上海高中数学公式口诀汇总

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上海高中数学公式总结大全

上海高中数学公式总结大全

上海高中数学公式总结大全摘要:一、引言二、上海高中数学公式概述1.数学分析2.高等数学3.概率论与数理统计4.线性代数5.数学建模三、数学分析公式1.极限2.导数与微分3.积分四、高等数学公式1.微分方程2.多元函数微分学3.多元函数积分学五、概率论与数理统计公式1.概率分布2.随机变量3.假设检验六、线性代数公式1.矩阵运算2.线性方程组3.特征值与特征向量七、数学建模公式1.模型建立2.模型求解3.模型评价与优化八、结论正文:一、引言在上海高中数学学习中,数学公式起着至关重要的作用。

为了帮助同学们更好地掌握这些公式,本文对上海高中数学公式进行了总结,涵盖了数学分析、高等数学、概率论与数理统计、线性代数以及数学建模等五个方面。

希望同学们能够通过本文,提高自己的数学学习效率,取得更好的成绩。

二、上海高中数学公式概述1.数学分析数学分析是研究函数、极限、连续、微分、积分等概念及其性质的学科。

在上海高中数学课程中,数学分析部分的公式主要包括:(1)极限公式(2)导数与微分公式(3)积分公式2.高等数学高等数学是数学的重要分支,主要包括微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学等内容。

在上海高中数学课程中,高等数学部分的公式主要包括:(1)微分方程公式(2)多元函数微分学公式(3)多元函数积分学公式3.概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的学科。

在上海高中数学课程中,概率论与数理统计部分的公式主要包括:(1)概率分布公式(2)随机变量公式(3)假设检验公式4.线性代数线性代数是研究向量、矩阵、线性方程组等概念的学科。

在上海高中数学课程中,线性代数部分的公式主要包括:(1)矩阵运算公式(2)线性方程组公式(3)特征值与特征向量公式5.数学建模数学建模是运用数学方法解决实际问题的学科。

在上海高中数学课程中,数学建模部分的公式主要包括:(1)模型建立公式(2)模型求解公式(3)模型评价与优化公式三、结论上海高中数学公式总结大全旨在帮助同学们系统地学习和掌握高中数学公式,提高数学成绩。

