2017—2018学年长春市朝阳区九年级上期中考试数学试卷有答案.doc
吉林市长春市朝阳区2018届九年级数学上学期期中试题(扫描版,无答案)新人教版
吉林市长春市朝阳区2018届九年级数学上学期期中试题2017-2018学年度上学期九年级质量监测（一）•数学囂霍括三道大题’共出小题.共6乩全卷満分加扎考试时间为120分钟.''拿竽臥考生务必将巾己的姓名，淮考证峥填写在答题卡上，并聃条形码准确粘贴在条 曲码区域内. 2-李砂九考生务壷按凰老试嬰求在答题卡上的指定区域内作街在隼捣纸、试卷上答眩 无效. 一1选择题（每小题3分，共対分》 1小列四个方程中，是-元二枕方程的是3.若azb = 2:3 , 则T 列齐式中正锄的址4, 一元二抚方趕X-;r+2 = 0根的情况是g 方程有两个不相等的实数柘L（C ）方程有一个实数眼.£下列各式计毎正确的是（A ）（血『=4. （C ） J«xV2=4.（九年级数学第I 页2+下列各式中，与JJ 是同类二次根式的退 ：A ） V12,（B ） J§.(C)卄尸2.(C) 45.(D) i=LX(D)迈，CA) 2a=3b.(B) 3a-2b.a-b 16+如理，身商为1，于未的某学4：想刘q 〔…棵大対』0的商度，他沿若槽影CB 由C 向H 走1 "与疋 到点D 时，他的影子顶端正好与树的影子顶端亟合，此时，右E 、C 三点恰好在一条直线匕经 测再 O 】米* RZ>3米，则捞的高度血?为（A ） 3X-（B ）4粘(C) 4.5 米.供6題）<D)咏7.如图.以点°为位似中心，将3C 放大后得到△/!・〃©.若AA^ZOA.HU 的周长比为（A ） 1：9.<B ）1:4.<C) 1:3.(D) 1：2.<B ）方程有两个相等的实数曲.（D ）方程没有实数根.(B> ^2 + 43=45.<D) ^6 + 73=2.（九年级数学 (T + II H I■二;T + i厂页6共页3第三、解答题（本大题10小题，共78分）15. （6分）计算：屈x 若+岳■爲.16. （6分）小明在解方&x （x-2） = 2~x 时岀现了错谋，解答过程如下： 原方程可化为工。
吉林省长春市名校调研2017届九年级上期中数学试卷含答案解析
试卷第1页，总16页…内…………○…………装…………○…学校:___________姓名：___________班级：…外…………○…………装…………○…绝密★启用前吉林省长春市名校调研2017届九年级上期中数学试卷含答案解析题号 一 二 三 得分注意事项：1.本试卷共XX 页，三个大题，满分130分，考试时间为1分钟。
请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、单选题（共18分）评卷人 得分1．下列图形中只是中心对称图形的是( )(3分)A.B.C.D.2．方程x 2+x=0的根为( )(3分) A. x=﹣1 B. x=0C. x 1=0，x 2=﹣1试卷第2页，总16页…○…………外…………○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※…○…………内…………○…………装………… D. x 1=0，x 2=13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，则常数c 的值为( )(3分) A. ±4 B. 4 C. ±16 D. 164．二次函数y=﹣x 2+1的图象与y 轴的交点坐标是( )(3分) A. (0，1) B. (1，0) C. (﹣1，0) D. (1，0)或(﹣1，0)5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△ADE，点C 落在边AD 上，连接BD.若∠DAE=α，则用含α的式子表示∠CBD 的大小是( )(3分)A.B.C.D.试卷第3页，总16页…………订…………○…………线…………级：___________考号：___________…………订…………○…………线…………6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接AC 、BC ，点D 是BA 延长线上一点，且AC=AD ，若∠B=30°，AB=2，则CD 的长是( )(3分)A.B.C.D.二、填空题（共24分）评卷人 得分7．点M(2，3)关于原点成中心对称的点的坐标是 .(3分)8．若一个圆的半径为r ，面积为S ，则S 与r 之间的函数关系式是 .(3分)9．二次函数y=(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标为 .(3分)10．若x=3是一元二次方程x 2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程根的判别式的值是 .(3分)11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 为CD 延长线上一点，若∠B=96°，则∠ADE 的度数为 度.试卷第4页，总16页…○…………外…………装…………○…………订…………○…………○……※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………装…………○…………订…………○…………○……(3分)12．如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，将△ACD 绕着点A 顺时针旋转后得到△AC′D′，点D′落在AC 上，C′D′交BC 于点E ，若AB=1，则图中阴影部分图形的面积是 .(3分)13．(3分)14．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，对称轴是x=1，有以下四个结论：①abc＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③b=﹣2a ；④a+b+c＞2， 其中正确的是 (填写序号)(3分)试卷第5页，总16页内…………○…装…………○…………订学校:_姓名：___________班级：___________外…………○…装…………○…………订三、解答题（共88分）评卷人 得分15．解方程：x 2﹣5x ﹣1=0.(8分) 16．已知函数y=2x 2+4x+1. (1)求这个二次函数的最小值；(2)直接写出它的图象是由抛物线y=2x 2经过怎样的平移得到的.(8分)17．求证：无论m 取任何值，关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2=0都有两个不相等的实数根.(8分)18． (8分)19．如图，在5×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕着点O 顺时针旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出旋转后的△A′B′C′.(8分)20． 某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加.2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元，从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(8分)试卷第6页，总16页…………外…………○…………装…………○…………订…………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※…………内…………○…………装…………○…………订…………线…………○……21．(8分)22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A(2，0)，B(0，2)，点P 是抛物线上一动点，连接BP ，OP. (1)求这条抛物线的解析式；(2)若△BOP 是以BO 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标.(8分)23．(8分)24．如图，在一面靠墙的空地上用长24m 的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x(m)，面积S(m 2).试卷第7页，总16页…………○…………线………名：___________班级：__…………○…………线………(1)求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； (2)若墙的最大可用长度为8m ，求围成花圃的最大面积.(8分)25．如图，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=3cm ，动点P 从点A 出发，沿AB 以1cm/s 的速度向终点B 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，沿B→C→D 以1cm/s 的速度向终点D 匀速运动，当两个点中有一个到达终点后，另一个点也随之停止.连接PQ ，设点P 的运动时间为x(s)，PQ 2=y(cm 2). (1)当点Q 在边CD 上，且PQ=3时，求x 的值；(2)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)直接写出y 随x 增大而增大时自变量x 的取值范围.(8分)******答案及解析****** 一、单选题（共18分） 1．答案：B解析：解：A 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、平行四边形是中心对称的图形，故此选项正确；C 、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、半圆只是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 2．答案：C解析：解：x 2+x=0，试卷第8页，总16页…○…………装※※请※※不※※要…○…………装∴x(x+1)=0， ∴x=0或x+1=0， ∴x 1=0，x 2=﹣1. 3．答案：B解析：解：∵方程x 2﹣4x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=(﹣4)2﹣4×1×c=16﹣4c=0， 解得：c=4. 4．答案：A解析：解：x=0时，y=1，所以.图象与y 轴交点的坐标是(0，1). 5．答案：A解析：解：∵根据旋转的性质得到：∠1=∠2=α，∠ACB=∠D=90°，∠3=∠5， ∴∠3=∠5=90°﹣α，∵(∠1+∠2)+(∠3+∠4+∠E)+∠6+∠5=360°，∠1+∠3=90°，∠2+∠5=90°，∠3+∠4+∠E=180°，∴2α+180°+∠6+90°﹣α=360°，则∠6=90°﹣α，∴∠4=90°﹣∠6=α.6．答案：D试卷第9页，总16页…○…………订…………○…………线…………○……___班级：___________考号：___________…○…………订…………○…………线…………○…… 解析：二、填空题（共24分） 7．答案：(﹣2，﹣3)解析：解：点M(2，3)关于原点成中心对称的点的坐标是(﹣2，﹣3). 8．答案：S=πr 2解析：解：由圆的面积计算公式，S 与r 之间的函数关系式是S=πr 2. 9．答案：(2，﹣1)解析：解：∵二次函数y=(x ﹣2)2﹣1是顶点式， ∴顶点坐标为(2，﹣1). 10．答案：16解析：解：将x=3代入x 2﹣2x+c=0中得：9﹣6+c=0， 解得：c=﹣3.∴△=(﹣2)2﹣4×1×c=4﹣4×1×(﹣3)=16.试卷第10页，总16页………订…………○…………线……※线※※内※※答※※题※※………订…………○…………线……11．答案：96解析：解：∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADE=∠B=96°， 12．答案：解析：13．答案：105解析：解：∵等边三角形ABC 内接于⊙O，且∠ABD=45°， ∴∠ACD=∠ABD=45°，∠A=∠D=60°， 又∵∠AED 是△CDE 的外角， ∴∠AED=45°+60°=105°， 14．答案：②③④…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……学校:___________姓名：________班级：___________考号：___________…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…… 解析：三、解答题（共88分）15．答案：16．答案：解：(1)y=2x 2+4x+1=2(x+1)2﹣1. ∵a=2＞0，∴这个二次函数的最小值是﹣1；(2)由抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=2x 2+4x+1.17．答案：解：∵a=1，b=m ，c=m ﹣2， ∴△=m 2﹣4(m ﹣2)=m 2﹣4m+8=(m ﹣2)2+4，试卷第12页，总16页……装…………○………订…………○…………线…※不※※要※※在※※装※※线※※内※※答※※题※※……装…………○………订…………○…………线…∵(m﹣2)2≥0. ∴(m﹣2)2+4＞0，∴无论m 取任何值，关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2=0都有两个不相等的实数根.18．答案：19．答案：解：如图所示，△A′B′C′即为△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的图形.20．答案：解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意， 得：1280(1+x)2=1280+1600， 解得：x=0.5或x=﹣2.5(舍)，答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……21．答案：22．答案：试卷第14页，总16页……外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……23．答案：24．答案：解：(1)∵花圃的宽AB 为x 米，∴BC=(24﹣4x)米，∴S=x(24﹣4x)=﹣4x 2+24x(0＜x ＜6)；∵24﹣4x≤8，∴x≥4，∵0＜x＜6，∴4≤x＜6，∵a=﹣4＜0，∴S随x的增大而减小，∴当x=4时，S=32，最大值答；当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米.试卷第16页，总16页………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……25．答案：。
2017-2018年吉林省长春外国语学校九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=32．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=03．（3分）如图所示，AB、CD相交于点0，连接AC，BD，添加下列一个条件后，仍不能判定△AOC∽△DOB的是（）A．∠A=∠D B．C．∠B=∠C D．4．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x﹣1）2C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣15．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．不变化B．扩大2倍C．缩小2倍D．不能确定6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=3157．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（）A．（）B．（）C．（） D．（2，2）8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）化简：=．10．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为．11．（3分）已知：，则的值为．12．（3分）若锐角A满足，则∠A的度数是．13．（3分）用配方法解方程x2﹣8x=3时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（10分）计算：（1）（2）．16．（15分）解方程：（1）2x2+3x=0．（2）x2﹣10x+25=0．（3）x2﹣3x=1．17．（5分）已知y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．18．（5分）现有点数为2、3、4、5的四张牌，背面朝上洗匀，然后从中任意抽取两张，这两张牌上的数字之和为偶数的概率是多少？（列表或画树状图）19．（5分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．21．（6分）如图，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求AD的长．22．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？23．（8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图（1），AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图（2）所示．（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；（2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形；（3）将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积．24．（10分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB；（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S=，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO△AOE是否相似？请说明理由．2017-2018学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=3【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故选：A．2．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0【解答】解：A、是分式方程不是一元二次方程，故A错误；B、a=0是一元一次方程，故B错误；C、是一元二次方程，故C正确；D、是二元二次方程，故D错误；故选：C．3．（3分）如图所示，AB、CD相交于点0，连接AC，BD，添加下列一个条件后，仍不能判定△AOC∽△DOB的是（）A．∠A=∠D B．C．∠B=∠C D．【解答】解：由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，所以题中选项A、B、C均符合题意，而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似．故选：D．4．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x﹣1）2C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣1【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y=﹣2x2+1．故选：C．5．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．不变化B．扩大2倍C．缩小2倍D．不能确定【解答】解：根据锐角三角函数的定义，知如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值不变．故选：A．6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．7．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（）A．（）B．（）C．（） D．（2，2）【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，∴OA：OD=2：3，∵点A的坐标为（1，0），即OA=1，∴OD=，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=．∴E点的坐标为：（，）．故选：B．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）化简：=3．【解答】解：==3，故答案为：3．10．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为15．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，∴口袋中球的总个数为：3÷=15．故答案为：15．11．（3分）已知：，则的值为．【解答】解：设a=k，则b=2k，∴．12．（3分）若锐角A满足，则∠A的度数是30°．【解答】解：根据题意得：2cosA﹣=0∴cosA=∴∠A=30°故答案是：30°．13．（3分）用配方法解方程x2﹣8x=3时，方程的两边同时加上一个实数16，使得方程左边配成一个完全平方式．【解答】解：x2﹣2•x•4+42=3+42，即x2﹣8x+16=3+16，故答案为：16．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．【解答】解：∵在△ABC与△ACD中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴=，∵AB=5，AC=4，∴=，解得AD=．