NP完全问题

证明：对于P类问题中的任意问题，只要修 改相应的多项式级别算法A的代码，把返回yes的 改为返回no，把返回no的改为返回yes即可
boolean judgeEqual(int n, Elem[] a, Elem[] b){ for (int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<n; j++) if (a[i] == a[j]) return yes; //修改为no
2.1.7 判定问题规约定理示例
问题是：给定一个长度为n整数数组D和一个整数k判断是否存 在D中的一个元素和k相等。 问题是：给定一个长度为m整数 数组E和一个整数k判断是否存在E中的两个元素，其和与k相等 假设问题的输入实例I是一个长度为n=4的数组{2, 4, -1, 8}， 和一个整数3，转换算法A如下： int[] transfer(int n, int[] inst_ba){ int[] inst = new int [n*(n-1)/2]; int count = 0; for (int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<i; j++){ inst[count] = inst_bar[i] + inst_bar[j]; count++; } }
Cook-Karp论题：一个问题是实际可计算的当且仅当它 在图灵机上经过多项式时间（步数）计算得到正确的结果。 Cook-Karp论题将可计算问题类进一步划分成两类：一类 是实际可计算的，另一类是实际不可计算的
1.2 问题分类
有两类问题，一类是判定问题，另一类是优化问题 判定问题的解只涉及两种情况：yes或no；优化问题 则涉及极值问题 判定问题举例：给定一个带整数权的有向图G和一 个正整数k，是否存在着一条长度小于k的哈密尔顿回 路？ 优化问题举例：给定一个带整数权的有向图G，其 最短路径长度的哈密尔顿长度是多少？
从定义上看：P类问题可以用多项式时间的确定 算法解决（判定或求解）；NP类问题可以用多项 式级别的时间的确定算法进行检查、验证和判定 PNP。这是因为P类问题一定可以用多项式时 间的算法判定
猜测NPP，也就是猜测至少存在着一个问题， 它属于NP类，但它不属于P类。但迄今没有给出 证明
3. NP完全问题
2.1.6 判定问题规约的定理
定理：令和是两个判定问题，如果P，并 且 p ，那么P
证明：根据和 的规约特性，存在着多项式 算法A，把的实例I转换为的实例I，并且二者 运算结果一致。由于A是多项式的，因此，其输出 也是多项式的。A的运算结果（就是I）是一个多 项式规模的结果。而的实例可以用多项式规模的 时间运算得到结果。处理的实例I所需时间是： I向I转换所需时间 + 处理I所需时间，这两个时间 都是多项式级别的，因此处理的实例I是多项式 级别的
2.2.4 NP类问题举例
例一：给定n个城市、正常数k及城市之间的费用 矩阵C，判断是否存在一条结果所有城市一次且仅 一次、最后返回出发城市、费用小于常数k的回路 推测阶段：用纯随机的方式或相邻有通路城市之 间随机的方式产生一条路径长度是n的路径序列。这 个过程可以用多项式级别的时间完成
验证阶段：首先验证这条路径的相邻城市之间是 否有通路（第二种推测方式不需要）；然后验证这 条路径是否经过且只经过每个城市一次；最后验证 这条路径的费用是否小于k。所有验证工作耗时是多 项式级别的
计算复杂性理论有两个基本论题：Church-Turing论题和 Cook-Karp论题 Church-Turing论题：一个问题时可计算的当且仅当它在 图灵机上经过有限次计算得到正确的结果。这个论题把人 类所面临的问题分为两类：一类是可计算的，另一类是不 可计算的。但“有限次计算”是一个宽松的条件
return no; //修改为yes
}
2，如果存在一个 具有如下性能的算法A，可以用多项式的时间，把 问题的实例I转换为问题的实例I，使得I与I的 答案一致，就称以多项式时间规约于，记为 p
举例：问题是：给定一个长度为n整数数组D 和一个整数k判断是否存在D中的一个元素和k相等。 问题是：给定一个长度为m整数数组E和一个整 数k判断是否存在E中的两个元素，其和与k相等。 用于的实例I向的实例I转换的多项式算法A
1.3 优化问题向判定问题的转换
判定问题举例：给定一个带整数权的有向图G和一个正整数k， 是否存在着一条长度小于k的哈密尔顿回路？ 优化问题举例：给定一个带整数权的有向图G，其最短路径 长度的哈密尔顿长度是多少？
如果上述判定问题用下面函数解决： boolean Hamilton(Graph g, int k); 则上述优化问题可以用二分的方式在下面的函数中解 决：
