傅里叶变换原理

F( )是变换后的函数， 像函数； K (t, )是一个二元函数， 积分变换核. 2
2、积分变换的产生
数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为 比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得 到原问题的解.
原问题
变换
较简单问题
直 接 求 解 困 难 原问题的解
逆变换
求 解
变换后问题的解
9
2、傅立叶积分
任何一个非周期函数 f (t), 都可看成是由某个周
期函数 fT (t) 当T→+∞时转化而来的.
lim
T
fT (t)
f (t ).
由 公 式( 2)、( 3)， 得Biblioteka Baidu
1
fT (t) T
n
T 2 T 2
fT ( )e in d e int ,
(1) f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;
(2) f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积,
即

|
f (t ) | dt收敛.

则（5）在 f(t) 的连续点成立.
而在f (t )的间断点t0处, 应以
上述定理称为 傅氏积分定理.
f (t0 0) f (t0 0) 来代替.
a
2 Ee i t dt

a
2
a
E e i t 2 2E sin a .
i
a

2
2
26
频谱为 | F () | 2E | sin a | .

2
请画出其频谱图.
以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中 的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详 细介绍！
27
本讲小结：
简称傅氏变换,记为 F() F [ f (t)];
称(2)式，即f (t) 1


F
(
)e
i
t
d为
傅
立叶逆
变
换
2
简称傅氏逆变换,记为 f (t) F 1[ f (t)].
(1)式和(2)式，定义了一个变换对F()和 f (t).
也称F()为 f (t)的像函数；f (t)为F()的原像函数.
的重要工具.
4
第八章 傅立叶变换
主要内容：
1、 傅立叶积分公式 2、傅立叶变换及其性质 3、卷积
5
§1 傅立叶级数与积分
1、傅立叶级数的指数形式
在《高等数学》中有下列定理：
定理1 设fT (t )是以T为周期的实函数，且在 [ T , T ]上满足狄氏条件，即在一个周期上满足： 22 （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有
第二部分 积分变换
傅立叶积分变换 （傅氏变换）
拉普拉斯积分变换 （拉氏变换）
1
积分变换简介
1、何为积分变换？
所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一 个函数变成另一个函数的一种变换.
这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：
b
记为
a k(t, ) f (t)dt F ( ).
这里f (t)是要变换的函数， 原像函数；
cne in t ,
n
1
f (t)


F
(
)e
in
t
d
,
2
以及cn和F ()的表达式
cn

1 T
T
2 T
fT (t )eint d t ,
2
F () f (t )eitd t .
23
由此引出以下术语：
在频谱分析中, 傅氏变换F()又称为 f(t) 的频 谱函数, 而它的模|F()|称为f(t)的振幅频谱(亦简 称为频谱). 由于是连续变化的, 我们称之为连
还可以将 f(t) 和 F()用箭头连接: f(t) F() .
17
例1
求函数 f (t)
0, e t ,
t 0的傅氏变换及 t0
其积分表达式, 其中 0.
这个f (t)叫做指数衰减函数, 是工程中常碰到.
f (t)
o
t
18
解:根据定义, 有
F () f (t )eit d t e t eit d t
例如断电以后的突然来电等; 在力学中, 机械系统受冲击力
作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的
单位脉冲函数.物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工
程技术中被广泛地采用.
29
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
t 0, t 0, t 0.
例2 求 f (t ) Ae t2 的傅氏变换,
其中A, 0.
---钟形脉冲函数.
解:根据定义, 有
F () f (t )eit d t Ae t2 eit d t


21
F ( ) Ae t 2 e i t d t
2
(n 1,2, ).
在间断点t0 处，(1)式右端级数收敛于 1 2 [ fT (t0 0) fT (t0 0)].
7
注意： (也有的课本上把“i ”写为“j ”)
cos ei ei , sin i ei ei .
2
2
于是
fT (t)

a0 2
续频谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这
个时间函数的频谱.
显然，振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数, 即
| F () || F () | .
这是因为F () f (t ) ei t d t


f (t )costd t i f (t )sintd t,

0
e( i)t d t 0


1
i
i 2 2 .
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
19
根据积分表达式的定义,有
f (t ) 1