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（10分）计算：（1）（2）．【解答】解：（1）原式=（）2﹣1+2﹣1=；（2）原式=3﹣2×+=．16．（15分）解方程：（1）2x2+3x=0．（2）x2﹣10x+25=0．（3）x2﹣3x=1．【解答】解：（1）2x2+3x=0，x（2x+3）=0，则x=0或2x+3=0，解得x1=0，x2=﹣；（2）x2﹣10x+25=0，（x﹣5）2=0，解得x1=x2=5；（3）x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，解得．17．（5分）已知y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．【解答】解：∵y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，∴m2+2m﹣1=2，解得m=1或﹣3，∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m=﹣3．18．（5分）现有点数为2、3、4、5的四张牌，背面朝上洗匀，然后从中任意抽取两张，这两张牌上的数字之和为偶数的概率是多少？（列表或画树状图）【解答】解：画出树状图，如图：共有12种情况，其中和为偶数的有4种，则P==．数字之和为偶数19．（5分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．【解答】解：设方程的另一根为x2，则﹣1+x2=﹣1，解得x2=0．把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2．综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．21．（6分）如图，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求AD的长．【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE（AA）；（2）解：∵△ABC∽△ADE，∴=，∵AB=DE=5，BC=4，∴AD=．22．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+200x斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x（斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，当x=时，销售量是100+200×=200＜260；当x=1时，销售量是100+200=300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．23．（8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图（1），AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图（2）所示．（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；（2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形；（3）将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积．【解答】（1）证明：四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，即AD∥CF，AC∥DF，故四边形ACFD为平行四边形．（2）解：要使得四边形ACFD为菱形，即使AD=AC即可，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，根据勾股定理求得AC==10cm，故将Rt△ABC向左、右平移10cm均可使得四边形ACFD为菱形；（3）解：将Rt△ABC向左平移4cm，即BE=4cm，即BH为Rt△DEF的中位线，即H为DF的中点，故△HFB的面积均为6cm2，故四边形DHCF的面积为：S△ABC ﹣S△HBF=24﹣6=18（cm2）．答：四边形DHCF的面积为18cm2．24．（10分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB；（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO 是否相似？请说明理由．【解答】解：（1）解方程：x2﹣7x+12=0解得x1=3，x2=4（1分）∵OA＞OB∴OA=4，OB=3（2分）由勾股定理得出：∴AB=5（3分）∴在Rt△OAB中，sin∠ABC==（4分）（2）①∵S△AOE=∴OA•OE=∴OE=（5分）∴点E的坐标为（﹣，0）或（，0）（6分）②△AOE与△DAO相似，理由如下：∵=，∴∵∠AOE=∠DAO=90°（7分）∴△AOE∽△DAO．（8分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2017-2018年吉林省长春市五校九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年吉林省长春市五校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）方程x2=3x的解是（）A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=1，x2=32．（3分）一元二次方程x2+6x﹣4=0配方后可变形为（）A．（x+3）2=13 B．（x﹣3）2=5 C．（x+3）2=5 D．（x﹣3）2=133．（3分）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．44．（3分）下列各组线段的长度成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D．30cm，20cm，90cm，60cm5．（3分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=9，sinB=0.6，则AB等于（）A．10 B．12 C．15 D．186．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，把一个矩形划分为5个全等的小矩形，若要使每一个小矩形与原矩形相似，则原矩形的边a、b应满足的条件是（）A．a=5b B．a=10b C．a= b D．a=2b8．（3分）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）已知=，那么=．10．（3分）已知x=3是一元二次方程x2+x﹣6a=0的一个解，那么4a﹣5的值为．11．（3分）某大型超市连锁集团元月份销售额为500万元，三月份达到720万元，若二，三月份平均每月的增长率为x，则根据题意列出方程．12．（3分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为．13．（3分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，EF交AC于点G，则的值是．14．（3分）如图，在等边△ABC中，点D、E、F分别以相同的速度同时由A、B、C点向B、C、A点运动，当EF⊥BC时，△DEF与△ABC的面积比为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（5分）求值：2cos60°+2sin30°+4tan45°．16．（8分）不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）x2+2x﹣2=0．（2）4x2﹣x+4=0．17．（10分）解下列方程：（1）x2﹣3x=1．（2）（y+2）2﹣6=0．18．（6分）如图，学校课外生物小组的试验园地是长40m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为648m2，求小道的宽．19．（6分）如图，==．求证：∠BAD=∠CAE．20．（6分）如图，在相距1 500米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东30°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方．试求敌舰与两炮台的距离．21．（7分）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼AB的高度如图所示，他们先在点C测得教学楼的顶部A的仰角为36.2°，然后向教学楼前进10米到达点D，又测得点A的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB的高度．（结果精确到1米）【参考数据：sin36.2°=0.59，cos36.2°=0.81，tan36.2°=0.73】22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．23．（10分）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP•PC=AB•CD（不需证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，结论BP•PC=AB•CD仍成立吗？请说明理由？拓展：如图③，在△ABC中，点P是BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=4，CE=3，则DE的长为．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与y轴、x轴分别交于A、B两点，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（秒）．（1）直接写出A、B两点的坐标．（2）当△APQ与△AOB相似时，求t的值．（3）设△APQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．2017-2018学年吉林省长春市五校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）方程x2=3x的解是（）A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=1，x2=3【解答】解：x2=3x，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x=0，x﹣3=0，x1=0，x2=3，故选：B．2．（3分）一元二次方程x2+6x﹣4=0配方后可变形为（）A．（x+3）2=13 B．（x﹣3）2=5 C．（x+3）2=5 D．（x﹣3）2=13【解答】解：x2+6x﹣4=0，x2+6x=4，x2+6x+9=4+9，（x+3）2=13，故选：A．3．（3分）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．4【解答】解：∵方程2x2+4x+m=0有两个相等的实数根，∴△=42﹣4×2m=16﹣8m=0，解得：m=2．故选：A．4．（3分）下列各组线段的长度成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D．30cm，20cm，90cm，60cm【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故此选项错误；B、∵2×5≠3×4，故此选项错误；C、∵0.3×0.9≠0.6×0.5，故此选项错误；D、∵30×60=20×90，故此选项正确．故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=9，sinB=0.6，则AB等于（）A．10 B．12 C．15 D．18【解答】解：根据题意得：sinB=，又∵AC=9，∴BC=15，根据勾股定理得：AB=12．故选：B．6．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴==．7．（3分）如图，把一个矩形划分为5个全等的小矩形，若要使每一个小矩形与原矩形相似，则原矩形的边a、b应满足的条件是（）A．a=5b B．a=10b C．a= b D．a=2b【解答】解：∵每一个小长方形与原长方形相似，∴，∴a2=5b2，∴a=b．故选：C．8．（3分）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似，故此选项正确；二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）已知=，那么=．【解答】解：由分比性质，得=．故答案为：．10．（3分）已知x=3是一元二次方程x2+x﹣6a=0的一个解，那么4a﹣5的值为3．【解答】解：把x=3代入x2+x﹣6a=0，得32+3﹣6a=0，解得a=2．则4a﹣5=4×2﹣5=3．故答案是：3．11．（3分）某大型超市连锁集团元月份销售额为500万元，三月份达到720万元，若二，三月份平均每月的增长率为x，则根据题意列出方程500（1+x）2=720．【解答】解：设二，三月份平均每月的增长率为x，已知“元月份销售额为500万元，三月份达到720万元”，根据题意可得出：500（1+x）2=720．12．（3分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为．【解答】解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，AD=3，BD=4，∴AB=5，∴cos∠ABC=，故答案为：．13．（3分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，EF交AC于点G，则的值是．【解答】解：连接BD，与AC相交于O，∵点E、F分别是AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥DB，且EF=DB，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，∴，∴AG=GO，又OA=OC，∴AG：GC=1：3．故答案为：．14．（3分）如图，在等边△ABC中，点D、E、F分别以相同的速度同时由A、B、C点向B、C、A点运动，当EF⊥BC时，△DEF与△ABC的面积比为．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D、E、F分别以相同的速度同时由A、B、C点向B、C、A点运动，∴△DEF是等边三角形，∴△DEF∽△ABC，∵EF⊥BC，∴∠CEF=30°，∴CE=CF，即CE=AC，CF=AC，∵EF=CF•sin60°=AC•=AC，∴=（）2=（）2=．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（5分）求值：2cos60°+2sin30°+4tan45°．【解答】解：原式==6．16．（8分）不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）x2+2x﹣2=0．（2）4x2﹣x+4=0．【解答】解：（1）∵△=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵△=（﹣1）2﹣4×4×4=﹣63＜0，∴方程没有实数根．17．（10分）解下列方程：（1）x2﹣3x=1．（2）（y+2）2﹣6=0．【解答】解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0，∵b2﹣4ac=13＞0∴．∴，．（2）（y+2）2=12，∴或，∴，．18．（6分）如图，学校课外生物小组的试验园地是长40m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为648m2，求小道的宽．【解答】解：设小道的宽为x米，根据题意，得：（40﹣2x）（20﹣x）=648，（20﹣x）2=324，20﹣x=18或20﹣x=﹣18，∴x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．答：小道的宽为2米．19．（6分）如图，==．求证：∠BAD=∠CAE．【解答】证明：∵，∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．∴∠BAD=∠CAE．20．（6分）如图，在相距1 500米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东30°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方．试求敌舰与两炮台的距离．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°﹣∠DAC=60°，∴tan∠CAB=，∴BC=AB•tan∠CAB=1500•tan60°=1500，∵cos60°=，∴AC==3000．答：敌舰与A、B两炮台的距离分别为3 000米和1500米．21．（7分）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼AB的高度如图所示，他们先在点C测得教学楼的顶部A的仰角为36.2°，然后向教学楼前进10米到达点D，又测得点A的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB的高度．（结果精确到1米）【参考数据：sin36.2°=0.59，cos36.2°=0.81，tan36.2°=0.73】【解答】解：设AB=x米，由题意：在Rt△ADB中，∠ADB=45°，∠ABD=90°，则DB=AB=x．在Rt△ACB中，∠ACB=36.2°，∠ABD=90°，CB=x+10，∴tan∠ACB=tan36.2°==0.73，由=0.73，解得x≈27，经检验x=27是原方程的解，答：教学楼高约为27米．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．【解答】解：（1）如图所示，A1（4，2），B1（2，﹣4）．（2）如图所示，A2（0，2），B 2（﹣1，﹣1）．（3）△OA1B1与△O2A2B2是关于点M（﹣4，2）为位似中心的位似图形．23．（10分）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP•PC=AB•CD（不需证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，结论BP•PC=AB•CD仍成立吗？请说明理由？拓展：如图③，在△ABC中，点P是BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=4，CE=3，则DE的长为．【解答】解：探究，成立，∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．∵∠B=∠APD，∴∠BAP=∠CPD．∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD，∴=，即BP•PC=AB•CD；拓展：同理可得△BDP∽△CPE，∴=，∵点P是边BC的中点，∴BP=CP=2，∵CE=3，∴=，∴BD=，∵∠B=∠C=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，即AC⊥BC且AC=BC=4，∴AD=AB﹣BD=，AE=AC﹣CE=1，在Rt△ADE中，DE==．故答案是：．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与y轴、x轴分别交于A、B两点，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（秒）．（1）直接写出A、B两点的坐标．（2）当△APQ与△AOB相似时，求t的值．（3）设△APQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．【解答】解：（1）令x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5．∴AP=t，QB=2t，AQ=5﹣2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况，若△APQ∽△AOB，则有，即，解得．若△APQ∽△ABO，则有，即，解得．（3）如图所示，过点Q作QM⊥AO于M，则QM∥BO，∴△AMQ∽△AOB，∴，由（2）知，OB=4，AB=5，AQ=5﹣2t∴，∴QM=（5﹣2t），∴设△APQ的面积为S，则S=×AP×QM=×t×（5﹣2t）=﹣t2+2t赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
吉林省长春市朝阳区2018届中考第一次模拟考试数学试题有答案
