【VIP专享】2012年,天津春季高考,数学真题,(图片版)
2012年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果．解答：解：===1+i故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．2．（5分）（2012•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值解答：解：画出可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（0，2）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4故选B点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题3．（5分）（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18 C．26 D．80考点：数列的求和；循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选C．点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．4．（5分）（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系解答：解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得a＞b＞c，故选A．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5．（5分）（2012•天津）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．6．（5分）（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x，x∈R B．y=log2|x|，x∈R且x≠0D．y=x3+1，x∈RC．y=考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间（1，2）内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案．解答：解：对于A，令y=f（x）=cos2x，则f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x），为偶函数，而f（x）=cos2x在[0，]上单调递减，在[，π]上单调递增，故f（x）=cos2x在（1，]上单调递减，在[，2）上单调递增，故排除A；对于B，令y=f（x）=log2|x|，x∈R且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x，为增函数，故B满足题意；对于C，令y=f（x）=，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，故可排除C；而D，为非奇非偶函数，可排除D；故选B．点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．7．（5分）（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．2考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣），再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，故ω•=kπ，由此求得ω的最小值．解答：解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，∴ω•=kπ，k∈z．故ω的最小值是2，故选D．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，以及由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题．8．（5分）（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．解答：解：由题意可得=0，由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，解得λ=，故选B．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2012•天津）集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3．考点：绝对值不等式的解法．专题：集合．分析：由|x﹣2|≤5可解得﹣3≤x≤7，从而可得答案．解答：解：∵A={x∈R||x﹣2|≤5}，∴由|x﹣2|≤5得，﹣5≤x﹣2≤5，∴﹣3≤x≤7，∴集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|≤a（a＞0）的意义直接得到﹣a≤x≤a，也可以两端平方，去掉绝对值符号解之，属于基础题．10．（5分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是6边形，几何体的体积为：（2×3+）×4=30（m3）．故答案为：30．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．（5分）（2012•天津）已知双曲线C1：与双曲线C2：有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）．则a=1，b=2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C1：的渐近线方程为y=±x，右焦点为（c，0），结合已知即可得=2，c=，列方程即可解得a、b的值解答：解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，∴=2∵且C1的右焦点为F（，0）．∴c=，由a2+b2=c2解得a=1，b=2故答案为1，2点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题12．（5分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．解答：解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离d==，∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，∴A（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，∴B（0，），即OB=，∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤，又△AOB为直角三角形，∴S△ABC=OA•OB=≥=3，当且仅当|m|2=|n|2=时取等号，则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．解答：解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．14．（5分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，2）．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：函数y===，如图所示，可得直线y=kx与函数y=的图象相交于两点时，直线的斜率k的取值范围．解答：解：函数y===，如图所示：故当一次函数y=kx的斜率k满足0＜k＜1 或1＜k＜2时，直线y=kx与函数y=的图象相交于两点，故答案为（0，1）∪（1，2）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果解答：解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，∴P（B）==点评：本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题16．（13分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+）的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin的值．解答：解：（1）△ABC中，由cosA=﹣可得sinA=．再由=以及a=2、c=，可得sinC=．由a2=b2+c2﹣2bc•cosA 可得b2+b﹣2=0，解得b=1．（2）由cosA=﹣、sinA=可得cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣．故cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（13分）（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）判断∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）说明AD⊥DC，通过AD⊥PD，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD．（3）在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在Rt△PEB中，通过sin∠PBE=，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．解答：（1）解：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，=2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2．（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥DC，由于AD⊥PD，CD∩PD=D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．（3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=．由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC．在Rt△PCB中，PB==．在Rt△PEB中，sin∠PBE==．所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．18．（14分）（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，n∈N*，证明：T n﹣8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先借助于错位相减法求出T n的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由a4+b4=27，S4﹣b4=10，得方程组，解得，所以：a n=3n﹣1，b n=2n．（2）证明：由第一问得：T n=2×2+5×22+8×23+…+（3n﹣1）×2n；①；2T n=2×22+5×23+…+（3n﹣4）×2n+（3n﹣1）×2n+1，②．由①﹣②得，﹣T n=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n﹣1）×2n+1=﹣（3n﹣1）×2n+1﹣2=﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8．即T n﹣8=（3n﹣4）×2n+1．而当n≥2时，a n﹣1b n+1=（3n﹣4）×2n+1．∴T n﹣8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．19．（14分）（2012•天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ 的斜率的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点P（）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求，由此可求直线OQ的斜率的值．解答：解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以∴∴∴（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①∵|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，∴∴∵x0≠0，∴代入①，整理得∵∴+4，∴5k4﹣22k2﹣15=0∴k2=5∴点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．20．（14分）（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g （t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a＞0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，a） a （a，+）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜∴a的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣∴g（t）=M（t）﹣m（t）=综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．。
2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（ 3 分）（ 2012?天津） i 是虚数单位，复数=（）A ． 2+i B． 2﹣ i C．﹣ 2+i D．﹣ 2﹣ i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项解答：解：故选 B点评：本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题，解题的关键熟练掌握分母实数化的化简规则2．（ 3 分）（ 2012?天津）设φ∈R，则“φ=0 ”是“f（ x）=cos（x+ φ）（ x∈R）为偶函数”的（）A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断．专题：简易逻辑．分析：直接把φ=0 代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．解答：解：因为φ=0 时， f（ x）=cos（ x+ φ） =cosx 是偶函数，成立；但f（ x） =cos（x+ φ）（ x∈R）为偶函数时，φ=kπ， k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（ x）=cos（ x+ φ）（ x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选： A．点评：判断充要条件的方法是：①若 p? q 为真命题且q? p 为假命题，则命题p 是命题 q 的充分不必要条件；②若 p? q 为假命题且q? p 为真命题，则命题p 是命题 q 的必要不充分条件；③若 p? q 为真命题且q? p 为真命题，则命题p 是命题 q 的充要条件；④若 p? q 为假命题且q? p 为假命题，则命题p 是命题 q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系．3．（ 3 分）（2012?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为﹣ 25 时，输出x 的值为（）A ．﹣1B ． 1C ． 3D ． 9考点 ：循环结构．专题 ：算法和程序框图．分析：根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当 |x|≤1 时跳出循环，输出结果．解答：解：当输入 x= ﹣ 25 时，|x|＞ 1，执行循环， x= ﹣ 1=4；|x|=4 ＞ 1，执行循环， x= ﹣1=1，|x|=1 ，退出循环，输出的结果为 x=2×1+1=3 ． 故选： C ．点评：本题考查循环结构的程序框图， 搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．4．（ 3 分）（ 2012?天津）函数 f （x ） =2 x +x 3﹣2 在区间（ 0， 1）内的零点个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点 ：函数的零点与方程根的关系．专题 ：函数的性质及应用．分析：根据函数 f （ x ） =2x +x 3﹣ 2 在区间（ 0， 1）内单调递增， f （ 0）f （ 1）＜ 0，可得函数在区间（ 0， 1）内有唯一的零点解答：解：由于函数 f （ x ）=2x +x 3﹣ 2 在区间（ 0，1）内单调递增，又 f （0）=﹣1＜ 0，f （ 1）=1＞0，故函数 f （ x） =2 x+x3﹣2 在区间（ 0， 1）内有唯一的零点，故选 B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．5．（ 3 分）（ 2012?天津）在（ 2x2﹣）5的二项展开式中，x 项的系数为（）A ．10B．﹣10C． 40D．﹣40考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意，可先由公式得出二项展开式的通项T r+1==，再令10﹣3r=1，得r=3 即可得出x 项的系数解答：解：（ 2x 2﹣）5的二项展开式的通项为T r+1==令10﹣ 3r=1，得 r=3故 x 项的系数为=﹣ 40故选 D点评：本题考查二项式的通项公式，熟练记忆公式是解题的关键，求指定项的系数是二项式考查的一个重要题型，是高考的热点，要熟练掌握6．（3 分）（ 2012?天津）在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是a，b，c．已知 8b=5c ，C=2B ，则 cosC=（）A ．B．C．D．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC 的值即可．解答：解：因为在△ ABC 中，内角 A ，B， C 所对的边分别是 a， b，c．已知 8b=5c，C=2B ，所以 8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB ，所以 cosB= ，B 为三角形内角，所以 B∈（ 0，）．C．所以 sinB==．所以 sinC=sin2B=2 ×=，cosC= = ．故选： A ．点评：本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计．7．（ 3 分）（ 2012?天津）已知 △ABC 为等边三角形， AB=2 ．设点 P ， Q 满足，， λ∈R ．若=﹣ ，则 λ=（）A ．B ．C ．D ．考点 ：平面向量的综合题．专题 ：平面向量及应用．分析： 根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=﹣ 即可求出 λ．解答：解：∵，， λ∈R∴，∵△ ABC 为等边三角形， AB=2∴=+λ+（ 1﹣ λ）=2 ×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（ 1﹣λ） ×2×2×cos180°+λ（ 1﹣λ） ×2×2×cos60°2=2 ﹣ 4λ+4λ﹣ 4+2λ﹣ 2λ，2=﹣ 2λ+2λ﹣ 2∵=﹣2∴ 4λ﹣ 4λ+1=02∴（ 2λ﹣ 1） =0∴故选 A点评：本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难．解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出然后再结合数量积的定义和条件 △ABC 为等边三角形，AB=2 ， =﹣ 即可求解！28．（ 3 分）（ 2012?天津）设 m ，n ∈R ，若直线（ m+1）x+ （n+1 ）y ﹣ 2=0 与圆（ x ﹣ 1） +（ y﹣1） 2=1 相切，则 m+n 的取值范围是（ ） A ．[1﹣ ， 1+ ] B ． （ ﹣∞， 1﹣ ]∪[1+ ， +∞）C ． [ 2﹣2 ，2+2 ]D ．（﹣∞，2﹣2] ∪ [2+2， +∞）考点 ：直线与圆的位置关系．专题 ：直线与圆．分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r ，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设 m+n=x ，得到关于 x 的不等式，求出不等式的解集得到x 的范围，即为 m+n 的范围．2 21， 1），半径 r=1 ，解答：解：由圆的方程（ x ﹣ 1） +（y ﹣ 1） =1，得到圆心坐标为（∵直线（ m+1） x+ （ n+1） y ﹣2=0 与圆相切，∴圆心到直线的距离 d==1，整理得： m+n+1=mn ≤，设 m+n=x ，则有 x+1 ≤ ，即 x 2﹣ 4x ﹣ 4≥0，∵ x 2﹣ 4x ﹣ 4=0 的解为： x 1=2+2，x 2=2﹣ 2，∴不等式变形得： （x ﹣ 2﹣2 ）（ x ﹣ 2+2 ） ≥0，解得： x ≥2+2 或 x ≤2﹣ 2，则 m+n 的取值范围为（﹣ ∞， 2﹣ 2] ∪[2+2， +∞）．故选 D点评：此题考查了直线与圆的位置关系， 涉及的知识有： 点到直线的距离公式， 基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．二、填空题9．（ 3 分）（2012?天津）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所．先采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 18 所学校，中学中抽取9所学校．考点 ：分层抽样方法． 专题 ：概率与统计．分析：从 250 所学校抽取 30 所学校做样本， 样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率， 根据三个学校的数目乘以被抽到的概率， 分别写出要抽到的数目，得到结果．解答：解：某城地区有学校150+75+25=250 所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取 30 所，每个个体被抽到的概率是=，∵某地区有小学150 所，中学 75 所，大学 25 所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150=18 人，选取中学×75=9人．故答案为： 18， 9．点评：本题主要考查分层抽样，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题．10．（ 3 分）（ 2012?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9π m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位： m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．解答：解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积 6×3×1=18．下部为两个半径均为的球体，体积 2×3π?（）=9故所求体积等于18+9π故答案为： 18+9 π点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键11．（ 3 分）（ 2012?天津）已知集合 A={x ∈R||x+2|＜3} ，集合 B={x ∈R|（ x﹣ m）（ x﹣ 2）＜0} ，且 A ∩B= （﹣ 1，n），则 m= ﹣ 1 ，n= 1 ．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：集合．分析：由题意，可先化简A 集合，再由 B 集合的形式及 A ∩B=（﹣ 1， n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．解答：解： A={x ∈R||x+2|＜ 3}={x ∈R|﹣ 5＜x＜ 1} ，又集合 B={x ∈R|（ x﹣m）（ x﹣ 2）＜ 0} ，A ∩B= （﹣ 1，n）．如图由图知 m= ﹣1， n=1，故答案为﹣ 1， 1．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式的解集的形式，本题一定的探究性，考查分析判断推理的能力12．