统计分析与方法-第八章 主成分与因子分析

μ ij为系数 组成的系数矩阵就是U
这个方程且满足：
μ
2 k1
μ
2 k2
μ
2 kp
1
主成分分析
wenku.baidu.com 其中 μ ij 有以下原则来确定：
Yi与Yj相互无关
Y1是x1
x
的
p
一
切线一
切
线性组最合大
的
Y2是
x 1
x
的
p
一
切线一切
线
性组第合二
大的
这时称：Y1是第一主成分 Y2是第二主成分 ｜
主成分的含义
有原始数据的协方差阵或相关系数据阵， 可计算出矩阵的特征根：
对于我们的数据，SPSS输出为：
Total Variance Explained
Initial Eigenvalues
Component Total % of Variance Cumulative %
1
3.735
62.254
62.254
2
1.133
18.887
81.142
3
.457
7.619
88.761
10
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
主成分分析
那 么 这 个 椭 圆 有 一 个 长 轴 和 一 个 短 轴 。 在短轴方向上，数据变化很少；在极端 的情况，短轴如果退化成一点，那只有 在长轴的方向才能够解释这些点的变化 了；这样，由二维到一维的降维就自然 完成了。
主成分分析
当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表 长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代 表短轴的变量就描述了数据的次要变化。 但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平 行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行 变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。 如果长轴变量代表了数据包含的大部分信 息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去 次要的一维），降维就完成了。 椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也 越有道理。
3.735
62.254
62.254
1.133
18.887
81.142
这里的Initial Eigenvalues就是这 里的六个主轴长度，又称特征值（数 据相关阵的特征值）。
主成分分析的一般模型
Y1 μ 11x1 μ 12x2 μ 1pxp Y2 μ 21x1 μ 22x2 μ 2pxp Yp μ p1x1 μ p2x2 μ ppxp
主成分分析
对于多维变量的情况和二维类似，也有高 维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。 首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表 大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量； 这样，主成分分析就基本完成了。 注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴 也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是 原先变量的线性组合，叫做主成分 (principal component)。
4
.323
5.376
94.137
5
.199
3.320
97.457
6
.153
2.543
100.000
Extraction Method: Principal Component Analysis.
Extraction Sums of Squared Loadings
Total % of Variance Cumulative %
因主 子成 分分 析分
析 和
主成分与因子分析
主成分与因子分析
好裁缝做上衣，要测量上体长、手臂长、 胸围等 14 个指标。用流水线生产上衣时要 测量每个顾客的 14 个指标是不可能的。 于是统计学家出了个主意：这 14 个指标 是相关的，可以找出几个反映上衣特征的综 合指标，加工出的上衣大多数人都能穿，当 然特体除外。
主成分分析
例中的的数据点是六维的；也就是说，每 个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把 6维空间用低维空间表示。 先假定只有二维，即只有两个变量，它们 由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值 都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如 果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在 变量的二维正态的假定下是可能的）
主成分分析和因子分析
本章就介绍两种把变量维数降低以便 于描述、理解和分析的方法：主成分分 析 （ principal component analysis ） 和因子分析（factor analysis）。实际 上主成分分析可以说是因子分析的一个 特例。在引进主成分分析之前，先看下 面的例子。
成绩数据（student.sav）
100个学生的数学、物理、化学、语文、历 史、英语的成绩如下表（部分）。
从本例可能提出的问题
目前的问题是，能不能把这个数据的6个变 量用一两个综合变量来表示呢？ 这一两个综合变量包含有多少原来的信息 呢？ 能不能利用找到的综合变量来对学生排序 呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对 企业，对学校进行分析、排序、判别和分类 等问题。
1 2 p 则：1 对应Y1的方差
2 对应Y2的方差
p 对 应Yp的 方 差
主成分的含义
1对应的特征向量： 11，12，1p
为第一主成分的线性组 合系数，即：
y1 11x1 12x2 1p
但是，spss软件中没有直接给出主成分系
数，而是给出的因子载荷，我们可将因子载
荷系数除以相应的 数。
i
，即可得到主成分系
C om p on e nt Ma t ri xa
Component
1
2
MATH
-.806
.353
PHYS
-.674
.531
CHEM
-.675
.513
LITERAT
.893
.306
HISTORY
.825
.435
ENGLISH
.836
主成分分析
正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三 个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。 选择越少的主成分，降维就越好。什么是 标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的 主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。 有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主 轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一 个大体的说法；具体选几个，要看实际情况 而定。
3
主成分与因子分析
结果统计学家成功了! 这两个不相关的指标就是上衣的型和 号。 本章的教学目的就是教会学生如何建 立和使用降维模型。
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主成分分析
每个人都会遇到有很多变量的数据。 比如全国或各个地区的带有许多经济和社 会变量的数据；各个学校的研究、教学等各 种变量的数据等等。 这些数据的共同特点是变量很多，在如此 多的变量之中，有很多是相关的。人们希望 能够找出它们的少数“代表”来对它们进行 描述。