第三章：相关系数r 的计算公式的推导
相关系数r的计算公式 方差
相关系数r的计算公式方差相关系数是一种度量变量之间关系紧密程度的统计指标，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
在统计学的研究和实践中，相关系数在许多领域都起着极为重要的作用。
在本文中，我们将着重探讨相关系数的计算公式和方差计算方法，并且提供一定的使用指导意义，帮助读者更好地理解和应用相关系数。
一、相关系数的计算公式相关系数一般用字母r表示，计算公式如下：r = Cov(X,Y) / (SD(X) * SD(Y))其中，Cov(X,Y)表示变量X与Y之间的协方差，SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。
这个公式表明，相关系数的计算取决于变量X和Y之间的协方差、X和Y的标准差。
当协方差为正数时，X和Y呈正相关关系；当协方差为负数时，X和Y呈负相关关系。
而当协方差为0时，X和Y之间不具有任何线性相关性。
二、方差的计算方法方差是统计学中常用的一种表示数据离散程度的指标，它是各个数据值与其均值差的平方的和的平均值。
方差的计算方法如下：S² = Σ (Xi - X)² / n其中，S²表示方差；Xi表示第i个数据值；X表示平均数；n表示样本数。
方差的计算是通过测量样本中各个数据值与它们的平均值的偏离程度，来体现样本数据的离散程度。
在统计学中，方差是很重要的一个概念，经常被用于衡量数据集的离散程度，并且方差的大小可以对比不同数据集之间的差异性和稳定性。
三、使用相关系数的指导意义相关系数是衡量两个变量线性相关度量的一个重要方法，它可以及时发现和分析变量之间的相互关系，为后续的数据分析和决策制定提供基础依据。
在实际应用中，相关系数可以被广泛应用于经济、社会学、生物学、医学等多个领域。
在进行相关系数的计算和应用时，需要注意以下几点：1. 相关系数是用于描述两个变量之间的线性关系，而非其他非线性关系，如二次关系、指数关系等。
2. 相关系数的取值范围是[-1,1]，其中，-1表示完全的负相关，0表示两个变量之间没有关系，1表示完全的正相关。
相关系数r的两个公式
相关系数r的两个公式相关系数是反映两个变量之间相关程度的统计量，常用于统计学和数据分析中。
它的计算方式有两个公式：皮尔逊相关系数公式和斯皮尔曼等级相关系数公式。
下面将详细介绍这两个公式的定义和应用。
首先，我们来看皮尔逊相关系数公式。
皮尔逊相关系数是衡量两个变量之间线性相关程度的指标，取值范围在-1到1之间。
计算公式如下：r = Σ[(X - X̄) * (Y - Ȳ)] / [√(Σ(X - X̄)^2) *√(Σ(Y - Ȳ)^2)]其中，X和Y分别表示两个变量的观测值，X̄和Ȳ分别表示两个变量的平均值。
Σ表示对所有观测值进行求和运算。
斯皮尔曼等级相关系数是衡量两个变量之间的单调相关程度的指标，适用于两个变量不符合线性关系的情况。
计算公式如下：r = 1 - [6 * Σ(D^2)] / [n * (n^2 - 1)]其中，D表示两个变量的等级差，n表示样本容量。
Σ表示对所有等级差进行求和运算。
皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数的应用非常广泛。
在社会科学研究中，可以用于衡量两个变量之间的联系程度，如收入和教育水平、幸福感和社交关系等。
在金融领域，可以用于研究股票之间的相关性，从而进行投资组合的优化和风险控制。
此外，相关系数还可以用于预测和回归分析。
通过计算两个变量之间的相关系数，可以了解它们之间的关系强度，并基于该关系建立预测模型或回归方程。
通过分析相关系数，我们可以预测变量之间的趋势，并根据预测结果做出合理的决策。
总之，相关系数是一种重要的统计指标，能够帮助我们了解两个变量之间的关系强度和趋势。
无论是在科研领域还是实际应用中，都需要掌握相关系数的计算公式和应用方法，以提高数据分析的准确性和有效性。
希望本文的介绍对相关系数的理解和应用有所帮助。
样本相关系数r的计算公式
样本相关系数r的计算公式
相关系数r的计算公式r(X，Y)=Cov(X，Y)/√Var[X]Var[Y]。
其中，Cov(X，Y)为X与Y的协方差，Var[X]为X的方差，Var[Y]为Y的方差。
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。
由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
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相关系数r2的计算公式
相关系数r2的计算公式相关系数（Coefficient of correlation）是用来衡量两个变量之间关系强度和方向的统计指标。
一般用符号“r”表示，其取值范围在-1到1之间。
如果r为正值，表示两个变量正相关；如果r为负值，表示两个变量负相关；如果r的绝对值接近于0，则表示两个变量之间无明显的线性关系。
相关系数的计算公式主要包括Pearson相关系数、Spearman相关系数和Kendall相关系数。
下面将分别介绍。
1. Pearson相关系数（r）Pearson相关系数，也称为线性相关系数，用于衡量两个连续变量之间的线性关系强度。
Pearson相关系数的计算公式为：r = Σ((X_i - X̅) * (Y_i - Ȳ)) / sqrt(Σ(X_i - X̅)² *Σ(Y_i - Ȳ)²)其中，X_i和Y_i分别表示X和Y的观察值，X̅和Ȳ分别表示X和Y的平均值。
2. Spearman相关系数（ρ）Spearman相关系数用于衡量两个变量之间的单调关系强度，不仅仅局限于线性关系。
Spearman相关系数的计算公式为：ρ=1-6Σd²/(n(n²-1))其中，d表示两个变量对应观察值的秩次差，n表示样本个数。
3. Kendall相关系数（τ）Kendall相关系数也用于衡量两个变量之间的单调关系强度，与Spearman相关系数类似，但其计算方式略有不同。
Kendall相关系数的计算公式为：τ=(P-Q)/(P+Q)其中，P表示在一对观察值中具有相同顺序的对数，Q表示在一对观察值中具有不同顺序的对数。
需要注意的是，公式中的相关系数r、ρ和τ的取值范围都在-1到1之间。
