卷积的性质

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函数的卷积及其公式的应用

函数卷积及其应用摘要卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个〔或多个〕函数之积进展变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。

本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。

关键词卷积卷积公式性质应用1引言卷积是在信号与线性系统的根底上或背景中出现的。

狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了"冲击函数〞这一符号，而卷积的诞生正是为了研究"冲击函数〞效劳的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。

卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。

本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。

2卷积的定义和性质 2.1卷积的定义〔根本内涵〕设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着*的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f *(或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。

当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果. 〔2〕如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.〔3〕由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数. 2.2卷积的性质性质〔交换律〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质〔分配律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-性质〔结合律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)( =()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *性质()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质〔微分性〕设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即意义卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果一样. 性质〔积分性〕设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果一样. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质〔微积分等效性〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解由卷积定义知所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰1330)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e e tt3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它说明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21 =()()τττωd dt e t f f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它说明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 于是例3.1 求积分方程的解，其中()()t f t h ,为函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F = 由卷积定义知现对积分方程两端取Fourier 变换可得解得所以原方程的解为例3.2 求常系数非齐次线性微分方程的解，其中()t f 为函数. 解设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得解得所以原方程的解由卷积定理得=()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212. 例3.3求微分积分方程的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数. 解设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解4.卷积公式及其应用与推广 4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。

第二章 (4)卷积积分的性质

f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广

卷积的数学原理及其应用

卷积的数学原理及其应用一、卷积的数学原理卷积是一种重要的数学运算，在信号处理、图像处理和机器学习等领域有着广泛的应用。

卷积的数学原理基于线性时不变系统的理论，它可以将输入信号和系统的脉冲响应进行数学运算，得到输出信号。

卷积的数学定义如下：\[ (f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau \]其中，\(f(t)\)和\(g(t)\)是两个输入信号，\(\)表示卷积运算符，\((f g)(t)\)表示卷积结果。

卷积运算可以理解为将一个函数在时间或空间上翻转，与另一个函数进行叠加求积分。

卷积的性质包括交换律、结合律和分配律。

其中，交换律表示卷积运算的输入函数可以交换位置，即\(f g = g f\)；结合律表示多个函数进行卷积运算的顺序可以改变，即\((f g)h = f(g h)\)；分配律表示卷积运算对加法和乘法具有分配性质，即\((f+g)h = f h + g h\)和\(a(f+g) = a f + a g\)。

二、卷积的应用卷积在信号处理、图像处理和机器学习等领域有着广泛的应用。

以下是卷积的几个常见应用：1. 信号滤波卷积在信号处理中常用于滤波操作。

通过选择合适的滤波器函数进行卷积运算，可以实现不同频率的信号分离和降噪。

常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器等。

2. 图像处理卷积在图像处理中可以用于图像增强、边缘检测和图像分割等任务。

通过选择不同的卷积核函数进行卷积运算，可以实现对图像的特征提取和图像处理操作。

3. 特征提取卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是一种深度学习模型，广泛应用于计算机视觉领域。

CNN通过卷积操作提取输入图像的特征，并通过后续的池化、激活函数和全连接层等操作实现对输入数据的分类或回归预测。

4. 语音识别卷积神经网络在语音识别领域也有着重要的应用。

信号与系统卷积积分的性质

P47 2-8(1)(3)(5) ， 2-10(2)(4) P48 2-11(1)(3)(4)
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0

t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16

t

y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d

t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )

《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算

将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系，因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的，对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1

