专题27 以形借数——借助图形思考
专题27 以形借数——借助图形思考
七年级数学竞赛专题27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,x y z则9≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即x y z++=。
不妨设x y z可。
【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y 与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
学会使用形解决数学问题
学会使用形解决数学问题数学在我们的生活中扮演着重要的角色，无论是在学校里还是在日常生活中，我们都会遇到各种各样的数学问题。
其中，使用形状来解决数学问题是一种常见而有效的方法。
本文将探讨如何利用形状来解决数学问题，并介绍一些实际应用的例子。
一、使用几何图形几何图形是解决数学问题的有力工具。
首先，我们可以使用几何图形来理解和解决一些空间、形状相关的问题。
例如，在计算体积和表面积时，我们可以利用相关图形的属性来进行计算。
以计算长方体的体积为例，我们可以使用长方体的几何图形来确定其体积公式。
长方体的体积公式为V = lwh，其中l、w、h分别代表长、宽和高。
通过观察长方体的形状，我们可以发现，体积等于底面积与高度的乘积。
这样，我们就能够将问题转化为计算长方体底部面积并与高度相乘的几何问题。
除了计算体积和表面积，几何图形还可以应用于平面图形的计算。
例如，在计算三角形的面积时，我们可以使用三角形的几何图形来确定其计算公式。
三角形的面积公式为A = 1/2 * b * h，其中b为底边长，h为高度。
通过观察三角形的形状，我们可以发现，面积等于底边长度和高度的乘积再除以2。
这样，我们就能够利用几何图形来确定三角形面积的计算方法。
二、应用实例除了基本的几何图形应用以外，形状解决数学问题在实际生活中也有很多应用实例，下面将介绍其中几个例子。
1. 填充容器假设我们需要用小球填充一个正方形容器，每个小球的半径为r。
如果我们知道容器的边长L和每个小球之间的间隔d，我们可以利用容器的形状来计算可以放入多少个小球。
首先，我们可以计算容器内部能否完整放下小球。
通过观察，我们可以发现，容器的对角线长度等于两个小球的直径之和。
因此，我们可以比较对角线长度和小球直径的关系，判断容器能否完整放下小球。
其次，在确定了容器能够完整放下小球的情况下，我们可以通过容器的形状，计算出每个方向上可以放入多少个小球。
这样，我们就能够得到总共可以放入多少个小球的结果。
数学宝藏——利用图形解题
数学宝藏——利用图形解题数学是一门既有逻辑性又有美感的学科，它以严谨的推理和精确的计算为基础，帮助我们解决生活中的各种问题。
在数学领域中，图形是一种强大的工具，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
下面，我将探讨一些利用图形解题的方法，希望能为您带来灵感和启发。
一、平面几何中的图形解题平面几何是数学中重要的分支之一，通过图形和几何关系来研究平面和其中的各种形状。
在解题中，图形可以帮助我们直观地理解问题，并从中找到解题的线索。
例如，当我们遇到直角三角形求解问题时，可以绘制一个准确的平面图形，标记出各个角度和边长的关系。
通过直观地观察图形，我们可以运用勾股定理、正弦定理或余弦定理等几何知识解题。
这种图形化的解题方法既能提高问题的理解度，也能帮助我们更好地推导出解题过程。
此外，在平面几何中，利用图形来解决面积和周长的问题也是常见的。
例如，我们可以根据所给图形的形状和已知条件，应用相应的面积公式或周长公式，通过计算和对比得出结果。
在这个过程中，图形不仅能够准确地反映问题的条件，还可以帮助我们整理思路和展示解题步骤。
二、坐标系中的图形解题坐标系是数学中常用的工具，利用坐标系可以将点、线、曲线等抽象的数学概念具象化，使得问题更具可视化和实际应用性。
在解题中，我们可以通过绘制坐标系来表示和分析各种问题。
例如，当我们遇到函数求解问题时，可以利用坐标系将函数的图像与实际问题联系起来，进而确定函数的性质和解题方法。
此外，坐标系还可以用于解决平面几何和向量等相关问题。
通过在坐标系中标出图形的顶点坐标或向量的起点和终点，我们可以进行准确的计算和分析，从而得出问题的解答。
三、概率统计中的图形解题在概率统计中，图形是一种直观展示和比较数据的工具，帮助我们更好地理解问题和统计规律。
例如，在统计分布图中，我们可以利用柱状图、折线图和饼图等不同形式的图形来展示数据的分布情况和变化趋势。
通过观察图形，我们可以直观地了解数据的差异、数量比例和趋势变化，从而对问题进行进一步的分析和判断。
第五讲 借助图形思考
第
五讲 借助图形思考
知识要点： 数学是研究数量关系和空间形式的科学，以及数与形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决。
将问题转为为图形来解，把问题中的条件与结论直观的整体的表示出来，是一个十分重要的解题方法。
现阶段我们借助图形思考主要表现在绝对值与数轴的关系上面。
口算：
2004
120011200112002120021200312003120041---+-+-
例题
1、已知40≤≤a ，那么a a -+-12的最大值。
2、互不相同的有理数c b a 、、，在数轴上的对应点分别为C B A 、、，如果c a c b b a -=-+-，那么C B A 、、的位置关系怎样？
3、y y x x +-+-=-++15912，求y x +的最大值与最小值。
4、若81272=-++a a ，则a 的整数解为多少？
5、在由城市延伸出来的一条笔直公路上有7个村庄，、、、、、E D C B A F
