可知BCDE 为正方形，∴BC BE ⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥ 又PE BC ⊥，且PB BE B =I ，∴BC ⊥平面PBE ，∵PE PB ⊂，E ，BC PE ⊥ 又BC BE B =I ，∴PE ⊥平面BCDE .（Ⅱ）∵G 为PB 的中点，∴PGF BGF S S ∆∆=，∴12C PGF C BGF C PBF V V V ---== 又F 为PD 的中点，∴PBF BDF S S ∆∆=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---== ∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----==== 又1142P BCD P BCDE V V --=，∴11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查翻折问题，考查线面垂直的证明和求体积,属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22198x y +=；（2）存在，012m -≤<或012m <≤【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为13和2MNF ∆的周长为12可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可求椭圆方程.（Ⅱ）AB 的中点为()00,E x y ,由条件有DE AB ⊥，即1DE AB k k =-⋅,设(),0D m ，用直线AB 的斜率把m 表示出来，可求解其范围. 【详解】（1）由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以3a =，1c =，所以椭圆C 的方程为22198x y +=.（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ．假设存在点(),0D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=， 故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++当0k >时，89k k +≥=012m -≤<； 当k 0<时，89k k +≤-012m <≤ 综上：m取值范围是0m ≤<或0m <≤【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.21．设函数()ln xa e f xb x e=-，且()11f =（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0b e ≤≤，求证：()0f x >． 【答案】（Ⅰ）增区间为()1,+?，减区间为()0,1；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）当1b =时()11x xe f x x--'=，令()11x t x xe -=-，对()t x 求导分析出其单调性，从而分析出函数值的符号，得到()f x 的单调区间.（Ⅱ）对()f x 求导讨论其单调性，分析其最小值，证明其最小值大于0即可. 【详解】（Ⅰ）由()11f =可得，1a =，又1b =，∴()1ln x f x ex -=-，()11x xe f x x--'=，0x >，令()11x t x xe-=-，()()11x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在()0,+?单调增函数，又()10t =.∴当()0,1x ∈时，()0t x <，()‘0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0t x >；()‘0f x >，∴()f x 的单调增区间为()1,+?，减区间为()0,1（Ⅱ）当0b =时，()0f x >，符合题意. 方法（一）当0b e <≤时，()11x x b xe bf x e x x---'=-=令()1x h x xeb -=-，又()00h b =-<，()220h e b =->∴()h x 在()0,2∃唯一的零点，设为0x ，有010x x eb -=且()00,x x ∈，()00f x '<，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()00f x '>，()f x 单调递增∴()()0100min ln x f x f x eb x -==-∵010x x eb -=，∴01x be x -=，两边取对数，001ln ln x b x -=-∴()()000ln 1bf x b b x x =-+- 00ln 2ln ln b bx b b b b b b b b b b x ⎛⎫=+--≥--=- ⎪⎝⎭（当且仅当01x =时到等号） 设()ln m b b b b =-，∴()ln m b b =-，当()0,1b ∈时，()0m b '>，当(]1,b e ∈时，()0m b '<； 又()0m e =，且，0b >，趋向0时，()0m e >； ∴当0b e <≤，()0m b ≥，当且仅当b e =时取等号由（1）可知，当1b =时，01x =，故当b e =时，01x ≠，()()00f x m b >≥，∴()00f x > 综上，当0b e ≤≤时，()0f x > 方法（二）当0b e <≤时，（i ）当01x <≤时ln 0x ≤，ln 0b x ≤，()1ln 0x f x e b x -=->显然成立；（ii ）当1x ≥时，构造函数()ln 1F x x x =-+()110F x x'=-≤，()F x 在[)1,+∞为减函数，∴()()10F x F ≤=，∴0ln 1x x <≤- ∴()()0ln 11b x b x e x <≤-≤-，∴()0ln 1b x e x <<- ∴()()11ln 1x x f x eb x e e x --=->--又由ln 1x x ≤-，可得21x e x -≥-，进而()()110x f x e e x -=--≥综上：当0b e ≤≤时，()0f x > 【点睛】本题考查求函数单调区间和证明函数不等式，考查了导数的应用，应用了放缩与指对互化的技巧，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=得1222,2ρρ==， 所以2MN =，进而求得面积为12.试题解析：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得23240ρρ-+=得1222,2ρρ==， 所以2MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为1121sin 4522⨯⨯⨯=o 【考点】坐标系与参数方程.23． 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围． 【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 （2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数第 21 页共 21 页。
淮南市 2020 届高三第二次模拟考试文科数学试题
A. 1
B. 2,3
C.1, 2,3
D.
x
|
x
3
2
2.
