高考数学考点预测5圆锥曲线与方程doc

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高考数学圆锥曲线复习策略一.圆锥曲线高考大纲文科（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）（3）了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（4）理解数形结合的思想。

（5）了解圆锥曲线的简单应用。

理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、顶点、离心率）（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.锥曲线知识网络'对称轴兀轴住占八、、八、、标准方程y 2=2P x\顶点离心率准线（卩>0）二.试题趋势近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。

但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考察热点有:（1）圆锥Illi 线的定义及标准方程；（2）与圆锥曲线有关的轨迹问题；（3）与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（4）与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题（1）圆锥曲线的定义及标准方程;1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的a 2b 225 9焦点相同，那么双Illi 线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o定义：:椭圆l + IF2PI=2a(2a >1 F.F 2 I)标准方程召+令(a > b > 0)2 f 2a =b +对称轴兀轴，长轴长为2d y 轴，短轴长为2b隹占八、、八、、定义：:< 双曲线{lIFfl —IF2PII=2a(2a<F }F 2 I)2 2 标准方程才*卄严轴卜轴，实轴长为2d 对称轴彳I 》轴，虚轴长为"隹占八、、JW\（Q 〉O,b 〉O ）彳顶点21 2 a +b =c离心率渐近线定义• 抛物线 <・\MF\=d答案：（±4,0）= 02 ,22.（2010天津文数）（13）已知双Illi线罕―仝=1«〉0上〉0）的一条渐近线方程是a b厶y = ^x ,它的一个焦点与抛物线r =16x的焦点相同。

