二项分布经典例题复习总结练练习习题.doc
高中数学二项分布及其应用知识点+练习
二项分布及其应用要求层次重难点条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．事件的独立性A n 次独立重复试验与二项分布B（一） 知识内容条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．（二）典例分析：【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ）A ．35B ．23C ．59D ．13知识框架例题精讲高考要求条件概率事件的独立性独立重复实验二项分布二项分布及其应用板块一：条件概率【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110，设A=“刮风”，B=“下雨”，求()()P B A P A B，．【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则()_____P B A=．【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为．【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|)P A B与(|)P B A．【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率?【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．【例10】 袋中装有21n -个白球，2n 个黑球，一次取出n 个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少?【例11】 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率； ⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率； ⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率．【例12】 有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品．现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：⑴先取出的零件是一等品的概率；⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率．（保留三位有效数字）【例13】 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份是女生表的概率p ．⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q ．（一） 知识内容事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．（二）典例分析：板块二：事件的独立性cba【例14】 判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．⑵一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”．⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．【例15】 从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有一个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率【例16】 猎人在距离100m 处射击一只野兔，其命中率为12．如果第一次射击未命中，则猎人进行第二次射击，但距离为150m ；如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离野兔为200m ．已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率．【例17】 如图，开关电路中，某段时间内，开关a b c 、、开或关的概率均为12，且是相互独立的，求这段时间内灯亮的概率．【例18】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．【例19】椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例20】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、2 5、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例22】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例23】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例25】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例27】一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立工作，且红绿灯信号显示时间相等．以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率．【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？⑶2人至少有1人射中的概率？⑷2人至多有1人射中的概率？【例29】（07福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：⑴甲试跳三次，第三次才成功的概率；⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；⑶甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．【例30】A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为12，X为比赛需要的场数，求X的分布列及比赛至少要进行6场的概率．【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率．【例32】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P 0.90.80.70.6费用（万元）90 60 30 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例33】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）板块三：独立重复试验与二项分布（一）知识内容1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =．2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．由于表中的第二行恰好是二项展开式0()C C C C n n n n n n q p p q p q p q p q +=++++各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．（二）典例分析：【例1】 某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）【例2】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）【例3】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）【例4】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）A ．827B ．6481C ．49D ．89【例5】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536 B ．0.1808 C ．0.5632 D ．0.9728【例6】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元． ⑴ 求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵ 求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例7】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．【例8】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．【例9】一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？【例10】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3Bξ，，则(2)Pξ=等于____【例11】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6)3Bξ，，则(2)Pξ=等于（）A．316B．4243C．13243D．80243【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．【例13】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率为p．⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值．【例14】设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于6581，求事件A在一次试验中发生的概率．【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）．