已知 i 为虚数单位，复数 z
2 1 i
3i ，则复数 z
的虚部是（
）
A. i
B. 1
C. 2i
D. 2
3. 已知抛物线 C : y=1 x2 ，则下列关于抛物线 C 的叙述正确的是（ ） 4
淮南市 2020 届高三第二次模拟考试
数学（文科）试题
（考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项：
1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。 2．答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答．题．卡．上．书写，要求字体工整、
D.②④
11.
已知函数
f
x
x2 3x 2, x
ln
x,
x
1
1 ，若存在 x0 R
，使得
f
x0 ax0
a 1成立，
则实数 a 的取值范围是（ ）.
A. 0,
B.3, 0
C. , 3 1,
D. , 3 0,
12.
已知 F1, F2 分别是双曲线 C :
x2 4
y2 3
1的左，右焦点，动点 A 在双曲线的左支上，
三、解答题：（本大题满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分 12 分）
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2020年安徽省淮南市高考一模数学文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知2+=-a ib ii(a，b∈R)，其中i是虚数单位，则a+b=( )A.-1B.3C.2D.1解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件计算得答案.∵()2222-++==-=--i a ia iai b i i i，∴a=1，b=2.∴a+b=3.答案：B2.已知集合，B={y|y=2x，x＞1}，则A∩B为( )A.[0，3]B.[3，+∞)C.[1，3]D.(2，3]解析：求定义域和值域得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B.集合2≥0}={x|0≤x≤3}=[0，3]，B={y|y=2x，x＞1}={y|y＞2}=(2，+∞)；则A∩B=(2，3].答案：D3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A.B.C.D.解析：根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可. 要使中奖率增加，则对应的面积最大即可， 则根据几何概型的概率公式可得，A 、概率38=P ；B 、概率1428==P ；C 、概率1326==P ；D 、概率13=P ；则概率最大的为38.答案：A4.已知函数f(x)=sin(2x-32π)(x ∈R)，下列说法错误的是( ) A.函数f(x)最小正周期是π B.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)在[0，2π]上是增函数 D.函数f(x)图象关于(4π，0)对称解析：根据正弦函数的性质依次判断各选项即可. 由函数f(x)=sin(2x-32π)=cos2x(x ∈R)，∴B 对； 其周期T=22π=π，∴A 对； 令-π+2k π≤2x ≤2k π，可得k π-2π≤x ≤k π，k ∈Z. ∴f(x)在[0，2π]上不是增函数；∴C 不对； 令x=4π，则f(4π)=cos 2π=0，∴函数f(x)图象关于(4π，0)对称，∴D 对.答案：C5.若实数x ，y 满足1002-+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩＞x y x y ，则1+y x 的取值范围是( )A.(0，3)B.[0，3]C.(3，+∞)D.[3，+∞)解析：由约束条件1002-+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩＞x y x y 作出可行域如图，联立210=⎧⎨-+=⎩y x y ，解得A(1，2)，1+y x的几何意义为可行域内动点与定点P(0，-1)连线的斜率， ∵12301--==-PA k ，∴1+y x的取值范围是[3，+∞).答案：D6.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )A.B.C.D.解析：由三视图，可知几何体是下部是已改圆台，上部是与下部相同倒放的圆台，因为圆台下面粗，上面细，水面高度开始增加的慢，后来增加的快，然后上面先快后慢.函数的图象是C.答案：C7.执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( )A.5B.6C.7D.8解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.第一次执行循环体后，S=12，m=14，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=14，m=18，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=18，m=116，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=116，m=132，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=132，m=164，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=164，m=1128，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=1128，m=1256，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7. 答案：C8.函数ln=x xyx的图象是( )A.B.C.D.解析：利用函数的奇偶性排除选项，特殊点的位置判断即可.函数ln=x xyx是奇函数，排除A，C；当x=12时，y=ln12＜0，对应点在第四象限，排除D.答案：B9.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2(1-sinA)，则A=( )A.3 4πB.3πC.4πD.6π解析：利用余弦定理，建立方程关系得到1-cosA=1-sinA，即sinA=cosA，进行求解即可. ∵b=c，∴a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA=2b2(1-cosA)，∵a2=2b2(1-sinA)，∴1-cosA=1-sinA，则sinA=cosA ，即tanA=1， 即A=4π. 