《空间向量及其加减与数乘运算》公开课课件
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9.5空间向量及其运算第一课时空间向量及其加减与数乘运算-PPT课件
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想一想： 1．空间向量的概念及表示方法 如同平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向 量或相等的向量． 2．空间向量的加法、减法与数乘运算的定义 (1)与平面向量一样，我们定义空间向量的加法、减法与数乘向量，运算如下： OB― →＝ OA― →＋ AB― → ＝a＋b； CA― →＝ OA―→－ OC― → ＝ a－ b； OP― →＝ λa(λ∈ R)．
法二：用三角形法则求：作 MN― →＝ a， NP― →＝b，则有如图(2)所示 MP― →＝ a＋ b. 2．向量的减法运算结果仍是向量，它可以看作是加法运算即 a－ b＝a＋ (－b)，例如上 面图(2)中 MP― →－ MN― →＝ NP― →，图 (1)中 AB―→－ AD―→＝ DB― →.
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做一做： 1．两个向量 (非零向量)的模相等是两个向量相等的 ( B (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
)
解析：两个向量相等，则其模也相等，反之，则不一定正确．应选 B.
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精品空间向量的数乘运算(公开课课件)
数乘运算与向量外积的关系
外积定义
两个向量的外积定义为它们的对应分量相乘然后求和，即 v1×v2=(∑i=1nvi1×vi2)×(∑j=1nvj1×vj2)−(∑i=1nvii2×vi1)×(∑j=1nvjj2×vj1)v1 times v2 = (sum_{i=1}^{n} vi1 times vi2) times (sum_{ j=1}^{n} vj1 times vj2) - (sum_{i=1}^{n} vi2 times vi1)
1. 已知空间向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = (2,4,6)$， 求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
3. 已知空间向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，求单位向量 $frac{overset{longrightarrow}{a}}{|overset{longrig htarrow}{a}|}$。
THANK YOU
感谢聆听
数乘运算与向量内积的关系
内积定义
两个向量的内积定义为它们的对应 分量相乘然后求和，即 v1·v2=∑i=1nvi1×vi2v1·v2 = sum_{i=1}^{n} vi1 times vi2v1·v2=i=1∑nvi1×vi2。
数乘对内积的影响
如果一个向量被数乘，那么它的 模长会发生变化，而它的方向保 持不变。因此，数乘运算会影响 向量的内积值。
2. 已知空间向量$overset{longrightarrow}{a} = (1, -1,2)$， $overset{longrightarrow}{b} = (3,2,-1)$，求 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$。
《空间向量及其加减与数乘运算》(课件)
abba
(2) 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(3) 数乘分配律:
4. 空间向量的加法与数乘向量运算律: (1) 加法交换律:
abba
(2) 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(3) 数乘分配律: (a b) a b
4. 空间向量的加法与数乘向量运算律:
CA OA OC a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
OB OA OC OA AB a b
CA OA OC a b
P
a
O
a
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
OB OA OC OA AB a b
CA OA OC a b
a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a
b
O
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a
b
O
a A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O
a A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
结果为零向量的个数有____个.
[练习2] 已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，点M 是棱AA1中 点，点G 在对角线CA1 上，且
CG : GA=1 : 2，设 CD a,CB b,
CC1 c, 试用a, b, c表示向量CA,CA1,
(2) 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(3) 数乘分配律:
4. 空间向量的加法与数乘向量运算律: (1) 加法交换律:
abba
(2) 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(3) 数乘分配律: (a b) a b
4. 空间向量的加法与数乘向量运算律:
CA OA OC a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
OB OA OC OA AB a b
CA OA OC a b
P
a
O
a
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
OB OA OC OA AB a b
CA OA OC a b
a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a
b
O
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a
b
O
a A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O
a A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
结果为零向量的个数有____个.
[练习2] 已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，点M 是棱AA1中 点，点G 在对角线CA1 上，且
CG : GA=1 : 2，设 CD a,CB b,
CC1 c, 试用a, b, c表示向量CA,CA1,
《空间向量的加减法与数乘运算》
②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解 （1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想 象、数学运算及逻辑推理核心素养.
学而优 · 教有方
归纳小结
教学内容
1.基本知识 （1）空间向量的加减法运算法则； （2）加法运算律； （3）空间向量的数乘运算及其运算律； （4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养 （1）直观想象； （2）数学运算； （3）逻辑推理.
学而优 · 教有方
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
学而优 · 教有方
布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.
空间向量及其数乘运算学习课件PPT
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或平行四边形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 减法:三角形法则 数乘 数乘:ka,k为正数,负数,零 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律
ab ba
加法交换律 加法结合律
ab ba
加法结合律 (a b) c a (b c) 数乘分配律
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
a
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 则
1 OP OA OB 2
O
B A
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
9
1.下列说明正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
13
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
1 DM （ a b) c 2 1 AG （ a b c) 3 B
M
A
D G
C
新疆奎屯市第一方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各 式中的x,y.
A E B C D
(a b) c a (b c)
3
k (a b) k a＋k b 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
课件15：3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算
解：(1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N ＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， ∴M→P＋N→C1＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c)＝32a＋12b＋32c.
典例 2 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化简下列向 量表达式，并在图中标出化简结果的向量. (1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B ＋B→′C′.
解：(1)A→A′－C→B＝A→A′－D→A＝A→A′＋A→D＝A→D′. (2)A→A′＋A→B＋B→′C′ ＝(A→A′＋A→B)＋B→′C′ ＝A→B′＋B→′C′＝A→C′. 向量A→D′、A→C′如图所示．
令M→Q＝λM→N＋μM→P，则－12a＋b＋12c＝12(μ－λ)a＋12λb＋12μc，
12(μ－λ)＝－12 ∴12λ＝1
12μ＝12
，∴λμ＝＝21 .
∴M→Q＝2M→N＋M→P，因此向量M→Q、M→N、M→P共面， ∴四点 M、N、P、Q 共面．
〔跟踪练习 5〕如图，已知 E、F、G、H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点．用向量法证明 E、F、 G、H 四点共面．
共面向量
对空间任意一点 O，点 P 在直 点 P 位于平面 ABC 内的充要
空间向量及其加减运算PPT课件
浙江省玉环县楚门中学吕联华
㈠向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 a ·· ·
D
A C
B
D1 A1
C1
B1
这个”平移“就是一个向量 a=“自西向东平移4个单位”
㈡向量的表示方法：空间向量可用有向线段表示
a b
B
记作：向量a、b。 O
A
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。
（3）设M是线段CC1的中点，则AB+AD+1/2CC1= AC+CM=AM
（4）设G是线段AC1的三等分点，则1/3（AB+AD+AA1） =1/3AC1=AG
㈦巩固：
1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别 是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量
（1）AB+BC+CD； （2）AB+1/2（BD+BC） A （3）AG – ½（AB+AC）
a
a
a
a
b
baa
a
a
a
b
c
b
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb （由同学自已证明）
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨 迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a
D
A
C1 B1
C B
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱。
（3）AF=AD+xAB+yAA1
㈠向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 a ·· ·
D
A C
B
D1 A1
C1
B1
这个”平移“就是一个向量 a=“自西向东平移4个单位”
㈡向量的表示方法：空间向量可用有向线段表示
a b
B
记作：向量a、b。 O
A
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。
（3）设M是线段CC1的中点，则AB+AD+1/2CC1= AC+CM=AM
（4）设G是线段AC1的三等分点，则1/3（AB+AD+AA1） =1/3AC1=AG
㈦巩固：
1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别 是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量
（1）AB+BC+CD； （2）AB+1/2（BD+BC） A （3）AG – ½（AB+AC）
a
a
a
a
b
baa
a
a
a
b
c
b
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb （由同学自已证明）
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨 迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a
D
A
C1 B1
C B
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱。
（3）AF=AD+xAB+yAA1
数学：311《空间向量及讲义其运算-加减运算》PPT课件新人教A版-选修2-1
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广
谢
谢
观
看
空间向量及其运算(一)
引入
有关概念
本课小结
如何定义加 减法运算
思考2
课堂练习
作业:课本 P92 练习 3
空间向量及其运算(一)
这是什么? 向量
如:力、位移等. 问题 1: C
向上 如图:已知 OA=6 米,
B
正北
O 正东 A
AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
再比如课本 P90 问题……
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
返回
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBcb BcFra bibliotek(平面向量)
空间中
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a a
问题 2:课本 P90 问题……
F3
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间
的夹角都为60度, 它们的合力的大小
为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量 ……
空间量的概念
空间向量及其运算(一)
一、空间向量的有关概念：
c
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
3.1空间向量及其加减与数乘运算课件
向量共线定理
类似于平面,对于空间任意两个 向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在唯一的 R , a b .
