一元二次方程的解法(3)PPT教学课件
专题17.2 一元二次方程的解法(第3课时)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，
23.2.3 一元二次方程的解法(3)
那么在方程 两边同时加 上的这个数 有什么规律?
结论:在方程两边同时 添加的常数项等于一 次项系数一半的平方
师生合作 1
例2 用配方法解方程: (1) x2-6x-7=0
x 6 x 7.
2
(2)x2+3x+1=0
解: (1)移项， 得
方程左边配方 ，得 x 2 2 x 3 32 7 32
(2)移项， 得 3x 1 方程左边配方， 得 x
2
2
即( x 3) 2 16
3 3 2 3 2 x 2 x ( ) 1 ( ) 2 2 2
所以x 3 4
原方程的解是 x1 7, x2 1
3 2 5 即( x ) 2 4
3 5 所以x 2 2
归纳
上面，我们把方程 x 2 4 x 3 0 变形为 ( x 2) 2 1 ， 它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一 个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可 以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。 那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
1 x 3x 0 4 1 2 x 3x 4
3 2 5 (x ) 2 2
3 10 x2 3 10 x1 2 2
3 1 3 x 2 3x ( ) 2 ( ) 2 2 4 2
直接开平方，得 所以
3 x 2
10 2
x
3 2
10 2
随堂练习2 用配方法解方程： （ 1） 2 x 2 2 (2 x ___) 2
苏教版九年级数学上册《一元二次方程的解法(3)》课件
移项，得
x2 5 x 1 ．
2
配方，得
x2
52x542
125 16
，
x
5 4
2
9 16
．
开方，得
x5 3 ．
∴
x1
44
2，x2
1 2
．
1.2 一元二次方程的解法（3）
【例题精讲】 例5 解方程－3x2＋4x＋1＝0．
解：两边都除以－3，得 x2 4 x1 0 ，
33
移项，得 x2 4 x 1 ．
33
配方，得 x243x29
．
开方，得 x 2 7 ．
33
∴
x1
2 3
7 3
，x2
2 3
7 3
．
1.2 一元二次方程的解法（3）
【总结反思】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的 一般步骤：
（1）系数化为1． （2）移项． （3）配方． （4）开方． （5）求解． （6）定根．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1.2 一元二次方程的解法（3）
【练习】
课本练习P14练习．
1.2 一元二次方程的解法（3）
【小结】
1．怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？
2．感受转化的数学思想．
二次项系数不为1
【课后作业】
二次项系数化为1
课本习题1.2，P20第3题．
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
一元二次方程的解法 PPT课件 10(共6份) 华东师大版
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
学习目标
• 1．体会解一元二次方程降次的转化思想． • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或 • (mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
创设情景 明确目标
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全 部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
•
50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。
•
51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
② 方程（2）与方程（1）有什么不同？怎样将方程 （2）转化为方程（1）的形式？
③方程（3）左右两边有什么特点？怎样达到降次的 目的？
小组讨论2
对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2 的方程，可以用直接开平方发求解吗？
湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
一元二次方程的解法(三)PPT课件
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 你能用配方法解方程
2x2-9x+8=0 吗?
ax2 bx c 0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4. 2
x2
9
x
9
2
9
2
4.
2 4 4
x 9 2 17 . 4 16
x 9 17 . 44
x 9 17 . 44
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
解 : x2 b x c 0. aa
x2 b x c . aa
x2 b
x
b
2
b
2
c.
a 2a 2a a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当b2 4ac 0时,
x b
b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
4.2一元二次方程的解法(3)
第四章 一元二次方程4.2 一元二次方程的解法（3）【学习目标】:1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
【重点和难点】：重点：掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式【知识回顾】1、用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0；2、方程x 2-25x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？【预习指导】如何解方程2x 2-5x+2=0？点拨：对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解【典型例题】例1、解方程：01832=++x x例2、-01432=++x x例3、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与抛出后小球运动的时间t （s ）有如下关系：h=24t-52t 。
经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m ？【知识梳理】用配方法解一元二次方程的步骤是：【课堂练习】1、填空：(1)x 2-31x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2.（3）a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )22、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）A.2x 2-4x+4=3+4B. 2x 2-4x+4=-3+4C.x 2-2x+1=23+1D. x 2-2x+1=-23+1 5、用配方法解下列方程：（1）04722=--t t ； （2）x x 6132=-（3）x x 10152=+ （4） 3y 2-y-2=06、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.【课外练习】解下列方程：（1）22x -8x+1=0； （2）212x +2x-1=0；（3）22x +3x=0； （4）32x -1=6x（编写人：赵雯君）。
《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
一元二次方程的解法ppt课件
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
《不等式》等式与不等式-PPT标准课件(第3课时一元二次不等式的解法)
第二章 等式与不等式
不等式（xx－＋15）2≥2 的解是(
)
A.－3，12
B.－12，3
C.12，1∪(1，3]
D.－12，1∪(1，3]
解析：选
D.
