高中数学必修一测试题知识讲解

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数学高中必修一练习题及讲解

数学高中必修一练习题及讲解### 数学高中必修一练习题及讲解#### 练习题一：函数的基本性质题目：已知函数 $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$，求其定义域和值域。

解答：函数 $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ 是一个二次函数。

二次函数的定义域为全体实数，即 $x \in (-\infty, +\infty)$。

要找到值域，我们可以将函数转换为顶点形式。

首先，找到顶点的$x$ 坐标：\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \times 2} = \frac{3}{4} \]将 $x = \frac{3}{4}$ 代入原函数，得到顶点的 $y$ 坐标：\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 -3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 \]\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{9}{16}\right) -\frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1 = -\frac{1}{8} \]因此，函数的最小值为 $-\frac{1}{8}$，由于开口向上，函数没有最大值，所以值域为 $[-\frac{1}{8}, +\infty)$。

#### 练习题二：指数函数的运算题目：计算 $2^3 \cdot 5^3$。

解答：指数函数的乘法运算可以转换为基数相乘，指数相同的形式。

即：\[ 2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 \]计算基数的乘积：\[ 2 \cdot 5 = 10 \]将结果代入指数：\[ 10^3 = 1000 \]所以 $2^3 \cdot 5^3 = 1000$。

#### 练习题三：三角函数的图像和性质题目：已知 $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$，$\alpha$ 在第一象限，求 $\cos(\alpha)$。

人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)

2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一第二部分函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论（1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)，（1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且．（1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。

人教版高一数学A必修1全册例题讲解及练习题(65页)

（i）若 a = 0 时，得 N = Æ ，此时， N Í M ；
（ii）若 a ¹ 0 时，得 N
1 ={ }.
若N
ÍM
,满足 1
= 2或 1
= -3 ，解得 a =
1 或a = - 1 .
a
a
a
2
3
故所求实数 a 的值为 0 或 1 或 - 1 . 23
点评：在考察“ A Í B ”这一关系时，不要忘记“ Æ ” ，因为 A = Æ 时存在 A Í B . 从而需要分情况讨
第 1～27 练答案 …………………………（55～65）
《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲
第一章集合与函数概念
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
A ¹Ì B（或 B ¹É A）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 Æ ，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质： A Í A ；若 A Í B ， B Í C ，则 A Í C ；
若 A I B = A ，则 A Í B ；若 A U B = A ，则 B Í A .
={x |
x
=
2n +1,n 2
Î Z} ，易知
B ¹Ì
A，故答案选
A．
{ } 【例 3】若集合 M = x | x2 + x - 6 = 0 , N = {x | ax - 1 = 0} ，且 N Í M ，求实数 a 的值.

