计量经济学第三版-潘省初-第10章 定性选择问题

1 j= k
( 10.9)
我们可写出似然函数：
L = ∏P∏(1− P) i i
Y= i 1 Y =0 i
(10.10)
（10.9）式中F的函数形式取决于有关扰动项u的假 设，如果 ui的累积分布是logistic分布，则我们得到 的是logit模型。在这种情况下，累积分布函数为：
exp(zi ) F(zi ) = 1+ exp(zi )
如果只有两个选择，我们可用 和 如果只有两个选择，我们可用0和1 分别表示它 如乘公交为0，自驾车为1， 们，如乘公交为 ，自驾车为 ，这样的模型称为 二元选择模型（ 二元选择模型（binary choice Models）。 ）。 多于两个选择（如上班方式加上一种骑自车） 多于两个选择（如上班方式加上一种骑自车） 的定性选择模型称为多项选择模型（ 的定性选择模型称为多项选择模型（Multinomial choice models）。 ）。
（ ） 10.5
从而得到一个不可能的结果（概率值大于1）。假设 另有一个学生丙的GPA为1.0，家庭收入为5万元，则 其Y的拟合值为 -0.2，表明读研的概率为负数，这也 是一个不可能的结果。
解决此问题的一种方法是，令所有负拟合值都等 于0，所有大于1的拟合值都等于1。但也无法令人十 分满意，因为在现实中很少会有决策前某人读研的 概率就等于1的情况，同样，尽管某些人成绩不是很 好，但他去读研的机会仍会大于0。线性概率模型倾 向于给出过多的极端结果：估计的概率等于0或1。 （3） 另一个问题是扰动项不是正态分布的。事实 上，线性概率模型的扰动项服从二项分布。 （4）此外，线性概率模型存在异方差性。扰动项 的方差是 p(1− p) ，这里 p是因变量等于1的概率， 此概率对于每个观测值不同，因而扰动项方差将不 是常数，导致异方差性。可以使用WLS法，但不是 很有效，并且将改变结果的含义。
CAND1i = β0 + β1INCOMEi + β2 AGEi + β3MALEi + ui （ ） 10.6 其中： 第 投 人 的 1 如果 i个选民 候选 甲 票
CAND i = 1 果 i 民 候 甲 票 0 如 第 个选 不投 选人 的
INCOMEi = 第 个 民 i 选 的家 收入 庭 （单位 千 元 ： 美 ）
从表10－3可看出，30个观测值中，27个（或90%） 预测正确。选甲的14人中，12人（或85.7%）预测正 确。选乙的16人中，15人（或93.8%）预测正确。 是0.58，表明模型解释了因变量的58%的变动， 这与90%的正确预测比例相比，低了不少。注意表10 R2 －3中有一些拟合值大于1或小于0。这是我们前面指 出的这类模型的缺点之一，这些拟合值是概率的估计 值，而概率永远不可能大于1或小于0。
（5）最后一个问题是在线性概率模型中，R2以及 R 2 不再是合适的拟合优度测度。事实上，此问题不仅是 线性概率模型的问题，而是所有定性选择模型的问题。 较好一点的测度是模型正确预测的观测值的百分比。 首先，我们将每一预测归类为1或0。如果拟合值大于 等于0.5，则认为因变量的预测值为1。若小于0.5，则 认为因变量的预测值为0。然后，将这些预测值与实际 发生的情况相比较，计算出正确预测的百分比：
其中：
1 Yi = 0
(10.2)
第i个学生拿到学士学位后 三年内去读研 该生三年内未去读研
GPA = 第 个 生 科 均 绩 i 学 本 平 成 i
INCOMEi = 第i个学生家庭年收入（单 位：千美元）
设回归结果如下（所有系数值均在10%水平统计 上显著）：
ˆ Yi = −0.7 + 0.4GPA + 0.002INCOMEi （ ） 10.3 i
Baidu Nhomakorabea
尽管因变量在这个二元选择模型中只能取两个值： 尽管因变量在这个二元选择模型中只能取两个值： 0或1，可是该学生的的拟合值或预测值为 。我们 或 ，可是该学生的的拟合值或预测值为0.8。 将该拟合值解释为该生决定读研的概率的估计值。因 将该拟合值解释为该生决定读研的概率的估计值。 该生决定读研的可能性或概率的估计值为0.8。 此，该生决定读研的可能性或概率的估计值为 。 需要注意的是，这种概率不是我们能观测到的数字， 需要注意的是，这种概率不是我们能观测到的数字， 能观测的是读研还是不读研的决定。 能观测的是读研还是不读研的决定。 对斜率系数的解释也不同了。在常规回归中，斜 率系数代表的是其他解释变量不变的情况下，该解释 变量的单位变动引起的因变量的变动。而在线性概率 模型中，斜率系数表示其他解释变量不变的情况下， 该解释变量的单位变动引起的因变量等于1的概率的 变动。
对每个观测值，我们可根据（10.3）式计算因变量 的拟合值或预测值。在常规OLS回归中，因变量的拟 合值或预测值的含义是，平均而言，我们可以预期的 因变量的值。但在本例的情况下，这种解释就不适用 了。假设学生甲的平均分为3.5，家庭年收入为5万美 元，Y的拟合值为
ˆ Y = −0.7 + 0.4×3.5 + 0.002×50 = 0.8 （ ） 10.4
正 确预 测的 测值 观 数 正 确预 测观 值的 测 百分 = 比 ×100 观 测值 总数
需要指出的是，这个测度也不是很理想，但预测结 果的好坏，并非定性选择模型唯一关心的事，这类模 型常被用于研究影响人们进行某个决策的因素。让我 们来看一个竞选的例子。假设候选人甲和乙二人竞选 某市市长，我们可以用一个二元选择模型来研究影响 选民决策的因素，数据见表10－1，模型为：
结合（10.9）式，对于logit模型，有： k pi log = β0 + ∑βij Xij 1− pi j= 1 上式的左端是机会（odds）的对数，称为对数机 会比率（log-odds ratio），因而上式表明对数机会 比率是各解释变量的线性函数，而对于线性概率模 型， pi为各解释变量的线性函数。 如果（10.9）式中 ui 服从正态分布，我们得到的 是probit模型（或normit模型），在这种情况下，累 积分布函数为： zi / σ 1 t2 F(zi ) = ∫ exp(− )dt (10.12) −∞ 2 2π
GPA的系数估计值0.4意味着家庭收入不变的情况 下，一个学生的GPA增加一个点（如从3.0到4.0）， 该生决定去读研的概率的估计值增加0.4。 INCOME的系数估计值0.002表明，一个学生的成 绩不变，而家庭收入增加1000美元，该生决定去读研 的概率的估计值增加0.002。 LPM模型中，解释变量的变动与虚拟因变量值为1 的概率线性相关，因而称为线性概率模型。
第十章 定性选择模型
我们在第四章中曾介绍解释变量为虚拟变量的模 本章要讨论的是因变量为虚拟变量的情形。 型，本章要讨论的是因变量为虚拟变量的情形。 在这种模型中，因变量描述的是特征、 在这种模型中，因变量描述的是特征、选择或者 种类等不能定量化的东西， 种类等不能定量化的东西，如乘公交还是自己开车去 上班、考不考研究生等。在这些情况下， 上班、考不考研究生等。在这些情况下，因变量是定 性变量，我们可以用定义虚拟变量的方法来刻画它们。 性变量，我们可以用定义虚拟变量的方法来刻画它们。 这种因变量为虚拟变量的模型被称为 定性选择模型（ models） 定性选择模型（Qualitative choice models） 或 定性响应模型（ models） 定性响应模型（Qualitative response models）
*
P = Pr ob(Yi =1) = Pr ob[ui > −(β0 + ∑β j Xij )] i
j =1
k
=1− F[−(β0 + ∑β j Xij )]
j =1
k
其中F是u的累积分布函数。 如果u的分布是对称的，则 1− F(−z) = F(z) ，我们 可以将上式写成
P = F(β0 + ∑β j Xij ) i
(10.1)
这看上去与典型的OLS回归模型并无两样，但区 别是这里Y只取0和1两个值，观测值可以是个人、公 司、国家或任何其他横截面个体所作的决定。解释变 量中可以包括正常变量和虚拟变量。
下面用一个关于是否读研究生的例子来说明如何 解释线性概率模型的结果。模型为：