最新高考数学命题热点圆锥曲线方程

圆锥曲线方程学案1 椭圆掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；了解椭圆的参数方程.椭圆是高考考查的重点与热点，主要考查椭圆的定义、标准方程及其几何性质、弦长、焦点弦长、中点弦等问题，或以椭圆为载体的综合性问题（应用型、探索型、存在型），考查“三基”的同时，加强了对能力的考查，突出了对推理能力和运算能力的考查.1.椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做.这两个定点F 1,F 2叫做椭圆的，两焦点的距离叫做椭圆的.（2）平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫，定点是椭圆的，定直线叫椭圆的，小于1的正常数叫.2.椭圆的标准方程（1）2222by a x +=1(a>b>0)的焦点：，其中c=22b -a ;（2）2222bx a y +=1（a>b>0）的焦点：，其中c=22b -a .3.椭圆的参数方程中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为 (φ为参数).4.椭圆的几何性质以标准方程2222by a x +=1(a>b>0)为例：（1）范围： ;（2）对称性： ;（3）顶点：；长轴：，短轴： ; （4）离心率： ; （5）准线： ;（6）焦半径：|PF 1|= ,|PF 2|= ,其中P(x,y)是椭圆上任一点.考点1 求椭圆的标准方程［例1］根据下列条件求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程.（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,-6);（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近端点距离是5-10.运用待定系数法求椭圆的标准方程，也就是设法建立关于a,b 的方程组；先定型，再定量；若位置不确定时，考虑是否有两解.有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0)，由题目所给条件求出m,n 即可.（1）①若椭圆方程为2222by a x +=1(a>b>0)，则由a=2b 及点(2,-6)在椭圆上，可得a 2=148,b 2=37.②若椭圆方程为2222bx a y +=1(a>b>0)，则由a=2b 及点(2,-6)在椭圆上，可得a 2=52,b 2=13.∴所求椭圆方程为37y 148x 22+=1或52y 13x 22+=1. （2）可设椭圆方程为2222by a x +=1（a>b>0），由题意知a=2b,a-c=5-10，又a 2=b 2+c 2，可求得a 2=10,b 2=5.∴椭圆方程为5y 10x 22+=1.题（1）由于椭圆焦点位置未定，需要讨论两种情形，易错之处在于不讨论，或是讨论了第①种情形，第②种情形误以为简单交换，变成37x 148y 22+=1，实际上两种情形下的a,b 取值是不同的.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ,|PQ|=210，求椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质［例2］自椭圆2222by a x +=1(a>b>0)上一点M 向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且其长轴右端点A 及短轴上端点B 的连线AB 与OM 平行. （1）求此椭圆的离心率；（2）P 为椭圆上一点，F 2为右焦点，当|PF 1|²|PF 2|取最大值时，求点P 的坐标.本题涉及等量关系转化为不等关系，在与所求量有关的参量上做文章是实现转化的关键，还有离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a,b,c 的关系式，最后化归为a,c （或e ）的关系式，利用方程求解.（1）如图所示，由已知得M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b c,-2,∵A(a,0),B(0,b), ∴k AB =-ab,由k OM =k AB 得b=c,∴b 2=c 2.∴a 2-c 2=c 2,即a 2=2c 2, ∴e=22. （2）解法一：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 1|²|PF 2|≤2212|PF ||PF |⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a 2.当且仅当|PF 1|=|PF 2|=a 时，上式取等号.即|PF 1|²|PF 2|的最大值为a 2,此时P 的坐标为(0,-b)或(0,b).解法二：由焦半径公式得|PF 1|²|PF 2|=（a+ex 0）(a-ex 0)=a 2-e 220x .(x 0为P 的横坐标)∵-a ≤x 0≤a ， ∴当x 0=0时，|PF 1|²|PF 2|取最大值a 2.此时点P 的坐标为(0,-b)或(0,b).（1）求椭圆离心率的题目大致分为两类：一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率e 的式子（或与椭圆的统一定义有关）；另一类利用条件（题设条件）获得关于a,b,c 的关系式，最后化归为a,c （或e ）的关系式（关于a,c 的齐次方程），再依e=ca 化成关于e 的方程，利用方程思想求离心率.（2）求有关最值或范围问题，一般利用椭圆的第一定义中|PF 1|+|PF 2|=2a 为定值，运用均值不等式或利用焦半径公式或利用椭圆的范围（有界性）性质转化为不等式函数问题，这是解析几何中解决最值或范围问题的常见方法.如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F （3,0）,右准线l 的方程为x=12. （1）求椭圆的方程;（2）在椭圆上任取三个不同点P 1,P 2,P 3,使∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 1,证明:|FP |1|FP |1|FP |1321++为定值，并求此定值.考点3 椭圆性质的综合应用［例3］已知椭圆的中心在原点，离心率为21，一个焦点是F(-m,0)（m 是大于0的常数）. （1）求椭圆的方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ |=2|QF |，求直线l 的斜率.（1）根据题目所描述的椭圆的性质求出椭圆方程.（2）将|MQ |=2|QF |转化为定比分点问题，分两种情况求斜率.（1）设所求椭圆方程是2222by a x +=1(a>b>0). 由已知，得c=m,21=a c ,所以a=2m,b=3m. 故所求椭圆方程是22223m y 4m x +=1. （2）设Q(xQ,yQ)，直线l:y=k(x+m)，则点M(0,km). 当=2时，由于F(-m,0),M(0,km), 由定比分点坐标公式，得 x Q =32m 212m -0-=+,y Q =210km ++=31km. 又点Q ⎪⎭⎫⎝⎛3km ,32m -在椭圆上， ∴222223m9m k 4m 94m +=1. 解得k=±26. 当|MQ |=2|QF |时，x Q =2-1(-m)(-2)0⨯+=-2m,y Q =2-1km =-km.于是222223m m k 4m 4m +=1,解得k=0. 故直线l 的斜率是0或±26.（1）根据条件判断椭圆方程是何种形式，然后用待定系数法求椭圆方程，关键是判定焦点在哪一个轴上.（2）将向量模的关系转化为定比分点问题是解决这一问的关键.设A ，B 分别为椭圆2222by a x +=1(a,b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线.（1）求椭圆的方程；（2）设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，证明点B 在以MN 为直径的圆内.［高考大纲全国卷］如图，已知O 为坐标原点，F为椭圆C ：x 2+2y 2=1在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足OA +OB +OP =0.（1）证明：点P 在C 上；（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A ，P ，B ，Q 四点在同一圆上.1.注意对椭圆定义的理解,定义中与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数.当2a>|F 1F 2|时,动点的轨迹才是椭圆;当2a=|F 1F 2|时,轨迹为线段;当2a<|F 1F 2|时,轨迹不存在.2.求椭圆标准方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定位,后定型,再定参).椭圆的标准方程有两种形式,所谓“标准”,就是椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦点F 1,F 2的位置决定椭圆标准方程的类型,是椭圆的定位条件;参数a,b 决定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件,对于方程ny m x 22+=1(m>0，n>0)，若m>n>0,则椭圆的焦点在x 轴上;若0<m<n,则椭圆的焦点在y 轴上,焦点不明确时,要注意分类讨论.1.椭圆给出了两种定义，解题时，紧紧抓住焦点、准线这个特征，充分利用两种定义，尤其是椭圆的第二定义，若运用恰当，可事半功倍（如解决求焦半径问题）.2.待定系数法和数形结合的方法是最基本的方法，在应用时要充分掌握椭圆的两种标准形式，焦点的位置，把握好椭圆图形的几何性质，体现出“形”的直观性.3.参数a,b,c,e 及准线距、焦准距是椭圆固有的，与坐标系无关.4.关于存在性问题、焦点三角形问题，涉及的几何性质较多，尽可能在几何范畴内找出必要条件（最好是充要条件），再化归为代数问题进行计算.1.“m>n>0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知椭圆C:22y 2x + =1的右焦点为F,若准线为l,点A ∈l,线段AF 交C 于点B.若=3,则|FA|=( )A.2B.2C.3D.3 3.椭圆2y 9x 22+=1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|=4，则|PF 2|= ，∠F 1PF 2的大小为 .4.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且G 上一点到两焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 .5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆2222by a x +=1(a>b>0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰好为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为.复习至此，请做课时作业39椭圆学案2 双曲线掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.双曲线是高考考查的重点与热点.历年来考查双曲线的题目屡见不鲜，主要有考查定义、性质的选择、填空题，考查标准方程、直线与双曲线的综合题.在实际考查中常把平面向量、不等式、函数等知识融合在一起考查.以双曲线为载体考查学生的运算能力、逻辑思维能力，注重数形结合、等价转化、分类讨论、函数方程等数学思想方法的应用.1.双曲线的定义（1）第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a<|F 1F 2|）的点的轨迹叫做.这两个定点F 1，F 2叫做双曲线的 ,两焦点的距离|F 1F 2|叫做双曲线的 .（2）第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数(e>1)的动点的轨迹叫做 .其中常数e 叫做 .2.双曲线的方程焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0)，实轴长为2a 的双曲线的标准方程为 ;焦点坐标为F 1(0,-c)，F 2（0,c ），实轴长为2a 的双曲线的标准方程为 .3.双曲线的几何性质以2222by a x +=1(a>0,b>0)为例. （1）范围：；（2）对称性：；（3）顶点：；实轴：；虚轴：；（4）离心率：；（5）准线：；（6）渐近线：；（7）焦半径：|PF 1|= ，|PF 2|=.考点1 求双曲线的标准方程［例1］已知双曲线的渐近线方程为y=±34x ，并且焦点都在圆x 2+y 2=100上，求双曲线方程.从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，故应分两种情况讨论求解.（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为2222b y -a x =1（a>0,b>0）.因渐近线方程为y=±34x ，则34a b =.