（ 3 分）（ 2012?天津）已知抛物线的参数方程为（ t 为参数），其中 p＞ 0，焦点为 F，准线为 l ．过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为E．若 |EF|=|MF|，点 M 的横坐标是3，则 p= 2 ．考点：抛物线的参数方程；圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：把抛物线的参数方程化为普通方程为2，则由抛物线的定义可得及 |EF|=|MF| ，可y =2px得△ MEF 为等边三角形，设点M 的坐标为（ 3，m ），则点 E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得p=．再由|EF|=|ME|，解方程可得p 的值．解答：解：抛物线的参数方程为（ t 为参数），其中 p＞ 0，焦点为 F，准线为l，消去参数可得 x=2p，2x 轴的抛物线，化简可得 y =2px ，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是故焦点 F（， 0），准线 l 的方程为 x= ﹣．则由抛物线的定义可得|ME|=|MF| ，再由 |EF|=|MF| ，可得△ MEF 为等边三角形．设点 M 的坐标为（ 3， m ），则点 E（﹣， m）．把点 M 的坐标代入抛物线的方程可得m 2=2×p×3，即 p=．再由 |EF|=|ME|，可得222+3p ，解得 p=2，或 p=﹣ 6 p +m =，即 p +6p=9+（舍去），故答案为2．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，把参数方程化为普通方程的方法，属于中档题．13．（ 3 分）（ 2012?天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ，过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F， AF=3 ，FB=1 ，EF=，则线段CD 的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD ，设 DC=x ，则 AD=4x ，再由切割线定理，2BD =CD ?AD 求解．解答：解：由相交弦定理得到AF?FB=EF ?FC，即 3×1=×FC，FC=2，在△ ABD中AF：AB=FC：BD ，即 3：4=2： BD ，BD=，设 DC=x ，则 AD=4x ，再由切割线定理，22， x= BD =CD ?AD ，即 x?4x=（）故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．14．（ 3 分）（ 2012?天津）已知函数y=的图象与函数y=kx ﹣ 2 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣ 2 的图象，结合图象，可得实数k 的取值范围．解答：解： y===函数 y=kx ﹣ 2 的图象恒过点（0，﹣ 2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx ﹣ 2 的图象结合图象可实数k 的取值范围是（0，1）∪（ 1， 4）故答案为：（ 0， 1）∪（ 1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题15．（ 2012?天津）已知函数 f （ x） =sin（ 2x+） +sin（ 2x﹣2）+2cos x﹣ 1， x∈R．（1）求函数f（ x）的最小正周期；（2）求函数f（ x）在区间 [] 上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（ 1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（ x）=sin（2x+）+sin（ 2x2sin（ 2x+），即可求得函数 f（ x）的最小正周期；﹣）+2cos x﹣ 1 化为 f（ x）=（ 2）可分析得到函数f（ x）在区间 [] 上是增函数，在区间 [，] 上是减函数，从而可求得f（ x）在区间 [] 上的最大值和最小值．解答：解：（ 1）∵ f （ x） =sin2x ?cos+cos2x ?sin+sin2x ?cos﹣ cos2x?sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（ 2x+ ），∴函数 f （ x）的最小正周期T==π．（ 2）∵函数f（ x）在区间 [] 上是增函数，在区间[，] 上是减函数，又 f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数 f （ x）在区间 [] 上的最大值为，最小值为﹣1．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得 f （ x） =sin（2x+）是关键，属于中档题．16．（2012?天津）现有 4 个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用 X， Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），故P（A i）=（ 1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为P（ A 2）；（ 2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪ A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为 0， 2， 4，由于 A 1与 A 3互斥， A 0与 A 4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴ P（A i）=（ 1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为P（ A2）=；（ 2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪ A4，∴P（ B） =P（A 3）+P（ A4） =（ 3）ξ的所有可能取值为0， 2， 4，由于 A 1与 A 3互斥， A 0与 A 4互斥，故 P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（ A1） +P（A 3） =， P（ξ=4） =P（ A 0） +P（ A 4）=∴ ξ的分布列是ξ024P数学期望Eξ=点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．17．（ 2012?天津）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中， PA⊥平面 ABCD ， AC ⊥AD ， AB ⊥ BC ，∠B AC=45 °，PA=AD=2 ，AC=1 ．（1）证明： PC⊥AD ；（2）求二面角 A ﹣ PC﹣ D 的正弦值；（3）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线BE 与 CD 所成的角为30°，求 AE 的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：解法一（ 1）以 A 为原点，建立空间直角坐标系，通过得出? =0，证出 PC⊥AD ．（ 2）求出平面PCD，平面 PCD 的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（ 3）设 E（ 0， 0，h），其中 h∈[0， 2]，利用 cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD ⊥平面 PAC 得出 PC⊥AD ．（ 2）作 AH ⊥PC 于点 H ，连接 DH ，∠ AHD 为二面角 A﹣ PC﹣ D 的平面角．在 RT△ DAH中求解（ 3）因为∠ ADC ＜ 45°，故过点 B 作 CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F，连接 BE ， EF，故∠ EBF （或其补角）为异面直线BE 与 CD 所成的角．在△ EBF 中，因为 EF＜ BE，从而∠ EBF=30 °，由余弦定理得出关于h 的方程求解即可．解答：解法一：如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系，则 A （ 0，0， 0），D（ 2，0，0），C（ 0， 1， 0），B （﹣，， 0）， P（ 0， 0， 2）．（ 1）证明：易得=（0，1，﹣ 2）， =（2，0，0），于是? =0，所以 PC⊥AD ．（ 2）解：=（ 0，1，﹣ 2）， =（2，﹣ 1，0），设平面 PCD 的一个法向量为=（ x，y， z），则即取 z=1，则以=（ 1， 2，1）．又平面 PAC 的一个法向量为=（ 1， 0， 0），于是 cos ＜＞ ==， sin＜＞ =所以二面角A﹣ PC﹣D 的正弦值为．（ 3）设 E（0，0，h），其中 h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（ 2，﹣ 1，0），故 cos＜＞===所以=cos30°=，解得 h=，即 AE=．解法二：（1）证明：由 PA⊥平面 ABCD ，可得 PA⊥ AD ，又由 AD ⊥AC ， PA∩AC=A ，故 AD ⊥平面 PAC，又PC? 平面 PAC，所以 PC⊥ AD ．（ 2）解：如图，作 AH ⊥ PC 于点 H，连接 DH ，由 PC⊥ AD ，PC⊥AH ，可得 PC⊥平面 ADH ，因此 DH ⊥ PC，从而∠ AHD 为二面角A﹣PC﹣D 的平面角．在 RT△ PAC 中， PA=2 ，AC=1 ，所以 AH=，由（1）知，AD⊥ AH，在RT△ DAH 中， DH==，因此sin∠ AHD==．所以二面角 A ﹣ PC﹣ D 的正弦值为．（ 3）解：如图，因为∠ ADC ＜ 45°，故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交，设交点为 F，连接 BE， EF，故∠ EBF（或其补角）为异面直线 BE 与 CD 所成的角．由于 BF∥ CD，故∠ AFB= ∠ ADC ，在 RT△ DAC 中， CD=，sin∠ ADC=，故sin ∠AFB=．在△ AFB 中，由，AB=，sin∠ FAB=sin135°=，可得BF=，222由余弦定理， BF =AB +AF ﹣ 2ABAFcos∠ FAB ，得出 AF=，设 AE=h ，在 RT△ EAF 中， EF==，在 RT△ BAE 中， BE==，在△ EBF 中，因为 EF＜ BE，从而∠ EBF=30°，由余弦定理得到， cos30°=，解得 h=，即 AE=．点评：本题考查线面关系，直线与直线所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．18．（ 2012?天津）已知 nn ， {b n} 是等比数列，且1 1，{a } 是等差数列，其前 n 项和为 Sa =b =2 a 4+b 4=27 ， s 4﹣ b 4=10 ．（ 1）求数列 {a n } 与 {b n } 的通项公式；（ 2）记 T n =a n b 1+a n ﹣ 1b 2+⋯+a 1b n ， n ∈N * ，证明： T n +12=﹣ 2a n +10b n （ n ∈N * ）．考点 ：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题 ：等差数列与等比数列．分析：（ 1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（ 2）先写出 T n 的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．解答：解：（ 1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由 a 1=b 1=2，得 a 4=2+3d ， b 4=2q 3， s 4=8+6d ，由条件 a 4+b 4=27 ， s 4﹣ b 4 =10，得方程组，解得 ，故 a n =3n ﹣ 1， b n =2n ， n ∈N *．（ 2）证明：方法一，由（ 2 3 n① ；1）得， T n =2a n +2 a n ﹣1+2 a n ﹣ 2+⋯+2 a 1；23 n n+1② ；2T n =2 a n +2 a n ﹣ 1+⋯+2 a 2+2 a 1；n n+2由 ② ﹣ ① 得， T n =﹣232（ 3n ﹣ 1）+3×2 +3×2 +⋯+3 ×2 +2=+2n+2﹣ 6n+2n=10 ×2 ﹣ 6n ﹣ 10；而﹣ 2a n +10b n ﹣ 12= ﹣ 2（ 3n ﹣ 1）+10 ×2n ﹣12=10 ×2n﹣ 6n ﹣ 10；故 T n +12=﹣ 2a n +10b n（ n ∈N *）．方法二：数学归纳法，③ 当 n=1 时， T 1+12=a 1b 1+12=16 ，﹣ 2a 1+10b 1=16，故等式成立，④ 假设当 n=k 时等式成立，即 T k +12= ﹣ 2a k +10b k ，则当 n=k+1 时有，T k+1 =a k+1b 1+a k b 2+a k ﹣ 1b 3+⋯+a 1b k+1 =a k+1b 1+q （a k b 1+a k ﹣ 1b 2+⋯+a 1b k ） =a k+1b 1+qT k=a k+1b 1+q （﹣ 2a k +10b k ﹣12）=2a k+1 ﹣ 4（a k+1﹣ 3）+10b k+1﹣ 24 =﹣ 2a k+1 +10b k+1﹣ 12．即 T k+1+12= ﹣ 2a k+1+10b k+1 ，因此 n=k+1 时等式成立． ③④ 对任意的 n ∈N *， T n +12= ﹣ 2a n +10b n 成立．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题． 解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．19．（ 2012?天津）设椭圆的左右顶点分别为 A ，B ，点 P 在椭圆上且异于 A ， B 两点， O 为坐标原点．（1）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若 |AP|=|OA| ，证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|＞．考点 ：圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（ 1）设 P （ x 0， y 0），则 ，利用直线 AP 与 BP 的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；（ 2）依题意，直线 OP 的方程为 y=kx ，设 P （ x 0，kx 0），则，进一步可得，利用 AP|=|OA| ， A （﹣ a ， 0），可求得 ，从而可解答：（ 1）解：设P（ x0， y0），∴①∵椭圆的左右顶点分别为 A ， B，∴ A （﹣ a， 0），B（ a， 0）∴，∵直线 AP 与 BP 的斜率之积为，∴代入① 并整理得2 2∵y0≠0，∴ a =2b∴∴∴椭圆的离心率为；（ 2）证明：依题意，直线OP 的方程为y=kx ，设 P（ x0， kx 0），∴∵a＞ b＞ 0， kx 0≠0，∴∴②∵|AP|=|OA| ， A （﹣ a， 0），∴∴∴代入②得∴k 2＞ 3∴直线 OP 的斜率 k 满足 |k|＞．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（ 2012?天津）已知函数 f （ x ） =x ﹣ ln （ x+a ）的最小值为 0，其中 a ＞ 0．（ 1）求 a 的值；（ 2）若对任意的 x ∈[0 ， +∞），有 f （ x ） ≤kx 2成立，求实数 k 的最小值；（3）证明：（ n ∈N *）．考点 ：导 数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题 ：导 数的综合应用．分析：（ 1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数 f （ x ）=x ﹣ ln （ x+a ）的最小值为 0，即可求得 a 的值；（2）当 k ≤0 时，取 x=1，有 f （1） =1﹣ ln2＞0，故 k ≤0 不合题意；当 k ＞0 时，令 g（ x ） =f （ x ）﹣ kx 2，即 g （x ） =x ﹣ln （x+1 ）﹣ kx 2，求导函数，令 g ′（x ） =0，可得 x 1=0 ，，分类讨论： ① 当 k ≥ 时，，g （ x ）在（ 0，+∞）上单调递减， g （ x ）≤g （ 0）=0 ；② 当 0＜ k ＜ 时， ，对于，g ′（x ）＞ 0，因此 g （ x ）在上单调递增，由此可确定k 的最小值；（ 3）当 n=1 时，不等式左边 =2﹣ ln3 ＜ 2=右边，不等式成立；当n ≥2 时，，在（ 2）中，取 k=，得 f （ x ）≤ x 2，从而可得，由此可证结论．解答：1）解：函数的定义域为（﹣a ， +∞），求导函数可得（令 f ′（ x ） =0 ，可得 x=1 ﹣ a ＞﹣ a令 f ′（ x ）＞ 0， x ＞﹣ a 可得 x ＞ 1﹣ a ；令 f ′（x ）＜ 0，x ＞﹣ a 可得﹣ a ＜ x ＜1﹣ a∴ x=1﹣ a 时，函数取得极小值且为最小值∵函数 f （ x ） =x ﹣ ln （ x+a ）的最小值为 0，∴ f （ 1﹣ a ） =1﹣ a ﹣ 0，解得 a=1（ 2）解：当 k ≤0 时，取 x=1，有 f （ 1）=1 ﹣ ln2＞ 0，故 k ≤0 不合题意当 k ＞ 0 时，令 g （x ） =f （ x ）﹣ kx 2，即 g （ x ） =x ﹣ln （ x+1 ）﹣ kx 2，求导函数可得 g ′（ x ） =g ′（x ） =0，可得 x 1=0，① 当 k ≥ 时，， g ′（ x ）＜ 0 在（ 0， +∞）上恒成立，因此 g （ x ）在（ 0，+∞）上单调递减， 从而对任意的x ∈[0，+∞），总有 g （ x ）≤g （0）=0，即对任意的 x ∈[0，+∞），有 f （ x ） ≤kx 2成立；② 当 0＜ k ＜ 时， ，对于，g ′（ x ）＞ 0，因此 g （ x ）在 上单调递增，因此取时， g （ x ） ≥g （0） =0，即有 f （ x ） ≤kx2 不成立；0 0综上知， k ≥ 时对任意的x ∈[0， +∞），有 f （x ） ≤kx 2成立， k 的最小值为（ 3）证明：当 n=1 时，不等式左边 =2 ﹣ ln3＜ 2= 右边，所以不等式成立当 n ≥2 时，在（ 2）中，取 k= ，得 f （ x ） ≤ x 2，∴（ i ≥2， i ∈N *）．∴=f （ 2）+ ＜2﹣ln3+ =2 ﹣ ln3+1 ﹣＜ 2综上，（ n ∈N *）．点评：试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数(天津卷)word版(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）名师简评该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数7=3iz i-+= （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- １．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i - （２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定. 【解析】∵=0ϕ⇒()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9 3．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯.（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是（A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 4．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x B 正确.并借助于通项公式分析项+15r 5，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-.（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC= （A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725± （Ｄ）24256．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8sin =5sin 2B B ，所以8sin =10sin cos B B B ，易知sin 0B ≠，∴4cos =5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725. （7）已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ （A ）127．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--，=CP AP AC -=AB AC λ-，又∵3=2BQ CP ⋅-，且||=||=2AB AC ，0<,>=60AB AC ，0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅，∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.CBAPQ（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A）[1（Ｂ）(,1[1+3,+)-∞∞（Ｃ）[2-（Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +， 则21+14tt ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯. （10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .10．18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32V π⨯⨯⨯⨯=18+9π3m . （11）已知集合={||+2|<3}A x R x ∈，集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)AB n -，则=m ,=n . 11．1-，1 【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)AB n -，画数轴可知=1m -，=1n .（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p . 12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p F ，∵点M的横坐标是3，则(3,M ±，所以点(,2p E -，222=()+(06)22p pEF p - 由抛物线得几何性质得=+32p MF ，∵=EF MF ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为 .13．43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质.【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵B D ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=CD x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD .（14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 14．(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，2+2==410-，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈. .2sin (2+)+sin(2)+2cos 133x x x ππ--，x R ∈..