电动力学试题库十及其答案

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简答题(每题5分,共15分)。

1.请写出达朗伯方程及其推迟势的解.

2.当你接受无线电讯号时,感到讯号大小与距离和方向有关,这是为什么?

3.请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关系式。

证明题(共15分)。

当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时,电力线的曲折满足:

1

2

12εεθθ=tan tan ,其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数,1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。(15分) 四. 综合题(共55分)。

1.平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为1l 和2l ,介电常数为1ε和

2ε,今在两板上接上电动势为U 的电池,若介质是漏电的,电导率分别为1σ和2σ,当电流达到稳恒时,求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。(15分)

2.介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E

,求介质中球形空腔内的电场

)。(15分)

3.一对无限大平行的理想导体板,相距为d ,电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播,设波在x 方向是均匀的,求可能传播的波型和相应的截止频率.(15分)

4.一把直尺相对于∑坐标系静止,直尺与x 轴夹角为θ,今有一观察者以速度v 沿x 轴运动,他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化?(10分) 二、简答题

1、达朗伯方程:22

0221A A j c t μ∂∇-=-∂ 22

22

1c t ϕρϕε∂∇-=-∂ 推迟势的解:()()00

,,, , ,44r r j x t x t c c

A x t dV x t dV r r

ρμμϕπ

π

⎫⎛⎫

''-- ⎪

⎝⎭⎝

⎭''=

=

2

、由于电磁辐射的平均能流密度为2

2

232

0sin 32P

S n c R

θπε=

,正比于2sin θ,反比于2R ,因此接收无线电讯号时,会感到讯号大小与大小和方向有关。

3、能量:2W =

),,m iW P u ic P c μ⎛⎫

=

= ⎪⎝⎭;能量、动量和静止质量的关系为:22

22

02W P m c c

-=-

三、证明:如图所示

在分界面处,由边值关系可得:

1

ε1

E

又 D E ε= (3) 由(1)得:

1122sin sin E E θθ= (4) 由(2)(3)得:

111222cos cos E E εθεθ= (5) 由(4)(5)两式可得:

22

11

tan tan θεθε= 证毕。 四、综合题 1、 解:如图所示,

由电流稳定时,0j ∇⋅=,则介质分界面上有 12n n j j =,即: 1

1122212 , n n n n

E E E E σσσσ== 由于E 与n 方向一致, 1

211

12 , E E E E n σσ∴=

= 又由 1

2

121122l l U E dl E dl E dl E l E l =⋅=⋅+⋅=+⎰⎰⎰

1

11122

E l E l σσ=+

211

2112

122

U

U E l l l l σσσσσ∴=

=

++

由于均匀介质 121112112

U

D E n l l εσεσσ∴==

+

1212222

122112

U D E E n l l σεσεεσσσ===+1

l 2

l 1

D 2D

电容器上板面自由面电荷密度为: 12112112

0f n U

D l l εσωσσ=-=+

下板面的为: 21122112

0f n U

D l l εσωσσ=-=-

+

介质分界面上自由面电荷密度为: ()21122112321211221122112

f n n U U U

D D l l l l l l εσεσεσεσωσσσσσσ-=-=

-=

+++ 2、解:如图所示,取0E

方向为z 轴方向。

由题意知,球内外均满足 02

=∇ϕ (1)

又轴对称,则 )](cos )(cos [11θθϕn

n n

n n n

n P r

b P r a ++

=∑ )(0R r < (2) )](cos )(cos [1

2θθϕn n n

n n n

n P r d P r c ++

=

∑ )(0R r > (3) 当0→r 1ϕ有限,则 0=n b )(cos 1θϕn n

n

n P r

a ∑=

(4)

当∞→r θϕcos 02r E -→ ∑++

-=n

n

n n

P r d r E )(cos cos 102θθϕ (5) 在介质球面0R r =上有边值关系 0

21R r ==ϕϕ (6)

210r R r r

ϕϕ

ε

ε=∂∂=∂∂ (7)

将(4)、(5)代入(6)、(7)中解得

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