复数的三种表示形式PPT课件

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复变函数2章

| z | x 2 y 2
为实数绝对值、长度概念的推广。单位复数：模为1的复数。 0复数的等价条件：模为0。即： z=0|z|=0 两复数z1=x1 + iy1 、 z2=x2 + iy2的距离：
y
( x, y )
x
0
y
d z1 , z 2 z1 z2
z2 z z 1 2
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例 (P9例1.2) 求Arg(2-2i) 、 Arg(-3+4i) 解: 2-2i在第四象限 arg(2-2i)=arctan(-2/2)= -π /4 Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ (k=0, 1, 2, ...) = -π /4+2kπ -3+4i在第二象限 arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π = - arctan(4/3)+π Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ = - arctan(4/3) +π+2kπ =- arctan(4/3)+(2k+1)π (k=0, 1, 2, ...)
1 2 1 2
模：
z1 z2 z1 z2
z1 / z2 z1 / z2
幅角：Arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 z Arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 或 arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 + 2kπ z arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 + 2kπ 乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)
特别当z2 为单位复数时，z1·2 为z1 绕原点正向旋转 θ2 ，z2 为 z 旋转乘数。如z2=i，θ2=π/2， z1·2为z1绕原点正向旋转π/2； z z2=-1，θ2=π， z1·2为z1绕原点正向旋转π。 z 与向量乘积不同！

复变函数

(三).复数的乘方与开方
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 z n ,
z n zz . z
n个
对于任何正整数n, 有 z n r n (cos n i sin n ). 1 n 如果我们定义 z n , 那么当 n 为负整数时, z 上式仍成立.
n 1 n
推导过程如下:
设 z r (cos i sin ), w (cos i sin ),
根据棣莫弗公式,
w n n (cos n i sin n ) r (cos i sin ), 于是 n r , cos n cos , sin n sin ,
( 2) z z;
( 3) z z Re( z ) Im( z ) ;
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
例3 设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
i 4 n 1, i 4 n 1 i , i 4 n 2 1,
i 4 n 3 i .
12
两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ).
计算共轭复数 x iy 与 x iy 的积.
例1 解
( x iy )( x iy )
o
x
x
如果 1 是其中一个辐角那么 z 的全部辐角为 ,
Argz 1 2kπ ( k为任意整数).
在 z ( 0) 的辐角中把满足 π 0 π 的 0 , 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z .

小学英语名词变复数(课堂PPT)

D.from German
44
3. Can you see nine ________ in the picture? A.sheep B.dog C.pig D.horse
4. The _______ has two ___________. A.boys, watches B.boy, watch C.boy, watches D.boys,watch
读 / iz / classes, watches, oranges
4.在/ t /后读/ ts /，在 / d /后读 / dz / cats, friends
28
pen s desks kesy boexs
knife knives cards orangse
boy s friends
parents mothers fathesr
2.man, woman men, women （男人，妇女） 3. child（孩子） children 4.单复数同形(不变): sheep(绵羊) deer(鹿) fish(鱼) Chinese(中国人) Japanese(日本人) 5. 以 f / fe结尾的,变f为v, 再加es
wife(妻子) knife (小刀)
sisters brothesr sosn daughster
cousins familyfamilies
child children manmen
pencil cases
sheep sheep
29
句子单数变复数
1. This is a book. These are books.
2. That is an eraser. Those are erasers.
24

第四章复变函数的级数演示精品PPT课件

则
(1) 当 0 时, 收敛半径 R ;
形式上可以记为
(2)
当
时,
R
收1敛半径
R 0;
(3)
当0
时,
收敛半径
R
1.
证明：由于
为数列, 记为n.
定义4.1 设 n是数列， a ib 是常数.
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, an收敛于 ,
或称是n的极限, 记作
lim
n
n
.
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一
lim
n
n
的充分必要条件是
lim
n
an
a,
lim
cnzn 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 ccnnzznn在收z敛1 情0 况有三种: n00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数收敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 zn 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
fn(z) f1(z) f2(z)
n1

控制工程基础(第三章,控制系统的复数域描述)

负载效应
2、动态结构图的等效变换结构图表示了系统中各信号之间的传递与运算的全部关系。但有时结构图比较复杂，需简化后才能求出传递函数，等效原则是：对结构图任何部分进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。（1）串联环节的简化
X 0 (s)
G1 ( s )
4. 积分环节积分环节的动态方程和传递函数分别为
c (t ) K r (t ) dt
K G (s) s
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容充电、模拟计算机中的积分器等。
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
(a)
(b)
结构图的相加点(a)和分支点(b)
绘制系统方框图的一般步骤 1）写出系统中每一个部件的运动方程式 2）根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数
3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端例绘制下图所示电路的方框图方程有
Gs 就是该系统的传递函数阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
三、典型环节的传递函数 1. 比例环节
比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相对应的传递函数分别为
c(t ) Kr (t )
式中K为增益。
C ( s) G( s) K R( s )
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
Ｒ-L-C电路
c
弹簧-质量-阻尼器系统
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为

