第八章 非线性控制系统分析 单元测试题(B
第8章 非线性系统分析
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
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第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理非线性系统习题题库
8-1考虑并回答下面的问题：（a ）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么（b ）什么样的非线性元件是无记忆的什么样的非线性元件是有记忆的它们的描述函数各有什么特点（c ）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的有什么是不同的线性元件可以有描述函数吗非线性元件可以有传递函数吗（d ）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能够产生稳定的自激振荡吗8-2设非线性元件的输入、输出特性为35135()()()()y t b x t b x t b x t =++证明该非线性元件的描述函数为2413535()48N A b b A b A =++式中A 为非线性元件输入正弦信号的幅值。
8-3某非线性元件的输入、输出特性如图所示。
图 习题8-3图（a ）试求非线性元件的描述函数。
（b ）将图所示非线性元件表示为有死区继电器和有死区放大器的并联，用非线性元件并联描述函数的求法求它的描述函数，并与（a ）中的结果相比较。
8-4滞环继电特性如图（a ）所示，证明它的描述函数可以表示为4()arcsin M a N A A A π⎛⎫=∠ ⎪⎝⎭且负倒描述函数的虚部为常值，负倒描述函数曲线如图（b ）所示。
（a ） （b ）图 习题8-4图8-5大对数控制系统的控制器后面都带有限幅器。
对图（a ）所示PI 调节器输出带有限幅器的情况，在输入信号发生大的阶跃变化时，系统输出将出现比较大的退饱和超调。
所谓退饱和超调是指，在大的误差信号e 作用下，PI 调节器的输出将很快将到达饱和值，经限幅器限幅后控制作用u 维持在最大值max u 。
在max u 的作用下，输出c 逐渐增大，误差e 逐渐减小，但只要误差未改变符号，PI 调节器的积分项就将继续增大，0e =时积分项的值一般要远大于限幅器的限幅值max u 。
当输出超调以后，误差的符号变负，调节器积分项的值开始下降，但在一段时间内仍将维持在很大的数值上，因此会导致很大的超调。
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
第8章 非线性系统分析 参考答案
参考答案一、填空题1. 非本质；本质2. 自持振荡3. 初始条件；输入信号大小4. 饱和非线性；死区非线性；间隙非线性；继电器非线性5. 不稳定6. 稳定；不稳定；半稳定7. 自左向右；自右向左 二、分析与计算题1. 求3()()y t ax t =的描述函数。
解：由于3()()y t ax t =是单值奇函数，所以其傅里叶级数展开式中A 0=0、A 1=0、φ1=0，将()sin x t A t ω=代入B 1的计算公式，可得2102330340320320303031()sin 1sin sin 2sin 21cos 2()2212cos 2cos 241cos 412cos 22242311(cos 2cos 4)828231(sin 284B y t td taA t td t aA td t aA t d t aA t t d t tt aA d t aA t t d t aA πππππππωωπωωωπωωπωωπωωωπωωωπωωωπππ===-=-+=+-+==-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰31sin 4)003234t t aA ππωω+=所以32133()44B aA N A aA A A ===2．设具有滞环继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.1所示，已知b =1，a =0.3，试判断系统是否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频率。
题图8.1解：具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为24()j()abN A A a Aπ=≥其描述函数负倒数特性为1j ()()4a A a N A bπ-=≥ 可见，描述函数负倒数特性的虚部为常数4a b π-，即1()N A -曲线为一条虚部为4abπ-的直线。
由于10()(21)(0.41)G s s s =++，所以222222222210(j )(2j 1)(0.4j 1)10(12j )(10.4j )(14)(10.16)10(1 2.4j 0.8)(14)(10.16)10824j (14)(10.16)(14)(10.16)G ωωωωωωωωωωωωωωωωω=++--=++--=++-=-++++由以上可知，1()N A -曲线与(j )G ω必有交点，而且交点为稳定的，因此会产生自持振荡。
