圆的极坐标方程

圆的极坐标方程

1.曲线的极坐标方程

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程.

2.圆的极坐标方程

(1)特殊情形如下表

(2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r,

= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0.

o

1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（）

A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 •过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线

C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ・以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选

D.由极

坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆.

2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ・ p=2sin8

解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在

（1 ,

0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2

所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0,

即 x 2 + y^=2

2x+ 2y ・

2 2 2 2 ］

_

化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ・ 4 4 4

4.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ・

解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗・ 答案：u

圆的极坐标方程

3TT

求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点

是否在这个圆上.

［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0,

A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA.

3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（）

-rr-i

・椭

A.双曲线 B 闾

C.抛物线

解析：选D.p

TT

cos K

4 —0

IT =cos cos 0+sin A

D ・圆

K

4 sin 0 = 2

2

COS 0 + 2

2

sin 0,

5TT

—2, sin 6

在RtA OAM 中，| 0M| =| OA|cos zAOM,即p= 2r cos 2 —0

所以p=—4sin8,经验证，点0 （0, 0） , A4,务兀的坐标满足上式. 所以满足条件的圆的极

坐标方程为p = —4sin8.

(1)

因为sin肓

O 2，

._ 5TT

所以p = —4sin = — 4sin — 2,

5TT

所以点一2, sin V在此圆上.

求曲线的极坐标方程的五个步骤

（1）建立适当的极坐标系（本题无需建）；（2）在曲线上任取一点M （p, 0） ; （3）根据曲线上的点所满足的条件写出

等式；（4）用极坐标（p, 0）表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；

（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程.（一般只要对特殊点加以检验即可）・

［注意］求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.

求圆心在C 2, 4,半径为1的圆的极坐标方程.

解：设圆C上任意一点的极坐标为M （p, 0）,如图，在厶OCM中，由余弦

定理，得

222

| 0M| 2 + | 0C| 2 —2|OM|・|OC|・COSZ COM=|CM|2,

即p2— 2 2pcos 0— 4 +1 = 0.

当0, C, M三点共线时，

TT

圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化:

2 2 2 ⑴ y2=4x；(2) x2+y2 —2x—1= 0；⑶

p 2 — cos 0 ［解］⑴ 将x= pcos 0, y= psin 0 代入y2= 4x, 2得

(psin 0］ =4pcos 0.

2化简，彳專p sin 20= 4cos 0.

(2)将x= p cos 0, y=psin 0 代入y +x — 2x —1 = 0,

22

得(psin 0) 2+(pcos 0) 2 —2pcos 0 — 1=0,

化简，得p — 2pcos 0 — 1= 0. (3)SM1P2_C0S

所以2p— pcos 0 = 1.

所以2 x2 + y2— x= 1.化简，得3x2 + 4y2 —2x— 1=0.

在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题

(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.

(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0< 0<2u范围内求值.

(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简.

(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用p去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.

1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程.

(1) y= 3x； (2) x2— y2= 1.

解：(1)将x= pcos 0, y=psin 0 代入y = 3x 得psin 8= 3pcos 8,从而

(2)将火=p cos 0, y=psin 0 代入x2—y2 = 1, 得p2cos20 —p2sin 20= 1,

2・把下列极坐标方程化为直角坐标方程.

2

⑴ p2cos 2 8= 1；

TT

(2) p= 2cos 0—4・

2解：(1)因为p2cos2 8=l,所以p2cos20 —p2sin 20 =1.所以化为直角坐标方程为x2—y2=

1.