Yi = β0 + β1GPA + β2INCOMEi + ui i
Observations：30 R2 = 0.58 2 Adjusted R = 0.53 Residual Sum of Squares =3.15 F-statistic = 11.87
如表10－2所示，INCOME的斜率估计值为正，且 在1%的水平上显著。年龄和性别不变的情况下，收入 增加1000元，选择候选人甲的概率增加0.0098。 AGE的斜率估计值也在1%的水平上显著。在收入 和性别不变的情况下，年龄增加1岁，选择候选人甲的 概率增加0.016。MALE的斜率系数统计上不显著，因 而没有证据表明样本中男人和女人的选票不同。 我们可以得出如下结论：年老一些、富裕一些的选 民更喜欢投票给候选人甲。 表10－3给出CAND1的拟合值，每个大于等于0.5的 拟合值计入CAND1为1的预测，而小于0.5的拟合值则 计入CAND1为0的预测。
因此
(10.11 )
F(zi ) log = zi 1− F(zi )
这是因为，由（10.11）式，有：
F(zi ) log 1− F(zi ) exp(zi ) exp(zi ) 1+ exp(zi ) 1+ exp(zi ) = log = log exp(zi ) 1+ exp(zi ) − exp(zi ) 1− 1+ exp(zi ) 1+ exp(zi ) exp(zi ) 1+ exp(zi ) = log = logexp(zi ) = zi 1 1+ exp(zi )
（ ） 10.8
这就是Probit和Logit方法的思路。Probit模型和 Logit模型的区别在于对（10.7）式中扰动项u的分布 的设定，前者设定为正态分布，后者设定为logistic分 布。 （10.7）式与线性概率模型的区别是，这里假设潜 变量的存在。例如，若被观测的虚拟变量是某人买车 还是不买车， i* 将被定义为“买车的欲望或能力”， Y 注意这里的提法是“欲望”和“能力”，因此（10.7） 式中的解释变量是解释这些元素的。 从（10.8）式可看出，Yi 乘上任何正数都不会改 * 变 Y，因此这里习惯上假设 Var(ui) = 1，从而固定 Yi i 的规模。由（10.7）和（10.8）式，我们有
AGEi = 第i个选民的年龄
1 男性 MALEi = 0 女性
表10-2 两候选人选举线性概率模型回归结果 Dependent variable：CAND1
Variable Constant INCOME AGE MALE Coefficient -0.51 0.0098 0.016 0.0031 Standard error 0.19 0.003 0.0053 0.13 t-Statistic -2.65 3.25 3.08 0.02 p-Value 0.01 0.00 0.00 0.98
第一节 线性概率模型
二元选择模型如何估计呢？由于它看上去象是一 个典型的OLS回归模型，因而一个简单的想法是采用 OLS法估计。当然，对结果的解释与常规线性回归模 型不同，因为二元选择模型中因变量只能取两个预定 的值。线性概率模型（LPM）一般形式如下：
Yi = β0 + β1X1i + β2 X2i +L+ βk Xki + ui
线性概率模型存在的问题
（1）线性概率模型假定自变量与Y=1的概率之间存 在线性关系，而此关系往往不是线性的。 （2）拟合值可能小于0或大于1，而概率值必须位于 0和1的闭区间内。 回到有关读研的例子。假设学生乙的GPA为4.0， 家庭收入为20万美元，则代入（10.3）式，Y的拟合 值为
ˆ Y = −0.7 + 0.4×4.0 + 0.002×200 =1.3
第二节 Probit模型和Logit模型
一．Probit和Logit方法概要 估计二元选择模型的另一类方法假定回归模型为
Yi* = β0 + ∑β j Xij + ui
j =1
k
(10.7)
这里 Y 不可观测，通常称为潜变量（latent i variable）。我们能观测到的是虚拟变量：
*
1 若Y* > 0 i Yi = 其 它 0