自动控制原理-第8章非线性控制系统
8非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u为电机的控制电压，纵坐标为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A1OA2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B1OB2区段•那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件（如晶体管、铁心等）都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。
自动控制原理 第8章非线性控制理论系统
第8章 非线性控制系统分析
3
典型非线性特性
饱和非线性可以由磁饱和、放大器输出饱和、功率限制等引起。一般情况下， 系统因存在饱和特性的元件，当输入信号超过线性区时，系统的开环增益会有大 幅度地减小，从而导致系统过渡过程时间的增加和稳态误差的加大。但在某些自 动控制系统中饱和特性能够起到抑制系统振荡的作用。因为在暂态过程中，当偏 差信号增大进入饱和区时，系统的开环放大系数下降，从而抑制了系统振荡。在 自动调速系统中，常人为地引入饱和特性，以限制电动机的最大电流。
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第8章 非线性控制系统分析
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典型非线性特性
图8.4 继电器非线
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第8章 非线性控制系统分析
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8.1.2 非线性系统的特点
非线性元件系统与线性控制系统相比，有如下特点：
1. 叠加原理不适用于非线性控制系统。即几个输入信号作用于非线性控制系 统所引起的输出，不再等于每一个输入信号所引起的输出之总和。
同时满足 x 2 0，f(x1,x 2 ) 0 的特殊点，由于该点相轨迹的斜率为0/0，是一
图8.6 相平面图
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第8章 非线性控制系统分析
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8.2.2 相轨迹的性质
在相平面的分析中，相轨迹可以通过解析法作出，也可以通过图解法或实验
法作出。相轨迹一般具有如下几个重要性质：
间 之 向，是t 1在的x.相1相推的轨平移减迹面，小运下系方动半统向方平状，向面态即的上沿向确，相左定由轨运于迹在动x的相。2<运平0动，面方表的向示上是随半x着平1的时面增间上t大，的方由推向于移x，2，即>0相向，轨右表迹运示的动随运。着动反时方
自动控制原理
第8章 非线性控制系统分析
《自动控制原理》---丁红主编---第八章习题答案
8-1已知非线性环节的特性如图8.1a 所示，试计算该环节的描述函数。
答：方法一：由图8.1a 所示，,0...............0...............⎩⎨⎧<->+=x A Kx x A Kx y 令代入则可以得到, 因为非线性特性为奇函数，所以=0,A 1=,B 1==在此处键入公式。
可以得到B 1=KX+4,所以该非线性环节的描述函数为 。
方法二：图8.1a 所示的非线性特性可以看作是图8.1b ，图8.1c 叠加而成的。
图8.1b 对应的非线性环节的描述函数为。
图8.1c 对应的为理想继电器非线性，其描述函数为。
所以，图8.1a 对应的飞线性特性描述函数为。
8.2.试绘制0=++x x x &&&非线性系统的相平面图。
答：y 0 -a a x k （a ） y 0 xk （b ） y（c ）0 -aa x由题意，此方程可以改写为：,开关线为x=0。
当x>0时，相轨迹方程对应的特征方程为+λ+1=0，，由可以得到.故奇点为稳定的焦点。
当x<0时，相轨迹方程对应的特征方程为+λ-1=0,,由可以得到此时的奇点为（0,0），奇点为鞍点，推导等倾线方程。
令=α，可以得到等倾线方程为,令等倾线的斜率为k ，即可以得到，得到,列写表格如下表所示。
K -3 -2 -10 1 2 3 +∞,8.3.系统方框图如图8-29所示，其中K>0，T>0。
当非线性元件N分别为理想继电特性;死区继电特性;滞环继电特性;带死区和滞环的继电特性，在cc&-相平面上绘制相平面图。
8-29系统方框图（1）具有死区的三位置继电特性线性部分的微分方程为当继电特性为具有死区的三位置继电特性时，上式可以写成分段微分方程为：C(t)r = 0- )1(+TssKN(e)e)开关线为,两条开关将相平面划分为三个线性区域，下面分区绘制相轨迹在区域，相轨迹方程为：类似于具有饱和特性的非线性控制系统时的讨论，像平面与该区域无奇点，相轨迹均渐进于的直线。
非线性控制理论题
非线性控制理论题在非线性控制理论中，我们研究的是一类复杂系统的控制方法。
非线性系统具有复杂的动态行为，往往不能仅通过线性控制方法来实现稳定性和性能要求。