当相关系数接近于1时，表示两个变量之间关系越强；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系越弱；当相关系数接近于-1时，表示两个变量之间关系越强并呈负相关。
相关系数的意义在于帮助我们理解变量之间的关系强弱和方向，从而为进一步分析和预测提供依据。
第三章附录：相关系数r 的计算公式的推导
相关系数r AB 的计算公式的推导设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2A σ=11-n 2)(∑-A A i2B σ=11-n )(B B i-∑22P σ=11-n 2)1(∑∑-ii P nP=2)](1)[(11i B i Ai B i A B A A A nB A A A n +-+-∑∑=2)]()[(11B A A A B A A A n B A i B i A+-+-∑=2)]()([11B B A A A A n i B i A-+--∑=)])((2)()([112222B B A A A A B B A A A An i i B A i B i A--+-+--∑ =A2A×221)(BiAn A A +--∑×1)])([(21)(2---+--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i=A 1)])([(22222---⨯++∑n B B A A A A A i iBA BBAAσσ对照公式（1）得：=1)(2--∑n A A i ×1)(2--∑n B B i × r AB∴ r AB =∑∑∑-⨯---22)()()])([(B BA AB B A A iii i这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：(2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2P σ取极小值的A A ：ABB A i ir n B B A Aσσ=---∑1)])([(A A =ABB A BAAB B A B r r σσσσσσσ2222-+- ... (3)式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
第三章附录：相关系数r 的计算公式的推导教学提纲
相关系数r AB 的计算公式的推导设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2A σ=11-n 2)(∑-A A i 2B σ=11-n )(B B i -∑2 2P σ=11-n 2)1(∑∑-i iP n P =2)](1)[(11i B i A iB i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(11B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([11B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([112222B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2A×221)(BiAn A A +--∑×1)])([(21)(2---+--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i=A 1)])([(22222---⨯++∑n B B A A A A A i iBA BBAA σσ对照公式（1）得：=1)(2--∑n A A i×1)(2--∑n B B i× r AB∴ r AB =∑∑∑-⨯---22)()()])([(B B A A B B A A iiii这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：(2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2P σ取极小值的A A ：ABB Aiir n B B A A σσ=---∑1)])([(A A =ABB A B A ABB A B r r σσσσσσσ2222-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
相关系数r的计算
相关系数r的计算相关系数定义式为：若Y=a+bX，则有：令E(X) = μ，D(X) = σ，则E(Y) = bμ+ a，D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ+ b(σ+ μ)，Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ。
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。
由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。
相关系数定义式为：若Y=a+bX，则有：令E(X) = μ，D(X) = σ，则E(Y) = bμ+ a，D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ+ b(σ+ μ)，Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ。
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
需要说明的是，皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数，但是最常见的相关系数。
依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。
如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。
因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1﹔当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。
特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。