高中数学各知识点公式定理记忆的口诀

高中数学各知识点公式定理记忆的口诀

高中数学各知识点公式定理记忆的口诀一、三角函数口诀1. 正弦函数(sin)•角分离原则,短边对斜边;•万有离心率,正弦值相等。

2. 余弦函数(cos)•角分离原则,长边对斜边;•单位圆上右边集,余弦值相等。

3. 正切函数(tan)•角相并原则,短边对长边;•弧度制好好记,切线值很特殊。

4. 余切函数(cot)•角相并原则,长边对短边;•弧度制不可忽,余切值最驰名。

二、平面几何口诀1. 直角三角形•勾股定理,斜边平方等于两腰平方和;•斜边夸腰秀,腰夸斜边薄。

2. 三角形中位线•三位一体,合力使须知;•三位相等时,心中纳须满。

3. 三角形中心•重心离散,重集于一点;•垂心成直角,位于最尖处;•内心心独特,切离连接点;•外接圆集中,交于三点。

4. 计算面积•一斜两底求三角,半底乘上高;•相乘除以二,恰是三角面。

三、函数口诀1. 一次函数•斜率线与图一般,k为常数表示;•横截距表示线性,x为零点定值。

2. 二次函数•抛物线开口,大声呈现;•正负开口说,a为定义数;•零点表情,一二定理。

3. 指数函数•底小指大,结果更大;•底大指小,结果更小;•零次幂表达,答案为一。

4. 对数函数•底数不等于一,结果纳负数;•底数大于一,结果增大;•底数在零一之间,结果减小。

四、概率与统计口诀1. 排列•排列之秘,A(n, k);•n个不同数,取k个全排列。

2. 组合•组合之密,C(n, k);•n个不同数,取k个无序排列。

3. 随机事件•如实,把事实说清楚;•可和,求并把分情况。

4. 条件概率•乘法做,定义是元素;•全概率,分类找相同。

5. 期望•期待其,乘以概率求;•如此则,累加其结果。

五、导数与积分口诀1. 基本函数的导数•幂函数求导,幂降一,系数要乘;•对数函数求导,除原函数乘导。

2. 基本函数的积分•幂函数积分,幂升一,系数要乘;•对数函数积分,原函数除导。

3. 牛顿-莱布尼茨公式•定积分谁握,不论上界下界;•上去下回,为积分加上负号。

沪高考知识点公式总结

沪高考知识点公式总结

沪高考知识点公式总结
一、数学
1. 几何公式
(1)三角形面积公式:S = a*b*sinC/2
(2)三角形周长公式:P = a+b+c
(3)矩形面积公式:S = l*w
(4)圆周长公式:C = 2*π*r
(5)圆面积公式:S = π*r*r
2. 代数公式
(1)二次方程求根公式:x = (-b±√(b²-4ac))/(2a) (2)直线斜率公式:k = (y2-y1)/(x2-x1)
(3)直线方程公式:y = kx+b
3. 统计学公式
(1)均值公式:μ = Σx/n
(2)方差公式:Σ(x-μ)²/n
(3)标准差公式:√(Σ(x-μ)²/n)
二、物理
1. 力学公式
(1)牛顿第一定律:F = ma
(2)牛顿第二定律:F = dp/dt
(3)牛顿第三定律:F1 = -F2
2. 动力学公式
(1)速度公式:v = x/t
(2)加速度公式:a = Δv/Δt
(3)牛顿运动定律:F = ma
三、化学
1. 化学平衡公式
(1)动态平衡常数公式:Kc = [C]c/[A]a[B]b
(2)平衡常数公式:K = e^(-ΔG/RT)
(3)反应速率常数公式:k = Ae^(-Ea/RT)
2. 化学反应公式
(1)原子分子量公式:M = Σ(ni*mi)
(2)摩尔浓度公式:c = n/V
(3)摩尔体积公式:V = V/n
总结:上海高考数学、物理、化学知识点公式主要包括几何公式、代数公式、统计学公式、力学公式、动力学公式、化学平衡公式和化学反应公式,掌握这些公式对于高考的考试非
常重要。

高中数学知识点记忆口诀

高中数学知识点记忆口诀

高中数学知识点记忆口诀高中数学知识点记忆口诀如下:一、数学思想方法总论中学数学一线牵,代数几何两珠连;三个基本记心间,四种能力非等闲。

常规五法天天练,策略六项时时变,精研数学七思想,诱思导学乐无边。

一线:函数一条主线(贯穿教材始终)二珠:代数、几何珠联璧合(注重知识交汇)三基:方法(熟)知识(牢)技能(巧)四能力:概念运算(准确)、逻辑推理(严谨)、空间想象(丰富)、分解问题(灵活)五法:换元法、配方法、待定系数法、分析法、归纳法。

六策略:以简驭繁,正难则反,以退为进,化异为同,移花接木,以静思动。

七思想:函数方程最重要,分类整合常用到,数形结合千般好,化归转化离不了;有限自将无限描,或然终被必然表,特殊一般多辨证,知识交汇步步高。

二、数学知识方法分论集合与逻辑集合逻辑互表里,子交并补归全集。

对错难知开语句,是非分明即命题; 纵横交错原否逆,充分必要四关系。

真非假时假非真,或真且假运算奇。

函数与数列数列函数子母胎,等差等比自成排。

数列求和几多法?通项递推思路开; 变量分离无好坏,函数复合有内外。

同增异减定单调,区间挖隐最值来。

三角函数三角定义比值生,弧度互化实数融; 同角三类善诱导,和差倍半巧变通。

解前若能三平衡,解后便有一脉承; 角值计算大化小,弦切相逢异化同。

方程与不等式函数方程不等根,常使参数范围生; 一正二定三相等,均值定理最值成。

参数不定比大小,两式不同三法证; 等与不等无绝对,变量分离方有恒。

解析几何联立方程解交点,设而不求巧判别; 韦达定理表弦长,斜率转化过中点。

选参建模求轨迹,曲线对称找距离; 动点相关归定义,动中求静助解析。

立体几何多点共线两面交,多线共面一法巧; 空间三垂优弦大,球面两点劣弧小。

线线关系线面找,面面成角线线表; 等积转化连射影,能割善补架通桥。

排列与组合分步则乘分类加,欲邻需捆欲隔插; 有序则排无序组,正难则反排除它。

元素重复连乘法,特元特位你先拿; 平均分组阶乘除,多元少位我当家。

高中数学口诀

高中数学口诀

高中数学口诀高中数学口诀一、代数基础口诀:1. 二次方程求根公式:delta = b^2 - 4ac, x = (-b ± √delta) / 2a。

2. 一元二次方程的解:两根相等,delta = 0,两根相反,delta > 0,无解,delta < 0。

3. 四则运算优先顺序:括号,乘除,加减。

4. 和差化积:(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。

5. 因式分解基本公式:a² - b² = (a + b)(a - b)。

二、函数与图像口诀:1. 一次函数的图像:y = kx + b,直线斜率为k,截距为b。

2. 幂函数“开口”:幂指数为正的开口向上,为负的开口向下。

3. 对称轴分析:二次函数的对称轴公式,x = -b /(2a)。

4. 函数图像平移:y = f(x ± a),横向右移a单位,纵向上移a单位。

5. 一次函数与一次函数相交,解得交点;一次函数与二次函数相交,解二次方程。

三、解三角函数口诀:1. 正弦函数正比例,余弦函数余比例,正割函数倒正弦,余割函数倒余弦,负弦余切亦是然。

2. 正弦余弦周期为2π,正切余切周期为π。

3. 锐角三角函数值,必然均在0到1之间;钝角正切值,以后再求再思量。

4. 归一化:将角度转为弧度,范围在[-π, π]之间。

5. 三角函数关系:tan = sin / cos,cot = cos / sin。

四、几何基础口诀:1. 三角形的外角和等于360°,内角和等于180°。

2. 同位角、内错角、同旁内角,两对角相等。

3. 正弦定理:a / sinA = b / sinB = c / sinC。

4. 余弦定理:c² = a² + b² - 2ab*cosC。

5. 平行线相交定理:同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

上海高中高考数学所有公式汇总

上海高中高考数学所有公式汇总

上海高考高三数学所有公式汇总集合命题不等式公式1、()U C A B ⋂=_____U U C A C B ⋃____;()U C A B ⋃=_____U U C A C B ⋂______。

2、A B A ⋂=⇔__A B ⊆___;A B B ⋃=⇔__A B ⊆__;U U C B C A ⊆⇔__A B ⊆___; U A C B ⋂=∅⇔____A B ⊆____;U C A B U ⋃=⇔______A B ⊆_____。