① 又由焦点在圆x 2+y 2=100上知c=10，即有a 2+b 2=100.②由式①②解得a=6,b=8.∴双曲线方程为64y -36x 22=1. （2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为2222b x a y +=1(a>0,b>0),由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==+,34b a 100b a 22 解得a=8,b=6.∴另一条双曲线方程为64x -36y 22=1.双曲线64y -36x 22=1与36x -64y 22=1是一对共轭双曲线，一般形式是2222by a x -=±1.因而本题有另一种解法，设双曲线方程为22224y -3x =λ,于是)2||(4)2||(3λλ+=100, 解得λ=±4. ∴所求双曲线方程为16y -9x 22=±4, 即64y -36x 22=±1. 一般而言，若双曲线的渐近线方程为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则其共轭双曲线方程形式为f 1(x,y)²f 2(x,y)=λ(λ≠0).根据下列条件求双曲线方程：（1）以坐标轴为对称轴的等轴双曲线两准线间的距离为42;（2）以椭圆9y -25x 22=1的长轴端点为焦点，过P(42,3);（3）与双曲线16y -9x 22=1有共同渐近线，且过点P(3,42).考点2 双曲线的几何性质［例2］双曲线2222by -a x =1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围.直接用已知的“距离之和s ≥54c ”这个条件列出只含有a 和c 的不等式,再通过构造法,将此不等式变形为一个只有e=ac的不等式,再解不等式即可得解.直线l 的方程为bya x +=1,即bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式以及a>1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1=22ba 1)-b(a + .同理得到点(-1,0)到直线l 的距离d 2=22ba 1)b(a ++.s=d 1+d 2=22ba 2ab+=c 2ab.由s ≥54c,得c 2ab ≥54c,即5a 22a -c ≥2c 2.于是得51-e 2≥2e 2. 即4e 4-25e 2+25≤0,解不等式,得54≤e 2≤5. 由于e>1,所以e 的取值范围是25≤e ≤5.e 2=22222a b a a c +=这一关系在双曲线的有关运算中常常用到，同时要注意三种曲线关于e 的范围的区别.设双曲线C: 222y -ax =1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围; (2)设直线l 与y 轴的交点为P,且PA =125PB ,求a 的值.考点3 双曲线性质的综合应用［例3］已知双曲线C ：2222by -a x =1(a>0,b>0)，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |，|OB |，|OF |成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P.（1）求证：PA ²=PA ²FP ;（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D ，E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.（1）如图，根据条件写出l 的方程，求出点P 的坐标，利用向量的坐标运算进行证明.（2）将直线l 的方程代入双曲线方程，转化为关于x 的一元二次方程有两个相异实根的条件求解.（1）证明：证法一：由题意知直线l 的方程为y=-b a (x-c).由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x b a =y c)-(x ba - =y 解得P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛c ab ,a 2c . ∵|OA |，|OB |，|OF |成等比数列，∴x A ²c=a 2,∴x A =c a 2,∴A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,c a 2. ∴PA =⎪⎭⎫ ⎝⎛-c ab ,0,OP =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c ab ,2c a , FP ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c ab ,2c b .∴²=-222c b a ,²=-222cb a .∴²=².证法二：由P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛c ab ,2c a ,∴PA ⊥x 轴，∴²-²=²=0. ∴²=².（2）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1b y -a x c)-(x ba -y 2222得 b 2x 2-24ba (x-c)2=a 2b 2，即(b 4-a 4)x 2+2a4cx-(a 4c 2+a 2b 4)=0.∵l 与双曲线左、右两支分别相交于点D ，E ，设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),∴x 1²x 2=444224b-a b a c a + <0. ∴b 4>a 4,即b 2>a 2,∴c 2-a 2>a 2. ∴e 2>2，即e>2.渐近线是双曲线的特有性质，由焦点向渐近线引垂线，垂足必在准线上；反之，过渐近线与准线的交点和相应焦点的连线必垂直于该渐近线.双曲线C 与椭圆4y 8x 22+=1有相同的焦点,直线y=3x 为C 的一条渐近线.(1)求双曲线C 的方程；(2)过Ｐ（０，４）的直线l ，交双曲线Ｃ于Ａ，Ｂ两点，交x 轴于Ｑ点（Ｑ点与Ｃ的顶点不重合），PQ =λ1QA =λ2QB ，且λ１＋λ２＝－38时，求Ｑ点的坐标.1.［高考山东卷］已知双曲线2222by -a x =1（a ＞0,b＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）A.4y -5x 22=1 B 5y -4x 22=1C. 6y -3x 22=1D. 3y -6x 22=12.［高考大纲全国卷］已知F 1,F 2分别为双曲线C:27y -9x 22=1的左、右焦点，点A ∈C,点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2的平分线，则 |AF 2|=1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意两者的不同点，如a,b,c 的关系、渐近线等.2.注意对双曲线两种定义的准确理解和灵活运用.双曲线与椭圆一样有两种定义，有两种标准方程，同样要重视定义在解题中的应用.(1)若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|-|PF 2|=2a ；若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|-|PF 1|=2a,焦点在y 轴上时类同.(2)在定义中，c>a 是隐含条件，要深刻理解双曲线中的几何量a,b,c,e ，ca 2等之间的关系（如c 2=a 2+b 2,e=ac）以及每一个量与椭圆中相应量的区别.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知渐近线方程为ax ±by=0时，可设双曲线方程为a 2x 2-b 2y 2=λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.1.有关双曲线的运算需分清点在双曲线的哪一支上,在不同支上结果不一样.2.几个特殊的双曲线：(1)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等，其方程为x 2-y 2=λ（λ≠0）.性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x.(2)共轭双曲线：实轴与虚轴互换，互为共轭的一对双曲线的方程为2222b y -a x =1和2222ax -b y =1.性质有：有共同的渐近线，有相等的半焦距；离心率的倒数平方和等于1.共轭双曲线有相同的渐近线，但渐近线相同的双曲线不一定是共轭的.利用共渐近线的双曲线系2222b y -a x =k 或2222bx -a y =k （k ≠0）方程解题，常使解法简捷.1.双曲线12y -4x 22=1的焦点到渐近线的距离为( ) A.23 B.2 C.3 D.12.已知双曲线222by -2x =1(b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y=x ，点P （3，y0）在该双曲线上，则21PF PF = ( ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 3.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°,则双曲线C 的离心率为 .4.已知双曲线2222b y -a x =1的离心率为2,焦点与椭圆9y -25x 22=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为 .5.已知双曲线12y -4x 22=1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为 .6.设双曲线16y -9x 22=1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 .7.若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线222y -ax =1（a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为 . 复习至此，请做课时作业40双曲线学案3 抛物线掌握抛物线的定义、标准方程和简单几何性质.抛物线是高考的重点内容，主要涉及抛物线定义的应用；能根据所给条件求出抛物线的标准方程；利用所给方程的形式或条件研究曲线的几何不变量；直线与抛物线相交的有关计算或证明.各种题型都可能出现.1.平面内与一个定点F 和一条定直线l （点F不在直线l 上）的距离相等的点的轨迹叫做 .点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的 .2.以F ⎪⎭⎫⎝⎛,02p 为焦点，直线x=-2p 为准线的抛物线方程是 .3.抛物线y 2=2px(p>0)，其中x 的范围是；其对称轴是；顶点坐标为；离心率为 .4.抛物线y 2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为 ;顶点到焦点的距离为；其通径长为.考点1 求抛物线的方程［例1］如图所示，直线l 1和l 2相交于M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1,以A ，B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2距离与到点N 的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3且|BN|=6,建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.因为曲线C 上任一点到l 2的距离与到点N的距离相等，可知曲线C 是抛物线的一部分，故应以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，此时曲线方程形式可设为y 2=2px(p>0).如图，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，依题意可设曲线段C 的方程为y 2=2px(p>0)(x A ≤x ≤x B ,y>0).其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p=|MN|. ∴M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-,02p ,N ⎪⎭⎫ ⎝⎛,02p . 由|AM|=17，|AN|=3，得22p ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x +2px A =17 ①22p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +2px A =9② 由①②式联立解得x A =p4. 再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧==1x 4p A 或⎩⎨⎧== 2.x 2p A ∵△AMN 为锐角三角形，∴2p>x A . ∴舍去⎩⎨⎧== 2.x 2p A∴p=4,xA=1,由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN|-2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x(1≤x ≤4，y>0).