2018年朝阳区一模-数学本试卷包括三道大题，共24小题，共6页，全卷满分120分.考试时间为120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.答题前，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效.一、选择题（每小题3分，共24分）1.在0，-2，2-，1这四个数中，最小的数是 （A ）0.（B ）-2（C ）2-.（D ）1.2.据国家统计局统计，我国2017年全年的棉花总产量约为5490000吨.将5490000这个数用科学计数法表示为 （A ）65.4910⨯.（B ）654.910⨯.（C ）75.4910⨯.（D ）70.54910⨯.3.用6个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（第3题） （A ） （B ） （C ） （D ）4.6a 可以表示为 （A ）6a.（B ）23a a ⋅.（C ）32()a .（D ）122a a ÷.5.小明拿40元钱购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x 支雪糕，则所列关于x 的不等式正确的是 （A ）2 1.5540x +⨯<. （B ）2 1.5540x +⨯≤. （C ）25 1.540x ⨯+≥.（D ）25 1.540x ⨯+≤.6.等腰直角三角尺与直尺按如图位置摆放，且三角尺在直角顶点在直尺的一边上. 若 ∠1=35°，则∠2的度数是 （A ）95°（B ）100°（C ）105° （D ）110°（第6题）（第7题）7.如图，直线l 是O e 的切线，点A 为切点，B 为直线l 上一点，连接OB 交O e 于点C ，D 是优弧AC 上一点，连接AD 、CD.若∠ABO=40°.则∠D 的大小是 （A ）50°（B ）40°（C ）35°（D ）25°8.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A ，且与边BC 有交点.若正方形的边长为2，则k 的值不可能是 （A ）-2. （B ）32-. （C ）-1.（D ）12-. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.函数20181y x =-的自变量x 的取值范围是_________. 10.一元二次方程2310x x -+=根的判别式的值为_________.11.如图，AD//BE//CF ，直线1l 、2l 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F.若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE 的长度是_________.（第11题）（第12题）12.如图，在△ABC 中，∠B=70°.将△ABC 绕着点A 顺时针旋转一定角度得到''AB C ∆，使点B 的对应点'B 恰好落在边BC 上.若''AC B C ⊥，则'C ∠的大小是_______度.（第8题）13.如图，正方形ABCD 内接于O e ，Rt △OEF 的直角顶点与圆心O 重合.若AB =，则图中阴影部分图形的面积和为______（结果保留π）.（第13题）（第14题）14.如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的顶点A 在y 轴上，底边AB//x 轴，顶点B 、C 在函数(0)ky x x=>的图象上.若AC =点A 的纵坐标为1，则k 的值为________. 三、解答题（本大题10小题，共78分）15.（6分）先化简，再求值2(1)2(1)(21)(21)a a a a a ---++-，其中a =16.（6分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同.洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率.17.（6分）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同，求这种笔的单价.18.（7分）为了打通抚松到万良的最近公路，在一座小山的底部打通隧道.甲、乙两施工队按如图所示进行施工，甲施工队沿AC 方向开山修路，乙施工队在这座小山的另一边E 处沿射线CA 方向同时施工.从AC 上的一点B ，取∠ABD=155°，经测得BD=1200m ，∠D=65°，求开挖点E 与点B 之间的距离（结果精确到1m ）.【参考数据：sin650.906︒=，cos650.423︒=，tan65 2.145︒=.】（第18题）19.（7分）为了传承中华优秀传统文化，某校组织八年级学生参加了“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，绘制如下不完整的条形统计图.汉字听写大赛成绩分数段统计表汉字听写大赛成绩分数段条形统计图（1）补全条形统计图.（2）这次抽取的学生成绩的中位数在________的分数段中；这次抽取的学生成绩在6070x ≤<的分数段的人数占抽取人数的百分比是_______.（3）若该校八年级一共有学生350名，成绩在90分以上（含90分）为“优”，则八年级参加这次比赛的学生中成绩“优”等的约有多少人？分数段频数 5060x ≤<2 6070x ≤< 6 7080x ≤<9 8090x ≤< 18 90100x ≤≤1520.（7分）如图，在ABCDY中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于12MN长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF//BC交AB于点F.求证：四边形ADEF是菱形.（第20题）21.（8分）某社区准备进行“为了地球，远离白色污染”的宣传活动，需要制定宣传单，选择社区附近的甲、乙两家印刷社印刷，他们各自制作这种宣传单的费用y（元）与宣传单数量x（张）之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：（1）求甲印刷社制作这种宣传单每张的钱数.（2）当x>500时，求乙印刷社所需的费用y与x之间的函数关系式.（3）如果该社区在制作这种宣传单时，第一次印刷了800张宣传单，第二次印刷了1200张宣传单，直接写出该社区两次印刷这种宣传单共花费的最少钱数.（第21题）22.（9分）【感知】如图①，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC中点，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF.易证：△AEF是等边三角形（不需要证明）. 【探究】如图②，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC上一点（不与点B、C重合），在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF.求证：△AEF是等边三角形.【应用】将图②中的“E是边BC上一点”改为“E是边BC延长线上一点”，其他条件不变.当四边形ACEF是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF的周长.图①图②备用图（第22题）23.（10分）如图，BD 是□ABCD 的对角线，AB ⊥BD ，BD=8cm ，AD=10cm ，动点P 从点D 出发，以5cm/s 的速度沿DA 运动到终点A ，同时动点Q 从点B 出发，沿折线BD —DC 运动到终点C ，在BD 、DC 上分别以8cm/s 、6cm/s 的速度运动.过点Q 作QM ⊥AB ，交射线AB 于点M ，连接PQ ，以PQ 与QM 为边作□PQMN.设点P 的运动时间为t(s)（t>0），□PQMN 与□ABCD 重叠部分图形的面积为2()S cm .（1）AP=_______cm （同含t 的代数式表示）. （2）当点N 落在边AB 上时，求t 的值. （3）求S 与t 之间的函数关系式.（4）连结NQ ，当NQ 与△ABD 的一边平行时，直接写出t 的值.24.（12分）定义：在平面直角坐标系中，过抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点作y 轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线.例如：抛物线21y x =+的伴随直线（第23题）为直线1y =.抛物线212y x mx n =-++的伴随直线l 与该抛物线交于点A 、D （点A 在y 轴上），该抛物线与x 轴的交点为B(-1,0)和C （点C 在点B 的右侧）. （1）若直线l 是y=2，求该抛物线对应的函数关系式. （2）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）. （3）设抛物线212y x mx n =-++的顶点为M ，作OA 的垂直平分线EF ，交OA 于点E ，交该抛物线的对称轴于点F.①当△ADF 是等腰直角三角形时，求点M 的坐标.②将直线EF 沿直线l 翻折得到直线GH ，当点M 到直线GH 的距离等于点C 到直线EF 的距离时，直接写出m 的值.2018年九年级第一次模拟考试测试题·数学答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．D 二、填空题（每小题3分，共18分）9．1x ≠ 10．5 11．3 12．50 13．1142π- 14．4 评分说明：第12题带单位可给分；第13题写成4π-2可得分．三、解答题（本大题10小题，共78分） 15．原式222212241a a a a a =-+-++-（3分） 23a =．（4分）当a2315=⨯=．（6分）16．画出如下树状图：（4分）所以P （两次抽取的卡片上数字之和为偶数）59=．（6分）根据题意，列表如下：（4分）所以P （两次抽取的卡片上数字之和为偶数）59=．（6分） 评分说明：列树状图不写出结果不扣分．17．设这种笔单价为x 元．（1分）第一次 1 2 7第二次 1 2 7 1 2 7 1 2 7和 2 3 8 3 4 9 8 9 14由题意，得30504x x =-．（4分）解得10x =．（5分）经检验10x =是原方程的解，且符合题意．（6分）答：这种笔的单价是10元． 18．∵∠ABD =155°，∠D =65°，∴∠AED =155°-65°=90°．（2分）在Rt △BDE 中，∠BED =90°，sin 65BEBD︒=．（5分）∴BE =BD ·sin65°=1 200×0.906=1087.2≈1 087m ．（7分）答：开挖点E 离点B 的距离约为1 087m ．评分说明：（1）计算过程和结果中写成“=”或“≈”均不扣分．（2）计算过程加单位不扣分，结果不写单位不扣分．19．（1）如图．（2分）（2）8090x <≤（4分） 12%（5分） （3）1535010550⨯=．（7分）答：该年级参加这次比赛的学生中成绩“优”等的约有105人． 20．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC P ，AB CD P ．（1分） ∴DE AF P ，∠AED =∠BAE ．（2分）∵EF BC P ，∴AD EF P ．（3分）人数/人（第19题）∴四边形ADEF 是平行四边形． （4分）∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ． ∴∠AED =∠DAE ． ∴AD AE =．（6分） ∴□ADEF 是菱形．（7分）21．（1）755000.15÷=（元）． （2分） 答：甲印刷社制作此种宣传单每张0.15元．（2）当500x >时，设乙印刷社所需的费用y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+．∵1500.151000÷=，∴直线y kx b =+经过点(1000,150)．（3分）由题意，得500100,1000150.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得0.1,50.k b =⎧⎨=⎩∴0.150y x =+．（6分） （3）该社区印制两次这种宣传单共花费最少为290元．（8分）22．【探究】∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠B =∠ACB =60°．（1分） ∴∠ACD =120°．∵CM 是外角∠ACD 的平分线， ∴1602ACF ACD ∠=∠=︒．∴∠B =∠ACF =60°．（2分）∵C F =BE ，∴△ABE ≌△ACF ．（4分） ∴AE =AF ，∠BAE =∠CAF ．（5分）∵∠BAC =60°，∴∠BAE +∠EAC =∠CAF +∠EAC ． ∴∠EAF =60°．（6分） ∴△AEF 是等边三角形．（7分）【应用】4+ （9分） 23．（1）（10-5t ） （1分）（2）如图①，4(105)85t t -=，∴23t =． （3分）（3）如图②，过点P 作PE ⊥BD 于点E ，则PE =3t ．当203t <≤时，23824S t t t =⋅=．如图③，过点P 作PE ⊥BD 于点E ，则PE =3t ，设PN 交AB 于点F ，则4(105)845PF t t =-=-．当112t <≤时，213(848)6122S t t t t t =⨯-+=+．如图④，当12t <≤时，24213272S t t =-+-． （7分）（4）25t =， 12t =，2t =． （10分）24．（1）由题意，得A 的坐标为(0,2)．∵抛物线经过点(10)B -，，∴22,1(1)(1)0.2n m n =⎧⎪⎨-⨯-+⨯-+=⎪⎩ （2分）解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩E N QPD CB （M ）AF A B （M ）CD PQNE图② 图③ 图④NQP DCBAMFG N QPD CB （M ）A 图①∴该抛物线的对应的函数关系式为213222y x x =-++．（3分）（2）∵抛物线经过点(1,0)B -，∴21(1)(1)02m n -⨯-+⨯-+=． ∴12n m =+． 将该抛物线配方，得22111()222y x m m m =--+++ ∴对称轴是直线x m =．∴点D 的坐标为1(2,)2m m +． （5分）（3）当0m >，且∠AFD =90°时，则△ADF 是等腰直角三角形．∴AD =2AE ． ∴122m m =+． ∴12m =． （6分） ∴当12m =时，211119()22228y =⨯++=．∴点M 的坐标为19(,)28． （7分）当102m -<<，∠AFD =90°时，则△ADF 是等腰直角三角形．∴AD =2AE ． ∴122m m -=+． ∴16m =-．（8分）∴当16m =-时，2111125()()266272y =⨯-+-+=． ∴点M 的坐标为125(,)672-． （9分）当112m -<-≤时，EF>AE ．此时△ADF 不是等腰直角三角形．综上所述，点M 的坐标为19(,)28或125(,)672-．（4）0m =，1m =+1m = （12分）。
初三数学期中考试试卷上册附答案2017
初三数学期中考试试卷上册附答案2017期中对我们来说是一次考验,又是一次检验,考验学习态度是否端正,检验前半学期学到的成果。
以下是店铺为大家搜索整理的初三数学试卷上册附答案2017，希望能给大家带来帮助!更多精彩内容请及时关注我们应届毕业生!一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)1.一元二次方程x2-3x+2=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是( )A.2B.-2C.3D.-32.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.如果2是方程x2-3x+c=0的一个根，那么c的值是( )A.4B.-4C.2D.-24.下列说法中正确的个数是( )①不可能事件发生的概率为0;②一个对象在试验中出现的次数越多，频率就越大;③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值;④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率.A.1B.2C.3D.45.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长为( )A.14B.12C.12或14D.以上都不对6.下列命题正确的是( )A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形7.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( )A.x(x-11)=180B.2x+2(x-11)=180C.x(x+11)=180D.2x+2(x+11)=1808.一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是( )A.34B.15C.25D.359.关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A.m≤3B.m<3C.m<3且m≠2D.m≤3且m≠210.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是( )A.4B.6C.8D.1011.暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山.下列游戏中，不能选用的是( )A.掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢B.同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢C.掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢D.在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹赢12.将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个，经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个，为了赚8 000元，则售价应定为( )A.60元B.80元C.60元或80元D.70元13.如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是( )A.70°B.75°C.80°D.95°14.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④15.如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG⊥FH;②四边形EFGH是矩形;③HF平分∠EHG;④EG=12(BC-AD);⑤四边形EFGH是菱形，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16.一元二次方程x2+x=0的解是________________.17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=________.18.若x1、x2是方程2x2-3x-4=0的两个根，则x1x2+x1+x2的值为________.19.某班要从甲、乙、丙、丁四位班干部(两男两女)中任意两位参加学校组织的志愿者服务活动，则恰好选中一男一女的概率是________.20.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是________.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(8分)用适当的方法解方程：(1)x2-4x+3=0; (2)(x-2)(3x-5)=1.22.(8分)如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB.23.(10分)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.24.(12分)商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同.(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率为________;(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图法或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.25.(12分)如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证：AM=EF.26.(14分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件;第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元.(1)填表(不需化简)：时间第一个月第二个月清仓时单价(元) 80 40销售量(件) 200(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元，那么第二个月的单价应是多少元?27.(16分)已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2-mx+m2-14=0的两个实数根.(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;(2)若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少?参考答案1.C2.D3.C4.C5.B6.D7.C8.C9.D 10.C 11.B12.C 13.C 14.B 15.C 16.x1=0，x2=-1 17.5 18.-12 19.2320.2221.(1)x1=1，x2=3.(2)x1=11+136，x2=11-136.22.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=90°，AD=BC.∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC-∠DOC=∠BOD-∠DOC，即∠AOD=∠BOC.∴△AOD≌△BOC(AAS).∴AO=OB.23.设这个增长率为x.依题意得20(1+x)2-20(1+x)=4.8.解得x1=0.2，x2=-1.2(不合题意，舍去).0.2=20%.答：这个增长率是20%.24.(1)14(2)画树状图：由树状图可知，所有等可能的结果共有12种，满足条件的结果有2种，所以他恰好买到雪碧和奶汁的概率为212=16. 25.证明：连接MC.∵在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADM=∠CDM，又∵DM=DM，∴△ADM≌△CDM.∴AM=CM.∵ME∥CD，MF∥BC，∴四边形CEMF是平行四边形.又∵∠ECF=90°，∴ CEMF是矩形.∴EF=MC。