F
(
)e
i
t
d
2
1
2
i 2 2
e i t d
注意到 eit cost i sint.
f (t ) 1
2
i 2 2
(cos t

i
sint )d
1

0

cos t 2
sint 2
d.
20
因此
0,
0

cos t 2
sint 2
d



/
2,
e t ,

an
i bn 2
,n
1,2,3,
,

则
fT (t )
cne in t .
(2)
n
（2）式称为傅立叶级数的复指数形式，具有明显 的物理意义.
容易证明cn可以合写成一个式子
1
cn T
T
2 T
fT (t )e int dt
2
(n 0,1,2, ).
(3)
可知
f (t ) lim 1
T T
n
T 2 T 2
fT
(
)e

i
n
d

e
in
t
.
10
令 n n, n n n1 , 则
2 , 或T .
T
n
2 2 2
2
TTT
T
{
{ { {
O 1 2 3


24
所以
| F () | f (t )costdt 2 f (t )sintdt 2 ,



显然有| F () || F () | .
F()的辐角arg F()称为f (t)相角频谱.
显然

f (t)sint d t

f ( )sin(t )d


分别是的偶函数和奇函数.
所以由(7),得到
f (t) 1

[ f ( )cos(t )d ]d.
0

于是(6)成立.
15
§2 傅立叶变换
1、傅立叶变换的概念
上一节介绍了：当 f(t) 满足一定条件（？）时， 在 f(t) 的连续点处有：
2

Ae 4
e d t

t i 2
2



2
Ae 4
.

这里利用了以下 结果：
e x2 dx


( 0).
22
2、傅立叶变换的物理意义
如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分
表达式

fT (t )
6
fT (t )
a0 2

(an cos nt bn sin nt ).
n1
(1)
其中
2
a0 T
T
2 T
fT (t)d t,
2
2 ,
T
2
an T
T
2 T
fT (t ) cos nt dt
(n 1,2, ),
2
2
bn T
T
2 T
fT (t ) sin nt dt
n-1n

于是
1
f (t ) lim T T
n
T 2 T 2
fT
(
)e
in
d

e
i n t
1
lim
2 n 0
n
T 2 T 2
fT ( )e in
d


e
in
t

n
11
2
13
可以证明，当f (t)满足傅氏积分定理条件时， 公式(5)可以写为三角形式，即
1

[ f ( ) cos(t )d ]d
0

f (t ), 在f (t )连续点处，



f (t 0) 2
f (t 0)，其它.
(6)
事实上,根据欧拉公式,有
f (t) 1

[
f ( )ei d ]eit d.
2
从上式出发，设
F ( ) f (t )e i t dt ,
则
f (t ) 1


F
(
)e
i
t
d
.
2
(1)
(2)
16
称(1)式，即F() f (t)eitdt为f (t)的傅立叶变换
arg F () arct an

,
f (t)cost d t
相角频谱argF()是的奇函数. 25
例3 求单个矩形脉冲函数 f (t ) 0E,,||tt||a2a2,,
的频谱图.
解： F ()
f (t )e i t dt
1. 掌握傅氏积分定理的条件和结论； 2. 掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念； 3. 了解傅氏变换的物理意义.
28
§3 单位脉冲函数
1、 单位脉动函数
(t)

(t)

1

,
0 t ,
1/
0, 其它.
O
t
2、 单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 有许多物理现象具有脉冲性质.
3
如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、 商运算化为较简单的和、差运算；
再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的 坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的 思路都属于这种情况.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析
令
T (n )
1
2

T 2 T 2
fT
(
)e

in
d

e
i n t
.

故
f
(t)

lim
n 0
T
n
(n
)n .
(4)
注意到当n 0,即T 时,
T (n ) (n )
1
2


f
(
)e in
f (t ) 1

[
f ( )e i(t )d ]d
2
1

[ f ( ) cos(t )d
2
(7)

i
f ( ) sin(t
)d ]d.
14
因为
f ( )cos(t )d和

an
n1
e i n t
e i n t 2
ibn
e i n t
e i n t 2


a0 2

an n1
ibn 2
e i n t

an
ibn 2
e

i
n
t

.
8
令c0

a0 2
,
cn

an
i bn 2
, cn
d

e
in
t
.
从而按照积分的定义，（4）可以写为：

f (t ) ()d,
或者 12
f (t) 1

[
f ( )ei d ]eit d .
2
(5)
公式（5）称为函数 f(t) 的傅氏积分公式.
定理2 若 f(t) 在(-, +)上满足条件: