辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

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2020～2021学年度第二学期期末考试高二数学答案

2021～2022学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案BDADBBCCA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10．111．1812．2214x y -=13．848(,,999-14．(],1-∞；0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎣⎦⎝⎭15．2214x y +=三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：依题意，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则代入圆的一般方程，193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩………………………3分∴D ＝2-………………………4分E ＝4，………………………5分F ＝20-，………………………6分∴x 2+y 22x -4y +20-＝0，………………………8分令x ＝0，可得24200y y +-=，………………………9分∴y ＝2-±……………………10分∴PQ ＝．……………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比为q ，则41(1)151a q q -=-………………………2分4211134a q a q a =+………………………3分因为各项均为正数，所以2q =………………………4分解得11a =………………………5分故}{n a 的通项公式为12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知12n n a -=，………………………7分*22()n n n b n a n n =⋅=⋅∈N ………………………8分所以1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④………………………9分③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯ ……………………10分11222n n n ++=--⨯1(1)22n n +=-⨯-……………………11分所以1(1)22n n S n +=-⨯+……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1CD ，因为O ，P 分别是AC ，1AD 的中点，………………………2分所以1∥OP CD ．………………………3分又因为OP ⊄平面11CC D D ，………………………4分1CD ⊂平面11CC D D ，………………………5分所以OP ∥平面11CC D D ．………………………6分（Ⅱ）依题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得)0,0,2(A ,)2,0,0(1D ,)1,0,1(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ，)2,2,0(1C .………7分依题意)2,0,2(1-=BC ………………………8分设),,(z y x n =为平面BPC 的法向量………………………9分则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n 得)2,1,0(=n ……………………10分因此510==BC n ……………………11分所以，直线1BC 与平面BPC 所成角的正弦值为510.………………12分解：（Ⅰ）由题意知：c ……………………1分根据椭圆的定义得：122a =+，即2a =．……………………2分2431b =-=．……………………3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题:①当直线l 的斜率不存在时，l的方程是x =．……………………5分此时||1AB =，||OP =，所以24=||=1||OP AB λ--．…………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为=(y k x ，…………7分11(,)A x y ，22(,)B x y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+3(1422x k y y x可得2222(41)1240k x x k +-+-=．显然0∆>，则212241x x k +=+，212212441k x x k -=+，...............8分因为11=(y k x，22=(y k x ，所以||AB ==221441k k +=+．....................9分所以22223||1k OP k ==+，……………………10分此时2222341==111k k k k λ+--++．……………………11分综上所述，λ为定值1-．……………………12分解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为(0)q q >，由题意得324113541114242a q a q a q a q a q⎧=⎨=+⎩，………1分解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………2分所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………3分当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-,………………………4分即11n n b b n n -=-，………………………5分∴{}nb n是首项为1的常数列，………………………6分所以1nb n=∴n b n =………………………7分（Ⅱ）设()()()212121(3)241112222n n n n n n b a n c b b n n +++++==-++，n *∈N ，……………8分()111212n n n n +=-⋅+………………………9分所以2231111111122222322(1)2n n n A n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ …………10分1112(1)2n n A n +=-+⨯……………………11分因为*n N ∈，所以12n A <.……………………12分。

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题-解析版

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（） A ．16-B ．23C ．1D ．2936【答案】B 【分析】根据分布列的性质，求得13a =，得到()16E X =-，再由21Y X =+，即可求得随机变量Y 的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-，又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（） A ．3p B ．()31p p -C ．3341C p pD ．334C p【答案】C 【分析】本题可通过n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为p ，从中任意取出4件，所以恰好含有3件次品的概率为3341C p p ，故选：C.3．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋅⋅⋅+被9除的余数为（）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】由题意可得，此题求得是(91)1n--被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论【详解】解：因为n 是正奇数，则1122177771n n n n nn n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++-(71)1(91)1n n =+-=--1122199991n n n n nn n n n C C C C ---=-++⋅⋅⋅+--，所以它被9除的余数为12nn C --=-，即它被9除的余数为7，故选：C4．设随机变量()25,X N σ~，若()100.4P X a >-=，则()P X a >=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A 【详解】因为随机变量()25,X N σ~，所以(5)(5)P X P X >=<,因为(10)0.4P X a >-=，所以()0.6P X a >=,故选A.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．BCD ．【答案】C 【分析】首先求出向量OA OB λ+的坐标，及向量OA OB λ+的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可．【详解】因为()1,?00A ，，()0,1,1B -，所以()1,?00(0OA OB ，λλ+=+，1-，1)(1=，λ-，)λ， 1OA OB λ+=+2OB =()2OA OB OB λλ+⋅=，所以cos 112022==-，所以0λ<，且4λ= 解得λ=，故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B，其概率为14361 ()5CP ABC==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2 (|)1()5215P ABP B AP A===.故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A B C ．2D ．3【答案】C 【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-，又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2e =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（） A ．展开式中所有项的系数和为82 B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448- 【答案】BCD 【分析】由二项展开式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A ，令1x =，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；对于B ，展开式中奇数项的二项式系数和为821282=，B 正确；对于C ，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C 正确；对于D ，展开式中含3x 的项为()()35538C 21448x x -=-，D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题. 10．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD 【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断；选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断；选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断. 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误；对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=，即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．11．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2ACC ．异面直线AD 与1BCD ．若点E 到平面11ACC A EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误；对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成C 正确．对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________．【答案】150【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解．【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2.这种分组方法一共有231455252C N C C =+⨯=，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有336A =种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有33256150M N A =⨯=⨯=种．【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01-三角”在“01-三角”中，从第1行起，设第()n n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则3a 等于_______．【答案】8 【分析】分析第6、7行各数，将所有的奇数全部转化为1，确定第三次出现全为1的情形所出现的行数，进而可求得3a 的值. 【详解】第1行和第3行全是1，已经出现2次，依题意，第6行原来的数是()606,rC r r N ≤≤∈，166C =为偶数，不合题意；第7行原来的数是()707rC r ≤≤，即1、7、21、35、35、21、7、1，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情形，所以，38a =. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.15．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配的方法总数为a ，则二项式53x a⎛ ⎝的展开式中含x 项的系数为__________．(用数字作答)【答案】52- 【分析】根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：2123126a C C A =⋅⋅=，所以553=2x x a⎛⎛ ⎝⎝，二项式52x ⎛ ⎝的通项公式为：455531551()(()(1)22r r r r r r rr x T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅，令45133r r -=⇒=，所以x 项的系数为3533515()(1)22C -⋅⋅-=-，故答案为：52-16．已知M ，N 为抛物线28y x =上两点，O 为坐标原点，且90MON ∠=︒，则MN的最小值为______. 【答案】16 【分析】先设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定,M N 的存在性，设()11,M x y ，()22,N x y ，将90MON ∠=︒转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.【详解】设直线:MN x ty m =+，代入28y x =，得2880y ty m --=，264320t m ∴∆=+>，即220t m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，128y y m ∴=-，90MON ∠=︒，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，221212064y y y y ∴+=，280m m ∴-=，故8m =，12MN y y ∴=-==16≥，当且仅当20t =时等号成立，∴MN 的最小值为16.故答案为：16. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.四、解答题17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？【答案】（1）0.75；（2）0.0345．【分析】（1）利用条件概率的计算公式算出即可；（2）设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，任何利用()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++算出即可. 【详解】()1设A 表示“某天的空气质量为优良”，设B 表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得()()()()()0.8,0.6,0.75P BA P A P BA P B A P A ====所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75()2设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，123,,A A A 两两互斥，且123A A A =Ω，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++因为()()()1230.25,0.35,0.4P A P A P A ===()()()1230.05,0.04,0.02P B A P B A P B A ===故()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.050.350.040.40.02=⨯+⨯+⨯0.0345=所以从这批产品中任取一件是次品的概率是0.034518．（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,1P 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -，求圆的方程．【答案】（1）0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）()()22148x y -++=．【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程. （2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程. 【详解】（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为0x =，符合题意 ②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为y kx =，由点到直线的距离公式可得2=解得34k =-故所求直线的方程为34y x =-当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为y x b =-+ 即0x y b +-=2=解得3b =±故所求直线的方程为3y x =-+±综上可知，所求直线的方程0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）法一：设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=则有()()222432b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=解得1,4,a b r ==-=所求圆的方程为()()22148x y -++=法二：过切点()3,2P -且与10x y +-=垂直的直线23y x +=-由423y x y x =-⎧⎨+=-⎩，得14x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为()1,4-所以半径r ==所以所求圆的方程为()()22148x y -++= 【点睛】关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别写出分布列，再求期望值均为2；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=．2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=，2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的中点.二面角P AC E--.（1）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）3；（2）3. 【分析】（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量m ，计算PA 与m 的夹角得出线面角的正弦值；（2）计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，//CD AB ，12CD AB AF ==，AB AD ⊥，AD CD =， ∴四边形ADCF 是正方形，CF AB ∴⊥，CF CD ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -，设PC h =，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，11,,222h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0,P h ，∴()1,1,0CA =，11,,222h CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1,1,AP h =--，设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m CA m CE ⎧=⎨=⎩，即0110222x y hx y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1x =可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为(),,n a b c =，则·0·0n CA n AP ⎧=⎨=⎩，即00a b a b hc +=⎧⎨--+=⎩，则0b ac =-⎧⎨=⎩，令1a =，则()1,1,0n =-，·cos ,2m n m n m n∴<>==⨯，二面角P AC E --的余弦值为3，∴3=，解得2h =，∴()1,1,2AP =--，()1,1,1m =-，·cos 36,AP m AP m AP m∴<>=== ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3；（2）由（1）可得()1,0,0CD =，则·1cos 1,CD m CD m CD m<>===⨯ 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sin α=， D ∴到平面EAC 的距离为·sin CD α=.【点睛】本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby =±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由0∆>，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k=+，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b ab c==28a =，又222a b c =+，联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=，解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=，依题意()()2222644344480k t k t ∆=-+->，即2216120k t -+>（*）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k ++=+⋅+-+++==+， 22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47k t ∴=-且t 满足（*）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，故直线AP 的斜率2222331344716412874834AP t t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++，当0k <时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭当且仅当78k k -=-，即4k =-时取等号，此时056AP k -≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即4k =时取等号，此时0AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.。

辽宁省大连市2020-2021学年高二下学期期末考试语文试题 (含答案)

大连市2020～2021学年度第二学期期末考试高二语文注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并认真阅读答题卡上的注意事项。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：对说唱文艺进行跨学科研究，因研究者的立足点不同，其研究的路径、方法等自然会有差异。

例如，唐五代的变文讲唱、宋代的说经、明清时期的宝卷，都是受宗教特别是佛教影响而产生的说唱艺术，如果不借鉴宗教学的知识与方法，不了解宗教艺术，不联系宗教在民间的传布，是无法对之进行深入研究的。

在这一方面，李小荣《变文讲唱与华梵宗教艺术》将变文讲唱和华梵宗教艺术结合起来，就对变文的生成与衍变、变文与华梵音乐戏曲之关系、变文中的三教思想等做了较准确、具体的阐释。

又如，民间说唱与民俗文化关系至为密切，诸如岁时节令、人生礼仪、教化娱乐等在很多说唱文艺作品中都有不同程度的反映。

清代鼓词《封神榜》在说唱哪吒的故事中就穿插、敷衍了京城庙会盛况，鼓词《西游记》在说唱凤仙郡求雨时则穿插、敷衍了京城德胜门外黑寺、黄寺等喇嘛庙“打鬼”驱邪的风习；扬州评话《武松》讲武大郎过年，则渲染了扬州人的过年习俗；广州木鱼书《七夕赞花》也描绘了广府人的乞巧民俗……这样便赋予了说唱内容以浓厚的地方色彩和生活气息，保存了丰富的民间文化记忆。