长春市名校调研2017届九年级上期中数学试卷含答案解析
A．α B．90°﹣α C． D．90 6．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，连接 AC、BC，点 D 是 BA 延长线 上一点，且 AC=AD，若∠B=30°，AB=2，则 CD 的长是（ ）
24．（8 分）如图，在一面靠墙的空地上用长 24m 的篱笆，围成中间隔有两道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x（m），面积 S（m2 （1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取）值．范围； （2）若墙的最大可用长度为 8m，求围成花圃的最大面积．
25．（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=3cm，动点 P 从点 A 出 发，沿 AB 以 1cm/s 的速度向终点 B 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿 B→C→D 以 1cm/s 的速度向终点 D 匀速运动，当两个点中有一个到达终点后， 另一个点也随之停止．连接 PQ，设点 P 的运动时间为 x（s），PQ2=y（cm2
（ （12） ）当求点y 与Q x在之边间C的D 函上数，关且系P式Q=，3并时写，出求自x变的量值x；的取值范围； （3）直接写出 y 随 x 增大而增大时自变（10 分）如图，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（0，2）两点，将 △OAB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△O′A′B′，点 A 落到点 A′的位置． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）将抛物线沿 y 轴平移后经过点 A′，求平移后所得抛物线对应的函数关系 式； （3）设（2）中平移后所得抛物线与 y 轴的交点为 C，若点 P 在平移后的抛物 线上，且满足△OCP 的面积是△O′A′P 面积的 2 倍，求点 P 的坐标；
2017—2018学年长春市朝阳区九年级上期中考试数学试卷有答案AKKHwn
九年级数学期中考试参考答案阅卷说明：1．评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分．2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分．一、选择题（每小题3分，共24分）1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C二、填空题（每小题3分，共18分）9．20 10．4x = 11．6 12．4.5 13．（-1，1） 14．5.5评分说明：第10题写出两个根不给分，写成4可以给分．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．原式 （3分）= （6分）16．（1）二 （1分）等式的基本性质2用错 （2分）（2）(2)(2)0x x x -+-=．(2)(1)0x x -+=．11x =-，22x =．（6分） 评分说明：第（1）题第2空写成“漏掉2x =的解”或者“等式的基本性质用错”均给分；意思表述正确，可以给分．17．由题意，得2340m ∆=->．（3分） 解得94m <．（5分） 所以m 的最大整数值为2．（6分） 18．设该县投入教育经费的年平均增长率为x ．（1分） 由题意，得25 000(1) 5 000 2 200x +=+．（4分） 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．（6分） 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%．（7分） 19．答案不唯一，以下答案供参考，画对一个得4分，两个都画对得7分．20．（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ABC =∠ACB =60°．（1分） ∵DE ∥AB ， ∴∠ABC =∠ADE =60°，∠ACB =∠AED =60°．∴∠ADE =∠AED =60°． ∴△ADE 是等边三角形．（2分） ∴AD =AE ．∴BD CE =．（3分） ∵M 、N 分别为DE 、BE 的中点， ∴12MN BD =．∵N 、P 分别为BE 、BC 的中点，∴12NP CE =．（4分） ∴MN PN =．（5分） （2）120（7分） 21．（1）(324)m x -．（2分） （2）由题意，得(324)316x x -=⨯．（4分） 解得122,6x x ==． （6分） 当2x =时，324248x -=>，不合题意，舍去．当6x =时，3248x -=．（7分） （第20题） P N M ED C B AP4P 3P 2P 1A B CE D（第19题）答：AB 的长是6m ． （8分） 评分说明：（1）第（1）题不带单位可给分，带单位不加括号可给分．（2）第（2）题答不带单位可给分．22．探究：如图．∵四边形ABCD 是矩形，∴90D C ∠=∠=︒． （2分） ∴90DEP DPE ∠+∠=︒．（3分） ∵EF PE ⊥， ∴90DEP CEF ∠+∠=︒． （4分） ∴DPE CEF ∠=∠． （5分） ∴PDE ∆∽ECF ∆．（6分） 应用：2（9分） 23．（1）1- 2（2分） （2）424225214x x x x -+=-++22(1)4x =-+ （3分） ∵22(1)0x -≥,∴22(1)40x -+>．∴代数式4225x x -+的值一定是正数．（4分） 当1x =±时，这个代数式的值最小，最小值是4．（6分） （3）由题意，得21S a =，24(3)412S a a =-=-． （8分） 则22212(412)412(2)8S S a a a a a -=--=-+=-+． （9分） ∵2(2)0a ->,∴2(2)80a -+>．∴120S S ->．∴12S S >．（10分） 评分说明：第（3）题只写出12S S >，没有证明，可给1分．24．（1）如图①，∵DP AB ⊥，90C ∠=︒，∴90C ADP ∠=∠=︒．由勾股定理，得4AC =．∵A A ∠=∠， ∴APD ∆∽ABC ∆． ∴AP AD AB AC =．∴2 2.554t =． ∴2516t =．（2分） （2）如图②，当CPQ ∆∽CAB ∆时，则CP CQCA CB =．∴4243tt-=．∴65t =．（3分）QPBA CD 图①图② D C A B P Q QPBA C D 图③ （第22题） ABCDEF P如图③，当CPQ ∆∽CBA ∆时，则CP CQ CB CA =． ∴4234t t -=． ∴1611t =． （4分） （3）如图④，当02t ≤≤时，分别过点P 、Q 作PE AB ⊥于点E ，QF AB ⊥于点F ．∴DPQ ABC ADP CPQ BDQ S S S S S ∆∆∆∆∆=---11112222A CBC AD PE B D QF C P C Q =⋅-⋅-⋅-⋅ 11531541432(3)(42)22252252t t t t =⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯--- ∴2532S t t =-+． （6分）如图⑤，当23t <≤时，分别过点P 、Q 作PE AB ⊥于点E ，QF AB ⊥于点F ．∴DPQ ABC ADP CPQ BDQ S S S S S ∆∆∆∆∆=--- 11112222A CBC AD PE B D QF C P C Q =⋅-⋅-⋅-⋅ 1153154143(82)(3)(24)22252252t t t t =⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯⨯--- ∴2932S t t =-+-． （8分） （4）1t =，32t =，t ，3t =． （12分） 【提示】如图⑥～⑨．Q P B A C D D Q P B A C (Q )DP B A CC A B P QD 图⑥ 图⑦ 图⑧ 图⑨图 图④ F E D C A B P Q 图⑤ Q P B A C D E F。
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（九年纽敷学第E页共石页）九年级数学期中考试参考答案阅卷说明：1评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分.2•考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分.一、选择题（每小题3分，共24分）1. B 2• A 3• B 4. D 5. C 6• D 7. C 8. C二、填空题（每小题3分，共18分）9. 20 10. x =4 11. 6 12. 4.5 13. （-1, 1）14. 5.5评分说第10题写出两个根不给分，写成4可以给分.明：三、解答题（本大题10小题，共78分）15. 原式二2 4、2 -2 .2分）=3、、2 .分）16. （1）二分）等式的基本性质（2分）（2）x（x-2）（x _2）=0 . （x-2）（x 1） =0.x^ -1 , x2 = 2 .分）评分说明：第（1）题第2空写成“漏掉x =2的解”或者“等式的基本性质用错”均给分；意思表述正确，可以给分.17.由题意，得人-32 -4m 0 .（九年纽敷学第E页共石页）分）解得m ：：•—.4 分）所以m的最大整数值为2. 分）18 .设该县投入教育经费的年平均增长率为x .分）由题意，得5 000（1 x）2 = 5 000 2 200 . 分）解得& =0.2 =20% , X2二-2.2 （不合题意，舍去）分）答：该县投入教育经费的年平均增长率为20% .分）19 .答案不唯一，以下答案供参考A画对一个得4分，两个都画对得20 . (1 )•••△ ABC是等边三角形，••• AB=AC，/ ABC= / ACB=60°.分)•/ DE // AB,•••/ ABC = Z ADE=60° / ACB= / AED=60°.•••/ ADE = Z AED=60°.•△ ADE是等边三角形.分)•AD=AE.•BD 二CE .分)•/ M、N分别为DE、BE的中点，1•- MN BD .2•/ N、P分别为BE、BC的中点，1•- NP CE .2分)•MN =PN .分)(2) 120分)21 . (1) (32 -4x)m .分)(2)由题意，得x(32 -4x) =3 16 .分)解得论=2兀=6 .P4D E (第19 题) 7 分.(5(6(1(4(6(7(1(2(3(4(5(7(2(4(6分）当x =2时，32 -4x =24 8，不合题意，舍去. 当x =6 时，32 _4x=8.(7 分）答：AB的长是6m .(8 分）评分说明：（1）第（1）题不带单位可给分，带单位不加括号可给分.（2）第（2）题答不带单位可给分.2 2.探究：如图.•••四边形ABCD是矩形，分）• / D E C =90 . D E C (2 • . DEP . DPE =90 .P1(3分）••• EF _PE ,'''FA（第22题）B (4• . DEP . CEF =90 .分）••• . DPE 二CEF .( 5分）• . PDE s . ECF .( 6分）应用：2 ( 9分）23 (1) -1 2 (2分）(2) x4 -2x2 5=x4 -2x2 14=(X2 -1)2 4 (3 分)•/ (x2 -1)2> 0,••• (x2 -1)2 4 0 .•••代数式x4 -2x2 5的值一定是正数. (4 分)当x = ±1时，这个代数式的值最小，最小值是4. (6 分)(3)由题意，得S| =a2, S2 = 4(a -3) = 4a -12 . (8 分)贝卩S —S2=a2 _(4a_12)=a2 _4a+12=(a_2)2十8 . (9 分)•- (a -2)2 0,• (a -2)28 0 .•- S 一5 AO .由勾股定理，得AC = . AB -BC••• . A =/A ,• APD s ABC . • AP AD" AC .• 2t 25 亏-才. • t J5.16如图④，当0乞t 空2时，分别过点P 、Q 作PE —AB 于点E , QF_ AB 于点F .分）24. •- S i(10评分说明：第（3）题只写出S i S 2，没有证明，可给 （1） 如图①，••• DP _AB , . C =90 , • . C ADP =90 .1分.分）(2) 如图②，当 ACPQ s CAB 时，则 CP CACQ CB分） 分）_ t "3 D图②A 如图③，当 厶CPQ s CBA 时，则4 —2t CPCB 3• t 丄11CQ CA(3(4= S .A BC - SA DP -'S C PQ -SB DQ1 111 AC BC- AD PEBD Q-F 2 22 2 1 15 31 5 44 3 -2 -(3CP CQ 1 書4®分）•- S(6(2(3)B分) 如图⑤，当2 a <3时，分别过点P、Q作PE_AB于点E , QF _ AB于点F • …S DPQ = SABC -'S ADP -'S CPQ —■S BDQ1 1 1AD P-E2AC BC2二丄42••• S =-t2 9t —3 •2i"21 5 3/o(82 2 5BD CP CQt-2(83B (Q)图2。
2017-2018年吉林省长春外国语学校九年级(上)期中数学试卷和答案
2017-2018学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=32．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=03．（3分）如图所示，AB、CD相交于点0，连接AC，BD，添加下列一个条件后，仍不能判定△AOC∽△DOB的是（）A．∠A=∠D B．C．∠B=∠C D．4．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x﹣1）2C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣15．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．不变化B．扩大2倍C．缩小2倍D．不能确定6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=3157．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（）A．（）B．（）C．（） D．（2，2）8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）化简：=．10．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为．11．（3分）已知：，则的值为．12．（3分）若锐角A满足，则∠A的度数是．13．（3分）用配方法解方程x2﹣8x=3时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（10分）计算：（1）（2）．16．（15分）解方程：（1）2x2+3x=0．（2）x2﹣10x+25=0．（3）x2﹣3x=1．17．（5分）已知y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．18．（5分）现有点数为2、3、4、5的四张牌，背面朝上洗匀，然后从中任意抽取两张，这两张牌上的数字之和为偶数的概率是多少？（列表或画树状图）19．（5分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．21．（6分）如图，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求AD的长．22．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？23．（8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图（1），AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图（2）所示．（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；（2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形；（3）将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积．24．（10分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB；（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S=，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO△AOE是否相似？请说明理由．2017-2018学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=3【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故选：A．2．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0【解答】解：A、是分式方程不是一元二次方程，故A错误；B、a=0是一元一次方程，故B错误；C、是一元二次方程，故C正确；D、是二元二次方程，故D错误；故选：C．3．（3分）如图所示，AB、CD相交于点0，连接AC，BD，添加下列一个条件后，仍不能判定△AOC∽△DOB的是（）A．∠A=∠D B．C．∠B=∠C D．【解答】解：由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，所以题中选项A、B、C均符合题意，而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似．故选：D．4．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x﹣1）2C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣1【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y=﹣2x2+1．故选：C．5．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．不变化B．扩大2倍C．缩小2倍D．不能确定【解答】解：根据锐角三角函数的定义，知如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值不变．故选：A．6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．7．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（）A．（）B．（）C．（） D．（2，2）【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，∴OA：OD=2：3，∵点A的坐标为（1，0），即OA=1，∴OD=，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=．∴E点的坐标为：（，）．故选：B．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）化简：=3．【解答】解：==3，故答案为：3．10．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为15．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，∴口袋中球的总个数为：3÷=15．故答案为：15．11．（3分）已知：，则的值为．【解答】解：设a=k，则b=2k，∴．12．（3分）若锐角A满足，则∠A的度数是30°．【解答】解：根据题意得：2cosA﹣=0∴cosA=∴∠A=30°故答案是：30°．13．（3分）用配方法解方程x2﹣8x=3时，方程的两边同时加上一个实数16，使得方程左边配成一个完全平方式．【解答】解：x2﹣2•x•4+42=3+42，即x2﹣8x+16=3+16，故答案为：16．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．【解答】解：∵在△ABC与△ACD中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴=，∵AB=5，AC=4，∴=，解得AD=．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（10分）计算：（1）（2）．【解答】解：（1）原式=（）2﹣1+2﹣1=；（2）原式=3﹣2×+=．16．（15分）解方程：（1）2x2+3x=0．（2）x2﹣10x+25=0．（3）x2﹣3x=1．【解答】解：（1）2x2+3x=0，x（2x+3）=0，则x=0或2x+3=0，解得x1=0，x2=﹣；（2）x2﹣10x+25=0，（x﹣5）2=0，解得x1=x2=5；（3）x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，解得．17．（5分）已知y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．【解答】解：∵y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，∴m2+2m﹣1=2，解得m=1或﹣3，∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m=﹣3．