最新版教材高中数学必修一知识讲解_函数与方程_基础

函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； ③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）．归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．（2）二次函数的零点二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ＞0）的两实根，则x 1、x 2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x 1＜x 2＜k 时，有0()02f k b k a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩；②当k ＜x 1＜x 2时，有0()02f k b k a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩；③当x 1＜k ＜x 2时，()0f k <；④当x 1，x 2∈（k 1，k 2）时，有12120()0()02f k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩；⑤当x 1、x 2有且仅有一个在（k 1，k 2）时，有12()()0f k f k <．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k =0时，也就是一元二次方程根的零分布．（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2．①2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩；②2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩；③1200cx x a<<⇔<； ④x 1=0，x 2＞0⇔c =0，且0b a <；x 1＜0，x 2=0⇔c =0，且0ba>．要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-．（1）解方程(x +3)(x +1)(x ―2)=0；（2）画出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象（简图），并求出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点；（3）讨论函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-在零点两侧的函数值的正负．【解析】（1）方程有三个根x 1=―3，x 2=―1，x 3=2．（2）函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．【总结升华】（1）方程(x +3)(x +1)(x ―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x +3=0或x +1=0或x ―2=0，所以x =―3或x =―1或x =2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．举一反三：【变式1】已知函数()()()1()f x x a x b a b =--+<，且m ，n 是方程()0f x =的两个根（m ＜n ），则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．m ＜a ＜n ＜bD ．a ＜m ＜b ＜n 【答案】B【解析】由函数()()()1f x x a x b =--+，我们可以看到a 、b 为()()()g x x a x b =--的零点，且()()1f a f b ==0()()f n f m >==，如右图，则应有a ＜m ＜n ＜b ，故选B ．例2.若一次函数f （x ）=ax +b 有一个零点2，那么函数2()g x ax bx =+的零点是．【思路点拨】由题意可知，2a +b =0，即b =－2a ；代入并令g （x ）=0解得x =0或12x =．【答案】0，12【解析】∵一次函数f （x ）=ax +b 有一个零点2， ∴2a +b =0，即b =－2a ；∴令22()2(12)0g x ax bx ax ax ax x =+=-=-=，解得，x =0或12x =；故答案为：0，12．【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系．举一反三：【变式1】求函数：(1)223y x x =--+；(2)376y x x =-+的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2．【解析】(1)由求根公式解得121, 3.x x ==- (2)方程3760x x -+=可化为()()()()()()()()()()322661611161161230x x x x x x x x x x x x x x x x --+=---=+---=-+-=--+= 由()()()1230x x x --+=知1233,1, 2.x x x =-==所以函数223y x x =--+的零点为-3，1；函数376y x x =-+的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3．已知函数2()3xf x x =-，问：方程()0f x =在区间[]1,0-内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出(1)f -及(0)f 的值，进而确定(1)f -和(0)f 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定()f x 在[]1,0-上有实数根．122(1)3(1)03f --=--=-<，02(0)3010,f =-=>且函数2()3xf x x =-的图象是连续曲线，()f x ∴在区间[]1,0-内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程()0f x =在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程()0f x =在区间[],a b 内有实数根，不一定有()()0f a f b ⋅<．举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）[]2()318,1,8;f x x x x =--∈（2）[]3()1,1,2f x x x x =--∈-；（3）[]2()log (2),1,3f x x x x =+-∈．【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在．【解析】（1）(1)200,(8)220,f f =-<=>(1)(8)0f f ∴⋅<故2()318f x x x =--在[]1,8上存在零点．（2）(1)10,(2)50,f f -=-<=>(1)(2)0,f f ∴-⋅<故3()1f x x x =--在区间[]1,2-上存在零点．（3）2222(1)log 31log 210,(3)log 53log 830f f =->-==-<-=，∴(1)(3)0f f ⋅<，故2()log (2)f x x x =+-在区间[]1,3上存在零点．【高清课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（） A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解 B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解 C ．函数f （x ）是奇函数 D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4．已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0．（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求m 的取值范围．（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围．【答案】（1）5162m -<<-；（2）112m -<≤ 【解析】（1）条件说明函数2221y x mx m =+++的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，(1)20(0)210(1)420(2)650f f m f m f m -=>⎧⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，∴121256m Rm m m ∈⎧⎪⎪<-⎪⎪⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩．∴5162m -<<-．（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有(0)0(1)0001f f m >⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩．∴12121110m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≥≤⎪⎪-<<⎩或．∴112m -<≤ 【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．举一反三：【变式1】关于x 的方程ax 2―2(a +1)x +a ―1=0，求a 为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根；（3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1．【答案】（1）0a =或13a =-（2）01a <<（3）不存在实数a （4）0a > 【解析】（1）当a =0时，方程变为―2x ―1=0，即12x =-，符合题意；当0a ≠时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以1240a ∆=+=，解得13a =-．综上可知，当0a =或13a =-时，关于x 的方程ax 2―2(a +1)x +a ―1=0有一根．（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得10a a-<．又1240,a ∆=+>解得01a <<．（3）方程两根都大于1，图象大致如图所以必须满足0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,2(1)1,2(1)0.a a af <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩两不等式组均无解．所以不存在实数a ，使方程两根都大于1．（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图所以必须满足0,(1)0a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0a f <⎧⎨>⎩解得0a >．类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.（2016 河南许昌月考）已知函数32()231f x x x x =--+．（1）求证：f （x ）在区间（1，2）上存在零点；（2）若f （x ）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f （x ）=0的一个近似解（精确到0.1）．【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断．（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案．【答案】（1）略；（2）1.3【解析】（1）证明：∵32()231f x x x x =--+， ∴f （1）=－1＜0，f （2）=7＞0， ∴f （1）·f （2）=－7＜0且32()231f x x x x =--+在（1，2）内连续，所以f （x ）在区间（1，2）上存在零点；（2）由（1）知32()231f x x x x =--+在（1，2）内存在零点，由表知，f （1）=―1，f （1.5）=1，∴f （1）·f （1.5）＜0，∴f （x ）的零点在（1，1.5）上，∵f （1.25）=―0.40625，∴f （1.25）·f （1.5）＜0，∴f （x ）的零点在（1.25，1.5）上， ∵f （1.375）=0.18359，∴f （1.25）·f （1.375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.25，1.375）上；∵f （1.3125）=－0.31818，∴f （1.3125）·f （1.375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.3125，1.375）上， ∵f （1.34375）=0.01581，∴f （1.3125）·f （1.34375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.3125，1.34375）上，由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，所以f （x ）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题．举一反三：【高清课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【变式2】设()338xf x x =+-，用二分法求方程338xx +-在x ∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定【思路点拨】由已知“方程3380xx +-=在x ∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，它们异号．【答案】B【解析】∵f （1.5）•f （1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B ．【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y =f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f （a ）f （b ）＜0，则函数y =f （x ）在区间（a ，b ）上有零点．类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A 种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】（1）3200；（2）11% 【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P 元，根据题意，得P (1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P =3200（元）．故2010年每台电脑的生产成本为3200元．（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x )4=3200（0＜x ＜1）4观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x 0．取区间（0.1，0.15）的中点x 1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x 0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x 2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x 0∈(0.1，0.1125)．同理可得，x 0∈(0.1，0.10625)，x 0∈(0.103125，0.10625)，x 0∈(0.104687，0.10625)，x 0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．举一反三：考点必考知识必备【变式1】如右图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．（1）求出盒子的体积y （cm 3）以x （cm ）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？（精确到0.1 cm ）【答案】（1）y =x (15－2x )2 0＜x ＜7.5 （2）0.8 cm 或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式y =x (15－2x )2，其定义域为01520x x >⎧⎨->⎩，即0＜x ＜7.5．（2）原问题可转化为当y =150时，求方程x (15―2x )2=150的近似解．设g (x )=x (15―2x )2―150，由于g (0)·g (1)＜0且g (4)·g (5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm 或4.7 cm ．。