答案：C10.设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )B.8C.6332 D.94解析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A ，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF 与BOF 的面积和得答案. 由y 2=2px ，得2p=3，p=32， 则F(34，0). ∴过A ，B的直线方程为334⎫-⎪⎝⎭=x y ，即34=+x .联立2334⎧=⎪⎨⎪⎩=+x y x ，得4y 2设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1+y 2y 1y 2=94-. ∴1213392484=+=⨯-===V V V OAB OAF OFBS S S y y . 答案：D11.已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且=uuu r uu u rAM xAB ，=uuu r uu u rAN yAC ，(x ，y ＞0)，则3x+y 的最小值是( )A.83 B.72 C.52D.43+解析：设BC 的中点为D ，则2111333313==+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu rAG AD AB AC AM AN x y，∵M ，G ，N 三点共线，故13131+=x y.∴()14443333313333⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭y x x y x y x y x y .当且仅当3=y xx y时，即13=+x 时取等号.答案：D12.已知函数()()3o 112l g ⎛⎫⎪⎝--⎭=xf x x 有两个零点x 1，x 2，则( )A.x 1·x 2＜x 1+x 2B.x 1·x 2＜1C.x 1·x 2=x 1+x 2D.x 1·x 2＞x 1+x 2 解析：如图所示：由对数函数的定义知所给函数的定义域是(1，+∞)，因为f(32)＞0，f(2)＜0，f(4)＞0，由零点存在性定理知在区间(32，2)，(2，4)分别存在零点，记为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，可以得到1＜x 1＜2＜x 2，又由()()1131log 1102=--⎛⎫ ⎪⎝⎭=xf x x ，()()2232log 1102=--⎛⎫⎪⎝⎭=xf x x ，得()13112log 1⎛⎫-- ⎝=⎪⎭x x ，()23212log 1⎛⎫-- ⎝=⎪⎭x x ，两式相减得()()213231log 1log 122101⎛--⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝-=-⎭＜x xx x ，即：log 3(x 2-1)-log 3(x 1-1)＜0，故(x 2-1)(x 1-1)＜1，解得x 1·x 2＜x 1+x 2. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，满分20分)13.若A={x|ax 2-ax+1≤0，x ∈R}=∅，则a 的取值范围是 .解析：∵A={x|ax 2-ax+1≤0，x ∈R}=∅，∴a=0或()240⎧⎪⎨=--⎪⎩V ＞＜a a a ， 解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0，4). 答案：[0，4)14.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 . 解析：设第九节容积为a 1，∵自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，∴1234198714633214+++=+=⎧⎨++=+=⎩a a a a a d a a a a d ，解得11322=a ，766=d ， ∴第五节的容积为511376744226666=+=+=a a d . 答案：676615.已知函数()1211+=-+xf x ex，则使得f(x)＞f(2x-1)成立的x 的取值范围是 . 解析：首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f 符号计算自变量的取值范围即可. 由函数的解析式可得函数为偶函数，且当x ≥0时：()1211+=-+x f x e x ，()()122201+'=++＞xx f x e x ， 即函数f(x)是在区间[0，+∞)上单调递增的偶函数，不等式f(x)＞f(2x-1)成立，则：|x|＞|2x-1|，即：x 2＞(2x-1)2， 求解二次不等式可得x 的取值范围是(13，1). 答案：(13，1)16.过动点P 作圆：(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ ，其中Q 为切点，若|PQ|=|PO|(O 为坐标原点)，则|PQ|的最小值是 .解析：根据题意，设P 的坐标为(m ，n)，圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N ，由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，结合题意可得|PN|2=|PO|2+1，代入点的坐标可得(m-3)2+(n-4)2=m 2+n 2+1，变形可得：6m+8n=24，可得P 的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O 到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案.根据题意，设P 的坐标为(m ，n)，圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N ，则N(3，4)，PQ 为圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，则有|PN|2=|PO|2+1，即(m-3)2+(n-4)2=m 2+n 2+1， 变形可得：6m+8n=24， 即P 在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O 到直线6x+8y=24的距离，且125==d ； 即|PQ|的最小值是125. 