因此，非线性控制理论在工程实践中具有重要的应用价值。
1. 引言在引言部分，我们可以对非线性控制理论的背景和重要性进行概述。
可以介绍线性控制理论的局限性以及非线性系统的普遍存在性。
2. 非线性系统建模在此部分，我们可以讨论非线性系统的数学建模方法。
常见的建模方法包括基于物理原理的方程建模、基于数据的黑盒建模以及基于系统辨识的方法。
我们可以介绍不同建模方法的优缺点，并且给出具体的例子。
3. 非线性系统分析在此部分，我们可以介绍非线性系统的分析方法，包括平衡点分析、稳定性分析和鲁棒性分析。
可以讨论如何通过Lyapunov稳定性理论、LaSalle不变集理论以及小扰动分析等方法来进行非线性系统的分析。
4. 非线性控制方法在此部分，我们可以介绍一些经典的非线性控制方法，如反馈线性化、滑模控制、自适应控制和模糊控制等。
可以讨论这些方法的原理、设计流程以及优缺点。
同时，可以给出具体的应用案例。
5. 非线性控制的应用在此部分，我们可以介绍非线性控制在实际工程中的应用。
可以涉及到机械控制、电力系统控制、化工过程控制以及生物医学控制等领域的具体应用案例。
6. 非线性控制的发展趋势在此部分，我们可以展望非线性控制理论的发展趋势。
可以讨论在大数据、人工智能和深度学习等新技术的背景下，非线性控制理论的新进展和挑战。
7. 结论在结论部分，我们可以总结非线性控制理论的重要性和应用前景。
同时，可以提出未来研究的方向和重点。
通过以上的分析和讨论，我们可以清楚地了解非线性控制理论的基本内容和应用。
非线性控制理论在工程领域有着广泛的应用，可以帮助我们解决复杂系统的控制问题。
随着科学技术的不断发展，非线性控制理论将进一步完善和应用，为实际工程提供更好的控制方法和技术。
自动控制原理
山东理工大学教案第34 次课教学课型：理论课√实验课□习题课□实践课□技能课□其它□主要教学内容（注明：* 重点# 难点）：①§8－5 相平面法（下）（*）（＃）D、奇点与奇线E、由相轨迹求取时间间隔②§8－6 非线性系统的相平面分析③第8章小结教学目的要求：①正确理解奇点的概念与类型，并能作出判断；②正确理解极限环的概念与类型；③掌握相轨迹求取时间间隔的方法；④正确理解非线性系统的相平面分析方法。
教学方法和教学手段：教学方法：讲授教学手段：板书与多媒体结合讨论、思考题、作业：课后习题：P343 8－16、8－20。
参考资料：①《自动控制原理》高国燊主编华南理工大学出版社②《自动控制理论》文锋主编中国电力出版社③《自动控制理论》夏德钤主编机械工业出版社④《自动控制理论》邹伯敏主编机械工业出版社注：教师讲稿附后§8-5 相平面法四、奇点与奇线绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性。
由于系统平衡点有无穷多条相轨迹离开或到达，所以平衡点附近的相轨迹最能反映系统的运动特性。
因此平衡点是非常重要的特征点，很有必要加以讨论和研究。
另外，系统的自激振荡状态也是人们非常关心的问题。
前者叫奇点，后者为极限环（奇线最常见的形式） 1、奇点：①定义：以微方),(x x f x &&&=表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为x x x f dx x d &&&),(=，若在某点处x xx f &&和),(同时为0，的不定形式即有00=dx xd &，则称该点为相平面的奇点。
②性质：⑴相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点。
因此在奇点处多条相轨迹相交。
⑵在相轨迹的非奇点（称为普通点）处，不同时满足0),(0==x x f x &&和，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。
《自动控制原理》答案 李红星 第八章
8-3
已知系统运动方程为 && x + sin x = 0 ，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平
面图。
解
&=0 得 求平衡点，令 && x=x
sin x = 0
平衡点 xe = k π
( k = 0 , ±1, ±2,L)。
将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。 设
F ( x ) = && x + sin x = 0
e ( 0) = 1 − c ( 0) = 1 & ( 0) = c & ( 0) = 0 e
以 (1 , 0) 为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响 应过程是振荡收敛的。
8-6 示。
已知具有理想继电器的非线性系统如图T8.2所
图T8.2 试用相平面法分析： （1） Td = 0 时系统的运动；
N(A)单调降， − 1 N ( A) 也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线 − 1 N ( A) 和 G ( jω ) 曲线 如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。 求使 Im[ G ( jω )] = 0 的 ω 值： 令 得 令
令 && & = 0 ，得平衡点： xe = 0 。 x=x 系统特征方程及特征根：