人教版高中数学选择性必修第一册第二章测试题及答案解析

人教版高中数学选择性必修第一册第二章测试题及答案解析一、测试题1. 解方程：$3(x+1)-2(x-2) = 4(x-1)+6$解：首先，将方程两边的括号展开，得到：$3x+3-2x+4 = 4x-4+6$然后，合并同类项，得到：$x+7=4x+2$接下来，移项，将未知数x的项移到等式的一边：$x-4x = 2-7$化简得：$-3x = -5$最后，将方程两边同时除以-3，得到最终结果：$x = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$2. 计算：$\sqrt{24} \cdot \sqrt{\frac{8}{3}}$解：首先，对根号内的数进行因式分解，得到：$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 3}}$然后，利用根号乘法法则，将两个根号内的因子合并，得到：$2 \sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$接下来，化简分数并移动根号，得到：$2\sqrt{6} \cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$化简根号内的分数，得到最终结果：$4\sqrt{2}$3. 求函数$f(x)=2x^2-5$的图像在坐标系上关于x轴对称的点的坐标。

解：首先，关于x轴对称的点的特点是，其横坐标不变，纵坐标相反。

即，对于点P(x,y)，其关于x轴对称的点为P'(x,-y)。

对于函数$f(x)=2x^2-5$来说，我们需要求出函数图像上的点，然后对其进行关于x轴的对称操作。

例如，当$x=1$时，$f(1) = 2(1)^2-5 = -3$，即点P(1,-3)。

在坐标系上，找到点P(1,-3)，将其关于x轴对称，得到点P'(1,3)。

因此，函数$f(x)=2x^2-5$的图像在坐标系上关于x轴对称的点的坐标为P'(1,3)。

高中数学必修一集合专题练习(知识点+练习题)

