数值天气预报习题

1. 试证明球坐标系中单位矢量i 的个别变化率为。

()
k j r u dt di ϕϕϕcos sin cos -= 2. 试说明局地直角坐标系(即z 坐标系)中的运动方程与球坐标系中的运动方程有何异同?
3. 在等压面p 与p p δ-之间有一气柱,其横截面积为y x δδ,气柱内的空气质量为M δ。

试根据该气柱在运动过程中其质量守恒的原理导出P 坐标系中的连续方程为
=∂∂+∂∂+∂∂p w y v x u
4. 应用()t z y x ,,,、()t p y x ,,,两坐标系因变量F 偏微商的转换关系式（1.69）和（1.78）证明
p z dt dF dt dF ⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛
5. 应用()t p y x ,,,、()t y x ,,,σ两坐标系因变量偏微商的转换关系式（1.113）和（1.117）把P 坐标系中的连续方程
=∂∂+∂∂+∂∂p w y v x u
转换到σ坐标系中去。

6. 应用σ坐标系中的连续方程（1.126）把该坐标系中分量形式的水平运动方程写成通量形式。

7. 已知小尺度运动系统龙卷的物理变量特征尺度为：L ~210米，D ~410米，U ~50米∙秒1-，W ~1米∙秒1-，p h ∆~40百帕。

应用尺度分析方法简化运动方程（1.132）~（1.134），使其适用于龙卷尺度的运动。

对于这种小尺度运动，流体静力近似是否成立？
8. 已知中尺度运动系统台风的物理变量特征尺度为：L ~510米，D ~410米，U ~100米∙秒1-，W ~10米∙秒1-，p h ∆~40百帕。

应用尺度分析方法简化运动方程（1.123）~（1.134），使其适用于台风尺度的运动。

对于这种中尺度运动，流体静力近似是否成立？
9. 试说明涡度方程（1.149）中辐散项、倾斜项和力管项引起涡度局地变化的物理机制。

10. 涡度方程（1.170）有哪几种简化形式，它们各有什么特点？
11. 散度方程（1.175）有哪几种简化形式？它们各有什么特点？它们描述了哪些物理量场之间的平衡关系？
1. 在与60°N 相割的极射赤面投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P84图
2.14),网格距d =500公里,试求点()8,4=-=n n J I p 的地图放大系数和科里奥利参数。

2. 在与30°N 和60°N 相割的兰勃脱投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P85图2.15),网格距d =300公里,试求点()15,5==n n J I p 的地图放大系数和科里奥利参数。

3. 在与22.5°N 和22.5°S 相割的墨卡托投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P85图
2.16),网格距d =200公里,试求点()3=e J p 的地图放大系数和科里奥利参数。

4. 试把运动方程（2.49）由普遍的正交曲线坐标系变换到普遍的地图投影()t Z Y X ,,,坐标系。

5. 试由普遍的正交曲线坐标系中的连续方程（2.52）导出球坐标系中的连续运动方程。

第三章 习题
1. 什么是差分格式的收敛性和稳定性？二者之间有何关系？
2. 什么是差分格式的耗散性、色散性和守恒性？它们对数值解有何影响？
3. 试证明一介偏微商x u ∂∂的三点差商近似式
()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+-∆++--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-∆+=∂∂x t x x u t x x u t x u x t x u t x x u x u 2,2,4,321,,23 的截断误差为()2x O ∆。

4. 时间微商用前差格式、空间微商用后差格式写出一维线性平流方程
0=∂∂+∂∂x u c t u
的有限差分格式，并应用冯—纽曼方法证明该格式的稳定性。

5. 时间微商用前差格式、空间微商用中央差格式构造微分
0=∂∂+∂∂+∂∂y u b x u a t u
的有限差分格式，并应用冯—纽曼方法证明该格式的稳定性。