3、含n 个元素的集合有:__2n __个子集,__21n -__个真子集,__21n -__个非空子集,__22n -__个非空真子集。

4、常见结论的否定形式__原命题______逆否命题______否命题____与____逆命题___互为等价命题。

6、若p q ⇒,则p 是q 的___充分____条件;q 是p 的____必要____条件。

7、基本不等式:(1)R b a ∈,:________222a b ab +≥_____________等且仅当b a =时取等号。

(2)+∈R b a ,:__________a b +≥__________等且仅当b a =时取等号。

(3)绝对值的不等式:__________||||||||||||a b a b a b -≤±≤+_________ 8、均值不等式:+∈R b a ,时,_______211a b+______≤_____≤___2a b +___≤____等且仅当b a =时取等号。

9、分式不等式:()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩ ()0()f x g x ≤⇔()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩10、绝对值不等式: |()|(0)____()()________________f x a a f x a f x a >>⇔<->或 11、指、对数不等式: (1)1>a 时:()()_____()()_______log ()log ()_______0()()________f xg x a a a a f x g x f x g x f x g x <⇔<<⇔<<(2)10<<a 时:()()______()()________log ()log ()______()()0________f xg x a a a a f x g x f x g x f x g x <⇔><⇔>>函数公式1、函数)(x f y =的图象与直线a x =交点的个数为 1 个2、一元二次函数解析式的三种形式:一般式:2(0)y ax bx c a =++≠__;顶点式:224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠_; 零点式:____((0)y a x x a =-≠___________。

高中数学常用口诀

高中数学常用口诀

高中数学常用口诀
在学习高中数学的过程中,口诀是帮助我们记忆公式和定理的有效
方法。

下面列举了一些高中数学常用口诀,希望对大家的学习有所帮助:
一、三角函数口诀:
1.正弦余弦皆与角,正比负比循规矩。

2.正负所在那一限,正弦正切是正的。

3.根号三只友正弦,二的根号二友余弦。

二、圆的口诀:
1.圆周率尺规法,一圆项。

千千根号重:π=3.14159,记忆个不轻。

2.弧长弧度两相邻,三点为圆中间驻,角度琴键弦用好,角度度数
对应着。

3.圆周角邻直角,同弦近圆交。

外切内稳势精顾,辅角对顶三逢亲。

三、平面几何口诀:
1.同类三角相似法,列比率哥达刮拉。

相似方幅求来比,等比等品
君得跟。

2.圆的曲面独一元,求面积头一招君。

高下残积主罕省,内长径尔
再添。

四、导数与微分口诀:
1.函数雏形列惯例,导则吾友以求之。

增长差变须记证,指事牵牛开辟门。

2.多项减副主法兰,微分为证铺金殿。

商显骤忽元幡摇,商商商手绕十课。

以上是一些高中数学常用口诀,希望同学们在学习数学的过程中能够加以运用,提升记忆效率,轻松掌握知识。

数学公式顺口溜高中

数学公式顺口溜高中

数学公式顺口溜高中
一元二次方程求根法,负b加减根号b平方,除以二a可得解。

三角函数正弦余弦,正切余切,割和余割,联立解三角形。

数列通项公式,递推公式灵活用,求和公式记牢牢,一看就知道。

排列组合基础知,阶乘乘积慢慢推,重复排列有公式,求组合靠计算。

函数图像画得好,一阶导数速求导,二阶导数画凸凹,极值定理又出手。

立体几何分三维,体积表面都要会,平行面距离求,交线交角别忘记。

微积分求极限,定义法或夹逼,导数求斜率,一定要掌握好。

以上是数学公式,记住顺口溜,高中考试轻松通过,数学学习快速进步。

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[上海高中数学公式]上海高考数学公式大全

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[上海高中数学公式]上海高考数学公式大全[上海高中数学公式]上海高考数学公式大全高中的数学公式定理大集中三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系:平方关系:tan α ²cotα=1sin α ²cscα=1cos α ²secα=1 sinα/cosα=tan α=sec α/cscαcos α/sinα=cot α=csc α/secα sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α(六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”)诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。