离城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，G 村在A 村和F 村的正中心，现在在某一个村庄建立一个活动中心，使各个村庄到活动中心的路程之和最短，那么活动中心应该在哪比较好?各村到活动中心的最短总路程为多少？
6、某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五
小，他们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小。
若一小给二小-3台，代表着二小给了一小3台。
要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排？。
初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题27 数形结合
专题27数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题；2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形()A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F .求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111.（湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L c S c b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L xS x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1.不查表可求得tan 015的值为__________.2.如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题）3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________.（太原市竞赛试题）6.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是()A.(13，13)B ．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m +=()A.25B.128C.153D.243E.256（美国数学统一考试题）8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是()A ．∠B ＞2∠AB ．∠B=2∠AC ．∠B ＜2∠AD ．不确定9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ()A ．a 1127B ．a 1128C ．a 1129D ．a 113010.满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()A.1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO .(1)求这个二次函数的解析式；(2)以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）12.已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求证：a B十b C＋c A＜k2.13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．（美国数学邀请赛试题）14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上）．请写出t可以取的一切值：_______________（单位：秒）．15.如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2).在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）专题27 数形结合例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B '(2,-3)，连结 AB '交 x 轴于 C ，则 AB '=AC 十 CB ' 为所要求的最小值.例2D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b =12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8).例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3,BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可.例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点.例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222①,知正数c b a ,,适合方程.2L x sx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac sa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证.