高中数学必修三23变量间的相互关系

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高中数学必修三_2.3_变量间的相互关系

§2.3变量间的相关关系编者：1．经历用不同方法确定线性回归直线方程的过程，通过确定线性回归直线方程，知道最小二乘法的原理．学习重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。

学习难点：变量间的相关关系，利用散点图直观体会这种相关关系。

使用说明：（1）预习教材9184P P ，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接（1）客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.（2）某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：从表中我们能感觉到热茶的销量与气温之间存在着某种关系，它们之间的关系是什么呢？我们能否根据气温的变化预测热饮的杯数呢？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.组长评价：教师评价：二．新知导学（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？探究案（30分钟）例1：我们来解决预习案中的问题，假如经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表如下：（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：例2：下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.（计算相应的数据之和：∑=81i ix=1 031，∑=81i iy=71.6,∑=812i ix=137 835，∑=81i ii yx =9 611.7）解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．三．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1）（）（2）（）（3）（）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟满分：30分）计分：1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高 2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（） A.^y =5.75-1.75x B.^y =1.75+5.75x C.^y =1.75-5.75x D.^y =5.75+1.75x3．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元）,有如下统计资料：设y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）线性回归方程a bx y +=∧的回归系数,a b ；（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？A B C D（掌握两变量的相关性及回归直线方程）1．有关线性回归的说法中,下列不正确的是( )A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程2. 判断下图中的两个变量，具有线性相关关系的是（）3．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：经计算得回归方程abxy+=∧的系数b=0.575,则a等于（）A. 14.9B.13.9C. 12.9D. 14.94．线性回归直线方程abxy+=∧必过定点（）()()()()y x DyCxBA,.,0.0,.0,0.5.已知回归直线方程为：81.05.0-=∧xy，则20x=时，y的估计值为。

人教版高中数学必修三23变量之间的相关关系 (共30张)PPT课件

数学成绩
学习兴趣
花费时间
其他因素
如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之间的相关关系
我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:
商品销售收入粮食产量
? K×广告支出经费
?
K×施肥量
?
付出
K×收入
人体脂肪含量
? K×年龄
两个变量之间的关系，可能是确定性关系或非确定性关系
当自变量取值一定，因变量的取值带有一定随机性时，两个变量之间的关系成为相关关系.
这条回归直线的方程，简称为回归方程。
思考：那么，我们应当如何来求出这个回归直线方程？
想法1：采用测量的方法：先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个“使距离之和最小”的位置，测量出斜率和截距，就可以得到回归直线方程。可靠吗？
想法2：在散点图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。这样能保证各点与直线在整体上是最接近的吗？
原因：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于x，预报值Y 能等于实际值y
利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 y 0.577x 0.448，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值. 若某人65岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？
37.1％（0.577×65-0.448= 37.1％）
若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在37.1％（0.577×650.448= 37.1％）附近的可能性比较大。
脂肪含量 40 35
30
25
20
15

变量之间的关系有哪三种

变量之间的关系有哪三种
变量之间的关系可用表格，函数关系式，图象法三种方法表示。

变量之间的关系是相关关系。

相关关系是客观现象存在的一种非确定的相互依存关系，即自变量的每一个取值，因变量由于受随机因素影响，与其所对应的数值是非确定性的。

相关分析中的自变量和因变量没有严格的区别，可以互换。

变量相关关系:当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化。

变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的相关关系。

当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。

马赫的要素一元论把科学和认识所及的世界归结为要素的复合，又把要素解释为感觉，认为这个世界以人的感觉为转移。

他指出，人的感觉是相同的，对于同一对象，不同的人乃至同一个人在不同的情况下会有不同的感觉，因此，世界上事物的存在只是相对的。

【人教A版】高中数学必修三：2.3《变量间的相关关系》ppt课件

x
0
0 50
05
5 年龄
像这样如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近我们就称这两个变量之间具有线性相关关系, 这条直线叫做回归直线, 这条直线的方程叫做回归方程
y
脂肪含量 40
35 30 25 20 15 10
5
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
A. y x 1
i 1
i 1
B. y x 2
C. y 2x 1
D. y x 1
总结提升：
基础知识框图表解变量间关系
函数关系相关关系
散点图线性相关线性回归方程
课堂检测：
1、对变量x,y观测数据（xi,yi)(i=1,2,...,10),得散点图1；对变量 u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,...,10),得散点图2，由这两个散点图可
思考1：年龄与脂肪含量有没有关系？依据是什么？思考2：有没有更加定量的分析方法，进行定量研究？
三、散点图
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图
销售杯数之间关系的一般规律；
2、求回归方程；
（已知：x 15.364, y 111.636
11
11
xi2 4335, xi yi 14778 ）
i 1
i 1
3、如果某天的气温是2摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。
解：
1、各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。