)sin (-α)=-sin αcos (-α)=cos α tan(-α)=-tan αcot (-α)=-cot αsin (π/2-α)=cos αcos (π/2-α)=sin αtan (π/2-α)=cot αcot (π/2-α)=tan αsin (π/2+α)=cos αcos (π/2+α)=-sin αtan (π/2+α)=-cot αcot (π/2+α)=-tan αsin (π-α)=sin αcos (π-α)=-cos αtan (π-α)=-tan αcot (π-α)=-cot αsin (π+α)=-sin αcos (π+α)=-cos αtan (π+α)=tan αcot (π+α)=cot αsin (3π/2-α)=-cos αcos (3π/2-α)=-sin αtan (3π/2-α)=cot αcot (3π/2-α)=tan αsin (3π/2+α)=-cos αcos (3π/2+α)=sin αtan (3π/2+α)=-cot αcot (3π/2+α)=-tan αsin (2π-α)=-sin αcos (2π-α)=cos αtan (2π-α)=-tan αcot (2π-α)=-cot αsin (2k π+α)=sin αcos (2k π+α)=cos αtan (2k π+α)=tan αcot (2k π+α)=cot α(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin (α-β)=sin αcos β-cos αsin βcos (α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos (α-β)=cos αcos β+sin αsin βtan α+tan βtan (α+β)=——————1-tan α ²tanβtan α-tan βtan (α-β)=——————1+tan α ²tanβ2tan(α/2)sin α=——————1+tan2(α/2)1-tan2(α/2)cos α=——————1+tan2(α/2)2tan(α/2)tan α=——————1-tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sin αcos αcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α2tan αtan2α=—————1-tan2αsin3α=3sin α-4sin3αcos3α=4cos3α-3cos α3tan α-tan3αtan3α=——————1-3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α+β α-βsin α+sin β=2sin ———²cos———2 2α+β α-βsin α-sin β=2cos ———²sin———2 2α+β α-βcos α+cos β=2cos ———²cos———2 2α+β α-βcos α-cos β=-2sin ———²sin———2 2 1sin α ²cosβ=-[sin(α+β)+sin (α-β)]21cos α ²sinβ=-[sin(α+β)-sin (α-β)]21cos α ²cosβ=-[cos(α+β)+cos (α-β)]21sin α ²sinβ=— -[cos(α+β)-cos (α-β)]2化asin α ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B,记作A BA B,B A A=BA B={x|x∈A,且x∈B}A B={x|x∈A,或x∈B}card (A B)=card (A )+card(B )-card (A B)(1)命题原命题若p 则q逆命题若q 则p否命题若p则q逆否命题若q,则p(2)四种命题的关系(3)A B,A 是B 成立的充分条件B A,A 是B 成立的必要条件A B,A 是B 成立的充要条件函数的性质指数和对数(1)定义域、值域、对应法则(2)单调性对于任意x1,x2∈D若x1<x2 f(x1)<f (x2),称f (x )在D 上是增函数若x1<x2 f(x1)>f (x2),称f (x )在D 上是减函数(3)奇偶性对于函数f (x )的定义域内的任一x ,若f (-x )=f (x ),称f (x )是偶函数若f (-x )=-f (x ),称f (x )是奇函数(4)周期性对于函数f (x )的定义域内的任一x ,若存在常数T ,使得f (x+T)=f(x),则称f (x )是周期函数(1)分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是(2)对数的性质和运算法则loga (MN )=logaM+logaNlogaMn =nlogaM (n∈R)指数函数对数函数(1)y =ax (a >0,a≠1)叫指数函数(2)x∈R,y >0图象经过(0,1)a >1时,x >0,y >1;x <0,0<y <10<a <1时,x >0,0<y <1;x <0,y >1a >1时,y =ax 是增函数0<a <1时,y =ax 是减函数(1)y =logax (a >0,a≠1)叫对数函数(2)x >0,y∈R图象经过(1,0)a >1时,x >1,y >0;0<x <1,y <00<a <1时,x >1,y <0;0<x <1,y >0a >1时,y =logax 是增函数0<a <1时,y =logax 是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)=b f(x )=ab (a >0,a≠1)同底型logaf (x )=logag (x )f(x )=g (x )>0(a >0,a≠1)换元型f(ax )=0或f (logax)=0数列数列的基本概念等差数列(1)数列的通项公式an =f (n )(2)数列的递推公式(3)数列的通项公式与前n 项和的关系an+1-an =dan =a1+(n -1)da ,A ,b 成等差2A=a+bm+n=k+l am+an=ak+al等比数列常用求和公式an =a1qn _1a ,G ,b 成等比G2=abm+n=k+l aman=akal不等式不等式的基本性质重要不等式a >b b<aa >b ,b >c a>ca >b a+c>b+ca+b>c a>c -ba >b ,c >d a+c>b+da >b ,c >0 ac>bca >b ,c <0 ac<bca >b >0,c >d >0 ac<bda >b >0 dn>bn (n∈Z,n >1)a >b >0 >(n∈Z,n >1)(a -b )2≥0a ,b∈R a2+b2≥2ab|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法(1)要证明不等式a >b (或a <b ),只需证明a -b >0(或a -b <0=即可(2)若b >0,要证a >b ,只需证明,要证a <b ,只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式(由因导果)的方法。

高中数学公式口诀大全

高中数学公式口诀大全

高中数学公式口诀大全4、两数列,通项公式n项和。

两个有限求极限,四则运算顺序换。

数列问题多变幻,方程化归整体算。

数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。

归纳思想非常好,编个程序好思考:一算二看三联想,猜测证明不可少。

还有数学归纳法,证明步骤程序化:首先验证再假定,从k向着k加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。