【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 （1）2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()444444x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()max f x =，当2()444x x πππ+=-=-时，min ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）每个人参加甲游戏的概率为13p =，参加乙游戏的概率为213p -= 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248(1)27C p p -=（2）44(4,)()(1)(0,1,2,3,4)k kk XB p P X kC p p k -⇒==-=，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==（3）ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==随机变量ξ的分布列为84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，45BAC ︒∠=，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明：PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030， 求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -（lby lfx ） (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥ （2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =DCBAP则0202200n PC y z y zx y x z n CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩ 取1(1,2,1)z n =⇒= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D -- （3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22BE h CD=-=- cos ,BE CD BE CD h BE CD<>=⇔=⇔=即AE = 【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++；证明：+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1） 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；则 34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩ 得：31,2n n n a n b =-=（2）1211223112112222()22n n n nn n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++111213132352222n n n n n n n a n n n c c +-----++==-=- 12231112[()()()]2()n n n n n n T c c c c c c c c ++=-+-++-=-1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k 满足|k 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）取(0,)P b ，(,0),(,0)A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=222212a b e e a -==⇔=（2）设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<；则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ ||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=- sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+2AQ AQ ak k k ⇒≤<⇔<⇔ 【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中>0a . （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明：=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 【参考答案】（1）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞ ()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔= （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*） (1)1ln 200g k k =-+≥⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02kg x x x g x g k-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*） 得：实数k 的最小值为12(lfxlby)（3）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取2(1,2,3,,)21x i n i ==-：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln 32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑（lb ylfx ） 当2i ≥时，2211(21)2321i i i <---- 得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121ni i i i n =-++-<-+-<--∑(lfxlby)【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
2012年天津高考数学理科试卷(带详解)
2012年天津高考数学卷解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数7i3iz -==+ （ ）A ．2i + B.2i - C .2i -+ D .2i --【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数的分式形式求其值. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】7i (7i)(3i)217i 3i 12i 3i (3i)(3i)10z ------====-++- 2.设ϕ∈R ，则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的奇偶性,充分、必要条件.【考查方式】判断三角函数初相参数取值与函数奇偶性的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵0ϕ=⇒()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数，反之不成立，∴“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A.1- B.1 C.3 D.9第3题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图得出程序运算结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】根据图给的算法程序可知：第一次4x =，第二次1x =，则输出2113x =⨯+=.4.函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A.0B.1 C .2 D .3 【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】直接给出函数的解析式判断其零点的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】解法1：因为(0)1021f =+-=-，3(1)2228f =+-=，即(0)(1)0f f <且函数()f x 在()0,1内连续不断，故()f x 在()0,1内的零点个数是1.解法2：设3122,2,x y y x ==-在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.第4题图5.在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ） A.10 B.10- C.40 D.40- 【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出一个二项展开式求某项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵2515103155C (2)()2(1)C r r r r r r rr T x x x ----+=-=-，∴ 1031r -=，即3r =，∴x 的系数为40-.6.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知85,2b c C B ==，则cos C =（ ） A.725B.725-C.725±D.2425【测量目标】正弦定理，三角函数中的二倍角公式.【考查方式】已知三角形角与边的关系运用正弦定理求一角的余弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵85b c =，由正弦定理得8sin 5sin B C =，（步骤1）又∵2C B =，∴8sin 5sin 2B B =，（步骤2）所以8sin 10sin cos B B B =，易知sin 0B ≠，（步骤3）∴4cos 5B =，27cos cos 22cos 125C B B ==-=.（步骤4） 7.已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足,AP AB λ=(1),AQ AC λ=-λ∈R ，若32BQ CP =-，则λ=（ ）A.12B.122±C.1102±D.3222-±【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】给出三角形边的向量关系式，运用平面向量的知识求解未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】∵(1),BQ AQ AB AC AB λ=-=--CP AP AC AB AC λ=-=-，（步骤1） 又∵32BQ CP =-，且2AB AC ==，,60AB AC ︒<>=，cos602AB AC AB AC ︒==（步骤2），∴3(1)()2AC AB AB AC λλ⎡⎤---=-⎣⎦，2223(1)(1)2AB AB AC AC λλλλ+--+-=，（步骤3）所以2342(1)4(1)2λλλλ+--+-=，解得12λ=. （步骤4）第7题图8.设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是 （ ） A.13,13⎡⎣ B.(),1313,⎡-∞++∞⎣C.222,222⎡-+⎣D.(),222222,⎤⎡-∞-++∞⎦⎣【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知一直线与圆的位置关系求未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】∵直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，（步骤1）∴圆心(1,1)到直线的距离为22(1)(1)21(1)(1)m n d m n +++-==+++，所以212m n mn m n +=++（）（步骤2）设t m n =+，则2114t t +，解得(),222222,t ⎤⎡∈-∞-++∞⎦⎣.（步骤3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】运用分层抽样里的按比例抽样知识解决实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】18，9【试题解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取75309250⨯=. 10.―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .第10题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出一个几何体的三视图求其原几何体的体积. 【难易程度】容易 【参考答案】189π+ 【试题解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为： 3433612π()189π32V =⨯⨯+⨯⨯=+3m . 11.已知集合{}23A x x =∈+<R ，集合{}()(2)0B x x m x =∈--<R ,且(1,)A B n =-，则m = ,n = .【测量目标】集合的基本运算，集合间的关系.【考查方式】给出含有未知参数的集合通过它们直接的关系求出未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】1-，1【试题解析】∵{}{}2351A x x x x =∈+<=-<<R ,又∵(1,)A B n =-，画数轴可知1,1m n =-=.12.己知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若EF ME =，点M 的横坐标是3，则p = . 【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线的参数方程，运用其简单的几何性质求未知数. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】∵22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩可得抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，（步骤1）∴焦点(,0)2pF ，∵点M 的横坐标是3，则(3,6)M p ±，（步骤2）所以点(,6),2p E p -±222()(06)22p pEF p =++±（步骤3）由抛物线得几何性质得2213,,63924p ME EF MF p p p p =+=∴+=++，解得2p =.（步骤4）13.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，33,1,,2AF FB EF ===则线段CD 的长为 .第13题图【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】给出与圆相关的直线与线段由圆的性质求未知线段. 【难易程度】中等 【参考答案】43【试题解析】∵33,1,,2AF FB EF ===由相交弦定理得AF FB EF FC =，所以2FC =，（步骤1）又48//,,233AF FC ABBD CE BD FC AB BD AF∴===⨯=，（步骤2）设CD x =，则4AD x =，再由切割线定理得2BD CD AD =，即284()3x x =，解得43x =，故43CD =.（步骤3）14.已知函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】已知两个函数的图像的位置关系求解未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】(0,1)(1,4)【试题解析】∵函数2y kx =-的图像直线恒过定点(0,2)B -，且(1,2),(1,0),(1,2)A C D --，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈.第14题图三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x =++-+-∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】三角函数的周期性、最值.【考查方式】给出三角函数的函数解析式求解其最小正周期和在某个区间内的最值. 【试题解析】(Ⅰ)2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-ππ2sin 2cos cos 22)34x x x =+=+ （步骤1）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==（步骤2）（Ⅱ）ππππ3π2π2sin(2)11()24444424x x x f x -⇒-+⇒-+⇔-（步骤3） 当πππ2()428x x +==时，max ()2f x =πππ2()444x x +=-=-时，min ()1f x =-（步骤4）16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【测量目标】互斥事件与相对独立事件的相关性质、数学期望.【考查方式】针对实际问题运用互斥事件与相对独立事件的性质求解概率问题. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）每个人参加甲游戏的概率为13p =，参加乙游戏的概率为213p -=（步骤1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248C (1)27p p -=.（步骤2）（Ⅱ）44(4,)()C (1)(0,1,2,3,4)k k kXB p P X k p p k -⇒==-=，（步骤3） 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==（步骤4） （Ⅲ）ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==（步骤5）随机变量ξ的分布列为84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=（步骤6）17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，,,45,2,1AC AD AB BC BAC PA AD AC ︒⊥⊥∠====.(Ⅰ)证明：PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30︒，求AE 的长.第17题图【测量目标】线线垂直、异面直线所成的角的正弦值. 【考查方式】通过空间几何体中的线线，线面直接的位置角度关系求证线线垂直以及异面直线所成角的正弦值. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角坐标系A xyz -.（步骤1）则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -（步骤2） (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥（步骤3）第17题（1）图（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)x y z =n则0202200PC y z y z x y x z CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩n n 取1(1,2,1)z =⇒=n （步骤4）(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630cos ,sin ,66AD AD AD AD <>==⇒<>=n n n n得：二面角A PC D --（步骤5）（Ⅲ）设[]0,2AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22BE h CD ==-cos ,10BE CD BE CD hBE CD<>=⇔=⇔=即AE =（步骤6）18.(本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列,且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=(Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(Ⅱ)记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++…；证明：12210()n n n T a b n ++=-+∈N . 【测量目标】等差等比数列的通项及性质.【考查方式】给出等差等比数列中已知项之间的关系求解数列的通项，由两种数列结合成的新数列的性质运用与证明. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；则34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩（步骤1）得：31,2nn n a n b =-=(Ⅱ)121122311211...2222()22n n n n n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++……111213132352222n n n n n n n a n n n c c ------++==-=-（步骤2）[]1223112()()()2()n n n n n n T c c c c c c c c -=-+-++-=-…1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-（步骤3）19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若AP OA =，证明：直线OP 的斜率k 满足k >【测量目标】椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】由椭圆的简单几何性质求解椭圆的标准方程以及椭圆的参数，判断椭圆与直线的位置关系求解未知数的取值范围.【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=（步骤1）222212a b e e a -==⇔=（步骤2）（Ⅱ）设(cos ,sin )(02π)P a b θθθ<；则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ（步骤3）1AQ AP OA AQ OP k k =⇔⊥⇔⨯=- sin sin cos 22cos AQ AQ AQb k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+（步骤4）2223AQAQ ak b a k k ⇒+<⇔<⇔>（步骤5）20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[)0,x ∈+∞,有2()f x kx 成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明：*12ln(21)2()21ni n n i =-+<∈-∑N .【测量目标】运用导数的相关性质求函数的最值，证明与推理最值问题. 【考查方式】给出函数解析式运用导数的相关性质求解其函数最值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞（步骤1）11()ln()()101x a f x x x a f x x a a x a x a+-'=-+⇒=-==⇔=->-++ （步骤2）()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（步骤3）（Ⅱ）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++则()0g x 在[)0,x ∈+∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔=（*）（步骤4）(1)1ln 200g k k =-+⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++（步骤5）①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)2k g x x x g x g k -'⇔=⇒<与（*）矛盾②当12k 时，min ()0()(0)0g x g x g '⇒==符合（*）（步骤6）得：实数k 的最小值为12（Ⅲ）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取[]222(1,2,3,,)ln(21)ln(21)2121(21)x i n i i i i i ==⇒+--<---…（步骤7）当1n =时，2ln32-< 得：12ln(21)221n i n i =-+<-∑ 当2i 时，2211(21)2321i i i <---- 得：121ln(21)ln(21)2ln 3122121n i i i i n =⎡⎤-++-<-+-<⎢⎥--⎣⎦∑（步骤8）。
