中考压轴题专题(十)圆中定值问题
中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)
与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，»ABBC=，AC=，求的最大值.a b a b引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 CD．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.A 三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧»AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．A例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与轴相交于点A ，与轴相交于点B ，线段AB 长度的x y 最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O 于点Q，则PQ的最小值为（ ）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 ．B【题型训练】1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，lα的最大值为； (B)；； (D) tanα∠43344．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B) (C) (D)215358174 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A． B． C．5 D．1942456．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).A．2 B．1 C. D.22-8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B． C．103D．41139．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).B.10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（）是第一象限内一点，且AB=2，m n，则的范围为 .m n-12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则，则的取值范围是 .tan ABP m∠=m13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC= =，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图+≤引例2.a b原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O 于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。
中考压轴题专题与圆有关的值问题(附标准答案)
B yC x A OD B O C A 与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧»AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b 的最大值.引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).A ．3B ．6C ．332D ．33一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.A M D DOC B A 三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧»AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ； （2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．O A E B AC OD OD CE A B例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).23322 D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．l Q P N M O A D BC E F C AD B Q P O A B D CP 【题型训练】1．如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为 .2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.（1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是 ；（2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是 .3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为( ).(A)6； (B)43； (C)3； (D)344．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为( ).(A)4 (B)215 (C)358 (D)1745．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ).A ．194B ．245C ．5D ．426．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．7．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( ).A ．2B ．1 C.22- D.22AQC PBO ABxyPO A xyP8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B．113C．103D．49．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).7 B.2210．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m n，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n-的范围为 .12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan ABP m∠=，则m的取值范围是 .13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1. 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°， ∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC ，tan ∠BOC=tan ∠OAC==，随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC ＜90°， ∴tan ∠BOC ≥，故答案为：m ≥．引例1图引例2图 引例2.2a b +≤；原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ．（1）求证：AE=b+a ；（2）求a+b 的最大值；（3）若m 是关于x 的方程：x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求m 的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE ，由△OAB 为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E 的度数，又由AB 为⊙D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE=b+a ；（2）首先过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=1，可得（a+b ） 2= a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x 2+ax=b 2+ab ，可得（x ﹣b ）（x+b+a ）=0，则可求得x 的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE ，∵△OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB 为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a ，∴BE=2a ，CE=a ，∵AC=b ，∴AE=b+a ；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。
压轴题 圆的五种考法(解析版)--九年级数学常考压轴题
压轴题圆的五种考法目录解题知识必备压轴题型讲练类型一、四点共圆类型二、圆中最值问题类型三、定点定长构造辅助圆类型四、定弦定角构造辅助圆类型五、对角互补构造辅助圆压轴能力测评(10题)类型一、四点共圆一．填空题1.(2022秋•大丰区期中)如图，ΔABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG=120°．若CD=4+22，则ΔDEG的面积的最小值是．【分析】连接EF，利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等证明EF⎳DG，从而得到SΔEDG=S△EDG，当FG最小时，ΔDFG的面积就最小，作ΔDFG的外接圆O，过O点作OH⊥FG交于点H，连接OF、OG，DO+OH=12+22FG，当DO+OH最小时，FG就最小，当D、O、H三点共线时，DO+OH最小，此时DH⊥FG，在RtΔFHO中，(2FH)2=FH2+(2+2-2FH)2，求出FH=2，可得FG的最小值为22，再求SΔDFG =22+2，即ΔDEG的面积的最小值为22+2．【解答】解：连接EF，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，∴∠B=45°，∠DAC=60°，∵∠BAC=105°，∵A、E、F、D四点共圆，∴∠EDF=75°，∵∠EDG=120°，∴∠FDG=45°，∵ED =ED ，∴∠EFD =∠FDG ，∴EF ⎳DG ，∴S ΔEDG =S △EDG ，∵CD =4+22，∠C =30°，∴AC =833+463，AD =433+263，∴AC 边上的高=AD ⋅DC AC=2+2，∴当FG 最小时，ΔDFG 的面积就最小，作ΔDFG 的外接圆O ，过O 点作OH ⊥FG 交于点H ，连接OF 、OG ，∵∠FDG =45°，∴∠FOG =90°，∵OF =GO ，∴ΔFOG 是等腰直角三角形，∵∠FOH =12∠FOG =45°，∴ΔFOH 是等腰直角三角形，∴FH =OH =12FG ，FO =2FH ，∴DO +OH =22FG +12FG =12+22FG ，∴当DO +OH 最小时，FG 就最小，∵DO +OH ≥DH ，∴当D 、O 、H 三点共线时，DO +OH 最小，此时DH ⊥FG ，∴DH =2+2，在Rt ΔFHO 中，(2FH )2=FH 2+(2+2-2FH )2，解得FH =2或FH =4+32，∵OH =2+2=FH +FO ，∴FH =2，∴FG 的最小值为22，∴S ΔDFG =12×22×(2+2)=22+2，∴ΔDEG 的面积的最小值为22+2，故答案为：22+2．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆心角与圆周角的关系，四点共圆的性质，三角形外接圆的性质是解题的关键．二．解答题2.(2022秋•建湖县期中)如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，DB =DC ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角．(1)若∠DAE =75°，则∠DAC =°；(2)过点D 作DE ⊥AB 于E ，判断AB 、AE 、AC 之间的数量关系并证明；(3)若AB =6、AE =2，求BD 2-AD 2的值．【分析】(1)根据四边形外接圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得∠DCB=∠DBC=∠DAC=75°；(2)过点D作DF⊥AC于点F，可证明ΔBDE≅ΔCDF(AAS)，ΔADE≅ΔADF(AAS)，则AC=AF+FC= AE+BE=AE+AE+AB=2AE+AB；(3)在RtΔBDE中，BD2=64+DE2，在RtΔAED中，AD2=4+ED2，再求解即可．