本题主要考查建立轨迹方程的基本方法，同时考查抛物线的概念和性质，要求能熟练地建立适当的坐标系，准确写出方程.在解本题时，往往忽略了所求曲线段C 的方程的限制条件.根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）抛物线的焦点是双曲线16x 2-9y 2=144的左顶点；（2）过点P(2,-4);（3）抛物线焦点F 在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，|AF|=5.考点2 抛物线的几何性质［例2］设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O. 证AC 过原点，即A ，O ，C 三点共线，证三点共线方法较多，多数情况下用斜率相等，也可用向量共线来证. 【证明】证法一：因为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ⎪⎭⎫ ⎝⎛,02p ,所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2p . 代入抛物线方程，得y 2-2pmy-p 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1,y 2是方程的两根，所以y 1y 2=-p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x=-p 2上，所以点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2y ,2p , 故直线CO 的斜率为k=1112x y y 2p 2p -y ==. 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O.证法二：如图，设x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 点作AD ⊥l ，D 是垂足，则AD ∥FE ∥BC.连结AC ，与EF 相交于点N ，则AB|BF ||AC ||CN ||AD ||EN |==|， |AB ||AF ||BC ||NF |=，根据抛物线的几何性质，得 |AF|=|AD|，|BF|=|BC|. 所以|EN|=AB |BF |AD |⋅=|AB ||BC ||AF |⋅=|NF|，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过点O.这道高考题是教材习题的变式题，证法一是代数法，证法二是几何法，充分利用抛物线的几何性质，数形结合.设抛物线x 2=-2py(p>0)的焦点为F ，准线为l ，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线上不同两点，且AF 与FB 为共线向量.（1）求证：x 1²x 2=-p 2；（2）l 上是否存在点C ，使²=0？试证明你的结论.考点3 抛物线性质的综合应用［例3］给定抛物线C:y 2=4x,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点.(1)设l 的斜率为1,求与夹角的大小; (2)设=λ,若λ∈［4,9］,求l 在y 轴上截距的变化范围.(1)由cos θ|OB ||OA |OBOA ⋅公式求解.(2)运用方程的思想建立起λ与截距的关系式,再由λ的范围求解.(1)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,∴l 的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y 2=4x,并整理得 x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有 x 1+x 2=6,x 1x 2=1. OA·OB=(x 1,y 1)·(x 2,y 2) =x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.| |·| |=22222121y x y x +⋅+=[]16)x 4(x x x x x 212121+++=41,cos 〈,〉|OB ||OA |⋅=-41413,∴OA 与OB 夹角的大小为π-arccos 41413. (2)由题设FB=λAF 得(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1), 即⎩⎨⎧==②1212y -y )①x -(11-x λλ由②得22y =λ221y .∵21y=4x 1,22y=4x 2,∴x 2=λ2x 1③联立①③解得x 2=λ,依题意有λ>0, ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ), 又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ (x-1)或(λ-1)y=-2λ (x-1).当λ∈［4,9］时,l 在y 轴上的截距为1-2λλ或-λ1-2λλ. 由1-2λλ=12+λ+12-λ,可知1-2λλ在［4,9］上是递减的. ∴43≤1-2λλ≤34,-34≤-1-2λλ≤-43. 直线l 在y 轴上截距的变化范围为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,4343,34 .本题将向量、方程、函数、解析几何知识融合为一道很不错的综合题.主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的关系，以及基本解析几何的解题方法、思想及综合解题能力.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,A ，Ｂ是抛物线上的两动点，且=λ (λ>0).过Ａ，Ｂ两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ. (1)证明：FM ²AB 为定值；（2）设△ＡＢＭ的面积为Ｓ，写出Ｓ＝f(λ)的表达式，并求Ｓ的最小值.1.［高考大纲全国卷］已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB= （） A.54 B.53 C.- 53 D.- 542.［高考课标全国卷］已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A,B 两点，|AB|=12,P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为 ( )A.18B.24C.36D.481.关于抛物线的定义要注意点F 不在直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线.2.关于抛物线的标准方程在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：(1)p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数.(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.(3)焦点的非零坐标是一次项系数的41. 3.关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点的弦，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的倾斜角为θ，则①x 1x 2=42P ，y 1y 2=-p 2;②|AB|=θ2sin 2p=x 1+x 2+p; ③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A,B 在准线上射影的张角为 90°；⑤|FB |1|FA |1+=P2. 4.要注意圆锥曲线的统一定义中，椭圆的离心率e ∈(0,1),抛物线的离心率e=1,双曲线的离心率e ∈(1,+∞).复习中应紧抓抛物线的定义、标准方程及几何性质.1.顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y 2=2ax 或x 2=2ay(a ≠0),此时a 不具有p 的几何意义.2.抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离,这样就可以使问题简单化.3.求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法,为避免开口方向不一定而分成y 2=2px(p>0)或y 2=-2px(p>0)两种情况求解的麻烦,可以设成y 2=mx 或x 2=ny(m ≠0,n ≠0),若m>0,开口向右,若m<0，开口向左，m 有两解，则抛物线的标准方程有两个.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|=|x|+2P 或|PF|=|y|+2P,它们在解题中有重要的作用，注意运用.1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点.若AB 的中点为(2,2),则直线l 的方程为 .2.抛物线y 2=4x 的焦点到准线的距离是 .复习至此，请做课时作业41抛物线学案4 直线与圆锥曲线的位置关系掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些问题.直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了高中解析几何中直线与圆锥曲线的内容，还涉及函数、方程、不等式、三角函数、平面几何等许多知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参数等多种问题，因而成为解析几何中综合性最强，能力要求最高的内容.也成为高考的重点和热点.1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究.设直线l 的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.由⎩⎨⎧==++0y)f(x,0C By Ax 消元（x 或y ）若消去y 后得ax 2+bx+c=0.（1）若a=0，此时圆锥曲线不会是 .当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线 .当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴 .（2）若a ≠0，设Δ=b 2-4ac.①Δ>0时，直线与圆锥曲线相交于；②Δ=0时，直线与圆锥曲线； ③Δ<0时，直线与圆锥曲线 . 另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系.2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用求弦长.（2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，得到关于x(或y)的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，直线斜率为k ，则弦长公式为|AB|=212212x 4x -)x )(x k (1++或|AB|= .考点1 直线与曲线的交点个数问题［例1］已知双曲线x 2-y 2=4，直线l:y=k(x-1)，讨论直线l 与双曲线公共点个数.将直线l 的方程与双曲线方程联立消元后转化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用“Δ”求解.联立方程组⎩⎨⎧==4y -x 1)-k(x y 22消去y ，得 (1-k 2)x 2+2k 2x-k 2-4=0(*)（1）当1-k 2=0，即k=±1时,方程（*）化为2x=5,方程组有一解.故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行.（2）当1-k 2≠0，即k ≠±1时,由Δ=4(4-3k 2)>0得-332<k<332，且k ≠±1时，方程（*）有两解，方程组有两解.故直线与双曲线有两个交点.（3）当1-k 2≠0，由Δ=4(4-3k 2)=0得k=±332时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.（4）当1-k 2≠0，由Δ=4(4-3k 2)<0得k<-332或k>332时，方程组无解，故直线与双曲线无交点. 综上所述，当k=±1或k=±332时，直线与双曲线有一个公共点；当-332<k<-1或-1<k<1或1<k<332时，直线与双曲线有两个公共点；当k<-332或k>332时，直线与双曲线无公共点.研究直线与双曲线位置关系时，应注意讨论二次项系数为0和不为0两种情况.在平面直角坐标系xOy 中，经过点（0，2）且斜率为k 的直线l 与椭圆2x 2+y 2=1有两个不同的交点P和Q.（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量+OQ 与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由.。