财务管理相关系数r的计算公式
财务管理相关系数r的计算公式好的，以下是为您生成的文章：财务管理中，相关系数 r 这个概念就像是一个神秘的密码，解开了就能让我们更清晰地洞察财务数据之间的关系。
它的计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开财务世界的大门。
先来说说相关系数 r 到底是个啥。
打个比方，假如你有两个朋友，一个朋友每次出去玩都花很多钱，另一个朋友却很节省。
你可能会好奇，这两个人的花钱习惯有没有什么关联？这就是相关系数要研究的事儿。
相关系数 r 就是用来衡量两个变量之间线性关系的紧密程度和方向的。
那相关系数 r 的计算公式是咋来的呢？这得从一堆数学推导说起。
公式是：r = [∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均)] / [√∑(Xi - X 均)² √∑(Yi - Y 均)²] 。
看起来是不是有点头疼？别慌，咱们慢慢拆解。
比如说，有一组股票 A 和股票 B 的收益率数据。
股票 A 的收益率分别是10%、20%、15%、25%、30%，股票B 的收益率是8%、18%、12%、22%、28%。
咱们来算算它们的相关系数。
首先，得算出股票 A 的平均收益率 X 均，就是把这几个数加起来除以 5 ，（10% + 20% + 15% + 25% + 30%）÷ 5 = 20% 。
同样，算出股票 B 的平均收益率 Y 均，（8% + 18% + 12% + 22% + 28%）÷ 5 = 18% 。
然后，对于每一个数据点，比如股票 A 的第一个数据 10% ，我们用它减去平均收益率 20% ，得到 -10% ，股票 B 的第一个数据 8% 减去平均收益率18% ，得到-10% 。
接着把这两个差值相乘，以此类推，把所有的数据点都这么处理，然后把这些乘积加起来，这就是∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均) 。
再分别算出∑(Xi - X 均)²和∑(Yi - Y 均)²，开平方后相乘，最后用前面算出来的∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均) 除以这个乘积，就得到了相关系数 r 。
相关系数r的计算公式化简
相关系数r的计算公式化简相关系数是用来衡量两个变量之间相关程度的统计量。
它可以帮助我们了解变量之间的关系以及预测未来的趋势。
相关系数的计算公式可以通过以下方式进行简化。
相关系数的计算公式如下：r = Σ((Xi - X) * (Yi - Ȳ)) / √(Σ(Xi - X)² * Σ(Yi - Ȳ)²)其中，r代表相关系数，Xi和Yi分别代表两个变量的观测值，X和Ȳ分别代表两个变量的平均值。
为了简化该公式，我们可以将其分为三个部分进行计算。
我们计算两个变量的差值。
对于每个观测值，我们减去其对应的平均值。
这样可以得到每个观测值与平均值的差值。
然后，我们计算差值的乘积。
将上一步得到的差值相乘，得到每个观测值差值的乘积。
我们将差值乘积的总和除以各自差值的平方和的平方根。
这样可以得到相关系数的值。
通过以上步骤，我们可以简化相关系数的计算公式，使其更易于理解和计算。
相关系数可以取值范围为-1到1之间。
当相关系数为-1时，表示两个变量呈完全负相关；当相关系数为1时，表示两个变量呈完全正相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数的值越接近于-1或1，表示两个变量之间的关系越强；相关系数的值越接近于0，表示两个变量之间的关系越弱。
相关系数的计算可以帮助我们分析数据，找出变量之间的关联性，并做出相应的决策。
例如，在金融领域，相关系数可以用来分析股票之间的关系，帮助投资者进行投资决策；在市场调研中，相关系数可以用来分析消费者行为与市场变化之间的关系，帮助企业制定营销策略。
相关系数是一个有用的统计量，可以帮助我们理解变量之间的关系。
通过简化相关系数的计算公式，我们可以更好地理解和应用相关系数，从而做出更准确的预测和决策。
第三章：相关系数r 的计算公式的推导
第三章附录：相关系数r的计算公式的推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相关系数r AB 的计算公式的推导设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2A σ=11-n 2)(∑-A A i 2B σ=11-n )(B B i -∑2 2P σ=11-n 2)1(∑∑-i iP n P =2)](1)[(11i B i A iB i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(11B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([11B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([112222B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A2A×221)(BiAn A A +--∑×1)])([(21)(2---+--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i=A 1)])([(22222---⨯++∑n B B A A A A A i iB A BBAAσσ对照公式（1）得：=1)(2--∑n A Ai×1)(2--∑n B Bi× r AB∴ r AB =∑∑∑-⨯---22)()()])([(B B A A B B A A iiii这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：(2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2P σ取极小值的A A ：A A =ABB A B A ABB A B r r σσσσσσσ2222-+- … …………………………………（3） ABB Aiir n B B A A σσ=---∑1)])([(式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