五、复数虚数单位i一出,数集扩大到复数。

一个复数一对数,横纵坐标实虚部。

对应复平面上点,原点与它连成箭。

箭杆与x轴正向,所成便是辐角度。

箭杆的长即是模,常将数形来结合。

代数几何三角式,相互转化试一试。

代数运算的实质,有i多项式运算。

i的正整数次慕,四个数值周期现。

一些重要的结论,熟记巧5、用得结果。

虚实互化本领大,复数相等来转化。

利用方程思想解,注意整体代换术。

几何运算图上看,加法平行四边形,减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。

三角形式的运算,须将辐角和模辨。

利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。

辐角运算很奇特,和差是由积商得。

四条性质离不得,相等和模与共轭,两个不会为实数,比较大小要不得。

复数实数很密切,须注意本质区别。

六、排列、组合、二项式定理加法乘法两原理,贯穿始终的法则。

与序无关是组合,要求有序是排列。

两个公式两性质,两种思想和方法。

归纳出排列组合,应用问题须转化。

排列组合在一起,先选后排是常理。

特殊元素和位置,首先注意多考虑。

不重不漏多思考,捆绑6、插空是技巧。

排列组合恒等式,定义证明建模试。

关于二项式定理,中国杨辉三角形。

两条性质两公式,函数赋值变换式。

七、立体几何点线面三位一体,柱锥台球为代表。

距离都从点出发,角度皆为线线成。

垂直平行是重点,证明须弄清概念。

线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求,化归意识动割补。

计算之前须证明,画好移出的图形。

立体几何辅助线,常用垂线和平面。

射影概念很重要,对于解题最关键。

异面直线二面角,体积射影公式活。

高中数学知识点顺口溜总结

高中数学知识点顺口溜总结

高中数学知识点顺口溜总结一、数与代数整数分数与小数,正负相乘记心间。

有理无理数分清,平方根号要辨。

一元一次方程解,ax+b=c看。

二元一次解无数,消元法用得欢。

不等式链要排序,同大取较大,同小取较小。

二、函数与图像函数关系y随x,定义域内任意行。

一次函数斜率k,截距b上加。

二次函数抛物线,顶点式求最值。

指数对数变换间,底数非一记心田。

三角函数正余弦,周期变化记循环。

单位圆上点分析,和角差角要分辨。

三、几何与测量直线射线与线段,两点距离公式。

平行相交线段比,相似三角形来解。

圆的性质圆周角,直径直角记心上。

面积体积公式多,长宽高半径要量。

空间几何立体形,体积表面积要算。

四、概率与统计概率事件可能性,加法乘法法则用。

树状图列事件,排列组合要分清。

平均数中位数,众数模式要了解。

频率分布直方图,数据分析要准确。

五、三角函数正弦余弦正切,三角比值记心间。

同角三角关系式,平方和公式要熟练。

三角函数图像,周期振幅要掌握。

解三角形问题,边角关系要运用。

六、数列与数学归纳法等差等比数列中,通项公式要记清。

求和公式用得当,数列问题不难解。

数学归纳法证明,步骤严谨逻辑明。

假设n=k成立,推导n=k+1要细心。

七、解析几何坐标系中点线面,距离公式记心田。

圆的方程标准形,中心半径要分辨。

直线方程点斜式,截距式要考虑。

椭圆双曲线抛物线,方程特征要记全。

八、微积分入门导数定义要理解,极限过程要掌握。

函数变化率求导,切线斜率由此得。

不定积分求原函数,微分方程解实际。

定积分求面积,几何意义要明确。

微分方程解运动,物理背景要结合。

九、复数与矩阵复数单位i记,平方根号记心间。

模长辐角要理解,复平面上表示。

矩阵运算加乘法,行列式性质要掌握。

线性方程组解,矩阵表示要熟练。

十、数学思维与方法数学思维逻辑性,证明推理要严谨。

归纳演绎方法用,解题思路要清晰。

数学方法多样化,建模求解要灵活。

数学之美在探索,不断学习是关键。

通过这些顺口溜,我们可以将高中数学的主要知识点进行一个简洁而有趣的回顾。

上海高中高考数学所有公式汇总

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上海高中高考数学所有公式汇总1.一次函数:- 一次函数的标准方程:y = kx + b-两点确定一次函数的方程:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)-一次函数的斜率:k=(y2-y1)/(x2-x1)- 一次函数的截距:b = y - kx2.二次函数:- 二次函数的标准方程:y = ax^2 + bx + c-二次函数的顶点坐标:(h,k),其中,h=-b/(2a),k=c-b^2/(4a) -二次函数的对称轴方程:x=-b/(2a)- 二次函数的判别式:Δ = b^2 - 4ac-如果Δ>0,则二次函数有两个不同的实数根;-如果Δ=0,则二次函数有一个重根;-如果Δ<0,二次函数没有实数根。

3.平面向量:-向量的坐标表示:AB=(x2-x1,y2-y1)-向量共线性判断:若PA=kPB,则向量PA与向量PB共线-向量的模长计算:,AB,=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)- 向量的数量积:AB · AC = ,AB,,AC,cosθ其中,θ为AB与AC之间的夹角。

4.三角函数:- 任意角的正弦定理:a/sinA = b/sinB = c/sinC-直角三角形的勾股定理:c^2=a^2+b^2- 任意角的余弦定理:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC - 任意角的正弦函数:sinA = 对边/斜边- 任意角的余弦函数:cosA = 邻边/斜边- 任意角的正切函数:tanA = 对边/邻边5.等差数列:-等差数列的通项公式:an = a1 + (n - 1)d-等差数列的前n项和:Sn = (a1 + an)n/2-等差数列的公差:d=a2-a16.等比数列:-等比数列的通项公式:an = a1 * q^(n - 1)-等比数列的前n项和:Sn=a1(q^n-1)/(q-1)-等比数列的公比:q=a2/a17.数据处理:-平均数的计算:平均数=总和/数量-中位数的计算:将数据从小到大排列,找出中间的数,若数据有偶数个,则取中间两个数的均值作为中位数。

高中数学口诀大全高中数学知识顺口溜

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高中数学口诀大全高中数学知识顺口溜数学本来就是内容多、知识点多、公式多,知识交叉综合。

为了让同学们更好的、更高效的复习高中数学知识,小编今天整理了《高中数学口诀大全高中数学知识顺口溜》,供大家参考!高中数学必修一知识结构图如何从数学学渣逆袭成数学学霸?学霸支招:如何提高高三数学成绩高中文科数学公式大全高中数学口诀一、《集合与函数》内容子交并补集,还有幂指对函数。