(精品讲义)第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程word版含答案2

复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22，故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0．答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0．当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3．因此a 2＝6，b 2＝3．所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463．由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0．于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52，从而b 2＝a 2－c 2＝754，所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP ·OQ <0，即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23，依题意且满足(*)得m 2<23，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2．再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1．所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2．从而y 1＝4k 1＋4k 2．设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2．令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2．由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145．综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。

高考数学圆锥曲线与方程考点分析.doc

圆锥曲线与方程考点分析【复习点拨】圆锥曲线部分内容多、难度大、综合性强，为了提高学生的复习效率和复习质量，首先应抓住解析几何的特点即熟悉平面几何的性质，以坐标法为桥梁，用代数法来研究处理集合问题，复习时应重点突破以下内容：1．深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活运用定义解题；2．要熟练掌握各类圆锥曲线的标准方程、图象、几何性质，加强对基础知识的训练；3．要加强思想方法和能力的训练用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质，要掌握反映解析几何问题的基本方法；4．要掌握求曲线方程的一般方法；直线与圆锥曲线的位置关系的判定；求弦长、对称等问题的解法；求有关参数范围的常用方法。

【题型预测】圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点，也是历年高考命题的热点。

客观题重点考查圆锥曲线的定义及应用；圆锥曲线的标准方程；圆锥曲线的基本量（a 、b 、c 、e 、p 等）还有离心率等问题。

解答题考查的热点是：求圆锥曲线的方程和轨迹方程；圆锥曲线的的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系；范围、最值问题。

许多试题虽以圆锥曲线形式出现，但要解决它，还需要涉及到函数、不等式、方程、三角、向量、导数等有关知识的综合应用。

【考点分析】考点一、圆锥曲线的标准方程求圆锥曲线的标准方程主要有两种方法，一是待定系数法，其步骤是：（1）定位，确定曲线的焦点在哪个坐标轴上；（2）设方程，根据焦点的位置设出相应的曲线的方程；（3）定值，根据题目条件确定相关的系数。

另一种方法是定义法，根据题目的条件，判断是否满足圆锥曲线的定义，若满足，求出相应的a 、b 、c 、p 即可求得方程。

例1、已知双曲线的两个焦点为F 1、F 2，离心率为2，且经过点（４，-10），求双曲线的标准方程分析：由离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，但焦点在x 轴还是y 轴不确定，故可用x ２-y ２＝λ（λ≠０）来假设其标准方程，由点（４，-10）可求得方程解析：（1）因为双曲线的离心率为2，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x ２-y ２＝λ（λ≠０），由双曲线过点（４，-10），得42-(-10)2=λ,即λ=6。

圆锥曲线的定义、方程与性质(题型归纳)

圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。

圆锥曲线与方程高考分析详解

（2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，
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求坐标原点到 m, n 距离的比值。【解析】（1）由对称性知： BFD 是等腰直角，斜边 BD 2p
点 A 到准线 l 的距离 d FA FB 2 p
SABD 4
(2012 课标全国Ⅰ，理 20)（本小题满分 12 分）设抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ， AC ，已知以 F 为
圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；
（1）若 BFD 900 ， ABD的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；
物线 y 2 16 x 的准线交于 A, B 两点， AB 4 3 ；则 C 的实轴长为（
）
( A) 2
(B) 2 2
(C)
(D)
【解析】选 C
设 C : x2 y2 a2 (a 0) 交 y 2 16 x 的准线 l : x 4 于 A(4, 2 3) B(4, 2 3)
得： a2 (4)2 (2 3)2 4 a 2 2a 4
x2 y2 =1 B． 36 27
x2 y2 =1 C． 27 18
x2 y2 =1 D． 18 9
答案：D
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B 在椭圆上，
∴
x12 a2
x22 a2
y12 b2
y22 b2
1, ① 1, ②
①－②，得
x1
x2 x1 a2
x2
y1
综上四边形mpnq面积的取值范围为三复习建议圆锥曲线部分内容多难度大综合性强为了提高学生的复习效率和复习质量首先应抓住解析几何的特点即熟悉平面几何的性质以坐标法为桥梁用代数法来研究处理集合问题复习时应重点突破以下内容

数学一轮复习高考大题专项五直线与圆锥曲线理

高考大题专项（五）直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.(2020山东泰安一模,21）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点。

