辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

辽宁省大连市【最新】高二上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，记直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，倾斜角分别为12,αα则下列结论正确的是（ ）

A ．1212,k k αα>>

B ．1212,k k αα><

C ．1212,k k αα<>

D ．1212,k k αα<<

2．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）

A ．1122

-++a b c B ．

1122a b c ++ C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 3．抛物线2:4C y x =的焦点坐标是（ ）

A ．(1,0)

B ．(2,0)

C ．(1,0)-

D ．(2,0)- 4．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=，

则二面角l αβ--的大小为（ ）

A ．6π

B ．56π

C ．6π或56π

D ．6π或3

π 5．已知A 、B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，则炮弹爆炸点的轨迹是（ ）

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．双曲线的一支

D ．抛物线

6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A C 的中点，则异面直线CE 与BD 所成的角为（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

7．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）

A ．22(2)(1)1x y -++=

B ．22(2)(1)4x y -++=

C ．22(4)(2)4x y ++-=

D ．22(2)(1)1x y ++-=

8．已知抛物线2:8C y x =上一点P ，直线12:2,:34140l x l x y =--+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．125

D ．245

9．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的焦距为6，过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，若AB 中点坐标为(1,1)-，则C 的方程为（ ）

A ．22

14536x y += B ．221189x y += C ．221459x y += D ．2217236

x y +=

10．如图，椭圆22

2:116

x y C a +=的焦点为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，交y 轴于点H .若1F 、H 是线段MN 的三等分点，则2F MN 的周长为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．11．在下列命题中： ①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等

②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等

③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等

④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等

其中真命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．设F 是双曲线22

221x y a b

-=的右焦点，双曲线两渐近线分别为1l ，2l ，过点F 作直线1l 的垂线，分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若A ，B 两点均在x 轴上方且3OA =，5OB =，则双曲线的离心率e 为（ ）

A B ．2 C D

二、填空题

13．已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量

1133

OP OA OB OC λ=++，且点P 与,,A B C 共面，则实数λ=__________. 14．直线2210ax y ++=与20x y --=平行，则实数a =__________.

三、双空题

15．已知方程22

149x y k k

+=--，当这个方程表示椭圆时，k 的取值的集合为________；

当这个方程表示双曲线时，k 的取值的集合为_________.

16．已知()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，则过C 上点M 的切线方程为________，

若()22,N x y 为椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>上一点，则过E 上点M 的切线方程为_____________.

四、解答题

17．过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线交C 于,A B 两点，l 为C 的准线，0为坐标原点.过B 做1BB l ⊥于1B ，设()()1122,,,A x y B x y .

（1）求12y y ?的值；

（2）求证：1,,A O B 三点共线.

18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB AD E ⊥为PD 中点且12

BC AB PA AD ===.

（1）求证：//CE 平面PAB ；

（2）求二面角E AC D --的余弦值.

19．已知直线:20l x y ++=与圆222:(2)(0)C x y r r -+=>相切，O 为原点，(2,0)A -.

（1）若过A 的直线1l 与C 相交所得弦长等于4，求直线1l 的方程；

（2）P 为C 上任意一点，求||||

PO PA 的值. 20．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率12e =，椭圆C 过点(2,0). （1）求椭圆C 的方程；

（2）斜率为12

的直线l 与C 交于,A B 两点，已知(2,1)P ，求PAB △面积的最大值. 21．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，

90BAC ?∠=，111,2,AB BC BB DC DC =====，平面1CC D ⊥平面11ACC A .

（1）M 为三角形1DCC 内（含边界）的一个动点，且1AM DC ⊥，求M 的轨迹的长度；

（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 若存在，求BP BC

的值；若不存在，说明理由.