名词的数

阿拉伯语法电子演示稿之名词的数
11
阿拉伯语法电子演示稿之名词的数
2
名词的双数
一、节尾名词的双数注意其艾利夫，如果艾利夫是第三个字母，那么将其还原成雅伊或者瓦五。如： - - 如果第四个或第四个以上字母，将其变成雅伊，如： - 二、缺尾名词的双数缺尾名词变成双数首先还原其省略的雅伊，如： - - 三、延尾名词的双数
名词的数
名词的数的定义名词的双数名词的复数复数名词正偏组合里的双数和复数
阿拉伯语法电子演示稿、表示一个含义的名词形式为单数。 2、表示两个含义的名词形式为双数。注意：个别时候双数表达的概念并非是单纯的两个，如：父母：夫妻：月亮和太阳：树与草： 3、表示三个或三个以上含义的名词形式为复数。 4、阿拉伯语中的名词大多数有其单数、双数、复数形式，有些名词只用其中的一种形式。
1、节尾名词的完整阳性复数删掉艾利夫，留下开口符，再加上复数瓦五（主格）或者雅伊（宾格、属格），如： ( ) ( ) - 2、缺尾名词的完整阳性复数删掉缺尾的雅伊，将前面字母的动符变成合口符（主格）或齐齿符（宾格、属格），如： ( ) ( ) 3、延尾名词变成完整阳性复数的规则同双数规则，如： ( ) -
阿拉伯语法电子演示稿之名词的数 9
复数名词
以单数形式出现但表示复数内容的词称之为复数名词，如：。复数名词也可以有其单数、双数、复数，如：。修饰复数名词的单数形式时可以用单数修饰也可以用复数修饰，如：
阿拉伯语法电子演示稿之名词的数 10
正偏组合里的双数或者复数
在正偏组合里，双数和复数体现在正次，而且当正次为双数或者完整阳性复数时，要删掉努恩，如：
阿拉伯语法电子演示稿之名词的数 7

复数的指数形式

4、将复数 10i 化成三角形式.
5、计算下列各式：
（1） 4(cos2 i sin 2 ) 3(cos i sin )
3
3
6
6
（2）[2(cos i sin )]4
5
5
i
i
（3） 6e 2 2e 6
任务目标
• 知道复数的指数形式 • 能进行复数三种形式的互化 • 会进行复数指数形式的乘、除运算
学习内容
• 复数的指数形式 • 复数三种形式的互化 • 复数指数形式的运算
复习回顾
1、复数的三角形式：r(cos i sin ) 其中 r 是复数的模，是复数的幅角。
2、复数三角形式的运算法则：乘法法则：模数相乘、幅角相加
乘方法则：模数乘方，幅角 n倍
除法法则：模数相除，幅角相减
复数的指数形式
1、欧拉公式
cos i sin ei
上式两端同时乘以 r(r 0) ，得：
r(cos i sin ) rei
这说明复数的三角形式可以用指数形
式 re i 来表示
2、定义
若复数 Z r(cos i sin ) ，则将 re i 称为复数 Z 的指数形式。其中 r 为复数 Z
1、乘法：模数相乘、幅角相加，即r1ei1
r2ei2
r1
r ei(12 ) 2
2、乘方：模数乘方，幅角 n 倍，即(rei )n r nein
3、除法：模数相除，幅角相减，即 r1e i1
r2ei2
r1 r2
e i(1 2 )
例计算下列各式
(1)
7.8ei
i 5
10e 3
(3)
i
(3e 4
的模，为复数 Z 的幅角。