可以把前述判定问题的提法改变：给定两个大 小均为n的集合A和B，判断这两个集合中是否不 存在着相同的元素？ 这个问题是前述问题的补 定义：令C是一类问题，如果对C中的任何问 题C，如果的补也在C中，则称C类问题在 补集下封闭
2.1.4 P类问题在不集下封闭定 理
定理：P类问题在补集下是封闭的
2.2.5 NP类问题的特征
NP类问题的本质特征是：对于给定的一个 实例，能够以多项式时间判断它是不是问题 的实例；如果是，能够以多项式时间对它作 出问题中要求的yes或no的结果回答 NP问题的另一个特征是多项式级别的推测： 能够以多项式时间推测问题的实例
2.2.6 P类问题和NP类问题的关 系
函数transfer输出一个数组{6, 1, 3, 10, 12, 7}，规模是n的多项式 级别。它含有3，因此原问题结果是yes，否则原问题结果为no
2.2 NP类问题
2.2.1 非确定算法举例
2.2.2 NP类问题算法的阶段 2.2.3 NP类判定问题的定义 2.2.4 NP类问题举例 2.2.5 NP类问题的特征 2.2.6 P类问题和NP类问题的关系
2.2.1 非确定算法举例
给定n个城市及其邻接费用矩阵，找出一个长度为n的序列， 每个元素代表一个城市： int[] getSequence(int n, int[] cities){ int[] result = new int[n]; for (int i=0; i<n; i++){ result[i] = (int)(Math.random()*n); } return result; } 这是一个多项式级别的算法，返回的序列长度为n，但不能 保证相邻两个城市之间有通路，也不能保证各个城市只经过 一次 也可以用城市之间有通路作为条件生成一个长度是n的序列， 这能保证两个相邻城市之间有通路，但不能保证经过且只经 过每个城市一次。这也可以在多项式级别的时间内完成
3.1 NP完全问题的定义 3.2 多项式规约关系的传递性定理 3.3 NP完全性的传递性定理 3.4 NP完全性的传递性举例 3.5 NP完全问题的重要特征 3.6 NP完全问题举例
3.1 NP完全问题的定义
定义：令是一个判定问题，如果对NP中每一个 问题NP，有 p ，就称问题是一个NP难题 定义：令是一个判定问题，如果属于NP，并 且对NP中每一个问题NP，有 p ，就称判定 问题是NP完全的，记为NPC
2.2.3 NP类判定问题的定义
定义：如果对某个判定问题，存在着一个非负 整数k，对输入规模为n的实例，能够以O(nk)的时 间运行一个非确定的算法，得到yes或no的答案， 则该判定问题是一个NP类判定问题 NP类判定问题的推测和验证合成之后是一个非 确定的算法，这个非确定的算法必须在多项式时 间内完成 NP的意义是：Nondeterministic Polynomial
int minHamilton(Graph); //二分查找中调用Hamilton函数
2. P类和NP类问题
2.1 P类问题 2.2 NP类问题
2.1 P类问题
2.1.1 确定性算法 2.1.2 P类判定问题
2.1.3 在补集下封闭的定义
2.1.4 P类问题在不集下封闭定理
2.1.5 判定问题规约的定义
3.4 NP完全性的传递性举例
已知哈密尔顿回路问题是一个NP完全问题， 证明货郎担问题也是一个NP完全问题
哈密尔顿回路问题 ：给定无向图G=(V,E)， 是否存在一条回路，使得图中每个顶点在回路中 出现且只出现一次 货郎担问题：给定n个城市和它们的距离矩 阵，以及距离L，是否存在从某个城市出发，经 过每个城市一次且仅一次，最后回到出发城市且 距离小于或等于L的路线
例二：m团问题CLIQUE：给定无向图G = (V, E)、 正整数m，判定V中是否存在m个顶点，使得它们导 出的子图构成一个完全图 推测阶段：可以随机地找出m个顶点（这些顶点 可以重复）；也可以随机地找出m个不重复的顶点。 这项工作的时间复杂度是多项式级别的 验证和判断阶段：验证m个顶点是否不重复（对 第二种推测，可以省略该步），如果不重复，对于 这m个顶点，判断它们在原图中是否两两相邻。如 果是，则回答yes；否则，回答no。这项工作也可以 在多项式级别的时间内完成
3.3 NP完全性的传递性定理
定理：令和是NP中的两个问题，使得 p 。如果是NP完全的，则也是NP完全的 证明： 由于是NP完全的，如果令是NP中 任意一个问题，则有 p 。根据关系p的传 递性， p 。并且， 在NP中是任意的， 因此，是NP完全的
2.1.6 判定问题规约的定理
2.1.7 判定问题规约定理示例
2.1.1 确定性算法
定义：假设A是问题的一个算法。如果 算法在处理实例的执行过程中每一个步骤 都有一个确定的选择，则称算法A是确定性 算法 对于问题的确定性算法A，每一个实例 执行多次的结果是严格一致的
2.1.2 P类判定问题
第12章 NP完全问题
1. NP完全问题概述 2. P类和NP类问题
3. NP完全问题