2013第十六章结构稳定计算

MA=kθ
l
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用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变形 状态建立 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数的齐 次线性方程，因失稳时 n 个位移参数不全为零，则方程的系 数行列式 D应等于零，得到稳定方程： D=0 它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载。
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2、能量法：势能驻值原理（对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，
两 稳 弹 弹 剪 组 圆
类 稳 定 问 题 概 定 问 题 的 分 析 方 性压杆稳定分析之静力 性压杆稳定分析之能量 力 对 临 界 荷 载 的 影 合 压 杆 的 稳 环 和 圆 拱 的 稳 定
述 法 法 法 响 定 性
1
§16-1
两类稳定问题概述
1、平衡状态的三种情况 稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。 中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间过渡状态。 不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位。
R1=ky1
R2=ky2
YD=Py2/l （a）
y1 1 y2 1 y1 1 y211 1
A
2）能量法 •在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移
YA=Py1/l
B
y1
k
y2
k C
D
λ
P
R1=ky1
2 2 1 2 2 1 2
R2=ky2
y 2 l
2 1 y 2 l
YD=Py2/l
以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载。
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§16-2
有限自由度体系的稳定——静力法和能量法
静力法：考虑临界状态的静力特征。 由小挠度理论求临界荷载 （平衡形式的二重性） 能量法：考虑临界状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解） 确定体系变形形式(新的平衡形式)的 P P 独立位移参数的数目即稳定体系的自由度. B 1、静力法（平衡法）：要点是利用临界状态平 B´ λ
l/2
l/2
分支点处对应临界荷载、临界状态
由于平衡形式发生转变，失稳造成的结构破坏具有突然性。
3
5、极值点失稳:（第二类失稳） 具有初曲率，承受偏心荷载的压杆。
P
(小挠度理论)
Δ 指跨中挠度。
P
P
Pe
Pcr O
(大挠度理论)
Δ
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
极值点失稳的特点是平衡形式不出现 分支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的变 形形式并不发生质的改变，由于结构的变 形过大,结构将不能正常使用.小挠度结果位 移趋于无穷是不真实的，但由其计算的临 界载荷也有一定的实际意义。 本章根据小挠度理论来求临界载荷。
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对比大挠度理论和小挠度理论结果的几点结论和认识：
1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值 点失稳。 2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉 点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径， 但 平衡路径上出现极值点。 3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小 挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得 出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。 4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳 问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研 究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上 限考虑。
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•对于分支点失稳问题，当施加载荷小于临界载荷时，稳定的 （直线）平衡形式是唯一的平衡形式，不稳定的（微弯）平 衡是不能维持的，或者说实现稳定的微弯平衡对于载荷是有 条件的。稳定分析的方法是假设平衡形式已发生转变或在临 界状态具有二重性，在新的变形后的几何位置上建立平衡方 程或与之等效的能量原理，以此得出维持新的平衡形式对于 载荷需要满足的条件，载荷所需满足条件的最小值称为临界 载荷。需要注意的是根据小挠度理论求得的载荷所需满足的 条件是不真实的且往往是不连续的，但其所得临界载荷是有 效的。
真实位移使结构的势能Π为驻值），即：δΠ=0 , Π=应变能U+外力势能UP 由于真实位移是满足平衡条件的位移，因此：
弹性体系的平衡方程势能驻值原理 如图所示 l l (1 cos ) l 2sin 弹性应变能
2 1 U1 M k A 2 2
2
2
l
2
2
MA=kθ
B
2 1 Pl 2
2、失稳:结构稳定平衡状态发生改变。 随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡 转为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性. 如压杆由稳定的直线平衡转变为稳定的曲线平衡。
3、结构失稳的基本形式：分支点失稳和极值点失稳。
2
4、分支点失稳:（第一类失稳） 2 EI P1<Pcr= 2 考虑直杆（无初曲率）， l
P B´ λ
荷载势能: U P Pl