【例16】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例19】设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1tp eλ-=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例21】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j．【例23】某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，求至少有两位乘客在20层下的概率．【例25】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()k k n≤次红球的概率．【例26】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01．试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．【例27】A B，是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）【例28】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）【变式】若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1n n∈N，≥）【例29】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．【例30】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．【例31】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利． 问：对系队来说，哪一种方案最有利？（一） 知识内容二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．（二）典例分析：【例32】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是______．【例33】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25C ．30D ．40【例34】 已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ）A ．10和0.8B ．20和0.4C ．10和0.2D ．100和0.8【例35】 某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）A ．(1)np p -B ．npC ．nD ．(1)p p -【例36】 已知随机变量X 服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X =_______，方差()D X =_____．【例37】 已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p的值分别为__________、_________．【例38】 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）板块四：二项分布的期望与方差【例39】已知(100.8)X B，，求()E X与()D X．【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20B．25C．30D．40【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121 352，，．⑴现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差．【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求()E X．【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有%60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．【例47】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．【例48】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410-．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）【例51】 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及E ξ．【例52】 某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．⑴试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率； ⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m 的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，请问：商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利?【例53】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．⑴ 求小球落入A 袋中的概率()P A ；⑵ 在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望．。
高中数学二项分布例题
高中数学二项分布例题二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。
设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
例题一：简单二项分布的应用在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。
若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。
解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p 为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。
根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。
恰好8件合格的概率约为19.37%。
例题二：计算不超过某个成功次数的概率在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。
若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。
解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2)计算P(X ≤ 2)：P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈ 0.0024。
P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈ 0.028.P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027 ≈ 0.1323。
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 + 0.028 + 0.1323 ≈ 0.1627。
统计学二项分布习题,DOC
(一)单项选择题1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（）A ．样本患病率p =X /n 服从B （n ,π）[评析]本题考点：二项分布的正态近似特性。
从对二项分布特性的描述中可知：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π,)1(ππ-n ）。
π不接近0也不接近1，等同于π接近0.5，因而此题目答案为D 。
3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（）A．正态分布B.对称分布C．Poisson分布D.二项分布答案：C[评析]本题考点：Poisson分布的特性。
Poisson分布P（μ）的参数只有一个，即μ。
它的均数和方差均C从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中随机取出10个球，以X代表所取出球中的红色球数，则X服从二项分布B（10，0.5）。
（）答案：正确。
[评析]本题考点：二项分布的定义。
2二项分布成立的条件是：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。
此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否”，因而该试验结果仍为两种互斥的情况—“红色”和“非红色”。
所以，此题目3.Bernoulli试验（二）单项选择题：1.X1、X2分别服从二项分布B（n1，p1）、B（n2，p2），且X1、X相互独立，若要X=X1＋X2也服从二项分布，则需满足下列条件（）。
2A．X1=X2B.n1=n2C．p1=p2D.n1p1=n2p22.二项分布B（n，p）的概率分布图在下列哪种条件下为对称分布（）。
A．n=50B.p=0.5C．np=1D.p=1C．95～105D．74.2～125.8（三）简答题1．服从二项分布及Poisson分布的条件分别是什么？2．二项分布、Poisson分布分别在何种条件下近似正态分布？3．在何种情况下，可以用率的标准误S p描述率的抽样误差？4（四）计算题1.已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性率为10%，现随机抽查某地区10位成人的血清，其中3人为阳性。
二项分布题目
二项分布题目一、一个篮球运动员投篮的命中率为0.6，他独立进行5次投篮，恰有3次投中的概率是多少？（答案：C）A. 0.12B. 0.23C. 0.26D. 0.35二、某药品对某种疾病的治愈率为0.8，现有10位患者独立使用该药品，恰有8位被治愈的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.17C. 0.40D. 0.60三、一枚硬币投掷的正面概率为0.5，独立投掷8次，出现4次正面的概率是多少？（答案：A）A. 0.27B. 0.35C. 0.50D. 0.65四、某种电子产品的合格率为0.95，现随机抽取20个进行检验，恰有1个不合格的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.19五、一个骰子投掷的点数大于3的概率为0.5，独立投掷6次，出现3次点数大于3的概率是多少？（答案：C）A. 0.10B. 0.15C. 0.25D. 0.35六、某品牌手机的故障率为0.05，现随机售出100部手机，恰有2部出现故障的概率是多少？（答案：B）A. 0.01B. 0.18C. 0.50D. 0.82七、一个学生做题的正确率为0.7，他独立做10道题，恰有7道做对的概率是多少？（答案：A）A. 0.20B. 0.25C. 0.30D. 0.35八、某种疫苗的接种成功率为0.9，现有50人独立接种该疫苗，恰有45人接种成功的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.18九、一个网站的用户点击广告的概率为0.2，独立有1000次用户访问，恰有200次点击广告的概率是多少？（答案：C）A. 0.01B. 0.05C. 几乎为零（实际值极小）D. 0.20十、某种植物的种子发芽率为0.8，现随机播种10粒种子，恰有8粒发芽的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.20C. 0.40D. 0.60。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第2章 2.4 二项分布 Word版含答案
二项分布．理解次独立重复试验的模型及二项分布．(重点)．能利用二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材～“例”以上部分，完成下列问题．．次独立重复试验()定义：一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中()＝>.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．()概率计算：在次独立重复试验中，如果每次试验事件发生的概率均为(<<)，那么在这次试验中，事件恰好发生次的概率．()＝－，＝，…，.．二项分布若随机变量的分布列为(＝)＝－，其中＜＜，＋＝，＝，…，，则称服从参数为，的二项分布，记作～(，)．．独立重复试验满足的条件是．(填序号)①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是相同；④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】由次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】①②③．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为．【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为＝＝.【答案】．已知随机变量服从二项分布，～，则(＝)等于.【导学号：】【解析】(＝)＝＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是；②他第三次击中目标的概率是；③他恰好次击中目标的概率是××；④他恰好次未击中目标的概率是××.其中正确结论的序号是(把正确结论的序号都填上)．()某气象站天气预报的准确率为，计算(结果保留到小数点后面第位)：。
二项分布计算练习题求二项分布的概率
二项分布计算练习题求二项分布的概率二项分布计算练习题：求二项分布的概率在概率论中，二项分布是最重要且常用的离散概率分布之一。
它描述了在一系列独立的重复试验中成功次数的概率分布。
本文将通过几个计算练习题来帮助读者更好地理解和应用二项分布的概率计算方法。
问题一：某电子产品制造公司在生产特定型号的智能手机时，将每个手机的组装零件检测为合格（符合标准）或不合格（不符合标准）。
已知该公司的生产线在正常运行时，每个组装零件的合格率为0.85。
现在随机抽取了10个组装零件进行检测，请计算恰有7个合格零件的概率。
解答一：根据二项分布的概率公式，可以得到恰有7个合格零件的概率计算公式为：P(X=7) = C(10, 7) * p^7 * (1-p)^(10-7)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，p为每个组装零件的合格率。
代入数据进行计算，得到：P(X=7) = C(10, 7) * 0.85^7 * 0.15^3通过计算，可得P(X=7) ≈ 0.2668，即恰有7个合格零件的概率约为0.2668。
问题二：一批电子元件中有20%的不良品。
现在从中抽取了30个元件进行检验，请计算至少有5个不良品的概率。
解答二：本题可以通过计算至少有5个不良品的概率来求解。
计算过程如下：P(X≥5) = P(X=5) + P(X=6) + ... + P(X=30)依次计算每个概率值然后相加。
再利用二项分布的概率公式进行计算，得到：P(X≥5) = P(X=5) + P(X=6) + ... + P(X=30) = Σ[C(30, k) * 0.2^k *0.8^(30-k)] (k=5到30)通过计算，可得P(X≥5) ≈ 0.9988，即至少有5个不良品的概率约为0.9988。
问题三：某服装店销售一种T恤，每件T恤被退换的概率为0.1。
现在该店卖出了100件T恤，请计算有30件及以上被退换的概率。
解答三：类似于问题二的解答过程，我们可以利用概率公式计算有30件及以上被退换的概率。
高三复习资料数学二项分布
高三数学第一轮复习每课一练二项分布A 卷班级 ____姓名 _______座号 ___12 分，平一局、某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得 得 1 分，输一局得 0 分， 根据以往经验，每局甲赢的概率为1，乙赢的概率为1，且每局比赛输赢互不影响.若甲第 n 局的得分记为 a n ，令 S n a 1 a 223... a n（ I ）求 S 35 的概率；（Ⅱ） 若规定：当其中一方的积分达到或超过4 分时，比赛结束，否则，继续进行。
设随机变量表示此次比赛共进行的局数，求的分布列及数学期望。
2、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6 的 6 个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。
若拿出球的标号是 3 的倍数，则得 1 分，否则得 1 分。
（ 1）求拿4 次至少得2 分的概率；（2）求拿4 次所得分数的分布列和数学期望。
3、在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球取球 .求： (1)最多取两次就结束的概率；10 个，其中红球 .重复以上操作，最多取(2)整个过程中恰好取到5 个，白球 3 个，蓝球 2 个 .现从中任取3 次，过程中如果取出蓝色球则不再 2 个白球的概率；(3)取球次数的分布列和数学期望.高三数学第一轮复习每课一练二项分布 B 卷班级 ____姓名 _______座号 ___1、一个口袋中装有 n 个红球（ n5 且 n N ）和 5 个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖． （Ⅰ）试用 n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若 n5 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时， P 最大？2、袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是1，从 B 中摸出一个红球的3概率为 p ． （ 1）从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止． ① 求恰好摸 5 次停 止的概率； ② 记 5 次之内 (含 5 次 )摸到红球的次数为 ξ，求随机变量 ξ的分布率及数学期望 E （.2）若 A 、 B 两个袋子中的球数之比为1∶ 2，将 A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2，求 p 的值．53、A 有一只放有x 个红球， y 个白球， z 个黄球的箱子 （ x,y,z ≥0，且 xy z6 ），B 有一只放有3 个红球，2 个白球， 1 个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为B 胜（ 1）写出 A 胜的所有基本事件 （2）用 x, y ， z 表示 B 胜的概率；（ 3）当A 胜，异色时为A 如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？高三数学第一轮复习每课一练二项分布A 卷班级 ____姓名 _______座号 ___12 分，平一局、某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得 得 1 分，输一局得 0 分， 根据以往经验，每局甲赢的概率为1，乙赢的概率为1，且每局比赛输赢互不影响.若甲第 n 局的得分记为 a n ，令 S n23a 1 a 2 ... a n（ I ）求 S 3 5 的概率；（Ⅱ） 若规定：当其中一方的积分达到或超过4 分时，比赛结束，否则，继续进行。
高三总复习数学检测题 二项分布及其应用、正态分布
二项分布及其应用、正态分布一、点全面广强基训练1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，7)，若P (ξ<2)＝P (ξ>4)，则μ与D (ξ)的值分别为( )A ．μ＝3，D (ξ)＝7B ．μ＝3，D (ξ)＝7C ．μ＝3，D (ξ)＝7 D ．μ＝3，D (ξ)＝7解析：选C ∵随机变量ξ服从正态分布N (μ，7)，∴正态曲线关于x ＝μ对称．∵P (ξ<2)＝P (ξ>4)，∴μ＝2＋42＝3，D (ξ)＝σ2＝7. 2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( ) A.3281 B.1127 C.6581 D.1681解析：选B P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1－C 04×⎝⎛⎭⎫234－C 14×13×⎝⎛⎭⎫233＝1127. 3．(多选)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N (100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( )附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 3.A ．该市学生数学成绩的期望为100B ．该市学生数学成绩的标准差为100C ．该市学生数学成绩及格率超过0.8D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等解析：选AC 数学成绩X 服从正态分布N (100,100)，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A 正确，B 错误；及格率p 1＝1－1－P (100－10<X <100＋10)2＝0.841 35，故C 正确；不及格率p 2＝0.158 65，优秀率p 3＝1－P (100－20<X <100＋20)2＝0.022 75，故D 错误．故选A 、C.4．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值可能是( )A.14B.712C.512D.34解析：选AC 由题可知P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＞1.75，解得p ＞52或p <12，由p ∈(0,1)，得p ∈0，12.故选A 、C. 5.如图，在网格状小地图中，一机器人从A (0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是23，向右的概率是13，则6秒后到达B (4,2)点的概率为( ) A.16729 B.80243 C.4729 D.20243解析：选D 根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次，若其从A (0,0)点出发，6秒后到达B (4,2)，则需要向右走4步，向上走2步，故其6秒后到达B 的概率为C 26·⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫134＝60729＝20243. 6．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝________.解析：因为μ＝0，所以P (X >2)＝P (X <－2)＝0.023，所以P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9547．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝3，D (X )＝2，则p ＝________，P (X ＝1)＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝3，np (1－p )＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝13，n ＝9，即随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫9，13.P (X ＝1)＝C 19×13×⎝⎛⎭⎫238＝2562 187. 答案：13 2562 1878．一试验田某种作物一株生长的果实个数服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为________．解析：因为x ～N (90，σ2)，且P (x ＜70)＝0.2，所以P (x ＞110)＝0.2，所以P (90≤x ≤110)＝0.5－0.2＝0.3，所以X ～B (10,0.3)，X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.答案：2.19．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列．解：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可以看成是3重伯努利试验，即X ～B (3,0.3)，X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k ·(1－0.3)3－k .故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为10的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个球都是红球”出现3次获得200分，若“摸出的两个球都是红球”出现1次或2次获得20分，若“摸出的两个球都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．(1)设每轮游戏中出现“摸出的两个球都是红球”的次数为X ，求X 的分布列；(2)许多玩过这款游戏的人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加，反而减少了，请运用概率统计的相关知识解释上述现象．解：(1)每次游戏中，出现“摸出的两个球都是红球”的概率为P ＝C 22C 25＝110.X 的所有可能取值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫110·⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫1102·⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1103＝11 000，所以X 的分布列为(2)设每轮游戏得分为Y .由(1)知，Y 的分布列为 E (Y )＝－10×7291 000＋20×27100＋200×11 000＝－1.69，这表明每轮游戏的得分Y 的数学期望为负．因此，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加，反而减少了．二、重点难点培优训练1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等解析：选D 正态分布的曲线形状由参数σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，即在(9.9,10.1)的概率越大，落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率，A 正确，D 不正确．曲线在x ＝10时处于最高点，并由此向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，所以在一次测量中大于10的概率为0.5，小于9.99与大于10.01的概率相等，B 、C 正确．故选D.2．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5(例如10100)，其中A 的各位数中a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，则当程序运行一次时( )A ．X 服从二项分布B ．P (X ＝1)＝881C ．X 的均值E (X )＝83D ．X 的方差D (X )＝83解析：选ABC 由二进制数A 的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有5类：①后4个数都出现0，X ＝0，记其概率为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫134＝181；②后4个数只出现1个1，X ＝1，记其概率为P (X ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫23⎝⎛⎭⎫133＝881；③后4个数出现2个1，X ＝2，记其概率为P (X ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132＝2481；④后4个数出现3个1，记其概率为P (X ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13＝3281；⑤后4个数都出现1，X ＝4，记其概率为P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，故X ～B ⎝⎛⎭⎫4，23，故A 正确；又P (X ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫23·⎝⎛⎭⎫133＝881，故B 正确；∵X ～B ⎝⎛⎭⎫4，23，∴E (X )＝4×23＝83，故C 正确；∵X ～B 4，23，∴X 的方差D (X )＝4×23×13＝89，故D 错误．故选A 、B 、C. 3．为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23.A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．(1)分别求A ，B 两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设A 答对的题数为X ，B 答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．解：(1)由题意，得A 恰好答对2个问题的概率为P 1＝C 24C 12C 36＝35，B 恰好答对2个问题的概率为P 2＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝49.(2)X 的可能取值为1,2,3，则P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.易知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，所以E (Y )＝3×23＝2，D (Y )＝3×23×13＝23.因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，所以A 与B 答题的平均水平相当，但A 比B 更稳定．所以选择学生A .。