例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+∙+∙∙∴ xz y z y x即,6232132121321=∙+∙+⨯∙xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32-提示:构造含15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ,F .设OE =a ,BF =b ，则AE =a 3,CF =b 3，所以点A ,C的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴33233332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.363b a ∴点D 坐标为()0,62.3.52-提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值.4.ax b ≤≤5.36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC .6.C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14.7.A8.B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9.D10.C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则abk b a b a 2122∙=+++(k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解.11.(1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥EH 于M ，连结DG ,2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH =2FG .由4EF //x 轴，设H 为(x ,t )，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -∙=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去).12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13.AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得•CD ＝CF •CG•BE ＝BI •BH (16－x )＝1×14(16－y )＝6×13.＝10－22＝6－22.故DE ＝16－(x ＋y )＝222.14.t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8.提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2＝AE 2＋BE 2＝（3－32）2＋（3＋32）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．16．设AD AB ＝AEAC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB ＝AB －AD AB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )•S △ABE ＝m (1－m )•S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）,则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4(12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。
巧用数形结合,助力问题解决
巧用数形结合，助力问题解决
数形结合是一种将数学问题和图形问题相结合的方法，通过将数学问题转化成图形问题，可以更好地理解和解决问题。
下面将通过几个例子来说明如何巧用数形结合来解决问题。
例1：矩形面积
问题：一个矩形的长度是5厘米，宽度是3厘米，求矩形的面积。
解法：我们可以将矩形的长度和宽度都用线段表示，在纸上画出一个5厘米长的线段
和一个3厘米长的线段，并将它们相连，就可以得到一个矩形。
然后使用尺子或直尺测量
该矩形的长度和宽度，即可得到面积为15平方厘米。
例2：圆的周长和面积
问题：一个半径为4厘米的圆，求圆的周长和面积。
解法：我们可以使用一个图钉和一根绳子来画圆。
首先将图钉固定在纸上，然后将绳
子绕在图钉上，再将绳子的另一端拉直，并用铅笔固定住。
然后用尺子或直尺测量绳子的
长度，这个长度就是圆的周长。
将测量的周长值记为L=8π厘米。
然后使用公式C=2πr，将半径的数值代入公式，即C=2π×4=8π厘米。
同样，我们可以使用尺子或直尺测量绳子的宽度，这个长度就是圆的直径，将直径的数值代入公式A=πr²，即A=π×2²=4π平方
厘米。
通过巧用数形结合的方法，我们可以更好地理解和解决问题。
无论是几何问题还是代
数问题，数形结合都能提供一种可视化的方法，将抽象的数学问题转化成具体的图形问题，使问题更加直观，更容易解决。
通过数形结合，我们还可以培养对图形的观察和分析能力，提升数学思维的综合性和创造性。
所以，巧用数形结合，可以助力问题的解决。
以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化-浅谈数形结合思想在数学解题中的应用
以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化 - 浅谈数形结合思想在数学解题中的应用【摘要】数学研究的对象可分为“数”与“形”两部分，“数”与“形”是有联系的，这个联系成为数形结合。