当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,△F1PQ的周长为4√2,且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为43。

（1）求椭圆C的方程;(2)点M为△POQ内一点,O为坐标原点，满足MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若点M恰好在圆O：x2+y2=49上，求实数m的取值范围.2.(2020新高考全国2，21）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b〉0)过点M(2,3），点A为其左顶点,且AM的斜率为12。

(1）求C的方程；(2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.3.已知抛物线C:y2=2px(p〉0）上一点P(x0,2)到焦点F的距离｜PF|=2x0。

（1）求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M：(x—3)2+y2=r2(0<r≤√2)的两条切线PA,PB，切线PA,PB与抛物线C的另一交点分别为A，B,线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围。

4.(2020江苏，18)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E：x24+y23 =1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B。

（1)求△AF1F2的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，（3)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2.若S2=3S1，求点M的坐标.5.（2020山东高考预测卷）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,点M（a,2√5)在抛物线C上。

（1）若｜MF｜=6,求抛物线的标准方程；（2）若直线x+y=t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为（1,0)，且满足NA⊥NB,原点O到直线AB的距离不小于√2,求p的取值范围。

圆锥曲线与方程知识点详细

圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们在数学、物理等领域都有着广泛的应用。

接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。

焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。

3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。

（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。

（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。

山东省2020届高考数学-权威预测-圆锥曲线的定义、性质和方程二-新人教版

山东省2020届高考数学-权威预测-圆锥曲线的定义、性质和方程二-新人教版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020届山东新课标高考数学权威预测：圆锥曲线的定义、性质和方程(二)【例5】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量AB 与OM 是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=。

∵AB OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴ab ac b -=-2，∴b=c,故22=e 。

（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈。

【例6】设P 是双曲线116422=-y x 右支上任一点. （1）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，求||||PF PE ⋅的值；（2）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，且AOB PB AP ∆=求,2的面积.解：（I ）设16414),,(20202000=-⇒=y x x y x P 则 ∵两渐近线方程为02=±y x由点到直线的距离公式得.5165|4|||||2020=-=⋅∴y x PF PF（II ）设两渐近线的夹角为α， ,53tan 11cos ,34|4122|tan 2=+==-+=ααα则54sin =∴α,1368,136)2(36)2(,1164,342,32,2.5||||)(,5||,5||),2,(),2,(,212212212221021*********==+-+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=∴==⋅∴==∴--=∠∴x x x x x x y x x x y x x x PB AP x x OB OA AB P x OB x OA x x B x x A AOB 即得代入又的内分点是设 απ2921=∴x x 95429521)sin(||||21=⋅⋅⋅=-⋅=∆απOB OA S AOB【例7】如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记A (－c ，0)，C (2c，h )，B (c ，0)，其中c 为双曲线的半焦距，c =21|AB |，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=， h hy E19811811180=+⨯+=．设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ace =．由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h ac b h a c 由①式得1412222-⋅=a c b h 代入②式得922=ac 所以，离心率322==ac e【例8】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-= ∴椭圆的标准方程为22143x y += （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，① ②22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，即，则，又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x •=---， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++，2271640m mk k ∴++= 解得：12m k =-，227km =-，且均满足22340k m +->，当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭， ★★★自我提升1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是(C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 2．如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ C ）A ．36B ．4C ．2D ．13．抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B)( A ) 1617 ( B ) 1615 ( C ) 87( D ) 04．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，F 1、F 2分别是它的左，右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB|为（A ）.A 、28B 、24C 、22D 、85．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 221164+=y x ． 6．过椭圆左焦点F ，倾斜角为60︒的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA |=2|FB |，则椭圆的离心率为( B )(A)23 (B) 23 (C) 12(D)22 7．椭圆+=1的离心率e=，则m=___________m=8或2。

专题05 圆锥曲线大题拔高练(原卷版)