第一章复变函数

9
3）积：代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 − y1 y2
三角运算
z1 z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = ρ 2 ρ1[(cosθ1 cosθ 2 − i sin θ1 sin θ 2 ) + i (cosθ1 sin θ 2 + cosθ 2 sin θ1 )]
Z 0
y
z0
z0
Z 0
E
x
一点而言。内点的定义，内点的定义，不只是对于 Z0 一点而言。外点
Z0
Z0
及其邻域均不属于点集E 及其邻域均不属于点集E，则称为点集E的外点。为点集E的外点。
19
（4）境界点与境界线：境界点与境界线：境界点
Z点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也点的每个邻域内，既有属于点集E的点， 0 称为该点集E的境界点的境界点。有不属于E的点。有不属于E的点。点 Z 0称为该点集的境界点。
A′
x
5、复平面与复数球之关系
A
s
17
§1、2 、
复变函数
一、复变函数的定义与定义域：复变函数的定义与定义域：
1、复变函数定义：、复变函数定义：复数平面上存在一个点集上E 对于E的每一点（每一个Z 复数平面上存在一个点集上E，对于E的每一点（每一个Z ），按照一定的规律按照一定的规律，与之相对应，值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 ω 与之相对应， ω ω 的函数--复变函数,z --复变函数,z称为的宗量。定义域为E 则称为Z的函数--复变函数,z称为的宗量。定义域为E，记 ω = f (z) 作, ω 1 ω 2 y 定义域及相关的概念： 2、定义域及相关的概念：（1）定义域：）定义域：函数宗量定义的区域。函数宗量定义的区域。

复变函数与积分变换第1章复数与复变函数

点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.
假设
，则由式（1.5）可得
于是
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复变函数与积分变换
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由此可知：
①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于
它们各自辐角的和；
②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐
显然z和是关于实轴
图1.6
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复变函数与积分变换
例1.6设解因为
所以
，试求Re z，lm z和
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复变函数与积分变换
例1.7求证:若|a|=1，则
证由
得
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例1.8设复数
满足条件
求证
是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.
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定义1.4设为一点集，
如果对
，点集
是无穷点
集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E′；若
,但
则称z0为E的孤立点；若
，使得
，则称z0为E的外点.
定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域
内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.
求其第三个顶
点.
解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转
得另一个向量，其终点就是所
求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得
图1.3
图1.4
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复变函数与积分变换
所以类似可得
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1.1复数的表示及其运算

cos

2kπ n

i sin
2kπ n

(k 0, 1, 2, )
当 k 0,1,2, ,n 1时,得到 n 个相异的根 :
w0

r
1 n

cos
n

i
sin
n
,
w1

r
1 n

cos
2π n

i
sin
2π n
,
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
n(cosn i sin n ) r(cos i sin )
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
显然 n 2kπ, (k 0, 1, 2, )
故
1
rn,
2kπ ,
n
w

n
z

r
1 n
z1 z2 z1 z2 z1 z2
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos

y

复数的三角形式汇总.

4
课堂小结
想一想？
作业布置
一点通：174页、175页
2
arg (-a)=π
3 arg (-ai)= 2
每一个不等于零的复数有唯一的模和辐角主值，并且可由模与辐角主值唯一确定。
（三）复数的三角形式
根据三角函数的定义，终边上任意一点Z（a,b )， Y Z(a,b) z到原点的距离为r ，则
b sin b r sin r a r cos O cos a r
代数形式 z=a+bi =rcosθ +irsinθ
r
b
θ
a
X
=r(cosθ +isinθ)
三角形式
复数的三角形式条件：
Z= r （ Cosθ + i Sin θ）
①r≥0。 ②加号连接。
③Cos在前，Sin在后。
④θ前后一致，可任意值。
“模非负，角相同，余正弦，加号连”
例题分析
例1：把下列复数代数式化成三角式：
(1) 3 (4)2i
(2)1 i
(3) 3 3i
(5) 2 2i (6) 1 3i
小结：代数式化三角式的步骤
（1）先求复数的模（2）决定辐角所在的象限（3）根据正切值，象限求出辐角（4）求出复数三角式。
小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。
·
b
r
θ
O
a
X
注：1)、非零复数的辐角有无限多个值，它们相差2kπ（k∈Z) 2)、若z=0，则r=0, 辐角任意。
(二)复数的辐角主值

复数的三角形式与指数形式

其次，幅角θ应该占据
y a 中指数x的位置, x
对于虚数单位i，如果放到系数y的位置会怎样？
由于
(i ra x )2 r 2a2x
等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。
因此幅角θ也应该占据指数的位置。
这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
4.2、复数的指数形式
3、复数的乘方。利用复数的乘法不难得到
zn r n (cos n i sin n )
这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。
4.1、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
3、复数的乘方。
zn r n (cos n • i sin n )
这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角nθ，就得到zn。
•
这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：
对数函数与指数函数
axa y axy
loga ( xy) loga x loga y
前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。
从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
z rai
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合
4.2、复数的指数形式
z1z2 (r1ai1 )(r2ai2 ) (r1r2 )a i(12 ) z1 z2 (r1ai1 ) (r2ai2 )• (r1 r2 )ai(12 )
zn (rai )n r nai(n )
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征

