第三章：相关系数r 的计算公式的推导

设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。

2

A σ=

11

-n 2)(∑-A A i 2

B σ=1

1-n )(B B i -∑2 2

P σ=11-n 2)1(∑∑-i i

P n P =2)](1

)[(11i B i A i

B i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(1

1

B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([1

1

B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([1

122

22B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2

A

×

2

2

1

)(B

i

A

n A A +--∑×

1

)]

)([(21

)(2

---+

--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i

=A 1

)])([(22

2

2

2---⨯

++∑n B B A A

A A A i i

B A B B A A σσ

对照公式（1）得：

=

1

)(2

--∑n A A

i

×

1

)(2

--∑n B B

i

× r AB

∴ r AB =

∑∑∑-⨯---2

2

)

()()]

)([(B B A A B B A A i

i

i

i

这就是相关系数r AB 的计算公式。

投资组合风险分散化效应的内在特征

1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定

公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：

(2

P σ)′=2 A A 2

A σ－2 (1－A A )2

B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2

P σ)′= 0 并简化，得到使2

P σ取极小值的A A ：

AB

B A

i

i

r n B B A A σσ

=---∑1

)])([(

A A =AB

B A B A AB

B A B r r σσσσσσσ22

22-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。

由于使(2

P σ)′=0的A A 值只有一个，所以据公式（3）计算出的A A 使2

P σ为最小值。 以上分析清楚地说明：对于证券A 和证券B ，只要它们的系数r AB 适当小（r AB 的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券A 和证券B 构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B 的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—A A ），会比将全部资金投资于风险较小的证券A 的方差（风险）还要小；只要投资于证券B 的资金在（1—A A ）的比例范围内，随着投资于证券B 的资金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B 的资金比例等于（1—A A ）时，投资组合的方差（风险）最小。这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式（3）计算出的证券A 和证券B 的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A 和证券B 的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。