数形结合包括两种情况：第一种情况是“以数解形”，第二种情况是“以形助数”。
数形结合思想简单来说就是把数学中的“数”和数学中的“形”结合起来去解决数学问题的思想。
它将抽象的数学语言与直观的图形相结合，并使抽象的问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
【关键词】数形结合思想；数学解题；应用一种好的有效的数学思想方法胜过于百道千道甚至上万道数学题目，这将会告别传统的“题海战术”，学生就能在相对良好的环境中将数学知识转化为数学能力，养成数学学习的兴趣，也能调动数学学习的积极性，提高学习的效益。
总的来说，数学思想方法比数学知识更为重要，数学知识是单一的，亘古不变的，相反的，数学的思想方法会随着社会的不断进步而进步，它是灵活的，多样的。
如果不及时的对数学知识加以记忆，很快就会被人们所遗忘，所以说，人们对思想方法的掌握是永久性的，能够受用一生的。
教材中的主要体现教材体系梗概以小学为例，小学生大多都处于具体运算阶段，这一阶段中，小学生基本已经从表象思维中脱离出来，逐渐地形成抽象性思维，也能够进行适当的逻辑推理，但是他们的抽象性思维还不够成熟，在解决问题方面的能力也不足，仍需要具体事物图像的辅佐，把抽象的事物图像直观化，然后根据直观化的图像，他们才能够更好地进行理解。
因此，在小学教科书上必然有着数形结合思想，用图片的方式来表相应的数学知识，而且必定占据很大的比重，这样便于小学生的理解。
例如，利用三角板工具来理解和认识锐角、直角、钝角；利用线段表示法来找出数学问题中变量的关系，再画出相应线段来写出方程；用分割实物月饼来认识几分之几；利用日历表来熟悉了解大月、小月等。
在《古人计数》这节课中，如何能够让学生更好地理解10个一就是1个十？教师会让学生拿出10根小棒，表示“10个一”，然后把10根小棒捆成一捆，就是“1个十”。
以形助数 以数解形
以形助数以数解形数形结合的思维方法，是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。
纵观整个小学数学教材，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。
抽象思维与形象思维的结合，即数形结合，可以使学习的内容变得比较易于理解，如何更好的以形象“解”抽象，是我们一线数学教师一直思考的问题。
下面是我在教学中的一点做法：一、利用直观图有助于孩子清晰的认识数的组成低年级学生在学习数学时，学生的的逻辑思维是比较初步的，而且在很大程度上仍是具有具体形象性。
我在教学《1000以内数的认识》用摆小正方体贯穿于整个教学过程。
一开始借助小正方体数数，经历数数，感受到不同的情况下可以采取不同的数数方法。
利用课件让孩子们直观感受一十，一百，一千的表象，知道一十是1列，一百拼成1片，一千成了1个大正方体，为进一步理解1000以内数的组成打下基础。
同时认识计数单位百、千，并感悟到10个一是一十，10个十是一百，10个百是一千的十进制关系。
图示如下：借助小正方体理解1000以内的数的组成。
通过小正方体组成不同的“形”表示1个一、1个十、1个百，使学生对1000以内数的组成形成表象，通过小正方体的“形”让学生自己感悟到，数和形相结合，使学生自己真正理解1000以内数的组成的。
二、利用直观图有助于孩子分析题意，避免机械应用在教学解决“小雪比小磊多几朵花“这个问题时我让孩子们拿出学具，动手摆一摆，并说说摆的过程。
师：小组讨论思考三个问题（1）谁和谁比？（2）谁的多？谁的少？（3）多的分成几部分，是哪几部分？这样，根据直观的数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。
这样学生在学习“比多比少”应用题时，就能能很好的建立起数与形的有机结合，充分理解掌握比多比少的基本数量关系。
七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考(附答案)
七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
以形解数寓数于形形数结合
以形解数寓数于形形数结合
“以形解数寓数于形形数结合”，这是一句古语，意思是通过形状来解释数学，将数
学融入到各种形状中。
在数学中，形状是非常重要的。
形状不仅产生美感，而且还可以帮助我们更好地理解
和应用数学。
例如，在几何学中，我们可以用形状来解释数学理论。
比如说，我们可以将三角形分
成等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
我们可以将正方形分成正方形、长方形和菱形。
在这些形状中，我们可以探讨各种数学概念，如面积、周长、勾股定理等。
在数学中，还有一些数与形状之间的关系。
例如，我们可以用半径和周长的关系来解
释圆的概念。
我们可以用弧长和圆心角的关系来解释扇形的概念。
除了几何学，形状还可以在其他数学学科中发挥作用。
比如说，在代数学中，我们可
以用图形来解释各种代数式子。
在微积分学中，我们可以用图形来解释导数和积分的概
念。
形状还可以与数字结合，创造出各种有趣的数学游戏和谜题。
例如，数独、拼图和迷
宫等。
总之，“以形解数寓数于形形数结合”是一种非常有趣和有效的方法，可以帮助我们
更好地学习和理解数学。
在我们日常的学习和生活中，我们应该注意形状和数字之间的联系，发挥它们的作用。
数学解题方法之“以形解数”