对此，有必要从社会学、人类学、民俗学等角度阐释其文化内涵与认识价值。

除了基于民间说唱文艺本体开展跨学科研究外，也可以立足于某一学科，从说唱文艺中获取丰富的研究资料，拓新该学科的研究领域，丰富其研究内容，创新其学术观点。

早在20世纪上半叶，刘半农就提出，“研究俗曲，可以从四方面进行：一、文学方面，第 1 页（语文试卷共 10 页）二、风俗方面，三、语言方面，四、音乐方面。

辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在四面体中，已知点是的中点，记，则等于（）A. B.C. D.2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（）A. B.C. D.3.若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.5.设是的二面角内一点，是垂足，，则的长度为（）A.B.56.对于空间一点和不共线三点，且有，则（）A.四点共面B.四点共面ABCD E CD ,,AB a AC b AD c === BE 1122a b c -++ 1122a b c -+ 1122a b c -+ 1122a b c -++ αμ l vl αθcos v v μθμ⋅= cos v v μθμ⋅=sin v v μθμ⋅= sin v vμθμ⋅= AB )1a =- 30 60 120 150()()1,1,2,1,2,1a b =-=- a b ()1,1,1-555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭P 120 l αβ--,,,PA PB A B αβ⊥⊥4,3PA PB ==AB O ,,A B C 2OP PA OB OC =-+ ,,,O A B C ,,,P A B CC.四点共面D.五点共面7.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（）A.B.，所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为8.正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（）二､多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线必过定点B.方程是直线的一般式方程C.直线的斜率为D.点到直线的距离为110.已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（）A.向量与共线B.问量C.可以构成空间的一个基底,,,O P B C ,,,,O P A B C ABCD BD AC BD⊥AB CD 60︒ADC V AB BCD 60︒11ABB A ,P Q P 111,AA A B Q 1,BB AB AB 11A B ,P Q ()32y ax a a =-+∈R ()3,20Ax By C ++=10x ++=()5,3-20y +=,,i j k i j + k j - i j k ++ {},,i j i j k +-D.向量和11.如图，已知正六棱柱的底面边长为2，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（）A.直线与直线异面B.若是侧棱上的动点，则C.直线与平面D.球的表面积为第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.13.若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.14.已知正三棱柱的底面边长为是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）过定点；（2）斜率为.16.（本小题满分15分）如图，在四面体中，面是的中点，是i j k ++ k ABCDEF A B C D E F ''''-''O DE 'AF 'M CC 'AM MD +'AF 'DFE 'O 18π()1,2A -y kx b =+()1,6B --y kx b =+x 2,3,100y x x y mx ny =+=++=(),m n ABC A B C '-''P MN PM PN ⋅ l l ()3,4A -16ABCD AD ⊥,2,BCD AD M =AD P的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.17.（本小题满分15分）如图所示，平行六面体中.（1）用向量表示向量，并求；（2）求18.（本小题满分17分）如图，在五棱锥中，平面是等腰三角形.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小.19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形，且，点在棱上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：BM Q AC3AQ QC=PQ∥BCD1111ABCD A B C D-111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA∠∠∠======1,,AB AD AA1BD1BD1cos,BD ACP ABCDE-PA⊥,ABCDE AB∥,CD AC∥,ED AE∥,45,24,BC ABC AB BC AE PAB∠====VPCD⊥PACPB PCD111ABC A B C-1,AC CC1,,D E CABC,D ABCV12AA=F11B C（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（2）求锐二面角的余弦值的取值范围.F 11B C F BDE F BD E --滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题参考答案一､单选题1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.D8.【答案】B【详解】解法一：如图建系设圆柱底面半径为，则，所以，则所以.解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，所以，则，.r 2π12r =6πr =33,3,,9ππQ P ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭PQ =P 1O Q 2O r 2π12r =6πr =121122222π,,63πO P O Q PQ PO O O O Q +===++222211221212||22PQ PO O O O Q r O O PO O Q∴=++=++⋅ 222266π36262cos 336,ππ3πPQ ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅=⋅+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.AD 10.BCD.11.【答案】AC【详解】对于A ，如图①，连接，则，所以，所以直线与直线共面，故A 错误；对于B ，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图②所示.因为底面边长为，所以则的最小值为，故B 正确；对于C ，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，故C 错误；对于D ，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.，则，所以球的表面积，故D 正确.,AD A D ''AD ∥,A D A D ''''∥E F ''AD ∥E F ''DE 'AF 'ACC A ''CC 'CDD C ''ADD A ''2π2,3ABC ∠=AC =AM MD +'AD =='F ,,FA FD FF 'x y z ()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E '-'(()(,0,,AF FD FE =''=-=- DFE '(),,m x y z = 00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩ 00y x =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =x =DFE ')m = AF 'DFE 'θ1sin 3θO R 12O O 1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=O 294π4π18π2S R ==⨯=12.13.【答案】【详解】由解得把代入可得，所以，所以点到原点的距离当时等号成立，此时.所以点到原点的距离的最小值为14.【答案】【详解】由题意知内切球的半径为1，设球心为，则.因为.四､解答题15.【答案】（1）或.（2）或.【详解】（1）由题意知直线的斜率存在，设为则直线的方程为，它在轴，轴上的截距分别是，由已知，得，解得或.故直线的方程为或.（2）设直线在轴上的截距为，则直线的方程是，它在轴上的截距是，8-2,3,y x x y =⎧⎨+=⎩1,2.x y =⎧⎨=⎩()1,240mx ny ++=2100m n ++=102m n =--(),m n d ==4n =-2m =-(),m n []0,4O ()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ()2OP PO OM ON OM ON =+⋅++⋅ 2||1PO =- []0,4PM PN ⋅∈ 2360x y +-=83120x y ++=660x y -+=660x y --=l kl ()34y k x =++x y 43,34k k--+()43436k k ⎛⎫+⨯+=± ⎪⎝⎭123k =-283k =-l 2360x y +-=83120x y ++=l y b l 16y x b =+x 6b -由已知，得，所以.所以直线的方程为或.16.解法一：以为坐标原点，所在直线为z 轴，线段的延长线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，由题意得，因为，所以即即所以，所以又因为面BCD 的一个法向量为所以所以又因为面所以面.解法二：66b b -⋅=1b =±l 660x y -+=660x y --=D DA BD 2BD a =()()()10,2,0,0,0,2,0,0,1,0,,2B a A M P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3AQ QC =34AQ AC = ()()3,,2,,24Q Q Q x y z x y -=-331,,442Q Q Q x x y y z ===331,,442Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,,044PQ x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄BCDPQ ∥BCD取的中点，连接，因为为BM 的中点，所以，所以平面，过作，交BC 于以为坐标原点，的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为为中点，设则设点的坐标为.因为，所以.因为为的中点，故，又为的中点，故，所以又平面BCD 的一个法向量为，故，所以又平面BCD ，所以平面BC D.17.【答案】（1）2【详解】（1），BD O OP P OP ∥MD OP ⊥BCD O OE BD ⊥,E O ,,OE OD OP2,AD M =AD 2BD a=()()0,,2,0,,0A a B a -C ()00,,0x y 3AQ QC = 003131,,4442Q x a y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭M AD ()0,,1M a P BM 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭00313,,0444PQ x a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄PQ ∥111,BD AD AA AB BD =+-= 111BD AD AB AD AA AB =-=+-则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，因为是正方形，所以，则.18.【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）证明：在中，因为，所以，因此故，所以，即又平面，所以.又平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.（或者建系求法向量，证明法向量垂直，略）（2）由（1）知两两相互垂直，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=1BD = AC AB AD =+ 11,2AB AD AA ===11ππ,23BAD BAA DAA ∠∠∠===ABCD AC = ()()221111BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅ 22ππππ11cos121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=111cos ,BD AC BD AC BD AC ⋅===⋅ π6ABC V 45,4,ABC BC AB ∠=== 2222cos458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= AC =222BC AC AB =+90BAC ∠= AB AC⊥PA ⊥,ABCDE AB ∥CD ,CD PA CD AC ⊥⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=CD ⊥PAC CDC PCD PCD ⊥PAC ,,AB AC AP ,,AB AC AP x y z如图所示的空间直角坐标系，由于是等腰三角形，所以.又，因此，.因为，所以四边形是直角梯形.因为，所以，因此，故，所以.因此.设是面的一个法向量，则，解得.取，得.又，设表示向量与平面的法向量所成的角，则，又因为，所以，因此直线与平面所成的角为.PAB V PA AB ==AC =()()0,0,0,A B ()(0,,0,0,C P AC ∥,ED CD AC ⊥ACDE 2,45,AE ABC AE ∠== ∥BC 135BAE ∠= 45CAE ∠= sin452CD AE =⋅== ()D (()0,,CP CD =-= (),,m x y z =PCD 0,0m CP m CD ⋅=⋅= 0,x y z ==1y =()0,1,1m =(BP =- θBP PCD m1cos 2m BP m BP θ⋅==⋅ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=PB PCD π619.【答案】（1（2）解法一：连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，由于三角形是等边三角形，所以，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为所以又因为为中点，所以所以设面的一个法向量为则令，则所以所以点到平面的距离为（2）因为在棱上（包括端点）设12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥ABC BD AC ⊥BD ==1DC ==D 1,,DB DA DC x y z (())11,0,1,0,,0,2C C B E ⎛-- ⎝)11C B CB == 1B F 11B C 12F 12BF ⎛= ⎝ BDE ()111,,m x y z =1(0,,2BD ED ⎛== ⎝ 111000x BD m y ED m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =1y =()m = F BDE BF m m ⋅== F 11B C ()111,01C F C B λλ= ……因为，所以设平面的法向量为，令所以，设锐二面角为，则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.解法二：（1）连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，)11C B = )1,,0C F λ=BDF ()222,,n x y z = 11,,0),DF DC C F λλ=+=+= 22220000DF n x y x DB n λ⎧⋅=++=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2y =2z λ=-()m λ=- F BD E --θ1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥由于三角形是等边三角形，所以，又以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，又，故，则设平面的法向量为，则，故可设，又，所以点到平面的距离为.（2）设，则，设平面的法向量为，则令，所以，所以，设锐二面角为，ABC ,BD AC BD ⊥==1DC ==D 1,,DCDB DCx yz (()()11,1,0,0,,2C C E B ⎛ ⎝()11C B CB ==-(11,2B F ⎛-- ⎝()1,,2DE DB ⎛== ⎝ BDE ()111,,m x y z =1111020m DE x z m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ()m = 1,2BF ⎛=- ⎝ F BDE BF m m ⋅== ()()1111101,C F C B C B λλ=≤≤=- (()(11111DF DC C F DC C B λλλ=+=+=+-=- BDF ()222,,n x y z =22220000DF n x y y DB n λ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2x =2z λ=)n λ=F BD E --θ则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣。