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠BCD，∵BD=CD，∴∠CBD=∠DCB，∵弧CD所对的圆周角分别为∠CAD、∠CBD，∴∠CBD=∠CAD，∵∠DAE=75°，∴∠DCB=∠DBC=∠DAC=75°，故答案为：75；(2)过点D作DF⊥AC于点F，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∵∠ABD=∠ACD，BD=CD，∠E=∠DFC=90°，∴ΔBDE≅ΔCDF(AAS)，∴DE=DF，AE=CF，∴∠ADE=∠ADF，又∵∠E=∠AFD，AD=AD，∴ΔADE≅ΔADF(AAS)，∴AE=AF，∴AC=AF+FC=AE+BE=AE+AE+AB=2AE+AB，即AC=2AE+AB；(3)在RtΔBDE中，BD2=BE2+DE2，在RtΔAED中，AD2=AE2+ED2，∵AB=6，AE=2，∴BE=8，∴BD2=64+DE2，AD2=4+ED2，∴BD2-AD2=60．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，直角三角形勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键．3.(2023秋•鄞州区期中)如图，在△ABC 中，点D ，E 为AB ，AC 上的点，BE =CD ，DC ，BE 交于F ，△BDF 与△CEF 的外接圆相交于点G (异于F )，H 1，H 2分别为△ABC 和△ADE 的垂心．证明：(1)GF 平分∠BFC ；(2)H 1，H 2，G 三点共线．(注：利用坐标系、复数解题者不给分)【分析】(1)通过证明△BGE ≅△DGC 得出DG =BG ，然后由BG =DG 推导出∠BFG +∠DFG =180°，再由邻补角的性质得出∠BFG =∠GFC ，即可证明结论；(2)根据题意构造B 、E 、B ′、E ′四点共⊙P ，以及D 、C 、D ′、C ′四点共⊙Q ，然后由相似三角形推导出点H 1、H 2对于⊙P 和⊙Q 等幂，再由根轴的性质得出H 1H 2是PQ 的垂直平分线，最后根据GP =GQ 得到GM ⊥PQ ，进而证得三点共线．【解答】(1)证明：在△BGE 和△DGC 中，∠GBE =∠GDC ，BE =CD ，∠GEB =∠GCD ，∴△BGE ≅△DGC (ASA )．∴DG =BG ，∴BG =DG ，∵DBG +DG =2πR (R 为△BDF 的外接圆半径)．∴∠BFG +∠DFG =180°．又∵∠GFC +∠DFG =180°，∴∠BFG =∠GFC ，∴GF 平分∠BFC ．(2)证明：连接BH 1、DH 2并延长分别交AC 于B ′、D ′，连接CH 1、EH 2并延长交AB 于C ′、E ′．BE 中点为P ，CD 中点为Q .∵BB ′⊥AC ，EE ′⊥AB ，∴B 、E 、B ′、E ′四点共⊙P ．∵DD ′⊥AC ，CC ′⊥AB ，∴D 、C 、D ′、C ′四点共⊙Q ．∵∠DE ′H 2=∠ED ′H 2，∠DH 2E ′∽△EH 2D ′，∴△DE ′H2∽△ED ′H 2，∴DH 2:EH 2=E ′H 2:D ′H 2，∴DH 2⋅D ′H 2=EH 2⋅E ′H 2．同理得CH 1⋅C ′H 1=BH 1⋅B ′H 1．∴H 1，H 2在⊙P 和⊙Q 的根轴上．∵⊙P 和⊙Q 的根轴是过两圆的交点的直线．∴H 1，H 2在⊙P 和⊙Q 的公共弦JK 上．又∵BE =CD ，即⊙P 和⊙Q 是等圆，∴四边形PJQK 为菱形．∴H 1H 2是PQ 的垂直平分线，M 为PQ 中点．由(1)知△BGE ≅△DGC ，∵GP 、GQ 分别为△BGE 和△DGC 的对应边上的中线，∴GP =GQ ，∴点G 在PQ 的垂直平分线上．∴H 1，H 2，G 三点共线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆幂定理，菱形的性质，等腰三角形的性质等．本题辅助线繁多，综合性强，通过四点共圆判断出H 1、H 2两点对于⊙P 和⊙Q 等幂是解答本题的关键．4.(2022秋•沙坪坝区校级期中)在ΔABC 中，已知AB =AC ，作AM ⊥BC ，D 是AM 上一点，∠DBC =30°，连接BD 、CD ，在BD 上截取DE =AD ，连接AE ．(1)如图1所示，若∠BAC =90°，AD =3，求ΔABE 的周长；(2)如图2所示，若分别取AE 、AC 的中点N 、H ，连接MN 、MH ，求证：MN =MH ；(3)如图3所示，∠BAC =90°，BC =2，将AC 沿着直线AP 翻折得到AQ ，连接BQ ，直线BQ 交AP 于点P ，N 为AE 中点，当PN 取得最小值时，请直接写出ΔAPN 的面积．【分析】(1)过点D 作DL ⊥AE 于L ，则∠ALD =∠ELD =90°，由∠DBC =30°，可得BD =2DM ，设DM =x ，则BD =2x ，由勾股定理可得BM =3x ，AM =x +3，可得BM =CM =AM =33+32，AB =2BM =2×33+32=36+322，利用勾股定理可得AL =AD 2-DL 2=(3)2-32 2=32，进而可得AE =2AL =2×32=3，即可求得答案；(2)延长AM 至F ，使MF =AM ，在DF 上截取DT =DE ，连接EF ，ET ，设∠ABM =α，则∠BAM =90°-α，可证得ΔDET 是等边三角形，得出：DT =ET =DE =AD ，∠DTE =60°，再证得ΔABD ≅ΔEFT (SAS )，可得AB =EF =AC ，利用三角形中位线定理可得MN =12EF ，再由直角三角形性质可得MH =12AC ，即可证得结论；(3)连接CP ，先证得点P 在ΔABC 的外接圆⊙M 上，当且仅当点P 为半径MP 经过点N 时，PN 取得最小值，连接DN ，过点N 作NG ⊥AM 于G ，利用解直角三角形可得DM =BM ⋅tan30°=33，AD =DE =1-33，AN =EN =32AD =321-33 ，NG =12AN =12×321-33 =3-14，AG =3NG =3-34，GM =AM -AG =1-3-34=1+34，由勾股定理可得MN =GM 2+NG 2=1+34 2+3-14 2=22，PN =MP -MN =1-22，再利用S ΔAPN S ΔAMN =PN MN=2-1，即可求得答案．【解答】(1)解：过点D 作DL ⊥AE 于L ，则∠ALD =∠ELD =90°，∵∠BAC =90°，AB =AC ，AM ⊥BC ，∴AM =BM =CM ，∠BMD =90°，∠ABM =∠BAM =45°，∵∠DBC =30°，∴BD =2DM ，设DM =x ，则BD =2x ，∴BM =BD 2-DM 2=(2x )2-x 2=3x ，AM =x +3，∴3x =x +3，∴x =3+32，∴BM =CM =AM =33+32，∴AB =2BM =2×33+32=36+322，∵DE =AD ，∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DAE +∠DEA =∠BDM =90°-30°=60°，∴∠DAE =∠DEA =30°，∴∠BAE =∠BAM -∠DAE =45°-30°=15°，∵∠ABD =∠ABM -∠DBC =45°-30°=15°，∴∠BAE =∠ABD ，∴AE =BE ，在Rt ΔADL 中，DL =12AD =32，∴AL =AD 2-DL 2=(3)2-322=32，∵DE =AD ，DL ⊥AE ，∴AE =2AL =2×32=3，∴ΔABE 的周长=AB +AE +BE =36+322+3+3=36+32+122；(2)证明：延长AM 至F ，使MF =AM ，在DF 上截取DT =DE ，连接EF ，ET ，设∠ABM =α，则∠BAM =90°-α，∵∠DBC =30°，∴∠BDT =60°，∠ABD =α-30°，BD =2DM ，∵DE =AD ，∴∠AED =∠DAE =30°，∴ΔDET 是等边三角形，∴DT =ET =DE =AD ，∠DTE=60°，∵AF =2(AD +DM )=AT +FT ，∴FT =2DM =BD ，∵∠EDT =∠ETD =60°，∴∠ADB =180°-60°=120°=∠ETF ，在ΔABD 和ΔEFT 中，AD =ET∠ADB =∠ETF BD =FT，∴ΔABD ≅ΔEFT (SAS )，∴AB =EF ，∵AB =AC ，∴EF =AC ，∵N 、M 分别是AE 、AF 的中点，∴MN =12EF ，∵点H 是Rt ΔACM 斜边AC 的中点，∴MH =12AC ，∴MN =MH ；(3)解：如图，连接CP ，由翻折得：∠ACP =∠AQP ，AC =AQ ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，BC =2，AM ⊥BC ，∴AB =AQ ，AM =BM =CM =1，∴∠ABP =∠AQB ，∵∠AQB +∠AQP =180°，∴∠ABP +∠ACP =180°，∴点P 在ΔABC 的外接圆⊙M 上，当且仅当点P 为半径MP 经过点N 时，PN 取得最小值，如图，连接DN ，过点N 作NG ⊥AM 于G ，∵∠DBC =30°，∴DM =BM ⋅tan30°=33，∴AD =DE =1-33，∴AN =EN =32AD =321-33，∵∠AGN =90°，∠NAG =30°，∴NG =12AN =12×321-33 =3-14，∴AG =3NG =3-34，∴GM =AM -AG =1-3-34=1+34，在Rt ΔMNG 中，MN =GM 2+NG 2=1+342+3-14 2=22，∴PN =MP -MN =1-22，∴SΔAPNSΔAMN=PNMN=1-2222=2-1，∵SΔAMN=12AM⋅NG=12×1×3-14=3-18，∴SΔAPN=(2-1)SΔAMN=(2-1)×3-18=6-3-2+18．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的判定，三角形面积等，涉及知识点多，难度大，添加适当的辅助线是解题的关键与难点．5.(2022秋•鼓楼区期中)以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆(图1、2)；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆(图3)；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆(图4)．(1)在图1、2中，取AC的中点O，根据得OA=OB=OC=OD，即A，B，C，D共圆；(2)在图3中，画⊙O经过点A，B，D(图5)．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得=180°，所以∠BED=，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．求证：AF是ΔABC的高．(补全以下证明框图，并在图上作必要标注)(4)如图7，点P是ΔABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在ΔABC的外接圆上．【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；(2)由圆周角的性质可得∠BED+∠A=180°，再结合题干条件，得出矛盾，由此可得出结论；(3)如图，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE=∠ECB，由点A、D、H、E四点共圆得∠BDE=∠BAF，从而证明∠BAF+∠ABF=90°即可；(4)连接BP和CP，由点A，E，P，F四点共圆可得，∠BEF=∠BPF，由点C，P，D，F四点共圆可得∠CDF =∠CPF，再由外角的性质及角的和差可得∠BAC=∠BPC，由此可得点A，B，C，P四点共圆，即点P在ΔABC的外接圆上．【解答】解：(1)在图1、2中，取AC的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OA=OB= OC=OD，即A，B，C，D共圆；故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)在图3中，画⊙O经过点A，B，D(图5)．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得∠BED+∠A=180°，∴∠BED=180°-∠A，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．故答案为：∠BED+∠A；180°-∠A；(3)如图6，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE=∠ECB，由点A、D、H、E四点共圆得∠BDE=∠BAF，∴∠ECB=∠BAF，∵∠BEC=90°，∴∠ECB+∠ABF=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠BFA=90°，∴AF为ΔABC的边BC上的高．(4)如图7，连接BP和CP，由点A，E，P，F四点共圆可得∠BEF=∠BPF，由点C，P，D，F四点共圆可得∠CDF=∠CPF，∵∠ADE=∠CDF，∴∠ADE=∠CPF，∵∠BAC=∠BEF+∠ADE，∠BPC=∠BPF+∠CPF，∴∠BAC=∠BPC，∴点A，B，C，P四点共圆，即点P在ΔABC的外接圆上．