2012年全国高考文科数学试题及答案-天津卷
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形 码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答 题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项： 1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式： ﹒如果事件 A,B 胡斥，那么 P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式 V=Sh. 其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式 V=1 Sh 3其中 S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数 （A） 1 - i （C） 1 + i 【解析】复数 【答案】C5 + 3i = 4-i（B） -1 + i （D） -1 - i5 + 3i (5 + 3i )(4 + i ) 17 + 17i = = = 1 + i ，选 C. 4-i (4 - i )(4 + i ) 17ì2 x + y - 2 ³ 0 ï （2） 设 变 量 x,y 满 足 约 束 条件 í x - 2 y + 4 ³ 0 , 则 目 标 函数 ïx - 1 £ 0 îz=3x-2y 的最小值为 （A）-5 （B）-4 （C）-2 （D）33 z x- ， 2 2 3 z 3 z 由图象可知当直线 y = x - 经过点 C (0,2) 时，直线 y = x - 的 2 2 2 2【解析】 做出不等式对应的可行域如图， z = 3 x - 2 y 得 y = 由截距最大，而此时 z = 3 x - 2 y 最小为 z = 3 x - 2 y = -4 ，选 B. 【答案】B （3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 （A）8 （B）18 （C）26 （D）80 【 解 析 】 第 一 次 循 环 S = 3 - 3 0 = 2, n = 2 ， 第 二 次 循 环S = 2 + 3 2 - 3 = 8, n = 3，第三次循环S = 8 + 33 - 3 2 = 26, n = 4 ，第四次循环满足条件输出 S = 26 ，选 C. 【答案】C （4） 已知 a = 2 , b = ( )121 2-0.2, c = 2 log 5 2 ，则 a，b，c 的大小关系为 （A）c<b<a （C）b<a<c（B）c<a<b （D）b<c<a【 解 析 】 因 为 b = ( ) - 0.2 = 2 0.2 < 212 ， 所 以 1 < b < a ，1 2c = 2 log 5 2 = log 5 2 2 = log 5 4 < 1 ，所以 c < b < a ，选 A.【答案】A （5） 设 x Î R，则“x> ”是“2x2+x-1>0”的2 1（A） （B） （C） （D）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件【解析】 不等式 2 x 2 + x - 1 > 0 的解集为 x >1 1 或 x < -1 ， “ x > ” “ 2 x 2 + x - 1 > 0 ” 所以 是 2 2成立的充分不必要条件，选 A. 【答案】A （6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为 （A） y = cos 2 x ，x Î R （B）y = log 2 x ，xÎ R 且 x≠0e x - e- x （C） y = ，x Î R 2（D） y = x3 + 1 ，x Î R 【解析】函数 y = log 2 x 为偶函数，且当 x > 0 时，函数 y = log 2 x = log 2 x 为增函数，所以在(1,2) 上也为增函数，选 B.【答案】B （7） 将函数 f ( x ) = sin w x （其中 w >0）的图像向右平移(3p ,0) ，则 w 的最小值是 41 3p 个单位长度，所得图像经过点 4（A）（B）1C）5 3（D）2p p p wp 得到函数 g ( x ) = f ( x - ) = sin w ( x - ) = sin(wx ) ，因为此时 4 4 4 4 3p 3p p 3p p wp 函数过点 ( ,0) ，所以 sin w ( - ) = 0 ，即 w ( - ) = = kp , 所以 w = 2k , k Î Z ,所 4 4 4 4 4 2 以 w 的最小值为 2，选 D.【解析】函数向右平移 【答案】D （8） 在△ABC 中， Ð A=90°，AB=1，设点 P，Q 满足 AP = l AB ， AQ =(1- l ) AC ， l Î R。
2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1. （3分）（2012?天津）i是虚数单位.复数——1 =（）____________ 3十iA. 2+iB. 2 - iC. - 2+iD. - 2 - i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数.分析：由题意.可对此代数分子分母同乘以分母的共轭.整理即可得到正确选项解答：納解：---- 二~^ ----7—7 -------- 7—二 ------- =2 - 13+i （3+i）（3-i）10故选B点评：本题考查复合代数形式的乘除运算•属于复数中的基本题型•计算题•解题的关键熟练掌握分母实数化的化简规则2. （3 分）（2012?天津）设R.则“0 =0” 是“ f （x）=cos （x+$）（x€ R）为偶函数” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断.专题：简易逻辑.分析：直接把0 =0代入看能否推出是偶函数•再反过来推导结论即可.解答：解：因为0 =0时.f （x）=cos （x+ 0） =cosx是偶函数.成立；但f （x）=cos （x+ 0）（x€ R）为偶函数时.0 =kn .k €乙推不出0 =0.故“0 =0”是“ f （ x）=cos （x+ 0）（x € R）为偶函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 点评：判断充要条件的方法是：①若p? q为真命题且q? p为假命题.则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p? q为假命题且q? p为真命题.则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p? q为真命题且q? p为真命题.则命题p是命题q的充要条件；④若p? q为假命题且q? p为假命题.则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围.再根据“谁大谁必要.谁小谁充分”的原则.判断命题p与命题q的关系.3. （3分）（2012?天津）阅读程序框图.运行相应的程序.当输入x的值为-25时.输出x 的值为（考点：循环结构. 专题：算法和程序框图.分析：根据题意•按照程序框图的顺序进行执行 •当|x| wi 时跳出循环.输出结果.解答：解：当输入x= - 25时.|x| > 1.执行循环.x=寸卜2 -仁4 ；|x|=4 > 1.执行循环.x= 打订-仁1. |x|=1.退出循环.输出的结果为 x=2X 1+仁3. 故选：C.点评：本题考查循环结构的程序框图.搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键.按照程序框图的顺序进行执行求解.属于基础题.x 34. ( 3分)(2012?天津)函数f ( x ) =2 +x - 2在区间(0.1 )内的零点个数是( )A . 0B. 1C. 2D. 3考点：函数的零点与方程根的关系. 专题：函数的性质及应用.分析：根据函数f (x ) =2 +x - 2在区间(0.1 )内单调递增.f (0) f (1)v 0.可得函数在 区间(0.1 )内有唯一的零点—x 3解答：解：由于函数f (x ) =2 +x - 2在区间(0.1 )内单调递增.又f (0) =- 1 v 0.f(1)=1 > 0.B. 1C. 3D. 9A . - 1所以 f (0) f (1)v 0.x 3 故函数f （x）=2 +x - 2在区间（0.1 ）内有唯一的零点.故选B.点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用.属于中档题.5. （3分）（2012?天津）在（2x2- 一）5的二项展开式中.x项的系数为（）XA. 10B. - 10C. 40D. - 40考点：1二项式定理的应用.专题：1二项式定理.分析：1由题意.可先由公式得出二项展开式的通项「「+1=「一「一= ：| , <---：< 再令10-3r=1.得°X 0r=3即可得出x项的系数解答：/ 解: （2x2- ）5的二项展开式的通项为X「r+1 = l“化；；，J ：=「Li 1 '=Z令10- 3r=1.得r=3故x项的系数为| | - =- 405故选D点评：：本题考查二项式的通项公式.熟练记忆公式是解题的关键.求指定项的系数是二项式考查的一个重要题型.是高考的热点.要熟练掌握6. （3分）（2012?天津）在厶ABC中.内角A.B.C所对的边分别是a.b.c .已知8b=5c.C=2B. 则cosC=（）A. 口B.7C•丄？ D. 242525+——-2525考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用.专题：: 解三角形.分析：-| 直接利用正弦定理以及二倍角公式.求出sinB.cosB.然后利用平方关系式求出cosC 的值即可.解答：丿解：因为在△ ABC中.内角A.B.C所对的边分别是 a.b.c .已知8b=5c.C=2B. 所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB. 所以cosB= .B 为三角形内角.所以B€5/c兀、兀(0.——).c「.一4 2所以sinB= ：J _=.所以si nC=sin2B=2X ' .'=".5 5 25cosC= •- ■=-V 1sin C 25故选：A .点评：本题考查正弦定理的应用•三角函数中的恒等变换应用•考查计算能力•注意角的范围 的估计. 考点：平面向量的综合题. 专题：平面向量及应用.分析：根据向量加法的三角形法则求出：. \[ - -| I 1 - ■ 卜.叮进而根据数量积的定义求出• I —再根据2即可求出 入.2解答：.解：•陆二入 AB . AQ 二（1-入〕AG 入^ R: ,.丄 _ :「I 1 1 - ':.--二―亠二一二■' -1-•/△ ABC 为等边三角形.AB=2:■ + 入】-< ■+ （1 -入）：-.2 -- ■=2X 2X cos60° +入x 2X 2X cos180° + （ 1 -入）x 2X 2X cos180° +入（1 -入）x 2x 2x cos60°2=2 - 4入+4入-4+2入-2入2=-2 入 +2 入-2 ••• M •〒=-:22• 4 入-4 入 +1=02•••（ 2入-1） =0 •.- •-.：故选A 点评：本题主要考查了平面向量数量级的计算 •属常考题•较难.解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出. =•然后再结合数量积的定义和条件△ ABC 为等边三角—■" '—* ?形心「即可求解!.. 2& （ 3分）（2012?天津）设 m.n € R.若直线（m+1 x+ （n+1） y - 2=0与圆（x - 1） + （y - 1） 2=1相切.则m+n 的取值范围是（厂-—匚 -- 人）.「•入 € R.若肚 ・CP =-卫.贝y 入=（ 2）A.1B. L±V22C. 1 ±71^2D.7. （ 3分）（2012?天津）已知△ ABC 为等边三角形.AB=2 .设点P.Q 满足A . [1-二.1+ 匚]B. (-m .1 -二]U [1+ 7. +^)C. [2 - 2 二.2+2 刁D. (-g .2 - 2'：] U [2+2 '：. +g)考点：直线与圆的位置关系. 专题：直线与圆.分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r.由直线与圆相切时.圆心到直线的距离等于圆的半径.利用点到直线的距离公式列出关系式.整理后利用基本不等式变形.设m+n=x.得到关于x 的不等式.求出不等式的解集得到 x 的范围.即为m+n 的范围.解答：解：由圆的方程（x - 1） 2+ （y - 1） 2=1.得到圆心坐标为（1.1 ）.半径r=1.•••直线（m+1） x+ （n +1） y - 2=0 与圆相切. •••圆心到直线的距离 d --------- 止M ---------------- =1.J （mH ） '+ （n+1） 2整理得：m+n+1=mn （卫坦）2/ 2设 m+n=x.则有 x+1^ —.即 x - 4x - 4>0 .4•••x 2- 4x - 4=0 的解为：X 1=2+2近.X 2=2 - 2、代.•••不等式变形得：（x - 2 - 2⑴）（x - 2+2逅）>0 . 解得：x >2+2典或x <2- 2近.则m+n 的取值范围为 （-g .2 — 2 刁 U [2+2 - .+m ）. 故选D点评：此题考查了直线与圆的位置关系.涉及的知识有：点到直线的距离公式.基本不等式.以及一元二次不等式的解法 .利用了转化及换元的思想.当直线与圆相切时.圆心到直 线的距离等于圆的半径.熟练掌握此性质是解本题的关键.二、填空题9. （ 3分）（2012?天津）某地区有小学 150所.中学75所.大学25所.先采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 30所学校对学生进行视力调查.应从小学中抽取 18所学校.中学中抽取 9所学校. 考点：分层抽样方法.专题：概率与统计.分析：丿从 250所学校抽取30所学校做样本.样本容量与总体的个数的比为 3:25.得到每个个 本被抽到的概率.根据三个学校的数目乘以被抽到的概率 .分别写出要抽到的数目.得 到结果.解答：丿 /解:某城地区有学校 150+75+25=250所. 现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所.每个个体被抽到的概率是 -"=.250 25 • •某地区有小学150所.中学75所.大学25所.用分层抽样进行抽样.应该选取小学—x 150=18人.选取中学JL x 75=9人.25 25故答案为：18.9 .点评：本题主要考查分层抽样.解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.属于基础题.10. (3分)(2012?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m).则该几何体的体积为318+9n m.俯视图考点：1由三视图求面积、体积.专题：立体几何.分析：1由三视图可知该几何体为上部是一个长方体.长、宽、高分别为 6.3.1 (单位：m .下部为两个半径均为’的球体.分别求体积再相加即可.2 |解答：丿解 :由三视图可知该几何体为上部疋一个长方体.长、宽、咼分别为6.3.1 (单位：m).体积6x 3X 仁18.下部为两个半径均为’的球体.体积2X ? ( ') =9n2 ：3 2故所求体积等于18+9 n故答案为：18+9 n点评：:1 1本题考查三视图求几何体的体积.考查计算能力.空间想象能力.三视图复原几何体是解题的关键11. (3 分)(2012?天津)已知集合A={x € R||x+2| v 3}.集合B={x € R| (x - m) (x-2)v 0}.且A A B= (- 1.n ).贝V m= —1 .n= 1 .考点：集合关系中的参数取值问题.专题：集合.分析：由题意.可先化简A集合.再由B集合的形式及A A B= ( - 1.n )直接作出判断.即可得出两个参数的值.解答：解：A={x € R||x+2| v 3}={x € R| - 5v x v 1}.又集合B={x € R| (x - m) (x - 2)v 0}. A A B= (- 1.n ).如图正视图侧视图由图知m=— 1.n=1. 故答案为-1.1 .点评：本题考查集合关系中的参数取值问题 .解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式 的解集的形式.本题一定的探究性.考查分析判断推理的能力2z=2pt（t 为参数）.其中p > 0.焦L y=2pt点为F.准线为I .过抛物线上一点 M 作I 的垂线.垂足为E 若|EF|=|MF|.点M 的横坐标是3.则 p= 2.考点：抛物线的参数方程；圆锥曲线的综合.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程. 分析：把抛物线的参数方程化为普通方程为y 2=2px.则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|.可 血MEF 为等边三角形.设点M 的坐标为（3.m）.则点E （— ：m ）.把点“的坐标代2入抛物线的方程可得 p=.再由|EF|=|ME|.解方程可得p 的值.62沪力t （t 为参数）.其中p > 0.焦点为F.准线为I.消去>=2pty 2=2px.表示顶点在原点、开口向右、对称轴是 x 轴的抛物线.（、'.0 ）.准线I 的方程为x=-：'. 2 2则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|.再由|EF|=|MF|.可得△ MEF 为等边三角形. 设点M 的坐标为（3.m ）.则点E （— ；'.m ）.22把点M 的坐标代入抛物线的方程可得 mf=2X p X3 .即p=—62 2再由 |EF|=|ME|.可得 p 2+m= .即 p 2+6p=9+2+3p.解得 p=2.或 p= — 6 （舍去）. 故答案为2 .点评：本题主要考查抛物线的定义、 标准方程.以及简单性质的应用.把参数方程化为普通方 程的方法.属于中档题.12. （ 3分）（2012?天津）已知抛物线的参数方程为 解答：解：抛物线的参数方程为参数可得 2x =2p ■'化简可得故焦点F13. （ 3分）（2012?天津）如图.已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与 AC 的延 长线相交于点 D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点 E.与AB 相交于点F.AF=3.FB=1.EF=2则线段CD 的长为 ■-.一3—考点： 与圆有关的比例线段. 专题：直线与圆.分析：1 由相交弦定理求出 FC.由相似比求出BD.设DC=x •则AD=4x.再由切割线定2理.BD =CD? AD 求解.解答：f解:由相交弦定理得到 AF? FB=EF? FC.即3X 仁上X FC.FC=2.在厶ABD 中AF ： AB=FC 23D.即 3： 4=2： BD.BD='3设 DC=x •则 AD=4x.再由切割线定理.BD 2=CD? AD •即卩 x? 4x= （ '：） 2.x='3 3故答案为：:3点评：；1 1 本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系 .相交弦定理.切割线定理.相似三角形的概念、判定与性质.点.则实数k 的取值范围是（0.1 ）U （ 1.4 ）考点: 根的存在性及根的个数判断.专题：： 函数的性质及应用.的图象.结合图象.可得实数k 的取值范围.函数y=kx - 2的图象恒过点（0. - 2）14.（ 3分）（2012?天津）已知函数 y —的图象与函数 y=kx - 2的图象恰有两个交解答:解：y=|宀1|」汀1丨h+1丨（-lx+l| = = 1 垃一 1 X _ 1 l+lLX<1 X>1“J — l I 的图象与函数y=kx - 2的图象结合图象可实数 k 的取值范围是(0.1)u ( 1.4 ) 故答案为：(0.1 )U( 1.4 )本题主要考查了根的存在性及根的个数判断 .同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想.属于基础题.三、解答题15. (2012?天津)已知函数 f ( x ) =sin (2x+ ) +sin ( 2x -一)+2cos 2x - 1.x € R.33(1) 求函数f ( x )的最小正周期；(2) 求函数f ( x )在区间［•丄 ——］上的最大值和最小值.4 4考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值. 解答：心解：(1) v f (x ) =sin2x ? cos —+cos2x ? sin —+sin2x ? cos —- - cos2x ? sin — +cos2x3 3 3 3=sin 2x+cos2x =*j sin (2x+__).专题：三角函数的图像与性质.分析： (1)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将JTf (x ) =sin (2x+) +sin32(2x -——)+2cos x - 3正周期；1化为f ( x )=:sin (2x+).即可求得函数f (x )的最小4 (2)可分析得到函数 f (x )在区间减函数•从而可求得f(X )在区间［［■ ］上是增函数.在区间［〒.——］上是488 4.］上的最大值和最小值.4 4在同一个坐标系下画出函数4•••函数f (x)的最小正周期T= =n.2(2)v函数f (x)在区间［•丄 __］上是增函数.在区间［—•—］上是减函数•4 * 8 S 4又 f (—) =- i.f ( ) = =f ( ) =1.4 8 4•函数f (x)在区间［1 ］上的最大值为二最小值为-1.4 4本题考查三角函数中的恒等变换应用.着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用.考查正弦函数的性质.求得f (x) = 一sin (2x+ J )是关键.属于中档4题.16. (2012?天津)现有4个人去参加娱乐活动.该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性•约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏•掷出点数为1或2的人去参加甲游戏.掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X.Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数.记E =|X - Y|.求随机变量E的分布列与数学期望E E.考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列.专题：概率与统计.分析：依题意•这4个人中.每个人去参加甲游戏的概率为-.去参加乙游戏的人数的概率为：3 3设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A (i=0.1.2.3.4 ).故P (A)(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A2)；(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B.则B=A UA4. 利用互斥事件的概率公式可求；(3)E的所有可能取值为024.由于A1与A互斥.A o与A互斥.求出相应的概率.可得E的分布列与数学期望.解答：解：依题意.这4个人中.每个人去参加甲游戏的概率为.去参加乙游戏的人数的概率设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件 A (i=0.1.2.3.4 ) . • P ( A )(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P (A 2) = - ' I(2) 设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件• P ( B ) =P (A a ) +P (A 4) = : ' - J 1 2 J(3) E 的所有可能取值为 0.2.4.由于A 1与A a 互斥.A o 与A 4互斥.