数学解题方法之“以形解数”以形解数：即运用几何图形解决代数问题，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，简化解题过程，减少错误． 一、以形解数，简化运算例1：20124322121212121+⋯++++ 代数解法：设=s 20124322121212121+⋯++++ ○1○121⨯得：=s 21201320124322121212121++⋯+++ ○2 ○1—○2：=s 2120132121-； 等式两边同除以21得：20122012212-=s ．分析：本题用纯代数的方法进行计算，运算较为复杂．若借助几何图形来解答，则另辟蹊径，事半功倍．以形解数：如图，将面积为1的正方形进行划分，则由图形间的面积关系可得出：20124322121212121+⋯++++==-201221120122012212-． 归纳：借助图形解答本题，显然比用代数解法简洁明了．二、以形解数，避免错误例2：函数xy 6=，若3≥x ，则y 的取值范围是 ． 代数解法：错解：由x y 6=⇒yx 6=，再由3≥x 236≥⇒≥⇒y y ． 这是一个经常性的错误，要想避免错误，需对不等式36≥y进行分类讨论：○1若0≥y ，则20236≤<⇒≤⇒≥y y y ；○2若0≤y ，则⇒≥⇒≤236y y 无解．由○1○2得y 的取值范围是20≤<y ． 分析：学生的惯性思维是看到此题想到用不等条件进行不等式解题，接着由于不严谨解题，导致答案不正确．现在，我们让图形一起来参与解题，是否会别有洞天，避免错误呢？以形解数：如图，当3≥x 时，图像为双曲线在第一象限分支点A 右侧部分，显然，这部分的函数值20≤<y ．类似这样的问题，我们还可以在二次函数的习题中找到．如：“二次函数162--=x x y 则y 的取值范围是 ．”三、以形解数，最值问题例3：求321-+-+-x x x 的最小值．代数解法：分类讨论：○1当1≤x 时，原式=x x x x 36321-=-+-+-，故最小值是3；○2当21≤<x 时，原式=x x x x -=-+-+-4321，故最小值是2；○3当32≤<x 时，原式=x x x x =-+-+-321，故最小值大于2；○4当3>x 时，原式=321-+-+-x x x=63-x ，故最小值大于3；综上所述321-+-+-x x x 的最小值是2．分析：用代数解法，虽然能求出最小值，但用到的知识较多，过程也比较曲折，对学生来说，此解法不易掌握．那么，试用“以形解数”方法解答怎样呢？以形解数：我们知道，绝对值通过数轴这个工具可以与两点间的距离紧密地结合在一起，画一条数轴，如图所示，数轴上A 、B 、C 点分别对应数1、2、3、P 点对应的有理数为x ，则PA=1-x ，PB=2-x ，PC=3-x ，P 点对应的有理数为x ，PA=1-x ，PB=2-x ，PC=3-x ，问题转化为在数轴上找一点P ，使得PA+PB+PC 最小，显然当P 与B 重合时，PA+PB+PC=2最小，亦即321-+-+-x x x 的最小值为2（当x=2时）．例4：求186422+-++x x x 的最小值．分析：本题用纯代数的方法很难求出最小值，解题陷入困境．但若选择“以形解数”的方法解答，则会柳暗花明． 以形解数：先将代数式转化成22223)3(2+-++x x ，再构造图形．由图形知DC=222+x ，EC=223)3(+-x ，问题转化为求(DC+EC)的最小值，显然，当点D 、C 、E 三点在一条直线上时(DC+EC)最小．易求出186422+-++x x x 的最小值是34．四、以形解数，竞赛试题例5：如果三个正实数z y x ,,满足：16914425222222=++=++=++x xz z z yz y y xy x BD E3求：xz yz xy ++的值．分析：本题是一道数学竞赛试题的改编题，难度很大，无从入手． 若构造图形解题，则水到渠成．以形解数：易知，三个等式可化为：22251202=︒-+xyCOS y x ；222121202=︒-+yzCOS z y ；222131202=︒-+zxCOS x z ，如图所示，构造△P AB 、△P AC 、△PBC ，使得z PB y PC x PA ===,,，︒==∠=∠120BPC APC APB ，则AB=13，BC=12，AC=5，故△ABC 是直角三角形，由面积可得：12521120sin 21120sin 21120sin 21⨯⨯=︒+︒+︒zx yz xy ， 解得：xz yz xy ++=320．12 z13 x ABC5yP。
初中数学培优专题学习专题27 以形借数——借助图形思考
专题27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
培优专题：数形结合,正确看图、用图,借助图像思考
（2）已知关于x的方程
kx 3 x 1 2 x 1 x 2 (k 0)
有三个解，求k的取值范围。 y
解析：令y=kx+3,则， y x 1 2 x 1 x 2
y=kx+3
5A
y x 1 2 x 1 x 2 (k 0) 4
3
有3个交点。
2
y=kx+3过定点（0，3）
1
x
当y=800时，x=6 乙参与播种的天数：6-2=4（天）
另解：两天后每天播种150亩，800200=600（亩），需 600÷150=4（天）.
3 工程项目管理规划
y（亩）
800
350
200
0
N M
23
Q
x(天） 6
3、如图所示的函数图像反映的过程是：小明从家去书店，又去学校取信后马上
回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，则小明从学校回家的平均速
1、若小敏他们是一开始接水的，即前8位同学接完水，只需要2分钟，与接水 时间恰好3分钟不符合。
2、若小敏他们是在只使用一个放水笼头的情况下接水的，则需8×2÷4=4分 钟，与接水时间恰好3分钟不符合。
3、若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，
设8位同学从t分钟开始接水的， 当0<t≤2时，
由8（2-t）+4[3-(2-t)]=8×2 得t=1.