财务成本管理相关系数r的公式
财务成本管理相关系数r的公式在咱们财务成本管理的领域里，相关系数r 可是个相当重要的概念。
它就像是财务世界里的一把神奇钥匙，能帮我们解锁很多复杂的问题。
先来说说相关系数 r 的公式吧，它一般表示为：r = [Σ(X - X)(Y - Ȳ)] / [sqrt(Σ(X - X)²) × sqrt(Σ(Y - Ȳ)²)] 。
看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢拆解。
我想起之前在给学生们讲解这个公式的时候，有个特别有趣的事儿。
有个学生，咱们就叫他小李吧，他瞪着这个公式，眼睛都快直了。
然后一脸困惑地问我：“老师，这一堆符号看着就头疼，到底怎么用啊？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一点点来。
”咱们先看分子部分，Σ(X - X)(Y - Ȳ) ，这其实就是计算 X 和 Y 的协方差。
比如说，我们有一组股票 A 的价格数据和另一组股票 B 的价格数据，X 就是股票 A 的价格，Y 就是股票 B 的价格，X是股票 A 价格的平均值，Ȳ是股票 B 价格的平均值。
通过计算每一个 X 与X的差值，乘以对应的 Y 与Ȳ 的差值，再把这些乘积加起来，就能得到协方差啦。
再看分母，sqrt(Σ(X - X)²) 这是计算 X 的标准差，sqrt(Σ(Y - Ȳ)²) 是计算 Y 的标准差。
标准差反映的是数据的离散程度。
把这两部分结合起来，相关系数 r 的取值就在 -1 到 1 之间。
当 r 接近 1 时，说明两个变量正相关程度很高，就像夏天的气温和冰淇淋的销量，气温越高，冰淇淋卖得越多；当 r 接近 -1 时，表明负相关程度高，比如雨伞的销量和天气晴朗的日子，晴天越多，雨伞卖得越少；要是 r 接近 0 ，那这两个变量就没啥明显的线性关系。
就像之前我观察到的一个小现象，在一个商场里，某种品牌服装的销售额和同商场里咖啡店的客流量。
一开始我以为它们之间可能没什么关系，但通过收集数据计算相关系数，发现 r 的值很接近 0 ，果然它们之间没有明显的线性关联。
相关系数r的两个公式
相关系数r的两个公式相关系数是统计学中一种用来衡量两个变量之间关联程度的指标。
它反映了两个变量之间的线性关系程度，范围介于-1和1之间。
如果相关系数接近1，说明两个变量正相关强烈；如果接近-1，说明两个变量负相关强烈；如果接近0，说明两个变量无线性关系。
下面将介绍相关系数r的两种计算公式。
第一种公式是皮尔逊相关系数公式：皮尔逊相关系数公式用于计算两个连续变量之间的相关性。
公式如下：r = Σ((x_i - x̄)(y_i - ȳ)) / sqrt(Σ(x_i - x̄)^2) *sqrt(Σ(y_i - ȳ)^2)其中，r表示相关系数，x_i和y_i表示变量x和y的观测值，x̄和ȳ表示变量x和y的平均值。
皮尔逊相关系数的计算过程可以分为三个步骤：1. 计算每个变量的观测值与其平均值之差。
2. 将这些差值相乘。
3. 将乘积的总和除以两个变量差值的平方和的乘积。
第二种公式是斯皮尔曼相关系数公式：斯皮尔曼相关系数公式用于计算两个有序变量之间的相关性。
公式如下：r_s = 1 - (6Σd_i^2) / (n(n^2 - 1))其中，r_s表示斯皮尔曼相关系数，d_i表示两个变量之间的差异，n表示变量的个数。
斯皮尔曼相关系数的计算过程可以分为四个步骤：1. 将变量的观测值按照大小顺序进行排列，并赋予相应的秩次。
2. 计算每个变量的秩次之差。
3. 将差值平方并求和。
4. 根据公式计算斯皮尔曼相关系数。
相关系数r的两种公式可以应用于不同类型的数据分析中。
皮尔逊相关系数适用于连续变量且满足线性关系的情况，而斯皮尔曼相关系数更适合于有序变量或非线性关系的情况。
在实际应用中，相关系数可以帮助我们理解变量之间的关系，并预测它们的变化趋势。
例如，在市场调研中，我们可以使用相关系数来分析广告投放与销售额之间的关系，从而确定最有效的市场推广策略。
同时，相关系数的值还可以用来评估模型的拟合程度。
如果相关系数接近1或-1，则说明模型的拟合效果较好；如果接近0，则表示模型的拟合效果较差。
相关系数r方的计算公式
相关系数r方的计算公式在统计学中，相关系数 r 方可是个相当重要的概念呢！它能帮助我们了解两个变量之间线性关系的紧密程度。
相关系数 r 方的计算公式是：r 方 = （相关系数 r）的平方。
相关系数 r 的计算公式稍微有点复杂，它是通过对两个变量的观测值进行一系列计算得出的。
简单来说，就是用来衡量两个变量之间线性相关程度的一个数值。
咱们先来说说相关系数 r 方到底有啥用。
比如说，在研究学生的学习时间和考试成绩的关系时，通过计算相关系数 r 方，就能知道学习时间对考试成绩的影响到底有多大。
如果 r 方的值接近 1，那就说明学习时间和考试成绩之间有很强的线性关系；要是 r 方的值接近 0，那这两者之间的线性关系就比较弱啦。
我记得有一次，我给学生们讲相关系数 r 方的时候，有个学生就特别迷糊。
他皱着眉头问我：“老师，这东西这么复杂，到底在生活中有啥用啊？”我当时就笑了，给他举了个例子。
我说：“假设你特别喜欢打篮球，你想知道自己每天练习投篮的时间和投篮命中率之间的关系。
通过计算相关系数 r 方，就能清楚地知道你多花时间练习投篮，是不是真的能让你的命中率大幅提高。
如果 r 方的值很大，那说明你的努力很有效果；要是 r 方的值很小，可能你就得找找其他提高命中率的方法啦。
”这个学生听了之后，眼睛一下子亮了起来，好像终于明白了这个概念的意义。
再比如说，在医学研究中，研究人员想知道某种药物的剂量和治疗效果之间的关系，也会用到相关系数 r 方。
还有在经济领域，分析消费支出和收入之间的关系，相关系数 r 方也能派上大用场。
在实际计算相关系数 r 方的时候，要先收集两个变量的观测数据，然后根据公式进行计算。
这可需要细心和耐心哦，一个小错误都可能导致结果不准确。
总之，相关系数 r 方虽然计算起来可能有点麻烦，但它在各个领域的数据分析中都起着至关重要的作用。
只要我们掌握了它，就能更好地理解事物之间的关系，做出更准确的判断和决策。
第三章1.2相关系数