【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第(3)(4)题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等．类型二、圆中最值问题一．填空题6.(2022秋•长沙期中)如图，⊙O 的半径为1，P A ，PB 为⊙O 的切线，切点为A ，B ，∠APB =60°，点M 为劣弧AB 上一动点，过点M 作⊙O 的切线，分别交P A ，PB 于点E ，F ，EF 的最小值是．【分析】由切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质，可以求解．【解答】解：连接OA ，OE ，OM ，OF ，OB ，∵P A ，PB 为⊙O 的切线，EF 切⊙O 于M ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OM ⊥EF ，∵四边形PBOA 内角和是360°，∴∠P +∠AOB =360°-∠P AB -∠PBA =180°，∴∠AOB =180°-∠P =120°，∵OE =OE ，OA =OM ，∴Rt ΔOAE ≅Rt ΔOME (HL )，∴∠AOE =∠MOE ，同理：∠MOF =∠BOF ，∴∠EOF =∠EOM +∠FOM =12∠AOB =60°，设ΔOEF 的外心是点C ，作CH ⊥EF 于H ，连接CO ，CE ，CF ，OM ，∵点C 是ΔOEF 的外心，∴OC =EC =FC ，∴∠CEF =∠CFE ，EH =FH ，∵∠ECF =2∠EOF =120°，∴∠CEF =30°，∴CH =12CE =12OC ，∵OC +CH ≥OM ，∴3CH ≥1，∴CH ≥13，∵tan ∠CEH =CH EH，∴EH =3CH ，∴EF =2EH =23CH ，∴EF ≥233，∴EF 的最小值是233，故答案为：233．【点评】本题考查有关圆的最值问题，关键是掌握切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性二．解答题7.(2022秋•东城区校级期中)对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G 的“k分点”．已知点N(3,0)，A(1,0)，B(0,3)，C(1,-1)．(1)①在点A，B，C中，线段ON的“2分点”是；②点D(a,0)，若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；(2)以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．【分析】(1)①分别求出点A、B、C到线段ON的最小值和最大值，看是否满足“2分点”定义即可，②对a的取值分情况讨论：0<a≤1，1<a≤2，a>2和a<0，根据“二分点”的定义可求解，(2)设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)．对r的取值分情况讨论0<r≤1，1<r<3且m<r，1<r<3且m>r，r≥3，根据二分点的定义可求解．【解答】(1)解：①如图，∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，点B到ON的最小值为OB=3，最大值为BN=32+32=32，∴点B是线段ON的“2分点”，点C到ON的最小值为1，最大值为CN=22+12=5∴点C不是线段ON的“2分点”，故答案为：点B；②当0<a≤1时，点C到OD的最小值为CD=(1-a)2+(-1)2=2-2a+a2，点C到OD的最大值为CO=12+(-1)2=2，∴2=22-2a+a2，即2a2-4a+3=0，∵△<0，故无解，舍去；当1<a≤2时，点C到OD的最小值为1，点C到OD的最大值为CO=12+(-1)2=2，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，当a>2时，点C到OD的最小值为1，点C到OD的最大值为CD=(a-1)2+(0-1)2=a2-2a+2，∵点C为线段OD的“二分点”，∴a2-2a+2=2×1，a1=1+3,a2=1-3(舍去)，当a<0时，点C到OD的最小值为CO=12+(-1)2=2，点C到OD的最大值为CD=(1-a)2+(-1-0)2=a2-2a+2，∵点C为线段OD的“二分点”，同0<a≤1时，无解，舍去；综上，a=1+3．(2)如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)，当0<r≤1时，最小值为：m-r，最大值为：m+r，m，∴2(m-r)=m+r，即r=13∵1≤m≤3，≤r≤1，∴13当1<r<3且m<r时，最小值为：r-m，最大值为r+m，∴2(r-m)=r+m，即r=3m，∵1≤m≤3，∴3≤r≤9，∵1<r<3，∴r不存在，当1<r<3且m>r时，最小值为：m-r，最大值为：m+r，m，∴2(m-r)=r+m，即r=13≤r≤1，∴13∵1<r<3，∴r 不存在．当r ≥3时，最小值为：r -m ，最大值为：m +r ，∴2(r -m )=r +m ，即r =3m ，∴3≤r ≤9．综上所述，r 的取值范围为13≤r ≤1或3≤r ≤9．【点评】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“k 分点”的定义是解题的关键．8.(2022秋•江阴市期中)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-3，0)，点B 在y 轴的正半轴上，且∠ABO =30°，以点B 为圆心，1为半径画⊙B ，与y 轴交于点C (点C 在点B 的下方)，点Q 是AB 的中点，点P 是⊙B 上的一个动点，从点C 开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为t 秒．(1)如图1，连接OQ ，当OQ ⎳BP 时，求t 的值；(2)如图2，点P 在运动过程中，连接AP ，以AP 为边在左侧作等边ΔAPD ，①当t =12秒时，求点D 的坐标；②连接DQ ，当DQ 最大时，求此时t 的值和这个最大值．【分析】(1)如图，过点B 作BP ⎳OQ ，交⊙B 于点P 1，P 2，由平行得出点P 的旋转角，进而可得出时间t ；(2)①将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°到线段AB ′，连接B ′D ，易证△AB ′D ≅ΔABP (SAS )，所以B ′D =BP =1，∠AB ′D =∠ABP =90°；过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，过点D 作DM ⊥B ′N 于点M ，所以∠M =∠ANB ′=90°，由互余可知，∠MBD ′=∠B ′AN ，所以∠B ′AB =60°，∠BAO =60°，所以∠B ′AN =60°，AN =3，B ′N =3，则MB ′=12，MD =32，进而可得点D 的坐标；②由旋转可知，点D 在以点B ′为圆心，1长为半径的圆上运动，当DQ 最大时，点D ，B ′，Q 三点共线，设⊙B与y 轴的另一个交点为C ′，则C ′(0,4)，OC ′=4，由点Q 是AB 的中点可知，Q -32，32，B ′(-23，3)，进而可得B ′Q =3，所以DQ =4，易证△AB ′Q ≅ΔABO (SSS )，进而可得ΔADQ ≅△AC ′O (SAS )，所以AD =AC ′，即此时点P 与点C ′重合，所以t =180°5°=36．【解答】解：(1)如图：∵ΔABO 是直角三角形，Q 是AB 中点，∴OQ =QA =QB ，∴∠BOQ =∠ABO =30°，又∵OQ ⎳BP 1，∴∠OBP 1=∠BOQ =30°，∴点P 的轨迹是⊙B 中30°圆心角所对的弧，∴t =30°5°=6，∵当点P 运动到P 1B 延长线与⊙B 的交点P 2时，点P 的轨迹是⊙B 中180°+30°=210°圆心角所对的弧，∴t =210°5°=42．故t 的值为6或42；(2)①如图，∵∠ABO =30°，OA =3，∴OB =3，AB =23，当t =12时，∠CBP =60°，∴∠ABP =90°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°到线段AB ′，连接B ′D ，由旋转可知，∠BAB ′=60°，AB =AB ′=23，∵ΔADP 是等边三角形，∴∠DAP =60°，AD =AP ，∴∠B ′AD =∠BAP ，∴△AB ′D ≅ΔABP (SAS )，∴B ′D =BP =1，∠AB ′D =∠ABP =90°，过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，过点D 作DM ⊥B ′N 于点M ，∴∠M =∠ANB ′=90°，∴∠AB ′N +∠B ′AN =90°，∠MB ′D +∠AB ′N =90°，∴∠MB ′D =∠B ′AN ，∵∠B ′AB =60°，∠BAO =60°，∴∠B ′AN =60°，AN =3，B ′N =3，∴∠MB ′D =60°，∴MB ′=12，MD =32，∴MN =72．∴D -332，72；②由旋转可知，点D 在以点B ′为圆心，1长为半径的圆上运动，∴当DQ 最大时，点D ，B ′，Q 三点共线，如图所示，设⊙B 与y 轴的另一个交点为C ′，∴C ′(0,4)，∴OC ′=4，∵点Q 为AB 的中点，∴AQ =BQ =3，AB ′=AB =23，由①可知，B (0,3)，∴Q -32，32，B ′(-23，3)，∴DQ =4，∴B ′Q =BO ，AQ =BQ =3，AB ′=AB =23，∴△AB ′Q ≅ΔABO (SSS )，∴∠AQB ′=∠AOB =90°，∵DQ =OC ′，AQ =AO ，∴ΔADQ ≅△AC ′O (SAS )，∴AD =AC ′，即此时点P 与点C ′重合，∴t =180°5°=36．综上，t =36，DQ 最大值是4．【点评】本题属于圆的综合题，涉及考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的相似与判定，含30°的直角三角形的三边关系，根据题意得出点D 的轨迹是解题关键．类型三、定点定长构造辅助圆一．填空题9.(2023秋•常州期中)如图，点A ，B 的坐标分别为A (4,0)，B (0,4)，C 为坐标平面内一点，BC =2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，OM 的最大值为．【分析】先判断出点C 的运动轨迹是在半径为2的⊙B 上，再取OD =OA =4，连接OD ，则OM 是ΔACD 的中位线，OM =12CD ，进而可得OM 最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，计算即可求出结果．【解答】解：∵C 为坐标平面内一点，BC =2，∴点C 的运动轨迹是在半径为2的⊙B 上，如图，取OD =OA =4，连接OD ，∵点M 为线段AC 的中点，∴OM 是ΔACD 的中位线，∴OM =12CD ，∴OM 最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，此时在Rt ΔOBD 中，BD =42+42=42，∴CD =2+42，∴OM 的最大值是1+22．故答案为：1+22．【点评】本题考查了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点C 的运动轨迹．二．解答题10.(2022秋•秀洲区期中)如图，ΔABC 中，AC =BC =4，∠ACB =90°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．(1)小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，∠AEB 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上．∴∠AEB =∠ACB =°．(2)若BE =2，求CF 的长．(3)线段AE 最大值为；若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为．【分析】(1)根据AC =BC =EC ，得A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，根据圆周角定理可知∠AEB 的度数；(2)由ΔEFG 是等腰三角形可求出FG =1，利用勾股定理求出CG 的长，从而得出答案；(3)根据直径是圆中最大的弦知当AE 经过圆心C 时，线段AE 的最大值为2AC =8，取AB 的中点O ，连接OF ，可证∠AFB =90°，则点F 在以AB 为直径的圆O 上，当OF 经过点M 时，MF 最短，此时OF ⊥BC ，从而解决问题．