答案：125三、解答题(本大题共6小题，共70分，第17~21题为必考题，每小题12分，第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{a n }为等差数列，且a 3=5，a 5=9，数列{b n }的前n 项和为2133=+n n S b .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. 解析：(1)利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出a n =1+(n-1)×2=2n-1.由数列{a n }的前n 项和为2133=+n n S b ，求出{b n }是首项为1，公比为-2的等比数列，由此能求出b n =(-2)n-1.答案：(1)∵数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9， ∴53952532--===-a a d ， ∴a 1=a 3-2d=5-4=1，∴a n =1+(n-1)×2=2n-1. ∵数列{b n }的前n 项和为2133=+n n S b . ∴n=1时，112133=+S b ，由S 1=b 1，解得b 1=1， 当n ≥2时，112233--=-=-n n n n n b S S b b ，∴b n =-2b n-1，∴{b n }是首项为1，公比为-2的等比数列，∴b n =(-2)n-1.(2)设c n =a n |b n |，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(2)由c n =a n |b n |=(2n-1)·2n-1，利用错位相减法能求出数列{c n }的前n 项和.答案：(2)c n =a n |b n |=(2n-1)·2n-1， ∴数列{c n }的前n 项和：T n =1×1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1，2T n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n， 两式相减，得：-T n =1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2×2212--n -(2n-1)·2n=1+2n+1-4-(2n-1)·2n=-3+(3-2n)·2n，∴T n =(2n-3)·2n+3.18.如图所示，正四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 的边长为2，侧棱长为，E 为PD 的中点.(1)求证：PB ∥平面AEC.解析：(1)设BD 交AC 于O ，连接OE ，由三角形中位线定理可得OE ∥PB ，再由线面平行的判定可得PB ∥平面AEC.答案：(1)证明：设BD 交AC 于O ，连接OE ，则在三角形BDP 中，O 、E 分别为BD 、PD 的中点， ∴OE ∥PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊂平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC.(2)若F 为PA 上的一点，且3=PFFA，求三棱椎A-BDF 的体积.解析：(2)求出PO ，结合已知可得F 到平面ABD 的距离为14PO ，然后利用等积法求三棱椎A-BDF 的体积.答案：(2)由已知可得，==PO .又PO ⊥平面ABCD ，且3=PFFA ， ∴F 到平面ABD 的距离为14PO.∴1111134364222--⎛⎫ ⎪⎝==⨯⨯=⨯⨯⨯⎭⨯=V A BDF F ABD ABD V V S PO .19.某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)将学生日均课外体育运动时间在[40，60)上的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？解析：(1)根据题意，由由频率分布表可得2×2列联表，计算K 2可得()2220060203090 6.061 6.6351505090110⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＜K ，由独立性检验的意义分析可得答案.答案：(1)根据题意，由频率分布表可得：则()2220060203090 6.061 6.6351505090110⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＜K ， 顾在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.(2)从上述200名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取4人得到一个样本，再从这个样本中抽取2人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率.参考公式：()()()()()22-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，其中n=a+b+c+d.参考数据：解析：(2)根据题意，样本中“课外体育不达标”有3人，分别记为a 、b 、c ，“课外体育达标”的有1人，记为1；列举从4名学生中任意选出2人以及恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况，由古典概型的计算公式计算可得答案.答案：(2)根据题意，样本中“课外体育不达标”有3人，分别记为a 、b 、c ，“课外体育达标”的有1人，记为1；从4名学生中任意选出2人，有ab 、ac 、a 1、bc 、b 1、c 1，共6种情况，其中恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况有：a 1、b 1、c 1，共3种情况， 则恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率1236==P .20.椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，下顶点为C ，若直线AB 与直线CF 的交点为(3a ，16).(1)求椭圆C 的标准方程.解析：(1)推导出直线AB 的方程为y=b a x+b ，直线CF 的方程为y=bcx-b.把点(3a ，16)分别代入直线的方程163163b a b ab a bc ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪=⨯-⎪⎩，b=4，且3a=5c ，由此能求出椭圆的标准方程.