3 工程项目管理规划
C
B
O
4
12 x/h
例5、已知函数 y x 1 2 x 1 x 2
（1)在直角坐标系中在作出函数图像；
5(x 2)
y
y
2x 1(2 x 1)
4x 1(1
x
专题27 以形借数——借助图形思考
专题27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
借助“形”让“数”拐个弯--浅谈画图在小学数学练习中的应用
教
生挑战困难，多让其成功，培养学生的自信 心。或在教学过程中紧密联系身边看得见、
学
摸得着的事例开展教学，激发学生无限的学 习热情。
中
三、掌握最优的听课方法 听课方法是培养学生自主学习能力的一
如
个重要方面。无论是哪门课程，上课认真听 甘 讲都是非常重要的。认真听讲能够将学生的 肃
何
注意力集中起来，能够对教师讲的重点和关 省
高效课堂教学成功的关键。笔者认为作为课堂教学的引领者，
应从以下几个方面入手。
一、建立平等的师生关系
建立平等的师生关系是自主学习的第一步。在传统的教
学过程中，学生主要跟着教师的步调，以教师为主，学生为辅。
在这种氛围下，学生不能够很好地表现出自己对问题的观点
与看法，更谈不上教师与学生对化学知识问题的讨论，师生
己的想法：“去掉 1 个圆圈，把剩
下的 3 个圆圈，平均分成 3 份，每
份是 1 个圆圈，涂其中的两份，就
是
3
个圆圈的
2 3
。”于是我请她到黑
板上表示出来，结果她表示成如下
图：
有的学生点点头，但是陈珺同 学发出了不同的声音：“我不划去， 可以把每个圆平均分成 3 份。”有 的学生听得似懂非懂，我趁机让他 把自己的想法也到黑板上进行展示， 结果展示如下：
石二鸟”8-），女 ，江西
赣州人，专业或研究方向：小学教育。
课堂教学是学生知识学习和能力培养的主要形式，也是
教师对学生进行全面教育的重要阵地，如何在教学过程中潜
移默化地培养学生的自主学习能力，从而引发学生参与课堂
的积极性和思考问题的主动性，提高教学效率，就成为化学
【关键词】画图；小学数学
画图中它是通过简单的符号帮
以“形”助“数”,在直观中理解“数”
以“形”助“数”，在直观中理解“数”作者：吴瑞英来源：《新课程·小学》2019年第09期摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学。
面对数学的抽象性这一现实问题，生动、形象的图形能将枯燥的数学知识直观化、形象化、趣味化。
阐述了如何在“数与代数”领域：以“形”助“数”——在直观中理解“数”，引导学生从“形”的角度刻画“数”，将抽象的数学概念、运算性质和复杂的数量关系形象化、直观化，亲身体验将实际问题抽象成数学模型的过程，引导学生充分感知，在形成表象的基礎上进行联想和想象，最终达到解决数学问题，理解数学本质，形成数学思想的目的。
关键词：以“形”助“数”;抽象;直观化《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。
众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题。
生动、形象的图形能将枯燥的数学知识直观化、形象化、趣味化。
教学中引导学生从“形”的角度刻画“数”，将抽象的数学概念、运算性质和复杂的数量关系形象化、直观化，亲身体验将实际问题抽象成数学模型的过程，引导学生充分感知，在形成表象的基础上进行联想和想象，最终达到解决数学问题、理解数学本质、形成数学思想的目的。
笔者结合主持的《数形结合思想在小学数学中、高段教学中渗透的研究》中的典型案例，谈谈如何在“数与代数”领域：以“形”助“数”——在直观中理解“数”。
一、以“形”认“数”，建立数的概念概念教学是小学数学教学中重要的一环，是形成数学知识体系的基础，是“四基”教学的核心内容。
然而对于学生来说，数学概念是抽象的，教师的教学方式决定着学生对于每一个数学概念的掌握过程是疲于接受，或是深入理解。
因此，要使学生真正理解并熟练掌握概念，教师应充分利用图形，将图形的形象与概念的抽象建立联系，用恰当的图形演示数学概念中最本质的属性，丰富学生的感性材料，从而为学生建构数学概念奠定基础。
以形解数，借图说理
以形解数，借图说理作者：***来源：《小学教学参考(数学)》2021年第08期[摘要]借助图形可以把抽象的数学问题直观化，把繁难的数学问题简洁化。
在小学数学教学中，运用以形解数、借图说理、图式结合等教学策略，能提高学生解决问题的能力。
[关键词]小学数学;数形结合;借图说理;教学方法[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）23-0094-02数形结合就是通过“数” 和“形”之间的一一对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。
它可以把抽象的数学问题变得直观，也可以把繁难的数学问题变得简洁。
因此，数学教师应该在教学中用好借图说理，综合使用汉字、数字、符号、图形等丰富学生的数学认知，使抽象知识变得形象具体，从而被学生顺利接受。
一、以形解数，让数学语言更生动以形解数指的是用数学图形表示数学语言。
在数学教学中，若学生阅读教材文字后仍不理解知识内容，教师可以使用数学图形，直观地将内容表现出来。
通过这种方式，学生既能使用熟悉的、直观的方法理解数学知识，又能够在数学图形的基础上直接思考问题，原本的困难可迎刃而解。
