小学数学奥数习题-构造法 通用版
小学奥数 构造与论证 精选例题练习习题(含知识点拨)
构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。
小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）王红、陈阳、李玉分别参加了少年宫的合唱团、舞蹈队和乐队。
王红参加的不是舞蹈队，陈阳不在合唱团，李玉天天背着小提琴。
这三名同学分别在哪一个团队里?王红在________，陈阳在________，李玉在________。
2. （5分） (2020五下·汉寿期中) 35名学生分成甲、乙两队。
如果甲队人数为偶数，乙队人数为奇数还是偶数？如果甲队人数为奇数呢？3. （5分）小朋友们在比身高，三个小朋友的身高分别是142厘米、138厘米、145厘米。
仔细观察，在正确的答案下打“√”。
①小浩：②小玉：4. （5分）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。
一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的，但不知哪一个姓王，哪一个姓李，哪一个姓刘。
只知道姓刘的不喜欢穿红色的，姓王的既不穿红裙子，也不穿花裙子。
你能猜出这三个女孩各姓什么吗？5. （10分）小明、小华、小强星期天去公园划船，他们都戴了一顶漂亮的太阳帽。
太阳帽有三种颜色：红、黄、蓝。
他们戴的分别是什么颜色的帽子?涂一涂。
6. （5分）证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
7. （5分）班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局．每局胜者得分，平者各得分，负者得分．已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？8. （10分）光明幼儿园有三个班。
根据下面三句话，请你猜一猜，哪个班人数最少？哪个班人数最多？①中班比小班少；②中班比大班少；③大班比小班多。
9. （5分）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？10. （2分）篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？11. （5分）(2018·江宁) 一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数。
小学四年级奥数题及答案：构造法巧解
小学四年级奥数题及答案：构造法巧解老师在黑板上从1开始写了若干个连续自然数，小明擦去其中一个，计算余下各数的平均数，得一个整数。
接着他又擦去其中一个，计算余下各数的平均数，又得一个整数。
这两个平均数的和为38，那么小明擦去的两个数之和是多少？解答：如果同学们能做到：从连续自然数中去掉一个数，得到余下部分的平均数是一个整数，接着再去掉一个数，得到余下部分的平均数还是一个整数。
那么这道题就迎刃而解了，至于平均数（和）是多少能够先不管它。
想想还是很容易做到的。
我给同学们介绍两个相关的常识，首先要知道，连续奇数个自然数的平均数（记作a吧）一定是个整数，而且这个平均数还是这些连续自然数序列中正中间的那个数。
其次还要知道，从连续奇数个自然数序列中去掉正中间的那个数（也就是该奇数个自然数序列的平均数），余下各数（这时共有偶数个数）的平均数（记作b吧）一定还是一个整数，而且这个平均数不是别的数正是去掉的那个数。
看到了吧，两个平均数a与b是相等的即a=b。
有了这些常识就能够构造满足题目要求的结构。
38／2＝19，19是小明第一次从1开始到38的连续38个自然数序列中擦去其中的数38后得到的余下37个数(1,2,3,.....37)的平均数。
记住擦掉的第一个数38。
第二次，小明从1,2,3,......37序列中擦掉19，得到余下36个数的平均数自然还是19（前面常识里说过的，两个平均数a和b是相等的，不信你算算）。
第二次擦掉的是19。
结果不就出来了吗？19＋38＝57，这就是答案。
有的同学可能会问，你这构造得太巧了吧。
要是做不同的构造，结果还会是５７吗？我的回答是：你能想出别的构造也能够呀，但是结果肯定还是57，不是57才怪呢！。
小学奥数 构造与论证 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2. 利用基本染色去解决相关图论问题．知识点说明 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．板块一、最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．知识点拨知识点拨教学目标构造与论证所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以 (2)不能【例 7】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。
六年级下册数学试题-奥数专题讲练：数学思想与方法-构造法 全国通用测试题(含答案)
数学思想与方法—构造法(含答案）所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
这是一种重要死亡数学方法和技巧,通过“构造”可以把原本复杂、隐蔽、陌生的条件和问题变得简单、明显、容易，借助构造法可以把许多问题化难为易，化繁为简，从而达到正确解题的目的。
【例1】有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然【例2】数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复。
当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数。
如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜。
设N小于15，问当N取哪几个数时。
乙能取胜？在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了【例3】4发子弹，全部中靶。