【一专三练】专题05 圆锥曲线大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点(2,1)A 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值.2．（2023·广东佛山·统考一模）已知椭圆2222Γ:1x y a b +=()0a b >>的左焦点为()1,0F -，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：40x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则MK KN ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.3．（2023·广东江门·统考一模）已知M 是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA 与直线y x =垂直，A 为垂足且位于第一象限，直线MB 与直线y x =-垂直，B 为垂足且位于第四象限，四边形OAMB （O 8，动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)已知()5,3T 是轨迹C 上一点，直线l 交轨迹C 于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 的斜率之和为1，tan 1PTQ ∠=，求TPQ V 的面积.4．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知双曲线E 的顶点为()1,0A -，()10B ,，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且OFG S =△点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP OH ⋅ 为定值.5．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的实轴长为4，左､右顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 与C 的右支分别交于,M N 两点，其中点M 在x 轴上方.当l x ⊥轴时，MN =(1)设直线12,MA NA 的斜率分别为12,k k ，求21k k 的值；(2)若212BA N BA M ∠∠=，求1A MN V 的面积.6．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于,P Q 两点.当PQ x ⊥PAQ △的面积为3.(1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA 与直线PB 的斜率乘积为34-，点P 的轨迹为M ．(1)求M 的方程；(2)分别过1(1,0)F -，2(1,0)F 做两条斜率存在的直线分别交M 于C ，D 两点和E ，F 两点，且117||||12CD EF +=，求直线CD 的斜率与直线EF 的斜率之积．8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 三个点在椭圆2212x y +=，椭圆外一点P 满足2OP AO = ，2BP CP = ，（O 为坐标原点）.(1)求12122x x y y +的值；(2)证明：直线AC 与OB .9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>和椭圆E ：()22101x y a a a+=>+有共同的焦点F (1)求抛物线C 的方程，并写出它的准线方程(2)过F 作直线l 交抛物线C 于P ， Q 两点，交椭圆E 于M ， N 两点，证明：当且仅当l x ⊥轴时，PQ MN取得最小值10．（2023·河北石家庄·统考一模）已知点(4,3)P 在双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上，过P 作x 轴的平行线，分别交双曲线C 的两条渐近线于M ，N 两点，||||4PM PN ⋅=．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y kx m =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l 过定点．①121k k +=；②121k k =．11．（2023·福建漳州·统考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =．过右焦点2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求C 的标准方程；(2)过坐标原点O 作一条与垂直的直线l '，交C 于P ，Q 两点，求||||AB PQ 的取值范围；(3)记点A 关于x 轴的对称点为M （异于B 点），试问直线BM 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由．12．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若||MN =l 的斜率；(2)记直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．13．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>过点(4,1)P ，且1C 的焦距是椭圆2222222222:x y a b C a b a b ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭的焦距的3倍．(1)求1C 的标准方程；(2)设M ，N 是1C 上异于点P 的两个动点，且0PM PN ⋅= ，试问直线MN 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．14．（2023·山东青岛·统考一模）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆C 的上顶点，12AF F △为等腰直角三角形，其面积为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，点W 在过原点且与l 平行的直线上，记直线WP ，WQ 的斜率分别为1k ，2k ，WPQ △的面积为S ．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．①S =②1212k k =-；③W 为原点O ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．15．（2023·山东济南·一模）已知抛物线2:2H x py =（p 为常数，0p >）．(1)若直线:22l y kx pk p =-+与H 只有一个公共点，求k ；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：||||||||||||AD EF DB DE FC BF ==．16．（2023·山东聊城·统考一模）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．17．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点A ⎛ ⎝.(1)若椭圆E 的离心率10,2e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求b 的取值范围；(2)已知椭圆E 的离心率e =，M ，N 为椭圆E 上不同两点，若经过M ，N 两点的直线与圆222x y b +=相切，求线段MN 的最大值.18．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN == ，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.19．（2023·江苏·统考一模）已知直线l 与抛物线21:2C y x =交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线22:4C y x =交于两点()33,C x y ，()44,D x y ，其中A ，C 在第一象限，B ，D 在第四象限.(1)若直线l 过点()1,0M，且11BM AM -=l 的方程；(2)①证明：12341111y y y y +=+；②设AOB V ，COD △的面积分别为1S ，2S ，（O 为坐标原点），若2AC BD =，求12S S .20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知点()2,2A 为抛物线2:2Γ=y px 上的点，B ，C 为抛物线Γ上的两个动点，Q 为抛物线Γ的准线与x 轴的交点，F 为抛物线Γ的焦点．(1)若90BOC ∠=︒，求证：直线BC 恒过定点；(2)若直线BC 过点Q ，B ，C 在x 轴下方，点B 在Q ，C 之间，且24tan 7BFC ∠=，求AFC △的面积和BFC △的面积之比．21．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知A ，B 为椭圆22221x y a b+=左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D的坐标为()1-时，3DF =．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C 的坐标为()4,0，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．22．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线()2222:1010,0x y C a b a b-=<的右顶点为A ，左焦点(),0F c -到其渐近线0bx ay +=的距离为2，斜率为13的直线1l 交双曲线C 于A ，B(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()6,0T 的直线2l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线6x =相交于M ，N 两点，试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．23．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为1B ，若△112F B F 为等边三角形，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为12A A ，，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点（异于椭圆E 的顶点），直线12AA BA 、与y 轴的交点分别为M 、N ，若||3||ON OM =，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.24．（2023·湖南张家界·统考二模）已知曲线C 的方程：()221045x y x -=>，倾斜角为α的直线l 过点()23,0F ，且与曲线C 相交于A ，B 两点.(1)90α=︒时，求三角形ABO 的面积；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使直线l 与曲线C 有两个交点A 、B 的情况下，总有OMA OMB ∠=∠如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.25．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），且65PQ a =，设点P 在x轴上的射影为点N ，PQN V ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与椭圆C 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于,A B 两，点，与抛物线E 交于,C D 两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ||CD λ为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.26．（2023·湖南常德·统考一模）已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的右顶点到渐近线C 的右焦点F 作直线MN （不与x 轴重合）与双曲线C 相交于M ，N 两点，过点M 作直线l ：()x t a t a =-<<的垂线ME ，E 为垂足.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)是否存在实数t ，使得直线EN 过x 轴上的定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.27．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹为圆锥曲线．当01e <<为椭圆，当1e =为抛物线，当1e >为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e 为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．已知点(1,0)F ，直线:4l x =动点E 满足到点F 的距离与到定直线l 的距离之比为12(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线22(0)y px p =>中，O 为抛物线顶点，过焦点F 的直线交抛物线与A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长交准线l 与D ，C ，则以CD 为直径的圆与AB 相切于点F ，以AB 为直径的圆与CD 相切于CD 中点．那么如图在曲线E 中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．28．（2023·广东广州·统考二模）已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，且与x 轴交于点()(),00M a a >，过点A ，B 分别作直线1:l x a =-的垂线，垂足依次为1A ，1B ，动点N 在1l 上.(1)当1a =，且N 为线段11A B 的中点时，证明：AN BN ⊥；(2)记直线NA ，NB ，NM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.29．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点()2,0A -在椭圆上且||3AF =．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P Q 、分别在椭圆C 和直线4x =上，OQ AP ∥，M 为AP 的中点，若T 为直线OM 与直线QF 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．30．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，2AB=千米，O为AB的中点，OD 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．(1)若3OE=千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；(2)，当线段OG长为何值时，游乐区域OMNV的面积最大？。

高考数学圆锥曲线的方程与性质专题

高考数学圆锥曲线的方程与性质专题The document was finally revised on 2021高考数学复习专题：圆锥曲线的方程与性质【一】基础知识名称椭圆双曲线抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|) ||PF 1|－|PF 2|| ＝2a (2a ＜|F 1F 2|) |PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l于M 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2＝2px (p ＞0)图形几何性质范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)(0，±b )(±a,0)(0,0)对称性关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点 (±c,0)(p2，0) 轴长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 e ＝c a ＝ 1－b 2a2 (0＜e ＜1)e ＝c a ＝ 1＋b 2a2(e ＞1) e ＝1 准线x ＝－p 2渐近线y ＝±b ax【二】高考真题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( c )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x2． (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( c ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于(d )4． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于3－15． (2013·浙江)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于 ±1．【三】题型和方法题型一圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为 __________．(2)已知P 为椭圆x 24＋y 2＝1和双曲线x 2－y 22＝1的一个交点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，那么∠F 1PF 2的余弦值为________．变式训练1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72.若△F 1MF 2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为__________．答案 y ＝±7x(2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．答案 y 2＝±8x题型二圆锥曲线的性质例2 (1)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )B ．2 2C ．4D ．8(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( ) 或32 或2或2或32变式训练2 (1)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2B ．3答案 C(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5答案 B题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．变式训练3 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．【例4 (14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【四】能力训练1． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )C ．1 2． (2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3．已知方程x 22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝⎛⎭⎫12，14． (2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.5． (2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为______．6． (2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.专题模拟训练一、选择题1． (2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( ) －y25＝1－y 25＝1 －y25＝1－y 25＝12．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( )C ．2D ．34．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( ) B ．210D ．2 55．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A ．2±3 B ．2＋ 3 ±1－16． (2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) －y24＝1 －y 25＝1 －y 26＝1－y 23＝1 8． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )D ．2 2二、填空题9．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.10．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.11．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．三、解答题13．(2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．14．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．。

