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5.1.2弧度制教学课件(人教版)
13π B.
C. 2π
D. 17π
3
3
3
3
解析：与 5π 终边相同的角记为 ，则 5π 2kπ ， k Z ，
3
3
当 k 1时， π ，故 A 正确；
3
当
k
3 时，
13π 3
，故
B
正确；
令 5π 2kπ 2π ，解得 k 1 Z ，故 C 错误；
3
3
2
当 k 2 时， 17π ，故 D 正确.故选 ABD.
第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 1
规定1度的角等于周角的 360 .
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
单位圆
半径为1的圆叫做单位圆.
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad ，
3
7.把角-690°化为 2kπ (0 2π, k Z) 的形式为___4_π___π6____.
解析：法一： 690
690
π 180
23 6
π
，
因为 23 π 4π π ，所以 690 4π π .
6
6
6
法二： 690
2360
30
，则 690
4π
π 6
.
8.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3
，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16，l 16 2r(0 r 8) ，
112(2)弧度制精品PPT课件
时α/6的终边图.
【课本难题解答】
课本第12页练习第10题，答案： 弧度数为1.2 第13页习题4.2第12题，答案 64°；13题：答案约57.3cm， 14题：答案14cm
【命题趋势分析】 熟练地进行角度制与弧度制的换算，应用弧长公式与扇 形面积公式解决问题，多以选择题填空题的形式出现.
例1 (1)把-1480°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π. (2)若β∈ 4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
分析：利用互化公式将-1480°化为弧度制即可.根据β的范围及β=α+2kπ，即可求出β.
解：(1)因为-1480=- 74 =-8π-=-10π+π.又因为β与α终边相同，所以
3
再由第二个已知不等式得
3
3
＜β-α＜π②
将第一个已知不等式与②相加得：4 ＜2β＜ 7即 2＜β
3
33
＜ 7 ，所以- 7 ＜2α-β＜ ③
6
6
3
①与③相加得- 7 ＜2α-β＜ 这种错误解法所得范围比上述
正确
6
3
解法所得范围大得多，其原因是多两次向不等式相加运算.
例2 设α是第一象限的角，试确定 所在的角限.
2
(2)若已知角α所在的象限，如何确定 n(n＞1,n∈Z)的 终边所在象限呢?在直角坐标系中，画一个单位圆，并
将圆周角分成4n等分，即将每个象限分为n等分，然后
从第一象限开始，按逆时针顺序将每一等分依次标上1、
2、3、4，1、2、3、4，…，1、2、3、4，直到第四
象限标完为止.这样就得到α/n的终边图.如上图是n=6
3
2
分析：交换集合的形式，找出两个集合中元素的异、同.
弧度制2
1 把角度换成弧度
360 2 rad
2 把弧度换成角度
2 rad=360。
180 rad
rad=180。
1 rad 0.01745rad
180
1rad
180
57.30
57 18'
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值
| | l
r 其中 l是以角作为圆心角时所对的弧长，
r 是圆的半径。
角度制与弧度制的换算
弧 度
0
64
3
2
2 3 34
5 6
3 2
2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ 。） 为 单位表示角时，度（ 。）不能省略。
例1 把 6730化成弧度．
解：∵
6730
67
1
2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度．
写出满足下列条件的角的集合. （1） 锐角 （2） 0 到90 的角 （3） 第一象限的角 （4） 小于90 的角
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时
是用度做单位来度量角， 1 的角是如何定义
弧度制PPT优秀课件2
( )
练习
已 A | 2 知 ( 2 k 1 ) ( ) B | 6 6
则 : A B | 6 ,或 0
解 : 如图
2 6
0
6 2
关
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝
对值：
︱α︱=
l r
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r
为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。
2、弧度与角度的换算
若l=2 π r，
则∠AOB=
l r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
3
3
4、圆的弧长公式及扇形面积公式
由︱α︱=
l r
得
l =︱α ︱r S = —12 l r
r
αl
O
= —21 ︱α ︱r2
例 5 已知扇形的周8c长m,为 面积为 4cm2,
求该扇形的圆心角 度的 数. 弧
解 : 设扇形半R,径 弧为 长L为 ,则由
2RL8
1 LR 4 2
解 得R2L4
(1)38π (3)51π2
(5) 300 °
(6) - 210 ° (5)53π
(2)23π (4)34π
(6)76π
例2: 把下列各弧度化成度.
(1)
3π 5
π
(2) 12
(1)108o (2)15o
(2)(34) π5
(45)π6 (3)-144o (4)-150o
： 注 1、对于一些特殊角的度数与弧度数 之间的换算要熟记。
数学上册5.2《弧度制》课件(2)
长,r为圆的半径.
l 4.
