复数的三种表示形式PPT课件

复数的三种表示形式
通过前面的学习，我们知道在电工学关于交流电的 研究中，电流、电压等物理量都可用正弦型函数来描述， 但是解题时的计算过程却相当复杂。当复数用三角形式 表示后，处理这类问题就变得十分简捷，从而确立了复 数在交流电研究中的地位。
在电工学中，正弦交流电的电压为u U m sin t u ，
而复数 U t Um cost i Um sint 的虚部恰好
是电压的表达式，因此可考虑利用复数的运算法则进行正弦 交流电的有关计算。
复数的三种表示形式
复数的三角形式 复数的极坐标形式 复数的指数形式
复数的三角形式
y
bi
Z a bi
r Z b r sin
z=r(cosθ＋isinθ) 都可以表示成 z rei
的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式。
其中r为复数的模，底数e＝2.71828…为无理数，幂 指数中的i为虚数单位，θ为复数的辐角，单位为弧度。 例如：
2(cos5 i sin 5 )
6
6
i 5
2e 6
cos i sin

a r cos x
其中，r a2 b2 , cos a ,
sin b ,
r
r
任何一个复数z＝a＋bi 都可以表示成 z=r(cosθ＋isinθ)的形式。
我们把r(cosθ＋isinθ)叫做复数的三角形式。
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi 叫 做复数的代数形式。
例1 将复数 3 i 表示成三角形式。
z 2(cos i sin )
4
4
2( cos i sin )
4
4
2[cos( i sin( )]
4
4
2(cos5 i sin 5 )
4
4
复Biblioteka Baidu的极坐标形式
如图所示，设复数
z＝a＋bi 的模为r，辐 角为θ，则复数z＝a＋ bi 还可以用z r 来表 示，此时 a = r cosθ，b ＝rsinθ。
分析：因为 z 3 π
2
的模是3，辐角是


2
解： z 3 π
2
3[cos( ) i sin( )]
2
2
3(cos i sin )
2
2
3(0 i)
3i
复数的指数形式
根据欧拉公式 ei cos i sin ，任何一个复数
2[cos( ) i sin( )]
3
3
2( cos i sin )
3
3
2( 1 3 i) 22
1 3i
例3 复数 z 2(cos π i sin π ) 是不是复
4
4
数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形
式。
解： 不是复数的三角形式。
解： 因为 a 3 ，b＝1，所以
r ( 3)2 1 2，
arg 3 i π 6
即
3 i 2(cos i sin )
6
6
例2 将复数 （ 2 cos 2π i sin 2π）表示成代
数形式。
3
3
解： （2 cos 2π i sin 2π）
3
3
7
7
i
e7
我们把 z r 称为复数的极坐标形式。
例1 将复数 z 3 i 用极坐标形式表示出来。 解：因为 z 3 i 的模 r ( 3)2 (1)2 2 辐角 2 11
66
所以 z 211π
6
例2
将复数
z 3 π 2
化为三角形式和代数形式。