故P(E =0) =P (A 2) =可 P (E =2)=P (A 1) +P (A a )=」.P(E =4) =P (A o ) +P (A 4)=—3181E24P8 2740 8117 81数学期望E E =亠=八工上点评：本题考查概率知识的求解•考查互斥事件的概率公式•考查离散型随机变量的分布列 与期望•属于中档题.17. (2012?天津)如图•在四棱锥P- ABCC 中• PAL 平面 ABCDACL AD. AB L BC. / BAC=45 PA=AD=2.AC=1.(1)(2)(3)考点：用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离; 求法.专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何.分析： 一•- 一•-解法一(1 )以A 为原点.建立空间直角坐标系.通过得出PC ? AD =0.证出PC L AD 2 求出平面PCD.平面PCD 勺一个法向量.利用两法向量夹角求解. _2 932:-；327B.贝U证明：PCLAD 求二面角 A - PC- D 的正弦值； 设E 为棱PA 上的点.满足异面直线BE 与CD 所成的角为30° .求AE 的长..面角的平面角及的方程求解即可.解法二：(1)通过证明 ADL 平面PAC 得出PCLAD(2) 作AHL PC 于点H.连接DH.Z AHD 为二面角 A- PC- D 的平面角.在RT ^ DAH 中求 解 (3) 因为/ ADCC 45° .故过点B 作CD 的平行线必与线段 AD 相交.设交点为F.连接 BE.EF.故/ EBF(或其补角)为异面直线 BE 与CD 所成的角.在厶EBF 中.因为EF v BE. 从而/ EBF=30 .由余弦定理得出关于 h 的方程求解即可.解法一：如图.以A 为原点.建立空间直角坐标系.则A( 0.0.0 ).D( 2.0.0 ).C( 0.1.0 ) .B (-2.丄.0 ) .P ( 0.0.2 ).2 2i ii i岂岂(1) 证明：易得 二匸=(0.1. - 2).二 1= (2.0.0 ).于是二:? L .|I=0.所以 PC L AD (2)解：门'=(0.1. - 2) . 「1=( 2. - 1.0 ).设平面 PCD 的一个法向量为产(x.y.z ).::.sin6所以二面角A- & D 的正弦值为".(3)设 E ( 0.0.h ).其中 h € [0.2].(.-_.h ).由 I i= ( 2. - 1.0 )2 2所以 •’ = =cos30° =V10+20 1?:解得 h ='即 A E =“ ：'解法二：(1)证明：由PAL 平面ABCD 可得PAL AD. 又由 AD L AC. PAH AC=A.故 AC L 平面 PAC.又PC?平面PAC. 所以PC L AD(2)解：如图.作AHL PC 于点H.连接DH.由 PC L AD. PC L AH.可得 PC L 平面 ADH.因此 DHL PC.从而/ AHD 为二面角 A- PC- D 的 平面角.9在 RT ^ PAC 中.PA=2.AC=1.所以 AH=. V5故cos v「＞ =「「_ 3V5 V10+20h 2解答: k n-CD=0y- 2z=02i -y=0取 z=1.则以 i= (1.2.1.又平面PAC 的一个法向量为=(1.0.0 ).于是 COS v ,由此得「= .由(1)知.AD L AH 在 RT ^ DAH中.DH= —：― =-'.因此sin / AHD=T=——.所以二面角 A - PC- D 的正弦值7期+仙 5DH 6为注.6(3)解：如图.因为/ AD&45° .故过点B 作CD 的平行线必与线段 AD 相交. 设交点为F.连接BE.EF.故ZEBF (或其补角)为异面直线 BE 与CD 所成的角.由于 BF// CD.故/ AFB=/ ADC.在 RT A DAC 中.CD= =.sin / ADC=.故 sin / AFB= . VS在厶 AFB 中.由 …」 .AB=1. sin / FAB=sin135°=—：.可得 BF='.sinZ^FAB _sinZAFB 2222 2 2由余弦定理.BF =AB+AF - 2ABAFco M FAB.得出 AF=. 2在△ EBF 中.因为 EF V BE.从而/ EBF=30 .解得J 设 AE=h.在 RT ^ EAF 中.EF=由余弦定理得到.cos30° =BE 2+BF 2- EF 22BE-BF在 RT A BAE中.BE=即 AE=I —点评：本题考查线面关系•直线与直线所成的角、 二面角等基础知识•考查思维能力、空间想象能力•并考查应用向量知识解决数学问题能力.18. (2012?天津)已知｛a n ｝是等差数列•其前n 项和为S.｛b n ｝是等比数列•且 a i =b i =2.a 4+b 4=27.s4- b 4=10.(1 )求数列｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式；(2)记 T n =a n b i +a n -i b 2+…+a i b n .n € N *.证明：T n +12= - 2a n +10b n (n € N ).考点： 等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列.分析：(1)直接设出首项和公差.根据条件求出首项和公差. 即可求出通项.(2)先写出T n 的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立.解答：丿 解：(1)设等差数列的公差为 d.等比数列的公比为 q.3由 a 1=b 1=2.得 a 4=2+3d.b 4=2q .s 4=8+6d.由条件 a 4+b 4=27.s 4 - b 4=10.f 3 2+3d+2 q J =27 & 口 f d=3得方程组 飞 .解得"8+6d _ 2 qJ 二IQ故 a n =3n- n *1.b n =2 .n € N .(2)证明 2 3:方法一.由（1）得.T n =2a n +2 a n-1+2 a n -2+-••+2怯1； ①；23n n+12T n=2 a n+2 a n-1+…+2 a2+2 a i; ②；2 3 n n+2由②—①得.T n=- 2 (3n- 1) +3X2 +3X2 + …+3X2 +2二「J +2 …= --------------------------- +2 - 6n+21-2=10X2 n- 6n - 10;n n而-2a n+10b n- 12= - 2 ( 3n- 1) +10X2 - 12=10X2 - 6n - 10;故T n+12=- 2a n+10b n ( n€ N*).方法二：数学归纳法•③当n=1 时.T1+12=a1b1+12=16. - 2^+106=16.故等式成立.④假设当n=k时等式成立.即T k+12=- 2a k+10b k.则当n=k+1时有.T k+1=a k+1b1+a k b2+a k- 1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q (a k b1+a k-曲2+…+a1b k)=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q (- 2a k+10b k - 12)=2a k+1 —4 (a k+1 —3) +10b k+1 —24=—2a k+计10b k+1 - 12.即T k+1+12= —2a k+1+10b k+1.因此n=k+1 时等式成立.③④对任意的n€ N.T n+12=- 2a n+10b n成立.点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题. 解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识.基本方法.并考察计算能力.2 219. (2012?天津)设椭圆’•的左右顶点分别为A.B.点P在椭圆上且a2b2异于A.B两点.0为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为 '.求椭圆的离心率；2(2)若|AP|=|0A|.证明直线OP的斜率k满足|k| > 7.考点：: 圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质.专题：: 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题.分析：2 (2)(1)设P ( X0.y 0).则-一I.利用直线AP与BP的斜率之积为:-即可求得椭圆的离心率；(2)依题意.直线OP的方程为y=kx.2 1 2 2设P (x k…)则“°丄-1•进一步可得设P (x 0.kx 0).人」- —.a-2 12 2 k 讣”■：.利用AP|=|OA|.A a a (-a.0 ).可求得「一--------- .从而可求直线OP的u 1+k2/ 斜率的范围.c2〜2• y 0 工0. •・a =2b •I••託•椭圆的离心率为二(2)证明：依题意.直线OP 的方程为y=kx.设P (X o .kx °) . •， 2 1 2 2x n k x n ”• a > b >O.kx o ^0. •― + -------------- --a a•(1 + k?) x 02< a 2 ②•/ |AP|=|OA| .A (- a.0 ).•(x 0+a) 2+k 2x Q a 2 (1+k 2 ) x Q 2+2ax 0 二0-2a-Q- 2代入②得(1+k 2)<a 2l+k J• k 2 > 3•直线OP 的斜率k 满足|k| >屈点评：本题考查椭圆的几何性质.考查直线的斜率.考查学生的计算能力解答:(1)解：设 P (x o .y o ) ..2 2••椭圆上；汇-⑴的左右顶点分别为 A.B. ••• A (- a.0 ) .B (a.0 )•••直线AP 与BP 的斜率之积为 -1 • 2 2 _ 9 2 ：.•:——： I代入①并整理得i J)y o 2=O.属于中档题.20. (2012?天津)已知函数 f ( x ) =x -In (x+a )的最小值为 0.其中a > 0. (1 )求a 的值；2(2) 若对任意的x € [0. +R ).有f (x )< kx 成立.求实数k 的最小值；.. *(3) 证明：―一•「…「一 . ( n € N ).1=121 _ 1:导数在最大值、最小值问题中的应用；禾U 用导数求闭区间上函数的最值. :导数的综合应用.:(1)确定函数的定义域.求导函数.确定函数的单调性.求得函数的最小值.利用函数f (x ) =x - In (x+a )的最小值为0.即可求得a 的值；(2) 当k W0时.取x=1.有f (1) =1 - In2 >0.故k <0不合题意；当k >0时.令g (x )2 2=f (x )- kx .即 g (x ) =x - In (x+1) - kx .求导函数.令 g '( x ) =0.可得 X 1=0..分类讨论：①当 k > 时. 「” 二 i.g (x )在(0. +8) 上单调递减.g( x )wg( 0 )=0 ；②当 0v k <一时.——.对于■:- m 一— .g ?2 2k 2k1 — 21c(x )> 0.因此g (x )在 II, II 上单调递增.由此可确定k 的最小值； 1 -(3) 当n=1时.不等式左边=2 - In3 v 2=右边.不等式成立；当 n 》2:(1)解：函数的定义域为(- a. +8).求导函数可得.r : ———令 f '( x ) =0.可得 x=1 - a >- a令 f '( x )> 0.x >- a 可得 x > 1 - a ;令 f '( x )v 0.x >- a 可得—a v x v 1 - a ••• x=1 - a 时.函数取得极小值且为最小值•••函数f (x ) =x - In (x+a )的最小值为 0. • f ( 1 - a ) =1 - a - 0.解得 a=1(2)解：当k W0时.取x=1.有f (1) =1 - In2 >0.故k <0不合题意2 2当 k > 0 时.令 g (x ) =f (x ) - kx .即 g (x ) =x - In (x+1) - kx .+ 巳〒弼■r/曰‘ /、- it - (1 - 2k)丨求导函数可得 g (x )=—x+1i — 2kg '( x ) =0.可得 x 1=0. ：1I①当k 时.,一 ：m 「.g ，( x )v 0在(0. +8)上恒成立.因此g( x )在(0.+8)■w上单调递减.从而对任意的x € [0. +8).总有g (x )Wg(0) =0.即对任意的x € [0. +8).2有f (x )w kx 成立；n时.「f 1=1 : 「.在(2)中.取 k=.得 f (x )「从而可得―盲「：、.由此可证结论.x+a(3)证明：当n=1时.不等式左边=2 - ln3 v 2=右边.所以不等式成立ii--In (2n+l)在(2)中.取得f (x )试题分为三问.题面比较简单.给出的函数比较常规.因此入手对于同学们来说没有难度.第二问中.解含参数的不等式时.要注意题中参数的讨论所有的限制条件 到不重不漏；第三问中.证明不等式.应借助于导数证不等式的方法进行.(3) 设 E ( 0.0.h ).其中 h € [0.2].利用 cos v 工 ：＞ =cos30°='.得出关于 h②当0v k v •时.1 -2k 2k ■ i.对于・|• 1 - 2k 2kI .g '( x )> 0.因此 g (x )在 (0,1 - 2k 2kI 上单调递增• 因此取 X (0-1 -2k 2k 2时.g (X Q )> g ( 0) =0.即有 f ( X Q )< kx ° 不成立; 综上知 .k ＞时对任意的x € [0.2+m ).有f (x )w 収2成立.k 的最小值为；丄x 2. /•2i -(2i-l )2<(i >2 .i € N ).FL-In (2n+l)二工 f (— 1=f (2) + ,1=2综上....-=2T n3+12n- 1I -一二./.-I ；■. ( n€ N ).点评: .从而做。
2012年高考理科数学天津卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷(1,AB n =-213,34EF MF p p p ==++2．AF FB EF FC =，所以FC 又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=，设CD x =，则4AD =再由切割线定理得2BD CD AD =，即2843x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得4x =42FC =，由相似比求出CD AD 求解．【考点】圆的性质的应用． (0,1)(1,4)2y kx =-的图像直线恒过定点010=-，10BC k --10-(0,1)(1,4)．2(4,)B p ⇒人中去(4)P X +=【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．（Ⅰ）以,,AD AC AP 为,x y 则(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2)D C P(0,1,2),(2,0,0)PC AD PC AD PC AD=-=⇒⇔⊥（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-的法向量(,,)n x y z =0200n PC x y n CD ⎧=⎪⇔⇔⎨⎨⎨-==⎩⎩⎪⎩(1,2,1)n ⇒=(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --的正弦值为306． ；则(0,0,2)AE =，11,,,(2,1,0)BE h CD ⎛⎫==- ⎪3310,2101020BE CDBE CD h BE CD <>=⇔⇔=+，10=．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PC AD ，证出的一个法向量，利用两法向量夹角求解．3,BE CD <>=，得出关于h 的方程求解即可．。
2012年文数高考试题答案及解析-天津
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I （C ）1+I （D ）-1-i【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C. 【答案】C（2） 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223z x y -=，由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线223zx y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B. 【答案】B（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环2,2330==-=n S ，第二次循环3,83322==-+=n S ，第三次循环4,2633823==-+=n S ，第四次循环满足条件输出26=S ，选C. 【答案】C（4） 已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为122.02.022)21(<==-b ，所以ab <<1，14log 2log 2log 25255<===c ，所以a b c <<，选A.【答案】A（5） 设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-<x ，所以“21>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A.【答案】A（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） y=cos2x ，x ∈R（B ） y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0（C ） y=2xxe e --，x ∈R（D ） y=x3+1，x ∈R【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B. 【答案】B（7） 将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）2【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D.【答案】D（8） 在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ∈R 。
2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析数学（理工类）名师简评该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟 第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数7=3i z i -+=（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --１．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -（２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）93．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算. 【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯.（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）34．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函1. B并借助于通项公式分【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-.（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC=（A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725±（Ｄ）24256．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8si n =5s i n 2B B ，所以8s i n=10B B B ，易知sin 0B ≠，∴4c o s=5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.（7）已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ（A ）12（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--，=CP AP AC -=AB AC λ-，又∵3=2B Q CP⋅-，且||=|A B A C，0<,>=60AB AC ，=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅，∴3[(1)]()=2A C AB A BA C λλ----，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.C（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A）[1-（Ｂ）(,1[1+3,+)-∞-∞（Ｃ）[2-（Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取所学校.9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯.（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为3m.10．18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32Vπ⨯⨯⨯⨯=18+9π3m.（11）已知集合={||+2|<3}A x R x∈，集合={|()(2)B x R x m x∈--,且=(1,)A B n-，则=m,=n.11．1-，1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x∈={||5<<1}x x-,又∵=(1,)A B n-，画数轴可知=1m-，=1n.（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p F ，∵点M 的横坐标是3，则(3)M ，所以点(,)2p E -，222=()+(06)22p p EF p -由抛物线得几何性质得=+32pMF ，∵=EF M F ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为.13．43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵BD ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=C D x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD . （14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 14．(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知.2)=sin (2+)+sin(2)+2cos 133x x x ππ--，(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，=45ABC ∠，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{na }是等差数列，其前n 项和为nS ，{nb }是等比数列,且1a = 1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{na }与{nb }的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y ab (>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明直线OP 的斜率k满足|k 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数()=ln(+)f x x x a-的最小值为0，其中>0a.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x∈∞,有2()f x kx≤成立，求实数k的最小值；（Ⅲ）证明=12ln(2+1)<2 21nin i--∑*()n N∈.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
春季高考历年真题-2012年天津市春季高考数学试卷
——3
分
所以，双曲线的焦点坐标为（-3,0）、（3,0）；顶点坐标为
（-2,0）、（2,0）
渐近线方程为y=±χ,即χ±2y=0.