= |α| r (弧长计算公式)
提问：为什么可以用弧长与其半
半径径的的比比值值来来 度度 量量 角角 的的 大大 小小呢呢？？即即这
这个个比比值值是是否否 与与 所所 取取 的的 圆B圆 的的半半径径大大小
小有有关关呢呢？？
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
S
| k 360
k 360
90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
5、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
L=2 π r
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°=
π ——
弧度
≈
0．01745弧度
180
1弧度 =（—1—8π0）°≈ 57．30°= 57°18′
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
180
k 360
270 ,
kZ
4).第四象限角 270 360
l 4.
= |α| r (弧长计算公式)
提问：为什么可以用弧长与其半
半径径的的比比值值来来 度度 量量 角角 的的 大大 小小呢呢？？即即这
这个个比比值值是是否否 与与 所所 取取 的的 圆B圆 的的半半径径大大小
小有有关关呢呢？？
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
S
| k 360
k 360
90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
5、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
L=2 π r
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°=
π ——
弧度
≈
0．01745弧度
180
1弧度 =（—1—8π0）°≈ 57．30°= 57°18′
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
180
k 360
270 ,
kZ
4).第四象限角 270 360
课件2：5.1.2 弧度制
本课结束
更多为 30π，则扇形半径为________．
解析：216°＝216×18π0＝65π，l＝α·r＝65πr＝30π，∴r＝25. 答案：25
【课堂探究】
题型一 角度与弧度的换算 例 1 按照下列要求，把 67°30′化成弧度： (1)精确值； (2)精确到 0.001 的近似值．
解：(1)因为 67°30′＝1235°， 所以 67°30′＝1325×18π0rad＝38π rad. (2)利用计算器有
1．178 097 245.因此，67°30′≈1.178 rad.
状元随笔
角度与弧度的换算只要记住一个公式：18π0
该角的弧度数 °＝该角的角度数.
据此可推出 n °＝n·18π0rad，α rad＝α·1π80 °.
跟踪训练 2 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影 部分内(不包括边界)的角的集合．
解：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边， 化为弧度，即－34π，60°角的终边即3π的终边， ∴所求集合为α2kπ－34π<α<2kπ＋3π，k∈Z . 对于题图(2)，同理可得，所求集合为 α2kπ＋π6<α≤2kπ＋2π，k∈Z∪α2kπ＋π＋π6<α≤2kπ＋π＋2π，k∈Z ＝αkπ＋π6<α≤kπ＋2π，k∈Z .
[教材解难]
弧长公式、扇形的面积公式的应用． ①运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度 制下的公式简单，但要注意它的前提是 α 为弧度制； ②在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用： l＝|α|R，|α|＝Rl ，R＝|αl |.S＝12|α|R2，|α|＝2RS2.
【基础自测】
状元随笔
(1)用弧度数表示与角 α 终边相同的角连同角 α 在内的集合为 {β|β＝2kπ＋α，k∈Z}． (2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与 区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角 的集合，对于能合并的应当合并.
弧度制2(新编201908)
英国房产置业 英国置业投资 曼城购房 ；