卷积的性质

卷积的性质卷积的本质，是一个全局变量（维数大于等于2）投影到一个全局变量上的运算。

在这个性质里，只有当维数超过两时，才能构成全局变量；当维数小于两时，则是用另外的变量作为全局变量的投影。

但必须注意，维数必须是整数或实数。

在矩阵理论中，卷积就是将矩阵中的某个元素乘以另一个元素后所得结果的乘积。

我们在计算一些对象间的关系时常需用到矩阵的运算。

所谓运算，就是把矩阵变换成行向量、列向量或线性表组成的新的行列式和列向量，再根据原来矩阵的性质对其进行操作。

而卷积是其中最重要的操作之一。

2、一个矩阵只要可逆就有与初始矩阵等同的特征值，它也称为可逆矩阵。

反过来，任何不可逆矩阵都不可能是一个可逆矩阵。

3、所有可逆矩阵都有相同的行列式，因此所有可逆矩阵都可表示成一个行向量加一个列向量。

每个可逆矩阵都有唯一确定的逆矩阵。

如果n 个矩阵A， B， C……满足Ax+By=0，则称A， B， C……是可逆矩阵。

3、所有可逆矩阵都有相同的行列式，因此所有可逆矩阵都可表示成一个行向量加一个列向量。

每个可逆矩阵都有唯一确定的逆矩阵。

如果n个矩阵A， B， C……满足Ax+By=0，则称A， B， C……是可逆矩阵。

4、可逆矩阵都是实对称矩阵。

设a， b是正交矩阵且存在非零常数c，使得Ax=cBc=b。

那么称a， b是正交矩阵，简称正交。

所有正交矩阵都是可逆矩阵。

实际上，正交矩阵总是可逆矩阵。

若A是正交矩阵， B是可逆矩阵，则称AB是正交阵。

显然，正交矩阵A=B。

5、可逆矩阵不仅可以按行列式定义，还可以按行向量定义：若A是可逆矩阵，且存在正交基， B是可逆矩阵，且存在对角阵，即A=BC，则称B为A的转置矩阵，记作B=A。

6、可逆矩阵与正交矩阵的关系类似于正交矩阵与对角矩阵的关系。

7、不可逆矩阵的可表示成一个行向量，并且可由此推出它的逆矩阵。

8、从左边看，若A=B，B=A，则称A为可逆矩阵的左逆阵， B为可逆矩阵的右逆阵，记作Acirc B。

卷积公式详解(一)

卷积公式详解(一)卷积公式详解什么是卷积?卷积是一种数学运算符号，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。

它用于描述两个函数之间的关系，通常用符号“*”表示。

卷积的定义给定两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的卷积定义为：∞(τ)g(x−τ)dτ(f∗g)(x)=∫f−∞或者对于离散的情况，定义为：∞(m)g(n−m)(f∗g)(n)=∑fm=−∞其中，−∞到+∞或者−∞到+∞的积分或者求和表示函数的有效范围。

卷积的意义卷积运算在信号处理和图像处理中具有重要的意义。

它可以用于信号的平滑、信号的去噪、边缘检测等。

在深度学习中，卷积神经网络（CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和分类。

卷积公式的解释卷积公式 (f ∗g )(n )=∑f ∞m=−∞(m )g (n −m ) 表示函数 f 和 g 的有效范围内，对两个函数进行对位相乘后的求和。

首先，函数 f(m) 和 g(n-m) 表示在不同位置的函数 g 与函数 f 的对应值，对这些对应值进行相乘，然后将乘积求和得到最终的结果。

求和的范围是在整个函数 f(m) 和 g(n-m) 的有效范围内，即对所有的 m 求和。

卷积的性质卷积具有一些重要的性质，如交换律、结合律和分配律等。

这些性质使得卷积在信号处理和深度学习中非常有用。

1.交换律：f ∗g =g ∗f 2.结合律：(f ∗g )∗ℎ=f ∗(g ∗ℎ) 3.分配律：f ∗(g +ℎ)=f ∗g +f ∗ℎ卷积的应用卷积在很多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：• 信号平滑：通过卷积可以对信号进行平滑处理，去除噪声和不必要的波动。

