《导数及其应用》单元测试题详细答案

导数单元测试题 11.29
一、填空题
1．函数()2
2)(x x f π=的导数是_______
2．函数x
e
x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是________
3．若函数b bx x x f 33)(3
+-=在()1,0内有极小值，则实数b 的范围是_______
4．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为______ 5．曲线x
y e =在点2
(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________
6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是_______
7．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为________ 8．设2
:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的______________条件
9． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/
/
f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/
/
f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/
/
f f f f -<<<
（D ）)3()2()2()3(0/
/
f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 10．函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿．
11．已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则
M m -=＿＿．
12．点P 在曲线3
2
3
+
-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是
13．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2
21f x x x f '=+⋅，则()0f '=_____
14．已知32
()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为_______
二．解答题
15.已知()132
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。

16．设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围．
17. 已知函数32
()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；
（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.
18．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3
)(23
（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。

（2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数a ，使[]0,1-∈x ，函数有最小值－3？
一、选择题
1．()∴==,42)(222
x x x f ππ=⋅='x x f 242)(πx x f 28)(π=';
2．∴=⋅=-.)(x x
e x e
x x f []
=⋅-⋅='21)(x x x e e x e x f ， ()[]
1,012<∴>⋅-x e e x x x
选(A) 3.()
b x b x x f -=-='2
2333)(,依题意，首先要求b>0, 所以()()
b x b x x f -+='3)(
由单调性分析，b x =
有极小值，由()1,0∈=b x 得.
4．解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4
y x =在某一点的导数为4，而3
4y x '=，所以4
y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，
5．2
2
e 6．（D ） 7．2 8．必要不充分条件
9．B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ，
T
=
-)2()3(f f AB k f f =--2
3)
2()3( ,)3(BQ k f =' ,)2(AT k f =' 如图所示，切线BQ 的倾斜角小于
直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 <∴BQ k <AB k AT k
10．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 11．32 12．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 13,4- 14,a<－3或a>6
三、解答题
（1） 当3-=a 时，()983131333
23+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=+-+-=x x x x x f 。

由函数3
x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 是，函数()x f 对R x ∈为减函数。

（2） 当3->a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。

所以，当3->a 时，函数()x f 在
R 上不是单调递减函数。

综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。

16．解：（1）2
()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩
，
．
解得3a =-，4b =．
（2）由（Ⅰ）可知，3
2
()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2
()f x c <恒成立，
所以 2
98c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)
(9)-∞-+∞，，．
17．解（1）2
()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分
∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分 （2）记3
2
2
()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-
令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表
………………………10分 由()g x 的简图知，当且仅当(0)0
,(1)0
g g >⎧⎨
<⎩
即30
,3220
m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，
函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.
所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………14分
18．（1）(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; （2）1、当,0=a
(),
2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0<a ,2,2⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈a
x )(x f 递增;3、当,10<<a (),2,∞-∈x 或
,,2⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )
(x f 递增;（3）因,0<a 由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
1、当,2,12-≥⇔-≤a a [],2,20,1⎪⎭⎫ ⎝⎛⊆-∈a x )(x f 递增，3)1()(min -=-=f x f ，解得,243->-=a
2、当,2,12-≤⇔->a a
由单调性知：3)2
()(min -==a f x f ，化简得：01332=-+a a ，解得
,2621
3->±-=
a 不合要求；综上，4
3-=a 为所求。