【解答】解：(1)∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，∴∠AEB =12∠ACB =45°，故答案为：12，45；(2)由折叠可知，CD 垂直平分BE ，∴BE ⊥CD ，设CD 、BE 交于点G ，则GE =BG =12BE =1，∴∠FGE =90°，∵∠AEB =45°，∴FG =GE =1，在Rt ΔCEG 中，由勾股定理得，CG =CE 2-DE 2=15，∴CF =CG -FG =15-1；当点E 在AB 的下方时，如图，∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，∴∠EAB +∠EBA =12∠ACB =45°，即∠BEF =45°，由翻折可知，∠EGF=90°，EG=GB 12BE=1，∴ΔEGF是等腰直角三角形，∴GF=EG=1，在RtΔCEG中，CG=CE2-EG2=42-12=15，∴CF=15+1，综上所述，CF的长为15-1或15+1；(3)∵A，B，E，三点在以C为圆心，以AC为半径的圆上，∴当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC=8，在RtΔABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=42，BM=CM=12BC=2，∠ABC=∠BAC=45°，连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图，∵CD垂直平分BE，∠AEB=45°，∴BF=EF，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴∠EFB=90°，∴∠AFB=90°，∴OF=12AB=OA=OB=22，∴点F在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∵∠ACB=90°，∴点C在⊙O上，∴当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，∴OM=BM⋅tan∠ABC=2×1=2，∴MF=OF-OM=22-2，即线段MF的最小值为22-2，故答案为：8；22-2．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．类型四、定弦定角构造辅助圆一．填空题11.(2023春•梁子湖区期中)如图，矩形ABCD的边AB=8，AD=6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP=∠P AB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为．【分析】先找出点P 的运动路线为以AD 为直径的圆，设圆心为O ，作点M 关于直线DC 的对称点M ′，连接OM ′交⊙O 于点P ′，可推出M ′P ′的长即为PN +MN 的最小值，再求出M ′P ′的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，∵∠ADP =∠P AB ，∴∠ADP +∠P AD =∠P AB +∠P AD =∠BAD =90°，∴点P 的运动路线为以AD 为直径的圆，作以AD 为直径的⊙O ，作点M 关于直线DC 的对称点M ′，连接OM ′交⊙O 于点P ′，连接M ′N ，OP ，则OP =OP ′=3，M ′N =MN ，∴PN +MN =PN +M ′N =PN +M ′N +OP -OP ′≥OM ′-OP ′=OM ′-3，∴PN +MN 的最小值为OM ′-3；连接OM ，∵四边形ABCD 是矩形，点O 是AD 的中点，点M 为BC 的中点，∴OD =12AD =12BC =CM =3，OD ⎳CM ，∠ODC =90°，∴四边形OMCD 是矩形，∴OM =DC =AB =8，∵点M 关于直线DC 的对称点M ′，∴M ′M =2MC =6，在Rt △M ′OM 中，由勾股定理，得OM ′=OM 2+M ′M 2=82+62=10，∴PN +MN 的最小值为OM ′-3=10-3=7，故答案为：7．【点评】本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．二．解答题小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．①已知：如图1，OA =OB =OC ，若∠AOB =50°，求∠ACB 的度数．解：若以点O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，∠AOB 是⊙O 的圆心角，而∠ACB 是圆周角，从而可容易得到∠ACB = °．②如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且∠BPC =90°，若AB =4，求AP 的最小值．解：∵BC =4，∠BPC =90°，∴点P 在以BC 为直径的圆上，设圆心为点O ，则O 、P 、A 三点共线时AP 最小，最小值为 ．(2)【问题解决】①如图3，在平行四边形ABCD 中，已知AB =4，BC =6，∠ABC =60°，点P 是BC 边上一动点(点P 不与B ，C 重合)，连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点Q ，则线段QC 的最小值为 ．②如图4，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，D 为AC 上一动点，以AD 为直径的⊙O 交BD 于E ，求线段CE 的最小值．(3)【问题拓展】如图5，在平面直角坐标系中，已知两点A (2,3)，B (6,7)，x 轴上有一动点P ，当∠APB 最大时，直接写出点P 的坐标 ．【分析】(1)①利用圆周角定理即可求得答案；②由正方形性质可得：∠ABC =90°，BC =AB =4，OB =12BC =2，由勾股定理得：AO =25，推出点P 在以BC 为直径的⊙O 上，则O 、P 、A 三点共线时AP 最小，即可求得答案；(2)①过点A 作AH ⊥BC 于H ，利用解直角三角形得AH =AB ⋅sin ∠ABC =23，BH =AB ⋅cos ∠ABC =2，CH =BC -BH =4，由勾股定理得AC =27，再由AQ =AB =4，可得点Q 在以A 为圆心AB 为半径的⊙A 上，即当C 、Q 、A 三点共线时QC 最小，QC 的最小值=AC -AQ =27-4；②连接AE ，由AD 是⊙O 的直径，可得∠AED =90°，推出∠AEB =90°，即点E 在以AB 为直径的圆上，进而可得当C 、E 、Q 三点共线时，CE 最小，运用勾股定理即可求得答案；(3)当∠APB 最大时，过A 、B 两点的⊙O ′与x 轴相切，利用待定系数法可得直线AB 的解析式为y =x +1，线段AB 的垂直平分线为y =-x +9，设O ′(m ,-m +9)，根据O ′A =O ′B =O ′P ，建立方程求解即可得出答【解答】解：(1)①如图1，以点O为圆心，OA为半径作辅助圆⊙O，∵AB =AB ，∠AOB=50°，∠AOB=25°，∴∠ACB=12故答案为：25．②点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC=90°，若AB=4，求AP的最小值．如图②，以BC为直径作⊙O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=4，BC=2，∴OB=12在Rt△ABO中，AO=AB2+OB2=42+22=25，∵BC=4，∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，则O、P、A三点共线时AP最小，∴AP的最小值=AO-OP=25-2，故答案为：25-2．(2)①如图3，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=4，BC=6，∠ABC=60°，则AH=AB⋅sin∠ABC=4sin60°=23，BH=AB⋅cos∠ABC=4cos60°=2，∴CH=BC-BH=6-2=4，在Rt△ACH中，AC=AH2+CH2=(23)2+42=27，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ=AB=4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值=AC-AQ=27-4，故答案为：27-4．②如图4，连接AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=180°-∠AED=90°，以AB 为直径作⊙Q ，交⊙O 于E ，当C 、E 、Q 三点共线时，CE 最小，∵△ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，∴QE =AQ =12AB =2，∴CQ =AC 2+AQ 2=32+22=13，∴CE =CQ -QE =13-2，故线段CE 的最小值为13-2．(3)当∠APB 最大时，过A 、B 两点的⊙O ′与x 轴相切，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A (2,3)，B (6,7)代入，得：2k +b =36k +b =7 ，解得：k =1b =1 ，∴直线AB 的解析式为y =x +1，∵线段AB 的中点坐标为(4,5)，圆心O ′在AB 的垂直平分线上，∴线段AB 的垂直平分线为y =-x +9，设O ′(m ,-m +9)，∵O ′A =O ′B =O ′P ，∴(m -2)2+(-m +9-3)2=(-m +9)2，解得：m =42-1或m =-42-1(舍去)，∴点P 的坐标为(42-1，0)，故答案为：42-1．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13.(2022秋•泗洪县期中)已知：⊙O 和⊙O 外一点P ．(1)如图甲，P A 和PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 分别为切点，求证：P A =PB ．(2)尺规作图：在图乙中，过P 点画⊙O 的两条切线PE 、PF ，E 、F 为切点(要求：保留作图痕迹，不写作法)．【分析】(1)如图，连接OP、OA、OB．只要证明RtΔP AO≅RtΔPBO(HL)，可得P A=PB．(2)以OP为直径作⊙O′，两圆交于点E、F，直线PE、PF即为所求；【解答】解：(1)如图，连接OP、OA、OB．∵P A、PB是切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠P AO=∠PBO=90°，在RtΔP AO和RtΔPBO中，OP=OP，OA=OB∴RtΔP AO≅RtΔPBO，∴P A=PB．(2)以OP为直径作⊙O′，两圆交于点E、F，直线PE、PF即为所求；【点评】本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质，直径的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．类型五、对角互补构造辅助圆14.(2021秋•越秀区校级期中)如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．(1)判断ΔABD的形状；(2)如图2，在(1)的结论下，若BQ=22，DQ=3，∠BQD=75°，求AQ的长；(3)如图3，在(1)的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α(0°<α<90°)得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．【分析】(1)由∠ACB+∠ADB=90°+90°=180°，知点A、C、B、D上四点共圆，则∠ACD=∠ABD=45°，即可得出结论；(2)将ΔADQ绕点D顺时针旋转90°得ΔBDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，得ΔQDE是等腰直角三角形，从而可解直角三角形BQH，在RtΔBEH中，利用勾股定理得可求出BE的长度，从而解决问题；(3)在AF上截取AM=PF，利用SAS证明ΔADM≅ΔPDF，得∠ADM=∠PDE，DM=DF，可证明ΔMDF、ΔPEF是等腰直角三角形，从而解决问题．【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∵∠ACB+∠ADB=90°+90°=180°，∴点A、C、B、D上四点共圆，∴∠ACD=∠ABD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形；(2)将ΔADQ绕点D顺时针旋转90°得ΔBDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，∴DQ=DE，∠QDE=90°，AQ=BE，∴ΔQDE是等腰直角三角形，∴∠DQE=45°，∴QE=2DQ=32，∵∠BQD=75°，∴∠BQE=∠BQD+∠DQE=120°，∴∠BQH=60°，BQ=2，BH=6，∴QH=12在RtΔBEH中，由勾股定理得BE=BH2+EH2=(42)2+(6)2=38，∴AQ=BE=38；(3)AF=2DE．，理由如下：如图，在AF上截取AM=PF，∵DA=DP，∴∠DAM=∠DPF，∴ΔADM≅ΔPDF(SAS)，∴∠ADM=∠PDE，DM=DF，∵BD=DP，DE⊥BP，∴∠BDE=∠PDE，∴∠ADM=∠BDE，∴ΔMDF是等腰直角三角形，∴∠MFD=45°，MF=2DF，∴∠EFP=45°，∴ΔPEF是等腰直角三角形，∴PF=2EF，∴AF=2DE．