• 信号滤波：卷积可以对信号进行滤波，如低通滤波、高通滤波等。

•图像处理：卷积在图像处理中被广泛应用，如边缘检测、图像增强等。

•深度学习：卷积神经网络（CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和分类。

总结通过本文的解释，我们了解了卷积的定义、意义和公式。

两个门函数卷积的规律

两个门函数卷积的规律两个门函数卷积的规律是利用卷积运算的性质，即卷积的运算可以看作是两个函数的相乘再进行平移求和的过程。

假设有两个门函数A(t)和B(t)，它们的定义如下：A(t) = | 1 (0 <= t < 1)| 0 (其他)B(t) = | 1 (-0.5 <= t < 0.5)| 0 (其他)则它们的卷积函数C(t)可以表示为：C(t) = ∫A(u)B(t-u)du由于A(t)和B(t)都是门函数，所以它们在指定的范围内值为1，其他范围内值为0：A(u) = | 1 (0 <= u < 1)| 0 (其他)B(t-u) = | 1 (-0.5 <= t-u < 0.5)| 0 (其他)将A(u)和B(t-u)代入卷积函数C(t)中，我们可以将积分范围分成三个部分来计算C(t)的值：当0 <= t < 0.5 时，有A(u)B(t-u) = 1，所以在该范围内积分结果为：∫A(u)B(t-u)du = ∫1 du = u (在0到1之间求积分)= t (因为u=t)当0.5 <= t < 1.5 时，A(u)B(t-u) = 1，所以在该范围内积分结果为：∫A(u)B(t-u)du = ∫1 du = u (在0到1之间求积分)= 1 (因为u=1)当t >= 1.5 时，A(u)B(t-u) = 0，所以在该范围内积分结果为：∫A(u)B(t-u)du = ∫0 du = 0综上，两个门函数卷积的规律可以总结为：C(t) = t (0 <= t < 0.5)1 (0.5 <= t < 1.5)0 (t >= 1.5)。

向量卷积运算公式

向量卷积运算公式摘要：1.卷积运算的定义2.向量卷积运算公式3.向量卷积运算的性质4.向量卷积运算的应用正文：1.卷积运算的定义卷积运算是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的运算。

它主要是通过一个函数（信号）与另一个函数（卷积核）的组合，产生一个新的函数（输出信号）。

卷积运算可以用于提取信号的特征，或者对信号进行滤波等操作。

2.向量卷积运算公式在向量卷积运算中，假设有两个向量A 和B，其长度分别为m 和n，则它们的卷积运算可以用以下公式表示：(A * B)[i] = ∑(A[j] * B[i-j]) (0 <= i <= m-1, 0 <= j <= n-1)其中，A * B 表示向量A 和向量B 的卷积，[i] 表示卷积结果的第i 个元素。

公式中的求和符号表示对向量A 中的每个元素与向量B 中对应的元素进行点乘，然后将结果相加。

3.向量卷积运算的性质向量卷积运算具有以下性质：1) 交换性：A * B = B * A，即卷积运算满足交换律。

2) 分配律：(A + B) * C = A * C + B * C，即卷积运算满足分配律。

3) 结合律：(A * B) * C = A * (B * C)，即卷积运算满足结合律。

4) 数值稳定性：对于常数k，A * k = k * A。

4.向量卷积运算的应用向量卷积运算在信号处理和图像处理中有广泛应用，例如：1) 在图像处理中，卷积运算可以用来实现滤波、锐化、边缘检测等操作。

2) 在深度学习中，卷积运算被用于实现卷积神经网络（CNN），用于图像分类、目标检测等任务。

卷积积分介绍

h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法：时域经典法：完全解=齐次解 + 特解双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；

卷积及其性质

GPU加速
利用图形处理器（GPU）的并行计算能力进行卷积运算加速。GPU具有大量的计算核心和高速内存访问能力，适用于大规模并行计算。
03
FPGA加速
利用现场可编程门阵列（FPGA）的可编程性和并行处理能力进行卷积
运算加速。FPGA可以根据具体需求进行定制化的硬件设计，实现高效
的卷积运算加速。
THANK YOU
利用卷积核检测图像的边缘信息，可以实现基于边缘的图像分割。
3
目标检测与识别
卷积神经网络（CNN）在目标检测和识别领域取得了显著成果，通过训练CNN模型可以实现对图像中特定目标的检测和识别。
05
卷积在深度学习中的应用
卷积神经网络（CNN）基本原理
局部连接
01
卷积神经网络通过卷积核实现局部连接，每个神经元仅与输入
数据并行
将输入数据划分为多个子集，每个处理单元负责一个子集的卷积运算，最后合并各子集的结果得到最终输出。
任务并行
将卷积运算划分为多个子任务，每个处理单元负责一个子任务的计算，最后合并各子任务的结果得到最终输出。
硬件加速技术在卷积中的应用
01 02
硬件加速技术
利用专用硬件加速器（如GPU、FPGA等）提高卷积运算速度。这些加速器具有高度的并行处理能力和优化的数据存储方式，能够显著提高卷积运算的效率。
模式识别
卷积运算还可以应用于模式识别领域。通过将输入信号与一组预定义的卷积核进行卷积运算，可以得到一组特征图。这些特征图可以作为模式识别的输入，用于训练分类器或进行相似度匹配等操作。
04
卷积在图像处理中的应用
图像滤波与去噪
滤波器的设计
卷积在图像处理中常被用于设计各种滤波器，如均值滤波器、高斯滤波器等，用于去除图像中的