22．已知平面内的两点(0,(0,A B -，过点A 的直线1l 与过点B 的直线2l 相交于点C ，若直线1l 与直线2l 的斜率乘积为12

-

，设点C 的轨迹为E . （1）求E 的方程；

（2）设P 是E 与x 轴正半轴的交点，过P 点作两条直线分别与E 交于点,M N ，若直线,PM PN 斜率之积为4-，求证：直线MN 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

参考答案

1．B

【分析】

由斜率和倾斜角的关系，结合图形直接比较大小即可

【详解】

解：由图可知12αα<，且1α为锐角，2α为钝角，

因为1122tan 0,tan 0k k αα=>=<，

所以12k k >，

故选：B

【点睛】

此题考查直线斜率和倾斜角的关系，属于基础题

2．A

【分析】

在平行六面体1111ABCD A B C D -中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】

在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点， ()111111222BM BB B M AD BA AA a b c =+=

++=-++. 故选：A.

3．A

【分析】 由抛物线的方程直接求其焦点坐标即可

【详解】

解：因为抛物线2:4C y x =，

所以24p =，2p =，则12

p = 所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，

故选：A

【点睛】

此题考查由抛物线的方程求焦点坐标，属于基础题

4．C

【分析】

由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当a 、b 为异号向量，二面角为π减去两法向量夹角；当a 、b 为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角l αβ--

【详解】

两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=

由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况

1、当a 、b 为异号向量，如下图示：,a b 6π

<>=

∴有二面角l αβ--为56

π 2、当a 、b 为同号向量，如下图示：,a b 6π

<>=

∴有二面角l αβ--为6

π 综上，有二面角l αβ--为

6π或56π 故选：C

【点睛】

本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，

注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小

5．C

【分析】

设炮弹爆炸点为点P ，计算出PA PB -的值，结合双曲线的定义可得出点P 的轨迹形状.

【详解】

设炮弹爆炸点为点P ，由题意可得3402680800PA PB AB -=?=<=，

所以，炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.

故选：C.

【点睛】

本题考查动点轨迹形状的判断，考查双曲线定义的应用，属于基础题.

6．D

【分析】

连接AC ，由已知条件可证得BD ⊥平面11AAC C ，从而可得BD ⊥CE ，由此可得答案

【详解】

连接AC ，则AC BD ⊥，

因为1AA ⊥平面ABCD ，BD 在平面ABCD 内，

所以1AA BD ⊥，

因为1AA AC A =，

所以BD ⊥平面11AAC C ，

因为CE 在平面11AAC C 内，

所以BD ⊥CE ，

所以异面直线CE 与BD 所成的角为90?，

故选：D

【点睛】

此题考查求异面直线所成的角，属于基础题

7．A

【解析】

试题分析：设圆上任一点为()00,Q x y ，PQ 中点为(),M x y ，根据中点坐标公式得，0024{22

x x y y =-=+，因为()00,Q x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=，即()()2224224x y -++=，化为22(2)(1)1x y -++=，故选A.

考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.

【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个

变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()

00x g x y h x =???=??代入()00,0=f x y .本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.

8．B

【分析】

由抛物线方程可知，1:2l x =-是抛物线的准线，根据抛物线的定义可知PM PF =，所以所求最小值等于焦点F 到直线2l 的距离，根据点到直线的距离可得结果.

【详解】

过P 作1⊥PM l ，垂足为M ，过P 作2PN ⊥，垂足为N ，如图：

由抛物线2

8y x =可得焦点(2,0)F ，准线为1:2l x =-，

所以PM PN PF PN +=+，所以当,,N P F 三点共线时，PM PN +取得最小值，且最小值为焦点F 到直线2:34140l x y -+=的距离.

=4.

故选：B.

【点睛】 本题考查了由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，考查了抛物线的定义，考查了点到直线的距离，属于基础题.

