数学建模-单摆的运动分析

对大幅度单摆运动周期公式的研究

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摘要

单摆作为经典的力学模型，已被众多学者加以研究。多数关于单摆的研究都以摆角小于5度为限，将单摆运动周期近似拟合为在重力和绳拉力下合力的简谐运动的周期。这阻碍了我们对单摆运动周期的进一步探索。此次我们先用力学原理对单摆运动做一般性分析，再通过数学手法简化运动公式，从而得出一般情况下单摆的周期公式，并使用插值法求解出最终结果。

关键字大幅度单摆运动周期公式

一问题重述

通常对于小幅度（θ≤5。）的单摆运动周期可以近似拟用简谐运动周期公式求解。现在我们试图探究如何求解大幅度单摆运动的周期，并推导出近似公式。

二问题分析

单摆的摆球在重力，摆线拉力的联合作用下做大幅度摆动（θ≥5。）。其运动轨迹可以通过力学分析得到基本运动公式，并以此推导出周期公式。最后通过数学手段简化得出数学解析式。

三基本假设

1空气对单摆运动的阻力和浮力是如此之小，以至于可以忽略且并不对问题的研究产生交大影响。

2摆线是一根柔软且无弹性的轻线。

四符号说明

五模型建立和求解

1．模型建立

一个质量为ｍ的小球由一根轻质的长度为Ｌ的刚性细绳悬挂在一个固定的支架上（小球半球远远小于细绳长度），小球在重力的作用下可在垂直平面内来回摆动（不考虑空气阻力），单摆的受力分析图如下：

2．模型的求解（即求解大幅摆角单摆运动周期的解析式）

由牛顿第二定律：

d2θdt2+g

l

sinθ=0（１）

式（１）是关于θ（角位移）、ｇ（重力加速度）、l（摆长）的一般普遍公式。若给定初始条件，式（１）的任意精度的数值解是可以求出来的.当θ≤ 5。式可由sinθ≈θ近似求解。但是当θ≥5。由于误差增大，不能再由上述近似条件求解。通过数值模拟求解的方法可得。

当单摆的摆动角度＞５°，由于系统的机械能守恒，从能量的观点出发也可以求解单摆周期的精确解，这样就不需要详细讨论式（１）非线性微分方程。这时小球运动的速度需要用θ来表示，选择质点运动的轨迹的最低点为势能零点，初始条件为:

θ|t=0＝+θ0

dθ

dt

|t=0＝０

由此可得：

mgl(1−cosθ0 )=1

2ml2(dθ

dt

)

2

+mgl(1−cosθ) (2)

对（2）式数学分析求解，由（2）式得：

dθdt =∓√2g

l

(cosθ−cosθ0)（3）

上式中 ＋（－）表示质点逆时针（顺时针）摆动。 分离变量得摆动周期：

T=2√2 √l g ∫

√（co s θ −cos θ0 ）

θ0

（4）

又 cos θ=1−2sin （θ/2）2

设sin φ=

sin(θ02)sin(θ 2

)

, k=sin(θ

02) 则（4）式改写为：

T=2√2 √l g ∫

√（1−k 2sin φ2）

θ

（5）

其中|θ|<π，k<1。若给定一个摆动幅度（振幅），利用计算机编写程序对式（５）进行数值模拟不难求出周期 Ｔ。无论怎样，这个计算比较麻烦的， 不能直接简单地求解。

令 f (φ,k )=√（1−k 2sin φ2）

其在（0，π/2)内为φ的单值函数可选择（0,1）和（π/2，a ）两点数据采用线性内插法近似求解式(5)。用这个近似公式可以获得单摆的周期公式, 这里a =f (π

2,k)=√1+k 2=cos(θ

02),选取

r （φ，θ0）=1-2

π(1−a) φ (6)

用式(6)直线方程作线性内插应用到函数f (φ,k )里面去,我们可以找到K(k)的解析表达式:

∫dφ1−2(1−a )φ/π

π/20

=−

π2ln a 1−a

(7)

f(φ,k)与φ的关系及线性方程（7）图示。将式（7）代入（5）可得

T log=−2π√L

g ln a

1−a

=−T0ln a

1−a

(8)

因为| θ0|<π, ln a< 0,所以T log>0。

求解完毕。

六推广与深化

对误差的分析

考虑到T=T0∗2

π

K（k），周期公式的相对误差表示

| T0−T|

T =| π

2K（k）

−1| (9)

可得

| T0−T|

T =|π

2K（k）

lna

1−a

+1|