二项分布 练习
二项分布练习1、已知一个射手每次击中目标的概率为p=3/5，求他在次射击中下列事件发生的概率：（1）命中一次；（2）恰在第三次命中目标；（3）命中两次；（4）刚好在第二、第三两次击中目标。
2、在图书室中只存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8，设每人只借一本，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率。
3、甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为0.7 ,每人各投篮3次，每人恰好都投中2次的概率是多少？4、实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．⑵按比赛规则甲获胜的概率．5、某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。
假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡的寿命为1年以上的概率为p，寿命为2年以上的概率为p2。
从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作，1只更换已坏的灯泡，平时不换。
（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（3）当p1=0.8 p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率。
（结果保留两个有效数字）6、假定人在一年365天中的任一天出生的概率是一样的，某班级有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？（保留四位小数）7、某人参加一次考试，若5道题中解对4道则为及格，已知他解一道题的正确率为0.6,是求他能及格的概率。
8、甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1/2 ，乙每次击中目标的概率为2/3,求:①甲恰好击中目标2次的概率;②乙至少击中目标2次的概率;③乙恰好比甲多击中目标2次的概率;④甲、乙两人共击中5次的概率。
8、甲、乙两个篮球远动员投篮命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：（1）二人进球数相同的概率；（2）甲比乙进球多的概率。
(完整版)二项分布专题练习
二项分布专题练习1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P (X ＝2)＝( )． A ．316B ．4243C ．13243D ．802432．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )．A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ． 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )．A ．0.6k －1×0.4B ．0.24k －1×0.76C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k －1×0.244．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )．A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ． 191010k n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1119C 1010kn kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ．13B ．25C ．56D ．346．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的， 每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率； (2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．2132参考答案1. 答案：D解析：P (X ＝2)＝24201180C 133243⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 答案：C解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.3. 答案：B解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k－1×0.76. 4. 答案：C解析：10个球中有一个红球，每次取出一球是红球的概率为110，不是红球的概率为910，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，说明前n －1次中已取得红球k －1次，其余均不为红球．则概率为11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭×110＝1119C 1010k n kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 答案：A解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 由题意得1－04C p 0(1－p )4＝6581. 所以1－p ＝23，p ＝13.6. 答案：96625解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B 44,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：22244196C 55625⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：0.947 7解析：治愈的病人数X ～B (4,0.9)，则4个病人中至少被治愈3人的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝34C 0.93×0.1＋44C 0.94＝0.947 7.8. 解：由题意，设“一个人生日是元旦”为事件A ，要研究50人的生日，则相当于进行50次试验，显然各人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，P (A )＝1365，设50人中生于元旦的人数为ξ， 则P (ξ＝0)＝0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， “两人以上生于元旦”的概率为：P (ξ≥2)＝1－P (ξ＜2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≈0. 008 4. 9. 解：(1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p 1＝36C ·0.43·0.63≈0.28.(2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p 2＝1－(1－0.04)6≈0.22.。
高中数学第二章概率2.4二项分布精练含解析北师大版选修2_3041624.doc
§4 二项分布A组1.任意抛掷三枚质地均匀的硬币,恰有2枚正面朝上的概率为()A. B. C. D.解析:每枚硬币正面朝上的概率为,所以所求概率为.故选B.答案:B2.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002,流星数量为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为()A.3.32×10-5B.3.32×10-9C.6.64×10-5D.6.64×10-9解析:相当于1个流星独立重复10次,其中落在地面有4次的概率,故所求的概率为(0.002)4(1-0.002)6≈3.32×10-9.故应选B.答案:B3.(2016·济南模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A. B.C. D.解析:因为质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为,故选B. 答案:B4.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次射击时,首次击中目标的概率是0.12×0.9;②他第3次射击时,首次击中目标的概率是×0.9×0.12;③他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;④他恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1.其中正确的是()A.①③B.②④C.①④D.②③解析:在他第3次射击时,才击中,说明前两次都没有击中,故其概率为0.12×0.9,故①正确;击中目标的次数服从二项分布,所以恰好击中目标3次的概率为×0.93×0.1,故④正确,故选C.答案:C5.如果X~B,Y~B,那么当X,Y变化时,下列关于P(X=k)=P(Y=j)(k,j=0,1,2, (20)成立的(k,j)的个数为()A.10B.20C.21D.0解析:根据二项分布的特点可知,(k,j)(k,j=0,1,2,…,20)分别为(0,20),(1,19),(2,18),…,(20,0),共21个,故选C.答案:C6.(2016·湖南师大附中高二期中)某班有4位同学住在同一个小区,上学路上要经过1个路口.