相关系数[学习目标]了解相关系数的计算公式，会由r 值的大小判断两随机变量线性相关程度的大小． [知识链接]当r ＝1或－1时，两个变量的相关性如何答 当r ＝1时，两个变量完全正相关；当r ＝－1时，两个变量完全负相关． [预习导引]1．相关系数r 的计算假设两个随机变量的数据分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则变量间线性相关系数r 的计算公式为r ＝l xyl xx l yy＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2∑n i ＝1（y i －y －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx －y －∑ni ＝1x 2i －nx －2∑ni ＝1y 2i －ny －22．误差表达式Q (a ，b )＝∑ni ＝1[y i －(a ＋bx i )]2＝l yy ＋n [y －－(a ＋bx －)]2＋l xx(b －l xy l xx )－l 2xyl xx， Q min ＝l yy (1－r 2)(Q ≥0)． 3．相关系数r 的性质 (1)r 的取值范围为[－1，1]；(2)|r |值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越高； (3)|r |值越接近0，Q 越大，变量之间的线性相关程度越低.要点一 利用相关系数检验两变量间的相关性例1 现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x )与入学后第一次考试的数学成绩(y )如下： 学生号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系 解 x －＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝，y －＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68，∑10i ＝1x 2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584， ∑10i ＝1y 2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384， ∑10i ＝1x i y i ＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73 796. 所以相关系数为r ＝73 796－10××68（116 584－10×）（47 384－10×682）≈ 6.由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系．规律方法 利用相关系数r 进行判断相关关系，需要应用公式计算出r 的值，由于数据较大，需要借助计算器．跟踪演练1 假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：x 2 3 4 5 6 y已知∑5i ＝1x 2i ＝90，∑5i ＝1y 2i ＝，∑5i ＝1x i y i ＝.(1)求x －，y －；(2)对x ，y 进行线性相关性检验． 解 (1)x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4.y －＝错误!＝5.(2)∑5i ＝1x i y i －5x －y －＝－5×4×5＝， ∑5i ＝1x 2i －5x －2＝90－5×42＝10， ∑5i ＝1y 2i －5y －2＝－125＝， 所以r ＝错误!≈.|r |≈＞，所以x 与y 之间具有很强的线性相关关系． 要点二 线性回归分析例2 已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量x (kg)与每单位面积蔬菜年平均产量y (t)之间的关系有如下数据：(1)求x 与y 之间的相关系数，并检验是否线性相关；(2)若线性相关，求蔬菜产量y 与使用氮肥量x 之间的线性回归直线方程，并估计每单位面积施氮肥150 kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量． 解 (1)列出下表，并用科学计算器进行相关计算：x －＝1 51515＝101，y －＝错误!≈，∑15i ＝1x 2i ＝161 125，∑15i ＝1y 2i ＝1 ，∑15i ＝1x i y i ＝16 . 故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数 r ＝16 －15×101×（161 125－15×1012）（1 －15×）≈ 3.所以蔬菜产量与施用氮肥量之间存在着线性相关关系． (2)设所求的线性回归方程为y ＝a ＋bx ，则b ＝∑15i ＝1x i y i －15x －y －∑15i ＝1x 2i －15x －2＝16 －15×101×161 125－15×1012≈ 7， a ＝y －－bx －≈－ 7×101＝ 3， ∴线性回归方程为y ＝ 3＋ 7x .∴当每单位面积施氮肥150 kg 时，每单位面积蔬菜年平均产量为 3＋ 7×150≈(t)．规律方法 在研究两个变量之间的关系时，应先进行相关性检验，若具备线性相关关系再求线性回归方程．如果本身两个变量不具备线性相关关系，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．跟踪演练2 为分析学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取10名学生，了解他们的入学成绩和高一期末考试数学成绩如下表：入学成绩(x ) 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 高一期末成绩(y )65785282928973985675(1)画出散点图；(2)对变量x 与y 进行相关性检验，如果x 与y 之间具有线性相关关系，求出线性回归方程；(3)若某学生入学的数学成绩为80分，试估计他在高一期末考试中的数学成绩．解 (1)散点图如图所示．