必修一第一章：集合专题一、集合概念1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法.二、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、若集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集，21n -个真子集.三、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且集合专题训练1. 设集合A ={1,2,3},B ={2,3,4},则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4} 2. 设集合A ={x|x 2−4x +3<0},B ={x|2x −3>0},则A ∩B =( ) A. (−3,−32) B. (−3,32) C. (1,32) D. (32,3)3. 设集合A ={1,2,4},B ={x|x 2−4x +m =0},若A ∩B ={1},则B =( )A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}4. 已知集合A ={1,2,3,4},B ={y|y =3x −2,x ∈A},则A ∩B =( )A. {1}B. {4}C. {1,3}D. {1,4}5. 已知集合A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8},则A ∩B 中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知集合A ={x|1<2x <8},集合B ={x|0<log 2x <1},则A ∩B =( )A. {x|1<x <3}B. {x|1<x <2}C. {x|2<x <3}D. {x|0<x <2}7. 集合A ={0,1,2}的真子集的个数是______ ．8. 已知集合,,A ∪B =A ,则实数p 的取值范围是______．9. 若集合A ={x|ax 2+3x +2=0}中至多有一个元素,则a 的取值范围是_____________10. 如图,若集合A ={1,2,3,4,5},B ={2,4,6,8,10},则图中阴影部分表示的集合为______．11.已知全集U =R ,集合A ={x|x 2−4x ≤0},B ={x|m ≤x ≤m +2}．(1)若m =3,求∁U B 和A ∪B ；(2)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围；(3)若Φ=⋂B A ,求实数m 的取值范围．。

高中数学必修一集合与函数的概念知识点+练习题含答案解析(非常详细)

第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆（或B⊇Ａ）注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A（2）.“包含”关系（2）—真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

高中数学必修1知识点总结及题型

高中数学必修1知识点总结及题型高中数学讲义必修一第一章复知识点一：集合的概念集合是由一些能够归纳在一起的对象构成的整体，通常用大写拉丁字母A、B、C等表示。

构成集合的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a、b、c等表示。

不含任何元素的集合称为空集，记为∅。

知识点二：集合与元素的关系如果元素a是集合A的一部分，则称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。

集合可以分为有限集和无限集。

有限集包含有限个元素，无限集包含无限个元素。

知识点四：集合的表示方法集合的元素可以通过列举法和描述法来表示。

列举法是将集合的元素一一列举，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。

描述法是用集合所含元素的共同属性来表示集合的方法。

知识点五：集合与集合的关系子集是指集合A中的所有元素都是集合B中的元素，此时称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

如果A是B的子集且A不等于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

空集是任何集合的子集，任何集合都是其本身的子集。

如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

如果A是B的真子集，B是C的真子集，则A是C的真子集。

集合相等是指A是B的子集，B是A的子集，此时称A与B相等，记作A=B。

知识点六：集合的运算交集是指两个集合中共同存在的元素构成的集合，记作A∩B。

并集是指两个集合中所有元素构成的集合，记作A∪B。

1.自然语言中，由文字、符号和图形语言组成的集合，称为集合A与B的并集。

2.交集的运算性质包括：A∩B＝B∩A（交换律）A∩A＝A（恒等律）A∩∅＝∅（零律）A⊆B⇔A∩B＝A（吸收律）3.在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

4.对于一个集合A，由全集U中除A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。

高中数学人教版必修1知识讲解讲义

高中数学必修1知识讲解讲义目录第一讲集合的概念 (1)第二讲集合的关系与运算 (6)第三讲映射与函数 (11)第四讲函数的表示方法——解析式法 (16)第五讲函数单调性 (20)第六讲函数奇偶性 (27)第七讲指数与指数幂的运算 (36)第八讲指数函数 (42)第九讲对数函数 (50)第十讲对数与对数运算 (56)第十一讲幂函数 (61)第十二讲方程的根与函数的零点 (66)第十三讲用二分法求方程的近似解 (71)第十四讲几类不同增长的函数模型 (76)第十五讲函数的图像 (85)第十六讲函数的综合应用 (93)第十七讲二次函数性质与函数的图像 (111)第一讲集合的概念一. 知识思维导图二. 知识要点解读（一）集合的概念1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。

（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、……2. 元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性：集合集合的概念集合及元素集合的分类及表示集合的关系包含子集真子集集合的运算交集并集补集集合的应用(1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

高中数学必修1知识点、考点、题型汇总

集合与函数知识点讲解1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3. 注意下列性质：4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。

补充：数轴标根法解不等式5. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

）6 . 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 7. 求函数的定义域有哪些常见类型？8. 如何求复合函数的定义域？义域是_____________。

9. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？10. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）11. 反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；12. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？∴……）13. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

14. 你熟悉周期函数的定义吗？函数，T 是一个周期。

）如：15. 常用的图象变换:(此类问题一定要搞清)注意如下“翻折”变换：16. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？的双曲线。

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？17. 基本运算上需注意的问题:18 . 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）19.. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。