其命中情况如下：①每人4发子弹所命中的环数各不相同；②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样：④甲与丙只有1发环数相同；⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
问：甲与丙命中的相同环数是几？老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进【例4】行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：⑴三个数都变成12？⑵三个数变成23、15、19？老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进【例4】行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：⑴三个数都变成12？⑵三个数变成23、15、19？有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆【例5】中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆。
小学奥数教程：幻方(一)全国通用(含答案)
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
甘肃省陇南市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
甘肃省陇南市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）一堆围棋子，黑子的个数是白子的3倍，每次拿5枚黑子，2枚白子，拿了若干次后，白子拿完，还剩11枚黑子．这堆棋子中，共有白子________个．2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？3. （5分）王老师、李老师和张老师分别教足球、信息、美术中的一门学科。
王老师不是美术老师，李老师从不在操场上课，张老师上课经常用电脑。
他们分别是哪一学科老师?(画“√”)足球信息美术王老师李老师张老师4. （5分）有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。
5. （10分） (2019三上·余杭期末) 班级图书角有许多课外书，同学们经常来借书，只知道：第一组借走了一半多一本；剩下的书，第二组借走了其中的一半多两本；再剩下的书，第三组借走了其中的一半多三本；最后，图书角还剩下6本书。
你知道图书角原有多少本课外书吗？6. （5分）自制的一副玩具牌共计52张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点，2点，…，13点牌各一张）．洗好后背面向上放好，（1）一次至少抽取________张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．（2）如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取________张牌。
7. （5分）八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了场，北京队赛了场，江苏队赛了场，山东队赛了场．那么广东队赛了几场？8. （10分）小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。
河北省邢台市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
河北省邢台市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）(2019·宁波) 甲、乙、丙三位同学进行跑步比赛，跑完后他们每人说了一句话，甲说：我是第一，乙说：我是第二，丙说：我不是第一．可是其中一人说了假话，那么得第一名的是________．2. （5分）桌子上放着7只茶杯，全部是杯底朝上，每次翻转2只茶杯，称为一次翻动，经过多少次翻动，能使7只茶杯的杯口全部朝上？3. （5分）三个好朋友果果、丫丫和优优去超市买衣服，一个买白色的，一个买红色的，一个买花格的．果果不喜欢红色的，丫丫不喜欢红色的和花格的，她们各买了什么花色的衣服？4. （5分）(2018·江宁) 一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数。
5. （10分） (2019二下·通榆期末) 有甲、乙、丙三人，一个是语文老师，一个是数学老师，一个是体育老师。
甲和乙经常和体育老师学打羽毛球，乙带学生去找数学老师辅导数学。
甲、乙、丙分别是什么老师？6. （5分）五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。
问：至少有几名学生的成绩相同？7. （5分）想一想，小动物们怎样才能过河？只有下面两艘船，5只小动物要同时过河，该怎样乘船？8. （10分）在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分．小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序．那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？9. （5分）一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分．那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？10. （2分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．11. （5分）小刚、小丁、小佳在小制作组、绘画组、书法组活动，根据下面的条件，你能判断出他们分别在什么组活动吗?小刚不在绘画组，也不在书法组；小丁不在小制作组；小佳不在绘画组。
小学六年级奥数天天练：构造与论证
小学六年级奥数天天练：构造与论证教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆有_89块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问能否做到：
(1)某2堆石子全部取光?
