磁流体力学方程

第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。

由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。

实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。

这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。

建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。

与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。

但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。

下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。

§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。

首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。

这样，第α类成份流体的密度(,) n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1）(,)(,)(,,)r r vv r v n t u t d f t ααα=⎰ （3-2） 231(,)(,)()(,,)22r r v v r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰ 下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。

动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v f g d g fd g t t t∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰ （2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v vq f qE f g E d g d m m qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。

（4） ()()()()()()v v v B v v B v v v v v B vq f q g g d f d m m q g m ∂∂⨯⋅=-⨯⋅∂∂∂=-<⨯⋅>∂⎰⎰ 其中利用了关系：()0v B v∂⋅⨯=∂ 这样得矩方程： ()()()()()v v v v B v v v v c q g g f g g E g d t m t ∂∂∂∂⎛⎫<>+∇⋅<>-⋅<>+<⨯⋅>= ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰ 其中：v a afd <>=⎰为统计平均。

1． 连续性方程设()1v g =，并对v 积分,则(,)[(,)(,)]0r r u r n t n t t t ααα∂+∇⋅=∂ （3-4） 其中利用到0v I d α=⎰，粒子数守恒。

引入电荷密度： (,)r q q n t αααρ= （3-5） 和电流密度： (,)(,)j r u r q n t t αααα= （3-6）将（3-4）两边乘以q α可以得到电荷守恒方程(,)(,)0r j r q t t t ααρ∂+∇⋅=∂ （3-7）将（3-4）两边乘以αm 可以得到质量连续性方程(,)[(,)(,)]0r r u r m m t t t tαααρρ∂+∇⋅=∂ （3-8） 其中(,)(,)r r m t m n t αααρ=是质量密度。

2． 动量平衡方程设()v v g m α=，并对v 积分,则可得()()u u u E j B R q m n m n P t αααααααααααβρ∂+∇⋅+∇⋅=+⨯+∂ （3-9） 其中 (,)()()(,,)r v v u v u r v P t d m f t αααα=--⎰ (3-10)为压强张量。

而 R v d m I αβααβ=⎰ （3-11）利用连续方程（3-4），方程（3-9）可以化成为[]u u E j B R q m n P tααααααααβρ∂+⋅∇=-∇⋅++⨯+∂ （3-12） 该方程中各项的物理意义是：()u u m n tαααα∂+⋅∇∂---流体元的动量变化率；其中u u αα⋅∇ --为对流项； P α-∇⋅ --压强梯度产生的力；E q αρ --电场力；j B α⨯ --洛仑兹力，是由电流穿越磁场而产生的力；R αβ --为第α类粒子与第β类粒子碰撞时，其动量的变化率。

方程（3．12）是一个不封闭的方程，因为涉及到高阶矩函数P 及R αβ，，只有通过求解动力学方程，才能严格地计算出 P 及R αβ。

在研究等离子体的磁流体状态时，通常假定等离子体中带电粒子的速度分布基本上为各向同性分布，因此有：P P I α= （3-13）其中B P k n T ααα=为静压强。

P 的非对角部分仅与等离子体中的粘滞现象有关。

另外，对于不同种类的带电粒子之间的碰撞，动量的变化率可以写成摩擦阻力的形式： ()u uR m n αβαααβαβν≈-- （3-14） 其中αβν为动量输运的平均碰撞频率.3．能量平衡方程 设212()v g m v α=，并对v 积分,并利用连续方程（3-4），动量平衡方积（3.12），最后可以得到能量平衡方程为：3[]:2u u q u R B k n T P Q tαααααααβαβ∂+⋅∇=-∇-∇⋅-⋅+∂ (3-15) 其中： 21()()(,,)2q v v u v u r v m n d f t αααααα=--⎰ （3-16） 为热流矢量，而， 21(,,)2vv r v Q m n d f t αβααα=⎰ （3-17） 为不同种类带电粒子之间的碰撞产生的能量变化。