辽宁省大连市第八中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的焦点坐标为（）A ．B ．C ．D ．2．设，则“”是“直线与直线平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．2021年12月02日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“20211202，所遇皆为对，所做皆称心”．形如“20211202”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则8位的回文数共有（）A ．90B ．900C ．9000D ．900004．若，则（）A ．B ．32C ．D ．2435．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角为（）A．B ．C ．D ．6．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C 的标准方程是（）A．B ．C ．D．7．已知O 为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆O 上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（）24x y =-()1,0-()1,0()0,1-()0,1a ∈R 1a =-80ax y +-=()2140x a y -+-+=52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++22024135()()a a a a a a ++-++=32-243-y x =22230x y y ++-+=3π2π23π56ππxOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>22143x y +=22134x y +=212x =22132x y +=POD OP τCD COD V OC PDA ．BCD8．设双曲线的左、右顶点分别为A ，B ，点C 在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为A ，B ，C 且，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（）A．B ．C ．D ．10．给定下列四条曲线中，与直线仅有一个公共点的曲线是（）A ．B ．C ．D ．11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是12．已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若M 为C 的准线上任意一点，则（）A ．一定为锐角或直角B ．若，则直线C ．D ．的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则x 的值为____________．1422221(0,0)x y a b a b-=>>ABCV tan tan 3tan 0A B C ++=y x =±y =y =2y x=±A BCD -ABD BCD 12,n n12(1,0,0),(n n == A BD C --6π3π23π56π2y x =+24y x =221x y -=222x y +=22x y +=45454A 2233535322()C C C A A +1232334333C C C A A +2:2(0)C y px p =>AMB ∠2||||4AF BF p ⋅=AB 234OA OB p ⋅=- AOB ∠3arccos(5-382828xx C C -=14．直线与圆相交于两点M ，N ，若满足，则________．15．在棱长为2的正方体中，点P 是直线上的一个动点，点Q 在平面上，则的最小值为________．16．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在二项式的展开式中， ________．给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256．试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式的常数项．18．（本小题满分12分）已知圆C 过点且与圆外切于点，直线将圆C分成弧长之比为1：3的两段圆弧．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线l 的斜率k ．19．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F ，点在抛物线上，且的面积为（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点A ，B 是抛物线C 上异于原点O 的两点，直线的斜率分别为，若，求证：0Ax By C ++=22:4O x y +=222C A B =+MON S =V 1111ABCD A B C D -1BC 1ACD PQ 12,F F Γ'Γ1F 'ΓΓ1F 1t 'Γ1F Γ1F 2t 218t t =Γ'Γ1(2n x+22(1)9x y ++=()0,2:l y kx =2:2(0)C y px p =>1(,)2M m OMFV 24p ,OA OB 12,k k 122k k =-直线恒过定点．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，面，，且，，N 为的中点．（1）求证：平面．（2）在线段上是否存在一点M ，使得直线与平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）如图，点分别在射线，上运动，且．（1）求；（2）求线段的中点M 的轨迹C 的方程；（3）直线与，轨迹C 及自上而下依次交于D ，E ，F ，G 四点，求证：．22．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若的周长为8．AB P ABCD -PA ⊥ABCD AB CD ∥2,1CD AB ==1,BC PA AB BC ==⊥PD AN ∥PBC PD CM PBC DMDP()()1122,,,A x y B x y ()120l y x x =≥∶()2:20l y x x =-≥4AOB S =V 12x x ⋅AB y kx m =+1l 2l DE FG =2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F 122F 1F AB V（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M ，N （点P 不在直线上），求面积的最大值．MN PMN V。

2021-2022学年辽宁省大连市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线，的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合2.已知空间向量，若，则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 23.若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D.4.若直线与圆相切，则b的值是( )A. 或12B. 2或C. 或D. 2或125.直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则( )A. B. C. D.7.阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为( )A. B. C. D.8.如图1，矩形ABCD ，，，E 为CD 中点，F 为线段除端点外的动点.如图2，将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD 内，过点D 作，K 为垂足，则AK长度的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列圆锥曲线中，焦点在x 轴上的是( )A.B.C.D.10.已知空间向量，，则下列正确的是( )A. B.C.D.，11.如图，正四面体的顶点 A 、 B 、 C 分别在两两垂直的三条射线 Ox ， Oy ， Oz 上，则下列选项中正确的是( )A. 三棱锥是正三棱锥B. 直线平面ACDC. 直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为D. 异面直线AB 和CD 所成角是12.已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有( )A. 点P的坐标为B.C. 的面积的最大值为D. 的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.双曲线的渐近线方程是__________.14.已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则实数等于__________.15.已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数__________.16.双曲线上一点点P在第一象限，过双曲线C中心O且与坐标轴不平行的直线l交双曲线C左右两支于A，B两点点A，B异于点，设直线PA，PB的斜率分别为、，且，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2020-2021学年辽宁省大连市甘井子区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年辽宁省大连市甘井子区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正方形2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天的最高气温将达35℃B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上D．对顶角相等3．抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣4）2+2B．y＝3（x﹣4）2﹣2C．y＝3（x+4）2﹣2D．y＝3（x+4）2+24．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）5．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．56．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝110°，则∠C的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°7．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．120°8．在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在45%，那么估计盒子中黄球的个数为（）A．80B．90C．100D．1109．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则tan A的值为（）A．B．C．D．10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0二、填空题（共6小题）.11．cos60°＝．12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是．15．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．16．已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是cm2．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）按要求解方程：（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．18．（9分）一个不透明的口袋中装有2个红球和1个白球，小球除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球颜色不同的概率．19．（9分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分22、23题各10分，共29分21．（9分）据统计，某市2018年某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2020年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2018年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2021年的年产量为多少万辆？22．（10分）如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD 的顶部其仰角为27°．如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）【参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51】23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．（1）证明：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠A＝．点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动，同时点E从点B出发，以相同速度沿BA方向运动，过点E作EF⊥AB，过点D作DF⊥EF垂足为F，连结ED，当点D 运动到终点时，点E也停止运动．设△EDF与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点D的运动时间为t秒．（1）线段AC的长为；（2）当直线EF经过点D时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．25．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作ME ⊥AM．（1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，∠BAC＝m°，则求∠DEC的度数（用含m的式子表示）；（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，则求的值（用含k的式子表示）．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝．（1）函数y的图象经过点（﹣1，0）．①求m值；②当﹣2≤x≤0时，求函数值y的取值范围；③当t﹣1≤x≤t+1时，函数y图象上的点到x轴的最大距离为2，求t的取值范围；（2）平面直角坐标系中有点A（﹣1，﹣2）、B（﹣1，4）、C（4，4）、D（4，﹣2）．若函数y的图象与四边形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正方形解：A．是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项符合题意；C．属于中心对称图形，故本选项不合题意；D．是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天的最高气温将达35℃B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上D．对顶角相等解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，故选：D．3．抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣4）2+2B．y＝3（x﹣4）2﹣2C．y＝3（x+4）2﹣2D．y＝3（x+4）2+2解：y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x+4）2﹣2．故选：C．4．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）解：∵点P的坐标是（﹣6，5），∴P点关于原点的对称点的坐标是（6，﹣5），故选：C．5．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，另一根为a，∴﹣1+a＝4，解得：a＝5，则另一根为5．故选：D．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝110°，则∠C的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°．故选：A．7．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．120°解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∴∠E＝∠A＝80°，故选：B．8．在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在45%，那么估计盒子中黄球的个数为（）A．80B．90C．100D．110解：设盒子中黄球的个数为x，根据题意，得：＝45%，解得：x＝90，即盒子中黄球的个数为90，故选：B．9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则tan A的值为（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则tan A＝＝，故选：D．10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．cos60°＝．解：cos60°＝．故答案为：．12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是（6，6）．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，∴＝，＝，即＝，＝，解得，OD＝6，OF＝6，则点E的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是（1，1）．解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是（1，1）．故答案为（1，1）．15．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为4s．解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．16．已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是18πcm2．解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，∴圆锥的侧面积为π×3×6＝18πcm2．故答案为18π．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）按要求解方程：（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．解：（1）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，∴b，2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝2，x2＝﹣1；（2）2x2+2x＝1，x2+x＝，x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝，x2＝．18．（9分）一个不透明的口袋中装有2个红球和1个白球，小球除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球颜色不同的概率．解：树状图如下图所示，则一共有9种可能性，其中两次摸出的小球颜色不同有4种可能性，故两次摸出的小球颜色不同的概率是．19．（9分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠F＝90°∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AFE∽△DEC．（2）∵△AFE∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，∴＝，解得BF＝5．答：线段BF的长为5．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），∴，解得：．∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．（2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分22、23题各10分，共29分21．（9分）据统计，某市2018年某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2020年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2018年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2021年的年产量为多少万辆？解：（1）设年平均增长率为x，依题意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：年平均增长率为25%．（2）100×（1+25%）＝125（万辆）．答：该品牌汽车2021年的年产量为125万辆．22．（10分）如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD 的顶部其仰角为27°．如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）【参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51】解：如图，在△ABE中，有BE＝tan27°×AE＝0.51×78＝39.78（米），故BD＝ED+BE＝34+39.78≈73.8（米）．答：乙楼的高度约为73.8米．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．（1）证明：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OD．∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴ED⊥DO，∵点D在⊙O上，∴ED是⊙O的切线；（2）解：如图2，过点O作OK⊥AC，∵∠E＝∠ODE＝∠OKE＝90°，∴四边形OKED为矩形，AK＝KC，∴EK＝OD＝3，∴AK＝CK＝EK﹣CE＝3﹣2＝1，∴AC＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝＝4，答：BC的长为4．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠A＝．点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动，同时点E从点B出发，以相同速度沿BA方向运动，过点E作EF⊥AB，过点D作DF⊥EF垂足为F，连结ED，当点D 运动到终点时，点E也停止运动．设△EDF与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点D的运动时间为t秒．（1）线段AC的长为8；（2）当直线EF经过点D时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠A＝，∴AB＝，∴AC＝，故答案为8；（2）如图1，∵EF⊥AB，∴∠AEF（D）＝90°，∵sin∠A＝，∴cos∠A＝，∵AD＝t，∴AE＝，BE＝t，∴+t＝10，解得t＝；（3）当0＜t＜时，如图2，过点D作DH⊥AB，垂足为H，则四边形DHEF为矩形，在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝，AD＝t，AH＝，∴EF＝DH＝，DF＝HE＝10﹣t﹣t＝10﹣t，∴S＝DF•EF＝（10﹣t）•＝；当时，如图3，设EF交AC于点K，在Rt△AKE中，∠AEK＝90°，sin∠A＝，则AE＝10﹣t，KE＝，∴S＝S△ADH﹣S△AKE＝＝＝，综上所述：．25．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作ME ⊥AM．（1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，∠BAC＝m°，则求∠DEC的度数（用含m的式子表示）；（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，则求的值（用含k的式子表示）．解：（1）如图1中，延长AM到K，使得MK＝AM，连接BK，EK，AD，KD，延长KD 交AC于N．∵M是BD的中点，∴BM＝MD，∵MA＝MK，∴四边形ABKD是平行四边形，∴AB∥DK，AB＝DK，∵AB＝AC，∴DK＝AC，∵EM⊥AK，AM＝MK，∴EA＝EK，∵点E在CD的垂直平分线上，∴ED＝EC，∴△AEC≌△KED（SSS），∴∠EAC＝∠EKD，∠AEC＝∠KED，∴∠AKN＝∠KEA，∠KEA＝∠DEC，∴∠DEC＝∠ANE，∵AB∥DK，∠BAC＝m°，∴∠ANK+∠BAC＝180°，∴∠DEC＝180°﹣m°．（2）如图2中，延长AM到K，使得MK＝AM，连接AE，BK，EK，DK，延长DK交CB的延长线于N，过点E作EP⊥AN于P，EQ⊥CD于Q．∵M是BD是中点，∴BM＝DM，∵MA＝MK，∴四边形ABKD是平行四边形，∴DN∥AB，DK＝AB＝AC，∴∠DNC＝∠ABC＝∠ACB，∴DN＝DC，∵DE⊥CN，∴∠EDP＝∠EDQ，∵EP⊥DN，EQ⊥DC，∴EP＝EQ，∵ME⊥AK，MA＝MK，∴AE＝EK，∵∠EQA＝∠EPK＝90°，∴Rt△EPK≌Rt△EQA（HL），∴∠EKP＝∠EAQ，∴△KED≌△AEC（SAS），∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ECQ，∵∠EDC+∠DCB＝90°，∠ECQ+∠CEQ＝90°，∴∠EQC＝∠ACB，∴tan∠ABC＝k＝tan∠EQC＝，∴＝．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝．（1）函数y的图象经过点（﹣1，0）．①求m值；②当﹣2≤x≤0时，求函数值y的取值范围；③当t﹣1≤x≤t+1时，函数y图象上的点到x轴的最大距离为2，求t的取值范围；（2）平面直角坐标系中有点A（﹣1，﹣2）、B（﹣1，4）、C（4，4）、D（4，﹣2）．若函数y的图象与四边形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．解：（1）①若﹣1＞m，当x＝﹣1时，y＝﹣12﹣4﹣2＝﹣7≠0，∴m≥﹣1，∴点（﹣1，0）在y＝x2﹣2mx+2m+2上，∴0＝1+4m+2，∴m＝﹣．②当m＝﹣时，y＝，函数图象如图1所示：当x＝﹣时，y＝﹣（﹣）2+4×（﹣）﹣2＝﹣，当x＝0时，y＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+×（﹣2）+＝，当x＝﹣时，y＝（﹣）2+×（﹣）+＝﹣，观察图象可知，﹣＜y≤﹣2或﹣．③若x＞﹣，当y＝﹣2时，﹣x2+4x﹣2＝﹣2，解得x＝0或4，当y＝2时，﹣x2+4x﹣2＝2，解得x1＝x2＝2，如图2，3，4，要使得函数y图象上的点到x轴的最大距离为2，则，解得1≤t≤3，若x≤﹣，函数图象上的点到x轴的距离大于2，不符合题意．综上所述，1≤t≤3．（2）y＝，由题意，随着m的增大，左半支的顶点（m，﹣m2+2m+2）沿抛物线y＝﹣x2+2x﹣2向右移动，如图5中，当顶点落在AB上时，m＝﹣1，函数y的图象与四边形ABCD的边有3个交点．如图6中，当m＝0时，函数Y的图象与四边形ABCD有2个解得．如图7中，当顶点落在边AD上时，﹣m2+2m+2＝﹣2，解得m＝1+或1﹣（舍弃），函数y有四边形ABCD有3个解得．如图8中，当m＝4时，函数y的图象与四边形ABCD有2个解得．综上所述，要使得函数y的图象与四边形ABCD有2个交点，则m＜﹣1或0≤m＜1+或m≥4．。