(2)3堆中的所有石子都被取走?
【答案】
(1)可以，如(_89，989，89) (__，9_，0) (950，9_，950)
(50，0，50) (25，25，50) (O，0，25).
(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变.
现在共有_89+989+89=3_7，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走.
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4年级奥数构造问题例题
各种形式的构造问题．解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律．奇数与偶数在各种运算下的关系，运用奇偶性或数的整除性进行简单的论证例题：1．有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从l至9厘米中任意整数厘米的长度?[分析与解]下面两组刻度中的任意组都满足题中要求，将其左右对调又能得到两组：2．一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后一个三位数“吃掉”．例如，24l被352吃掉，123被123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和223互相都不能被吃掉．现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其他5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取l，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4．问这6个三位数分别是多少?[分析与解]我们注意先书写高位数字较小的数字，再往下书写，有：114，123，132，213，222，231为所求的6个三位数．3．盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的．己知盒子里的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全．问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同?[分析与解]显然不能．例如盒子里只有规格和颜色分别为短红、短黄、短绿、中红、长红的5支铅笔．4．一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的?[分析与解]注意到有如下带有“○”的三条边满足(注意三条线没有任何两条在同一个平面内)，并且显然有只染2条边无法满足，所以至少需要3条白色的边．5．国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后?[分析与解]显然在2×2的棋盘中，只需要一个皇后即可控制，3×3的棋盘中，只需在中心格内放入一个皇后即可控制；而4×4的棋盘中，我们只需将其分成一个3×3的棋盘，即一个“L”形如下图：于是在3×3的棋盘内，中心格内放入一个，但是这个皇后确控制不了原4×4的左下角的一格．所以至少还需要在此处放入一格皇后，如下图所示，此时共需2个皇后．如果在3×3的棋盘中中心格不放入皇后，那么为了控制3×3的棋盘就必须要2个棋子．所以以上方案所需的皇后最少，为2个．6．在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几?[分析与解]每一空格填一个数，共有5个空格，各个数出现的次数总和应该等于5，即第二行所填的五数之和是5．如果4的下面一格所填数超过1，其他空格中至少有两个4，五个数的和就会超过5；如果4的下面填1，表示4在第二行出现一次．这时，其余数的和为0．所以，4只能填在0的下面，但第二行仅剩三个空格(五个空格中已填了一个1和一个4)，矛盾，所以4的下面一格只能填0．再看3的下面一格，若填大于1的数，则第二行至少有两个3，超过了5，不满足；若填1，则表示3在第二行出现一次．如果把3填在0的下面，1的下面至少填1，还剩两格，无法填上三个0；如果3填在其他数字下面，定会出现第二行五数之和大于5．所以，3的下面也只能填0．现在，第二行所剩三个空格中，只能填0，1，2三个数字，且要它们的和为5，只有一个1和两个2满足要求．所以，1在第二行出现一次，1的下面一格应填1；2在第二行出现两次，2的下面一格应填2；0在第二行中出现两次，在0的下面一格填上2．便得到结果：21200．7．在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲．请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息．[分析与解]注意到2个人只需通话1次；3个人只需通话3次；4个人只需通话4次，如(A，B)，(C，D)，(A，C)，(B，D)；而之后每增加1个人，在最初和最后各增加1次通话即可．那么共需4+(100－4)×2＝196次，记这100个人为1～100号，下面给出一种通话方案：第1次：第1号和第100号通话；第2次：第1号和第99号通话；第3次：第1号和第98号通话；…………第96次：第1号和第5号通话；第97次：第1号和第2号通话；第98次：第3号和第4号通话；第99次：第1号和第3号通话；第100次：第2号和第4号通话；第101次：第1号和第5号通话；第102次：第1号和第6号通话；第103次：第1号和第7号通话；…………第196次：第1号和第100号通话．