18．（5分）现有点数为2、3、4、5的四张牌，背面朝上洗匀，然后从中任意抽取两张，这两张牌上的数字之和为偶数的概率是多少？（列表或画树状图）【解答】解：画出树状图，如图：共有12种情况，其中和为偶数的有4种，==．则P数字之和为偶数19．（5分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．【解答】解：设方程的另一根为x2，则﹣1+x2=﹣1，解得x2=0．把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2．综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．21．（6分）如图，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求AD的长．【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE（AA）；（2）解：∵△ABC∽△ADE，∴=，∵AB=DE=5，BC=4，∴AD=．22．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+200x斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x（斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，当x=时，销售量是100+200×=200＜260；当x=1时，销售量是100+200=300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．23．（8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图（1），AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图（2）所示．（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；（2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形；（3）将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积．【解答】（1）证明：四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，即AD∥CF，AC∥DF，故四边形ACFD为平行四边形．（2）解：要使得四边形ACFD为菱形，即使AD=AC即可，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，根据勾股定理求得AC==10cm，故将Rt△ABC向左、右平移10cm均可使得四边形ACFD为菱形；（3）解：将Rt△ABC向左平移4cm，即BE=4cm，即BH为Rt△DEF的中位线，即H为DF的中点，故△HFB的面积均为6cm2，故四边形DHCF的面积为：S△ABC ﹣S△HBF=24﹣6=18（cm2）．答：四边形DHCF的面积为18cm2．24．（10分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB；（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO 是否相似？请说明理由．【解答】解：（1）解方程：x2﹣7x+12=0解得x1=3，x2=4（1分）∵OA＞OB∴OA=4，OB=3（2分）由勾股定理得出：∴AB=5（3分）∴在Rt△OAB中，sin∠ABC==（4分）=（2）①∵S△AOE∴OA•OE=∴OE=（5分）∴点E的坐标为（﹣，0）或（，0）（6分）②△AOE与△DAO相似，理由如下：∵=，∴∵∠AOE=∠DAO=90°（7分）∴△AOE∽△DAO．（8分）。
人教版2017-2018学年九年级(上)期中考试数学试卷(含答案)
2017-2018学年上学期期中考试九年级数学试卷（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成；一、选择题 （本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。
1、在﹣5，0，﹣2，1这四个数中，最小的数是（ ）A ．﹣5B ．﹣2C ．0D ．12、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列计算正确的是（ ）A ．532x x x =+B ．2x ·63x x =C ．()532x x =D ．235x x x =÷4、下列调査中，适合采用全面调査（普査）方式的是 ( )A ．对嘉陵江水质情况的调査B ．对端午节期间市场上粽子质量情况的调査C ．对某班50名同学体重情况的调査D ．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调査5、对于二次函数2(1)2y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）．A ．开口向下B ．对称轴是1x =-C ．顶点坐标是(1,2)D ．与x 轴有两个交点 6、若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ）A.1-B.1C.21-D.21 7、将抛物线y =(x －4)2＋2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的 表达式为（ ）A ．y =(x －3)2＋5B ．y =(x －3)2－1C ．y =(x －5)2＋5D ．y =(x －5)2－18、共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）A ．21000(1)1000440x +=+B ．21000(1)440x +=C ．2440(1)1000x +=D ．1000(12)1000440x +=+9、在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（ ）A B C D10、下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ）A ．50B ．60C ．64D ．7211、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连结BM ，则BM 的长是（ ）A.4B. 13+C. 23+D. 712、在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，随机取出一个数，记为a ，若数 a 使关于x 的分式方程3233ax x x+=---的解是正实数，且使得二次函数y =﹣x 2+（2 a ﹣1）x +1的图象，在x ＞2时，y 随x 的增大而减小，则满足条件的所有a 之和是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13、据报道，西部地区最大的客运枢纽系统﹣﹣重庆西站，一期工程已经完成90%，预计在年内建成投入使用。
2017-2018学年人教版九年级(上册)期中数学试卷及答案
2017-2018学年人教版九年级(上册)期中数学试卷及答案2017-2018学年九年级（上册）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.一元二次方程x^2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是（）A。
x^2-5x+5=0B。
x^2+5x-5=0C。
x^2+5x+5=0D。
x^2+5=02.目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系。
某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A。
438(1+x)^2=389B。
389(1+x)^2=438C。
389(1+2x)^2=438D。
438(1+2x)^2=3893.观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A。
B。
C。
D。
4.把二次函数y=-x^2-x+3用配方法化成y=a(x-h)^2+k的形式时，应为（）A。
y=-(x-2)^2+2B。
y=-(x-2)^2+4C。
y=-(x+2)^2+4D。
y=-(x+2)^2+35.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论正确的是（）A。
a<0___<0C。
当-12D。
-2<c<06.对抛物线：y=-x^2+2x-3而言，下列结论正确的是（）A。
与x轴有两个交点B。
开口向上C。
与y轴的交点坐标是(0,-3)D。
顶点坐标是(1,-2)7.以3和-1为两根的一元二次方程是（）A。
x^2+2x-3=0B。
x^2+2x+3=0C。
x^2-2x-3=0D。
x^2-2x+3=08.在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax^2+8x+b的图像可能是（）A。
B。
C。
D。
9.将抛物线y=3x^2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A。
y=3(x-2)^2-1B。
y=3(x-2)^2+1C。
y=3(x+2)^2-1D。
【精品】2018年吉林省长春市朝阳区九年级上学期期中数学试卷带解析答案
2017-2018学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列四个方程中，是一元二次方程的是（）A．x=1 B．x2﹣1=0 C．x+y=2 D．=12．（3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．4．（3分）一元二次方程x2﹣x+2=0根的情况是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程有一个实数根D．方程没有实数根5．（3分）下列各式计算正确的是（）A．（）2=4 B．C．D．6．（3分）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树AB的高度，他沿着树影CB由C向B走，当走到点D时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，此时，AEC三点恰好在一条直线上，经测得CD=1米，BD=3米，则树的高度AB为（）A．3米 B．4米 C．4.5米D．6米7．（3分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△A′B′C′，若AA′=2OA，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（）A．1：9 B．1：4 C．1：3 D．1：28．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，点D、E分别是边AB、BC上点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为（）A．2 B．C．或2 D．或2二、填空题（每题3分）9．（3分）（2）2=．10．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x﹣4）=0的较大的根是．11．（3分）如图，△ABC∽△DEF，AB=6，DE=4，若BC=9，则EF的长为．12．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段DE的长为．13．（3分）甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子，如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有旗子构成一个轴对称图形．甲放的位置所表示的点的坐标是．14．（3分）如图，BD是▱ABCD的对角线，E是边AD上的点，且AE=DE，连接CE交BD于点F，若△DEF的面积为2，则四边形ABFE的面积为．三、解答题15．（6分）计算：×+﹣．16．（6分）小明在解方程x（x﹣2）=2﹣x时出现了错误，解答过程如下：原方程可化为（x﹣2）=﹣（x﹣2）．（第一步）方程两边同时除以x﹣2，得x=﹣1．（第二步）（1）小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是．（2）请写出此题正确的解答过程．17．（6分）若关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，求m 的最大整数值．18．（7分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入了教育经费5000万元，并规划投入逐年增加，2016年比2014年投入教育经费增加了2200万元．设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．19．（7分）如图，在4×8的正方形网格中，每个小方形的顶点称为格点．△ABC 的顶点都在格点上，称△ABC为格点三角形，路段DE的端点也在格点上．若以D、E为顶点的格点三角形与△ABC相似，画出这样的两个格点三角形，且所画的两个三角形不全等．20．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结BE．M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P．（1）求证：MN=PN．（2）∠MNP的大小是度．21．（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长32m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为8m，设花圃的宽AB为x（m）．（1）用含x的代数式表示BC的长．（2）若被两道篱笆间隔的每个小矩形花圃的面积是16m2，求AB的长．22．（9分）感知：如图①，在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连结AF．易证：△ADE≌△ECF （不需要证明）．探究：点P在图①的矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连结PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连结PF，其它条件不变，如图②．求证：△PDE ∽△ECF；应用：若图②的EF交边AB于点F，其它条件不变，如图③．△PEF的面积是3，则AP的长为．23．（10分）请你参考黑板中老师的讲解，完成下列解答：（1）通过上面例题的讲解可知，当x=时，代数式x2+2x+3有最小值，且最小值是．（2）对于代数式x4﹣2x2+5，先用配方方法说明，不论x为何实数，这个代数式的值总是正数；再求出当x为何实数时，这个代数式的值最小，最小值是多少？（3）设一个边长为a（a＞3）的正方形的面积为S1，另一个矩形的面积为S2．若矩形的一边长比该正方形的边长小3，另一边长为4，试比较S1和S2的大小，并说明理由．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，D为边AB的中点．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→A匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向终点B匀速运动．连结PQ、DP、DQ．设点P的运动时间为t（s），△DPQ的面积为S（cm2）．（1）当点P沿A→C运动，且DP⊥AB时，求t的值．（2）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值．（3）当点Q从开始运动到停止时，求S与t之间的函数关系式．（4）当△DPQ的任意一条边将△ABC分成面积比为1：3的两部分时，直接写出t的值．2017-2018学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列四个方程中，是一元二次方程的是（）A．x=1 B．x2﹣1=0 C．x+y=2 D．=1【解答】解：A、是一元一次方程，故本选项错误；B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；D、是分式方程，故本选项错误；故选：B．2．（3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、与不是同类二次根式，错误；B、与不是同类二次根式，错误；C、与不是同类二次根式，错误；D、与是同类二次根式，正确；故选：D．3．（3分）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【解答】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．4．（3分）一元二次方程x2﹣x+2=0根的情况是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程有一个实数根D．方程没有实数根【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=2，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×2=﹣7＜0，所以原方程没有实数根．故选：D．5．（3分）下列各式计算正确的是（）A．（）2=4 B．C．D．【解答】解：A、错误．（）2=2；B、错误，不是同类二次根式，不能合并；C、正确．D、错误．不是同类二次根式，不能合并；故选：C．6．（3分）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树AB的高度，他沿着树影CB由C向B走，当走到点D时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，此时，AEC三点恰好在一条直线上，经测得CD=1米，BD=3米，则树的高度AB为（）A．3米 B．4米 C．4.5米D．6米【解答】解：根据题意，可知：△ABC∽△EDC，∴=，即=，故选：D．7．（3分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△A′B′C′，若AA′=2OA，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（）A．1：9 B．1：4 C．1：3 D．1：2【解答】解：∵AA′=2OA，∴OA′=3OA，∴△ABC与△A′B′C′的相似比是1：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，点D、E分别是边AB、BC上点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为（）A．2 B．C．或2 D．或2【解答】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE=EF，∵BC=4，∴CE=4﹣BE，∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，∴或，即=或，解得：BE=或2，故选：C．二、填空题（每题3分）9．（3分）（2）2=20．【解答】解：（2）2=4×5=20．故答案为：20．10．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x﹣4）=0的较大的根是x=4．【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）=0∴x﹣2=0或x﹣4=0，解得x1=2，x2=4，∴较大的根是x=4，故答案为：x=4．11．（3分）如图，△ABC∽△DEF，AB=6，DE=4，若BC=9，则EF的长为6．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB=6，DE=4，BC=9，∴=，∴=，∴EF=6，故答案为6．12．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段DE的长为 4.5．【解答】解：∵l 1∥l2∥l3，∴=，即，∴BE=3，∴DE=3+1.5=4.5．故答案为：4.5．13．（3分）甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子，如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有旗子构成一个轴对称图形．甲放的位置所表示的点的坐标是（﹣1，1）．【解答】解：如图：甲放的位置所表示的点的坐标是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．14．（3分）如图，BD是▱ABCD的对角线，E是边AD上的点，且AE=DE，连接CE交BD于点F，若△DEF的面积为2，则四边形ABFE的面积为 5.5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BC，AD=BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF：CF=DE：BC，∵AE=DE，∴DE=AD=BC，∵△DEF的面积为2，∴△BFC的面积4.5，∵△DEF和△DFC中EF，CF边上的高相等，△DEF的面积为2，EF：CF=2：3，∴△DFC的面积为3，∴△BCD的面积=3+4.5=7.5，∴△ABD的面积=7.5，∴四边形ABFE的面积=7.5﹣2=5.5，故答案为：5.5．三、解答题15．（6分）计算：×+﹣．【解答】解：原式=+4=3．16．（6分）小明在解方程x（x﹣2）=2﹣x时出现了错误，解答过程如下：原方程可化为（x﹣2）=﹣（x﹣2）．（第一步）方程两边同时除以x﹣2，得x=﹣1．（第二步）（1）小明解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是等式的基本性质2用错．（2）请写出此题正确的解答过程．【解答】解：（1）小明解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是等式的基本性质2用错，故答案为：二、等式的基本性质2用错；（2）∵x（x﹣2）+（x﹣2）=0．∴（x﹣2）（x+1）=0．则x﹣2=0或x+1=0，解得：x1=﹣1，x2=2．17．（6分）若关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，求m 的最大整数值．【解答】解：由题意，得△=32﹣4m＞0．解得m＜．所以m的最大整数值为2．18．（7分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入了教育经费5000万元，并规划投入逐年增加，2016年比2014年投入教育经费增加了2200万元．设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．【解答】解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x．由题意，得5000（1+x）2=5000+2200．解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%．19．（7分）如图，在4×8的正方形网格中，每个小方形的顶点称为格点．△ABC 的顶点都在格点上，称△ABC为格点三角形，路段DE的端点也在格点上．若以D、E为顶点的格点三角形与△ABC相似，画出这样的两个格点三角形，且所画的两个三角形不全等．【解答】解：如图，△DEF和△DEF′为所作．20．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结BE．M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P．（1）求证：MN=PN．（2）∠MNP的大小是120度．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．∵DE∥AB，∴∠ABC=∠ADE=60°，∠ACB=∠AED=60°．∴∠ADE=∠AED=60°．∴△ADE是等边三角形．∴AD=AE．∴BD=CE．∵M、N分别为DE、BE的中点，∴MN=BD．∵N、P分别为BE、BC的中点，∴NP=CE．∴MN=PN．（2）∠MNP=∠MNE+∠ENP=30°+90°=120°，故答案为：12021．（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长32m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为8m，设花圃的宽AB为x（m）．（1）用含x的代数式表示BC的长．（2）若被两道篱笆间隔的每个小矩形花圃的面积是16m2，求AB的长．【解答】解：（1）（32﹣4x）m．（2）由题意，得x（32﹣4x）=3×16．解得x1=2，x2=6．当x=2时，32﹣4x=24＞8，不合题意，舍去．当x=6时，32﹣4x=8．答：AB的长是6m．22．（9分）感知：如图①，在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连结AF．易证：△ADE≌△ECF （不需要证明）．探究：点P在图①的矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连结PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连结PF，其它条件不变，如图②．求证：△PDE ∽△ECF；应用：若图②的EF交边AB于点F，其它条件不变，如图③．△PEF的面积是3，则AP的长为2．【解答】感知：证明：如图①，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAE+∠DEA=90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠DEA+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∵DE=1，CD=4，∴CE=3，∵AD=3，∴AD=CE，∴△ADE≌△ECF（ASA）；探究：证明：如图②，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DPE+∠DEP=90°，∵EF⊥PE，∴∠PEF=90°，∴∠DEP+∠FEC=90°，∴∠DPE=∠FEC，∴△PDE∽△ECF；应用：解：如图③，过F作FG⊥DC于G，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴FG=BC=3，∵PE⊥EF，∴S=PE•EF=3，△PEF∴PE•EF=6，同理得：△PDE∽△EGF，∴=，∴=，∴EF=3PE，∴3PE2=6，∴PE=±，∵PE＞0，∴PE=，在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD==1，∴AP=AD﹣PD=3﹣1=2，故答案为：2．23．（10分）请你参考黑板中老师的讲解，完成下列解答：（1）通过上面例题的讲解可知，当x=﹣1时，代数式x2+2x+3有最小值，且最小值是2．（2）对于代数式x4﹣2x2+5，先用配方方法说明，不论x为何实数，这个代数式的值总是正数；再求出当x为何实数时，这个代数式的值最小，最小值是多少？（3）设一个边长为a（a＞3）的正方形的面积为S1，另一个矩形的面积为S2．若矩形的一边长比该正方形的边长小3，另一边长为4，试比较S1和S2的大小，并说明理由．【解答】解：（1）x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2，∴当x=﹣1时，代数式x2+2x+3有最小值2，故答案为：﹣1；2；（2）x4﹣2x2+5=x4﹣2x2+1+4=（x2﹣1）2+4，∵（x2﹣1）2≥0，∴（x2﹣1）2+4＞0．∴代数式x4﹣2x2+5的值一定是正数，当x=±1时，这个代数式的值最小，最小值是4；（3）由题意，得S1=a2，S2=4（a﹣3）=4a﹣12，则S1﹣S2=a2﹣（4a﹣12）=a2﹣4a+12=（a﹣2）2+8，∵（a﹣2）2＞0，∴（a﹣2）2+8＞0．∴S1﹣S2＞0．∴S1＞S2．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，D为边AB的中点．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→A匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向终点B匀速运动．连结PQ、DP、DQ．设点P的运动时间为t（s），△DPQ的面积为S（cm2）．（1）当点P沿A→C运动，且DP⊥AB时，求t的值．（2）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值．（3）当点Q从开始运动到停止时，求S与t之间的函数关系式．（4）当△DPQ的任意一条边将△ABC分成面积比为1：3的两部分时，直接写出t的值．【解答】解：（1）如图①，∵DP⊥AB，∠C=90°，∴∠C═⊂ADP=90°．由勾股定理，得AC==4．∵∠A=∠A，∴△APD∽△ABC．∴．∴．∴t=．（2）如图②，当△CPQ∽△CAB时，则，∴∴t=．如图③，当△CPQ∽△CBA时，则，∴=，∴t=．（3）①如图④，当0≤t≤2时，分别过点P、Q作PE⊥AB于点E，QF⊥AB于点F．=S△ABC﹣S△ADP﹣S△CPQ﹣S△BDQ∴S△DPQ=AC﹣BC﹣AD﹣PE﹣BD﹣QF﹣CP﹣CQ=﹣﹣﹣∴S=t2﹣+3．如图⑤，当2＜t≤3时，分别过点P、Q作PE⊥AB于点E，QF⊥AB于点F．=S△ABC﹣S△ADP﹣S△CPQ﹣S△BDQ∴S△DPQ=AC﹣BC﹣AD﹣PE﹣BD﹣QF﹣CP﹣CQ=﹣﹣﹣∴S=﹣t2+．（4）①如图⑥或⑨中，当AP=PC时，t=1或3时，P是AC中点，满足条件．②如图⑦中，当Q是BC中点时，满足条件，此时t=，③当PQ分△ABC的面积1：3时，•（4﹣2t）•t=••3•4，整理得2t2﹣4t+3=0，∵△＜0，方程无解．或•（2t﹣4）•t=••3•4整理得2t2﹣4t﹣3=0，解得t=或（舍弃）综上所述，满足条件的t的值为t=1，t=，t=，t=3．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2022-2023学年吉林省长春市朝阳区九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷1. 若二次根式√x−11有意义，则实数x的取值范围是( )A. x≥11B. x>11C. x≥0D. x>02. sin45°的值等于( )A. √2B. 1C. √32D. √223. 下列计算正确的是( )A. √3+√2=√5B. 2√3−√3=1C. √3×√2=√6D. √12÷2=√64. 一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根5. 某商场一月份的营业额为400万元，一月、二月和三月的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为( )A. 400(1+x)2=1800B. 400+400×3x=1800C. 400×3+400x2=1800D. 400+400(1+x)+400(1+x)2=18006. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是( )A. 12sinα米B. 12cosα米C. 12sinα米D. 12cosα米7. 如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′.若OAAA′=12，且四边形ABCD的面积是1，则四边形A′B′C′D′的面积是( )A. √2B. 3C. 4D. 98. 如图，在▱ABCD中，E为边AB上一点，连结DE、AC交于点F.若AFCF =14，则下列说法错误的是( )A. AECD =14B. △AEF与△CDF的周长比为1：4C. △AEF与△CDF的面积比为1：4D. △ADF与△CDF的面积比为1：49. 计算：(√13)2=______．10. 一元二次方程x2−12x=0较大的根是x=______．11. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，则tanB=______ ．12. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB顶点A、B分别在第一象限和y轴正半轴上，点C为边OA上一点，过点C作CD//OB交AB于点D.若C、D两点纵坐标分别为1、3，且AC：OC=1：2，则点B的纵坐标为______．13. 《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的______倍．14. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D、E是边BC上的点，点F在边AC上，连结AD、EF，将△ABC分别沿直线AD和EF折叠，使点B、C的对称点重合在边BC上的点G处．若AB=2，AC=3，则AF的长是______．15. 计算：(1)√27−√12+√24；(2)2cos60°−sin30°+tan45°．16. 解方程：(x+2)(x−5)=1．17. 已知：关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0．(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若方程的一个根为5时，求m的值．18. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法．(1)在图①中边AC上找到一点D，连结BD，使tan∠ABD=1；(2)在图②中边AC上找到一点E，连结BE，使tan∠ABE=1；2(3)在图③中边AC上找到一点F，连结BF，使tan∠CBF=1．219. 如图，某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，求花带的宽度．20. 如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连接BD、CE．(1)求证：△BAD∽△CAE；(2)如图②，延长图①中CE交BD于点F，交AB于点G.求cos∠BFC的值．21. 如图①，长春解放纪念碑于1988年10月18日正式竣工落成．纪念碑正面有彭真同志的题词“长春解放纪念碑”，整个建筑由纪念碑主体、台基、浮雕墙及台阶组成．某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念碑主体的高度，并绘制了如图②的示意图．无人机在点A处测得纪念碑顶部点B的仰角为45°，纪念碑主体底部点C的俯角为61°，无人机与纪念碑的水平距离AD=11m，求纪念碑主体BC的高度．(结果精确到0.1m)参考数据：(sin61°≈0.875,cos61°≈0.485,tan61°≈1.804)22. 如图①，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC=12cm，高AD=12cm.在这张纸片中剪出一个正方形EFGH，使其一边FG在边BC上，点E、H分别在边AB，AC上，且EH与AD交于点K．(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求正方形EFGH的边长；(3)若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，如图②所示，阴影部分为正方体展开图，直接写出该正方体的棱长．23. 【命题】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【证明】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：BC=12AB．方法一：如图②，作斜边AB上的中线CD，则CD=12AB=AD=BD．∵∠A=30°，∴∠B=60°．∴△BCD是______三角形．∴BC=BD=12AB．方法二：如图③，作点B关于AC的对称点D，连接AD．∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠D=∠B=∠BAD=60°．∴△ABD是等边三角形．∴BD=AD=______．∴BC=12BD=12AB．阅读上面两种不完整的证明方法后，请补全证明过程．【应用】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，且BC=1.点P是边AC上一点．(1)若AP=1AB，点P到边AB的距离为______．2(2)若CP=1AB，求点P到边AB的距离．2【延伸】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点P是边AC上一点，连结BP.若AP的最小值．BC=√3，直接写出BP+1224. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，BD是该矩形的对角线．动点P从点A出发(点P不与点A、B重合)，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．同时动点Q从点B出发，沿BD以每秒√41个单位长度的速度向终点D运动．过点Q作QE⊥BD交折线BC−CD于点E，连结PQ，以QE和PQ为边作▱PQEF，设点P的运动时间为t(s)．(1)求BD的长；(2)用含t的代数表示QE的长；(3)连结PE，当PE与△BDC的某条边垂直时，求t的值；(4)连结QF，当QF与△BDC的某条边平行或重合时，直接写出t的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得：x−11≥0，解得x≥11，故选：A．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：sin45°=√2，2故选：D．根据特殊角的三角函数值得出即可．本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．3.【答案】C【解析】解：A．√3+√2无法合并，故此选项不合题意；B.2√3−√3=√3，故此选项不合题意；C.√3×√2=√6，故此选项符合题意；D.√12÷2=√3，故此选项不合题意；故选：C．直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】B【解析】解：∵Δ=(−3)2−4×1×1=5>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．先计算根的判别式的值得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．5.【答案】D【解析】解：∵一月份的营业额为400万元，月平均增长率为x，∴二月份的营业额为400(1+x)，∴三月份的营业额为400(1+x)(1+x)=400×(1+x)2，∴可列方程为400+400(1+x)+400(1+x)2=1800，故选：D．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1800，把相关数值代入即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：Rt△ABC中，sinα=BCAB，∵AB=12，∴BC=12sinα．故选：A．直接根据∠A的正弦可得结论．本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，OAAA′=12，∴S四边形ABCDS四边形A′B′C′D′=(12)2．又∵四边形ABCD的面积是1，∴四边形A′B′C′D′面积为4．故选：C．直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．此题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解题关键．8.【答案】C【解析】解：∵AFCF =14，∴△ADF与△CDF的面积比为1：4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴△AEF∽△CDF，∴AF CF =AECD=14，C△AEFC△CDF=AFCF=14，S△AEFS△CDF=(AFCF)2=116，故选：C．通过证明△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质依次判断可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．9.【答案】13【解析】解：(√13)2=13．故答案为：13．直接利用二次根式的性质计算得出答案．此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．10.【答案】12【解析】解：x2−12x=0，x(x−12)=0，x=0或x−12=0，解得x1=0，x2=12，所以方程较大的根是x=12．故答案为：12．利用因式分解法把方程转化为x=0或x−12=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．11.【答案】34【解析】解：∵sinA =BC AB=45，∴设BC =4x ，AB =5x ，由勾股定理得：AC =√AB 2−BC 2=3x ， ∴tanB =ACBC =3x4x =34， 故答案为：34．设BC =4x ，AB =5x ，由勾股定理求出AC =3x ，代入tanB =ACBC求出即可． 本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在Rt △ACB 中，∠C =90°，则sinA =BCAB，cosA =ACAB，tanA =BC AC．12.【答案】6【解析】解：∵点B 在y 轴上，且CD//OB ， ∴CD//y 轴，∵C 、D 两点纵坐标分别为1、3， ∴CD =3−1=2， ∵AC ：OC =1：2， ∴ACAO =13， ∵△ACD∽△AOB ， ∴CD OB =AC AO=13，∴OB =3CD =3×2=6， ∴点B 的纵坐标为6， 故答案为：6．由点B 在y 轴上，且CD//OB ，得CD//y 轴，所以CD =3−1=2，由AC ：OC =1：2，得AC AO=13，由△ACD∽△AOB ，得CD OB=AC AO =13，则OB =3CD =6，所以点B 的纵坐标为6．此题重点考查相似三角形的判定与性质、图形与坐标等知识，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△ACD∽△AOB是解题的关键．13.【答案】1.2【解析】解：由题意得，5m被称物=6m砝码．∴m：m砝码=6：5=1.2．被称物故答案为：1.2．根据比例的性质解决此题．本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．14.【答案】136【解析】解：∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，由翻折可知：∠AGD=∠B，∠FGE=∠C，∴∠AGD+∠FGE=90°，∴∠AGF=90°，∵AG=AB=2，设AF=x，则FG=FC=AC−AF=3−x，在Rt△AGF中，根据勾股定理得：AF2=AG2+FG2，∴x2=22+(3−x)2，，解得x=136∴AF=13．6故答案为：13．