2022-2023学年辽宁省大连市大连育明高级中学高二上学期10月月考数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年辽宁省大连市大连育明高级中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设R，则“”是“直线：与直线：平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.设，向量，，，且，，则( )A. B. C. 4 D. 33.代数式的最小值为( )A. B. C. D.4.在平行六面体中，E为的中点，F为的中点，，则( )A. B. C. D.5.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.6.若则直线的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D.7.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共5小题，共25分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

8.若直线m 被两平行线与所截得的线段的长为，则m 的倾斜角可以是( ) A.B.C. D.9.已知四边形ABCD 的顶点分别是，，，，那么以下说法中正确的是( )A.B. A 点关于 x 轴的对称点为C. AC 的中点坐标为D. D 点关于 xOy 面的对称点为10.已知直线：，：，，直线恒过点A ，直线恒过点B ，以下结论正确的是( )A. 不论a 为何值时，与都关于直线对称B. 点A 坐标为，点B 坐标为C. 不论a 为何值时，与都互相垂直D. 如果与交于点M ，则的最大值为411.点M 是正方体中侧面正方形内部不包括正方形边界的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是( ) A. 若N 为中点，满足的点M 的轨迹长度为 B.不存在点M ，使得直线平面 C.若E 是棱上靠近的三等分点，平面与平面所成锐二面角的正切值为D. 在线段上只存在一点M ，使异面直线与CD 所成的角是12.在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示；②的模表示向量，的夹角在正方体中，有以下四个结论，正确的有( )A.B.C. 与共线D. 与正方体体积数值相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