9．B

【分析】

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，代入椭圆方程得221122

222222

11x y a b x y a b ?+=????+=??，利用“点差法”可得12121222

120x x y y y y a x x b +-++=-．利用中点坐标公式可得122x x +=，122y y +=-，利用斜率计算公式可得1212101132

AB

y y k x x ---===--．得到222a b =

，再利用3c ==解得2a ，2b ．进而得到椭圆的方程．

【详解】

1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 代入椭圆方程得221122

222222

11x y a b x y a b ?+=????+=??， 相减得2222121222

0x x y y a b --+=， ∴12121222

120x x y y y y a x x b +-++=-． 122x x +=，122y y +=-，1212101132AB y y k x x ---=

==--． ∴222

1202a b

-+?=， 化为222a b =，又3c ==218a =，29b =．

∴椭圆E 的方程为221189

x y +=． 故选：B ．

【点睛】

本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．A

【分析】

求出点N 的坐标，根据112NF F M =可求得点M 的坐标，

再将点M 的坐标代入椭圆方程，求出a 的值，结合椭圆的定义可求得2F MN 的周长.

【详解】

由于1F 、H 是线段MN 的三等分点，则点H 为线段1

F N 的中点，

又因为点O 为线段12F F 的中点，则2

//OH F N ，可得点N

设点N 为第一象限内的点，将x 代入椭圆C 的方程得221616y a

=，

0y >，可得16y a =

，即点16N a ???， 设点(),M x y

，则()1F M x y =

，116NF a ?

?=-- ???

， 由112NF F M =

得(

2162x y a ?+=-???=-?

，解得8x y a ?=-??=-??， 所以，点M

的坐标为8a ?

?-- ???

， 将点M 的坐标代入椭圆C 的方程得()

222

41641a a a -+=，解得220a =

，则a =， 因此，2F MN

的周长为4a =故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆中三角形周长的计算，考查椭圆定义的应用，解答的关键求出一些关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.

11．D

【分析】

平面11AB D 与正方体的12条棱所成的角相等，且平面11AB D 与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，直线1AC 与正方体的12条棱所成的角都相等，且直线1AC 与正方体的6个面所成的角都相等

【详解】

解：如图，连接11111,,,AC AD B D AB ，则三棱锥111A AD B -为正三棱锥，则11111,,A B A D A A 与平面11AB D 所成角相等，则存在一个平面11AB D 与正方体的12条棱所成的角相等，故①正确；

正三棱锥111A AD B -的三个侧面与底面11AB D 所成角相等，则存在一个平面11AB D 与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；

存在一条直线1AC 与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；

存在一条直线1AC 与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确，

故正确的有4个，

故选：D

【点睛】

此题面面角、线面角的判断，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题

12．C

【详解】

试题分析：如下图所示，

从而可知4tan 3θ=，∴242tan 4tan 2tan 231tan 3

αααα=-?=-?=-，

即2b a =，∴e ==，故选C. 考点：双曲线的标准方程及其性质.

【名师点睛】

1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，

构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征.

13．13

【分析】

由空间四点共面基本定理直接计算即可

【详解】 解：因为向量1133

OP OA OB OC λ=++，且点P 与,,A B C 共面， 所以

11133λ++=，解得13

λ=， 故答案为：13 【点睛】

此题考查空间共面向量基本定理的应用，属于基础题

14．1-

【分析】

由两直线平行，可得2(1)12a ?-=?，从而可求出a 的值

【详解】

解：因为直线2210ax y ++=与20x y --=平行，

所以2(1)12a ?-=?，解得1a =-，

故答案为：1-

【点睛】

此题考查由两直线平行求参数，属于基础题

15．(,4)-∞ (4,9)

【分析】

利用椭圆、双曲线方程满足条件，建立不等式，即可求k 的取值范围；

【详解】

解：因为22

149x y k k +=--，当方程表示椭圆则409049k k k k ->??->??-≠-?解得4k <，即(),4k ∈-∞ 当方程表示双曲线则()()490k k --<解得49k <<，即()4,9k ∈，

故答案为：(),4-∞；()4,9.

