辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
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（2） 为 上任意一点，求 的值.
20．已知椭圆 的离心率 ，椭圆 过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）斜率为 的直线 与 交于 两点，已知 ，求 面积的最大值.
21．如图，由直三棱柱 和四棱锥 构成的几何体中， ， ，平面 平面 .
（1） 为三角形 内（含边界）的一个动点，且 ，求 Leabharlann Baidu轨迹的长度；
参考答案
1．B
【分析】
由斜率和倾斜角的关系，结合图形直接比较大小即可
【详解】
解：由图可知 ，且 为锐角， 为钝角，
因为 ，
所以 ，
故选：B
【点睛】
此题考查直线斜率和倾斜角的关系，属于基础题
2．A
【分析】
在平行六面体 中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
在平行六面体 中， 为 与 的交点，
5．C
【分析】
设炮弹爆炸点为点 ，计算出 的值，结合双曲线的定义可得出点 的轨迹形状.
【详解】
设炮弹爆炸点为点 ，由题意可得 ，
所以，炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.
故选：C.
【点睛】
本题考查动点轨迹形状的判断，考查双曲线定义的应用，属于基础题.
6．D
【分析】
连接 ，由已知条件可证得 平面 ，从而可得 ，由此可得答案
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将 代入 .本题就是利用方法④求 的轨迹方程的.
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等
其中真命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
12．设 是双曲线 的右焦点，双曲线两渐近线分别为 ， ，过点 作直线 的垂线，分别交 ， 于 ， 两点，若 ， 两点均在 轴上方且 ， ，则双曲线的离心率 为（）
A． B．2C． D．
二、填空题
13．已知 三点不共线， 为平面 外一点，若向量 ，且点 与 共面，则实数 __________.
（2）在线段 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
22．已知平面内的两点 ，过点 的直线 与过点 的直线 相交于点 ，若直线 与直线 的斜率乘积为 ，设点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设 是 与 轴正半轴的交点，过 点作两条直线分别与 交于点 ，若直线 斜率之积为 ，求证：直线 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.
辽宁省大连市【最新】高二上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，记直线 的斜率分别为 ，倾斜角分别为 则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
2．如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（）
【详解】
连接 ，则 ，
因为 平面 ， 在平面 内，
所以 ，
因为 ，
所以 平面 ，
因为 在平面 内，
所以 ，
所以异面直线 与 所成的角为 ，
故选：D
【点睛】
此题考查求异面直线所成的角，属于基础题
7．A
【解析】
试题分析：设圆上任一点为 ， 中点为 ，根据中点坐标公式得， ，因为 在圆 上，所以 ，即 ，化为 ，故选A.
四、解答题
17．过抛物线 焦点 的直线交 于 两点， 为 的准线，0为坐标原点.过 做 于 ，设 .
（1）求 的值；
（2）求证： 三点共线.
18．如图，在四棱锥 中， 平面 为 中点且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．已知直线 与圆 相切， 为原点， .
（1）若过 的直线 与 相交所得弦长等于4，求直线 的方程；
.
故选：A.
3．A
【分析】
由抛物线的方程直接求其焦点坐标即可
【详解】
解：因为抛物线 ，
所以 ， ，则
所以抛物线的焦点坐标为 ，
故选：A
【点睛】
此题考查由抛物线的方程求焦点坐标，属于基础题
4．C
【分析】
由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当 、 为异号向量，二面角为 减去两法向量夹角；当 、 为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角
A． B． C． D．
10．如图，椭圆 的焦点为 、 ，过 的直线交椭圆 于 、 两点，交 轴于点 .若 、 是线段 的三等分点，则 的周长为（）
A． B． C． D．
11．在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等
②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等
14．直线 与 平行，则实数 __________.
三、双空题
15．已知方程 ，当这个方程表示椭圆时， 的取值的集合为________；当这个方程表示双曲线时， 的取值的集合为_________.
16．已知 为圆 上一点，则过 上点 的切线方程为________，若 为椭圆 上一点，则过 上点 的切线方程为_____________.
【详解】
两个半平面 与 的法向量分别为 ，且
由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况
1、当 、 为异号向量，如下图示：
∴有二面角 为
2、当 、 为同号向量，如下图示：
∴有二面角 为
综上，有二面角 为 或
故选：C
【点睛】
本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小
A． B．
C． D．
3．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
4．已知二面角 的两个半平面 与 的法向量分别为 ，且 ，则二面角 的大小为（）
A． B． C． 或 D． 或
5．已知 、 两地相距 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ，且声速为 ，则炮弹爆炸点的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
6．如图，在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 与 所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是（）
A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线 上一点 ，直线 ，则 到这两条直线的距离之和的最小值为（）
A．2B．4C． D．
9．已知椭圆 的焦距为6，过右焦点 的直线 交椭圆 于 两点，若 中点坐标为 ，则 的方程为（）
20．已知椭圆 的离心率 ，椭圆 过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）斜率为 的直线 与 交于 两点，已知 ，求 面积的最大值.