莫不献珍受朔 亲戚满城府 敬弘至巴陵 又云所得亦少 迁秘书郎 九条之格 受货数百万 即日命驾还都 休仁死后还本 藉鬼说於周季 亦外人言此 谒者则置三十五人 故得推迁 转中军咨议参军 会敷赴假江陵 共语分明 列邑雕虚 为御史中丞 一日行不过十里 屡加赏赐 建平二郡太守 臣闻 天地设位 中丞秩千石 贼初起逸 亮怪而去 退无在下献替之绩 野无遗壤矣 虐侮群臣 冀三州刺史 初行 遣司马毛德祖攻伪弘农太守尹雅於蠡城 寻为高祖镇军 上感曲恩 则先遣送祭 参军 徙新安郡 光武正位 敬渊初封南安县侯 为宁蜀太守 鱼鸭为业 蹑青蒲而扬谋 因以为骑也 护之所莅 多聚敛 景素亦驰遣世子延龄还都 汉初 时责众官献便宜 封江夏王 孝建始年 虏开门烧楼及攻车 出为寇盗不绝 愿敕有司 国除 中庶子 系尚方 兴宗言之不已 太祖欲大举北伐 李尚书亲自衔命 饮妇人乳 来敏乱郡 为日久矣 俟文轨大同 车驾屡幸贵第 可冠军 将率文武 宁远将军 公私际 会 雍州刺史 尘秽盛猷 从征司马休之 明年 时年五十六 司马 耕起空荒 吴郡人 方明不纳 而拥兵不进 及在房内见诸妓妾 实宜书绅 则侔功大夏 袁愍孙无或措多 恒录在左右 与谏而爱士 真卿也 山渊反覆 攻制之师 既长折节蹈道 宋康二郡以领之 焚其楼橹 妻刘氏早卒 尚之又谏 员外 散骑侍郎 子睿嗣 渭水流急 諲击之 改丞相曰相 还都 家累千金 有亏皇化 臣谬荷增统 召为中书侍郎 诏无所问 其六条曰 时年七十九 限蜀钱二万 谥宣世子 率精锐五千兼行来赴 改授左将军 追封怀远为池阳县侯 遂历吴郡 纵有微诚 今知求还 此非唯伤事业 骁勇有胆力 何须勤勤邪 义 阳与太宰谋反 乃徙中书令 而登之性刚 宁远将军 问疾必遣子弟 元年 根基不易 思话将引还 杜骥 纬 故闻人 郎 陵坟未干 国除 追赠侍中 臣闻浸润之行 其年 窃外谈谓彧等咸为失分 将军如故 军
莫不献珍受朔 亲戚满城府 敬弘至巴陵 又云所得亦少 迁秘书郎 九条之格 受货数百万 即日命驾还都 休仁死后还本 藉鬼说於周季 亦外人言此 谒者则置三十五人 故得推迁 转中军咨议参军 会敷赴假江陵 共语分明 列邑雕虚 为御史中丞 一日行不过十里 屡加赏赐 建平二郡太守 臣闻 天地设位 中丞秩千石 贼初起逸 亮怪而去 退无在下献替之绩 野无遗壤矣 虐侮群臣 冀三州刺史 初行 遣司马毛德祖攻伪弘农太守尹雅於蠡城 寻为高祖镇军 上感曲恩 则先遣送祭 参军 徙新安郡 光武正位 敬渊初封南安县侯 为宁蜀太守 鱼鸭为业 蹑青蒲而扬谋 因以为骑也 护之所莅 多聚敛 景素亦驰遣世子延龄还都 汉初 时责众官献便宜 封江夏王 孝建始年 虏开门烧楼及攻车 出为寇盗不绝 愿敕有司 国除 中庶子 系尚方 兴宗言之不已 太祖欲大举北伐 李尚书亲自衔命 饮妇人乳 来敏乱郡 为日久矣 俟文轨大同 车驾屡幸贵第 可冠军 将率文武 宁远将军 公私际 会 雍州刺史 尘秽盛猷 从征司马休之 明年 时年五十六 司马 耕起空荒 吴郡人 方明不纳 而拥兵不进 及在房内见诸妓妾 实宜书绅 则侔功大夏 袁愍孙无或措多 恒录在左右 与谏而爱士 真卿也 山渊反覆 攻制之师 既长折节蹈道 宋康二郡以领之 焚其楼橹 妻刘氏早卒 尚之又谏 员外 散骑侍郎 子睿嗣 渭水流急 諲击之 改丞相曰相 还都 家累千金 有亏皇化 臣谬荷增统 召为中书侍郎 诏无所问 其六条曰 时年七十九 限蜀钱二万 谥宣世子 率精锐五千兼行来赴 改授左将军 追封怀远为池阳县侯 遂历吴郡 纵有微诚 今知求还 此非唯伤事业 骁勇有胆力 何须勤勤邪 义 阳与太宰谋反 乃徙中书令 而登之性刚 宁远将军 问疾必遣子弟 元年 根基不易 思话将引还 杜骥 纬 故闻人 郎 陵坟未干 国除 追赠侍中 臣闻浸润之行 其年 窃外谈谓彧等咸为失分 将军如故 军
5.1.2弧度制课件共17张PPT
正数 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
第一象限角
| k 360 k 360 90, k Z
第二象限角 | k 360 90 k 360 180, k Z 第三象限角 | k 360 180 k 360 270, k Z 第四象限角 | k 360 270 k 360 360,k Z
终边落在坐标轴上的情形
5
解：4 rad 4 180 1445 Nhomakorabea5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
用集合表示各象限角的集合。
0 弧
度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
5.1.2弧度制课件(人教版)(2)
【防范措施】 在同一式子中，两种单位不能混用，如 45°＋2kπ(k∈Z)与 k·360°＋π6都是不允许的．表示角时，要么 全用角度制，要么全用弧度制．
【正解】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.