假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的,且遇到红灯的概率都是,则最多1名同学遇到红灯的概率是.解析:P=.答案:7.某同学进行了2次投篮(假定这两次投篮互不影响),每次投中的概率都为p(p≠0),如果最多投中1次的概率不小于至少投中1次的概率,那么p的取值范围为.解析:(1-p)2+p(1-p)≥p(1-p)+p2,解得0<p≤.答案:0<p≤8.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.解(1)该公司决定对该项目投资的概率为P=.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.∵A,B,C,D互斥,∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.9.导学号43944037现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列.解依题意知,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件A k(k=0,1,2,3,4).则P(A k)=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3+A4.由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.所以ξ的分布列是B组1.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A.[0.4,1]B.(0,0.4]C.(0,0.6]D.[0.6,1)解析:∵P(1)≤P(2),∴·p(1-p)3≤p2(1-p)2,∴4(1-p)≤6p,∴0.4≤p≤1.答案:A2.口袋里放有大小、形状、质地都相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{a n},a n=如果S n为数列{a n}的前n项和,那么S7=3的概率为()A. B.C. D.解析:由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为,故选B.答案:B3.设随机变量X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是()A. B. C. D.解析:∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵X~B,∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-.答案:C4.某篮球决赛在广东队与山东队之间进行,比赛采用7局4胜制,即若有一队先胜4场,则此队获胜,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计,第一场比赛组织者可获得门票收入40万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元,则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为.解析:依题意,每场比赛获得的门票收入数组成首项为40,公差为10的等差数列,设此数列为{a n},则易知a1=40,a n=10n+30,所以S n=.由S n≥390得n2+7n≥78,所以n≥6.所以若要获得的门票收入不少于390万元,则至少要比赛6场.①若比赛共进行了6场,则前5场比赛的比分必为2∶3,且第6场比赛为领先一场的球队获胜,其概率P(6)=;②若比赛共进行了7场,则前6场胜负为3∶3,其概率P(7)=.所以门票收入不少于390万元的概率P=P(6)+P(7)=.答案:5.设在一次试验中事件A发生的概率为p,在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为P k,则P0+P1+…+P n=.解析:P0+P1+…+P n=(1-p)n p0+(1-p)n-1·p1+…+(1-p)0p n=(1-p+p)n=1.答案:16.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X的分布列.解(1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A,B,C,则P(A)=, P(B)=,P(C)=.(2)X的可能的取值为0,1,2,3,则P(X=0)=P(A)+P(B)=,P(X=1)=P(C)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为7.导学号43944038(2016·内蒙古师范大学附属中学高二练习)某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响.(1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;(2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2次未击中目标的概率;(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记ξ为射手射击3次后的总的分数,求ξ的分布列.解(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~B.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率P(X=2)=.(2)设“第i次射击击中目标”为事件A i(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则P(A)=P(A1A2A3)+P(A2A3A4)+P(A3A4A5)=.(3)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P(ξ=0)=P()=;P(ξ=1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=;P(ξ=2)=P(A1A3)=;P(ξ=3)=P(A1A2)+P(A2A3)=;P(ξ=6)=P(A1A2A3)=.所以ξ的分布列是精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中三年级上学期数学《二项分布的概念》练习题
《二项分布的概念》练习题习题1.某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击击中的目标概率都为43，且各次击中目标与否相互独立。
用X 表示这4次射击中击中目标的次数，求X 的分布列。
习题2：某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9。
设Y 为3台报警器报警的台数，求发生险情时Y 的分布列。
习题3：下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？ （1）掷 5 枚相同的骰子，X 为出现“1”点的骰子数； （2）n 个新生儿，X 为男婴的个数；（3）某产品的合格品率为 p ，X 为 n 个产品中的次品数；（4）袋中有除了颜色不同其他都相同的白球2个，红球3个，有放回的连续取4次，每次取一个，X 为4次中取到红球的总数.习题4：若电梯在每一层停或不停的概率是相等的，则从底层到第十层电梯之间停了（底层不停）不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？习题5：抛掷两枚质地均匀的骰子，取其中一枚的点数作为点P 的横坐标，另一枚的点数为P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P 在圆1622=+y x 内的次数X 的分布列.参考答案1. 解析：X1234)(k X P =4004)41()43(C 3114)41()43(C 2224)41()43(C 1334)41()43(C 0444)41()43(C2. 解析：n 次独立重复试验；每次试验的概率不变；每次试验只有两个对立结果。
通项.3,2,1,0,)9.01(9.0)(33=-==-k C k Y P k k k3. 解析：（1）X ～B(5，1/6)（2）X ～B(n ，1/2)（3）X ～B(n ，1- p)（4）X ～B(4，3/5)4. 解析：设停电梯的次数为 X ，X=0，1，2，3， (9)根据三点特征，X 服从二项分布，X ~ B （9，1/2）99954496339)21()21()21()21()21()3(⨯++⨯⨯+⨯⨯=≥∴C C C X P，）（次时设电梯停9999)21()21(21)(k kk k C C k X P k ===-.21,54999最大）（最大，即时或当k k C C k =∴5. 解析：设每次试验中点P 落在圆内的概率为p ，X ~ B （3，p ）点P 的坐标一共有36种情况，落在圆内的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1）（3，2）共8个．92368==∴p)923(~，B X ∴ .3,2,1,0,)97()92()(33===-k C k X P k k k。
(完整版)二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