高中数学必修一三角函数概念知识点总结及练习题

高中数学必修一三角函数概念知识点总结及练习题一、正弦函数与余弦函数1. 什么是正弦函数？正弦函数是指以单位圆为基础，对应于某个角的正弦值与其对边的比例。

2. 什么是余弦函数？余弦函数是指以单位圆为基础，对应于某个角的余弦值与其邻边的比例。

3. 正弦函数和余弦函数之间有什么关系？正弦函数和余弦函数是相互关联的，它们的图像相互对称，即正弦函数的图像沿y轴对称于余弦函数的图像。

二、三角函数的性质1. 三角函数的周期性是什么意思？三角函数的周期性指的是三角函数在一定范围内的值呈现出重复的规律。

2. 三角函数的奇偶性是什么意思？三角函数的奇偶性指的是在关于原点对称的图像中，函数值的变化规律。

3. 三角函数的单调性是什么意思？三角函数的单调性指的是在一定范围内，函数值的增减规律。

三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像特点是什么？正弦函数的图像是一条连续的曲线，它在[-π/2, π/2]范围内在y 轴的正半轴上递增，在[π/2, 3π/2]范围内在y轴的负半轴上递减。

2. 余弦函数的图像特点是什么？余弦函数的图像是一条连续的曲线，它在[0, π]范围内在y轴的正半轴上递减，在[π, 2π]范围内在y轴的负半轴上递增。

四、三角函数的性质应用练题1. 求下列各式中所给的角度的正弦值：a) sin(30°)b) sin(60°)c) sin(45°)d) sin(90°)2. 求下列各式中所给的角度的余弦值：a) cos(0°)b) cos(180°)c) cos(270°)d) cos(360°)3. 判断下列各式是正弦函数还是余弦函数：a) f(x) = sin(x)b) f(x) = cos(x)4. 比较下列各式的大小：a) sin(30°) 与 cos(60°)b) sin(45°) 与 cos(45°)五、解答1. 求下列各式中所给的角度的正弦值：a) sin(30°) = 0.5b) sin(60°) = √3/2c) sin(45°) = √2/2d) sin(90°) = 12. 求下列各式中所给的角度的余弦值：a) cos(0°) = 1b) cos(180°) = -1c) cos(270°) = 0d) cos(360°) = 13. 判断下列各式是正弦函数还是余弦函数：a) f(x) = sin(x)（正弦函数）b) f(x) = cos(x)（余弦函数）4. 比较下列各式的大小：a) sin(30°) 与 cos(60°)（sin(30°) < cos(60°)）b) sin(45°) 与 cos(45°)（sin(45°) = cos(45°)）。

高中数学必修一练习题及答案详解

一、选择题1．函数 f （ x ） =x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（）A ． ab=0B ． a+b=0C ． a=bD ． a 2+b 2 =01 x 1(x 0)12．设函数 f (x)2若f ( f (a))则实数 a ( )1,( x 0)2xA.4B.-2C.4或1 D.4或 -223．已知集合 A { y | yln( x 2 1), x R} ，则 C R A()A.B.(,0]C.( ,0)D.[0, )4．已知集合 M{ x |x1 1} ，集合 N { x | 2x 3 0} ，则 (C R M )N ( )x 1A ． (3,1) B ． (3,1] C ．[3,1) D ． [3,1]22225．设 a log 2.8 3.1,b log e, c log e ，则（）A ． a c bB ． c a bC ． b a cD ． b c a6．函数 f ( x)1 x log2 x 的零点所在区间是（）A ．(1,1)B． (1 ,1)C． (1,2) D． (2,3)4 22A( 1 , 1) ，则它在 A 点处的切线方程为7．若幂函数f (x) 的图象经过点4 2（ A ） 4 x 4y 1 0（ B ） 4x 4 y 1 0（ C ） 2x y 0（ D ） 2x y 08． y= ( 1) x - 3x 在区间 [-1,1] 上的最大值等于（）51416A.3B.C.5D.339．已知幂函数 f ( x)x m 的图象经过点（ 4， 2），则 f (16)（）A. 22B.4C.4 2D.810．设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x0时 f( x)2x 2x ，则 f (1) = ()A.—3B. — 1C.1D.311．已知125 （）log 2 5 a,log 2 7b, 则 log 2 7A ． a3b B ． 3a b C ． a 3D ．3abb12．设集合 M22 x3 0，Nx 2 x2 ，则 MC R N 等于（x x）A ．1,1B． ( 1,0) C ． 1,3 D． (0,1)13．若 x log 3 4 1 ，则 4x 4 x（）A. 1B. 2C. 8D.1033二、填空题14．若 f (x)3x sinx ，则满足不等式 f (2m1)f (3 m)0 的ｍ的取值范围为．115． lg 4 lg 254 2 (4．16．已知函数 f ( x) ( 1) x , x 4log 2 3) 的值为2，则 f (2f ( x 1), x 417．函数 f ( x) sin( x) 的图象为 C , 有如下结论 : ①图象 C5 3 关于直线 x对称 ;②图象C 关于点 (4, 56,0) 对称 ; ③函数 f ( x) 在区间 [ ] 内是增函数。