前100次通话使得，1～4号知道所有人的信息，以后每次通话将多使一人知道全部的信息．8．有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一．能否适当涂色，使得每个3×4小长方形(不论横竖)的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？[分析与解]能够染出，下图给出两种染法(实质一样，仅为左右对称)．9．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第1993次翻动其中的一枚．能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币原先朝下的一面都朝上?[分析与解]因为共翻动了1993+1992+1991+…+3+2+1＝1994×1993÷2＝997×1993，也就是每枚硬币平均翻动997次，恰好使得原来朝上的一面变为朝下．又有1993＝1+1992＝2+1991＝…＝996+997．所以，第k次与第(1995－k)次恰好翻动这1993枚硬币各一次，则最终每枚硬币均被翻动997次，原先朝下的一面都朝上．10．能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和?[分析与解]我们知道1到25这25个数的和为奇数，如果能填出，则每行的5个数的和为偶数，那么5行的和也是偶数，即这25个数的和为偶数，矛盾．所以，满足题意的填法不存在．11．把图10-2中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?[分析与解]假设每条线上的红圈都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加仍是奇数．但另一方面，5条线上的红圈数相加时，由于每一个圈都在两条线上，因而都被计算了2次，从而相加的总和应当是偶数．两方面矛盾，所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数．12．在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币．已知每枚伪币与真币的重量均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量．今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否为伪币．[分析与解]将余下的98枚硬币任意分放在天平两侧，重量差为奇数则说明事先选定的硬币是伪币．否则就不是伪币．13．在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分．今有若干名学生进行比赛，每两人之间都赛一局．现知，其中有一个学生共得7分，另一个学生共得20分．试说明，在比赛过程中至少有过一次平局．[分析与解]假设总人数为n+1，如果没有平局，设得7分得那个学生胜过x个人，输给了n-x个人，所以得到x－(n-x)＝2x－n分，由此得2x-n＝7，这说明n为奇数．设得20分得学生胜过y个人，输给了n-y个人，所以得到y－(n-y)＝2y－n分，由此得2y-n＝20，这说明n为偶数．两者矛盾，所以开始得假设不成立，即至少有过依次平局成立．14．如图10-3，在3×3的方格表中已经填入了9个整数．如果将表中同一行或同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作．问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数?[分析与解]注意到这9个数的总和，每次操作总是增加3的倍数，所以若干次操作后，9个数的和除以3的余数不变．但现在的表格中9个数的和为100，100除以3的余数为1，而操作后9个数都相同即为9的倍数，除以3的余数为0．显然不满足操作前后9个数的和除以3的余数不变．所以，无论怎么操作都没法使9个数都变成相同的数．15．今有长度为l，2，3，…，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成(1)一个正方体框架?(2)一个长方体框架?[分析与解](1)正方体不可能，因为正方体的12条棱长度相同，所以所有数的和应该是12的倍数．但1+2+3+…+198+199＝19900，不是12的倍数．(2) 长方体可能，因为长方体的棱长和只要求是4的倍数即可，19900显然是4的倍数．下面给出一种构造方法：有199＝1+198＝2+197＝3+196＝4+195＝…＝99+100．这样我们将199个金属杆变成100个长度为199的杆，这样让长、宽、高分别为199×12，199×12，199即可，需(12+12+1)×4＝100根，正好满足。
小学数学构造形练习题
小学数学构造形练习题一、简答题：1. 请解释下列数学术语的含义：a) 平行线b) 周长c) 直角三角形d) 乘法交换律2. 用适当的数字来填空，使下列公式成立：a) 10 + ? = 20b) ? × 5 = 45c) 50 ÷ ? = 103. 如果一个矩形的长度为8 cm，宽度为4 cm，求它的周长和面积。
4. 请列举出以下数字的前3个倍数：a) 5b) 7c) 95. 如果一个数的个位数字与十位数字的和是10，各位数字比十位数字大2，那么这个数是多少？二、计算题：1. 将75和28相加后再乘以3，得出的结果是多少？2. 若一个长方形的长度是12 cm，宽度是5 cm，求它的周长和面积。