b c
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 a
A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
AP t AB
OP xOA yOB(x y 1)
中点公式：若P为AB中点, 则 OP 1 OA OB 2 B P A
的夹角都为900,
F3
它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量. A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间
D
2
G
B
M
C
练习2 在立方体AC ,中,点E是面A ’ C’ 的中心,求下列各式 中的x,y.
A
E
D
B
C
(1)AC ' x(AB BC CC ' )
(2)AE AA ' xAB yAD
A
D
类似于平面,对于空间任意两个 向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在唯一的 R , a b .
b c
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 a
A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
AP t AB
OP xOA yOB(x y 1)
中点公式：若P为AB中点, 则 OP 1 OA OB 2 B P A
的夹角都为900,
F3
它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量. A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间
D
2
G
B
M
C
练习2 在立方体AC ,中,点E是面A ’ C’ 的中心,求下列各式 中的x,y.
A
E
D
B
C
(1)AC ' x(AB BC CC ' )
(2)AE AA ' xAB yAD
A
D
空间向量及其数乘运算 PPT
C
A
B
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
u u u ru u u 求u r 满u 足u u u 下r列各u u u 式r的x的值。
( 1 ) A B 1 A 1 D 1 C 1 C x A C
u u u ru u u u ru u u u r 解 : ( 1 ) A B 1 A 1 D 1 C 1 C
D1
C1
A1
B1
uuur uuuur uuuur
uuAurB1 B1C1 C1C
AC
D
C
x 1.
A
B
u u u u ru u u u r u u u u r ( 2 ) 2 A D 1 B D 1 x A C 1
u u u u r u u u u r
(2 ) u u 2 u u A rD u 1 u u u rB D u 1 u u u r
B A
O
1.下列说明正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
x 1
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
B
C
练习4
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各 式中的x,y.
A B
E C
D (2)AEAA' xAByAD u u u r u u u u r u u u r A EA A' A E
uAuA uur' 1(uAuB uruAuD ur) 2
课件16：3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算
思考 2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ (2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C， 满足O→P＝13O→A＋31O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否 共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量． (2)由O→P＝13O→A＋13O→B＋13O→C得O→P－O→A ＝13(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) 即A→P＝13A→B＋13A→C，因此点 P 与点 A，B，C 共面．
＝a＋b
的运算
减 法
C→A＝ O→A－O→C ＝a－b
加法运算 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
思考 1：(1)空间中，a，b，c 为不共面向量，则 a＋b＋c 的几何意义是什么？ (2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？
2．已知向量 a，b，c 不共面，且 p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c， n＝a＋b－c，试判断 p，m，n 是否共面．
[提示] 设 p＝xm＋yn，即 3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋ y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c．
x＋y＝3， 因为 a，b，c 不共面，所以－x＋y＝2，
∴x＝－21，y＝－12．
(2)∵P→A＝P→D＋D→A＝P→D＋2Q→O ＝P→D＋2(P→O－P→Q)＝P→D＋2P→O－2P→Q， ∴x＝2，y＝－2．
类型3 共线问题
例 3 设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知A→B＝e1＋ke2， B→C＝5e1＋4e2，D→C＝－e1－2e2，且 A，B，D 三点共线， 实数 k＝________．
人教版高中数学课件第五册3.1.1空间向量及其加减与数乘运算
D1
AB1 B1C1 C1C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C B
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2AD1 BD1 xAC1 (3) AC AB1 AD1 xAC1
A1 G
D A
B1 M
C B
(2)AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
O
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD
边的中点,化简
A
(1)
AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D (1)原式＝AB BM MG AG
B
M
(2)原式
G ＝AB BM MG 1 ( AB AC)
2
C
＝BM MG 1 ( AB AC)
(2) 2AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1) AD1 D1C1 AC1
空间向量的概念及加法减法数乘运算课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2 2
)
1 1
D. a+ b+c
2 2
1
1
1 1
解析:=+=+ + = a+ b-c,故选
2
2
2 2
答案:C
C.