2023-2024学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.以下四个命题中，正确的是（）A.向量()1,1,3a =-与向量()3,3,6b =- 平行B.已知()()1,1,2,0,2,2A B --，则5AB =C.|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅ D.若{},,a b c 为空间的一个基底，则a b + ，b c + ，c a + 构成空间的另一基底2.已知直线l 的一个方向向量为()2,1-，且经过点()1,0A ，则直线l 的方程为（）A.10x y --=B.10x y +-=C.210x y --= D.210x y +-=3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AAAB ==，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A.15B.25C.35D.454.已知椭圆22:14x C y +=，直线:20l x y -=，则l 与C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上选项都不对5.已知()()()2,1,3,1,4,2,4,5,a b c λ=-=--= ，若,,a b c共面，则实数λ的值为（）A.6B.5C.4D.36.已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12F F ､分别是椭圆的左､右焦点､若12PF F △的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（）A.12B.13C.2 D.37.已知圆22:64120,,C x y x y M N +--+=是圆上的两点，点()1,0A ，且AM AN λ=，则AM AN ⋅ 的值为（）A.B.7C. D.88.如图，在正四面体ABCD 中，点,N M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上点，且DP ⊥平面ABC ，设CP CM λ=，则λ的值为（）A.23B.12C.34D.35二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.下列命题中是假命题的为（）A.若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线与平面α也平行B.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβC.已知v 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则//v n l α⊥⇔D.若两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，则//a b10.圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A.公共弦AB 所在直线方程为0x y +=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB 的长为22D.P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q ，使得11//C Q A CB.存在点Q ，使得11C Q A C⊥C.对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为,23⎣⎦D.对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形12.已知椭圆222:1(2)3x y C a a +=>的左､右焦点分别为12,F F ，过椭圆C 上一点P 和原点O 作直线l 交圆222:4O x y a +=+于,M N 两点，下列结论正确的是（）A.椭圆C 离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭B .若12PF PF ⊥，且OP PM =，则2203a =C.若1260F PF ∠=，则12F PF S =D.若126PF PF ⋅=，则7PM PN ⋅=三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60︒，其模均为1，则23a b c +-= __________.14.已知圆22:(1)(1)16C x y -+-=，直线()():2240l m x y x y ---+-=.当直线l 被圆C 截得弦长取得最小值时，直线l 的方程为__________.15.已知点()11,1,A F 是椭圆22184x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点.则1PF PA +的取值范围为__________.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22,AD SA SD AB P ====为棱AD 的中点，且,SP AB M ⊥为棱SA 上的一点，若BM 与平面SBD 所成角的正弦值为4，则AM =__________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知圆心为C 的圆经过()()1,3,1,1A B -两点，且圆心C 在直线:0l x y +=上.（1）求圆C 的方程：（2）求过点()3,1-且与圆C 相切的直线方程.18.如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,AE EB F =为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，（1）求二面角B AC E --的正弦值：（2）求点D 到平面ACE 的距离.19.已知ABC 的顶点()2,0,B AB -边上的高所在的直线方程为470x y -+=.（1）求直线AB 的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.①角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=；②BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=.若__________.求直线AC 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.20.已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，它的短轴长为，一个焦点F 的坐标为(),0(0)c c >，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆Γ交于,C D 两点，3CD =.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点()3,0M 的直线与椭圆Γ相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求直线PQ 的方程.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面,ABCD PB BC ⊥.（1）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.（2）E 为线段PC 上一点.若直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为8，求平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,,2M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆C 的右焦点，O 为坐标原点，OFM △的面积为34.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）椭圆C 的左､右两个顶点分别为,A B ，过点)K的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交椭圆C 于点,M N ，直线n 过点()T 且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则TPTQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.2023-2024学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.以下四个命题中，正确的是（）A.向量()1,1,3a =-与向量()3,3,6b =- 平行B.已知()()1,1,2,0,2,2A B --，则5AB =C.|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅ D.若{},,a b c 为空间的一个基底，则a b + ，b c + ，c a + 构成空间的另一基底【答案】D 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示判断A ；求出向量的模长判断B ；根据数量积的定义求解判断C ；利用共面向量基本定理及基底的概念判断D.【详解】因为336113-=≠-，因此()1,1,3a =- 和()3,3,6b =- 不平行，A 错误；由()()1,1,2,0,2,2A B --，得(1,3,4)AB =--，因此||AB =B 错误；|()||||||cos ,|||a b c a b a b c ⋅=⋅⋅〈〉⋅ ，当|cos ,|1a b 〈〉≠ 时，|()|||||||a b c a b c ⋅≠⋅⋅，C 错误；假设()()a b b c c a λμ+=+++，,R λμ∈，因为{},,a b c 为空间的一个基底，则110λμμλ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，所以a b + ，b c + ，c a + 不共面，即a b + ，b c + ，c a +构成空间的另一基底，D 正确.故选：D2.已知直线l 的一个方向向量为()2,1-，且经过点()1,0A ，则直线l 的方程为（）A.10x y --=B.10x y +-=C.210x y --=D.210x y +-=【答案】D 【解析】【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()2,1-，所以直线l 的斜率1122k -==-，又直线l 经过点()1,0A ，所以直线l 的方程为()112y x =--，即210x y +-=.故选：D3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AAAB ==，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值.【详解】在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为正方形，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()11,0,2A 、()10,0,2D ，所以，()10,1,2A B =- ，()11,0,2AD =-，所以，11111144cos ,555A B AD A B AD A B AD ⋅==-⨯⋅，因此，异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为45.故选：D.4.已知椭圆22:14x C y +=，直线:220l x y -=，则l 与C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上选项都不对【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解.【详解】由2222044x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：2210x x -=，显然2(2)41(1)60∆=-⨯⨯-=>，因此方程组2222044x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩有两个不同的解，所以l 与C 相交.故选：A5.已知()()()2,1,3,1,4,2,4,5,a b c λ=-=--= ，若,,a b c共面，则实数λ的值为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】用向量a，b表示向量c，利用共面向量定理构造方程组，求解方程组即得结果.【详解】显然向量()2,1,3a =- 与()1,4,2b =-- 不平行，而a ，b ，c共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即()()()4,5,2,1,31,4,2x y λ=-+--，于是244532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得325x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以实数λ的值为5.故选：B6.已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12F F ､分别是椭圆的左､右焦点､若12PF F △的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（）A.12B.13C.32D.3【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质列式求,a c ，进而可得离心率.【详解】由题意可知：2261a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆的离心率12c e a ==.故选：A.7.已知圆22:64120,,C x y x y M N +--+=是圆上的两点，点()1,0A ，且AM AN λ=，则AM AN ⋅ 的值为（）A.B.7C. D.8【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，设出直线MN 的方程，与圆C 的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得.【详解】圆22:(3)(2)1C x y -+-=的圆心()3,2C ，半径1r =，由AM AN λ=，得点,,A M N 共线，显然直线MN 不垂直于坐标轴，设直线MN 的方程为1x ty =+2|22|47471331t t -+<⇔<<+，由221(3)(2)1x ty x y =+⎧⎨-+-=⎩消去x 得：22(1)4(1)70t y t y +-++=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12271y y t =+，又111122(1,)(,),(,)AM x y ty y AN ty y =-== ，所以22121212(1)7AM AN t y y y y t y y ⋅=+=+= .故选：B8.如图，在正四面体ABCD 中，点,N M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上点，且DP ⊥平面ABC ，设CP CM λ=，则λ的值为（）A.23B.12C.34D.35【答案】B 【解析】【分析】根据正四面体的结构特征可知点P 为正四面体ABCD 内切球的球心，利用等体积法运算求解.【详解】在正四面体ABCD 中，若DP ⊥平面ABC ，所以DN CM P ⋂=，则点P 为正四面体ABCD 内切球的球心，设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，因为D ABC P ABC P ABD P BCD P ACD V V V V V -----=+++，所以1111133333ABC ABC ABD BCD ACD S DN S r S r S r S r ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅△△△△△，解得4DN r NP ==，而14MP N DN CM P ==，所以34CP CM = ，即34λ=.故选：C.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.下列命题中是假命题的为（）A.若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线与平面α也平行B.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβC.已知v 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则//v n l α⊥⇔D.若两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，则//a b【答案】ABC 【解析】【分析】利用空间位置关系的向量证明判断ABC ；利用空间向量共线的意义判断D.【详解】若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线可能与平面α平行，也可能在平面α内，A 是假命题；显然向量()()120,1,3,1,0,3n n ==不共线，因此平面,αβ不平行，B 为假命题；由v n ⊥ ，得v与平面α平行，则//l α或l ⊂α，C 为假命题；两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，即a b =- ，则//a b ，D 为真命题．故选：ABC10.圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A.公共弦AB 所在直线方程为0x y +=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB 的长为22D.P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+【答案】BD 【解析】【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A ；求出垂直平分线的方程判断B ；利用垂径定理计算弦长判断C ；求出圆1O 到直线的距离的最大值判断D ．【详解】圆2121)1:(x O y -+=的圆心1(1,0)O ，半径11r =，222:(1)(2)5O x y ++-=的圆心2(1,2)O -，半径2r =，显然122121||(,)O O r r r r =-+，即圆1O 与圆2O 相交，对于A ，将方程2220x y x +-=与22240x y x y ++-=相减，得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，A 错误；对于B ，由选项A 知，直线AB 的斜率1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，而线段AB 中垂线过点1(1,0)O ，于是线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=，B 正确；对于C ，点1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为2d ==，因此AB ==，C 错误；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1(1,0)O 到直线0xy -=的距离为2d =，因此点P 到直线AB 距离的最大值为112d r +=+，D 正确．故选：BD11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q ，使得11//C Q A CB.存在点Q ，使得11C Q A C⊥C.对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为26,23⎣⎦D.对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，以A 为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题知，在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，建立以A 为原点，分别以AB ，AD ，I AA的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系A xyz -．所以()10,0,1A ，()1,1,0C ，()11,1,1C ，设()0,1,Q a ，其中01a ≤≤，所以()11,0,1C Q a =-- ，()11,1,1A C =-，当11C Q A C λ= ，即()(1,0,1)1,1,1a λ--=-，所以101a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，显然方程组无解，所以不存在λ使得11C Q AC λ=，即不存在点Q ，使得11//C Q A C ，故A 项错误；当111010C Q A C a ⋅=-++-=时，解得0a =，故B 项正确；因为1(0,1,1)A Q a =-，其中01a ≤≤，所以点Q 到1AC=26,23=⎢⎣⎦，故C 项正确；因为()1,0,QC a =- ，()10,1,1QA a =--，其中01a ≤≤，所以2111cos ,0QC QA QC QA QC QA -⋅===≤，所以三角形1A CQ 为直角三角形或钝角三角形，故D 项错误．故选：BC ．12.已知椭圆222:1(2)3x y C a a +=>的左､右焦点分别为12,F F ，过椭圆C 上一点P 和原点O 作直线l 交圆222:4O x y a +=+于,M N 两点，下列结论正确的是（）A.椭圆C 离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.若12PF PF ⊥，且OP PM =，则2203a =C.若1260F PF ∠=，则12F PF S =D.若126PF PF ⋅=，则7PM PN ⋅=【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：由椭圆的离心率e 的表达式及a 的范围，可得离心率的范围运算求解；对于B ：由题意，可得P 在以12F F 为直径的圆上，再由||||OP PM =，可得P 为OM 的中点，由圆的半径r 可得11||||22OP OM r c ===，从而求出2a 的值；对于C ：由椭圆的定义，结合解三角形的相关知识运算求解；对于D ：由余弦定理及椭圆的定义，可得||OP 的表达式，然后得到||PM ，||PN 的表达式，进而求出||||PN PM ⋅的值．【详解】对于选项A ：由椭圆的方程，可得椭圆的离心率c e a ==，因为2a >，所以24a >，所以2334a <，所以12e =>，结合椭圆的离心率(0,1)e ∈，可得1,12e ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于选项B ：若12PF PF ⊥，且OP PM =，则P 在以12F F 为直径的圆上，如图所示：所以122OP c c =⨯=，由题意可得2c =，即2244c a =+，所以224(3)4a a -=+，解得2163a =，故B 错误；对于选项C ：设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义可得2m n a +=，可知122F F c =，在12PF F △中，由余弦定理可得：()222221423432=+-⨯=+-=-c m n mn m n mn a mn ，整理的4mn =，所以12122=⨯=V F PF S mn ，故C 正确；对于选项D ：因为12||||2PF PF a +=，所以22222121212||||(||||)2||||426412PF PF PF PF PF PF a a +=+-⋅=-⨯=-，在1PFO 中，由余弦定理，可得2221111||||||2||||cos PF OP OF OP OF POF =+-∠，①在2PF O △中，由余弦定理，可得2222222||||||2||||cos PF OP OF OP OF POF =+-∠，②而12||||OF OF c ==，12cos cos POF POF ∠=-∠，①+②，可得222212||||2||2PF PF OP c +=+，即2224122||2a OP c -=+，所以222222||2626(3)3OP a c a a a =--=---=-，所以2222||||(||)(||)||4(3)7PM PN r OP r OP r OP a a ⋅=-+=-=+--=，故D 正确．故选：ACD ．三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60︒，其模均为1，则23a b c +-= __________.【解析】【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得.【详解】单位向量,,a b c 两两夹角均为60︒，则111cos 602a b b c c a ︒⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以23a b c +-====.14.已知圆22:(1)(1)16C x y -+-=，直线()():2240l m x y x y ---+-=.当直线l 被圆C 截得弦长取得最小值时，直线l 的方程为__________.【答案】40x y +-=【解析】【分析】先求出直线l 所过的定点P ，再根据当直线PC l ⊥时，直线l 被圆C 截得弦长取得最小值，求出直线l 的斜率，进而可得出答案.【详解】在直线()():2240l m x y x y ---+-=中，令22040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点()2,2P ，圆()()22:1116C x y -+-=的圆心()1,1C ，半径4r =，当直线PC l ⊥时，直线l 被圆C 截得弦长取得最小值，直线PC 斜率21121PC k -==-，此时直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程为2(2)y x -=--，即40x y +-=.故答案为：40x y +-=15.已知点()11,1,A F 是椭圆22184x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点.则1PF PA +的取值范围为__________.【答案】[32,52]【解析】【分析】利用椭圆的定义，把1PF 转化为P 到右焦点2F 的距离，再借助线段和差的三角形不等式求解即得.【详解】令2F 是椭圆22184x y+=的右焦点，显然2(2,0)F ，长半轴长22a =，222(21)(01)2F A =-+-=，由椭圆定义知，122242()PF PA a PF PA PA PF +=-+=+-，而222PA PF AF -≤=，当且仅当2,,P A F 共线时等号成立，于是222PA PF -≤-≤，因此当2F 在,P A 之间时，1PF PA +取得最大值52，当A 在2,P F 之间时，1PF PA +取得最小值32，所以1PF PA +的取值范围为[32,52].故答案为：[32,52]16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22,AD SA SD AB P ====为棱AD 的中点，且,SP AB M ⊥为棱SA 上的一点，若BM 与平面SBD 所成角的正弦值为34，则AM =__________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据给定条件，证得SP ⊥平面ABCD ，以P 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得.【详解】过点P 作//PE CD ，交BC 于点E ，由SD SA =，P 为AD 中点，得SP AD ⊥，又SP AB ⊥，且AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，则SP ⊥平面ABCD ，而PE ⊂平面ABCD ，有SP PE ⊥，又ABCD 是矩形，则,,SP PA PE 两两垂直，以P 为原点，,,PA PE PS 所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图：由2AD SA SD ===，1AB =，P 为AD 中点，得3SP =，E 为BC 的中点，则点()0,0,0P ，(1,0,0)A ，3)S ，(1,1,0)B ，(1,0,0)D -，(2,1,0)DB = ，3DS = ,(3)AS =-，(0,1,0)BA =- ，令(3),01AM AS λλλλ==-≤≤，(,3)BM BA AM λλ=+=-- ，设平面SBD 法向量为(,,)m x y z = ，则2030m DB x y m DS x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =，得(3,23,1)m =- ，由BM 与平面SBD所成角的正弦值为4，得4||||cos ,||||BM m BM m BM m ⋅〈〉==，解得38λ=，所以3||||24AM AS λλ=== .故答案为：34四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知圆心为C 的圆经过()()1,3,1,1A B -两点，且圆心C 在直线:0l x y +=上.（1）求圆C 的方程：（2）求过点()3,1-且与圆C 相切的直线方程.【答案】（1）()()22114x y ++-=；（2）1y =-和433y x =-+.【解析】【分析】（1）求出线段AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程.（2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程.【小问1详解】设圆心(),C x y 依题意，,A B 的中点为(0,2)，直线AB 的斜率1AB k =-，则线段AB 的垂直平分线方程为20x y -+=，显然圆心C 在线段AB 的垂直平分线上，由020x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，因此圆心C 的坐标是()1,1-，圆的半径2r AC ==，所以圆C 的方程是()()22114x y ++-=．【小问2详解】依题意，过点()3,1-且与圆C 相切的直线斜率存在，设该切线方程为1(3)y k x +=-，即310kx y k ---=，2=，解得0k =或43k =-，所以所求切线方程为1y =-和433y x =-+.18.如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,AE EB F =为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，（1）求二面角B AC E --的正弦值：（2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）63；（2233【解析】【分析】（1）连接BD AC O ⋂=，连接OF ，利用几何法求出二面角B AC E --的正弦值.（2）由（1）中信息，求出点B 到平面ACE 的距离即得点D 到平面ACE 的距离.【小问1详解】连接BD AC O ⋂=，连接OF ，如图，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，得BD AC ⊥，且O 为AC 的中点，BO =由BF ⊥平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，得BF AC ⊥，而,,BD BF B BD BF ⋂=⊂平面BOF ，则AC ⊥平面BOF ，又OF ⊂平面BOF ，于是OF AC ⊥，因此BOF ∠是二面角B AC E --的平面角，由二面角D AB E --为直二面角，得平面ABCD ⊥平面ABE ，而平面ABCD ⋂平面ABE AB =，又CB AB ⊥，CB ⊂平面ABCD ，则有CB ⊥平面ABE ，,AE BE ⊂平面ABE ，则CB AE ⊥，由BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，得BF AE ⊥，,,BC BF B BC BF =⊂ 平面BCE ，于是⊥AE 平面BCE ，而BE ⊂平面BCE ，则AE BE ⊥，又AE EB =，因此EB =显然CB BE ⊥，从而CE ==，由BF ⊥平面ACE ，,CE OF ⊂平面ACE ，得,BF CE BF OF ⊥⊥，于是3BC BE BF CE ⋅===，则sin 3BF BOF BO ∠==，所以二面角B AC E --的正弦值为3.【小问2详解】由（1）知，3BF =，O 为线段BD 的中点，即平面ACE 经过线段BD 的中点，因此点D 到平面ACE 的距离等于点B 到平面ACE 的距离，而BF ⊥平面ACE ，即点B 到平面ACE 的距离为线段BF 长3，所以点D 到平面ACE 的距离为3.19.已知ABC 的顶点()2,0,B AB -边上的高所在的直线方程为470x y -+=.（1）求直线AB 的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.①角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=；②BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=.若__________.求直线AC 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）420x y ++=；（2）470x y +-=.【解析】【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案.（2）联立直线方程，求得点A 的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案.【小问1详解】由AB 边上的高所在的直线方程为470x y -+=，得直线AB 的斜率14k =-，而ABC 的顶点()2,0B -，所以直线AB 的方程为：1(2)4y x =-+，即420x y ++=.【小问2详解】选①，角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=，令该直线与边BC 交于点E ，由10420x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即点A 坐标为(2,1)A -，设点B 关于10x y +-=的对称点为()00,B x y '，则000001221022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得0013x y =⎧⎨=⎩，即B '坐标为(1,3)，显然点(1,3)B '在直线AC 上，则直线AC 的斜率13421AC k --==--，所以直线AC 的方程为34(1)y x -=--，即470x y +-=.选②，BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=，由4203240x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即点A 坐标为(2,1)A -，设点11(,)C x y ，则BC 的中点112(,)22x y D -在直线3240x y +-=上，即113202242x y⋅+⋅-=-，整理得1132140x y +-=，又点11(,)C x y 在直线470x y -+=上，即11470x y -+=，由111132140470x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得110,7x y ==，即点(0,7)C ，直线AC 的斜率17420AC k --==--，所以直线AC 的方程为34(1)y x -=--，即470x y +-=.20.已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，它的短轴长为，一个焦点F 的坐标为(),0(0)c c >，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆Γ交于,C D 两点，3CD =.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点()3,0M 的直线与椭圆Γ相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求直线PQ 的方程.【答案】（1）22162x y +=（2）()35y x =±-【解析】【分析】（1）根据短轴长和通径求,a b ，即可得椭圆方程；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用“设而不求法”把OP OQ ⊥转化为12120x x y y +=，求出斜率k ，即可求出直线方程.【小问1详解】因为短轴长为，所以b =，由题意可知：2243===b CD a a，解得a =，所以椭圆方程为22162x y +=.【小问2详解】因为点()3,0M 在椭圆22162x y +=外，所以过该点的直线PQ 的斜率必然存在，可设直线PQ 的方程为()3y k x =-，()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()222213182760k x k x k +-+-=，则()()()()22222181327649604k k k k ∆--+-=-=->，解得33k -<<，由根与系数的关系可知:112222221827613,13x x x k x k k k -+++==，可得[]22121212233()913k y y k x x x x k=-++=+.由OP OQ ⊥得12120x x y y +=，即22222227633060131313k k k k k k --+==+++，解得:5k =±，符合0∆>，所以直线PQ的方程为()35y x =±-.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面,ABCD PB BC ⊥.（1）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.（2）E 为线段PC 上一点.若直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为38，求平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.【答案】（1）24（2）1010【解析】【分析】（1）取AD 中点O ，连接OB ，OP .通过证明，OP OB AD OB ⊥⊥，可得3OB =，6PB =，由等体积法可求得点A 到平面PBC 的距离，进而可求线面夹角；（2）建立以O 为原点的空间直角坐标系，由直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为3010，可得232,3333E ⎛- ⎝.求得平面ADE 的法向量后，利用空间向量可得平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.【小问1详解】取AD 中点O ，连接OB ，OP ，因为PAD 为等边三角形，则OP AD ⊥，且1,3OA OP ==又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABC ，由OB ⊂平面ABCD ，可得OP OB ⊥，又因为PB BC ⊥，且//BC AD ，可得PB AD ⊥，且OP AD ⊥，OP ⊂平面POB ，PB ⊂平面POB ，OP PB P = ，所以AD ⊥平面POB .由OB ⊂平面POB ，可知AD OB ⊥，则3OB =，6PB =60BAD ∠=︒，在ACD 中，可知120ADC ∠=︒，由余弦定理可得AC =，设点A 到平面PBC 的距离为h ，则--=A PBC P ABC V V 即1133PBC ABC S h S OP =⋅⋅△△，解得62h =，所以直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为224==hAC .【小问2详解】由（1）可知：分别以OA ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则P，(C -，()1,0,0A ，()1,0,0D -，()B，可得(2PC =-，(OP = ，()2,0,0AD =-，(PB = ，设()01PE PC λλ=≤≤uur uu u r，则(2,)PE =-λ，()2OE OP PE λ=+=--，得E ()2λ--，则(2)AE λ=---，因为OP ⊥平面ABC ，则取平面ABCD 的法向量1(0,0,1)n =.，设AE 与平面ABCD 所成的角为θ，则1sin cos ,10AE n θ==，解得13λ=，则233E ⎛- ⎝，5333,AE ⎛=- ⎪⎝⎭.设平面ADE 的法向量2(,,)n x y z = ，则222053230333n AD x n AE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2y =，则取平面ADE 的法向量2(0,2,1)n =-，设平面PBC 的法向量(,,)m a b c =，则20m PC a m PB ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则取平面PBC 的法向量(0,1,1)m =，故平面ADE 与平面PBC夹角的余弦值为222cos ,10⋅==⋅u r u u ru r u u ru r u u r m n m n m n.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点31,,2M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆C 的右焦点，O 为坐标原点，OFM △的面积为34.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）椭圆C 的左､右两个顶点分别为,A B，过点)K的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交椭圆C 于点,M N ，直线n过点()T 且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则TPTQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，定值为1【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程和代入法求得Γ的方程.（2）设出直线m 的方程并与曲线Γ的方程联立，化简写出根与系数关系，求得,P Q 两点的纵坐标，由此化简TPTQ来求得正确答案.【小问1详解】由题意可得222221314133224a b c a b c⎧+=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22241a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程2214x y +=.【小问2详解】因为)K在椭圆2214x y +=内，则直线m 与椭圆必相交，且直线m 的斜率存在且不为0，设过点K 的直线m的方程为)0x ty t =+≠，1122(,),(,)M x y N x y联立方程2214x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410t y ++-=，则121222231,44y y y y t t +=-=-++，可知12122()46=-=++t ty y y y t ，又因为()()2,0,2,0A B -，直线:=n x直线AM 的方程为()1122y y x x =++，则(1122=+P y y x ，同理可得(2222=-+-Q y y x ，所以(()()1221272-==-+TP y x TQyx ，其中()()1212112212222+-==+y ty ty y yy x y x)(11122)7772++--++=y y y y y，所以((771=⨯=--TP TQ（定值）.。