性质奇偶与增减,观察图象最明显。

复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。

指数与对数函数,两者互为反函数。

底数非1的正数,1两边增减变故。

函数定义域好求。

分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。

两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。

幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。

高中数学口诀二、《三角函数》三角函数是函数,象限符号坐标注。

函数图象单位圆,周期奇偶增减现。

同角关系很重要,化简证明都需要。

正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任意一函数,等于后面两根除。

诱导公式就是好,负化正后大化小,变成税角好查表,化简证明少不了。

二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。

两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。

和差化积须同名,互余角度变名称。

计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。

逆反原则作指导,升幂降次和差积。

条件等式的证明,方程思想指路明。

万能公式不一般,化为有理式居先。

公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1 减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集;高中数学口诀三、《不等式》解不等式的途径,利用函数的性质。

高中数学必背公式大全高中数学公式定理记忆口诀

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高中数学必背公式大全高中数学公式定理记忆口诀高中数学必背公式大全高中数学公式定理记忆口诀。

数学记忆不清的同学、喜欢诗词的同学有福气啦,对仗整齐的数学公式记忆口诀,保证让你背的顺口、考的顺利。

一、高中数学公式定理记忆口诀不等式解不等式的途径,利用函数的性质。

对指无理不等式,化为有理不等式。

高次向着低次代,步步转化要等价。

数形之间互转化,帮助解答作用大。

证不等式的方法,实数性质威力大。

求差与0比大小,作商和1争高下。

直接困难分析好,思路清晰综合法。

非负常用基本式,正面难则反证法。

还有重要不等式,以及数学归纳法。

图形函数来帮助,画图建模构造法。

二、高中数学公式定理记忆口诀数列等差等比两数列,通项公式N项和。

两个有限求极限,四则运算顺序换。

数列问题多变幻,方程化归整体算。

数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。

归纳思想非常好,编个程序好思考:一算二看三联想,猜测证明不可少。

还有数学归纳法,证明步骤程序化:首先验证再假定,从K向着K加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。

三、高中数学公式定理记忆口诀立体几何点线面三位一体,柱锥台球为代表。

距离都从点出发,角度皆为线线成。

垂直平行是重点,证明须弄清概念。

线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求,化归意识动割补。

计算之前须证明,画好移出的图形。

立体几何辅助线,常用垂线和平面。

射影概念很重要,对于解题最关键。

异面直线二面角,体积射影公式活。

公理性质三垂线,解决问题一大片。

四、高中数学公式定理记忆口诀平面解析几何有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。

笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者-一来对应,开创几何新途径。

两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。

三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。

四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。

解析几何是几何,得意忘形学不活。

高中数学知识点总结顺口溜

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高中数学知识点总结顺口溜
一元一次方程式,线性问题基础篇;
未知数中找平衡,等式两边同运算。