比如，解答这样一道题目：平行四边形与梯形的高都为6厘米，梯形的上底与平行四边形的底长度相同，都为10厘米，而且梯形的下底比上底长3厘米，求平行四边形的面积比梯形的小多少？用图形表示平行四边形和梯形后，学生可以很容易发现，梯形比平行四边形多出的部分为一个三角形，只要求出这个三角形的面积，问题就会迎刃而解。
这样用图形表示出数量关系，更形象直观，同时也让运算变简单，提升了学生的思维能力。
二、借图说理，让数量关系更深刻逐步加深对数学基本概念、规律等的认识是学生学习数学的过程。
借图说理可以将数学问题用图形表达出来，能有效降低学生思考的难度。
在教学中，教师可引导学生根据信息与问题画出图形，将数学信息变得更形象、简单，这样学生能更好地厘清数量之间的关系，把复杂的数学问题转化为简单的数量关系，从而解决问题。
灵活运用图形找出等式解
灵活运用图形找出等式解数学作为一门抽象的学科，常常让人望而却步。
然而，当我们将数学与图形相结合，就能够以一种直观的方式来解决问题。
在这篇文章中，我将探讨如何灵活运用图形找出等式的解，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
首先，让我们从简单的一元一次方程开始。
假设我们有一个方程：2x + 3 = 7。
要找出x的解，我们可以用图形的方式来解决。
首先，我们可以将方程转化为2x = 4，然后将其表示为一条直线。
这条直线的斜率为2/1，截距为4/2。
接下来，我们可以将等式右边的数值7表示为一条水平线。
通过观察两条线的交点，我们可以得出x的解为2。
接下来，让我们考虑一个稍微复杂一些的例子：3x + 2y = 10。
这是一个二元一次方程，其中x和y都是未知数。
为了找出方程的解，我们可以将其表示为一个二维坐标系中的直线。
首先，我们可以将方程转化为y = (10 - 3x)/2的形式。
然后，我们可以选择一些x的值，计算对应的y的值，并将这些点绘制在坐标系中。
通过观察这些点的分布情况，我们可以大致确定直线的走向。
最后，通过观察直线与坐标轴的交点，我们可以得到方程的解。
除了直线，我们还可以利用图形找出其他类型方程的解。
例如，对于二次方程x^2 + 4x - 5 = 0，我们可以通过绘制抛物线来找出解。
首先，我们可以将方程转化为(x + 5)(x - 1) = 0的形式。
然后，我们可以选择一些x的值，计算对应的y的值，并将这些点绘制在坐标系中。
通过观察抛物线的形状和与x轴的交点，我们可以得到方程的解为x = -5和x = 1。
除了直线和抛物线，我们还可以利用图形找出其他类型方程的解。
例如，对于三角函数方程sin(x) = 0.5，我们可以通过绘制正弦曲线来找出解。
首先，我们可以选择一些x的值，计算对应的y的值，并将这些点绘制在坐标系中。
通过观察正弦曲线与y = 0.5的交点，我们可以得到方程的解为x = π/6和x = 5π/6。
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专题27 以形借数——借助图形思考
阅读与思考
数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：
1．从给定的图形获取解题信息
数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．
2．有意地画图辅助解题
图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．
阅读与思考
【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住
其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同
形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）
x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,
≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z
9
x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为
．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解
（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？
（江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
A B C三个特色栏目的收视情况，向28位观众进行调查，调查后得知：
【例3】某电视台为了解,,
每位观众至少收看了其中的一个栏目；没有收看栏目A的观众中，收看栏目B人数为收看栏目C的两倍；在收看栏目A的观众中，只收看栏目A的观众人数比除了收看栏目A之外同时还收看其他栏目的人数多1；只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看B或栏目C，求栏目A的收视率。
（“《数学周报》”杯全国数学竞赛试题）解题思路：设未知数，借助于图表表示题中各数量之间的关系。
【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加推铅球比赛，通知抽签决定出赛顺序，在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测。
甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。
