【高考精品复习】第九篇 解析几何 第7讲 抛物线

第7讲 抛物线

【高考会这样考】

1．考查抛物线定义、标准方程． 2．考查抛物线的焦点弦问题．

3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等． 【复习指导】

熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用．

基础梳理

1．抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质

标准 方程

y 2＝2px (p >0)

y 2＝－2px (p >0)

x 2＝2py (p >0)

x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称 轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－p 2，0 F ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，－p 2 离心 率 e ＝1

准线 方程

x ＝－p

2

x ＝p 2

y ＝－p

2

y ＝p 2

范围

x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半 径

|PF |＝ x 0＋p 2

|PF |＝ －x 0＋p 2

|PF |＝ y 0＋p 2

|PF |＝ －y 0＋p 2

一个结论

焦半径：抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫

p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2.

两种方法

(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程．

(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴的，设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴的，设为x 2＝by (b ≠0)．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析 由2p ＝8得p ＝4，即焦点到准线的距离为4. 答案 C

2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是

( )．

A ．x 2＝－12y

B ．x 2＝12y

C ．y 2＝－12x

D ．y 2＝12x

解析 p

2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y . 答案 A

3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是

( )．

A ．y 2＝－8x

B ．y 2＝－4x

C ．y 2＝8x

D ．y 2＝4x

解析 由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F (2,0)；②该抛物线的焦准距p ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝8x . 答案 C

4．(2012·西安月考)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )．

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12

解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标x P ＝4，由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF |＝x P ＋p

2＝x P ＋2＝4＋2＝6. 答案 B

5．(2012·长春模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．

解析 ∵抛物线方程为y 2＝8x ，∴2p ＝8，即p ＝4.∴焦点坐标为(2,0)． 答案 (2,0)

考向一 抛物线的定义及其应用

【例1】►(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74

[审题视点] 由抛物线定义将|AF |＋|BF |转化为线段AB 的中点到准线的距离即可． 解析

设抛物线的准线为l ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则AB 的中点到y 轴的距离为12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54. 答案 C

涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的

定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．

【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )． A.172 B ．3 C. 5 D.92

解析 由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然，当P 、F 、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于 ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0－122＋(2－0)2＝

172. 答案 A

考向二 抛物线的标准方程及性质

【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．

(2)(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．

[审题视点] (1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论． (2)抓住F A 的中点B 在抛物线上，求出p . 解析 (1)由于点P 在第三象限．

①当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 把点P (－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p ×(－2)， 解得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .

②当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p ×(－4)． 解得p ＝1

2.∴抛物线方程为x 2＝－y . 综上可知抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .

(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则线段F A 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

p 4，1，代入

抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

24，1，故点B 到该抛