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．15.(2021秋•西城区校级期中)如图，ΔABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；(3)若ΔABC的边长为1，直接写出EF的最大值．【分析】(1)利用SAS证明ΔBAD≅ΔCAE，即可得出结论；(2)过点C作CG⎳BP交DF的延长线于点G，利用等角对等边可得CG=CE，由(1)ΔBAD≅ΔCAE，得BD=CE，再利用AAS证明ΔBDF≅ΔCGF，从而解决问题；(3)由(2)知∠AFC=∠AEC=90°，则点A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，故EF的最大值为直径．【解答】(1)证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴ΔADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在ΔBAD和ΔCAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴ΔBAD≅ΔCAE(SAS)，∴BD=CE；(2)证明：如图，过点C作CG⎳BP交DF的延长线于点G，∴∠G=∠BDF，∴∠G =30°，由(1)可知，BD =CE ，∠CEA =∠BDA ，∵AD ⊥BP ，∴∠BDA =90°，∴∠CEA =90°，∵∠AED =60°，∴∠CED =30°=∠G ，∴CE =CG ，∴BD =CG ，在ΔBDF 和ΔCGF 中，∠BDF =∠G∠BFD =∠CFG BD =CG，∴ΔBDF ≅ΔCGF (AAS )，∴BF =FC ，即F 为BC 的中点；(3)解：如图，连接AF ，∵ΔABC 是等边三角形，BF =FC ，∴AF ⊥BC ，∴∠AFC =90°，∴∠AFC =∠AEC =90°，∴点A ，F ，C ，E 四点在以AC 为直径的圆上，∴EF 的最大值为直径，即最大值为1．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．16.(2023秋•东城区校级期中)如图1，在Rt ΔABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC +AD =BD ．(2)探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD之间的数量关系，并证明(3)拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当ΔABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【分析】(1)由题意：ΔBAE≅ΔBCD，推出AE=CD，BE=BD，推出CD+AD=AD+AE=DE，ΔBDE是等腰直角三角形，推出DE=2BD，可得DC+AD=2BD；(2)结论：AD-DC=2BD．过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．只要证明ΔCDB≅ΔAEB，即可解决问题；(3)如图3中，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，ΔABD的面积最大．【解答】解：(1)如图1中，由题意：ΔBAE≅ΔBCD，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵ΔBDE是等腰直角三角形，∴DE=2BD，∴DC+AD=2BD，故答案为2．(2)AD-DC=2BD．证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC，∴∠ABE=∠CBD．∵∠BAE+∠AOB=90°，∠BCD+∠COD=90°，∠AOB=∠COD，∴∠BAE=∠BCD，∴∠ABE=∠DBC．又∵AB=CB，∴ΔCDB≅ΔAEB，∴CD=AE，EB=BD，∴△BD为等腰直角三角形，DE=2BD．∵DE=AD-AE=AD-CD，∴AD-CD=2BD．(3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，ΔABD的面积最大．。
初中数学圆中最值定值问题专题（推荐）
初中数学圆中最值定值问题专题（推荐）圆中最值域定值问题研究类型一、例1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB 的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_______1、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P 为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，圆A和圆B上的动点，则PE+PF的最小值为_________类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,,最大值为A P1例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______2、四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P 是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____类型三、随动位似隐圆例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．点D是边AC上一点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为_________[分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=12AD'=3,故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
圆中的定点、定值问题
第 1 页 共 2 页圆中的定点问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(1，1)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，－2y +3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝32．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m 1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B（不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A 为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标．解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A 为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． B AP OMy xB A P OM EFyx第 2 页 共 2 页∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2t －10λ2＝0，t 2－3－6λ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝15，t ＝95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－3(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫0，95对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15． 练习：1．过直线l ：x ＝－1上的动点Q 向⊙M ：(x －2)2＋y 2＝4作切线，切点分别为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：由题意，点Q ，M ，S ，T 四点共圆，且QM 为该圆直径，则线段ST 即为该圆与⊙M 的公共弦，设点Q (－1，t )，所以此圆方程为(x ＋1)(x －2)＋(y －t )y ＝0，两圆作差，从而直线ST 的方程为3x －ty －2＝0，令y ＝0，x ＝23，所以直线ST 恒过一个定点，且该定点坐标为⎝⎛⎭⎫23，0． 2．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，M ，N 是直线x ＝4上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0，以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．解：由题可设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，则以MN 为直径的圆的圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，y 1＋y 22，半径r ＝|y 2－y 1|2，从而圆C 的方程为(x －4)2＋⎝⎛⎭⎫y －y 1＋y 222＝(y 2－y 1)24，整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0，由F 1M →·F 2N →＝0得y 1y 2＝－15， 所以x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0，令y ＝0得x 2－8x ＋1＝0，所以x ＝4±15， 所以圆C 过定点(4±15，0)．3．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：法一：假设存在这样的点B (t ，0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3，0)时，PB P A ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3，0)时，PB P A ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)，或t ＝－95．下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数．设P (x ，y )， 则y 2＝9－x 2，∴PB 2P A 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2x ＋52＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825(5x ＋17)2(5x ＋17)＝925，∴PB P A ＝35为常数． 法二：假设存在这样的点B (t ，0)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得， x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB P A 为常数35．。
圆中的定点、定值问题