联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题

联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟试卷满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题5分，满分60分）1.已知向量，，则（）A. (－1,1,5)B. (－3,5,－3)C. (3,－5,3)D. (1,－1,－5)2.点到原点的距离为（）A. 1B. 3C. 5D. 93.已如向量，且与互相垂直，则k=A. B. C. D.4.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A. B. C. 或 D. 25.如图，长方体ABCD - A1B1C1D1中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1，设直线AB1与平面所成的角为，直线CD1与直线A1C1所成的角为，则（）A. B. C. D.7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OB、AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（）A. B.C. D.8.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，则CD的长为A. B. 7 C. D. 99.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（）A. B. C. D. 310.如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A. MN∥平面ADD1A1B. MN⊥ABC. 直线MN与平面ABCD所成角为45°D. 异面直线MN与DD1所成角为60°12.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是（）A. 平面ABC⊥平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是二、填空题（每题5分，满分20分）13.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________.14.若同方向的单位向量是________________15.在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ 的长度等于__________．16.已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．三解答题（共6个解答题，17题10分，其余每题12分）17.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．18.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，，，，，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦（2）求点A到平面PCD的距离.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。

辽宁省大连市庄河市高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

22．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.
（I）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作斜率不为0的直线与（I）ห้องสมุดไป่ตู้的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，求 .
参考答案
1．D
【分析】
求对数函数的定义域求得集合，解一元二次不等式求得集合，求得集合的补集后与集合求交集，由此得出正确选项.
（1）求圆的标准方程；
（2）若，试求点的坐标；
（3）若点的坐标为，过点作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程.
21．已知递增等比数列，，且，，成等差数列，设数列的前项和为，点在抛物线上．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
4．C
【分析】
由已知利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
解：，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
5．B
【解析】
分析：由，结合等差数列的求和公式可求得，再由，结合等差数列的求和公式，可求得数列的公差，即可求解的值.
详解：设等差数列的公差为，
A．15B．19C．21D．30
6．已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（）
A． B． C． D．
7．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()
A．4B．－4C．－ D．
8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（）
①若则 ∥ ； ②若 ∥ ，，则；

辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题含答案

2020——2021学年度（上）省六校协作体高二期中联考数学试题命题学校：凤城一中命题人：校对人：一．选择题（1-8题为单选题，每题5分）1. 已知椭圆方程为12422=+y x ，则椭圆的焦点坐标为（）A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22,0,2221F FB .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21,0,2121F FC .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,21,021F FD .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,0,22,021F F 2. 已知平面α上三点()()()1,2,4,0,2,1,1,2,3---C B A ,则平面α的一个法向量为（）A ．()16,9,4--B ．()16,9,4-C ．()4,9,16--D ．()4,9,16- 3. 若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或44. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )A. (x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝55. 已知四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E,F,G 分别是棱AB,AD,DC 的中点，则→→⋅GF GE 等于( )A ．1B ．1-C ．4D ．4-6. 已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( )A ．1B ．2C .5D ．2 57. 已知椭圆159:22=+y x C 的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点()32,0A ,则APF ∆的周长最大值为（）A.219+B.5327++C.14D.315+8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面是矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由；（℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =，所以正整数n 为8．故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误；第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误；令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确；故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==，又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ，所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ，连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ．又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤，又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =．这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<．因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===，所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算；（2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=，乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==，所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高2022届高2019级高二第一学期月考数学试题及解析答案