第四章 习题
1. 试证明差分格式（4.42）是平流方程（4.35）的一次守恒格式。

2. 试证明差分格式（4.47）是平流方程（4.46）的二次守恒格式。

3. 试把二次守恒平流格式（
4.57）展开成可以进行数值计算的形式。

4. 导出正压原始方程的有限差分方程（4.80）的频率方程和群速公式。

5. 写出正压原始方程组（4.95）的半隐式差分格式，并说明其具体求解步骤。

6. 设一维变量i F 可表示为如下的谐波：
()α++=i i kx F C F cos 式中F 、k 和α分别为谐波的振幅、波数和位相，而C 为一常数。

试证明：当平滑系数S 取21时，应用空间平滑运算（4.119）可以完全滤除i F 中波长为2x ∆的短波波动。

7. 设一维变量n
i F 可表示为如下的谐波： n i F ()αω+-+=n i t kx F C cos
式中F 、k 、ω和α分别为谐波的振幅、波数、圆频率和初位相，而C 为一常数。

试证明：当平滑系数S 取21时，应用空间平滑运算 ()()
1121~-+++-=n i n i n i t n i F F S F S F 可以完全滤除n i F 中周期为2t ∆的高频振动。

8. 在兰勃脱投影天气底图上，选取的预报区域内共有N M ⨯个网格点，网格是均匀的，网格距为D ，预报区域左下角的格点相对于北极点的坐标为()D J D I n n ,。

试编制一个计算各网格点的地图放大系数()J I RM ,和科里奥利参数()J I F ,的子程序。

9. 已知预报区域内N M ⨯个网格点的初始位势高度()J I ZA ,、地图放大系数()J I RM ,和科氏参数()J I F ,，网格距取为D 。

在预报区域的内点采用中央差分格式、在边界点采用向前或向后差分格式，试编制一个计算各网格点的初始地转风分量()J I UA ,和VA ()J I ,的子程序。

10. 已知预报区域内N M ⨯个网格点的初始位势高度()J I ZA ,，初始地转风()J I UA ,和VA ()J I ,，地图放大系数()J I RM ,和科氏参数()J I F ,，时间步长取DT ，空间步长取D ，采用固定的水平侧边界条件，应用正压原始方程组的二次守恒平流格式（4.57）（略去放大系数的水平变化）编制一个时间积分子程序，并要求该子程序具有实施时间前差、中央差和欧拉—后差等时间积分方案的功能。

11. 已知预报区域内N M ⨯个网格点上某一时间层的位势高度()J I ZB ,，应用五点平滑公式（4.126）编制一个在预报区域内点对()J I ZB ,进行空间平滑的子程序。

12. 已知预报区域内N M ⨯个网格点上第一，第二和第三时间层的位势高度分别为
()J I ZA ,，()J I ZB ,和()J I ZC ,，应用时间平滑公式（4.141）编制一个在预报区域内点对位势高度场进行时间平滑的子程序。

13. 在N M ⨯个网格点上，24小时预报的位势高度为()J I ZC ,，试编制一个绘制位势高度等值线的子程序。

等值线的最小值和最大值分别取500和600位势什米，等值线增量取4位势什米。

第五章 习题
1. 试导出σ坐标系中的气压梯度力所做的功率。

2. 若不考虑地形作用()0=Φs ，试证明大气的绝对角动量()ϕϕcos cos r u r M Ω+=守恒：
0cos 2=∂∂⎰⎰⎰*σϕλϕd d d Mr p t
3. 试推导
[]()τασστd p V p dA p Td c p t A s s p ⎰⎰⎰***∇+Φ∇⋅=Φ+∂∂
10
式中s Φ为地形高度，s p 为地面气压，T s p p p -=*，T p 为模式顶气压。

4.试证明差分方程组（
5.160）~（5.166）保持微分方程组（5.151）~（5.157）所具有的质量守恒和总能量守恒的积分性质。

第六章 习题
1. 赤道附近地转偏向力很小，地转关系不适用。

请给出一个新的协调风场与气压场的静力初始化关系。

2. 简要叙述动力初始化的基本思想，主要步骤。

如何加速动力初始化的过程?
3. 请论述四维同化的必要性，扼要地介绍四维同化的几种主要方法。

4. 请说明海绵边界条件为何能吸收向外传播的波动能量。

5. 概括地叙述套网格预报的几种方法，套网格预报方法的优点，它们还存在什么问题？。