新课标数学考点预测---圆锥曲线与方程

2009届新课标数学考点预测---圆锥曲线与方程一、考点介绍1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率.4.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线,常数e 叫做双曲线的离心率. 5.双曲线的标准方程及其几何性质：7.抛物线的定义:平面内到定点F 和定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F 不在l 上).定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线. 8.抛物线的标准方程及其几何性质：9.抛物线知识网络10.方程的曲线和曲线的方程在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程0)(=y x f ，的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 11. 圆锥曲线综合问题⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围. 二、高考真题1. （2006年北京卷，文科，19）椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F1,F2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（Ⅱ）可以设出A 、B 点的坐标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 〖答案〗解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3.在Rt △PF1F2中，,52212221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c=5,从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C 的方程为4922y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆C 的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822221-=++-=+k kk x x解得98=k ，所以直线l 的方程为,1)2(98++=x y即8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意) 解法二： (Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1≠x2且,1492121=+yx ①,1492222=+yx②由①－②得.04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x③因为A 、B 关于点M 对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝98（x+2），即8x －9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.) 2．（2007年上海卷，文科，21）我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+c x b y (0)x ≤合成的曲线称作“果1圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与，y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+c x b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P 的横坐标．〖解析〗（1）求出两个半椭圆的方程即可得到“果圆”的方程，（2）由两点间的距离公式表示出PM 的长，根据二次函数的性质即可求出最小值，（3）思路同（2），只需分两种情况讨论即可. 〖答案〗（1）((012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴===，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||yc a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b ac x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤，0122<-c b ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可．2222||yc a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(c c a a x -=时取到，此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a c c a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(c c a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -． 3．（2007年山东卷，理科，21）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．〖解析〗（Ⅰ）由已知易求出a ，c 的值，即得椭圆方程，（Ⅱ）由待定系数法设出直线方程，联立椭圆方程后由1-=BD AD k k 可以得到关于k 和m 的方程，求出满足0>∆的k 和m 的关系式后即可得到过定点的直线方程.〖答案〗(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y ∴+=(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +->.当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).74．（2008年湖南卷，文科，19）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F ，且两条准线间的距离为)4(>λλ. （I ）求椭圆的方程；（II ）若存在过点A （1，0）的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.〖解析〗（I ）椭圆方程由a ，b ，c 的关系易得，（II ）设出直线l 的方程，求出点F 关于直线l 的对称点，代入椭圆方程解关于λ的不等式组即得λ的取值范围.〖答案〗（I ）设椭圆的方程为22221(0).x y a b a b +=>>由条件知2,c =且22,a c λ=所以2,a λ=222 4.b a c λ=-=- 故椭圆的方程是221(4).4x y λλλ+=>-（II ）依题意, 直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是(1).y k x =-设点(20)F ，关于直线l 的对称点为00(),F x '，y 则00002(1)2212y x k y k x +⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩，解得02022121x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为点00()F x '，y 在椭圆上，所以222222()()11 1.4k k k λλ+++=-即422(4)2(6)(4)0.k k λλλλλ-+-+-=设2,k t =则22(4)2(6)(4)0.t t λλλλλ-+-+-= 因为4,λ>所以2(4)0.(4)λλλ->-于是,当且仅当23[2(6)](4)()2(6)0.(4)λλλλλλλλ⎧∆=--⎪*-⎨->⎪-⎩-4，上述方程存在正实根,即直线l 存在.解()*得16,34 6.λλ⎧≤⎪⎨⎪<<⎩所以164.3λ<≤即λ的取值范围是164.3λ<≤5. （2008年辽宁卷，文科，21）在平面直角坐标系xOy 中，点P到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB的值是多少？〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义易得，（Ⅱ）设出A ，B 两点的坐标后由一元二次方程根与系数关系求出1212222344k x x x x k k +=-=-++，，再由向量的坐标运算求出k 值，最后由弦长公式可以求出AB的值.〖答案〗（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b =，故曲线C 的方程为2214y x +=．4分（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 6分OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++．所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥．8分当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．(AB x ==而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=，所以465AB =．6．（2008年山东卷，文科，22）已知曲线11(0)x yC a b ab +=>>：所围成的封闭图形的面积为曲线1C 的内切圆半径为3．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OAλ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．〖解析〗（Ⅰ）由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于a ，b 的方程组，曲线1C 与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然2C 为焦点在x 轴的椭圆；（Ⅱ）（1）设出AB 的方程(0)y kx k =≠，()A A A x y ，，()M x y ，，联立直线与椭圆得到方程组后，由(0)MO OA λλ=≠可得M 的轨迹方程，注意0k =或不存在时所得方程仍然成立；（2）由直线l 的方程：1y x k =-和椭圆方程联立后表示出22214AMB S AB OM =△由不等式放缩即可求出最小值.〖答案〗（Ⅰ）由题意得2ab ⎧=⎪⎨=又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=．（Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+，所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k +=+=+=+++．设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y k λ++=+，因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y xk =-，即x k y =-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x y λλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++，又220x y +≠，所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=．又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 的轨迹方程为222(0)45x y λλ+=≠．（2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054My k =+，所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k +=+．解法一：由于22214AMBSAB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△．当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，又22112OA OMOAOM+≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△．当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．7．（2008年广东卷，文科，20）设0b >，椭圆方程为222212x y b b +=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．〖解析〗（1）由已知可求出G 点的坐标，从而求出抛物线在点G 的切线方程，进而求出1F 点的坐标，由椭圆方程也可以求出1F 点的坐标，从而求出1b =，得出椭圆方程和抛物线方程；（2）以PAB ∠为直角和以PBA ∠为直角的直角三角形显然各一个，以APB ∠为直角的直角三角形是否存在可以转化成0=⋅PB PA 对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的P 点的个数. 〖答案〗（1）由28()x y b =-得218y x b =+，当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x=，4'|1x y ==，过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；（2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。