(2)由题可得x －＝70，y －＝76，∑10i ＝1(x i －x －)·(y i －y －)＝1 894， ∑10i ＝1(x i －x －)2＝2 474， ∑n i ＝1 (y i －y －)2＝2 056， 因此可得相关系数为r ＝∑10i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑10i ＝1 （x i －x －）2·∑10i ＝1 （y i －y －）2＝ 1 8942 474× 2 056≈ 8＞，所以入学数学成绩与高一期末考试数学成绩存在线性相关关系． 设线性回归方程为y ＝a ＋bx ，则b ＝∑10i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑10i ＝1（x i －x －）2＝1 8942 474≈ 56， a ＝y －－bx －＝76－ 56×70＝ 8. 因此所求的线性回归方程是y ＝ 8＋ 56x .(3)若某学生入学的数学成绩为80分，代入(2)中的方程可求得y ＝ 8＋ 56×80≈84，即这名学生在高一期末考试中的数学成绩的预测值为84分．1．对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的，也可以是负的C ．回归分析中，如果r 2＝1，说明x 与y 之间完全相关D ．样本相关系数r ∈(－1，1) 答案 D解析 相关系数r 的范围是[－1，1]．2．一唱片公司欲知打歌费用x (十万元)与唱片销售量y (千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得如下的资料：∑10i ＝1x i ＝28，∑10i ＝1x 2i ＝， ∑10i ＝1y i ＝75，∑10i ＝1y 2i ＝，∑10i ＝1x i y i ＝237，则y 与x 的相关系数r 的绝对值为__________． 答案解析 由公式r ＝∑ni ＝1x i y i －nx －y －∑n i ＝1x 2i －nx －2∑n i ＝1y 2i －ny －2得|r |＝.3．若线性回归方程中的回归系数b ＝0，则相关系数r ＝__________． 答案 0 解析 相关系数r ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1 （x i －x －）2∑n i ＝1（y i －y －）2与b ＝∑n i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2的分子相同．4．有5组数据如下：x 1 2 3 4 10 y3410512将这组数据中的哪一组去掉后，另外的4组数据具有较强的线性相关性解作出散点图如图所示．观察散点图，可以发现A，B，D，E四个点大致在某条直线附近，具有较强的线性相关关系，故应将点C(3，10)去掉．对相关系数r的理解(1)判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．(2)|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好．(3)相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度，不能揭示二者之间的本质联系．(4)相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确的给出有无必要建立两变量间的回归方程.一、基础达标1．下列说法不正确的是( ) A．回归分析中，变量x和y都是普通变量B．变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定C．线性相关系数可能是正的，也可能是负的D．如果线性相关系数是负的，y随x的增大而减少答案A解析在回归分析中的两个变量是具有相关关系的两个变量．2．通过相关系数来判断两个变量相关关系的强弱时，相关系数的绝对值越大，用线性回归模型拟合样本数据的效果就越好，如果相关系数r∈[，1]，则两个变量( )A．负相关很强B．相关性一般C．正相关很强D．两变量之间几乎没有关系答案C3．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝ 3 ②n＝15，r＝ 2 ③n＝17，r＝ 1④n＝3，r＝ 0则变量y和x具有线性相关关系的是( ) A．①和② B．①和④ C．②和④ D．③和④答案B解析相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关关系越强，故选B. 4．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图①：对变量u，v有观测数据(u，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判i断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 答案 C解析 在图①中，所有点都在一条直线的附近，且直线的斜率为负值，所以变量x 与y 负相关；同理，变量u 与v 正相关，故选C.5．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵轴上的截距是a ，则下列说法正确的是__________． ①b 与r 的符号相同 ②a 与r 的符号相同 ③b 与r 的符号相反 ④a 与r 的符号相反 答案 ①解析 因为b ＞0时，两变量正相关，此时r ＞0；b ＜0时，两变量负相关，此时r ＜0.6．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：根据上表资料计算的相关系数为__________． 答案 8解析 x －＝3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋1010＝.y －＝15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋4510＝.∴r ＝∑10i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑10i ＝1 （x i －x －）2∑10i ＝1 （y i －y －）2＝ 8.7．维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x (克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据：求相关系数r . 