圆中的定点定值问题问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故2220,220.x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩，或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(45，25)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故220,230.x y y +-=⎧⎨-+=⎩解得1432x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标． 解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． BAP OM yxB A P OM EFyx∴22242100,360.t t λλ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩解得1,59.5t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,3.t λ=⎧⎨=-⎩(舍去)， 所以存在点B (0，95)对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15．例4． 已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：（1）设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2．（2）由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0．因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2．同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．例5．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．（1）若l 1与圆相切，求l 1的方程；（2）若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由． 解：（1）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0．由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即||3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34． ∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0．（2）(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)， 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．∴AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值．故AM ·AN 是定值，且为6．(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，(x －3)2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0．∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k ＋61＋k 2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．以下同解法1．。
2024数学中考压轴题-圆(九大题型和解题方法)
专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。
目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，AD 、BC 为O 两条弦，AD BC ⊥于点E ，连接OE ，AE CE =．(1)如图1，连接OE ，求AEO ∠的度数；(2)如图2，连接AC ，延长EO 交AC 于点N ，点F 为AC 上一点，连接EF ，在EF 上方作等腰直角三角形EFG ，且90EGF ∠=︒，连接NG ，求证：NG BC ∥；(3)在（2）的条件下，连接AB ，CD ，当点G 落在线段AB 上时，过点O 做OL OE ⊥，交CD 于点L ，交CE于点T ，若2OE EG CL ==，求O 半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB 为O 的直径，点C 为 AB 上一点，连接AC ，点D 为 BC上一点，连接AD ，过点D 作AB 的垂线，垂足为点F ，交O 于点E ，连接CE ，分别交AD 和AB 于点H 和点K ，且90AHE =︒∠．(1)如图1，求证：CAD BAD ∠=∠；(2)如图2，连接HF ，过点H 作HF 的垂线交AB 于点T ，求证：2AB FT =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC 交AD 于点G ，延长CD 交AB 的延长线于点M ，若CM AG =，5FT =，求CG 的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点G ，连接AD ，过点C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点H ，交O 于点E ，连接DE ．(1)如图1，求证：2E C ∠=∠；(2)如图2，求证：DE CH =；(3)如图3，连接BE ，分别交AD CD 、于点M N 、，当2OH OG =，HF =EN 的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，ABC 内接于O ，作AD BC ⊥于点D ．(1)连结AO ，BO ．求证：2180AOB DAC ∠+∠=︒；(2)如图2，若点E 为弧AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，若2BAD CAD ∠∠＝，490DBF CAD ∠+∠=︒，连结OF ，求证：OF 平分AFB ∠；(3)在（2）的条件下，如图3，点G 为BC 上一点，连结EG ，2BGE C ∠=∠．若AD =3BD EG +=，求DF 的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E ．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BDDE的值；(3)在（2）的条件下，若,AC BD 交于点G ，设FGx CF=，cos BDE y ∠=．①求y 关于x 的函数表达式．②若BC BD =，求y 的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，F 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AF ， 在AF 上取一点O ， 以OA 为半径作圆， 恰好使得O 经过点B 且与CD 相切于点E ．(1)若正方形的边长为4时，求O 的半径；(2)如图2， 将AF 绕点A 逆时针旋转45︒后，其所在直线与O 交于点G ，与边CD 交于点H ，连接DG BG ，．①求ADG ∠的度数；②求证：··²AB BF AG FG BG +=．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ．(1)如图1，当点E 与点O 重合时，判断ABD △的形状，并说明理由；(2)如图2，当1OE =时，求BC 的长；(3)如图3，若点P 是线段AD 上一点，连接PC ，当PC 与半圆O 相切时，判断直线PC 与AD 的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD Y 中，∠B 是锐角，AB =10BC =，在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．(1)当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．(2)如图3，已知O 与射线BA 交于另一点F ，将BEF △沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在O 中，AB 是O 的直径，点M 是直径AB 上的一个动点，过点M 的弦CD AB ⊥，交O 于点C 、D ，连接BC ，点F 为BC 的中点，连接DF 并延长，交AB 于点E ，交O 于点G ．图1 图2 备用图(1)如图1，连接CG ，过点G 的直线交DC 的延长线于点P ．当点M 与圆心O 重合时，若PGC MDE ∠=∠，求证：PG 是O 的切线；(2)在点M 运动的过程中，DE kDF =（k 为常数），求k 的值；(3)如图2，连接BG OF MF 、、，当MOF △是等腰三角形时，求BGD ∠的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线234y x x =-++与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)与y 轴交于点C ．(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)如图(1)，P 是抛物线上异于A ，B 的一点，将点B 绕点P 顺时针旋转45︒得到点Q ，若点Q 恰好在直线AP 上，求点P 的坐标；(3)如图(2)，MN 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，直线BN 与直线CM 交于点T ，若直线MN 经过定点()1,3，求证：点T 的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q 为平面内不重合的两个点，其中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为(10)-，，点B 的坐标为(30)，．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是第一象限内该抛物线上一动点，过点D 作直线l y 轴，直线l 与ABD △的外接圆相交于点E ．①仅用无刻度直尺找出图2中ABD △外接圆的圆心P ．②连接BC 、CE ，BC 与直线DE 的交点记为Q ，如图3，设CQE △的面积为S ，在点D 运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S 的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =--∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =-，②41y x =-，③23y x =-+，④31y x =--中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数2)304(2y x x x =-++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为 ；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，,,A B C 为O 上不重合的三点，GC 为O 的切线，1902G A ∠+∠=︒．(1)求证：GB 为O 的切线；(2)若ABC 为等腰三角形，345,tan 4BAC BAC ∠<︒∠=，求BC AG的值；(3)如图2，若AB 为直径，M 为线段AC 上一点且GM GB ⊥，2223880AM OB GB GB +-+-=，02GB <<，求MGBA S 四边形的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒．点D 为ABC 内一点，且60ADB ∠=︒，E 为线段BD 的中点，连接AE ．(1)如图1，若AB AC ==，2AD =，求BE 的长；(2)如图2，连接CD ，若AB AC =，BAE ACD ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥交于F ，求证：AE =；(3)如图3，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，连接MN ，若AB =4AC =，求MN 的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 是CD 上一点，且DF DE =．(1)求证：BE EF ⊥；(2)如图2，若120A ∠=︒，FG BC ⊥于点G ，H 是BF 的中点，连接DG ，EH ，EG ，且EG 与BF 相交于点K ．①求证：DG EH =；②若2CF DF =，求KFGK的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．(1) BC的度数为 °；(2)如图2，连结PC ，取PC 中点G ，则OG 的最大值为 ；(3)如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；(4)如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA+为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，B C =，D 是BC 的中点．经过A ，B ，D 三点的O 交AC 于点E ，连接BE ．(1)求AE 和BE 的长；(2)如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接PQ ．①记AP x =，当PQC △的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接BP 并延长交O 于点F ，连接AF 、FE ．当BE 平分FBC ∠时，求sin ABF ∠的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；(2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。
圆中最值定值问题