6根据翻折的性质证明∠AGF=90°，设AF=x，则FG=FC=AC−AF=3−x，然后利用勾股定理即可解决问题．本题考查了翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．15.【答案】解：(1)原式=3√3−2√3+2√6=√3+2√6；(2)原式=2×12−12+1=1−12+1=112．【解析】(1)原式化简后，合并即可得到结果；(2)原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】解：原方程可化为x2−3x−11=0．∵a=1，b=−3，c=−11，且Δ=(−3)2−4×1×(−11)=53>0，∴x=−(−3)±√532×1=3±√532，∴x1=3+√532，x2=3−√532．【解析】将原方程整理后，利用解一元二次方程的公式法求解即可．此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．17.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−(m+2)，c=2m，∴Δ=b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×2m=m2+4m+4−8m=m2−4m+4=(m−2)2≥0，∴无论m为何值，方程总有实数根；(2)解：将x=5代入原方程得：25−5(m+2)+2m=0，∴m=5，∴m的值为5．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=(m−2)2≥0，进而可证出：无论m为何值，方程总有实数根；(2)将x=5代入原方程可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)代入x=5，求出m的值．18.【答案】解：(1)如图①中，点D即为所求；(2)如图②中，点E即为所求；(3)如图③中，点F即为所求．【解析】(1)取AC的中点D，连接BD即可；(2)取AC与格线的交点E，连接BE即可；(3)取格点J，作射线BJ交AC于点F，点F即为所求．本题考查作图−应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：设花带的宽度为x m，则硬化的部分长为(30−2x)m，宽为(20−x)m，依题意得：(30−2x)(20−x)=30×20×1，2整理得：x2−35x+150=0，解得：x1=5，x2=30．当x=5时，30−2x=30−2×5=20>0，符合题意；当x=30时，30−2x=30−2×30=−30<0，不符合题意，舍去．答：花带的宽度为5m．【解析】设花带的宽度为x m，则硬化的部分长为(30−2x)m，宽为(20−x)m，根据硬化部分的面积为空地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合(30−2x)为正值，即可得出花带的宽度为5m．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20.【答案】(1)证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，∴AE =√2AD ，AC =√2AB ，∠DAE =∠BAC =45°，∴AE AD =AC AB =√2，∠DAB =∠EAC ，∴△BAD∽△CAE ；(2)∵△BAD∽△CAE ，∴∠ACE =∠ABD ，又∵∠AGC =∠BGF ，∴∠BAC =∠BFC =45°，∴cos∠BFC =√22．【解析】(1)由等腰直角三角形的性质可得AE =√2AD ，AC =√2AB ，∠DAE =∠BAC =45°，由相似三角形的判定可得结论；(2)由相似三角形的性质可得∠ACE =∠ABD ，可求∠BAC =∠BFC =45°，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键．21.【答案】解：由题意可得，AD =11m ，∠BAD =45°，∠DAC =61°，∴tan∠BAD =BD AD ，tan∠DAC =CD AD ， ∴1=BD 11，1.804≈CD 11，解得BD =11，CD ≈19.8，∴BC =BD +CD =11+19.8=30.8(m)，答：纪念碑主体BC 的高度是30.8m ．【解析】根据题意和锐角三角函数，可以计算出BD 和CD 的长，然后即可得到BC 的长．本题考查解直角三角形—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】(1)证明：∵四边形EFGH 是正方形，∴EH//BC ，∴△AEH∽△ABC ；(2)解：∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDK是矩形，∴EF=DK，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴EH BC =AKAD，∴x 12=12−x12，∴x=6，∴正方形EFGH的边长为6cm；(3)解：∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDK是矩形，∴EF=DK，设该正方体的棱长为x，∵△AEH∽△ABC，∴EH BC =AKAD，∴x 12=12−4x12，∴x=125，∴该正方体的棱长为125cm．【解析】(1)根据EH//BC即可证明；(2)如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得EHBC =AKAD，列出方程即可解决问题；(3)根据矩形和相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．23.【答案】等边AB12【解析】【证明】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：BC=12AB．方法一：如图②，作斜边AB上的中线CD，则CD=12AB=AD=BD．∵∠A=30°，∴∠B=60°．∴△BCD是等边三角形．∴BC=BD=12AB．方法二：如图③，作点B关于AC的对称点D，连接AD．∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠D=∠B=∠BAD=60°．∴△ABD是等边三角形．∴BD=AD=AB．∴BC=12BD=12AB，故答案为：等边，AB；【应用】(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，过P作PH⊥AB于H，∴∠AHP=90°，∵AP=12AB=1，∠A=30°，∴PH=12AP=12，故点P到边AB的距离为12，故答案为：12；(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∴AC=√AB2−BC2=√3，过P作PH⊥AB于H，∴∠AHP=90°，∵CP=12AB=1，∴AP=√3−1，∵∠A=30°，∴PH=12AP=√3−12，故点P到边AB的距离为√3−12；【延伸】如图④，作点B关于直线AC的对称点B′，过B′作B′H⊥AB于H，交AC于P，则BP+PH=BP+12AP的最小值=B′H，∵∠A=30°，∠C=90°，BC=√3，∴∠ABC=60°，BB′=2√3，∠BHB′=90°，∴∠B′=30°，∴BH=12BB′=√3，∴B′H=√BB′2−BH2=3，∴BP+12AP的最小值为3．【证明】方法一：如图②，根据直角三角形的性质即可得到结论；方法二：如图③，根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论；【应用】(1)如图①，根据直角三角形的性质得到AB=2BC=2，过P作PH⊥AB于H，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；(2)根据勾股定理得到AC=√AB2−BC2=√3，过P作PH⊥AB于H，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；【延伸】如图④，作点B关于直线AC的对称点B′，过B′作B′H⊥AB于H，交AC于P，则BP+PH=BP+12AP的最小值=B′H，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=4，∴AD=BC=4，CD=AB=5，∠A=90°，∴BD=√AB2+AD2=√52+42=√41，∴BD的长是√41．(2)如图1，点E在BC上，BQ=√41t，若点Q与点D重点，则√41t=√41，∴t=1，∵QE⊥BD，∴∠BQE=∠C=90°，∴BQ BE =BCBD=cos∠CBD=4√41=4√4141，当点E与点C重合时，则√41t4=4√4141，∴t =1641， ∵QE BQ =CD BC =tan∠CBD =54， ∴QE =54×√41t =5√414t(0<t ≤1641)， 如图2，点E 在CD 上，DQ =√41−√41t ，∵∠DQE =∠C =90°，∴QE DQ =BCCD =tan∠CDB =45，∴QE =45×(√41−√41t)=4√415−4√415t(1641<t <1)，综上所述，QE =5√414t(0<t ≤1641)或QE =4√415−4√415t(1641<t <1)．(3)当PE ⊥BD 时，如图1，AP =5t ，则BP =5−5t ， ∵QE ⊥BD ，∴PE 与QE 重合，即点P 、Q 、E 在同一条直线上，∴PQ ⊥BD ，∴∠BQP =∠B =90°，∴BQ BP =AB BD =cos∠ABD =5√41=5√4141，∴√41t 5−5t =5√4141，∴t =2566；当PE ⊥CD 时，如图2，∵∠PED =∠ADE =∠A =90°，∴四边形PADE 是矩形，∴AP =DE ，∵DQ DE =CDBD =cos∠CDB =5√41，∴DE =√415(√41−√41t)=415−415t ，∴5t =415−415t ，∴t =4166，综上所述，t 的值为2566或4166．(4)当QF与BD重合时，如图3，则∠EQF=90°，∵四边形PQEF是平行四边形，∴PF=QE=5√414t，PF//QE，∴∠PFQ=∠EQF=90°，∴PF BP =ADBD=sin∠ABD=4√41=4√4141，∴PF=4√4141BP，∴5√414t=4√4141(5−5t)，∴t=1657；当QF//BC时，如图4，延长FQ交AB于点H，设PF交BD于点G，∵∠BGP=∠EQD=90°，∴∠HPF=∠ADB=90°−∠ABD，∵∠PHF=∠ABC=90°，∠BHQ=180°−∠ABC=90°，∴PH PF =cos∠HPF=cos∠ADB=ADBD=4√41=4√4141，∴PH=4√4141×5√414t=5t，∵BH BQ =ABBD=cos∠ABD=5√41=5√4141，∴BH=5√4141×√41t=5t，∴5t+5t+5t=5，∴t=13；当QF//CD时，如图5，PF交BD于点I，则∠PIB=∠FIQ=∠EQD=90°，∵∠IQF=∠CDB，∴IF IQ =tan∠IQF=tan∠CDB=45，∴IF=45IQ，∵IP BP =sin∠ABD=4√4141，BIBP=cos∠ABD=5√4141，∴IP=4√4141(5−5t)=20√4141−20√4141t，BI=5√4141(5−5t)=25√4141−25√4141t，∴IQ=√41t−(25√4141−25√4141t)=66√4141t−25√4141，第21页，共21页∵PF =QE =4√415−4√415t ， ∴IF =4√415−4√415t −(20√4141−20√4141t)=64√41205−64√41205t ， ∴64√41205−64√41205t =45(66√4141t−25√4141)， ∴t =12，综上所述，t 的值为1657或13或12．【解析】(1)由四边形ABCD 是矩形，AB =5，BC =4，得AD =BC =4，CD =AB =5，∠A =90°，即可根据勾股定理求得BD =√41；(2)若点Q 与点D 重点，则√41t =√41，所以t =1，当点E 与点C 重合时，则√41t 4=4√4141，所以t =1641，再分两种情况讨论，一是点E 在BC 上，QE =54×√41t =5√414t(0<t ≤1641)，二是点E 在CD 上，QE =45×(√41−√41t)=4√415−4√415t(1641<t <1)；(3)分两种情况，当PE ⊥BD 时，则点P 、Q 、E 在同一条直线上，由BQ BP=AB BD=5√4141，可列方程√41t5−5t =5√4141，则t =2566；当PE ⊥CD 时，则四边形PADE 是矩形，所以AP =DE ，可列方程5t =415−415t ，则t =4166； (4)分三种情况，一是QF 与BD 重合，则∠EQF =90°，可证明PF =4√4141BP ，列方程得5√414t =4√4141(5−5t)，则t =1657；二是QF//BC ，延长FQ 交AB 于点H ，可求得PH =4√4141×5√414t =5t ，BH =5√4141×√41t =5t ，列方程得5t +5t +5t =5，则t =13；三是QF//CD ，可求得IQ =66√4141t −25√4141，IF =64√41205−64√41205t ，再根据IF =45IQ 列方程64√41205−64√41205t =45(66√4141t −25√4141)，则t=12．此题重点考查矩形的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数与解直角三角形、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．。
2017-2018学年吉林省长春市朝阳区九年级(上)期末数学试卷(PDF版,解析版)
18. 如图， 某小区计划在一块长为 32m， 宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路， 剩余的空地（阴影部分）上种植草坪，使草坪的面积为 570m2．求每条道路的宽．
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4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的 19. 图①、图②都是 4× 顶点叫做格点．线段 AB 的端点在格点上． （1）在图①中找到一个格点 C，使∠CAB 是锐角，且 tan∠CAB=3，并画出△ABC． （2）在图②中找到一个格点 D，使∠ADB 是锐角，且 tan∠ADB=1，并画出△ABD （△ABD 与△ABC 不全等）．
C.
）
√3 2
下列二次根式，最简二次根式是（
A. √8
4. 5. 6.
B. √1 2
C. √5
D. √27
一元二次方程 x2-2x=0 的根的判别式的值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 0 2 若将抛物线 y=x 向下平移 1 个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（
）
A. y=（x-1） A. B. C. D.
8.
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二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 9. 比较大小：4______√12（填“＞”、“＜”或“=”） 10. “打开电视机， 它正在播广告”这个事件是______事件 （填“确定”或“随机”） ． 11. 如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，过点 D 作 DE∥BC 交边 AC 于点 E，若 AD=2BD，AE=2，则 AC 的长是______
1
20. 如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 处的仰角为 45° ， 测得底部 C 处的俯角为 64° ，此时航拍无人机 A 处与该建筑物的 水平距离 AD 为 90m．求该建筑物的高度 BC（精确到 1m）．【参 =0.90，cos64° =0.44，tan64° =2.05】 考数据：si在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端 A 处 安装一个喷头向外喷水．柱子在水面 l 以上部分的高度为4m，在距柱子底部 O 处水 平位置 2m 的 C 处再竖一根高度相同的柱子 BC，水流在各个方向上沿形状相同的 抛物线路径落下，点 B 在抛物线上，如图 1 所示，根据设计图纸建立如图 2 所示的 平面直角坐标系，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数关系式为 y=-x2+bx+c． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式． （2）求喷出的水流距水平面 l 的最大高度． （3）如果不必其他因素，在柱子的顶端 B 处安装一个喷头向外喷水，水流在各个
长春市南关区2017届九年级上期中数学试卷含答案
一、选择题（每小题3分，共24分）1．下来式子中，属于最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．2．下列运算中错误的是（ ）A． +=B．（﹣）2=3C． =D．÷=23．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）A．﹣3B．3C．﹣6D．64．用配方法将方程x2﹣4x+2=0变形，正确的是（ ）A．（x﹣2）2=0B．（x﹣2）2=2C．（x+2）2=0D．（x+2）2=25．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则tanA的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，则菱形ABCD的高AH的值是（ ）A．4B．5C．D．7．如图，在方格纸中，△ABC和△DPE的顶点均在格点上，要使△ABC∽△DPE，则点P所在的格点为（ ）A．P1B．P2C．P3D．P48．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．使有意义的x的取值范围是 ．10．计算tan45°﹣6cos60°= ．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k﹣5=0的一个根是﹣1，则k= ．12．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，DE=9，则BC的长为 ．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=（x＞0）及y2=（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2= ．三、解答题（本大题共11小题，共78分）15．计算：﹣3+．16．解方程：x2+4x﹣1=0．17．先化简，再求值：﹣，x=﹣1．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k=0有实数根，求k的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系中，图中小正方形的边长均为1，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4）．（1）画出△ABC，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1；（2）求∠A1C1B1的正弦值．20．如图，一艘轮船位于灯塔P北偏东60°方向上，距离灯塔40海里的A处，它向西航行多少海里到达灯塔P北偏西45°方向上的B处．（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）21．在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．（1）求6、7两月平均每月降价的百分率；（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由．22．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线AG分别交线段DE，BC于点F，G．（1）求证：△AEF∽△ABG；（2）若=，求的值．23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是CB，BA延长线上的点，且BE=AF，连接DE，CF，CF交DE于点M，交AD于点H，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG．（1）求证：四边形GECF是平行四边形；（2）若FA=2， =，求EG的长．24．10月2日早晨8点，小华和同学骑自行车去净月潭游玩，当天按原路返回，如图，是小华出行的过程中，他距净月潭的距离y（千米）与他离开家的时间x（小时）之间的函数图象．（1）小华去时骑自行车的速度是 ；（2）求线段AB所表示的函数关系式；（3）已知下午2点48分时，小华距净月潭12千米，求线段CD所表示的函数关系式，并求他何时到家．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+4与x，y轴分别交于A，B两点，直线y=﹣x+n与x，y轴分别交于C，D两点，点E（﹣，）是这两条直线的交点．（1）求m，n的值；（2）若点P是直线AB上一动点（不与点A重合），若△AOB与△ACP相似时，求点P的坐标．2016-2017学年吉林省长春市南关区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．下来式子中，属于最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行求解即可．【解答】解：A、=2，不是最简二次根式，本选项不符合题意；B、=3，不是最简二次根式，本选项不符合题意；C、是最简二次根式，本选项符合题意；D、=，不是最简二次根式，本选项不符合题意．