二项分布与超几何分布辨析二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C PY C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.7162．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.19273．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答) 答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 答案：不合格三、解答题9．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．10.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．参考答案1、解析：P (ξ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝516. 答案：A2、解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13 ，∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝1927，故选D.3、解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B4、解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <15、解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0)＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A.6、解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128. 7、解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：8、解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5~4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 9、解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，i ＝1,2. B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，i ＝1,2. C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10、解析：(1)P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445。
二项分布高考试题.doc
二项分布练习题目：1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为2.加工某种零件需经过三道工序。
设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响。
(1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
（Ⅰ）解：9877109810P =⨯⨯=；（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得：恰好取到一件合格品的概率为 12373()0.1891010C ⋅⋅=， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为12373()0.1891010C ⋅⋅=， 至少取到一件合格品的概率为12223333373737()()()0.973.1010101010C C C ⋅⋅+⋅+=3. 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=⨯⨯C（Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(，所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C4.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间x 的分布列. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为.（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）. 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），∴，13()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ2k ξ=k k =()()441220,1,2,3,433kkk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴即的分布列是5.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅰ）成活的株数的分布列 及期望值。
统计学二项分布习题,DOC
(一)单项选择题1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（）A ．样本患病率p =X /n 服从B （n ,π）[评析]本题考点：二项分布的正态近似特性。
从对二项分布特性的描述中可知：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π,)1(ππ-n ）。
π不接近0也不接近1，等同于π接近0.5，因而此题目答案为D 。
3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（）A．正态分布B.对称分布C．Poisson分布D.二项分布答案：C[评析]本题考点：Poisson分布的特性。
Poisson分布P（μ）的参数只有一个，即μ。
它的均数和方差均C从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中随机取出10个球，以X代表所取出球中的红色球数，则X服从二项分布B（10，0.5）。
（）答案：正确。
[评析]本题考点：二项分布的定义。
2二项分布成立的条件是：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。
此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否”，因而该试验结果仍为两种互斥的情况—“红色”和“非红色”。
所以，此题目3.Bernoulli试验（二）单项选择题：1.X1、X2分别服从二项分布B（n1，p1）、B（n2，p2），且X1、X相互独立，若要X=X1＋X2也服从二项分布，则需满足下列条件（）。
2A．X1=X2B.n1=n2C．p1=p2D.n1p1=n2p22.二项分布B（n，p）的概率分布图在下列哪种条件下为对称分布（）。
A．n=50B.p=0.5C．np=1D.p=1C．95～105D．74.2～125.8（三）简答题1．服从二项分布及Poisson分布的条件分别是什么？2．二项分布、Poisson分布分别在何种条件下近似正态分布？3．在何种情况下，可以用率的标准误S p描述率的抽样误差？4（四）计算题1.已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性率为10%，现随机抽查某地区10位成人的血清，其中3人为阳性。
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二项分布1．n次独立重复试验一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 A ，每次试验中P( A) p0 。
我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（ 2 ）n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P( X k) C n k p k (1p) n k。
2．二项分布若随机变量X的分布列为P( X k ) C n k p k q n k，其中0 p 1.p q 1,k 0,1,2,L ,n, 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作X : B(n, p) 。
1．一盒零件中有9 个正品和 3 个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。
3. 甲乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为1，乙每次击中目标的概率为2.2 3（1）记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目标 2 次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率 .【巩固练习】1.（2012 年高考（浙江理））已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球 , 且规定 : 取出一个白球的 2 分, 取出一个黑球的 1 分 . 现从该箱中任取( 无放回 , 且每球取到的机会均等 )3 个球 , 记随机变量X为取出 3 球所得分数之和 .( Ⅰ) 求X的分布列 ;( Ⅱ) 求X的数学期望E( X).2．（2012 年高考（重庆理））( 本小题满分 13 分 ,( Ⅰ) 小问 5 分,( Ⅱ) 小问 8 分.)甲、乙两人轮流投篮 , 每人每次投一球 ,. 约定甲先投且先投中者获胜, 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 . 设甲每次投篮投中的概率为影响 . 13,乙每次投篮投中的概率为 12,且各次投篮互不( Ⅰ) 求甲获胜的概率 ;( Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4 场则比赛宣告结束，假定A, B 在每场比赛中获胜的概率都是 1 ，2 试求需要比赛场数的期望．3．（2012 年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了100 名观众进行调查 .下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图 ;将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”.( Ⅰ) 根据已知条件完成下面的列联表, 并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关 ?