解 列表如下x －＝1687＝24，y －＝错误!，r ＝l xyl xx l yy ＝∑7i ＝1x i y i －7x － y －∑7i ＝1x 2i －7x －2∑7i ＝1y 2i －7y －2＝错误!＝.由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的线性相关关系． 二、能力提升8．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，，2)，，3)，，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，，4)，，3)，，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1答案 C解析 由线性相关系数公式知r ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2∑n i ＝1（y i －y －）2.∵X －＝U －＝，Y －＝V －＝3，X i ＝U i (i ＝1，2，…，5)，Y i ＝V 6－i (i ＝1，2，…，5)，∴∑5i ＝1（X i －X －）2·∑5i ＝1 （Y i －Y －）2＝∑5i ＝1 （U i －U －）2·∑5i ＝1（V i －V －）2. 令∑5i ＝1(X i －X －)(Y i －Y －)＝A ＝(10－X －)(1－Y －)＋－X －)(2－Y －)＋－X －)(3－Y －)＋－X －)(4－Y －)＋(13－X －)(5－Y －)，∑5i ＝1(U i －U －)(V i －V －)＝B ＝(10－U －)(5－V －)＋－U －)(4－V －)＋－U －)(3－V －)＋－U －)(2－V －)＋(13－U －)(1－V －)，∴A ＞0，B ＜0，∴r 1＞0，r 2＜0. 9．相关系数是度量( )A ．两个变量之间线性相关关系的强度B ．散点图是否显示有意义的模型C ．两个变量之间是否存在因果关系D ．两个变量之间是否存在关系 答案 A解析 系数来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱．10．去年一轮又一轮的寒潮席卷全国，某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温、数据如下表：月销售量y (件) 24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为 6 ℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为__________． 答案 46解析 x －＝10，y －＝38，a ＝38－(－2)×10＝58， ∴回归方程为y ＝－2x ＋58. 当x ＝6 ℃时，y ＝46.11．5个学生的数学和物理成绩如表：学生学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理7066686462试用散点图和相关系数r 判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相关还是负相关解 法一 涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势．以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图．由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关． 法二 列表：i x i y i x 2i y 2i x i y i 1 80 70 6 400 4 900 5 600 275665 6254 3564 9503 70 684 900 4 624 4 760 4 65 64 4 225 4 096 4 160 5 60 62 3 600 3 844 3 720 ∑35033024 75021 82023 190∴r ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －（∑5i ＝1x 2i －5x －2）（∑5i ＝1y 2i －5y －2）＝23 190－23 100250×40＝＞0.∴两变量具有相关关系且正相关．12．下列是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量320330360410460470480(1)将上表中的数据制成散点图，并计算相关系数r .(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗该结论与相关系数r 的计算一致吗 解 (1)散点图如下：列表：i x i y i x 2i y 2i x i y i 1 15 320 225 102 400 4 800 2 20 330 400 108 900 6 600 3 25 360 625 129 600 9 000 430410900168 10012 300535460 1 225211 60016 100 640470 1 600220 90018 800 745480 2 025230 40021 600∑210 2 8307 000 1 171 90089 200∴r＝∑7i＝1xiyi－7x－y－（∑7i＝1x2i－7x－2）（∑7i＝1y2i－7y－2）＝错误!≈.(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大约分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻量近似成线性正相关关系．又由于r＝＞0，故散点图与r的计算一致．三、探究与创新13．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数x3033353739444650成绩y3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)计算相关系数并进行相关性检验；(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．解(1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)列表计算：由上表可求得x －＝，y －＝，∑8i ＝1x 2i ＝12 656， ∑8i ＝1y 2i ＝13 731，∑8i ＝1x i y i ＝13 180， ∴b ＝∑8i ＝1x i y i －8x －y －∑8i ＝1x 2i －8x －2≈ 5，a ＝y －－bx －＝－ 88，∴线性回归方程为y ＝ 5x － 88.(3)计算相关系数r ＝ 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y ＝ 5x － 88作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ＝49和y ＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。