2 U U P 1 ( k Pl ) 2
应用势能驻值条件:
k 位移有非零解则: P l
d 0,得:(k Pl) 0 d
θ
EI=∞
A
势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件. k 但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种， 要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载 之间的关系。
MA=kθ
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l
讨论：上例中总势能为
2 U U P 1 ( k Pl ) 2
对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值
1）P<k/l ，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定）
(即U>UP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)
当θ=0，Π为极小值0。 2）P>k/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定）
中心受压（无初偏心）。
直线平衡状态是稳定的，微弯平衡 状态是不稳定的。 直线平衡状态是不稳定的，微弯平 衡状态是稳定的。
P2>Pcr-----P 1<Pcr P 2 >Pcr
C Ⅰ(不稳定)
P
Ⅱ(大挠度理论)
D
Ⅱ(小挠度理论)
P2
B
l/2
Pcr P1
l/2
A
Ⅰ(稳定)
D´ Δ
Δ
O
分支点B之前直线平衡是稳定的，侧向干扰力解除后直线平衡 是唯一的平衡形式。分支点B之后微弯平衡是稳定的，直线平衡 是可能的但不稳定，小挠度结果位移可任意是不真实的，但由 其计算的临界载荷仍有实际意义。在分支点B原始直线平衡由稳 定转变为不稳定。
3k k P2 , Pcr P 1 l l
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用能量法求图示体 系的临界荷载。 EI=∞ •两个自由度，取△ 1 △ 2 A 为位移参数，设失稳曲 线如图。 •求变形能和外力势能：
1 2 ) k(
B’
2
3 2 ) k(
2
C’
1
1
3
C
P D
l
B
l
l
1 1 2 2 1 1 2 2 1 , 2 , 3 U k (1 2 ) k ( 3 2 ) l l l 2 2 P 2 k 2 2 U P Pl (1 22 (1 2 ) 2 ) (21 2 ) (2 2 1 ) 2l 2 P 2 k 2 2 2 2 ( ( ) ) ( ) ( ) U UP 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2l 2 0 (5kl 2 P )1 ( P 4kl ) 2 0 1 •由位移参数不全为 零得稳定方程： 0 ( P 4kl )1 (5kl 2 P ) 2 0 2 k 3k k 5kl 2P P 4kl 解得： P P2 , Pcr P 0 1 1 l l l P 4kl 5kl 2P
(即U<UP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。
当θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。 3）P=k/l ，当θ为任意值时，Π恒等于零(即U=UP) 。 体系处 于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l 。 P<PcrΠ P=Pcr Π P>Pcr Π θ θ θ 结构有使其总势能向较小的方向发展的趋势
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例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方 法求其临界荷载。 A -1C 解：1）静力法 •设变形状态 求支座反力 M B 0 Y A
M C 0 YD
B
D P
1 l
A
k
k
l y1
k
l y2
k D
λ
P
B左
C右
YA=Py1/l
B
C
•列变形状态 的平衡方程 Py1 (kl 2P) y1 Py2 0 )2l Py2 0 M C 0 ky1l ( l C左 Py1 (kl 2P) y2 0 Py2 )2l Py1 0 M B 0 ky2l ( l B右 kl 如果系数行列式 • 如果系数行列式 ≠=0 0 kl 2 P 2 P P Pcr 2 0 3 (kl 2P) P 0 y1，y2不为零，对应 为零，对应 P kl 2P P kl 原始平衡形式。 新的平衡形式。
l l l cos 2l sin
l l ( )
*
1 2 1 2 2 2 2 •D点的水平位移 \l [ y1 ( y 2 y1 ) y 2 ] ( y1 y1 y 2 y 2 ) 2l l
能量法步骤: P 2 2 k 2 2 l U P ( y y y y ①给出新的平衡形式 ;②写出 1 1 2 2) P U ( y1 y 2 ) l总势能表达式;③建立势能驻 2 1 2 2 U UP [( kl 2 P ) y1 ;④应用位移有非零解 2 Py1 y 2 ( kl 2 P ) y 2 ] 值条件 •体系总势能: 2l 的条件 ,得出特征方程 ; ⑤解 2 P) •势能驻 ( kl y Py 0 1 2 0, 0 出特征值 , 其中最小的即临界 值条件: y ( kl 2 P ) y 2 0 Py y 1 1 2 •以后的计算步骤同静力法
Hale Waihona Puke Baidu



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§16-3
弹性压杆的稳定——静力法
先对变形状态建立平衡方程，然后根据非0变形要求
静力法的解题思路:
建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。
不同的是，平衡方程是 1、等截面压杆
弹性曲线微分方程：
代数方程（有限自由度体系） 微分方程（无限自由度体系）
P
EIy ( Py Rx) M Py Rx R P 通解：y Acosx Bsinx x 2 EI P R x 0, y 0, A 0. B sin l l 0 边界条件： P x l , y 0, y 0. R B cosl 0 P
荷载Pcr。
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•弹性支座应变能: •荷载势能:
1 2 , 2 1 , 3 2 l l l k C D : M C P 2 k ( 3 2 ) P 2 (2 2 1 ) 0 0 l k k 1 ( P 2 ) 2 0 (1) l l k AB : M B P1 k (1 2 ) P1 (21 2 ) 0 0 l k k ( P 2 )1 2 0 (2) k l P 2k l l l 0 P 2k l k l •由位移参数不全为零得稳定方程：
衡形式的二重性，在原始平衡路径之外寻找新的平衡 路径，确定分支点，由此求临界荷载。 EI=∞ θ 转动刚 度系数k A k
Pl 0 0 k A ( Pl M k ) ( Pl k ) 0 k
Pcr
θ=0，原始平衡 θ≠0，新平衡形式
临界荷载
l
Pl k 0
特征方程（稳定方程）
例2：用静力法求图示体 系的临界荷载。EI=∞ •两个自由度，取△1 △ 2 A 为位移参数，设失稳曲 线如图。 •分析受力列平衡方程： 整体： M A 0 RD 0
1 2 ) k(
B’
2
3 2 ) k(
2
C’
1
1
3
C
P
l
B
l
1
l
D
k 解得： P 1 l