复数域

x j ≥0
x j ≥0
∑ xj + i∑ yj ≥
x j ≥0
x j ≥0
∑ xj ≥
1 1 > . 4 6
• 1.3.复数的单位根
2kπ 2kπ + i sin (k = 0,1,⋯ , n − 1)称为的n 1 n n 次单位根.由棣莫弗定理, 全部n次单位根可表示为 , ε 1 , ε 12 ,⋯ , ε 1n −1.并有如下性质 : 1 方程x n − 1 = 0( n ≥ 2)的n个根ε k = cos
复数域
1.复数知识
• 1.1.复数的表示形式与运算
代数形式z = x + iy, x, y ∈ R, i 2 = −1, x称为z的实部, 记x = Re( z ); y为虚部, 记y = Im( z ).
三角形式z = r (cos θ + i sin θ )(r ≥ 0, θ ∈ R ), r称为z的模, θ为辐角, 记辐角主值θ = arg z.
1 + ε 1 + ε 12 + ⋯ + ε 1n −1 = 0(n ≥ 2)
任意两单位根之积仍为一个n次单位根, 且ε i ⋅ ε j = ε i + j (当i + j ≥ n时, ε i + j = ε k , 其中k为i + j除以n的余数).
设m为整数, n ≠ 1, 则 + ε + ε + ⋯ + ε 1
3 2
(2 x + 2) + (2 x + 2) + (5 − 4 x) 2 5 − 4 x = (2 + 2 x) 2 (5 − 4 x) ≤ [ ] = 3 3.当且仅 3 1 3 1 当z = ± i时, 取最大值3 3 当2 x + 2 = 5 − 4 x,即x = 时, 等号成立.此时 . 2 2 2 当z = −1时, 取最小值0

相量法复数的计算

Z =|Z|(cos jsin) =|Z|ej
4．极坐标式(相量式)
复数的指数式还可以改写成极坐标式，即
Z =|Z|/
以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其他三种式子。
【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：
(1)Z1 = 2；(2) Z2 = j5；(3) Z 3 = j9； (4) Z4 = 10；(5) Z 5 = 3 j4；(6) Z6 = 8 j6 (7) Z7 = 6 j8；(8) Z8 = 8 j6。
图 9-1 在复平面上表示复数
2．三角函数式
在图 9-1 中，复数 Z 与 x 轴的夹角为，因此可以写成
Z = a + jb = |Z|(cos jsin)
式中 |Z| 叫做复数 Z 的模，又称为 Z 的绝对值，也可用 r 表示，
即
r |Z| a2 b2
叫作复数 Z 的辐角，从图 9-1 中可以看出
正弦电流 i = Imsin( t i)的相量表达式为
I
Im 2
e ji
I/i
正弦电压 u = Umsin( t u)的相量表达式为
U Um eju 2
= U/u
【例9-4】把正弦量 u = 311sin(314t 30) V，i = 4.24sin(314t 45) A 用相量表示。
解：利用关系式 Z = a + jb =|Z|/ ，| Z | a2 b2 ， = arctan b ，计算如下：
a (1) Z1= 2 = 2/0 (2) Z2 = j5 = 5/90 (j 代表90旋转因子，即将“5”逆时针旋90 (3) Z3 = j9 = 9/90 ( j代表 90 旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90 )

1讲复数、复变函数及其导数解析

z1 x1 iy1 令 z2 x2 iy2
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
得证。
共同证明 2、
i1 z e 1 1 令 i 2 z e 2 2
例2.几何意义 1、解释|z-i|≤2代表的几何意义。解：令z =x +iy，
则|z-i|≤2
y
x ( y 1) 2
2 2
2
1
o
代表以（0，1）为圆心，以 2为半径的圆及其内部。
x
例2.2：解释|z-i|=|z-2|代表的几何意义。解：令z =x +i y，
则|z-i|=|z-2|
5、根式：
n
z e (cos
n n n
i

i sin ) n n

四、复运算结果的解释 1、和满足平行四边形法则，差满足三角形法则
z3 z2 z2 z3 z1
z1
四边形法则
三角形法则
2、根式结果的多值性令 z e
i arg z
n
zne
i
2 k arg z n

物理学进展及其重要性数学与物理的关系如何学好《数学物理方法》
主要内容

参考书目
一、物理学进展及其重要性
1、发展史（包括：经典与量子） (1)经典物理学经典力学(Newton) 经典热力学(Carnot, Clausius) 经典电磁学(Coulomb, Maxwell) 等等其中一些主观臆断性的结论是非科学的，如： Newton认为光仅是一些传播的粒子。