§2.4 卷积积分的性质

求卷积是本章的重点与难点. 求卷积是本章的重点与难点.
卷积的方法可归纳为求解卷积的方法可归纳为: 求解卷积的方法可归纳为: (1)利用定义式,直接进行积分.对于容易求积分的 )利用定义式,直接进行积分. 函数比较有效.如指数函数,多项式函数等. 函数比较有效.如指数函数,多项式函数等. (2)图解法.特别适用于求某时刻点上的卷积值. )图解法.特别适用于求某时刻点上的卷积值. (3)利用性质.比较灵活. )利用性质.比较灵活. 三者常常结合起来使用. 三者常常结合起来使用. ▲ ■
∞ ∞
f (t +τ ) f (t) dt
显然, 偶函数. 显然,R(-τ)= R(τ)偶函数. 偶函数
▲ ■
2. 相关与卷积的关系
R12 (t) =
∫ ∞ f1(x) f2 (x t) d x
∫ ∞ f1(x) f2 (t x) d x
∞
∞
f1(t) * f 2 (t) =
R12(t)= f1(t)* f2(–t) R21(t) = f1(–t)* f2(t) . 可见, 均为实偶函数, 可见,若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数,则卷积与相和均为实偶函数关完全相同. 关完全相同.
▲
■
1.定义 1.定义
实能量有限函数f 和实能量有限函数 1(t)和f2(t)的互相关函数的互相关函数
R (τ ) = 12
R21(τ ) =
∫ ∞ f1(t) f2 (t τ ) dt = ∫ ∞ f1(t +τ ) f2 (t) dt
∞
∞
∞
∫ ∞
f1(t τ ) f 2 (t) d t =
卷积代数运算一,卷积代数运算
1.交换律

计算卷积的方法

总结词
详细描述了系统传递函数的计算过程，包括系统传递函数的定义、系统函数的表示、系统传递函数的计算步骤以及计算实例。
详细描述
系统传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模型，可以通过系统的输入输出关系来计算。具体来说，假设有一个线性时不变系统，其输入为x(t)，输出为y(t)，系统的传递函数可以通过以下步骤得到：首先根据系统的输入输出关系列出微分方程，然后通过拉普拉斯变换求解微分方程，得到传递函数H(s)。
04
卷积的特性
时移性
总结词
卷积的结果可以通过将其中一个信号进行时间平移来获得。
VS
详细描述
卷积运算具有时移性，即当一个信号在时间上平移时，其与另一个信号的卷积结果也会相应地发生平移。这种特性在信号处理和控制系统等领域中非常重要，因为它允许我们通过改变输入信号的时间位置来控制输出信号的时间响应。
滤波器
滤波器
卷积在信号处理中常常用于实现滤波器功能。通过设计特定的滤波器系数（相当于冲激响应），可以对输入信号进行滤波处理，提取出需要的信号成分或者抑制不需要的噪声干扰。
IIR滤波器和FIR滤波器
在数字信号处理中，滤波器可以分为无限冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应（FIR）滤波器。IIR滤波器具有反馈结构，可以实现对信号的递归处理；而FIR滤波器没有反馈结构，只能实现线性相位响应。
计算卷积的方法
• 卷积的定义 • 卷积的物理意义 • 计算卷积的方法 • 卷积的特性 • 卷积的计算实例
01
卷积的定义
数学定义
数学上，卷积是一种二元运算，表示为 *。对于两个函数 f 和 g，它们的卷积定义为
(f * g)[n] = sum_{k=-infty}^{+infty} f[k] g[n-k])

卷积积分介绍

h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 s g t： n t
波形
e t
1
e2t u(t)u(t2)
ht
1
et u(t )
O
2t
it
O
2
O
t
分段表示：
i(t) 2(e2t et ), 2e(t1) et ,
0t 2 t 2
t
7
卷积的图解说明
用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求
出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将
两种方法结合起来。
f(t)k(t)fk(t)
f( t)k ( t t0 ) fk ( t t0 )
27
例2-7-1 已 f t ,h t 知， g t f 求 t h t 。
f (t) 1
h(t) 1
O 12 t 1
f 1(t) 1
O 12 t
f (1)()
h(tt1)1
tO 1
1
2
O 1t
一般规律： f1t
下限 [A,B]
f1t -1 1
f2t [C,D]
+ f2t 0 3
gt [A+C,B+D]
gt 1 4
当 f1t或为f2非t连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。