高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解

.(经典 )高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。

（2）判断一个对应是映射的方法。

一对多不是映射，多对一是映射集合 A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射 f:(x,y) →(x 2+y 2,xy) ，求象 (5， 2)的原象 .13. 已知集合 A 到集合 B ＝｛0，1，2，3｝的映射 f:x → x 1，则集合 A 中的元素最多有几个 ?写出元素最多时的集合 A.2、函数。

构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是（）A 、 f ( x)lg x 2, g(x)2 lg xB 、 f (x) lgx1, g (x) lg( x 1) lg( x1)x 1C 、 f (u)1 u , g( v) 1 v D 、f （ x ） =x ， f (x)x21 u 1 v2、 M { x | 0x 2}, N{ y | 0 y3} 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合 N 的函数关系的有（）A 、 0个B 、 1个C 、 2个D 、3个y yy y32 2 2 2 1111O1 2 xO1 2 xO1 2 xO1 2 x二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例 1 设 f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] 4 x 3 ，求 f (x).配凑法：已知复合函数 f [ g (x)] 的表达式，求 f (x) 的解析式， f [ g( x)] 的表达式容易配成g ( x) 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数 f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g( x) 的值域。

例 2 已知f (x1) x21( x0) ，求 f ( x) 的解析式x x2三、换元法：已知复合函数 f [ g (x)] 的表达式时，还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。

练习题及讲解高中数学必修一

练习题及讲解高中数学必修一### 练习题及讲解：高中数学必修一#### 一、函数的概念与性质练习题1：给定函数 $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $，求其定义域和值域。

讲解：函数 $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $ 是一个二次函数。

二次函数的定义域是全体实数，即 $ (-\infty, +\infty) $。

要找到值域，我们首先找到函数的顶点。

顶点的 $ x $ 坐标可以通过公式 $ x = -\frac{b}{2a} $ 计算，其中 $ a = 2 $ 和 $ b = -3 $。

计算得到 $ x = \frac{3}{4} $。

将 $ x $ 值代入原函数，得到顶点的 $ y $ 坐标 $ y = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 -3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 $。

因此，值域是$ [y_{\text{顶点}}, +\infty) $。

#### 二、指数与对数练习题2：如果 $ 3^x = 27 $，求 $ x $ 的值。

讲解：这是一个简单的指数方程。

我们知道 $ 27 $ 是 $ 3 $ 的 $ 3 $ 次方，即 $ 27 = 3^3 $。

因此，$ x $ 等于 $ 3 $。

#### 三、三角函数练习题3：已知 $ \sin \theta = \frac{1}{2} $，求 $ \cos^2 \theta $。

讲解：根据三角函数的基本关系，我们知道 $ \sin^2 \theta + \cos^2\theta = 1 $。

已知 $ \sin \theta = \frac{1}{2} $，我们可以计算 $ \sin^2 \theta = \left(\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{1}{4} $。

人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解

人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.（二）例题讲解：例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N；⑵0 N；⑶-3 Z；；⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。

练：5页１题例2．已知集合P的元素为2--, 若2∈P且m m m1,,3-1∉P，求实数m的值。

练：⑴考察下列对象是否能形成一个集合？①身材高大的人②所有的一元二次方程③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体⑦所有的小正数⑧所有的数学难题⑵给出下面四个关系:3∈R,0.7∉Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )A．4个 B．3个 C．2个D．1个⑶下面有四个命题: ①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2 ③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}⑶其中正确命题的个数是(⑷由实数-a , a , a ,a 2, -5a 5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?⑸求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件? ⑹若t1t 1+-∈{t},求t 的值.一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。