《 等腰三角形》 教案

《等腰三角形》教案1教学目标知识与技能：1、了解等腰三角形的概念；2、探索并掌握等腰三角形的性质；过程与方法：1、经历动手制作出等腰三角形的过程，从对称轴的角度去体会等腰三角形的特点；2、通过实践、观察、证明等腰三角形性质的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理能力；3、通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；情感态度与价值观：1、通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形的性质的过程中培养学生认真思考的习惯.2、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲；教学重难点教学重点：1、等腰三角形的概念及性质．2、等腰三角形性质的应用．教学难点：1、等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．2、等腰三角形性质的证明.教学过程第一课时第一环节：回顾旧知导出公理活动内容：提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.(推论)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质.活动目的：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备.活动效果与注意事项：由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程.具体证明如下：已知：如图，∠A =∠D ，∠B =∠E ，BC =EF . 求证：△ABC ≌△DEF .FEDCBA证明：∵∠A =∠D ，∠B =∠E (已知)，又∠A +∠B +∠C =180°，∠D +∠E +∠F =180°(三角形内角和等于180°)， ∴∠C =180°-(∠A +∠B )， ∠F =180°-(∠D +∠E )， ∴∠C =∠F (等量代换). 又BC =EF (已知)， ∴△ABC ≌△DEF (ASA ). 第二环节：折纸活动 探索新知活动内容：在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式.活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一→→BBB般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理.当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”.第三环节：明晰结论和证明过程活动内容：在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明，其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程.(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合活动目的：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2，则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习.《等腰三角形》教案2第一环节：提出问题，引入新课活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力.第二环节：自主探究活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性.活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明.如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 例1 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 、CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD =CE ．4231E D CBA证法1：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB (等边对等角)． ∵∠1=12 ∠ABC ，∠2=12 ∠ABC ， ∴∠1=∠2．在△BDC 和△CEB 中，∠ACB =∠ABC ，BC =CB ，∠1=∠2． ∴△BDC ≌△CEB (ASA )．∴BD =CE (全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠ACB ． 又∵∠3=∠4． 在△ABC 和△ACE 中， ∠3=∠4，AB =AC ，∠A =∠A ． ∴△ABD ≌△ACE (ASA )．∴BD =CE (全等三角形的对应边相等)．在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导.第三环节：经典例题 变式练习活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图1—4的等腰三角形ABC 中，(1)如果∠ABD =13 ∠ABC ，∠ACE =14 ∠ACB 呢？由此，你能得到一个什么结论？ (2)如果AD =12 AC ，AE =12 AB ，那么BD =CE 吗？如果AD =13 AC ，AE =13 AB 呢？由此你得到什么结论？活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性.活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢？从而引出“议一议”.由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”.在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法. 下面是学生的课堂表现：[生]在等腰三角形ABC 中，如果∠ABD =13 ∠ABC ，那么BD =CE ．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB (等边对等角)．又∵∠ABD =13 ∠ABC ， ∴∠ACE =13 ∠ACB ， ∴∠ABD =∠ACE ． 在△BDC 和△CEB 中，∵∠ABD =∠ACE ，BC =CB ，∠ACB =∠ABC ， ∴△BDC ≌△CEB (ASA )．∴BD =CE (全等三角形的对应边相等)[生]如果在△ABC 中，AB =AC ， ∠ABD =14 ∠ABC ，∠ACE =∠14 ∠ACB ，那么BD =CE 也是成立的．因为AB =AC ，所以∠ABC =∠ACB ，利用等量代换便可得到∠ABD =∠ACE ，△BDC 与△CEB 全等的条件就能满足，也就能得到BD =CE ．由此我们可以发现：在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠1n ∠ABC ，∠ACE =1n ∠ACB ，就一定有BD =CE 成立． [生]也可以更直接地说：在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACE ，那么BD =CE ． [师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言．[生]在△ABC 中，AB =AC ，如果AD =12 AC ，AE =12 AB ，那么BD =CE ；如果AD =13 AC ，A E =13 AB ，那么BD =CE ．由此我们得到了一个更一般的结论：在△ABC 中，AB =AC ，AD =1n A C ，AE =1n AB ，那么BD =CE ．证明如下：∵AB =AC ．又∵AD =1n AC ，AE =1n AB ， ∴AD =AE ．在△ADB 和△AEC 中， AB =AC ，∠A =∠A ，AD =AE ， ∴△ADB ≌△AEC (SAS )．∴BD =CE (全等三角形的对应边相等)．[生]一般结论也可更简洁地叙述为：在△ABC 中，如果AB =AC ，AD =AE ，那么BD =CE ． [师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：如图，ΔABC 中，AB =BC =AC ． 求证：∠A =∠B =∠C =60°.证明：在ΔABC 中，∵AB =AC ，∴∠B =∠C (等边对等角)． 同理：∠C =∠A ，∴∠A =∠B =∠C (等量代换)．又∵∠A +∠B +∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∴∠A =∠B =∠C ＝60°．活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程：第五环节： 随堂练习 及时巩固活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习.C1.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式.《等腰三角形》教案3第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课.活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形.这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？下面是实际教学中的部分师生活动实况：[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．)[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费！[师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可在小组内交流自己的看法．(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间)第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：.活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形.对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗？从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到．第三环节：实际操作提出问题活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形.拿出三角板，做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？ 在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．活动目的：让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．活动注意事项与效果：学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD =12 AB ，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形.具体的说明过程可以如下：方法1：因为△ABD ≌ACD ，所以AB =AC ．又因为Rt △ABD 中，∠BAD =60°，所以∠AB D =60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．方法2：图(1)中，∠B =∠C =60，∠BAC =∠BAD +∠CAD =30°+30°=60°，所以∠B =∠C =∠BAC =60°，即△ABC 是等边三角形．如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论.然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°． 求证：BC =12 AB ．分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ． 证明：在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°∠B =60°. 延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD (如图所示)． ∵∠ACB =90°∴∠ACB =90°∵AC =AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS )． ∴AB =AD (全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．D(2)(1)BCACBAD∴BC =12 BD =12 AB ．第四环节：变式训练 巩固新知活动1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗？如果是，请你证明它．在师生分析的基础上，给出证明：已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12 AB ． 求证：∠BAC =30°证明：延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD . ∵∠ACB =90°，∴∠ACD =90°． 又∵AC =AC ．∴△ACB ≌△ACD (SAS )． ∴AB =AD ．∵CD =BC ，∴BC =12 BD ． 又∵BC =12 AB ，∴AB =BD ． ∴AB =AD =BD ，即△ABD 是等边三角形．∴∠B =60°．在Rt △ABC 中，∠BAC =30°．注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？活动2 ：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题. 例题3 等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高CD 的长. 分析：观察图形可以发现在Rt △ADC 中，AC =2a 而∠DAC 是△ABC 的一个外角，而∠DAC =×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD ．解：∵∠ABC =∠ACB =15°∴∠DAC =∠ABC +∠ACB =15°+15°=30°∴CD =12 AC =12 ×2a = a (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．CBAD例4已知：如课本第108页图，AB=DC，BD=CA.求证：△AED是等腰三角形.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对边的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？小明是这样想的：如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.小明在证明时，先假设命题的结论成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时，它常常会有出人意料的作用.。