探索点一
空间向量的有关概念
【例 1】(1)给出下列命题:
①单位向量没有确定的方向;
②空间向量是不能平行移动的;
③有向线段可以用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示
1
1
1
1
=+ = + = (5a+6b-8c)+ (a-2c)=3a+3b-5c.
2
2
2
2
5.拔高练如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,=
1
,1 =2 ,设=a, =b,1 =c,试用
2
a,b,c 表示 .
解:如图所示,连接 AN,
,称为向量 a 的数乘
3.空间向量线性运算的运算律
分配律
(λ+μ)a= λa+μa,λ(a+b)= λa+λb
1
结合律
λ(μa)= (λμ)a 1
【思考】平面向量的加法、减法运算与空间向量的加法、减法运算有
什么联系?
提示:任意两个向量都可平移到同一平面,故空间向量
的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算类似.
(1)单位向量:空间中的所有单位向量的模都是 1,因此单
位向量的模相等,但应注意方向不一定相同.
(2)相等向量或相反向量:相等向量的模相等,方向也相
同;相反向量的模相等,但方向相反.
【跟踪训练】
)
1 1
D. a+ b+c
2 2
1
1
1 1
解析:=+=+ + = a+ b-c,故选
2
2
2 2
答案:C
C.
探索点一
空间向量的有关概念
【例 1】(1)给出下列命题:
①单位向量没有确定的方向;
②空间向量是不能平行移动的;
③有向线段可以用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示
1
1
1
1
=+ = + = (5a+6b-8c)+ (a-2c)=3a+3b-5c.
2
2
2
2
5.拔高练如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,=
1
,1 =2 ,设=a, =b,1 =c,试用
2
a,b,c 表示 .
解:如图所示,连接 AN,
,称为向量 a 的数乘
3.空间向量线性运算的运算律
分配律
(λ+μ)a= λa+μa,λ(a+b)= λa+λb
1
结合律
λ(μa)= (λμ)a 1
【思考】平面向量的加法、减法运算与空间向量的加法、减法运算有
什么联系?
提示:任意两个向量都可平移到同一平面,故空间向量
的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算类似.
(1)单位向量:空间中的所有单位向量的模都是 1,因此单
位向量的模相等,但应注意方向不一定相同.
(2)相等向量或相反向量:相等向量的模相等,方向也相
同;相反向量的模相等,但方向相反.
【跟踪训练】
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⒉空间向量的加法、减法与数乘向量
C
B
b
b
O
a
A O
P
a
a
a
OB OA AB a + b CA OA OC a - b OP a ( R)
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律： λ(a + b) =λa +λb ； a
C B
AG．
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A1 D1 B1 C1
D
C B
A
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
解：(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
A1 D1 B1 C1
x 1.
A
D B
C
例2：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 A1
D1 B1
C1
⑶AC AB1 AD1 x AC1
A1
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
例1 已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下
列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
a c
b
b
c
对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立． ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加．
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A D B C A1 D1 B1 C1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
D’ A’ B’
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'； 1 ⑶ AB AD CC ' 2 1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3
A
C’
D B
C
例1已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'； 解：⑴AB BC AC ⑵AB AD AA' AC AA' AC CC' AC'
解：(3) AC AB1 AD1
A
D B
C
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) 2( AD AB AA1 )
2 AC1
x 2.
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
ka
⒊平面向量的加法与数乘运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
A’
D’
B’
C’
D
A B
C
例1已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量： 1 ⑶ AB AD CC ' 2
解：⑶设M是线段CC’的中点，则
1 AB AD CC ' 2
D’ C’ B’ M
AC CM
A’
AM
D A B
C
例1已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量： 1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3
解：⑷设G是线段AC’靠近点A的 三等分点，则
1 ( AB AD AA' ) 3 1 AC ' 3
A’
D’ B’
C’
M D A
G
D G B M
C
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边 的中点,化简：
1 1 (1) AB ( BC BD ) (2) AG ( AB AC ) 2 2
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
D
G
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示． 相等的向量：长度相等且方向相同的向量． B D
A
C
⒉平面向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
b
a
a
平行四边形法则
三角形法则
⑵向量的减法 三角形法则 ⑶向量的数乘 a ka （k>0） （k<0） b a