x＋5 （x－1）2
≥
2⇔
x＋5≥2（x－1）2， x－1≠0
⇔－12≤x≤3，所以 x≠1，
x∈－12，1∪(1，3]．
栏目 导引
第二章 等式与不等式
栏目 导引
第二章 等式与不等式
法二：不等式－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，因为 Δ＝ (－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程 2x2－x－3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝32，又二次函数 y＝2x2－x－3 的图像开口向上， 所以不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是xx<－1或x>32，故选 D.
第二章 等式与不等式
)
A.{x|x<－1}
3 B.xx>2
C.x－1<x<32
D.xx<－1或x>32
解析：选 D.法一：因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋
1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，
所以 x>32或 x<－1，
所以不等式的解集为x|x>32或x<－1.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
(2)原不等式可化为23x－－41x－1>0，即34xx－－23<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0. 所以23<x<34. 所以原不等式的解集为x|23<x<34.
1.32一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(提高)
1.32一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识（提高）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a-+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=． 【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=． ∵ m ≠0，解得x ＝1． (2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴24|6|2()n m m x m n -±==+， ∴ 11x =，25n mx m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠； 【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴3(1),2(1)m m x m -±+==-∴ 122, 1.1x x m==-2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ； 【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=， ∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13， ∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴m ==212±==± ∴11m =21m =【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-=∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴32m mx ±==∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)2＝0【答案与解析】设x+1＝m ，2-x ＝n ，则原方程可变形为： 2220m mn n -+=．∴ (m-n)2＝0，∴ m ＝n ，即x+1＝2-x ．∴ 1212x x ==． 【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m ，将(2-x)看作n ，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解． 举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】 将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解． 即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0． ∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0． ∴ x 1＝-2 x 2＝3．4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值． 【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0． ∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去) ∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
解一元二次方程PPT课件
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x 3 2 3x
2
2
解： 原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
一元二次方程的解法(三)公式法(课件)数学九年级上册(人教版)
8
8
4
8
2
【分析】∵一元二次方程ax2-x+2=0有实数根，
∴b 4ac -1 -4a 2 1 8a 0 ，且a≠0，
1
解得 a ≤ 且a≠0．
8
2
2
例3.已知关于x的一元二次方程 kx 2 (k 3) x 3 0(k 0)．求证：
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0
(2)x2-
1
3x- =0
4
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
b b 2 4ac 1 25 1 5
x
2a
2 1
2
∴
，得 k 且 k 1
4
Δ 1 4(k 1) 0
解得
且 k 1．
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或
两个相等实根两种情况.
已知一元二次方程 ax x 2 0 有实根，a的取值范围是（ B）
1
1
1
1
a≤ 且a 0
A．a ≤
B．
C．a
将x=2代入 x 2 kx k 1 0 有
4-2k+k-1=0
解得k=3
2
则方程为 x 3x 2 0
解得x1=2，x2=1
等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．
2
例4.已知关于x的一元二次方程 x kx k 1 0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
九年级数学《一元二次方程的解法(3)-公式法》课件
第4课时 一元二次方程的解法(3)—— 公式法
1.一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当 b2－4ac≥0 时,它的求根
－b± b2－4ac
公式是 x＝
2a
.
2.用公式法解一元二次方程2x2＋3x－1＝0时化方程为一般式
当中的a,b,c依次为( B )
A.2,－3,1
B.2,3,－1
C.－2,－3,－1
D.－2,3,1
3.一元二次方程
x2－x－1＝0
的根是
x＝1±
2
5
.
4.若关于x的一元二次方程2x2－3x＋c＝0的一个根是1,则c的 值是 1 .
5.用公式法解下列方程:
(1)x2－3x－2＝0;
(2)3x2＋5x－2＝0.