相关系数的计算公式
相关系数的计算公式
相关系数的计算公式是用于衡量两个变量之间的相关性的统计指标，它可以估计两个变量之间的线性关系。
它表示两个变量之间的协
变程度，可以用来分析“因果”关系。
它有时也被称为Pearson相关
系数，它是由统计学家查尔斯·皮尔森（Charles Pearson）发明的。
相关系数的计算公式如下：用n来表示变量x和y之间样本点的
数量，那么相关系数r的计算公式如下：
r = Σ (X - X平均) * (Y - Y平均) / √[Σ(X - X平均)^2 *
Σ(Y - Y平均)^2]
其中，X和Y代表n个样本点的观测值，X平均和Y平均分别表示
X和Y的平均值，Σ表示样本点的和，而√[Σ(X-X平均)^2 * Σ(Y-
Y平均)^2]分子部分表示X和Y之间的方差总和。
相关系数r具有以下特性：
(1) 若r = 1，则两个变量X和Y的变化趋势相同，也就是说，X
增大，Y也会增大；
(2) 若r = 0，则两个变量X和Y没有线性关系，也就是说，X的
变化不会影响Y的变化；
(3) 若r = -1，则两个变量X和Y的变化趋势相反，也就是说，X
增大，Y会减小。
在实际应用中，可以根据r的大小来判断两个变量之间的相关性，一般来说，r越接近1，两个变量之间的相关性就越高，r越接近于0，两个变量之间的相关性就越低。
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设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2
A σ=
11
-n 2)(∑-A A i 2
B σ=1
1-n )(B B i -∑2 2
P σ=11-n 2)1(∑∑-i i
P n P =2)](1
)[(11i B i A i
B i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(1
1
B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([1
1
B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([1
122
22B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2
A
×
2
2
1
)(B
i
A
n A A +--∑×
1
)]
)([(21
)(2
---+
--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i
=A 1
)])([(22
2
2
2---⨯
++∑n B B A A
A A A i i
B A B B A A σσ
对照公式（1）得：
=
1
)(2
--∑n A A
i
×
1
)(2
--∑n B B
i
× r AB
∴ r AB =
∑∑∑-⨯---2
2
)
()()]
)([(B B A A B B A A i
i
i
i
这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征
1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定
公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：
(2
P σ)′=2 A A 2
A σ－2 (1－A A )2
B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2
P σ)′= 0 并简化，得到使2
P σ取极小值的A A ：
AB
B A
i
i
r n B B A A σσ
=---∑1
)])([(
A A =AB
B A B A AB
B A B r r σσσσσσσ22
22-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
由于使(2
P σ)′=0的A A 值只有一个，所以据公式（3）计算出的A A 使2
P σ为最小值。
以上分析清楚地说明：对于证券A 和证券B ，只要它们的系数r AB 适当小（r AB 的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券A 和证券B 构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B 的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—A A ），会比将全部资金投资于风险较小的证券A 的方差（风险）还要小；只要投资于证券B 的资金在（1—A A ）的比例范围内，随着投资于证券B 的资金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B 的资金比例等于（1—A A ）时，投资组合的方差（风险）最小。
这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。
按公式（3）计算出的证券A 和证券B 的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A 和证券B 的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。