【点睛】

本题考查椭圆、双曲线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

16．111x x y y +=

22221x x y y a b += 【分析】

由OM 垂直切线可求出切的斜率，再利用点斜式可求出过C 上点M 的切线方程；利用导数的几何意义在点()22,N x y 处切线的斜率，再利用点斜式求出直线方程

【详解】 解：因为11

OM y k x =，切线与直线OM ， 所以所求切线的斜率为11

x y -， 所以所求的切线方程为1111()x y y x x y -=-

-，即221111y y y x x x -=-+， 得221111x x y y x y +=+，

因为点()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，所以22111x y +=，

所以过C 上点M 的切线方程为111x x y y +=；

当20y >时，设0y >，由22221x y a b +=得22

221y x b a

=- 22222y a x b a -= ∴2

2222()b y a x a

=-

∴y =

∴1'

222()(2)2b y a x x a -=-?- 1222()bx a x a

-=--

=

∴过点()22,N x y

的切线的斜率为

∴过点()22,N x y

的切线的方程为22)y y x x -=-

∵点()22,N x y 在椭圆上， ∴2222221x y a b +=，

222222222,a y a y b x a b b

=+=， ∴2222()bx b y y x x a ay -=-?-， 即222222

()b x y y x x a y -=-- 2222222222a y y a y b x x b x -=-+，

2222222222a y y b x x a y b x +=+，

∴222222a y y b x x a b +=，

∴所求的切线方程为22221x x y y a b

+=， 当20y <时，同理可得其切线方程为22221x x y y a b

+= 所以过E 上点()22,N x y 的切线方程为

22221x x y y a b +=， 故答案为：111x x y y +=；

22221x x y y a b

+= 【点睛】

此题考查圆锥曲线的切线方程的求法，属于中档题

17．（1）212y y p =-；（2）证明见解析.

【分析】

(1)设直线:2

AB p l x my =+,与抛物线联立,利用韦达定理可得解; (2)分别计算AO k 和1B O k ,结合(1)中212y y p =-,可证得1AO B O k k =,从而得证.

【详解】

（1）由题意可设直线:2

AB p l x my =+， 联立222p x my y px

?=+???=?，

化简得2220(*)y pmy p --=,222

440p m p =+>.

由题知12,y y 为方程（*）的根，

所以212y y p =-. （2）因为11211122AO y y p k y x y p

===， 又因为12

2

B O y k p =-， 由（1）可知212y y p =-， 所以12122

B O y p k p y ==-， 所以1AO B O k k =，

所以1,,A B O 三点共线.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，涉及“设而不求”的思想，联立是解题的关键，属于基础题.

18．（1）证明见解析；（2）

3

. 【分析】

（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

（1）证明：取PA 中点F ，连接,EF BF .

因为PAD △中，,E F 为中点， 所以//EF AD 且12

EF AD =

. 又因为//BC AD 且12BC AD =， 所以//BC EF 且BC EF =.

所以四边形BCEF 为平行四边形，

所以//CE BF ，

又因为CE ?平面,PAB BF ?平面PAB ，

所以//CE 平面PAB .

（2）

以A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.

设1PA =，

所以平面ACD 的法向量为设(0,0,1)AP =. 又1(1,1,0),0,1,2C E ?

? ???

， 1(1,1,0),0,1,2AC AE ??== ???，设面EAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，

则有：001002x y AC n y z AE n +=???=????+=?=???

， 可求得平面EAC 的一个法向量为(1,1,2)n =-.

设二面角E AC D --大小为θ，则0,2πθ?

?∈ ???

， 所以6cos |cos ,|n AP θ=<>=

， 所以二面角E AC D --

【点睛】

本题考查了线面平行的证明，

考查了利用空间向量夹角公式求二面角的余弦值问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.

19．（1）1:2)

l y x =+；（2）2. 【分析】

（1）由直线l 与圆C 相切，可得圆心(2,0)C 到直线l 的距离等于半径，从而可求出半径r 的值，设1:(2)l y k x =+，再利用点到直线的距离公式可求出直线的斜率，从而可得直线方程； （2）设()00,P x y ，由利用两点间的距离公式表示出,

PO PA 的值，然后代入

||||

PO PA 中化简可得结果

【详解】