老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，问：出赛顺序中，第一、第三、第五分别是哪位同学？
（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：文字罗列出来的条件，其相互关系错综复杂，不便分析和推断，不妨借助于图表直观地表示研究对象及其关系。
【例5】某班有50名同学，期末考试优秀的学生人数及科目如表：
这里，一科优秀者包括两、三科优秀者，两科优秀者包括三科优秀者，试说明上述统计表有错误。
（“创新杯”竞赛试题）解题思路：借助于图形直观地表示出数学、外语、语文优秀学生的集合，有利于分析与推断。
能力训练
1．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。
则小强已经赛了________盘。
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
2．某市储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进
s吨与时间(t小时)之间的函数关系如图，这批物物资与调出物资的速度保持不变）。
储运部库存物资()
资从开始调进到全部调出所需要的时间是___________________。
（山东省济南市中考试题）
3．甲、乙两人同时从A地出发，以各自的速度匀速汽车到B地后原地休息，甲、乙两人的距离(y千米) x时之间的函数关系的图像如图，则,A B两地的距离为______________________千与乙骑车的时间()
米。
4．一台计算机的硬盘分为3个区，每个区的使用情况如图所示，则这个硬盘的使用率为
______________________。
（“希望杯”邀请赛试题）
A B C三支足球队举行单循环比赛（每支队与另一支队只比赛一场，共三场），下表给出的是
5．,,
比赛的部分结果：
球队比赛场数胜负平总进球数总失球数
A 2 2 1
B 2 1 2 4
C 2 3 7
请根据上表，填上A队与C队比赛时的比分为_______________。
（重庆市竞赛试题）
6．如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），则下列结论中错误的是（）
A．该班总人数为50人B．骑车人数占总人数的20％
C．步行人数30人D．乘车人数是骑车人数的2.5倍
7．某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b a
），再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图为（）。
A．B．C．D．
8．一圆形地块，打算分A B C D
、、、四个区域栽种观赏植物，要在同一区域种同一种植物，相邻（有公共边）的两块里中不同的植物。
现有4种不同的植物可供选择，那么所有的栽种方案的个数为
( )。
D
C
B
A
A．66 B．68
C．60 D．84
（重庆市竞赛试题）
9．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生；参加英语竞赛有120名女生，80名男生。
已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，问参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数有多少人？
（“祖冲之杯”邀赛试题）
10．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h）如图所示。
若汽车行驶的平均速度为80km/h。
而汽车每行驶1km需要的平均费用为1.2元。
试指出此人从A城出发到B城的最短线路，并求出所需费用最少多少元？
（全国初中数学竞赛试题）
11.刚回到营地的两个抢险队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A 镇;二分队因疲劳可在营地休息a 03a （≤≤）
小时再赶往A 镇参加救灾。
一分队出发后得知，唯一通往A 镇的道路在里营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须有一分队用1小时打通．已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度是4a +（）
千米/时． （1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A 镇？
（2）若需要二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几个小时？
（3）下列图中，①②分别描述一分队和二分队离A 镇的距离y （千米）和时间x （小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图像的代号，并说明它们的实际意义．
x
y
②
①
O
x
y
②①
O
x
y
②
①O
x
y
②
①
O
A B C D (安徽省中考题)
12.已知函数|1|2|1||2|y x x x =+--++错误!未找到引用源。
． （1）在直角坐标系中作出函数图象．
（2）已知关于x 的方程3|1|2|1||2|0kx x x x k +=+--++≠（）错误!未找到引用源。
有三解.求k 的取值范围．
（“创新杯”竞赛试题）。