——7
分
2.由对称性知，焦点到渐近线的距离为
d==
——11
分
3.依题意知，椭圆的焦点坐标为（-2,0），（2,0）；顶点坐标为
（-3,0）（3,0），故短半轴长为 =
，
所以椭圆的标准方程为 - =1 .
2012年天津市高等院校春季招生统一考 试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1 至9页，第Ⅱ卷10至12页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共75分）
注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在 答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试 卷上的无效。 3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。
第六页 24.本小题满分12分
某一年级共有500名学生参加某次数学测试，现随机抽取若干名学生 的数学成绩，绘制成下面的直方图：
1.将成绩分组对应的频率填入下面的表格：
成 [40,50] [50,60] [60,70] [70,80] [80,90] [90,100] 绩 分 组 频 率 2.估计本次考试中，全年级的及格率（60分及以上的成绩为及格） 3.估计本次考试中，全年级成绩在80分及以上的学生人数
9.已知向量a=（2,1），b=(-1,k),若直线AB的倾斜角是60°，则常数a=
A. 0
B.4
2012年高考文科数学天津卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：▪如果事件A ,B 互斥 ,那么▪圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P AB P A P B =+.▪棱柱的体积公式V Sh =. 其中S 表示圆锥的底面面积, h 表示圆锥的高.其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数53i4i+=- （ ）A . 1i -B . 1i -+C . 1i +D . 1i --2. 设变量x ,y 满足约束条件220,240,10x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）A . 5-B . 4-C . 2-D . 33. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为 （ ）A . 8B . 18C . 26D . 804. 已知 1.22a =,0.81()2b -=,52log 2c =,则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A . c b a <<B . c a b <<C . b a c <<D . b c a <<5. 设x ∈R ,则“12x >”是“2210x x +->”的（ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A . cos2y x =,x ∈RB . 2log ||y x =,x ∈R 且0x ≠C . e e 2x xy --=,x ∈RD . 31y x =+,x ∈R7. 将函数()sin f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点3π(,0)4,则ω的最小值是（ ）A . 13B . 1C . 53D . 28. 在ABC △中,90A ∠=,1AB =,2AC =.设点P ,Q 满足AP AB λ=,(1)AQ AC λ=-,λ∈R .若2BQ CP =-,则λ=（ ）A . 13B .23C . 43D . 2第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 集合{|2|5}A x x =∈-≤R 中的最小整数为_________.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为_________3m .11. 已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>与双曲线2C ：221416x y -=有相同的渐近线,且1C的右焦点为F ,则a =_________,b =_________.12. 设,m n ∈R ,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ,且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则AOB △面积的最小值为_________.13. 如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y kx =的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（Ⅰ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（Ⅱ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,（ⅰ）列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知2a =,ccos A =. （Ⅰ）求sin C 和b 的值； （Ⅱ）求πcos(2)3A +的值.17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,AD PD ⊥,1BC =,PC =,2PD CD ==.（Ⅰ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （Ⅱ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；（Ⅲ））求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且112a b ==,4427a b +=,4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1122n n n T a b a b a b =+++,*n ∈N ,证明*118(,2)n n n T a b n n ---=∈N ≥.【解析】做出不等式对应的可行域如图：3z 3z 3z【提示】根据框图可求得12S =，28S =，326S =，执行完后n 已为4，故可得答案。
2012学年高考文科数学年天津卷答案
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前河南省2012年初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷数 学本试卷满分120分,考试时间100分钟.参考公式：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点坐标为24(,)24b ac b a a--.一、选择题(每小题3分,共24分) 1.下列各数中,最小的数是( )(A )2-(B )0,1-(C )0(D )|1|-2.如下是一种电子计分牌呈现的数字图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )(A )(B )(C )(D )3.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米,0.0000065用科学记数法表示为( )(A )56.510-⨯ (B )66.510-⨯ (C )76.510-⨯ (D )66510-⨯ 4.某校九年级8位同学一分钟跳绳的次数排序后如下：150,164,168,168,172,176,183,185.则由这组数据得到的结论中错误的是 ( )(A )中位数为170 (B )众数为168 (C )极差为35 (D )平均数为1705.在平面直角坐标系中,将抛物线24y x =-先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是( )(A )2(2)2y x =++ (B )2(2)2y x =-- (C )2(2)2y x =-+(D )2(2)2y x =+-6.如图所示的几何体的左视图是( )(A )(B )(C )(D )7.如图,函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ,则不等式24x ax +＜的解集为( )(A )32x ＜(B )3x ＜ (C )32x ＞(D )3x ＞8.如图,已知AB 是O 的直径,AD 切O 于点A ,EC CB =.则下列结论中不一定正确的是 ( )(A )BA DA ⊥ (B )OC AE ∥ (C )2COE CAE ∠=∠ (D )OD AC ⊥二、填空题(每小题3分,共21分) 9.计算：02(3)+-= .10.如图,在ABC △中,90C ∠=,50CAB ∠=.按以下步骤作图：①以点A 为圆心,小于AC 的长为半径画弧,分别交AB 、AC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心,大于12EF 的长为半径画弧,两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D .则ADC ∠的度数为 .11.母线长为3,底面圆的直径为2的圆锥的侧面积为 .12.一个不透明的袋子中装有三个小球,它们除分别标有的数字1,3,5不同外,其他完全相同.任意从袋子中摸出一球后放回,再任意摸出一球,则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是 .13.如图,点,A B 在反比例函数(0,0)ky k x x=＞＞的图象上,过点,A B 作x 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,延长线段AB 交x 轴于点C ,若OM MN NC ==,AOC △的面积为6,则k 值为 .14.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=,6AC =,8BC =.把ABC △绕AB 边上的点D 顺时针旋转90得到A B C '''△,A C ''交AB 于点E .若AD BE =,则A DE '△的面积是 .15.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,30B ∠=,3BC =.点D 是BC 边上一动点(不与点B 、C 重合),过点D 作DE BC ⊥交AB 边于点E ,将B ∠沿直线DE 翻折,点B 落在射线BC 上的点F 处.当AEF △为直线三角形时,BD 的长为.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)16.(8分)先化简22444()2x x x x x x-+÷--,然后从x 的整数作为x 的值代入求值.17.(9分)5月31日是世界无烟日.某市卫生机构为了了解“导致吸烟人口比例高的最主要原因”,随机抽样调查了该市部分18～65岁的市民.下图是根据调查结果绘制的统计图,根据图中信息解答下列问题：图1图2(1)这次接受随机抽样调查的市民总人数为 ； (2)图1中m 的值为 ；(3)求图2中认为“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数；(4)若该市18～65岁的市民约有200万人,请你估算其中认为导致吸烟人口比例高的最主要原因是“对吸烟危害健康认识不足”的人数.18.(9分)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60DAB ∠=,点E 是AD 边的中点.点M 是AB 边上一动点(不与点A 重合),延长ME 交射线CD 于点N ,连结MD 、AN . (1)求证：四边形AMDN 是平行四边形；(2)填空：①当AM 的值为 时,四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为 时,四边形AMDN 是菱形.19.(9分)甲、乙两人同时从相距90千米的A 地前往B 地,甲乘汽车,乙骑摩托车,甲到达B 地停留半个小时后返回A 地,如图是他们离A 地的距离y (千米)与x (时)之间的函数关系图象.(1)求甲从B 地返回A 地的过程中,y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；(2)若乙出发后2小时和甲相遇,求乙从A 地到B 地用了多长时间？20.(9分)某宾馆为庆祝开业,在楼前悬挂了许多宣传条幅.如图所示,一条幅从楼顶A 处放下,在楼前点C 处拉直固定.小明为了测量此条幅的长度,他先在楼前D 处测得楼顶A 点的仰角为31,再沿DB 方向前进16米到达E 处,测得点A 的仰角为45,已知点C 到大厦的距离7BC =米,90ABD ∠=.请根据以上数据求条幅的长度(结果保留整数.参考数据：tan310.60≈,sin310.52≈,cos310.86≈).21.(10分)某中学计划购买A 型和B 型课桌凳共200套.经招标,购买一套A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用40元,且购买4套A 型和5套B 型课桌凳共需1820元.(1)求购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需多少元？(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌凳总费用不能超过48880元,并且购买A 型课桌凳的数量不能超过B 型课桌凳的23,求该校本次购买A 型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）22.(10分)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题：如图1,在□ABCD 中,点E 是BC 边的中点,点F 是线段AE 上一点,BF 的延长线交射线CD 于点G .若3AF EF =,求CDCG的值.(1)尝试探究在图1中,过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ,则AB 和EH 的数量关系是 ,CG 和EH 数量是 ,CDCG的值是 .(2)类比延伸如图2,在原题的条件下,若(0)AF m m EF =＞,则CDCG的值是 (用含m 的代数式表示),试写出解答过程.(3)拓展迁移如图3,梯形ABCD 中,DC AB ∥,点E 是BC 的延长线上一点,AE 和BD 相交于点F .若ABa CD =,BCb BE =(0,0)a b ＞＞,则AF EF的值是 (用含a 、b 的代数式表示).23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与抛物线23y ax bx =+-交于A 、B 两点,点A 在x 轴上,点B 的纵坐标为3.点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合),过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ,作PD AB ⊥于点D .(1)求a 、b 及sin ACP ∠的值； (2)设点P 的横坐标为m .①用含m 的代数式表示线段PD 的长,并求出线段PD 长的最大值；②连接PB ,线段PC 把PDB △分成两个三角形,是否存在适合的m 值,使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在,直接写出m 值；若不存在,说明理由.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________。
2012年天津高考数学理科试卷(带详解)
2012年某某高考数学卷解析一、选择题：在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1．i 是虚数单位,复数7i3iz -==+〔〕 A ．2i + B.2i -C .2i -+D .2i --[测量目标]复数代数形式的四如此运算. [考查方式]直接给出复数的分式形式求其值. [难易程度]容易 [参考答案]B [试题解析]7i (7i)(3i)217i 3i 12i 3i (3i)(3i)10z ------====-++- 2.设ϕ∈R ,如此"0ϕ=〞是"()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数〞的〔〕 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[测量目标]三角函数的奇偶性,充分、必要条件.[考查方式]判断三角函数初相参数取值与函数奇偶性的关系. [难易程度]容易 [参考答案]A[试题解析]∵0ϕ=⇒()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数,反之不成立,∴"0ϕ=〞是"()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数〞的充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时,输出x 的值为〔〕 A.1- B.1 C.3 D.9第3题图[测量目标]循环结构的程序框图.[考查方式]阅读程序框图得出程序运算结果. [难易程度]容易 [参考答案]C[试题解析]根据图给的算法程序可知：第一次4x =,第二次1x =,如此输出2113x =⨯+=. 4.函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是〔〕C .2D .3[测量目标]函数零点的求解与判断.[考查方式]直接给出函数的解析式判断其零点的个数. [难易程度]容易 [参考答案]B[试题解析]解法1：因为(0)1021f =+-=-,3(1)2228f =+-=,即(0)(1)0f f <且函数()f x 在()0,1内连续不断,故()f x 在()0,1内的零点个数是1.解法2：设3122,2,x y y x ==-在同一坐标系中作出两函数的图像如以下图：可知B 正确.第4题图5.在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为〔〕A.10B.10-C.40D.40- [测量目标]二项式定理.[考查方式]直接给出一个二项展开式求某项的系数. [难易程度]容易 [参考答案]D[试题解析]∵2515103155C (2)()2(1)C r r r r r r rr T x x x ----+=-=-,∴1031r -=,即3r =,∴x 的系数为40-.6.在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,85,2b c C B ==,如此cos C =〔〕 A.725B.725-C.725±D.2425[测量目标]正弦定理,三角函数中的二倍角公式.[考查方式]三角形角与边的关系运用正弦定理求一角的余弦值. [难易程度]容易 [参考答案]A[试题解析]∵85b c =,由正弦定理得8sin 5sin B C =,〔步骤1〕又∵2C B =,∴8sin 5sin 2B B =,〔步骤2〕所以8sin 10sin cos B B B =,易知sin 0B ≠,〔步骤3〕∴4cos 5B =,27cos cos 22cos 125C B B ==-=.〔步骤4〕 7.ABC △为等边三角形,2AB =,设点,P Q 满足,AP AB λ=(1),AQ AC λ=-λ∈R ,假如32BQ CP =-,如此λ=〔〕A.12B.12± D.32-±[测量目标]平面向量在平面几何中的应用.[考查方式]给出三角形边的向量关系式,运用平面向量的知识求解未知参数. [难易程度]中等 [参考答案]A[试题解析]∵(1),BQ AQ AB AC AB λ=-=--CP AP AC AB AC λ=-=-,〔步骤1〕又∵32BQ CP =-,且2AB AC ==,,60AB AC ︒<>=,cos602AB AC AB AC ︒==〔步骤2〕,∴3(1)()2AC AB AB AC λλ⎡⎤---=-⎣⎦,2223(1)(1)2AB AB AC AC λλλλ+--+-=,〔步骤3〕所以2342(1)4(1)2λλλλ+--+-=,解得12λ=. 〔步骤4〕第7题图8.设,m n ∈R ,假如直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,如此m n +的取值X 围是〔〕A.1⎡⎣B.(),113,⎡-∞++∞⎣C.2⎡-+⎣ D.(),2222,⎡-∞-++∞⎣[测量目标]直线与圆的位置关系.[考查方式]一直线与圆的位置关系求未知参数的取值X 围. [难易程度]中等 [参考答案]D[试题解析]∵直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,〔步骤1〕∴圆心(1,1)到直线的距离为1d ==,所以212m n mn m n +=++（） 〔步骤2〕设t m n =+,如此2114t t +,解得(),2222,t ⎡∈-∞-++∞⎣.〔步骤3〕二、填空题：本大题共6小题,每一小题5分,共30分.9.某地区有小学150所,中学75所,大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进展视力调査,应从小学中抽取所学校,中学中抽取所学校. [测量目标]分层抽样.