立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

考点剖析：

1．理解直线的方向向量及平面的法向量．

2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．

3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

命题方向：1）向量法证明垂直与平行多以多面体(特别是棱柱、棱锥)为载体，求证线线、线面、面面的平行或垂直，其中逻辑推理和向量计算各有千秋，逻辑推理要书写清晰，“充分”地推出所求证(解)的结论；向量计算要步骤完整，“准确”地算出所要求的结果．

2）用向量法求线线角、线面角多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体，考查线线角、线面角的求法，正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键

规律总结：

1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．

2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．

3．运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

知 识 梳 理

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →

为直

线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平

面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧ n·a ＝0，n·b ＝0.