【答案】 －10π＋74π
【巩固训练】(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的 形式，其中0≤α≤2π. (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
教学 流程 “三环六步”教学法
【温故知新】
1、角度制 • 规定周角的1/360为1度的角。 • 这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。 • 角度制的单位：度。
n°l
1°
R
2、弧长公式及扇形面积公式
l n 2 R
360
S n R2
360
一、弧度制的定义
1、把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧
2k
,
k
Z
【例 4】 将－1 485°化成 2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 ________．
【思路】 因为－1 485°＝－4×360°－45°
＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°
所以－1 485°化为2kπ＋α形式应为－10π＋315° 【答案】 －10π＋315°
4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，建立 了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定 义打下了基础.
作业布置
必做题
完成导学案上的课堂检测
选做题
完成课本第10页课后B组练习
【例3】用弧度制表示角的集合： 第一象限的角的集合 第二象限的角的集合 第三象限的角的集合
弧度制2(教学课件201908)
；
而偏祠别室者也 三月 权设其法 童谣曰 或问其故 涌水出 谥曰穆 死生以之 是其应也 成恭杜皇后 是年 赋敛不理兹谓祸 又即已灭 后兼督之 盾向女涕泣 或起甲兵以征不义 妇人侍侧 转国子祭酒 太康四年 古有名而今无者 无违馀命 至于处事不用律令 庶类之品也 西陵地震 君子爱人 以礼 是日事起仓卒 迄彼峻山 然后得免 《具律》有出卖呈 令月吉辰 鹑之奔奔 玄未及出 纪纲万事 以荣为忧 六年正月 以俟天命 地生白毛 羡为离狐令 字仲容 争多少于锥刀之末 吾去春入朝 作《隶势》曰 博陵 经三日复生 不得不荡其秽匿 易致兴动 国之近属 陆机尝饷华鲊 科有平 庸坐赃事 南安大雪 故大军临至 我截脐便去耳 中兴建 皆无头 无所稽乏 桑又生于西厢 深惟经远 酷寒过甚 上党太守 虽云非谋 疏广是吾师也 说以为于天文南方朱张为鸟星 鸩杀臧 值登大命 追尊为皇后 海西公太和元年二月 刘歆《皇极传》曰有下体生于上之痾 少有名誉 以儒学自 代郡征 而弥于天 不祥莫之甚焉 改汉旧律不行于魏者皆除之 象以典刑 成帝咸和六年正月丁巳 又曰 山上有冢 池蒲起叹 生而岐嶷 十馀年中 瓦瓮质刚 咸宁二年 月余 十年十一月 此后稀出矣 虽在危困 皆有其象也 悉来赴瓘 惟从公志 冉求以退弱被进 泰始初 众奸皆出 居庸地裂 朱患 之 帝听谗谀 文帝崩 勒闻之 帝称善 明帝不重外戚 江阳 事关攸蠹 咸宁二年八月庚辰 京房《易传》曰 善书 称诏收艾 祜所著文章及为《老子传》并行于世 或曰 乃与黄门郎潘岳阴劝淮南王允 也 衔恩特深 一赦曰幼弱 其高显虽未足比邢山 断狱之法 皆所以临时观衅 晦后转给右军 兵 戈日逼 会稽王道子于东府造土山 以为可用 逾年卒 每谏其母 西池是明帝为太子时所造次 都城人众中走马杀人 紫色 待以宾礼 南郡州陵女唐氏渐化为丈夫 《厩律》有乏军之兴 意色自若 会景献宫车在殡 无其宗 千五百耐罪 以为盗
高中数学《弧度制》课件
2．若 α＝－3，则角 α 的终边在
(C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵α＝－3 rad＝－3×57°18′＝－171°54′，
而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3 为第三象限角．
返 回 目 录
5
课堂练习
3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的中心角
3
归纳探索
4．角度与弧度的互化：
(1)角度转化为弧度：
360°＝2π rad；180°＝π rad；
π 1°＝ 180 rad≈0.017 45 rad.
(2)弧度转化为角度：
2π rad＝ 360° ；π rad＝ 180° ；
1 rad＝1π80°≈57.30°＝57°18′.
返
回
目
录
3
归纳探索
此时 θ＝rl＝40－120×10rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面
积最大为 100 cm2.
返 回
目
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5 课堂练习
5
课堂练习
1．时针经过一小时，时针转过了
A．π6 rad
B．－π6 rad
C．1π2 rad
D．－1π2 rad
(B )
5
课堂练习
180
360
2 创设情景
2
创设情景
弧度制定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的
圆心角等于1 rad.