⎧ 1 3 2 ⎪ Ι : s + s + 1 = 0, s1,2 = − ± j 2 2 ⎨ 2 ⎪ΙΙ : s + s − 1 = 0, s = −1.618, +0.618 1,2 ⎩
(稳定的焦点) (鞍点)
&& = f ( x , x &) = − x &− x , x
(完整word版)非线性控制系统分析习题与解答
第八章 非线性控制系统分析习题与解答7-1 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为(1) G s s s ()(.)=+1011 (2) G s s s ()()=+21(3) G s s s s s ()(.)()(.)=+++21511011试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。
分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图所示。
由对数幅频特性曲线可见，L 2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。
7-2 将图示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。
解 (a) 将系统结构图等效变换为图(a)的形式。
G s G s H s ()()[()]=+111 (b) 将系统结构图等效变换为图(b)的形式。
G s H s G s G s ()()()()=+11117-3 判断题7-41图中各系统是否稳定；)(1A N -与)(ωj G 两曲线交点是否为自振点。
解 （a ） 不是 (b) 是 (c) 是 (d) c a 、点是，b 点不是 (e) 是(f) a 点不是，b 点是 (g) a 点不是，b 点是 (h) 系统不稳定 (i) 系统不稳定 (j) 系统稳定7-4 已知非线性系统的结构如图所示图中非线性环节的描述函数为N A A A A ()()=++>62试用描述函数法确定：（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。
解 （1）-=-++126N A A A ()(), -=--∞=-101311N N (),()dN A dA A ()()=-+<4202N(A)单调降，)(1A N -也为单调降函数。
画出负倒描述函数曲线)(1A N -和G j ()ω曲线如图所示，可看出，当K 从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。
自控PPT和课后习题答案-第8章非线性系统改
理想继电器在原点附近存在跳变，等效增益趋于 无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加， 输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串 有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状 态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统 具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振 荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响 应速度，也可构成正弦信号发生器。
0 0
x 0
在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零。
相平面的奇点也称为平衡点。
奇点一定位于相平面的横轴上。
28
相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以
按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。
18
*** 相平面分析法
❖
相平面法是一种通过图解法求解一、二阶非
线性系统的分析方法，方法的重点是将二阶非线
性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量
的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设
法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨迹，
并由此对系统的时间响应进行判别。所得结果比
x(t
)
1
x0et x0 x0et
x(t)
1
ln x0
0
x0 1
(8-2)
t
图8-1 一阶非线性系统
7
（4）非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复 杂的情况：
（a）跳跃谐振和多值响应
图8-2 所示的非线性弹簧输出的幅频特性。
A() 1. 2 2
4
3
4 .5
图8-2 跳跃谐振与多值响应
8
(b)分频振荡和倍频振荡 非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频
自动控制原理 第8章习题解答(非线性系统分析)
对于图