2020～2021学年度辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二第一学期月考数学试题一、单选题1.下列命题中,假命题是( )A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等【参考答案】D【试题解析】根据向量的定义即可判断出答案.A.向量是有向线段,不能比较大小.真命题.B.两向量相等:方向相同,模长相等.起点相同,则终点也相同.真命题.C.零向量:模长为0的向量.真命题.D .共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题. 故选:D.本题考查向量的定义,属于基础题.向量:有向线段.既有大小也有方向. 2.设,x y R ∈,向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥,则a b +=( )A. C.3D.4【参考答案】C【试题解析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ,再求向量模长即可.()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，, (),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=, ()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，, ()222123a b ∴+=+-+=故选:C .本题考查向量垂直、平行以及模长的坐标表示,属综合基础题. 3.若直线l∥α,且l 的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭,则m 为( ) A.－4 B.－6 C.－8D.8【参考答案】C【试题解析】由l ∥α,可得m •n ＝0,即可得出m 的值.∵l ∥α,∴m •n ＝2＋12m ＋2＝0. ∴m ＝﹣8. 故选C.本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为( )A.3B.2C.5D.5【参考答案】D【试题解析】由题意,由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角.解:以D 点为坐标原点,以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量. 110cos ,558BC AC ∴<>==⋅. ∴直线1BC 与平面11BB DD 10故选:D .此题重点考查了利用空间向量,抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题.5.已知平面α的一个法向量为(2,2,1)n →=,点(1,3,0)A -在平面α内,则点(2,1,3)P 到平面α的距离为( ) A.53B.43C.1D.23【参考答案】A【试题解析】根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可.由题意(3,2,3)PA →=--, 则||53441||n PA d n →→→⋅===++,故选:A本题主要考查了点到平面的距离,向量法求点到平面的距离,属于容易题. 6.二面角α－l －β为60°,A 、B 是棱l 上的两点,AC 、BD 分别在半平面αβ、内,AC l ⊥,BD l ⊥,且AB AC a ==,2BD a =,则CD 的长为( )A.3aB.22aC.5aD.2a【参考答案】D【试题解析】由已知条件和空间向量加法可得CD CA AB BD =++,再根据向量模和数量积的关系可得 ()2CD CA AB BD =++,由此能求出CD 的长.因为二面角α－l －β为60°,A 、B 是棱l 上的两点,AC 、BD 分别在半平面αβ、内,AC l ⊥,BD l ⊥,所以,60AC BD >=<,0AC BA ⋅=,0AB BD ⋅= 又CD CA AB BD =++ 所以()2222+2+2+2 CD CA AB BDCA AB BD CA AB AB BD CA BD =++=++⋅⋅⋅222+2 CA AB BD CA BD =++⋅()2222= 22cos1202a a a a a a +++⋅⋅=.所以CD 的长为2a . 故选:D.本题考查空间线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 7.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG ＝3GG 1,若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ,则(x ,y ,z )为( )A.111,,444⎛⎫⎪⎝⎭B.333,,444⎛⎫⎪⎝⎭C.111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D.222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【参考答案】A【试题解析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得131114444OG OG OA OB OC ===++,即得(x,y,z ).如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,1(2AE AB AC =+)＝1(2OB -2OA OC +), 121(33AG AE OB ==-2OA OC +).因为OG ＝31GG ＝3(1OG OG -), 所以OG ＝34OG 1. 则1133(44OG OG OA AG ==+)＝31211114333444OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭ . 故答案为A(1)本题主要考查空间向量的运算法则和基底法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量,,a b c 不共面,那么对于空间任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++.我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底,其中,,a b c 叫基向量.8.在空间直角坐标系O xyz -中,(0,0,0),O E F ,B 为EF 的中点,C 为空间一点且满足||||3CO CB ==,若1cos ,6EF BC <>=,,则OC OF ⋅=( ) A.9B.7C.5D.3【参考答案】D【试题解析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标,设(,,)C x y z ,利用||||3CO CB ==,1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标,最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值.设(,,)C x y z ,B ,(,,)OC x y z =,()BC x y z =--,(EF =-,由(()1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅-===⋅⋅,整理可得:2x y -=-,由||||3CO CB ==,=化简得x y +=,以上方程组联立得x y ,则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选:D.本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、多选题9.(多选题)下列说法正确的是( ) A.可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B.可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C.可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D.可看作点(),1x -与点()1,1-的距离【参考答案】BCD【试题解析】==结合两点间的距离公式,即可求解.由题意,可得===,可看作点(),0x 与点()1,2--的距离,可看作点(),0x 与点1,2的距离,可看作点(),1x -与点()1,1-的距离,故选项A 不正确,故答案为:BCD.本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用,其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键,属于基础题.10.关于空间向量,以下说法正确的是( )A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面B.若对空间中任意一点O ,有111632OP OA OB OC →→→→=++,则P ,A ,B ,C 四点共面C.已知向量{},,a b c →→→组是空间的一个基底,若m a c →→→=+,则{},,a b m →→→也是空间的一个基底D.若0a b →→⋅<,则a b →→⋅是钝角【参考答案】ABC【试题解析】根据共线向量的概念,可判定A 是正确的;根据空间向量的基本定理,可判定B 是正确的;根据空间基底的概念,可判定C 正确;根据向量的夹角和数量积的意义,可判定D 不正确.对于A 中,根据共线向量的概念,可知空间中的三个向量,若有两个向量共线, 则这三个向量一定共面,所以是正确的;对于B 中,若对空间中任意一点O ,有111632OP OA OB OC →→→→=++,因为1111632++=,根据空间向量的基本定理,可得P ,A,B,C 四点一定共面,所以是正确的; 对于C 中,由{},,a b c →→→是空间中的一组基底,则向量,,a b c →→→不共面,可得向量,,a b c a +不共面,所以{},,a b m →→→也是空间的一组基底,所以是正确的;对于D 中,若0a b →→⋅<,又由[0,]a b π→→⋅∈,所以(,]2a b ππ→→⋅∈,所以不正确.故选:ABC本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用,基底的概念与判定,以及向量的夹角的应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.如图,正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1,E是1DD的中点,则()A.直线1//B C平面1A BD B.11B C BD⊥C.三棱锥11C B CE-的体积为13D.异面直线1B C与BD所成的角为60︒【参考答案】ABD【试题解析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法一一验证即可;解:如图建立空间直角坐标系,()0,0,0A,()1,0,0B,()1,1,0C,()0,1,0D,()10,0,1A,()11,0,1B,()11,1,1C,()10,1,1D,10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E,()1B C0,1,1=-,()11,1,1BD=-,()1,1,0BD=-,()11,0,1BA=-所以()111011110B C BD=-⨯+⨯+-⨯=,即11BC BD⊥,所以11B C BD⊥,故B正确;()11011101B C BD=-⨯+⨯+-⨯=,12B C =,2BD =,设异面直线1B C与BD所成的角为θ,则111cos2B C BDB C BDθ==,又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以3πθ=,故D正确;设平面1A BD的法向量为(),,n x y z=,则1·0·0n BAn BD⎧=⎨=⎩,即x yx z-+=⎧⎨-+=⎩,取()1,1,1n=,则()10111110n B C=⨯+⨯+⨯-=,即1Cn B⊥,又直线1B C⊄平面1A BD,所以直线1//B C 平面1A BD ,故A 正确;111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅,故C 错误;故选:ABD本题考查空间向量法在立体几何中的应用,属于中档题.12.如图,一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( )A.()()2212AA AB ADAC ++=B.()10AC AB AD ⋅-= C.向量1B C 与1AA 的夹角是60° D.1BD 与AC 所成角的余弦值为63【参考答案】AB【试题解析】直接用空间向量的基本定理,向量的运算对每一个选项进行逐一判断.以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°, 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭, 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- ＝0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形,则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确又11=AD AA BD AB +-,AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-,()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以111cos ==6||||2BD AC BD AC BD AC ⋅⋅，,所以D 不正确.故选:AB本题考查空间向量的运算,用向量求夹角等,属于中档题.三、填空题13.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是(21)P -，,则AB 等于________ 【参考答案】【试题解析】根据点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,且AB 的中点是(21)P -，,利用中点坐标公式得到A ,B 的坐标,再利用两点间的距离公式求解.因为点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,且AB 的中点是(21)P -，, 所以(40),(02)，，-A B ,所以()()()22400225=-+--=AB ,故答案为:25本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用,属于基础题.14.如图,正三棱锥V ABC -的侧棱长为3,底面边长为2,则VA 与BC 所成角的余弦值为______.【参考答案】0【试题解析】根据向量的运算得出VA BC VA VC VA VB ⋅=⋅-⋅,利用数量积公式得出VA 与BC 所成角的余弦值.设VA 与VC 的夹角为θ,则VA 与VB 的夹角也是θBC VC VB =-9cos 9cos 0VA BC VA VC VA VB θθ∴⋅=⋅-⋅=-=则VA 与BC 所成角的余弦值为0||||VA BCVA BC ⋅=⋅故答案为:0本题主要考查了求异面直线的夹角的余弦值,属于中档题.15.已知空间三点的坐标为()1,5,2A -、()2,4,1B 、(),3,2C p q +,若A 、B 、C 三点共线,则p q +=______. 【参考答案】5【试题解析】将A 、B 、C 三点共线转化为//AB AC ,设AC k AB =,利用空间向量的坐标运算列出方程组可求出p 、q 、k 的值,可求出p q +的值.由题意可得()1,1,3AB=-,()1,2,4AC p q=--+,A、B、C三点共线,则//AB AC,则存在实数k,使得1243p kkq k-=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩,解得232kpq=⎧⎪=⎨⎪=⎩, 因此,5p q+=,故答案为5.本题考查空间中三点共线问题,解题的关键在于将三点共线转化为向量共线来处理,考查运算求解能力,属于基础题.16.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D-中,底面边长为2,直线1CC与平面1ACD所成角的正弦值为13,则正四棱柱的高为_____.【参考答案】4【试题解析】以D为坐标原点,1,,DA DC DD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 设1DD a=,求出平面1ACD的一个法向量n,则11cos,3n CC<>=,则可以得到答案.解:以D为坐标原点,1,,DA DC DD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设1DD a=,则(2,0,0)A,(0,2,0)C,1(0,0,)D a,故(2,2,0)=-AC,1(2,0,)AD a=-,1(0,0, )CC a=,设平面1ACD的一个法向量为(,,)n x y z=,则122020n AC x yn AD x az⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩,可取21,1,na ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故11212cos ,||||4242n CC n CC n CC a a a⋅<>===+⋅+, 又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13, 21324a ∴=+,解得4a =.故答案为:4.本题考查根据线面角,利用向量法求柱体的高,属于中档题.四、解答题17.在ABC 中,()2,5,3A -,()4,1,2AB =,()3,2,5BC =-. (1)求顶点B 、C 的坐标; (2)求CA BC ⋅;(3)若点P 在AC 上,且12AP PC =,求点P 的坐标. 【参考答案】(1)()6,4,5B -,()9,6,10C -;(2)58CA BC ⋅=-;(3)131616,,333P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【试题解析】(1)利用向量的坐标运算可求得点B 、C 的坐标;(2)计算出向量CA 、BC 的坐标,利用空间向量数量积的坐标运算可求得CA BC ⋅的值; (3)由12AP PC =可得()12OP OA OC OP -=-,可求得向量OP 的坐标,进而可求得点P 的坐标.(1)设点O 为坐标原点,()()()2,5,34,1,26,4,5OB OA AB =+=-+=-, 则()6,4,5B -.()()()6,4,53,2,59,6,10OC OB BC =+=-+-=-,则()9,6,10C -;(2)()7,1,7AC AB BC =+=-,则()7,1,7CA =--,又()3,2,5BC =-,因此,()()73127558CA BC ⋅=-⨯+⨯-+-⨯=-; (3)设点O 为坐标原点,12AP PC =,则()12OP OA OC OP -=-, 则()()21211316162,5,39,6,10,,3333333OP OA OC ⎛⎫=+=-+-=- ⎪⎝⎭, 所以,点P 的坐标为131616,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题考查空间向量的坐标运算,同时也考查了空间向量数量积的计算,考查计算能力,属于中等题.18.用坐标法证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等【参考答案】证明见解析.【试题解析】建立平面直角坐标系,设()0,A a ,(),0Bb ,得到AB 的中点C 的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭,然后用两点间的距离分别求得CA ,CB ,CO 即可.建立如图所示的平面直角坐标系,设()0,A a ,(),0B b ,则AB 的中点C 的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭.∵2222022b a a b CA a +⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2222022b a a b CB b +⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 22220222b a a b CO b +⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴CA CB CO ==,即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.本题主要考查两点间的距离公式的应用,属于基础题.19.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC ＝90°,BC ＝2,CC 1＝4,点E 在棱BB 1上,EB 1＝1,D ,F ,G 分别为CC 1,B 1C 1,A 1C 1的中点,EF 与B 1D 相交于点H .(1)求证:B 1D ⊥平面ABD ; (2)求证:平面EGF ∥平面ABD ; (3)求平面EGF 与平面ABD 的距离.【参考答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【试题解析】(1)建立空间直角坐标系,运用线面垂直的判定定理可得证; (2)由面面平行的判定定理可得证;(3)根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,设AB＝a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D (0,2,2),G102a⎛⎫⎪⎝⎭，，.所以1B D＝(0,2,2),AB＝(-a,0,0),BD＝(0,2,-2).所以1·B D AB＝0＋0＋0＝0,1·B D BD＝0＋4-4＝0.所以11B D AB B D BD⊥⊥，,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD＝B,所以B1D⊥平面ABD.(2)证明:由(1)可得AB＝(-a,0,0),BD＝(0,2,-2),-002aGF EF⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，＝(0,1,-1),所以AB＝2GF BD，＝2EF,所以////GF AB EF BD，.所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF＝F,AB∩BD＝B,所以平面EGF∥平面ABD.(3)解:由(1)(2)知,1B D是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面EGF∥平面ABD,所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离,设为d.因为EB＝(0,0,3),1B D＝(0,2,2),所以d＝1221||322||22B D EBB D⋅==+.即两平面间的距离为322.本题考查空间中的线面垂直、面面平行的证明,面到面的距离转化到一个面内一个点到面的距离的问题,属于中档题.20.已知()1,1,2a λλ=+,()6,21,2b m =-. (1)若//a b ,分别求λ与m 的值;(2)若5a =,且与()2,2,c λλ=--垂直,求a . 【参考答案】(1)15λ=,3m =;(2)()0,1,2a =-. 【试题解析】(1)设()a kb k R =∈,利用空间向量的坐标运算可得出关于k 、λ、m 的方程组,进而可解得实数λ与m 的值;(2)根据题意可得出关于λ的等式组,解得实数λ的值,由此可得出向量a 的坐标. (1)//a b ,设()a kb k R =∈,得()()1,1,26,21,2k m λλ+=-,()1612122k k m k λλ+=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩,解得153k m λ⎧==⎪⎨⎪=⎩,因此,15λ=,3m =;(2)50a a c ⎧=⎨⋅=⎩,()()()2222112521220λλλλλ⎧+++=⎪∴⎨+--=⎪⎩,化简,得225230220λλλ⎧+-=⎨-=⎩,解得1λ=-.因此,()0,1,2a =-.本题考查利用空间向量共线求参数,同时也考查了利用空间向量的坐标运算处理垂直和模的相关问题,考查计算能力,属于中等题.21.如图,三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面11BB C C,点E 是棱1C C 的中点,已知1111112A B BC C C B E ====，(Ⅰ)求证:1B B ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角11A EB A --的余弦值. 【参考答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)5.3. 【试题解析】(Ⅰ)首先证明四边形11BB C C 为矩形,可得1B B BC ,结合1B B AB ⊥,可证1B B ⊥平面ABC(Ⅱ)分别以BC ,1BB BA 所在的直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,利用法向量求二面角的余弦值.(Ⅰ)依题意,在11B C E ∆中,1111112512B C B E C E C C ====，，, 所以2221111B C C E B E +=,所以1190B C E ∠=.又因为三棱锥111ABC A B C -中,四边形11BB C C 为平行四边形, 所以四边形11BB C C 为矩形, 所以1B BBC .因为AB ⊥平面11BB C C ,1BB ⊂平面11BB C C ,所以1B B AB ⊥.又因为AB BC ⊂，平面ABC ,AB BC B ⋂=, 所以1B B ⊥平面ABC .(Ⅱ)因为AB ⊥平面11BB C C ,BC ⊂平面11BB C C , 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B −xyz ,则111()()()())00221002002221(0A E B A B E =-,,,,,,,,,,,,,,,111)022((002)B A B A =-=,,,,,,设平面1AEB 的法向量为(,,)n x y z =,则1120,0,220.0x y n B E y z n B A ⎧-=⋅=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩即, 令1x =,则2y =,2z = , 于是,,(1)22n =,设平面11A EB 的法向量为111(,,)m x y z =,则11100m B E m B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1112020x y z -=⎧⎨=⎩ 令1x =,则2y =,0z =. 于是(1,2,0)m =,所以cos ,35n m n m n m⋅<>===由题知二面角11A EB A --为锐角,所以其余弦值为3本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解,属于中档题. 22.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,AD AB ⊥,//AD BC ,3AD =,2AB BC ==,4PA =,5PD =,平面PAD ⊥平面ABCD ,点E 在棱PD 上,()01PE PD λλ=<<,,F G 分别为,PC PB 的中点,过,,E F G 三点的平面交PA 于点H ,且//EF 平面PAB .(1)求λ的值;(2)求PC 与平面EFGH 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)13;(2278【试题解析】(1)首先证明四边形EFGH 为平行四边形,再得出1HE =,然后用相似关系求出λ的值;(2)建立空间直角坐标系A xyz -,用向量法求出PC 与平面EFGH 所成角的正弦值.解:(1)因为EF 平面PAB ,EF ⊂平面EFGH ,平面PAB ⋂平面EFGH GH =, 所以EFGH .因为F 为PC 的中点,G 为PB 的中点, 所以FGBC .又因为底面ABCD 为直角梯形,AD BC ∥, 所以FG AD ∥.因为FG ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , 所以FG ∥平面PAD . 又因为平面EFGH 平面PAD EH =,所以FG EH ∥,从而四边形EFGH 为平行四边形. 又2BC =,所以1FG =, 所以1EH GF ==,所以13PE EH PD AD ==,所以13PE PD =.所以λ的值为13.(2)由题可知3AD=,4PA=,5PD=所以222AD PA PD+=,所以PA AD⊥.又因为平面PAD⊥平面ABCD,且交于AD,所以PA⊥平面ABCD.又AB AD⊥,所以,,AB AD AP两两垂直.以A为坐标原点,分别以向量AB,AD,AP所在方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-.所以()0,0,0A,()2,0,0B,()2,2,0C,()0,3,0D,()0,0,4P.由(1)可知13λ=,即13PE PD=.所以80,1,3E⎛⎫⎪⎝⎭.因为EH AD∥,13EH AD=,所以80,0,3H⎛⎫⎪⎝⎭.又F为PC的中点,所以()1,1,2F.所以()0,1,0EH=-,21,0,3EF⎛⎫=-⎪⎝⎭,()2,2,4PC=-.设平面EFGH的一个法向量(),,n x y z=,所以0,0,n EFn EF⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,3yx z=⎧⎪⎨-=⎪⎩令3z=,所以2x=,所以()2,0,3n=.设PC与平面EFGH所成的角的平面角为θ,所以sin cos ,13n PCn PC n PC θ⋅====故PC 与平面EFGH 所成角的正弦值为.本题主要考查立体几何、空间直角坐标系、直线与平面所成角的正弦值等相关知识,考查运算求解能力,属于基础题型.。