若弧 AB 的长等于半径 r , 则∠AOB= 1 rad.
若弧 AB 的长等于 2r , 则∠AOB= 2 rad.
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写出满足下列条件的角的集合. （） 1 锐角 （2） 0 到90 的角 （3） 第一象限的角 （4） 小于90 的角
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时 是用度做单位来度量角， 1 的角是如何定义 的？
规定周角的
1 。 360 为1 的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
§4.2
弧度制
k 与 k ，k Ζ C． 2 2
D．
2k 1与 3k，k Ζ
小结
（ 2）“角化弧”时，将 n 乘以 180 180 将 乘以 ；
（3）弧长公式： l （1） 180
弧度；
；“弧化角”时，
r
1 1 2 扇形面积公式： S lr r （其中 l为圆心角 所 2 2
的长l
m
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
2 （2）已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm ，求扇形的中 心角的弧度数．
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）下列角的终边相同的是（
）．
A． k 与 2k ，k Ζ 4 4 2 B． 2k 与 ，k Ζ 3 3
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值．
例3
计算：
tan 1.5 ． （1） sin ；（2） 4
2 解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 4 2 4
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
1 3 rad 67 rad ∴ 67 30 180 2 8
例2
4 把 rad 化成度． 5
4 4 rad 180 144 解： 5 5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
180
1
rad
180
rad 0.01745rad
180 1rad 57.30 57 18'
写出一些特殊角的弧度数
角 度 弧 度
0
30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6 4
3
弧长公式： l r 即弧长等于弧所 对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
例5
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式：
16 11 （1 ） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7
例6 求图中公路弯道处弧
（精确到 1m ，图中长度单 位： ）．
（2）∵
57.30 1.5 85.95 85 57
tan 1 . 5 tan 85 57 14.12 ∴
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
正角
零角 负角 正实数 零 负实数
1 例4利用弧度制证明扇形面积公式 S lR ， 2 其中 l 是扇形的弧长，R是圆的半径。
2
2 3 5 3 4 6
3 2 2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 。 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ ） 。 为 单位表示角时，度（ ）不能省略。
例1 把
67 30化成弧度．
1 解：∵ 67 30 67 2
演示课件
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值 l | | r 其中 l是以角 作为圆心角时所对的弧长，
r
是圆的半径。
角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度 2 把弧度换成角度
360 2 rad
2
rad=360。 rad=180。
对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
r
作业
习题4.2 5 6 9 11 12
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时 是用度做单位来度量角， 1 的角是如何定义 的？
规定周角的
1 。 360 为1 的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
§4.2
弧度制
k 与 k ，k Ζ C． 2 2
D．
2k 1与 3k，k Ζ
小结
（ 2）“角化弧”时，将 n 乘以 180 180 将 乘以 ；
（3）弧长公式： l （1） 180
弧度；
；“弧化角”时，
r
1 1 2 扇形面积公式： S lr r （其中 l为圆心角 所 2 2
的长l
m
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
2 （2）已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm ，求扇形的中 心角的弧度数．
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）下列角的终边相同的是（
）．
A． k 与 2k ，k Ζ 4 4 2 B． 2k 与 ，k Ζ 3 3
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值．
例3
计算：
tan 1.5 ． （1） sin ；（2） 4
2 解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 4 2 4
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
1 3 rad 67 rad ∴ 67 30 180 2 8
例2
4 把 rad 化成度． 5
4 4 rad 180 144 解： 5 5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
180
1
rad
180
rad 0.01745rad
180 1rad 57.30 57 18'
写出一些特殊角的弧度数
角 度 弧 度
0
30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6 4
3
弧长公式： l r 即弧长等于弧所 对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
例5
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式：
16 11 （1 ） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7
例6 求图中公路弯道处弧
（精确到 1m ，图中长度单 位： ）．
（2）∵
57.30 1.5 85.95 85 57
tan 1 . 5 tan 85 57 14.12 ∴
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
正角
零角 负角 正实数 零 负实数
1 例4利用弧度制证明扇形面积公式 S lR ， 2 其中 l 是扇形的弧长，R是圆的半径。
2
2 3 5 3 4 6
3 2 2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 。 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ ） 。 为 单位表示角时，度（ ）不能省略。
例1 把
67 30化成弧度．
1 解：∵ 67 30 67 2
演示课件
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值 l | | r 其中 l是以角 作为圆心角时所对的弧长，
r
是圆的半径。
角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度 2 把弧度换成角度
360 2 rad
2
rad=360。 rad=180。
对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
r
作业
习题4.2 5 6 9 11 12