卷积和公式

卷积和公式
卷积和公式是信号处理中重要的数学工具，用于描述两个函数之间的关系。

它在图像处理、音频处理、通信系统等领域有着广泛的应用。

卷积可以理解为两个函数之间的重叠程度。

具体而言，对于两个函数f(x)和g(x)，它们的卷积h(x)定义为：
h(x) = ∫f(t)g(x-t)dt
其中t是积分变量，h(x)表示两个函数f(x)和g(x)的卷积结果。

此外，卷积操作还可以表示为星号（*）符号，即：
h(x) = f(x) * g(x)
卷积有许多重要的性质。

例如，卷积是可交换的，即f(x) * g(x) = g(x) * f(x)。

此外，卷积还满足结合律，即(f(x) * g(x)) * h(x) = f(x) * (g(x) * h(x))。

卷积操作也可以应用于离散函数。

对于两个离散函数f(n)和
g(n)，它们的卷积h(n)定义为：
h(n) = ∑f(k)g(n-k)
其中k是求和变量，h(n)表示两个函数f(n)和g(n)的卷积结果。

卷积在信号处理中有着广泛的应用。

例如，在图像处理中，卷积可用于边缘检测、模糊处理等操作。

在音频处理中，卷积可用于混响效果的模拟。

在通信系统中，卷积可用于信道等效建模。

- 1 -。

卷积结合律证明

卷积结合律证明卷积结合律是指对于三个函数f、g、h，若它们的卷积满足(f*g)*h = f*(g*h)，则称卷积具有结合律。

在信号处理和图像处理领域，卷积是一种常见的数学运算，具有广泛的应用。

卷积结合律是卷积运算的一条重要性质，这篇文章将会就这一性质进行详细的解释和证明。

卷积运算的定义在开始讨论卷积结合律之前，我们需要先了解卷积运算的定义。

卷积是指给定两个函数f和g，它们的卷积f*g 定义为：(f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t-τ)dτ其中，t是自变量，*表示卷积运算符号，函数f和g 是定积分域内的两个函数，τ是积分变量。

该积分式的计算过程被称为卷积运算。

卷积的几何意义是在平移一个函数的同时对另一个函数做加权平均。

卷积运算常常被用于信号处理、图像处理和声音处理等领域。

卷积结合律的证明卷积结合律是在卷积的基础上定义的。

假设有三个函数f、g、h，它们在定义域内可积，则它们的卷积可以表示为：(f*g*h)(t) = ∫ (f*g)(τ)h(t-τ)dτ(f*g*h)(t) = ∫ (∫f(λ)g(τ-λ)dλ)h(t-τ)dτ(f*g*h)(t) = ∫∫f(λ)g(τ-λ)h(t-τ)dλdτ同样地，我们可以考虑f*(g*h)，可以得到：(f*(g*h))(t) = ∫f(τ)(g*h)(t-τ)dτ(f*(g*h))(t) = ∫f(τ)∫g(λ)h(t-τ-λ)dλdτ(f*(g*h))(t) = ∫∫f(τ)g(λ)h(t-τ-λ)dλdτ接下来，在下文中，我们将逐步展示卷积结合律的证明过程。

将变量进行代换定义τ = ω+λ，可以将f*g*h转换为：(f*g*h)(t) = ∫(f*g)(τ)h(t-τ)dτ(f*g*h)(t)=∫(∫f(λ)g(τ-λ)dλ)h(t-τ)dτ(f*g*h)(t) = ∫f(λ)∫g(τ-λ)h(t-τ)dτdλ同理，将g*h代入f*(g*h)式子，可得：(f*(g*h))(t) = ∫f(τ)(g*h)(t-τ)dτ(f*(g*h))(t) = ∫f(τ)∫g(λ)h(t-τ-λ)dλdτ化简运算式子将(f*g)*h 和 f*(g*h) 的式子都展开后可以发现，它们在数学上是等价的。

卷积的性质

函数的卷积及其公式的应用

第二章 (4)卷积积分的性质

卷积的数学原理及其应用

信号与系统 卷积积分的性质

《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算

卷积的性质

最新§2.4 卷积积分的性质

卷积公式详解(一)

两个门函数卷积的规律

向量卷积运算公式

卷积积分介绍

卷积及其性质

§2.4 卷积积分的性质

计算卷积的方法

卷积积分介绍

卷积和公式

卷积结合律证明

信号与系统卷积积分的性质