(a) 所示情形，G (
jω )
与
−
1 N
无交点，非线性系统不会产生自持振荡，
该非线性系统也是稳定的；
对于图 (b) 所示情形，G ( jω ) 与 − 1 有两个交点，其中交点 A 是稳定交点，
N
该非线性系统会产生自持振荡。
2 时， N(A)取极值。
2
−1
= − π ≈ −0.39
N ( A) A= 2
8
2
( ) （4）计算自振参数
− 1 =G N ( A)
jωg
A1 = 12.72 ，A2 = 0.503
即：系统将产生自振，振荡角频率为 ωg = 1 rad s ，振幅为 A = 12.72
12
【解】（1）将系统方框图化为标准结构
分析可得， ∆1 = 0.5
11
得系统等效方框图为：
（2）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
与负实轴的交点处，ωg = 1
G( jω) =
10
=5
ω ⋅ ( 1+ ω 2 )2 ω =ωg
−0.39
（3）绘出非线性部分的
−
1 N
曲线
计算可得，当 A =
2e0 =
解得：
∆1
=
∆ k
+α
4
习题8.4 设有非线性控制系统，其中非线性特性为斜率 k = 1的饱
和特性。当不考虑饱和特性时，闭环系统稳定。试分析该非线性控制系统 是否有产生自持振荡的可能性。 【解】不考虑饱和因素时，稳定的线性系统的开环频率响应形式有多种，例如：
AB
考虑饱和因素，斜率为 k = 1的饱和特性的 − 1 曲线分布在负实轴上
131209第8章非线性控制系统分析
非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性 继电器特性 变增益特性
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
y1 ( t )
4M
sin t
理想继电特性的描述函数：
4M N ( A) 0 A
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
可能不稳定—发散、衰减等
3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法 仿真方法
全数字仿真 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
自动控制原理非线性系统习题题库
8-1考虑并回答下面的问题：（a ）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么？（b ）什么样的非线性元件是无记忆的？什么样的非线性元件是有记忆的？它们的描述函数各有什么特点？（c ）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的？有什么是不同的？线性元件可以有描述函数吗？非线性元件可以有传递函数吗？（d ）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能够产生稳定的自激振荡吗？8-2设非线性元件的输入、输出特性为35135()()()()y t b x t b x t b x t =++证明该非线性元件的描述函数为2413535()48N A b b A b A =++式中A 为非线性元件输入正弦信号的幅值。
8-3某非线性元件的输入、输出特性如图8.61所示。
图8.61 习题8-3图（a ）试求非线性元件的描述函数。
（b ）将图8.61所示非线性元件表示为有死区继电器和有死区放大器的并联，用非线性元件并联描述函数的求法求它的描述函数，并与（a ）中的结果相比较。
8-4滞环继电特性如图8.62（a ）所示，证明它的描述函数可以表示为4()arcsin M a N A A A π⎛⎫=∠ ⎪⎝⎭且负倒描述函数的虚部为常值，负倒描述函数曲线如图8.62（b ）所示。
（a ） （b ）图8.62 习题8-4图8-5大对数控制系统的控制器后面都带有限幅器。
对图8.63（a ）所示PI 调节器输出带有限幅器的情况，在输入信号发生大的阶跃变化时，系统输出将出现比较大的退饱和超调。
所谓退饱和超调是指，在大的误差信号e 作用下，PI 调节器的输出将很快将到达饱和值，经限幅器限幅后控制作用u 维持在最大值max u 。
在max u 的作用下，输出c 逐渐增大，误差e 逐渐减小，但只要误差未改变符号，PI 调节器的积分项就将继续增大，0e =时积分项的值一般要远大于限幅器的限幅值max u 。
第八章非线性控制系统的分析
会有意引入或增大死区。
3.间隙特性(滞环特性)
间隙特性的静特性曲线如图8.4所示，其数学表达式为
（8.3）
式中，a为间隙宽度，K为比例系数(线性段斜率)，(t)=dx(t)/dt。
ሶ
8.1
非线性控制系统概述
间隙特性是一种非单值特性，表现为正向特性与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现
性具有明显的饱和非线性。
上述伺服电动机的非线性是因为使用的磁性材料具有非线性，
因此当输入电压超过一定数值时，伺服电动机的输出转矩就出现饱和现
象。实际上，由于伺服电动机还存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当