故选C．2．下列运算中错误的是（ ）A． +=B．（﹣）2=3C． =D．÷=2【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项是错误的，本题得以解决．【解答】解：∵不能合并，故选项A错误，∵=3，故选项B正确，∵，故选项C正确，∵，故选项D正确，故选A．3．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）A．﹣3B．3C．﹣6D．6【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣6=0的两个根，∴x1+x2=3，故选：B．4．用配方法将方程x2﹣4x+2=0变形，正确的是（ ）A．（x﹣2）2=0B．（x﹣2）2=2C．（x+2）2=0D．（x+2）2=2【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先把常数项移项，再方程两边同加上一次项系数一半的平方，再配方即可．【解答】解：x2﹣4x+2=0，移项得x2﹣4x=﹣2，方程两边同加上4得，x2﹣4x+4=2，配方得（x﹣2）2=2，故选B．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则tanA的值是（ ）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得sin A，根据同角三角函数关系，可得答案．【解答】解：由题意，得sinA=cosB=，cosA==，tanA==，故选：D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，则菱形ABCD的高AH的值是（ ）A．4B．5C．D．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，再求出OB、OC，然后利用勾股定理列式求出BC，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种方法列方程求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OB=BD=×8=4，OC=AC=×6=3，由勾股定理得，BC===5，S菱形ABCD=AC•BD=BC•AH，即×6×8=5AH，解得AH=．故选C．7．如图，在方格纸中，△ABC和△DPE的顶点均在格点上，要使△ABC∽△DPE，则点P所在的格点为（ ）A．P1B．P2C．P3D．P4【考点】相似三角形的判定．【分析】利用两个三角形都为直角三角形，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△ABC∽△DPE，然后利用比例性质计算出PE后可判断P点的位置．【解答】解：∵∠DEP=∠ACB，∴当=时，△ABC∽△DPE，即=，∴PE=6，∴点P在格点P2的位置．故选B．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．【解答】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小；故选：C二、填空题（每小题3分，共18分）9．使有意义的x的取值范围是 x≤2 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出答案．【解答】解：由题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．故答案为：x≤2．10．计算tan45°﹣6cos60°= ﹣2 ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=1﹣6×=﹣2，故答案为：﹣2．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k﹣5=0的一个根是﹣1，则k= ．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2﹣2kx+k﹣5=0，可得1+3k﹣5=0，即k=，故答案是：．12．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，DE=9，则BC的长为 12 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，得到==，即可求BC的长【解答】解：DE∥BC，则△ADE∽△ABC，则==，∵DE=9，∴BC=12．故答案为：12．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 22.5 度．【考点】矩形的性质．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=（x＞0）及y2=（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2= 6 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】由反比例函数的图象过第一象限可得出k1＞0，k2＞0，再由反比例函数系数k的几何意义即可得出S△OAP=k1，S△OBP=k2，根据△OAB的面积为2结合三角形之间的关系即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y1=（x＞0）及y2=（x＞0）的图象均在第一象限内，∴k1＞0，k2＞0．∵AP⊥x轴，∴S△OAP=k1，S△OBP=k2．∴S△OAB=S△OAP﹣S△OBP=（k1﹣k2）=3，解得：k1﹣k2=6．故答案为：6三、解答题（本大题共11小题，共78分）15．计算：﹣3+．【考点】二次根式的加减法．【分析】结合二次根式加减法的运算法则进行求解即可．【解答】解：原式=2﹣+=（2﹣+1）=．16．解方程：x2+4x﹣1=0．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【解答】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．17．先化简，再求值：﹣，x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：﹣=====，当x=﹣1时，原式==﹣1．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k=0有实数根，求k的取值范围．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣2k）=4k+1≥0，解之可得．【解答】解：根据题意得△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣2k）=4k+1≥0，解得：k≥﹣．19．如图，在平面直角坐标系中，图中小正方形的边长均为1，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4）．（1）画出△ABC，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1；（2）求∠A1C1B1的正弦值．【考点】作图﹣位似变换；解直角三角形．【分析】（1）利用相似图形的性质结合相似比进而得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理得出各边长，再利用锐角三角函数关系求出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；（2）如图所示：∵A1C1==，∴sin∠A1C1B1==．20．如图，一艘轮船位于灯塔P北偏东60°方向上，距离灯塔40海里的A处，它向西航行多少海里到达灯塔P北偏西45°方向上的B处．（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】过点P作PC⊥AB于点C，根据正弦、余弦的定义求出AC、PC，根据等腰直角三角形的性质求出BC，计算即可．【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，PC=PA•cos60°=20，AC=PC•sin60°=20，在Rt△BPC中，∠BPC=45°，∴BC=PC=20，∴AB=BC+AC=20+20≈54.6（海里），答：向西航行54.6海里到达灯塔P北偏西45°方向上的B处．21．在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．（1）求6、7两月平均每月降价的百分率；（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据每次的均价等于上一次的价格乘以（1﹣x）（x为平均每次下调的百分率），可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；（2）求出9月份该市的商品房成交均价，即可判断．【解答】（1）设6、7两月平均每月降价的百分率为x，根据题意得10000（1﹣x）2=8100，即（1﹣x）2=0.81，解得x=10%或1.9（舍去）．（2）∵8100（1﹣0.1）2=6561＞6500（元）．∴不会跌破6500元．22．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ADE=∠C，∠BAC 的平分线AG分别交线段DE，BC于点F，G．（1）求证：△AEF∽△ABG；（2）若=，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证明△ADE∽△ACB，得到∠B=∠AEF，根据角平分线的定义、相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质计算即可．【解答】证明：（1）∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠B=∠AEF，∵AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG=∠EAF，∴△AEF∽△ABG；（2）∵△AEF∽△ABG，∴==，∴=．23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是CB，BA延长线上的点，且BE=AF，连接DE，CF，CF交DE于点M，交AD于点H，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG．（1）求证：四边形GECF是平行四边形；（2）若FA=2， =，求EG的长．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）证明△FBC≌△ECD，得到CF=BE，∠FCB=∠EDC，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AB=BC，BE=AF，∴BF=CE，在△FBC和△ECD中，，∴△FBC≌△ECD，∴CF=BE，∠FCB=∠EDC，∵EG=ED，∴CF=EG，∵∠DEC+∠EDC=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，∴CF⊥DE，∵EG⊥DE，∴CF∥EG，∴四边形GECF是平行四边形；（2）解：∵=，∴=，∵△FAH∽△CDH，∴==，∵FA=2，∴CD=6，∴CE=BF=FA+AB=8，∴EG=DE==10．24．10月2日早晨8点，小华和同学骑自行车去净月潭游玩，当天按原路返回，如图，是小华出行的过程中，他距净月潭的距离y（千米）与他离开家的时间x（小时）之间的函数图象．（1）小华去时骑自行车的速度是 18千米/小时 ；（2）求线段AB所表示的函数关系式；（3）已知下午2点48分时，小华距净月潭12千米，求线段CD所表示的函数关系式，并求他何时到家．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据速度=路程÷时间，代入数据即可得出结论；（2）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数关系式；（3）找出下午2点48分时的坐标，结合点C的坐标利用待定系数法即可求出线段CD所表示的函数关系式，再将y=18代入该关系式中求出x值，结合开始出发时的时间为8点即可得出结论．【解答】解：（1）小华去骑自行车的速度18÷1=18（千米/小时）．故答案为：18千米/小时．（2）设线段AB所表示的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将A（0，18）、B（1，0）代入y=kx+b，，解得：，∴线段AB所表示的函数关系式为y=﹣18x+18（0≤x≤1）．（3）由题意可知：下午2点48分时，即x=6.8，y=12．设线段CD所表示的函数关系式y=mx+n（m≠0），把（6.8，12）、（6，0）代入y=mx+n，，解得：，∴线段CD所表示的函数关系式为y=15x﹣90．当y=18时，15x﹣90=18，解得：x=7.2．8时+7.2小时=15.2时=15时12分．答：华15时12分到家．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+4与x，y轴分别交于A，B两点，直线y=﹣x+n与x，y轴分别交于C，D两点，点E（﹣，）是这两条直线的交点．（1）求m，n的值；（2）若点P是直线AB上一动点（不与点A重合），若△AOB与△ACP相似时，求点P的坐标．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）把交点E的坐标分别代入两直线解析式即可求得m、n的值；（2）由两直线解析式可分别求得A、B、C的坐标，可设出P点坐标，分别表示出AP、PC的长，且可求得AC、AO、BO的长，根据相似三角形的性质可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵点E（﹣，）是直线y=mx+4和直线y=﹣x+n的交点，∴=﹣m+4，=﹣×（﹣）+n，解得m=2，n=1；（2）由（1）可知直线AB解析式为y=2x+4，令y=0可得2x+4=0，解得x=﹣2，令x=0可得y=4，∴A（﹣2，0），B（0，4），直线CD解析式为y=﹣x+1，令y=0可得﹣x+1=0，解得x=3，∴C（3，0），∴AO=2，BO=4，AC=3﹣（﹣2）=5，AB==2，∵P点在直线AB上，∴可设P点坐标为（t，2t+4），∵Rt△AOB与Rt△ACP相似，∴有∠ACP=∠AOB=90°和∠AOB=∠APC=90°两种情况，①当∠ACP=∠AOB=90°时，则可知t=3，代入直线AB解析式可得y=2×3+4=10，∴P（3，10）；②当∠APC=∠AOB=90°时，∵△AOB∽△APC，∴=，即=，∴AP=，∴=，解得t=﹣1或t=﹣3，当t=﹣3时，∠APC≠90°，舍去，∴P（﹣1，2）；综上可知，当△AOB与△ACP相似时，点P的坐标为P（3，10）或P（﹣1，2）．2017年3月5日。
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九年级数学期中考试参考答案
阅卷说明：
1．评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分．
2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分．一、选择题（每小题3分，共24分）
1．B2．A3．B4．D5．C6．D7．C8．C
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．2010．x=411．612．4.513．（-1，1）14．5.5
评分说明：第10题写出两个根不给分，写成4可以给分．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．原式=2+42-22
分）
=32．
分）
16．（1）二
分）
等式的基本性质2用（2分）
（2）x(x-2)+(x-2)=0．
(x-2)(x+1)=0．（3（6（1错
分）
x=-1，x=2．
12
（6
评分说明：第（1）题第2空写成“漏掉x=2的解”
或者“等式的基本性质用错”均给分；意思表述正确，可以给分．
17．由题意，得∆=32-4m>0．
分）
（3
2 BD ．
2 CE ．
（
解得 m < 9
4
． （5
分）
所以 m 的最大整数值为 2．
（6 分）
18．设该县投入教育经费的年平均增长率为 x ． （1 分）
由题意，得 5 000(1 + x)2 = 5 000 + 2 200 ．
（4
分）
分） 解得 x = 0.2 = 20% ， x = -2.2 （不合题意，舍去）． （6
1 2
答：该县投入教育经费的年平均增长率为 20%．
分）
19．答案不唯一，以下答案供参考，画对一个得 4 分，两个都画对得 7 分．
A
（7
B C P 3
P 1
P 2
D
E
（第 19 题）
20．（△1）∵ ABC 是等边三角形，
P 4
∴AB =AC ，∠ABC =∠ACB =60°．
分） A
（1
∵DE ∥AB ，
∴∠ABC =∠ADE =60°，∠ACB =∠AED =60°． D
M
∴∠ADE =∠AED =60°．
N
E
分）
∴△ADE 是等边三角形．
∴AD =AE ． ∴ BD = CE ．
B P C
（第 20 题）
（2
（3
分）
∵M 、N 分别为 DE 、BE 的中点，
∴ MN = 1
∵N 、P 分别为 BE 、BC 的中点，
∴ NP = 1
分）
∴ MN = PN ．
分）
（2）120 分） 21． 1）(32 - 4 x )m ．
分）
（2）由题意，得x(32 - 4 x ) = 3 ⨯16 ．
分）
解得 x = 2, x = 6 ．
1
2
（4
（5
（7
（2
（4
（6
（
分）
当 x = 2 时， 32 - 4x = 24 > 8 ，不合题意，舍去． 当 x = 6 时，32 - 4x = 8 ． （7 分）
答： AB 的长是 6m ．
（8
分）
评分说明：（1）第（1）题不带单位可给分，带单位不加括号可给分．
（2）第（2）题答不带单位可给分． 22．探究：如图．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠D = ∠C = 90︒ ． 分）
D
E C
（2
分）
∴ ∠DEP + ∠DPE = 90︒ ．
P
F
（3
∵ EF ⊥ PE ，
∴ ∠DEP + ∠CEF = 90︒ ．
A
（第 22 题）
B
（4
分）
∴ ∠DPE = ∠CEF ． 分） ∴ ∆PDE ∽ ∆ECF ．
分）
应用：2 分）
23． 1）-1 2
分）
（2） x 4 - 2x 2 + 5 = x 4 - 2 x 2 + 1 + 4
= ( x 2 - 1)2 + 4
分）
∵ ( x 2 - 1)2 ≥ 0 , ∴ ( x 2 - 1)2 + 4 > 0 ．
∴代数式 x 4 - 2x 2 + 5 的值一定是正数．
分）
当 x = ±1 时，这个代数式的值最小，最小值是 4．
分）
（3）由题意，得 S = a 2 ， S = 4(a - 3) = 4a - 12 ．
1
2
分）
则 S - S = a 2 - (4a - 12) = a 2 - 4a + 12 = (a - 2)2 + 8 ．
1
2
分）
∵ (a - 2)2 > 0 ,
∴ (a - 2)2 + 8 > 0 ．
∴ S - S > 0 ．
1
2
（5
（6
（9
（2
（3
（4
（6
（8
（9
AB = 5 = 16 ．
CA =
4 = ∴ t = 6
5 ．
分）
P
Q
Q
D CB = 3 = 11 ．
2 A C ⋅ B C - ⋅ - ⋅ ⋅ = 1 -1
t25 2 t 5 图④
A
∴ S > S ．
（10
1
2
分）
评分说明：第（3）题只写出 S > S ，没有证明，可给 1 分．
1
2
24．
（1）如图①，∵ DP ⊥ AB ， ∠C = 90︒ ， ∴ ∠C = ∠ADP = 90︒ ．
由勾股定理，得 AC =
AB 2 - BC 2 = 4 ．
∵ ∠A = ∠A ，
C ∴ ∆AP
D ∽ ∆ABC ．
P
∴ AP AD Q AC ．
∴ 2t 2.5 4 ． A D B 图①
∴ t = 25
（2
分）
（2）如图②，当 ∆CPQ ∽ ∆CAB 时，则
CP
CQ
CB ．
∴ 4 - 2t
t 3 ．
C
C
P
（3
A
图②
B A D B
图③
如图③，当 ∆CPQ ∽ ∆CBA 时，则 CP CQ
CA ．
∴ 4 - 2t t 4 ．
∴ t = 16
分）
（3）如图④，当 0 ≤ t ≤ 2 时，分别过点 P 、 Q 作 PE ⊥ AB 于点 E ， QF ⊥ AB 于点 F ．
（4
∴ S
∆DPQ
= S
∆ABC
- S
∆ADP
- S
∆CPQ
- S
∆BDQ
= 1 1 1 2 A D P E 2 B D 1 Q -F C P C Q 2
1 5 3
2 ⨯4 ⨯
3 -2 ⨯2 ⨯ ⨯ 5
4 2 ⨯ ⨯ ( 3⨯ 1
)- t -( 4 t 2- ) 2
分）
5
∴ S = t 2 - t + 3 ．
2 C Q P
C
（6
P
A E
D F B
Q
D E F B 图⑤
⋅ - ⋅ ⋅ 2 t ) 4
如图⑤，当 2 < t ≤ 3 时，分别过点 P 、 Q 作 PE ⊥ AB 于点 E ， QF ⊥ AB 于点 F ．
∴ S
∆DPQ
= S
∆ABC
- S
∆ADP
- S
∆CPQ
- S
∆BDQ
= 1 1 1 1 A C ⋅ B C - A D P E B D Q -F C P C Q 2 2 2 2
1 1 5 3 1 5 4 1
= ⨯4 ⨯3 - ⨯ ⨯ ( 8 t - ) - ⨯ ⨯ (⨯
3 - t -t ( 2 -
) 2 2 2 5 2 2 5 2 9
∴ S = -t 2 + t - 3 ．
（8
2
分）
（4） t = 1， t = 分）
3 2
2 + 10
， t = ， t = 3 ． （12
2
【提示】如图⑥～⑨．
C
C
C
C
P
Q
P
Q
P
P
Q
A
D BA D BA D B A D B (Q )
图⑥ 图⑦ 图⑧ 图⑨
图。