(1)x＝3± 17
2
(2)x1＝13,x2＝－2
6
即
x1＝5＋6
13
,x2＝
5－ 6
13,
∴3x2－5x＋1＝3 x－ 5＋ 13 x－ 5－ 13
6
6
＝3 x－ 13＋5 x＋ 13－5 .
6
6
10.一元二次方程 x2＋2 2x－6＝0 的根是 x1＝ 2,x2＝－3 2 .
11.解方程:(x＋1)(x＋3)＝2.
x1＝－2＋ 3,x2＝－2－ 3
12.解方程 x2＝－3x＋2 时,有一位同学解答如下: 解:∵a＝1,b＝3,c＝2,b2－4ac＝32－4×1×2＝1,
－b±
∴x＝
b2－4ac 2a
解:当 x－1≥0,即 x≥1 时,原方程可化为 x2－(x－1)－2＝0,即 x2－
x－1＝0,解得 x＝1± 5.
用因式分解法求解一元二次方程ppt课件
4.(拓展) 二次三项式型：x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b).
知1－练
例 1 用因式分解法解下列方程：
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解
的方法.
知1－练
(1)(x－5)(x－6)=x－5；
解：移项，得(x－5)(x－ 6)－(x－5)=0.
因式分解，得(x－5)(x－7)=0.
∴ x－5 =0 或x－7=0. ∴ x1=5，x2=7.
知1－练
(2)(2x＋1)2=(3－x)2；
解：原方程可化为(2x＋1)2－(3－x)2=0.
因式分解，得(2x＋1＋3－x)(2x＋1－3＋x)= 0，
即(x＋4)(3x－2)=0.
∴ x＋4 = 0 或3x－2=0. ∴ x1=－4，x2=
方程的方法称为因式分解法.
体现了转化思想.
知1－讲
2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据
若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，
即若ab= 0，则a=0 或b=0.
达到降次的目的.
知1－讲
3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想
通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化
为两个一元一次方程.
知2－练
(3)x2－ x－1=0.
解：这里 a＝1，b＝－
2，c＝－1.
∵Δ＝b2－4ac＝2＋4＝6>0，
∴方程有两个不相等的实数根，x＝
即 x1＝
2＋
2
6
，x2＝
2－
2
6
.
2± 6
，
2
用因式分解法解
一元二次方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
复习回顾
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的 区别与联系.
开平方法：形如x2=b（b≥0）;（x－a）2=b（b≥0移）项。
配方法:①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c. 配方
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
x2+bx+
(
b 2
)2
= -c + ( b )2
2020/12/10
3
解方程 5x2=10x+1
遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方 程的两边都除以二次项系数，转化为我们能用配 方法解二次项系数是1的一元二次方法。
2020/12/10
4
例3 用配方法解下列一元二次方程 (1) 2x2+4x-3=0 (2) 3x2-8x-3=0
2020/12/10
5
用配方法解一元二次方程的基本步骤：
ax2+bx+c=0
1.方程两边同时除以a,得 x2+
b a
x+
c a
=0
2.移项，得 x2+
b a
x= -
c a
3.方程两边都加上(
b 2a
)2 ，得
x2+
b a
x+(2ba
)2=
b2-4ac 4a2
4.用开平方法，解得答案。
2020/12/10
6
1.用配方法解下列方程:
(1) 2x2+6x+3=0 (2) 3z2-4z-7=0
(2) (3) 2x2-7x+5=0 (4)1 2- x52= x
3
3
2.用配方法解下列方程:
(1)0.2x2+0.4x=1
(2)
3 4
x2
-
1 2
x
-
1 8
=0
(3)
n(n-1) 2
-
3n=0Leabharlann 2020/12/107
拓展提高
用配方法说明：不论 k 取何实数,多项式
k24k的值5必定大于0.
解： k24k5
k24k4 1
(k2)21
(k2)20 (k2)210
k 即 不论 取何实数，多项式 k24k5
的值必定大于0
2020/12/10
8
例7：已知4x2+8(n+1)x+16n是一个
关于x的完全平方式，求常数n的值。
P35 作业题5
2020/12/10
9
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
10
2
即： (x+
b 2
)2=
b2-4c 4
开方
求解
③当 b2-4c>0 时，就可以通过开平方法求出
方程的根.
2020/12/10
2
配方法(a=1)：
1、移项
解下列一元二次方程: 2、配方
1.x2- 6x=- 8
3、开方 4、求解
2.x2- 8x- 4=0
3.- x2+5x+6=0
4.x2=10x - 30