[考查方式]运用分层抽样里的按比例抽样知识解决实际问题. [难易程度]容易 [参考答案]18,9[试题解析]∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为250所, 所以应从小学中抽取15030=18250⨯,中学中抽取75309250⨯=. 10.―个几何体的三视图如以下图<单位：m >,如此该几何体的体积为3m .第10题图[测量目标]由三视图求几何体的外表积与体积.[考查方式]给出一个几何体的三视图求其原几何体的体积. [难易程度]容易 [参考答案]189π+[试题解析]由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其体积为：3433612π()189π32V =⨯⨯+⨯⨯=+3m . 11.集合{}23A x x =∈+<R ,集合{}()(2)0B x x m x =∈--<R ,且(1,)AB n =-,如此m =,n =.[测量目标]集合的根本运算,集合间的关系.[考查方式]给出含有未知参数的集合通过它们直接的关系求出未知参数. [难易程度]容易 [参考答案]1-,1[试题解析]∵{}{}2351A x x x x =∈+<=-<<R ,又∵(1,)AB n =-,画数轴可知1,1m n =-=.12.己知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩〔t 为参数〕,其中0p >,焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点M 作的垂线,垂足为E ,假如EF ME =,点M 的横坐标是3,如此p =. [测量目标]抛物线的简单几何性质.[考查方式]给出抛物线的参数方程,运用其简单的几何性质求未知数. [难易程度]中等 [参考答案]2[试题解析]∵22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩可得抛物线的标准方程为22(0)y px p =>,〔步骤1〕∴焦点(,0)2pF ,∵点M 的横坐标是3,如此(3,M ,〔步骤2〕所以点(,2p E -222()(022p pEF =++±〔步骤3〕由抛物线得几何性质得2213,,63924p ME EF MF p p p p =+=∴+=++,解得2p =.〔步骤4〕13.如图,AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点F ,33,1,,2AF FB EF ===如此线段CD的长为.第13题图[测量目标]圆的性质的应用.[考查方式]给出与圆相关的直线与线段由圆的性质求未知线段. [难易程度]中等 [参考答案]43[试题解析]∵33,1,,2AF FB EF ===由相交弦定理得AF FB EF FC =,所以2FC =,〔步骤1〕又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=,〔步骤2〕设CD x =,如此4AD x =,再由切割线定理得2BD CD AD =,即284()3x x =,解得43x =,故43CD =.〔步骤3〕14.函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点,如此实数k 的取值X 围是.[测量目标]函数图像的应用.[考查方式]两个函数的图像的位置关系求解未知参数的取值X 围. [难易程度]中等 [参考答案](0,1)(1,4)[试题解析]∵函数2y kx =-的图像直线恒过定点(0,2)B -,且(1,2),(1,0),(1,2)A C D --,∴2+2==010AB k --,0+2==210BC k ---,2+2==410BD k -,由图像可知(0,1)(1,4)k ∈.第14题图三、解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.〔本小题总分为13分〕函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x =++-+-∈R . <Ⅰ>求函数()f x 的最小正周期； 〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. [测量目标]三角函数的周期性、最值.[考查方式]给出三角函数的函数解析式求解其最小正周期和在某个区间内的最值. [试题解析]<Ⅰ>2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-ππ2sin 2cos cos 2)34x x x =+=+〔步骤1〕函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==〔步骤2〕〔Ⅱ〕ππππ3π2π2sin(2)11()24444424x x x f x -⇒-+⇒-+⇔-〔步骤3〕当πππ2()428x x +==时,max ()f x =当πππ2()444x x +=-=-时,min ()1f x =-〔步骤4〕16.〔本小题总分为13分〕现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. 〔Ⅰ〕求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：〔Ⅱ〕求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：〔Ⅲ〕用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记X Y ξ=-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.[测量目标]互斥事件与相对独立事件的相关性质、数学期望.[考查方式]针对实际问题运用互斥事件与相对独立事件的性质求解概率问题. [难易程度]中等[试题解析]〔Ⅰ〕每个人参加甲游戏的概率为13p =,参加乙游戏的概率为213p -=〔步骤1〕 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248C (1)27p p -=.〔步骤2〕〔Ⅱ〕44(4,)()C (1)(0,1,2,3,4)k k kXB p P X k p p k -⇒==-=,〔步骤3〕 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==〔步骤4〕 〔Ⅲ〕ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==〔步骤5〕随机变量ξ的分布列为8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=〔步骤6〕17.〔本小题总分为13分〕如图,在四棱锥P ABCD-中,PA 丄平面ABCD ,,,45,2,1AC AD AB BC BAC PA AD AC ︒⊥⊥∠====.<Ⅰ>证明：PC AD ⊥；〔Ⅱ〕求二面角A PC D --的正弦值；〔Ⅲ〕设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为30︒,求AE 的长.第17题图[测量目标]线线垂直、异面直线所成的角的正弦值.[考查方式]通过空间几何体中的线线,线面直接的位置角度关系求证线线垂直以与异面直线所成角的正弦值. [难易程度]较难[试题解析]<Ⅰ>以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向,建立空间直角坐标系A xyz -.〔步骤1〕如此11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -〔步骤2〕(0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥〔步骤3〕第17题〔1〕图〔Ⅱ〕(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-,设平面PCD 的法向量(,,)x y z =n 如此0202200PC y z y zx y x z CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩n n 取1(1,2,1)z =⇒=n 〔步骤4〕(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量得：二面角A PC D --的正弦值为6〔步骤5〕〔Ⅲ〕设[]0,2AE h =∈；如此(0,0,2)AE =,11(,,),(2,1,0)22BE h CD ==-cos ,10BE CD BE CD h BECD<>=⇔=⇔=即AE =〔步骤6〕18.<本小题总分为13分〕{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=<Ⅰ>求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；<Ⅱ>记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++…；证明：12210()n n n T a b n ++=-+∈N . [测量目标]等差等比数列的通项与性质.[考查方式]给出等差等比数列中项之间的关系求解数列的通项,由两种数列结合成的新数列的性质运用与证明. [难易程度]较难[试题解析]<Ⅰ>设数列{}n a 的公差为d ,数列{}n b 的公比为q ；如此34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩〔步骤1〕得：31,2nn n a n b =-=<Ⅱ>121122311211...2222()22n n n n n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++ (111)213132352222n n n n n n n a n n n c c ------++==-=-〔步骤2〕[]1223112()()()2()n n n n n n T c c c c c c c c -=-+-++-=-…1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-〔步骤3〕19.〔本小题总分为14分〕设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点,O 为坐标原点. 〔Ⅰ〕假如直线AP 与BP 的斜率之积为12-,求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕假如AP OA =,证明：直线OP 的斜率k 满足k [测量目标]椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系.[考查方式]由椭圆的简单几何性质求解椭圆的标准方程以与椭圆的参数,判断椭圆与直线的位置关系求解未知数的取值X 围.[难易程度]较难 [试题解析]〔Ⅰ〕取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；如此221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=〔步骤1〕2222122a b e e a -==⇔=〔步骤2〕〔Ⅱ〕设(cos ,sin )(02π)P a b θθθ<；如此线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ〔步骤3〕sin sin cos 22cos AQ AQ AQb k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+〔步骤4〕2223AQAQ ak b a k k ⇒+<⇔<⇔>〔步骤5〕20.〔本小题总分为14分〕函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中0a >. 〔Ⅰ〕求a 的值；〔Ⅱ〕假如对任意的[)0,x ∈+∞,有2()f x kx 成立,某某数k 的最小值；〔Ⅲ〕证明：*12ln(21)2()21ni n n i =-+<∈-∑N .[测量目标]运用导数的相关性质求函数的最值,证明与推理最值问题. [考查方式]给出函数解析式运用导数的相关性质求解其函数最值. [难易程度]较难[试题解析]〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(,)a -+∞〔步骤1〕11()ln()()101x a f x x x a f x x a a x a x a+-'=-+⇒=-==⇔=->-++〔步骤2〕得：1x a =-时,min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=〔步骤3〕〔Ⅱ〕设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++如此()0g x 在[)0,x ∈+∞上恒成立min()0(0)g x g ⇔=〔*〕〔步骤4〕(1)1ln 200g k k =-+⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++〔步骤5〕①当1210()2k k -<<时,0012()00()(0)2kg x xx g x g k-'⇔=⇒<与〔*〕矛盾 ②当12k时,min ()0()(0)0g x g x g '⇒==符合〔*〕〔步骤6〕得：实数k 的最小值为12〔Ⅲ〕由〔2〕得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取[]222(1,2,3,,)ln(21)ln(21)2121(21)x i n i i i i i ==⇒+--<---…〔步骤7〕当1n =时,2ln32-<得：12ln(21)221ni n i =-+<-∑当2i时,2211(21)2321i i i <----得：121ln(21)ln(21)2ln 3122121ni i i i n =⎡⎤-++-<-+-<⎢⎥--⎣⎦∑〔步骤8〕。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)理
天津理科1.(2012天津,理1)i 是虚数单位,复数7i 3i-+=( ).A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-iB 7i 3i -+=(7i)(3i)(3i)(3i)--+-=22217i 3i i 9i --+-=2010i 10-=2-i. 2.(2012天津,理2)设φ∈R ,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x ∈R )为偶函数”的( ). A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A φ=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=±1,∴cos φ=±1,∴φ=k π(k ∈Z ).∴是充分而不必要条件.3.(2012天津,理3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为-25时,输出x 的值为( ). A .-1 B .1 C .3D .9Cx=|1|>1不成立, ∴x=2×1+1=3.4.(2012天津,理4)函数f(x)=2x +x 3-2在区间(0,1)内的零点个数是( ). A .0 B .1 C .2D .3B f'(x)=2x ln 2+3x 2,在(0,1)上f'(x)>0恒成立,∴f(x)在区间(0,1)上单调递增.又∵f(0)=20+03-2=-1<0,f(1)=21+13-2=1>0, ∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点.5.(2012天津,理5)在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 的系数为( ). A .10 B .-10 C .40 D .-40D T r+1=r 5C (2x 2)5-r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=(-1)r 25-r r 5C x 10-3r ,∴当10-3r=1时,r=3.∴(-1)325-335C =-40.6.(2012天津,理6)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=( ). A .725B .-725C .±725D .2425A 在△ABC 中,由正弦定理:b Bsin =c Csin ,∴C Bsin sin =c b,∴2B Bsin sin =85,∴cos B=45.∴cos C=cos 2B=2cos 2B-1=725.7.(2012天津,理7)已知△ABC 为等边三角形,AB =2.设点P ,Q 满足AP =λAB ,AQ =(1-λ)AC ,λ∈R.若BQ ·CP =-32,则λ=( ).A .12B C DA设AB =a ,AC =b ,则|a|=|b|=2,且<a,b>=3π.BQ =AQ -AB =(1-λ)b -a ,CP =AP -AC =λa -b .BQ ·CP =[(1-λ)b -a ]·(λa -b ) =[λ(1-λ)+1]a ·b -λa 2-(1-λ)b 2 =(λ-λ2+1)×2-4λ-4(1-λ) =-2λ2+2λ-2=-32.即(2λ-1)2=0,∴λ=12.8.(2012天津,理8)设m ,n ∈R,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,则m +n 的取值范围是( ).AB .(-∞∪∞)CD .(-∞∪,+∞)D 直线与圆相切,∴即:mn=m+n+1,设m+n=t,则mn ≤2m n 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭=2t 4,∴t+1≤2t 4,∴t 2-4t-4≥0,解得:t ≤t ≥9.(2012天津,理9)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校. 18 9 共有学校150+75+25=250所,∴小学中应抽取:30×150250=18所,中学中应抽取:30×75250=9所.10.(2012天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 m 3.18+9π 由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m ,3 m ,1 m 的长方体,底部为两个直径为3 m 的球.∴该几何体的体积为:V=6×3×1+2×43π×332⎛⎫ ⎪⎝⎭=18+9π(m 3). 11.(2012天津,理11)已知集合A ={x ||x 2|3}R ∈+<,集合B ={x |(x m)(x 2)0}R ∈--<,且A ∩B =(-1,n ),则m = ,n = . -1 1 A ={x ∈R||x +2|<3},∴|x +2|<3.∴-3<x+2<3,∴-5<x<1.又∵B ={x ∈R|(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),∴-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,n 是区间(-5,1)的右端点, ∴m=-1,n=1.12.(2012天津,理12)已知抛物线的参数方程为2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M 作l 的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M 的横坐标是3,则p= .2 由参数方程2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数),p>0,可得曲线方程为:y 2=2px(p>0). ∵|EF|=|MF|,且|MF|=|ME|(抛物线定义), ∴△MEF 为等边三角形,E 的横坐标为-p 2,M 的横坐标为3.∴EM 中点的横坐标为:p322-,与F 的横坐标p 2相同, ∴p322-=p 2,∴p=2.13.(2012天津,理13)如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E,与AB 相交于点F,AF=3,FB=1,EF=32,则线段CD 的长为 .43在圆中,由相交弦定理: AF·FB=EF·FC, ∴FC=AF?FB EF=2,由三角形相似,FC BD=AF AB,∴BD=FC?AB AF=83.由切割弦定理:DB 2=DC·DA, 又DA=4CD, ∴4DC 2=DB 2=649.∴DC=43.14.(2012天津,理14)已知函数y=2|x 1|x 1--的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是 .(0,1)∪(1,4) y=2|x 1|x 1--=|x 1||x 1|x 1+--=x 1,x 1,-|x 1|,x 1,+>⎧⎨+<⎩函数y=kx-2过定点(0,-2),由数形结合:k AB <k<1或1<k<k AC , ∴0<k<1或1<k<4.15.(2012天津,理15)已知函数f(x)=sin 2x 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+sin 2x 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭+2cos 2x-1,x ∈R .