圆中的定值问题例1：已知：已知弧AB 为120度，在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB 有定值，并求出这个定值.例2：已知：O 是如图同心圆的圆心,AB 是大圆的直径，点P 是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R 与r ，问:PA 2＋PB 2是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由.（1）点P 放在直径AB 上.（2）点P 放在与直径AB 垂直的另一条直径上（3）点p 在任意位置例3. 如图，已知菱形ABCD 外切于⊙O ，MN 是与AD 、CD 分别交于M 、N 的任意一条切线。
求证：AM ·CN 为定值。
例4 如图，⊙O 的半径为R ，AB 、CD 是⊙O 的任意两条弦且AB ⊥CD 于M 。
求证：2AB +2)(DM CM -为定值。
例5.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R 。
求证： （1）2AK +2BK +2CK +2DK 是定值。
（2）2AB +2BC +2CD +2DA 是定值。
例6.如图，过⊙O 内定点P 作任意弦AB ，又过A 、B 作两切线，自点P 作两切线的垂线PQ 、PR ，垂足为Q 、R 。
求证：PQ 1+PR1为定值。
例7.如图，定长为1的弦ST 在一个以2为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。
求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。
AE FD C BA 例8如图，已知等边ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于N 。
证明：线段AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关。
例9. 如图，A 为定圆O 上的一定点，在过A 的切线上任取一点B ，并过线段AB 的中点C 作任意割线CDE ，交⊙O 于D 、E ，又直线BD 、BE 与⊙O 相交于P 、Q ，求证：弦PQ 恒有定向。
探求圆中定点或定值问题
探求圆中定点或定值问题作者：王佩其来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2011年第12期解析几何中，与圆方程有关的定点或定值问题，是考试中经常出现的一类问题，如何探求定点或定值，本文举例说明，供同学们参考.1.通过圆系方程探求定点如果圆C1:f1(x,y)=0和圆C2:f2(x,y)=0是相交的，那么f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示过两圆交点的动圆，反之，如果一个圆可以表示成上述的形式，那么圆必定过两个定圆的交点．例1 已知圆O的方程为x2+y2=1，它与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A(3,0)且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．解析:在圆方程x2+y2=1，中令y=0，得x=±1,即P(－1,0),Q(1,0)．又直线l2过点A 且与x轴垂直，∴直线l2方程为x=3，设M(s,t)，则直线PM方程为y=ts+1(x+1).解方程组x=3,y=ts+1(x+1) ,得P′(3,4ts+1).同理可得,Q′(3,2ts－1).∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x－3)(x－3)+(y－4ts+1)(y－2ts－1)=0，又s2+t2=1，∴整理得(x2+y2－6x+1)+6s－2ty=0，若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x2－6x+1=0，解得x=3±22，∴圆C′总经过定点坐标为(3±22,0)．评注：以P′Q′为直径的圆C是动圆，将动圆的方程改写为曲线系的形式，通过解方程组f1(x,y)=0f2(x,y)=0 得到定点的坐标．2.利用点在圆上探求定点或定值点在圆上运动变化时，点的坐标必满足圆的方程，也就是一个代数关系式，对这个代数关系式合理的变形后会产生其他一些代数关系式，对解析几何中的代数运算起简化作用．例2 已知圆C:x2+y2=4，它与x轴的左右两个交点分别为A,B，点M为直线x=4上一点，直线MA交圆C于P，直线MB交圆C于Q点，直线PQ交x轴于T点．求证：T为定点．证明：由题设得A(－2,0)，B(2,0)．设M(4,t)，P(x0,y0)，Q(x1,y1)，由A,P,M三点共线有y0x0+2=t6，同理y1x1－2=t2．∴y0x0+2•x1－2y1=13，整理得3x1y0－6y0=x0y1+2y1．又点P(x0,y0)，Q(x1,y1)在圆上，∴x20+y20=4即y20=4－x20，∴y0x0+2=－x0－2y0，∴-x0-2y0=t6，同理y1x1+2=－x1-2y1=-2t，∴y1(x0－2)y0(x1+2)=13，整理得3x0y1－6y1=x1y0+2y0，∴x0y1－x1y0=y1－y0．又PQ:y－y0=y1－y0x1－x0(x－x0)，令y=0得x T=x0y1－x1y0y1－y0=1，∴T为定点．评注：T为动直线与x轴的交点，用P,Q两点的坐标可以表示T的横坐标为x T=x0y1－x1y0y1－y0．点P,Q也在圆上，因此有关系式x20+y20=4,x21+y21=4，再利用三点共线所得的等式进行变形即可得出T的横坐标为定值1.3.利用关系式恒成立探求定点或定值在一些直线、圆的问题中，常常有一些几何对象的测度(如长度、面积、角等)或其比值在动态变化过程保持不变，这种不变性蕴含定点、定值．例3 已知点A(－3,0)，圆O的方程为x2+y2=4，是否存在不同于点A的定点B，对于圆O上任意一点M，都有MAMB为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．解析：设B(m,n)，M(x,y)， MAMB=k(k>0)．则x2+y2=4且(x+3)2+y2(x－m)2+(y－n)2=k，整理得， 6x+13=－2mk2x－2nk2y+(m2+n2)k2+4k2，其中，比较可以得到2nk2=0－2mk2=6(m2+n2)k2+4k2=13 ，解得n=0m=－43 ，∴B(－43,0)．评注:动点M在圆上运动变化时始终保持MAMB为定值，该几何性质可以用一个恒成立的代数关系体现，比对等式两边变量的系数得到关于点B坐标的方程组，解得定点B的坐标．4.利用圆锥曲线的几何性质探求定点或定值与圆锥曲线有关的圆的问题中，如果涉及到焦点、准线等，可以利用圆锥曲线的定义来解决圆的问题．例4 已知椭圆C:x22+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,下顶点为A，点P 是椭圆上任意一点，圆M是以PF2为直径的圆，求证：圆M总与某个定圆相切．解析：如图，连接PF2，考虑以O为圆心，2为半径的圆O．下证圆O与圆M相内切．∵M为PF2中点，O为F1,F2的中点，∴OM=12PF1=12(22－PF2)=2－12PF2，∴圆O与圆M相内切．评注：当P在圆上运动时，动圆M的直径PF2为焦点三角形PF1F2的一条边，由椭圆的定义得到PF1+PF2=22，变形后得到12PF1=2－12PF2，也就是OM=2－12PF2．构造O为圆心，2为半径的圆O即为所求的定圆．（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学)。
中考数学圆中定值问题专题含答案
【经典例题1】如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点 H ，点 M 是弧CBD 上任意一点， AH=2，CH=4．（1）求⊙O 的半径r 的长度；（2）求 sin ∠CMD ；（3）直线 BM 交直线 CD 于点 E ，直线 MH 交⊙O 于点 N ，连接 BN 交 CE 于点 F ，求 HE•HF 的值．【解析】 解：（1）如图1中，连接OC ．∵AB ⊥CD ，∴∠CHO=90°，在Rt △COH 中，∵OC=r ，OH=r-2，CH=4，∴r 2=42+（r-2）2，∴r=5．（2）如图1中，连接OD ．∵AB ⊥CD ，AB 是直径，∴弧AD=弧AC=21CD ，∴∠AOC=21∠COD ，∵∠CMD=21∠COD ，∴∠CMD=∠COA ，∴sin ∠CMD=sin ∠COA=CO CH =54．（3）如图2中，连接AM ．∵AB 是直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵∠E+∠ABM=90°，∴∠E=∠MAB ，∴∠MAB=∠MNB=∠E ，∵∠EHM=∠NHF∴△EHM ∽△NHF ，∴HE/HN=HM/HF ，∴HE •HF=HM •HN ，∵HM •HN=AH •HB ，∴HE •HF=AH •HB=2•（10-2）=16．练习1-1如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．【解析】（1）∵DF⊥AC，△ABC为Rt△，∴∠CDE=∠EBF=90°∵∠CED=∠FEB，∴∠DCE=∠EFB，在△ABC和△EBF中，∠ACB=∠EFB，BC=BF∠ABC=∠EBF=90°∴△ABC≌△EBF，（ASA）．（2）结论：BD与⊙O相切．理由：连接OB，∵DF是AB的中垂线，∠ABC=90°，∴DB=DC=DA，∴∠DBC=∠C．由（1）∠DCB=∠EFB，而∠EFB=∠OBF，∴∠DBC=∠OBF，∴∠DBO=∠DBC+∠EBO=∠OBF+∠EBO=90°，∴DB⊥OB，∴BD与⊙O相切．（3）连接EH，∵BH是∠EBF的平分线，∴∠EBH=∠HBF=45°．∠HFE=∠HBE=45°．又∠GHF=∠FHB，∴△GHF∽△FHB，∴HF/HB=HG/HF，∴HG•HB=HF2，∵⊙O是Rt△BEF的内接圆，∴EF 为⊙O 的直径，∴∠EHF=90°，又∠HFE=45°，∴EH=HF ，∴EF 2=EH 2+HF 2=2HF 2，在Rt △ABC 中，AB=1，tan ∠C=21， ∴BC=2，AC=22BC AB =5，由（1）知△ABC ≌△EBF ，∴EF=AC=5，∴2HF 2=EF 2=5，∴HF 2=25， 故HG •HB=HF 2=25．练习1-2如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=21 AB ； （3）点 M 为弧AB 的中点，CM 交 AB 于点 N ，若 AB=4，求 MN•MC 的值．【解析】（1）证明：∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ．又∵∠COB=2∠A ，∠COB=2∠PCB ，∴∠A=∠ACO=∠PCB ．又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC ⊥CP ，∵OC 是⊙O 的半径．∴PC 是⊙O 的切线．（2）证明：∵AC=PC ，∴∠A=∠P ，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ．又∵∠COB=∠A+∠ACO ，∠CBO=∠P+∠PCB ，∴∠COB=∠CBO ，∴BC=OC ．∴BC=21AB ． （3）连接MA ，MB ，∵点M 是弧AB 的中点，∴弧AM ＝弧BM ，∴∠ACM=∠BCM ．∵∠ACM=∠ABM ，∴∠BCM=∠ABM ．∵∠BMN=∠BMC ，∴△MBN ∽△MCB ．∴BM/MC ＝MN/BM ．∴BM 2=MN •MC ．又∵AB 是⊙O 的直径，弧AM ＝弧BM ，∴∠AMB=90°，AM=BM ．∵AB=4，∴BM=22．∴MN •MC=BM 2=8．练习1-3已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．（1）如图1，若∠PCB＝∠A．①求证：直线PC是⊙O的切线；②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．【解析】（1）①证明：如图1中，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠ACO＝∠PCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．②∵CP＝CA，∴∠P＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠P，∵∠OCP＝90°，∴∠P＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OP＝2OC＝4，∴．（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴，∴AM2＝MC•MN，∵MC•MN＝9，∴AM＝3，∴BM＝AM＝3．【经典例题2】如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与CD 交于点M，将弧CD 沿着CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P，使AP=OA，连接PC。
与圆有关的定点定值问题(共70张PPT )
,
消去参数m，得2 x y 6 0,
圆心在定直线2 x y 6 0上.