在高温等离子体系统中，人们对等离子体中带电粒子的能量输运并不是太感兴趣。

在研究等离子体的平衡、稳定及波动过程时，可以认为带电粒子在速度空间的分布基本上趋于各向同性的Maxwell 分布。

因此，通常用状态方程来确定等离子体的压强，从而取代了能量平衡方程。

对于等温过程，有：1p c n αα= （3-18）其中c 1是常数。

对于绝热过程，压强为5/32p c n αα= （3-19） 其中c 2是常数。

这样，对于双流体等离子体，其MHD 方程为：()0u n n tααα∂+∇⋅=∂ （3-20） u u E j B R q m n p t ααααααααβρ∂⎛⎫+⋅∇=-∇++⨯+ ⎪∂⎝⎭（3-21） ()R u u m n αβαααβαβν=--/E B t ∇⨯=-∂∂ （3-22）000/B j E t μεμ∇⨯=+∂∂ （3-23）0/E q αρε∇⋅= （3-24）0B ∇⋅= （3-25）q q n ααααρ=∑ （3-26）j u q n αααα=∑ （3-27）它们与状态方程耦合，即构成一套封闭的方程组。

后面几章，我们将用这套方程组研究等离于体中的波动过程及稳定性。

§3.3单MHD 方程在上节中，我们是把等离子体看作是由电子流体和离子流体组成的双流体。

实际上，在研究等离子体中某些现象时，也可以把等离子体看成为单一的磁流体。

本节我们的任务就是给出这种单一磁流体的MHD 方程。

首先引入单一磁流体的宏观状态参量：质量密度： (,)(,)r r m t m n t αααρ=∑ （3-28）电荷密度： (,)(,)r r q t q n t αααρ=∑ （3-29）流速： (,)(,)(,)u r r r u m t t m n t ααααρ=∑ （3-30）温度： (,)(,)(,)(,)r r r r m T t t m n t T t ααααρ=∑电流密度； (,)(,)(,)j r r u r t q n t t αααα=∑ （3-31）总压强： P P αα=∑ （3-32）下面建立单流体的流体力学方程（1） 连续性方程将电子成分的质量连续性方程()0u me me e tρρ∂+∇⋅=∂ （3-33）与离子成分的质量连续性方程 ()0u mi mi i tρρ∂+∇⋅=∂ （3-34） 相加，并利用（3-28）及（3-30），则单流体的质量连续性方程为()0u m m tρρ∂+∇⋅=∂ （3-35） （2） 动量平衡方程为了得到单一流体的动量平衡方程，我们假定：等离子体是准中性的，即e i n n n ≈=。

这样根据电子和离子的动量平衡方程，u u E u B R e e e e e e e e ei m n p en en t ∂⎛⎫+⋅∇=-∇-+⨯+ ⎪∂⎝⎭（3-36） u u E u B R i i i i i i i i ie m n p en en t ∂⎛⎫+⋅∇=-∇++⨯+ ⎪∂⎝⎭（3-37） 得到单一流体的动量平衡方程为 u j B m d P dtρ=-∇+⨯ （3-38） 其中利用了如下简化假设： 由于电子的质量比离子质量小的多，略去了电子的惯性项，和电中性条件：i e n n n ==，及e i P p p =+，j (u )i e en u =-，u u i =，R R ei ie =-。

（3） 广义欧姆定律由关系：i e n n n ==，j (u )i e en u =- ，得：j B u B u B e i en⨯⨯=⨯-， 由关系：()R u u ei e e ei i e m n ν≈-，2/()e ei ne m σν=得：()j R u u ei e e ei i e en m n νσ≈-=略去（3-36）中的对流项， 得： ()/E u B j B j e p en en σ∇=-+⨯+⨯+ (3-40)()[()]j E u B j B e p en σσ=+⨯-⨯-∇这就是广义欧姆定律。

对于简单的欧姆定律有j E σ= （3-41）σ是等离子体的电导率。

因此，广义欧姆定律中，多了如下几项：（1）()u B σ⨯，磁流体运动引起电流；（2）()j B en σ⨯：等离子体受到洛兹力作用而运动产生的电流。