(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=sin 2x·cos 3π+cos 2x·sin 3π+sin 2x·cos 3π-cos 2x·sin 3π+cos 2x=sin 2x+cos 2x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以,f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为f(x)在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,又f 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭=-1,f 8π⎛⎫ ⎪⎝⎭4π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,故函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦最小值为-1.16.(2012天津,理16)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i=0,1,2,3,4), 则P(A i )=i4ii 41233C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A 2)=22241233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥,故P(B)=P(A 3)+P(A 4)=3341233C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+44413C⎛⎫⎪⎝⎭=19.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=827,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=4081,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×827+2×4081+4×1781=14881.17.(2012天津,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)证明PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(-12,12,0),P(0,0,2).(1)证明:易得PC=(0,1,-2),AD=(2,0,0), 于是PC·AD=0,所以PC ⊥AD.(2)PC =(0,1,-2),CD =(2,-1,0). 设平面PCD 的法向量n =(x ,y ,z ),则n?0,n?0,PC CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即y 2z 0,2x y 0.-=⎧⎨-=⎩不妨令z =1, 可得n =(1,2,1).可取平面PAC 的法向量m =(1,0,0). 于是cos <m,n>=m?n |m||n |,从而sin所以二面角A-PC-D(3)设点E 的坐标为(0,0,h),其中h ∈[0,2],由此得BE =11,-,h 22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由CD =(2,-1,0),故cos <BE ,CD >=BE?CD |BE||CD |=3所以cos 30°解得,即.解法二:(1)证明:由PA ⊥平面ABCD,可得PA ⊥AD,又由AD ⊥AC,PA ∩AC=A,故AD ⊥平面PAC.又PC ⊂平面PAC,所以PC ⊥AD.(2)如图,作AH ⊥PC 于点H,连接DH. 由PC ⊥AD,PC ⊥AH,可得PC ⊥平面ADH.因此DH ⊥PC,从而∠AHD 为二面角A-PC-D 的平面角. 在Rt △PAC 中,PA=2,AC=1,由此得由(1)知AD ⊥AH,故在Rt △DAH中因此sin ∠AHD=AD DH所以二面角A-PC-D(3)如图,因为∠ADC<45°,故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交,设交点为F,连接BE,EF.故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角.由于BF ∥CD,故∠AFB=∠ADC.在Rt △DAC 中sin ∠故sin ∠在△AFB 中,由BFFAB sin ∠=AB AFB sin ∠,AB sin ∠FAB=sin 135°可得由余弦定理,BF 2=AB 2+AF 2-2AB·AF·cos ∠FAB, 可得AF=12.设AE=h.在Rt △EAF 中在Rt △BAE 中在△EBF 中,因为EF<BE,从而∠EBF=30°,由余弦定理得cos 30°=222BE BF EF 2BE?BF +-.可解得.所以.18.(2012天津,理18)已知{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,{b n }是等比数列,且a 1=b 1=2,a 4+b 4=27,S 4-b 4=10. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记T n =a n b 1+a n -1b 2+…+a 1b n ,n ∈N *,证明T n +12=-2a n +10b n (n ∈N *).(1)解:设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由a 1=b 1=2,得a 4=2+3d,b 4=2q 3,S 4=8+6d.由条件,得方程组3323d 2q 27,86d 2q 10.⎧++=⎨+-=⎩解得d 3,q 2.=⎧⎨=⎩ 所以a n =3n -1,b n =2n ,n ∈N *. (2)证明:(方法一)由(1)得T n =2a n +22a n-1+23a n-2+…+2n a 1,① 2T n =22a n +23a n-1+…+2n a 2+2n+1a 1.② 由②-①,得T n =-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n +2n+2=n 112(12)12---+2n+2-6n+2=10×2n -6n-10.而-2a n +10b n -12=-2(3n-1)+10×2n -12=10×2n -6n-10,故 T n +12=-2a n +10b n ,n ∈N *. (方法二:数学归纳法)①当n=1时,T 1+12=a 1b 1+12=16,-2a 1+10b 1=16,故等式成立; ②假设当n=k 时等式成立,即T k +12=-2a k +10b k ,则当n=k+1时有: T k+1=a k+1b 1+a k b 2+a k-1b 3+…+a 1b k+1 =a k+1b 1+q(a k b 1+a k-1b 2+…+a 1b k ) =a k+1b 1+qT k=a k+1b 1+q(-2a k +10b k -12) =2a k+1-4(a k+1-3)+10b k+1-24 =-2a k+1+10b k+1-12,即T k+1+12=-2a k+1+10b k+1,因此n=k+1时等式也成立. 由①和②,可知对任意n ∈N *,T n +12=-2a n +10b n 成立.19.(2012天津,理19)设椭圆22x a+22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P 在椭圆上且异于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 满足(1)解:设点P 的坐标为(x 0,y 0).由题意,有202x a +202y b=1① 由A(-a,0),B(a,0),得k AP =00y x a+,k BP =00y x a-.由k AP ·k BP =-12,可得20x =a 2-220y ,代入①并整理得(a 2-2b 2)20y =0.由于y 0≠0,故a 2=2b 2.于是e 2=222a b a -=12,所以椭圆的离心率(2)证明:(方法一)依题意,直线OP 的方程为y=kx,设点P 的坐标为(x 0,y 0).由条件得00220022y kx ,x y 1,ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 0并整理得2x =22222a b k a b +.② 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y 0=kx 0,得(x 0+a)2+k 220x =a 2.整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0.而x 0≠0,于是x 0=22a 1k -+,代入②,整理得(1+k 2)2=4k 22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+4.由a>b>0,故(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,因此k 2>3.所以(方法二)依题意,直线OP 的方程为y=kx,可设点P 的坐标为(x 0,kx 0),由点P 在椭圆上,有202x a +2202k x b=1.因为a>b>0,kx 0≠0,所以202x a +2202k x a<1,即(1+k 2)20x <a 2.③ 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x 0+a)2+k 220x =a 2,整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0,于是x 0=22a 1k -+.代入③,得(1+k 2)2224a (1k )+<a 2,解得k 2>3,所以20.(2012天津,理20)已知函数f(x)=x-ln (x+a)的最小值为0,其中a>0. (1)求a 的值;(2)若对任意的x ∈[0,+∞),有f(x)≤kx 2成立,求实数k 的最小值;(3)证明ni 122i 1=∑--ln (2n+1)<2(n ∈N *).(1)解:f(x)的定义域为(-a,+∞).f'(x)=1-1x a+=x a 1x a+-+.由f'(x)=0,得x=1-a>-a.当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:因此,f(x)在x=1-a 处取得最小值,故由题意f(1-a)=1-a=0,所以a=1.(2)解:当k ≤0时,取x=1,有f(1)=1-ln 2>0,故k ≤0不合题意.当k>0时,令g(x)=f(x)-kx 2,即g(x)=x-ln (x+1)-kx 2.g'(x)=x x 1+-2kx=x[2kx-(12k)]x 1--+.令g'(x)=0,得x 1=0,x 2=12k 2k->-1.①当k ≥12时,12k 2k-≤0,g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在[0,+∞)上单调递减.从而对于任意的x ∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,即f(x)≤kx 2在[0,+∞)上恒成立,故k ≥12符合题意.②当0<k<12时,12k 2k->0,对于x ∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭,g'(x)>0,故g(x)在12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增.因此当取x 0∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭时,g(x 0)>g(0)=0,即f(x 0)≤k 20x 不成立. 故0<k<12不合题意.综上,k 的最小值为12. (3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln 3<2=右边,所以不等式成立.当n ≥2时,n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭=n i 1221212i 1ln i =⎡⎤⎛⎫∑-+ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦ =n i 122i 1=∑--n i 1=∑[ln (2i+1)-ln (2i-1)] =n i 122i 1=∑--ln (2n+1).在(2)中取k=12,得f(x)≤2x 2(x ≥0),从而 f 2222i 1(2i 1)⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭<2(2i 3)(2i 1)--(i ∈N *,i ≥2), 所以有ni 122i 1=∑--ln (2n+1)=n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭=f(2)+n i 22f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭<2-ln 3+n i 22(2i 3)(2i 1)=∑-- =2-ln 3+n i 2112i 32i 1=⎛⎫∑- ⎪--⎝⎭=2-ln 3+1-12n 1-<2. 综上,n i 122i 1=∑--ln (2n+1)<2,n ∈N *.。
春季高考历年真题-2012年天津市春季高考计算机试卷
2012年天津市高等院校春季招生统一考试计算机基础本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至10页，第Ⅱ卷11至12页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共100分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。
一、单项选择题：本大题共50小题，每小题1分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．在计算机应用领域中，CAI是指A．计算机辅助设计B．计算机辅助制造C．计算机辅助教学D．计算机辅助测试2．高速缓冲存储器（Cache）位于A．CPU与内存之间B．内存与外存之间C．CPU与外村之间D．RAM与ROM之间3．根据汉字国标码GB2312-80的规定，每个汉字编码用A．一个字节表示B．二个字节表示C．三个字节表示D．四个字节表示4．完整的计算机系统包括A．主机和外部设备B．系统软件和应用软件C．主机、键盘和显示器D．硬件系统和软件系统5．在微型计算机系统中，总线不包括．．．A．数据总线B．地址总线C．控制总线D．存储总线6．在微型计算机系统中，MIPS用于衡量A．存储速度B．运算速度C．存储容量D．传输速率7．下列等式中，正确的是A．1MB=1024B B．1GB=1024KBC．1KB=1024MB D．1TB=1024GB8．下列软件中，不属于操作系统的是A．DOS B．LinuxC．UNIX D．Office 20039．在WindowsXP 中，单击应用程序窗口标题栏上的按钮后A．应用程序结束运行B．窗口最小化，应用程序切换到后台运行C．应用程序窗口最大化，占据整个桌面D．应用程序窗口缩小为图标显示在桌面上10．在WindowsXP中，使用键盘打开“开始”菜单，可按A．Ctrl+Esc键B．Alt+Ese键C．Ctrl+Alt+Esc键D．Ctrl+Shift+Esc键11．在WindowsXP的对话框中不包括．．．A．菜单栏B．标签、命令按钮、文本框C．滑标、增量按钮D．单选按钮、复选框、列表框12．在WindowsXP中，下列叙述错误．．的是A．工具栏中提供了常用命令的工具按钮B．用鼠标左键拖动边框可以调整对话框的大小C．任务栏可以放在桌面的左侧、右侧、顶端或底端D．菜单中某命令的字体为浅灰色，表示该命令在当前状态下不能使用13．在WindowsXP中，下列属于快捷方式图标的是A ．B ．C ．D ．14．在“我的电脑”窗口中，已选中多个文件，要取消所有文件的选中状态可以A．单击窗口的空白处B．单击被选中文件中的任一个文件C．单击未选中文件中的任一个文件D．按住Ctrl键，单击被选中文件中的任一文件15．在WindowsXP中，要移动窗口位置，可以用鼠标拖动窗口的A．状态栏B．菜单栏C．标题栏D．滚动条16．在WindowsXP中，下列不能作为文件夹名使用的是A．abc.txt B．abc txtC．abc-txt D．abc>txt17．在WindowsXP中，能够切换用户重新登录计算机的操作是A．执行“控制面板”中的“显示”程序B．执行“开始”菜单中的“注销”命令C．执行“控制面板”中的“用户帐户”程序D．执行“开始”菜单中的“网上邻居”命令18．在Word 2003中，“工具栏”命令位于A．“文件”菜单B．“视图”菜单C．“插入”菜单D．“工具”菜单19．在Word 2003中，要将文档标题设置为居中格式，可以使用“格式”工具栏上的A ．按钮B ．按钮C ．按钮D ．按钮20．在Word 2003中，设置行间距使用的是“格式”菜单中的A．“字体”命令B．“对象”命令C．“段落”命令D．“中文版式”命令21．在Word 2003中，自动生成文档目录使用的是A．“插入”菜单“引用”命令B．“文件”菜单“页面设置”命令C．“插入”菜单“书签”命令D．“视图”菜单“文档结构图”命令22．在Word 2003中，下列叙述错误．．的是A．文档的每一节可设置不同的页眉B．页脚中插入的页码只能从1开始C．文档的奇、偶页可设置不同的页眉D．同一节中页码只能递增不能递减23．在Word 2003中，打开一个已有文档后，下列与其他三个操作功能有区别的是A．按Ctrl+S键B．执行“文件”菜单“保存”命令C ．单击“常用”工具栏上的按钮D．执行“文件”菜单“另存为”命令24．在Word 2003中，选中表格中的一行后按Delete键，则A．删除该行的表格线B．删除该行中所有的格式设置C．删除该行中各单元格的内容D．删除该行使表格中减少一行25．在Word 2003中，拆分单元格可以使用“表格和边框”工具栏上的A ．按钮B ．按钮C ．按钮D ．按钮26．在Word 2003中，要把页面方向设置为“横向”，可以使用“页面设置”对话框的A．“纸张”选项卡B．“页边距”选项卡C．“版式”选项卡D．“文档网格”选项卡27．在Excel 2003中，存盘的基本单位是A．单元格B．工作表C．工作簿D．行和列28．在Excel 2003中，向单元格中输入“'1/2”后显示的是A．1/2 B．0.5C．'1/2 D．1月2日29．在Excel 2003中，如果单元格的右上角有一个红色小三角标记，则表示A．单元格中设置了条件格式B．单元格中插入了批注C．单元格中输入的公式有错误D．执行了“冻结窗格”命令30．在Excel 2003中，为选定的区域添加底纹，可使用“单元格格式”对话框中的A．“字体”选项卡B．“边框”选项卡C．“保护”选项卡D．“图案”选项卡31．在Excel 2003中个，单元格中已输入数据且设置了格式，要将其恢复为默认格式的空单元格，可执行“编辑”菜单“清除”子菜单中的A．“内容”命令B．“格式”命令C．“全部”命令D．“批注”命令32．在Excel 2003中，统计A1:D5区域中数字单元格的个数，正确的公式是A．=MAX(A1:D5) B．=SUM(A1:D5)C．=COUNT(A1:D5) D．=A VERAGE(A1:D5)33．Excel 2003某工作表中数据如右图所示。
2012年高考理数真题试卷(天津卷)
第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2012年高考理数真题试卷（天津卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)，则“φ=0”是“f （x ）=cos （x+φ）（x∈R ）为偶函数”的（ ） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件2. （2012•天津）函数f （x ）=2x +x 3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 33. （2012•天津）设m ，n∈R ，若直线（m+1）x+（n+1）y ﹣2=0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n 的取值范围是（ ） A . [1﹣ ，1+ ] B . （﹣∞，1﹣]∈[1+，+∞）C . [2﹣2 ，2+2] D . （﹣∞，2﹣2 ]∈[2+2，+∞）4. （2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为﹣25时，输出x 的值为（ ）答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . ﹣1B . 1C . 3D . 95. （2012•天津）已知∈ABC 为等边三角形，AB=2．设点P ，Q 满足，，λ∈R ．若=﹣ ，则λ=（ ）A .B .C .D .6. （2012•天津）在∈ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ） A . B .C .D .7. （2012•天津）i 是虚数单位，复数=（ ）A . 2+iB . 2﹣iC . ﹣2+iD . ﹣2﹣i8. （2012•天津）在（2x 2﹣ ）5的二项展开式中，x 项的系数为（ ） A . 10 B . ﹣10 C . 40 D . ﹣40第Ⅱ卷 主观题。
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6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结ห้องสมุดไป่ตู้构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。