Q 直线l经过点(1,1)，对任意实数m, 定直线l被圆C (半径为3)截得的弦长为 定值，则圆心C到直线l的距离为定值. 直线l //圆心C所在直线. 设l方程为2 x y c 0, 将(1,1)代入， 得c 1,故直线l方程为2 x y 1 0.
问题转化为求点D到点O 距离的最大值.
AB 2 3, AC 2,结合垂径定理和勾股 定理可得CD 1.故动点D在 以C(3, 0)为圆心,1为半径的 圆( x 3)2 y2 1上运动. 则ODmax OC 1 4,
uuur uuur OA OB 的最大值为8.
变式：在平面直角坐标系xoy中，圆C的 方程为( x 1)2 y2 4, P为圆C上一点， 若存在一个定圆M，过P作圆M的两条 切线PA，PB,切点分别为A, B，当P 在圆C上运动时，使得APB恒为600， 则圆M的方程为_____________
联立解得
x y
0或 0
பைடு நூலகம்
x y
4 5， 2 5
怎样验证
故猜想定点为(0, 0)，( 4 , 2),下面验证： 55
将点(0, 0)，( 4 , 2)代入 55
x2 y2 2mx (m 2) y 2m 0都符合，
所以圆过两个定点(0, 0)，( 4 , 2). 55
法2.将已知圆方程关于参数m整理 恒等式
右侧，圆M被y轴截得的弦长为 3r.若对 任意正常数r , 定直线l与圆M 相切,则定直 线l的方程为___________________
解析：设圆心M (a, b), 利用M 在线段AB的 垂直平分线上，从而 MA = MB ,结合M 在
圆中最值问题(解析版)
圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。
李万才--圆的定值问题Microsoft Word 文档 (4)
圆定值题经典必做22．（10分）如图10-1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 的正半轴上，M 交x 轴于A B ，两点，交y 轴于C D ，两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A的坐标为(20)8AE -=，，。
（1）（3分）求点C 的坐标。
（2）（3分）连结MG BC ，，求证：MG BC ∥。
（3）（4分）如图10-2，过点D 作M 的切线，交x 轴于点P 。
动点F 在M 的圆周上运动时，OFPF的比值时否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律。
22、（1）（0，4）；（2）提示，求OG 的长，并得到OG ：OC=OM ：OB ；（3）3/5C A O M B x E GD y 图10-1 C A O M B xE GD y 图10-2 P必做23．（本题10分）) 如图，⊙Q 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，圆心Q 的坐标为（0，1），半径为2，y 轴上的一点P 的坐标是（0，-3）（1）过点P 作经过二、三象限且和⊙Q 相切的直线l ，求出直线l 的解析式； （2）过点E 为直线l 上的一点，若AO C EO P S S ∆∆=2，试求出点E 的坐标；（3）设点M 为⊙Q 上的一点，直线PM 交⊙Q 于另一点N ，连结OM ，ON ，试问：当点M 在⊙Q 上运动时，OM ·ON 的值是否会发生变化？若不变，请说明理由，并求出其值；若变化，求出其值的变化范围。
.QABC.PDxy必做25．已知平面直角坐标系中，B (－3，0)，A 为y 轴正半轴上一动点，半径为25的⊙A 交y 轴于点G 、H (点G 在点H 的上方)，连接BG 交⊙A 于点C 。
（1）如图①，当⊙A 与x 轴相切时，求直线BG 的解析式； （2）如图②，若CG =2BC ，求OA 的长；（3）如图③，D 为半径AH 上一点，且AD =1，过点D 作⊙A 的弦CE ，连结GE 并延长交x 轴于点F ，当⊙A 与x 轴相离时，给出下列结论：①OFOG 2的值不变；②OG ·OF的值不变。
圆中的定值问题
圆中的定值问题(一）探究a b⋅型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例1.如图，圆心M的坐标（3，0），半径为5。
点P是上一动点，连接CP并延长交x轴⋅为定值，并求其于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在上运动时，试探究MQ MH值。
练习1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC=21AB ； （3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN•MC 的值．练习2、（2010•深圳）如图1所示，以点M （-1，0）为圆心的圆与y 轴，x 轴分别交于点A ，B ，C ，D ，直线y=-33533 x 与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE ，⊙M 的半径r ，CH 的长；（2）如图2所示，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP ：PH=3：2，求cos∠QHC 的值； （3）如图3所示，点K 为线段EC 上一动点（不与E ，C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN•MK=a，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．练习3——已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB 于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．（1）求证：BE=IE；（2）若AI⊥CE，①求⊙A的半径；②设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G 点，求AT•AG的值；4、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求：（1）⊙O的半径；（2）sin∠BAP的值；（3）AD•AE的值．圆中的定值问题（二）探究a b 型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P 是上一动点，过点D作⊙M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.变式练习.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.例.如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，当点P在上运动时，探究PC PDPB+为定值，并求其值.练习1、如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，若点P在上运动时，探究PC PDPB-为定值，并求其值.练习2、如图，E 点为x 轴正半轴上一点，⊙E 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 点为劣弧BC 上一个动点，且A （-1，0），E （1，0）． （1）如图1，求点C 的坐标；（2）如图2，连接PA ，PC ．若CQ 平分∠PCD 交PA 于Q 点，当P 点在运动时，线段AQ 的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD ，当P 点在运动时（不与B 、C 两点重合），给出下列两个结论:①PA PD PC +的值不变，②POPD PC PA ++的值不变，其中有且仅有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值。
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1、如图10，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C 是»AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形
（2）当点C 在»AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线
段的长度 （3）求证：2
23CD
CH 是定值
2、（2010年四川凉山州）已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，顶点(1,4)C -，与x 轴交于A 、
B 两点，
(1,0)A -。
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线的对称轴交于点F ，依次连接A 、D 、B 、E ，点Q 为线段AB 上一个动点（Q 与A 、B 两点不重合），过点Q 作QF AE ⊥于F ，QG DB ⊥于G
，
请判断
QF QG
BE AD
+是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若点H 是线段EQ 上一点，过点H 作MN EQ ⊥，MN 分别与边AE 、BE
相交于M 、N ，（M 与A 、E 不重合，N 与E 、B 不重合），请判断QA EM
QB EN
=是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。
A
B
x
G F M H E
N
Q
O
D C
y
3、（2010年深圳）如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－
33 x － 53
3
与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；
（2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值； （3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
x
D A
B
H
C
E M O
F 图10 x
y
D A B H
C
E
M O F 图11
P Q
x
y D
A
B
H
C E M O F 图12
N
K
y。