3. 某小组有20个学生，其中有12个男生。
请计算男生人数占总人数的百分比。
4. 将252和摘去最末两位数后的数相加，得出的结果是多少？三、填空题：1. 用下列数字中最大的数字，填空：1, 3, 5, 9, ?2. 在运算式子 8 × (6 - 3) + 4 的括号中填入适当的数，使得运算结果为16。
3. 用下列数字中最小的数字，填空：2, 4, 7, 9, ?四、选择题：1. 在以下给出的图形中，哪一个不是任何一个三角形的一部分？a) 正方形b) 长方形c) 三角形d) 梯形2. 下面哪个运算结果会是负数？a) 9 + 5b) 12 - 8c) 6 × 2d) 15 ÷ 33. 在下列数字中，哪一个数字是奇数？a) 4b) 7c) 10d) 124. 如果一个包含4个边的图形是一个正方形，那么它的四个角都是多少度？a) 45度b) 90度c) 120度d) 180度五、应用题：1. 想象有12个鸡蛋，如果一天吃掉了3个，那么还剩下多少个？2. 爸爸给了你30元钱，你用了15元去买一本书，还剩下多少钱？3. 学校花园里有24朵红花和16朵白花，你从花园里摘走了7朵红花，还剩下多少朵花？请按照试卷格式回答上述题目，保持题目的顺序和编号。
小学数学构造几何练习题
小学数学构造几何练习题一、选择题1. 在下列三个图形中，构造一个正方形。
（A）△ABC（B）△DEF（C）△GHI2. 请选出两个相等的四边形。
（A）△JKL（B）△MNO（C）△PQR3. 请选出能够构成一个等边三角形的两个线段。
（A） AB、AC（B） DE、DF（C） GH、GI4. 在下面的图形中，哪一条对角线是对称轴？（A） AE（B） BF（C） CG5. 这个图形是一个（A）正方形（B）长方形（C）正三角形二、填空题1. 判断下列说法是对还是错，并写出理由：两个线段长度相等的必要条件是这两个线段相等。
答：对。
根据线段等长的定义，只有当两个线段的长度相等时，才能称它们为等长线段。
2. 将以下三个线段按照从长到短的顺序排列：AC、BD、DE。
答：DE、BD、AC。
通过测量可以得出线段DE最长，BD次长，AC最短。
3. 某个图形有两条等长的对角线，这个图形一定是一个（）。
答：菱形。
菱形的定义是具有两条相等的对角线的四边形。
4. 下列哪一个图形是等腰三角形？（A）△ABC（B）△DEF（C）△GHI答：△DEF。
等腰三角形的定义是具有两边长度相等的三角形。
5. 下图中所画的图形是（）。
（A）正方形（B）长方形（C）正三角形答：长方形。
根据长方形的定义，该图形的四个内角都是直角，但两对相对边的长度不相等。
三、应用题1. 画一个正方形，边长为5个单位长度。
然后计算一下它的周长和面积。
解：步骤如下：（1）画一条边长为5个单位长度的线段AB。
（2）以A和B为端点，分别画两条和AB垂直的线段AC和BD。
（3）连接CD和AD两条线段，形成正方形。
（4）计算周长：周长 = 边长 × 4 = 5 × 4 = 20个单位长度（5）计算面积：面积 = 边长 ×边长 = 5 × 5 = 25个单位面积2. 请根据已知条件，在图中填入缺失的角度。
解：根据已知条件，我们可以得到以下推理：（1）∠ABC = 90°，因为△ABC是正直角三角形。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：构造法
在证明一些存在性问题时，我们可以考虑把满足题意要求的数学对象构造出来，问题也自然得到了证明。
这种方法就叫做构造法。
构造法是一种重要的数学方法，一些数论问题也可以通过构造出某些特殊结构、特殊性质的数的组合来解决，另在解决一些图形、逻辑推理方面的问题时，也可以通过构造出来某些我们熟悉的情境，然后进行解答就容易多了。
构造法解题的步骤一般为先观察问题的条件，对其进行分析和重组，或对问题进行特殊化考虑，找出构造的方案，然后进行检验，得出问题的解。
[例1] 如图1所示，在三角形ABC中，BD=2DC，AE=2ED，FC=7，那么AF=[例2】有人说:“任何七个连续的自然数中一定有质数”，请你举一个例子说明这句话是错的。
思路剖析本题实际上是要证明:七个连续的自然数有可能全部是合数，这就成了一个存在性的证明题，只要用构造的方法，构造一个例子，便可以说明。
解答取数a=2×3×4×5×6×7×8则a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，a+8这七个数全部是合数，且为连续的自然数。
故“任何七个连续的自然数中一定有质数”这句话是错的。
[例3] 是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点?思路剖析这是一个证明存在性的问题，我们可以用构造法为构造出符合要求的方案，先从一些特殊图形进行考虑。
解答先考虑一种特殊的图形:围棋盘。
它有38条直线、361个交点。
为构造出40条直线有365个交点的情形。
我们就从这种特殊的图形出发，进行局部的调整。
先加上2条对角线，这样就有40条直线了，但交点仍然是361个。
再将最右边的l条直线向右平移1段，正好增加了4个交点(见图3)。
于是，我们就得到了有365个交点的40条直线。
[例4】如图4所示，将图中的A、B、C、D、E五点染色，使相邻的(即有线段相连的)点有不同的颜色，至少需要几种颜色?思路剖析将A、B、C、D、E五点染色，只用一种颜色肯定是不够的，如果我们能构造出一种符合条件的染色方法，只需要2种颜色，也就找到了答案。
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构造法
构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。