二次方程求根法,韦达定理记心间;
公式法或因式分解,两个解里探真理。

不等式组求解集,大小关系排顺序;
同大取大同小小,大小不一找中间。

函数概念多变化,定义域内任变换;
值域映射有法则,函数图像助理解。

一次函数斜截式,直线方程好描绘;
斜率截距是关键,两轴截距分清楚。

二次函数抛物线,顶点式间关系密;
开口方向看系数,对称轴上最值求。

指数函数增长快,底数大于一是关键;
对数函数互为反,换底公式要牢记。

三角函数正余弦,单位圆上波动寻;
周期振幅和相位,辅助角公式用。

平面几何点线面,基本性质要掌握;
圆的性质最典型,直径定理记心间。

立体几何体积求,长宽高和半径;
锥台球体公式异,积分法来求精确。

概率统计分析法,随机事件分类型;加法乘法两原理,条件概率要分清。

数列概念项排列,等差等比是基础;通项公式求和律,数列极限思无界。

向量概念有方向,大小相加遵法则;数量积和向量积,平行垂直有判断。

矩阵运算符排列,行列式值关键;
逆矩阵解线性,初等变换来帮助。

以上知识点要记牢,高中数学基础好;勤练习多思考,解题技巧自会高。

上海高中数学公式大全

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高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n–1个;非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得,具体如下:(1)当a>0时,若[]q p a bx ,2∈-=,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=; []q p abx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时,若[]q p a b x ,2∈-=,则{}min ()min (),()f x f p f q =,若[]q p abx ,2∉-=,则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(,则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩;(2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩; (3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题15.充要条件(1)充分条件:若p q ⇒,则p 是q 充分条件.(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件.(3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 是q 充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.19.若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26.互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2)0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f , 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ; (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a ; (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期T=4a ;(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ; (6))()()(a x f x f a x f +-=+,则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =(0,,a m n N *>∈,且1n >). (2)1m nm naa-=(0,,a m n N *>∈,且1n >).31.根式的性质(1)na =.(2)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32.有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注: 若a >0,p 是一个无理数,则a p 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35.对数的四则运算法则若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ,且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数., (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>,0p >,0a >,且1a ≠,则 (1)log ()log m p m n p n ++<. (2)2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩;其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44.常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+,x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+,x ∈R(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期2T πω=;函数tan()y x ωϕ=+,,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理 (1)111222a b c S ah bh ch ===(a b c h h h 、、分别表示a、b 、c 边上的高).(2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. (3)22(||||)()OABS OA OB OA OB ∆=⋅-⋅. 54.三角形内角和定理在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律:(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律: (1) a ·b= b ·a (交换律); (2)(λa )·b= λ(a ·b )=λa ·b = a ·(λb ); (3)(a +b )·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e 1+λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ. 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A B d=||AB AB AB =⋅=11(,)x y ,B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-(11t λ=+). 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且'PP 的坐标为(,)h k . 69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则(1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. (2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.(3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. (4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. (5)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式:(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号).(2),a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a =b 时取“=”号). (3)3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>(4)柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈(5)b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数,则有(1)若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+ (1)若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大; 当||y x -最小时,||y x +最小.(2)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小; 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->,如果a 与2ax bx c ++同号,则其解集在两根之外;如果a 与2ax bx c ++异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<;121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 (1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.(22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.(32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠; ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=;80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2π. 82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.(2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=,则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是:若0B ≠,当B 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的上方的区域;当B 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =,当A 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的右方的区域;当A 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A A B B ≠),则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是: 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分; 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.(2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.(4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数.(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数.(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数.88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=.①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线.(2)已知圆222x y r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=,)(22x ca e PF -=.94.椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. (2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+,22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程:22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222by a x (0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上).99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ,其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-;(3)准线方程是2414ac b y a--=. 103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-(弦端点A ),(),,(2211y xB y x ,由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率).107.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. (2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=,用0x x 代2x ,用0y y 代2y ,用002x y xy +代xy ,用02x x +代x ,用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直.112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a +b =b +a .(2)加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ). (3)数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb .116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb .P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+. 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+, 或对空间任一定点O ,有序实数对,x y ,使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,满足OP xOA yOB zOC =++(x y z k ++=),则当1k =时,对于空间任一点O ,总有P 、A 、B 、C 四点共面;当1k ≠时,若O ∈平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点共面;若O ∉平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点不共面.C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++(O ∉平面ABC ).120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p =x a +y b +z c .推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数x ,y ,z ,使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ,作B 点在l 上的射影'B ,则''||cos A B AB =〈a ,e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b 则 (1)a +b =112233(,,)a b a b a b +++; (2)a -b =112233(,,)a b a b a b ---; (3)λa =123(,,)a a a λλλ (λ∈R); (4)a ·b =112233a b a b a b ++; 123.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124.空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩;a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b ,则 cos 〈a ,b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++,此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127.异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+(其中θ(090θ<≤)为异面直线a b ,所成角,,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量)128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角,则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角,则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-(m ,n 为平面α,β的法向量).132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线,且BC ⊥AC ,垂足为C ,又设AO 与AB 所成的角为1θ,AB 与AC 所成的角为2θ,AO 与AC 所成的角为θ.则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ,则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上,直线l 的方向向量a =PA ,向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点,d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=(n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈). 138.异面直线上两点距离公式22cos d mn θ=.',d EA AF =.d =('E AA F ϕ=--).(两条异面直线a 、b 所成的角为θ,其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ,'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、,夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ,它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143.作截面的依据三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形,则面数F 与棱数E 的关系:12E nF =;(2)若每个顶点引出的棱数为m ,则顶点数V 与棱数E 的关系:12E mV =. 146.球的半径是R ,则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=.147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a,. 148.柱体、锥体的体积13V Sh =柱体(S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).13V Sh =锥体(S 是锥体的底面积、h 是锥体的高).149.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++. 150.分步计数原理(乘法原理) 12n N m m m =⨯⨯⨯. 151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =!!)(m n n -.(n ,m ∈N *,且m n ≤).注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1)1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1mmn n n A A n m -=-; (3)11m m n n A nA --=;(4)11n n nn n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -⋅(n ∈N *,m N ∈,且m n ≤).154.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ; (2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式(1)11mm n n n m C C m --+=; (2)1m mn n n C C n m -=-;(3)11mm n n n C C m--=;(4)∑=nr r nC0=n 2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅! .157.单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某(特)元必在某位有11--m n A 种;②某(特)元不在某位有11---m n m n A A (补集思想)1111---=m n n A A (着眼位置)11111----+=m n m m n A A A (着眼元素)种.(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)①定位紧贴:)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴:n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注:此类问题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有k 、h 个(1+≤h k ),把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?当1+>m n 时,无解;当1+≤m n 时,有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列:两组元素有m 个和n 个,各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 158.分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人,各得n 件,其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆,其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. (3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,…,m n 件,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,…,m n 件,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等,则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.(5)(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,m n 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,mn 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等,则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.(7)(限定分组有归属问题)将相异的p (2m p n n n =1+++)个物体分给甲、乙、丙,……等m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得1n 件,乙得2n 件,丙得3n 件,…时,则无论1n ,2n ,…,m n 等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.159.“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!n f n n n =-+-+-. 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为 1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!m m m m ppmm mmf n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++--12341224![1(1)(1)]p m pmm m m mmmp m n n n n nnC C C C C C n A A A A A A =-+-+-+-++-.160.不定方程2n x x x m =1+++的解的个数(1)方程2n x x x m =1+++(,n m N *∈)的正整数解有11m n C --个. (2) 方程2n x x x m =1+++(,n m N *∈)的非负整数解有 11n m n C +--个. (3) 方程2n x x x m =1+++(,n m N *∈)满足条件i x k ≥(k N *∈,21i n ≤≤-)的非负整数解有11(2)(1)mn n k C +----个. (4) 方程2n x x x m =1+++(,n m N *∈)满足条件i x k ≤(k N *∈,21i n ≤≤-)的正整数解有。