输入电压达到一定数值时，伺服电动机才会转动，即存在不灵敏区。所
以，伺服电动机的实际静特性是同时具有不灵敏区与饱和的非线性特性。
2.死区(不灵敏区)特性
死区特性的静特性曲线如图8.3所示，其数学表达式为
（8.2）
式中，a为死区宽度，K为线性输出斜率。
死区特性的特点是，当系统或环节有输入信号，但尚未超过数值a时，
无相应的信号输出。
死区特性在控制系统中也较为常见，一般的测量元件和执行机构都具
图8.3
死区特性
图8.4
间隙特性
有死区特性。当死区很小或对系统性能不会产生不利影响时，可以忽略不计。
现的这种周期运动即为自激振荡。自激振荡是非线性控制系统特有的，是非线性控制理论研究的重要问题。
8.1
非线性控制系统概述
8.1.4
非线性控制系统的分析与设计方法
描述非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程，对非线性控制系统进行分析的重点是系统稳定性
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4．当系统输入为速度信号时，受死区的影响，系统无调节作用，导致系统输出在时间上
的
，降低了系统的
。
5．坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做
。
6．相轨迹上相邻两点时间增量的计算一般有以下三种方法：（1）
；
ห้องสมุดไป่ตู้（2）
；（3）
。
7．描述函数法只能用来研究系统的
，不能给出时间响应的确切信息。
用，使得系统能从非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动形式。
A．非线性 B．低通滤波 C．振荡 D．阻尼
5.下图属于继电特性等效增益曲线：（
）
-
-
A.
B.
C.
D.
6.下图属于死区特性等效增益曲线：（
）
-
-
A.
B.
2
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1 0.2
10 c(t) s
s s +1
四、给定非线性系统如图所示
k
—
D
G( jw)
其中线性部分的频率特性和死区非线性元件的描述函数分别为
G( jw) =
jw (1 +
K
jw )(1
+
0.5
jw
)
,
N
(X
)
=
2k p
êép êë 2
- arcsin
D X
-
D X
当 K 取何值时，系统存在极限环，并分析极限环的稳定性。
G(Z)R(Z )
GR(Z )
C．
D．
1 + G(Z)H (Z)
1 + GH (Z )
3. 当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为
；当特征根为一对具有正实部
的共轭复根时，奇点为
。（
）
A．稳定焦点，不稳定焦点
B．不稳定焦点，稳定焦点
C．稳定节点，不稳定节点
D．不稳定节点，稳定节点
4. 极限环是非线性系统中的特有现象，它只发生在非守恒系统中，产生的原因是 的作
1 + çæ è
D X
÷ö 2 ø
ù úX úû
³
D, K
=1
五、已知非线性控制系统的结构图如图所示
r(t) —
b a
3
c(t)
s(0.8s + 1)(s +1)
4
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为使系统不产生自振，试利用描述函数法确定继电特性参数 a，b 的数值。
A． 0
B． ¥
C．1/K
D． T/K
2. 已知离散控制系统结构图如图所示，则其输出采样信号的 Z 变换的表达式 C（z）为：
（
）
1
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G(Z )R(Z )
GR(Z )
A．
B
1 + GH (Z ) 1 + G(Z )H (Z )
5
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第八章 非线性控制系统分析
单元测试题（B）
一、填空题
1．在没有外界周期变化信号输入时，非线性系统完全可能产生具有固定周期和幅值的
过程。
2．
法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，
并以此为基础，设计外环控制网络。
3．继电特性常常使系统产生
现象，但如果选择合适的继电特性可提高系
统的
，也可构成正弦信号发生器。
8．系统的线性部分应具有较好的
性能。
二、单项选择题 （在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标
号填入题干的括号内。）
1.
某单位反馈采样系统的开环脉冲传递函数为
G（Z）=
KZ (Z -
(1 - e－T ) 1)(Z - e－T )
，则在单位斜坡输
入下的稳态误差 e( ¥ )为：（
）
C.
D.
7.下图属于饱和特性等效增益曲线：（
）
-
-
A.
B.
C.
D.
8.下图属于间隙特性等效增益曲线：（
）
-
-
A.
B.
3
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C.
D.
三、非线性系统如图所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性。
r(t) —