例5 9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？
解：9999能。
因为9999等于99个9998之和，所以可以直接构造如下：
9999=（9998-98）+（9998-96）+…+
=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+
=（9998+96）+（9998+98）。
99！不能。
因为99！为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99！不能表示为99个连续奇数之和。
说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。
例6 从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。
应划去哪些数？
解：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于322=1024＞999。
另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。
（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，
（30，33，30×33），（31，32，31×32）。
上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为 31×32=992。
如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。
所以，30是最少的个数。
配对法
配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）。
传说高斯8岁时求和（1+2+…+100）首创了配对。
像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。
例7 求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。
解：在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。
将这1000万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998，…，4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。
这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000。
例8某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。
若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。
例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。
试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。
由于9999是奇数，所以m≠n。
由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。
因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。
试说明分子m是质数89的倍数。
解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的办法，将和
①②两式相加，得
从而
2m×88！=89×k（k是正整数）。
因为89为奇质数，所以89不能整除 88！，从而89|m。
解法二：作配对处理
将括号内的分数进行通分，其公分母为
1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，
从而
m×88！=89×k（k=n×q）。
因为89为奇质数，所以89不能整除88！，从而89|m。
4.4 估计法
估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的。
在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。
求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。
解：因每一真分数满足
而所求的数整S是四个不同的真分数之和，因此2＜S＜4，推知S=3。
于是可得如下5组不同的真分数：
例11 已知在乘积1×2×3×…×n的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值。
分析：若已知n的具体数值，求1×2×…×n的尾部零的个数，则比较容易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求n的值，不大好处理，我们可以先估计n大约是多少，然后再仔细确定n的值。
因此，乘积1×2×3×…×400中含质因数5的个数为80+16+3=99（个）。
又乘积中质因数2的个数多于5的个数，故n=400时，1×2×…×n的尾部有99个零，还需 7个零，注意到425中含有2个质因数5，所以
当n=430时，1×2×…×n的尾部有106个零；
当n=435时，1×2×…×n的尾部有107个零。
因此，n的最大值为434。