辽宁省大连市2021-2021学年高二数学上学期期中试题

辽宁省大连市2021-2020学年高二数学上学期期中试题（时间：120分钟总分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

3．第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内。

第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1～10小题为单选题，每小题只有一个选项符合题意；11～12为多选题，每小题有两个选项符合题意，选对一个得3分，两个都选对得5分，选错或选错一个得0分。

) 1．直线2430x y ++=的斜率是（）A ．2-B ．12-C ．12D ．22．若圆C 与圆C′（x ＋2）2＋（y －1）2＝1关于原点对称，则圆C′的方程是（） A ．（x ＋1）2＋（y －2）2＝1B ．（x-2）2＋（y －1）2＝1C ．（x －1）2＋（y+2）2＝1D ．（x-2）2＋（y+1）2＝13．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（） A ．a b c +-B ．1122a b c -+C ．a b c -+D ．1122a b c -+-4．直线()()1y k x k R =-∈是（） A ．过点()1,0的一切直线B ．过点()1,0-的一切直线C ．过点()1,0且除x 轴外的一切直线D ．过点()1,0且除直线1x =外的一切直线5．如果存在三个不全为0的实数x ，y ，z ，使得向量0xa yb zc ++=，则关于a ，b ，c 叙述正确的是（） A ．a ，b ，c 两两相互垂直 B ．a ，b ，c 中只有两个向量互相垂直C ．a ，b ，c 共面D ．a ，b ，c 中有两个向量互相平行6．已知点()2,1,2A -在平面α内，()3,1,2n =是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（） A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-8．设,A B 是椭圆22:14x y C k+=长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足120APB ∠=，则k 的取值范围是（）A ．4(0,][12,)3⋃+∞B ．2(0,][6,)3⋃+∞C ．2(0,][12,)3⋃+∞D ．4(0,][6,)3⋃+∞9．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF与平面11AA D D 所成角的正弦值为（）A 5B 30C 6D 2510．已知椭圆的左焦点为1F ，有一质点A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为（）A ．23B ．34C ．35D ．5711．（多选题）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中错误的是（）A ．若C 为椭圆,则13t <<B ．若C 为双曲线,则3t >或1t < C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<12．（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值可以是（） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

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参考答案
1．B
【分析】
由斜率和倾斜角的关系，结合图形直接比较大小即可
【详解】
解：由图可知，且为锐角，为钝角，
因为，
所以，
故选：B
【点睛】
此题考查直线斜率和倾斜角的关系，属于基础题
2．A
【分析】
在平行六面体中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
在平行六面体中，为与的交点，
（2）为上任意一点，求的值.
20．已知椭圆的离心率，椭圆过点 .
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与交于两点，已知，求面积的最大值.
21．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，平面平面 .
（1）为三角形内（含边界）的一个动点，且，求的轨迹的长度；
A． B． C． D．
10．如图，椭圆的焦点为、，过的直线交椭圆于、两点，交轴于点 .若、是线段的三等分点，则的周长为（）
A． B． C． D．
11．在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等
②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等
6．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（）
A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线上一点，直线，则到这两条直线的距离之和的最小值为（）
A．2B．4C． D．
9．已知椭圆的焦距为6，过右焦点的直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则的方程为（）
A． B．
C． D．
3．抛物线的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
4．已知二面角的两个半平面与的法向量分别为，且，则二面角的大小为（）
A． B． C．或 D．或
5．已知、两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
5．C
【分析】
设炮弹爆炸点为点，计算出的值，结合双曲线的定义可得出点的轨迹形状.
【详解】
设炮弹爆炸点为点，由题意可得，
所以，炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.
故选：C.
【点睛】
本题考查动点轨迹形状的判断，考查双曲线定义的应用，属于基础题.
6．D
【分析】
连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案
.
故选：A.
3．A
【分析】
由抛物线的方程直接求其焦点坐标即可
【详解】
解：因为抛物线，
所以，，则
所以抛物线的焦点坐标为，
故选：A
【点睛】
此题考查由抛物线的方程求焦点坐标，属于基础题
4．C
【分析】
由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当、为异号向量，二面角为减去两法向量夹角；当、为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
22．已知平面内的两点，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为 .
（1）求的方程；
（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，若直线斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.
四、解答题
17．过抛物线焦点的直线交于两点，为的准线，0为坐标原点.过做于，设 .
（1）求的值；
（2）求证：三点共线.
18．如图，在四棱锥中，平面为中点且 .
（求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．已知直线与圆相切，为原点， .
（1）若过的直线与相交所得弦长等于4，求直线的方程；
【详解】
连接，则，
因为平面，在平面内，
所以，
因为，
所以平面，
因为在平面内，
所以，
所以异面直线与所成的角为，
故选：D
【点睛】
此题考查求异面直线所成的角，属于基础题
7．A
【解析】
试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.
14．直线与平行，则实数 __________.
三、双空题
15．已知方程，当这个方程表示椭圆时，的取值的集合为________；当这个方程表示双曲线时，的取值的集合为_________.
16．已知为圆上一点，则过上点的切线方程为________，若为椭圆上一点，则过上点的切线方程为_____________.
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等
其中真命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
12．设是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分别为，，过点作直线的垂线，分别交，于，两点，若，两点均在轴上方且，，则双曲线的离心率为（）
A． B．2C． D．
二、填空题
13．已知三点不共线，为平面外一点，若向量，且点与共面，则实数 __________.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入 .本题就是利用方法④求的轨迹方程的.
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，记直线的斜率分别为，倾斜角分别为则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
2．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）
【详解】
两个半平面与的法向量分别为，且
由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况
1、当、为异号向量，如下图示：
∴有二面角为
2、当、为同号向量，如下图示：
∴有二面角为
综上，有二面角为或
故选：C
【点睛】
本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小

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