10.4旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积

教学目标：掌握旋转曲面的面积计算公式．

教学内容：旋转曲面的面积计算公式．

基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．

教学建议：

要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．

教学过程：

一、微元法

对任意小区间],[],[b a x x x ⊂∆+，若能把函数Φ的微小增∆Φ近似地表示为x ∆的线性形式：x x f ∆≈∆Φ)(，其中f 为某一连续函数，且当0→∆x 时，)()(x x x f ∆=∆-∆Φ ，即dx x f d )(=Φ，则得

)

0)(.()()(=Φ=Φ⎰a dx x f b b

a

此法称为微元法。

注：采用微元法需注意：

1、所求量Φ关于分布区间是代数可加的；

2、关键是给出x x f ∆≈∆Φ)(，但一般要检验).()(x x x f ∆=∆-∆Φ

二、旋转曲面的面积

设平面光滑曲线],[),(:b a x x f y C ∈=，不妨设0)(≥x f 。下面求这段曲线绕x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。

在点x x x ∆+,分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当x ∆很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即

22)]()([y x x x f x f S ∆+∆∆++π≈∆ ,)(1])(2[2x x y y x f ∆∆∆+∆+π=

其中).()(x f x x f y -∆+=∆由于 ,)('1)(1lim ,0lim 220

0x f x y y x x +=∆∆+=∆→∆→∆ 因此由)('x f 的连续性有

).()('1)(2)(1])(2[22x x x f x f x x y y x f ∆=∆+π-∆∆∆+∆+π 所以得到

,)('1)(22dx x f x f dS +π= .)('1)(22dx x f x f S b a ⎰+π=

若光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x C ，且0)(≥t y ，则曲线绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为 .

)(')(')(222dt t y t x t y S ⎰βα+π=

例1、计算圆222R y x =+在[],[],21R R x x -⊂上的弧段x 轴旋转所得球带的

面积。

解： 对曲线22x R y -=在区间],21x x 上应用公式得 dx x R x x

R S x x 222221221

-+-π=⎰ ).(22122

1x x R dx R x x -π=π=⎰

特别当R x R x =-=21,时，则得球的表面积.4R S π=

例2、计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积。

解： 由曲线关于y 轴的对称性及公式得

dt

t t a t t a t a a S 22222032)cos sin 3()sin cos 3(sin 4+-π=⎰π

=.

512

cos sin 1222042a tdt t a π=π⎰π

作业：P255: 1;2;3.