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2016上海高一高二数学公式口诀汇总
数学公式是做数学试题的基础,但是数学公式很难记住,将数学公式变成口诀,这样就能很快记住了,下面为大家提供欧高二数学公式口诀,供大家参考。

有理数的加法运算:同号相加一边倒;异号相加“大”减“小”,符号跟着大的跑;绝对值相等“零”正好。

【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

合并同类项:合并同类项,法则不能忘,只求系数和,字母、指数不变样。

去、添括号法则:去括号、添括号,关键看符号,括号前面是正号,去、添括号不变号,括号前面是负号,去、添括号都变号。

恒等变换:两个数字来相减,互换位置最常见,正负只看其指数,奇数变号偶不变。

(a-b)2n1=-(b-a)2n1(a-b)2n=(b-a)2n
平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆。

完全平方:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;首±尾括号带平方,尾项符号随中央。

因式分解:一提(公因式)二套(公式)三分组,细看几项不离谱,两项只用平方差,三项十字相乘法,阵法熟练不马虎,四项仔细看清楚,若有三个平方数(项),就用一三来分组,否则二二去分组,五项、六项更多项,二三、三三试分组,以上若都行不通,拆项、添项看清楚。

“代入”口决:挖去字母换上数(式),数字、字母都保留;换上分数或负数,给它带上小括弧,原括弧内出(现)括弧,逐级向下变括弧(小—中—大)
单项式运算:加、减、乘、除、乘(开)方,三级运算分得清,系数进行同级(运)算,指数运算降级(进)行。

一元一次不等式解题的一般步骤:去分母、去括号,移项时候要变号,同类项、合并好,再把系数来除掉,两边除(以)负数时,不等号改向别忘了。

一元一次不等式组的解集:大大取较大,小小取较小,小大,大小取中间,大小,小大无处找。

一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集:大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。

分式混合运算法则:分式四则运算,顺序乘除加减,乘除同级运算,除法符号须变(乘);乘法进行化简,因式分解在先,分子分母相约,然后再行运算;加减分母需同,分母化积关键;找出最简公分母,通分不是很难;变号必须两处,结果要求最简。

分式方程的解法步骤:同乘最简公分母,化成整式写清楚,求得解后须验根,原(根)留、增(根)舍别含糊。

最简根式的条件:最简根式三条件,号内不把分母含,幂指(数)根指(数)要互质,幂指比根指小一点。

特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;(,),(-,),(-,-)和(,-),四个象限分前后;X轴上y为0,x为0在Y轴。

象限角的平分线:象限角的平分线,坐标特征有特点,一、三横纵都相等,二、四横纵确相反。

平行某轴的直线:平行某轴的直线,点的坐标有讲究,直线平行X轴,纵坐标相等横不同;直线平行于Y轴,点的横坐标仍照旧。

对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号;原点对称最好记,横纵坐标变符号。

自变量的取值范围:分式分母不为零,偶次根下负不行;零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行。

函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k(x0)b、二次函数的解析式写成
y=a(xh)2k的形式,则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。

一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远。

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点,它们确定图象现;开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。

若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。

反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。

图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。

巧记三角函数定义:初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切,它们实际是三角形边的比值,可以把两个字用/隔开,再用下面的一句话记定义:一位不高明的厨子教徒弟杀鱼,说了这么一句话:正对鱼磷(余邻)直刀切。

正:正弦或正切,对:对边即正是对;余:余弦或余弦,邻:邻边即余是邻;切是直角边。

三角函数的增减性:正增余减。

特殊三角函数值记忆:首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3,分子记口诀“123,321,三九二十七”既可。

数字巧记:=1.414(意思意思而已)=1.7321(三人一起商量)=2.236(吾量量山
路)=2.449(粮食是酒)=2.645(二流是我)=2.828(二爸二爸)=3.16(山药,六两)
平行四边形的判定:要证平行四边形,两个条件才能行,一证对边都相等,或证对边都平行,一组对边也可以,必须相等且平行。

对角线,是个宝,互相平分“跑不了”,对角相等也有用,“两组对角”才能成。

梯形问题的辅助线:移动梯形对角线,两腰之和成一线;平行移动一条腰,两腰同在“△”现;延长两腰交一点,“△”中有平行线;作出梯形两高线,矩形显示在眼前;已知腰上一中线,莫忘作出中位线。

添加辅助线歌:辅助线,怎么添?找出规律是关键,题中若有角(平)分线,可向两边作垂线;线段垂直平分线,引向两端把线连,三角形边两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线翻一番。

圆的证明歌:圆的证明不算难,常把半径直径连;有弦可作弦心距,它定垂直平分弦;直径是圆最大弦,直圆周角立上边,它若垂直平分弦,垂径、射影响耳边;还有与圆有关角,勿忘相互有关联,圆周、圆心、弦切角,细找关系把线连。

同弧圆周角相等,证题用它最多见,圆中若有弦切角,夹弧找到就好办;圆有内接四边形,对角互补记心间,外角等于内对角,四边形定内接圆;直角相对或共弦,试试加个辅助圆;若是证题打转转,四点共圆可解难;要想证明圆切线,垂直半径过外端,直线与圆有共点,证垂直来半径连,直线与圆未给点,需证半径作垂线;四边形有内切圆,对边和等是条件;如果遇到圆与圆,弄清位置很关键,两圆相切作公切,两圆相交连公弦。

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