21．如图，由直三棱柱 和四棱锥 构成的几何体中， ， ，平面 平面 .
（1） 为三角形 内（含边界）的一个动点，且 ，求 Leabharlann Baidu轨迹的长度；
参考答案
1．B
【分析】
由斜率和倾斜角的关系，结合图形直接比较大小即可
【详解】
解：由图可知 ，且 为锐角， 为钝角，
因为 ，
所以 ，
故选：B
【点睛】
此题考查直线斜率和倾斜角的关系，属于基础题
2．A
【分析】
在平行六面体 中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
在平行六面体 中， 为 与 的交点，
5．C
【分析】
设炮弹爆炸点为点 ，计算出 的值，结合双曲线的定义可得出点 的轨迹形状.
【详解】
设炮弹爆炸点为点 ，由题意可得 ，
所以，炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.
故选：C.
【点睛】
本题考查动点轨迹形状的判断，考查双曲线定义的应用，属于基础题.
6．D
【分析】
连接 ，由已知条件可证得 平面 ，从而可得 ，由此可得答案
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将 代入 .本题就是利用方法④求 的轨迹方程的.
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等
其中真命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
12．设 是双曲线 的右焦点，双曲线两渐近线分别为 ， ，过点 作直线 的垂线，分别交 ， 于 ， 两点，若 ， 两点均在 轴上方且 ， ，则双曲线的离心率 为（）
A． B．2C． D．
二、填空题
13．已知 三点不共线， 为平面 外一点，若向量 ，且点 与 共面，则实数 __________.
（2）在线段 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
22．已知平面内的两点 ，过点 的直线 与过点 的直线 相交于点 ，若直线 与直线 的斜率乘积为 ，设点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设 是 与 轴正半轴的交点，过 点作两条直线分别与 交于点 ，若直线 斜率之积为 ，求证：直线 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.
辽宁省大连市【最新】高二上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，记直线 的斜率分别为 ，倾斜角分别为 则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
2．如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（）
【详解】
连接 ，则 ，
因为 平面 ， 在平面 内，
所以 ，
因为 ，
所以 平面 ，
因为 在平面 内，
所以 ，
所以异面直线 与 所成的角为 ，
故选：D
【点睛】
此题考查求异面直线所成的角，属于基础题
7．A
【解析】
试题分析：设圆上任一点为 ， 中点为 ，根据中点坐标公式得， ，因为 在圆 上，所以 ，即 ，化为 ，故选A.
四、解答题
17．过抛物线 焦点 的直线交 于 两点， 为 的准线，0为坐标原点.过 做 于 ，设 .
（1）求 的值；
（2）求证： 三点共线.
18．如图，在四棱锥 中， 平面 为 中点且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．已知直线 与圆 相切， 为原点， .
（1）若过 的直线 与 相交所得弦长等于4，求直线 的方程；
.
故选：A.
3．A
【分析】
由抛物线的方程直接求其焦点坐标即可
【详解】
解：因为抛物线 ，
所以 ， ，则
所以抛物线的焦点坐标为 ，
故选：A
【点睛】
此题考查由抛物线的方程求焦点坐标，属于基础题
4．C
【分析】
由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当 、 为异号向量，二面角为 减去两法向量夹角；当 、 为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角
A． B． C． D．
10．如图，椭圆 的焦点为 、 ，过 的直线交椭圆 于 、 两点，交 轴于点 .若 、 是线段 的三等分点，则 的周长为（）
A． B． C． D．
11．在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等
②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等
14．直线 与 平行，则实数 __________.
三、双空题
15．已知方程 ，当这个方程表示椭圆时， 的取值的集合为________；当这个方程表示双曲线时， 的取值的集合为_________.
16．已知 为圆 上一点，则过 上点 的切线方程为________，若 为椭圆 上一点，则过 上点 的切线方程为_____________.
【详解】
两个半平面 与 的法向量分别为 ，且
由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况
1、当 、 为异号向量，如下图示：
∴有二面角 为
2、当 、 为同号向量，如下图示：
∴有二面角 为
综上，有二面角 为 或
故选：C
【点睛】
本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小
A． B．
C． D．
3．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
4．已知二面角 的两个半平面 与 的法向量分别为 ，且 ，则二面角 的大小为（）
A． B． C． 或 D． 或
5．已知 、 两地相距 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ，且声速为 ，则炮弹爆炸点的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
6．如图，在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 与 所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是（）
A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线 上一点 ，直线 ，则 到这两条直线的距离之和的最小值为（）
A．2B．4C． D．
9．已知椭圆 的焦距为6，过右焦点 的直线 交椭圆 于 两点，若 中点坐标为 ，则 的方程为（）