高三一轮复习2021版 第六章 第6讲 数学归纳法

第6讲 数学归纳法

1．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．明确数学归纳法的两步证明

数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

(2019·台州书生中学月考)用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋

1＝

1－a n ＋

2

1

－a

(a ≠1，n ∈N *)”，在验证n ＝1时，等式左边是( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

解析：选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n ＝1时，等式的左边应为1＋a ＋a 2，故选C.

用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增添的代数式是( )

A ．2k ＋2

B ．2k ＋3

C ．2k ＋1

D ．(2k ＋2)＋(2k ＋3) 答案：D

用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞127

64(n ∈N *)成立，其初始值至少应取

( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

解析：选B.据已知可转化为1×⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＞127

64，整理得2n ＞128，解得n ＞7，故原不等

式的初始值为n ＝8.

多面体 面数(F ) 顶点数(V )

棱数(E ) 三棱柱

5

6

9

五棱锥 6 6 10 正方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．

解析：由题目中所给的三组数据：5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，可以归纳出简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间有关系：V ＋F －E ＝2，这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数间的特有规律．

答案：V ＋F －E ＝2

证明1＋12＋13＋14＋…＋12n －1>n

2(n ∈N ＋)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，不等式

左边增加的项数是________．

解析：当n ＝k 时， 左边＝1＋12＋13＋…＋1

2k －1.

当n ＝k ＋1时，

左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋1

2k ＋1－1，

增加了12k ＋…＋1

2k ＋1－1，共(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k (项)．

答案：2k

用数学归纳法证明等式

用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）

(n ∈N *)．

【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝1

8

，

右边＝14×（1＋1）＝1

8.

左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，

12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2] ＝

k 4（k ＋1）＋1

4（k ＋1）（k ＋2）

＝

k （k ＋2）＋1

4（k ＋1）（k ＋2）

＝

（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）

＝

k ＋1

4（k ＋2）

＝

k ＋1

4（k ＋1＋1）

.

所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，

由(1)、(2)可知，对于一切n ∈N *等式都成立．

用数学归纳法证明恒等式的注意事项

(1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．

(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．

(2019·温州七校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12＋13＋…＋1

n ，记S n ＝a 1＋a 2＋

a 3＋…＋a n ，用数学归纳法证明S n ＝(n ＋1)a n －n .

证明：当n ＝1时，a 1＝1，S 1＝a 1＝1，满足条件． 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，S k ＝(k ＋1)a k －k 成立， 则当n ＝k ＋1时，

因为a k ＝1＋12＋13＋…＋1

k

＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1－1k ＋1

＝a k ＋1－1

k ＋1

，

所以S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)a k －k ＋a k ＋1 ＝(k ＋1)(a k ＋1－1

k ＋1)－k ＋a k ＋1

＝(k ＋1)a k ＋1－1－k ＋a k ＋1 ＝(k ＋2)a k ＋1－(1＋k )． 从而S n ＝(n ＋1)a n －n 成立．

用数学归纳法证明不等式

(2019·衢州模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，且a n ＋1＝a 2n

2（a n －1）(n ∈N *)．

(1)用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)； (2)求证a n ＋1

【证明】 (1)①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，命题成立，即a k >2. 则当n ＝k ＋1时，

a k ＋1－2＝a 2k

2（a k －1）－2＝（a k －2）22（a k －1）>0，

所以当n ＝k ＋1时a k ＋1>2也成立， 由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2. (2)a n ＋1－a n ＝a 2n

2（a n －1）－a n ＝a n （2－a n ）2（a n －1），

由(1)可知a n >2>0， 所以a n ＋1

数学归纳法证明不等式的注意事项

(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用