答案：(1)由椭圆C 的左顶点A(-a ，0)，上下顶点坐标为B(0，b)，C(0，-b)， 右焦点为F(c ，0)，则直线AB 的方程为y=bax+b ，直线CF 的方程为y=bcx-b. 又∵直线AB 与直线CF 的交点为(3a ，16)，把点(3a ，16)分别代入直线的方程163163b a b ab a bc ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪=⨯-⎪⎩，解得b=4，且3a=5c ，又∵a 2=b 2+c 2，解得a=5，∴椭圆的标准方程为2212516x y +=.(2)点P(m ，0)为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于S ，T 两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值.解析：(2)设直线的方程为x=54y+m ，代入2212516x y +=，得：25y 2+20my+8(m 2-25)=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能证明PS|2+|PT|2是定值.答案：(2)设直线的方程为x=54y+m ，代入2212516x y +=， 并整理得：25y 2+20my+8(m 2-25)=0，设S(x 1，y 1)，T(x 2，y 2)，则y 1+y 2=45-m ，y 1y 2=()282525m -，又∵|PS|2=(x 1-m)2+y 12=4116y 12， 同理，|PT|2=4116y 22， 则()()()222222212121216254141414241161616525m m PS PT y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-+=+=+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢=-⎥⎣⎦--=，∴|PS|2+|PT|2是定值.21.已知函数f(x)=x 2-lnx.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.解析：(1)首先求得切点坐标，然后求解切线的斜率即可求得切线方程. 答案：(1)由题意可得：f(1)=1，且：f ′(x)=2x-1x，f ′(1)=2-1=1， 则所求切线方程为y-1=1×(x-1)，即y=x.(2)在函数f(x)=x 2-lnx 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[12，1]上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由. 解析：(2)由题意结合导函数研究函数的切线，结合导函数的单调性和值域即可求得最终结果.答案：(2)设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1，x 2∈[12，1]，不妨设x 1＜x 2， 结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得：121211221x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭--=-， 函数f(x)=2x-1x 在区间[12，1]上单调递增，函数的值域为[-1，1]，故： 1212111221x x x x -≤--≤＜，据此有：1122121121x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：12112x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12112x x =⎧⎪⎨=--⎪⎩(舍去)，故存在两点(12，ln2+14)，(1，1)即为所求.选做题：请在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22.已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程.解析：(1)曲线C 1的参数方程消去参数t ，得到普通方程，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，能求出C 1的极坐标方程.答案：(1)将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩，消去参数t ，化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25，即C 1：x 2+y 2-8x-10y+16=0， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2+y 2-8x-10y+16=0，得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.∴C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).解析：(2)曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C 1的普通方程联立，求出C 1与C 2交点的直角坐标，由此能求出C 1与C 2交点的极坐标. 答案：(2)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0，联立222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴C 1与C 2交点的极坐标为，4π)和(2，2π).[选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象.解析：(1)取得绝对值符号，得到分段函数，然后画出函数的图象. 答案：(1)由于()252232x x f x x x -+⎧⎨-≥⎩=，＜，，则y=f(x)的图象如图所示：(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围. 解析：(2)利用函数的图象，转化求解a 的范围即可.答案：(2)由函数y=f(x)与函数y=ax 的图象可知，当且仅当a ≥12或a ＜-2时， 函数y=f(x)与函数y=ax 的图象有交点，故不等式f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取值范围是(-∞，-2)∪[12，+∞).考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。