( Ⅱ ) 将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量电视观众中 , 采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众 , 抽取 3 次, 记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的, 求X的分布列 , 期望和方差 .5.（2007 陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 4 、3 、2 ，且各轮问题能否正确回答互不影响 .5 5 5（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望 . （注：本小题结果可用分数表示6.一批产品共 10 件，其中 7 件正品， 3 件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布 .(1) 每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007?山东）设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率；（I I ）求ξ的分布列和数学期望；8.（本题满分 12 分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠C A 60活动 . 活动规则如下：消费额每满 100 元可转动如B 图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置 . 若指针停在 A 区域返券 60 元；停在B 区域返券 30 元；停在 C区域不返券 . 例如：消费 218 元，可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之和 .（I）若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；（I I ）若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元），求随机变量的分布列和数学期望 .9.( 本题满分 12 分) 中国?黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于 2012 年 8 月 20 日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北范学院分招募8 名和 12 名志愿者，将 20名志愿者的身高成如下茎叶（位：cm）若身高在 175cm以上（包括 175cm）定“高个子” ，身高在175cm以下（不包括 175cm）定“非高个子”，且只有湖北范学院的“高个子”才能担任“兼游” 。
（1）根据志愿者的身高茎叶指湖北理工学院湖北师范学院出湖北范学院志愿者身高的中位数；9 15 8 9（2）如果用分抽的方法从“高9 16 1 2 5 8 9个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从 6 5 0 17 3 4 65 人中 2 人，那么至少有一人是“高7 2 18 0 11 19个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中 3 名志愿者，用表示所志愿者中能担任“兼游”的人数，写出的分布列，并求的数学期望。
10. 某品按行生准分成8 个等，等系数X 依次1,2 ，⋯⋯， 8，其中 X≥5 准 A，X≥3 准 B，已知甲厂行准 A 生品，品的零售价 6 元/ 件；乙厂行准B生品，品的零售价 4 元/ 件，假定甲、乙两厂得品都符合相的行准（I ）已知甲厂品的等系数X 的概率分布列如下所示：1x1 5 6 7 8P0．4a b0． 1且 X1的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 67用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望 .11.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（ I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（I I ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；（I II ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
巩固练习答案1.【解析】本题主要考察分布列 , 数学期望等知识点 .( Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.C 3 5; C 2C1 20;P (X 3)5P( X 4)5 4C 3 42 C3 429 9P (X 5) C51C42 15; P( X 6) C43 2. C3 42 C 3 429 9故, 所求X的分布列为X 3 4 5 6P 5 20 10 15 5 2 1 42 42 21 42 14 42 21( Ⅱ) 所求X的数学期望E( X) 为:613 .E( X)= i P( X i)i 4 3【答案】( Ⅰ) 见解析 ;( Ⅱ)13 .32.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率 , 考查运用概率知识解决实际问题的能力, 相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响, 注意应用相互独立事件同时发生的概率公式 .解: 设 A k , B k 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中 , 则P A k1, P B k1 ,k 1,2,332(1) 记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 计 算 公 式知, P C P A 1P A 1 B 1 A 2 P A 1 B 1 A 2 B 2 A 3P A 1 P A 1 P B 1 P A 2 P A 1 P B 1 P A 2 P B 2 P A 31 2 1 1 2 22113 3 2 3 3 2311113 3 9 2727(2) 的所有可能为 : 1,2,3由独立性知 : P1P A 1P A 1B 11 2 1 23 3 232 1 1 21 2P2 P A 1 B 1 A 222P A 1 B 1 A 2 B 22 3329321 2P3 P A 1 B 1 A 2 B 2213 2 9综上知 , 有分布列123P22 1399从而 , E 122 23 1 13( 次)39 993. 解：（1）事件“ X 4 ”表示， A 胜 4 场或 B 胜 4 场（即 B 负 4 场或 A 负 4 场），且两两互斥．P( X 4) C 44 (1)4( 1 )0C 40( 1)0( 1)42 ； 222216（2）事件“ X5”表示， A 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场，或 B 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场（即第 5 场 A 负且 4 场中 A 负了 3 场），且这两者又是互斥的，所以131 3 1 43111 1 1 4 1 4P( X 5)2 C 4 ( 2) ( 2) 2 C4 ( 2 ) ( 2) 16（3）类似地，事件“ X 6 ”、 “ X 7 ”的概率分别为P( X 6)1 C 53 ( 1 )3 (1 )5 3 1 C 52 ( 1 )2 (1 )5 25 ，2 2 2 2 2 2 16 P( X 7)1 C 63 ( 1 )3 ( 1) 6 3 1 C 63 ( 1)3 (1 )6 3522222 216比赛场数的分布列为X456724 5 51616 1616P故比赛的期望为 E( X ) 42 45 5 （场） 165675.8125161616这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．4. 【答案及解析】(I) 由频率颁布直方图可知 , 在抽取的 100 人中 , “体育迷”有 25人, 从而 2×2 列联表如下 :由 2×2 列联表中数据代入公式计算 , 得:因为 <, 所以 , 没有理由认为“体育迷”与性别有关 .(II) 由频率颁布直方图知抽到 “体育迷” 的频率为 , 将频率视为概率, 即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 , 由题意 ,,从而 X 的分布列为 :【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列, 期望和方差 , 考查分析解决问题的能力、运算求解能力 , 难度适中 . 准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键 .5.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为A i (i 1，2，3) ，则 P( A1 ) 4， P( A2 )3， P( A3 ) 2 ，5 5 5该选手被淘汰的概率P P( A1 A1 A2 A2 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 )P( A2 ) P(A1) P( A2 )P( A3 )1 42 43 3 101 ．5 5 5 5 5 5 125（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i (i 1，2，3) ，则 P( A1 ) 4， P( A2 )3， P( A3 ) 2 ．5 5 5该选手被淘汰的概率P 1 P( A1 A2 A3 ) 1P( A1 )P( A2 )P( A3 )4 3 215 5 5 （Ⅱ）的可能值为101．12512，，3，P( 1) P( A1) 1 ，5P( 2) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 ) 4 2 8 ，5 5 25P( 3) P( A1A2 ) P( A1 )P( A2 ) 4 3 12 ．5 5 25的分布列为12 3P1 8 1252525E1 1 28 3 12 57 ．52525 256. （1） X 的所有可能 1，2，3，4。