四川省成都市第七中学高中数学人教必修三课件：2.3变量间的相互关系(共39张PPT)

2・3变量间的相互关系阅读教材P8"911 •两个变量的关系1.变量与变量之间的关系大致可分为两种类型：确定的価数关系和不确定的相关关系.2.两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做散点图.3・若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是线性相关的,而若所有点看上去在某条曲线附近波动,则称此相关为非线性相关，如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间不相关・1 •两个变量的关系蓝皮书P29例1及变式12.下列各图中所示两个变量具有相关关系的是（）（A ）①② （B ）①③ （C ）②④⑴）②③对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析相关关系是进行回归分析的基础，同时, 也是散点图的基础。

2 ■线性相关关系的判断3 ■正相关和负相关从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内, 两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上0 10 20 30 40 50 60A10 20 3040 50 6040 30 20 10 04・（2010 •广东高考）某市居民2005~2009年家庭平沟收入 x （单位：力元〉与年平均支出y 〔单位：万元）的统计资料根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ___________ ,家庭年平均收入与年平均支出有 _________ 的线性相关关系.（填 “正相关” > 『负相关”）如表所力4•回归直线方程•1•回归直线•2•回归方程•3.最小二乘法•4•求回归方程如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线•并根据回归方程对总体进行估计.•方案1、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65=J MB・方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同。

人教版高二数学必修3知识点整理：变量间的相关关系

一、變數間的相關關係1.常見的兩變數之間的關係有兩類：一類是函數關係，另一類是相關關係;與函數關係不同，相關關係是一種非確定性關係.2.從散點圖上看，點分佈在從左下角到右上角的區域內，兩個變數的這種相關關係稱為正相關，點分佈在左上角到右下角的區域內，兩個變數的相關關係為負相關.二、兩個變數的線性相關1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分佈在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變數之間具有線性相關關係，這條直線叫回歸直線.當r>0時，表明兩個變數正相關;當r<0時，表明兩個變數負相關.r的絕對值越接近於1，表明兩個變數的線性相關性越強.r的絕對值越接近於0時，表明兩個變數之間幾乎不存在線性相關關係.通常|r|大於0.75時，認為兩個變數有很強的線性相關性.三、解題方法1.相關關係的判斷方法一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關係數作出判斷.2.對於由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區域較窄，說明兩個變數有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性.3.由相關係數r判斷時|r|越趨近於1相關性越強.【同步練習題】1.(2014•銀川模擬)為了解兒子身高與其父親身高的關係，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x(cm)174176176176178；兒子身高y(cm)175175176177177，則y對x的線性回歸方程為()A.y^=x-1B.y^=x+1C.y^=88+12xD.y^=176解析：因為x=174+176+176+176+1785=176，y=175+175+176+177+1775=176，又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(x，y)，所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗知選C.答案：C2.(2014•衡陽聯考)已知x與y之間的一組數據：x0123ym35.57已求得關於y與x的線性回歸方程y^=2.1x+0.85，則m的值為()A.1B.0.85C.0.7D.0.5解析：回歸直線*樣本中心點(1.5，y)，故y=4，m+3+5.5+7=16，得m=0.5.答案：D3.有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績，得到如下所示的列聯表：優秀非優秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為27，則下列說法正確的是()A.列聯表中c的值為30，b的值為35B.列聯表中c的值為15，b的值為50C.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”解析：由題意知，成績優秀的學生數是30，成績非優秀的學生數是75，所以c=20，b=45，選項A、B錯誤.根據列聯表中的數據，得到K2=105×10×30-20×45255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”.答案：C4.在吸煙與患肺病這兩個分類變數的計算中，下列說法正確的是()①若K2的觀測值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那麼在100個吸煙的人中必有99人患有肺病;②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那麼他有99%的可能患有肺病;③從統計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤.A.①B.①③C.③D.②解析：①推斷在100人吸煙的人中必有99人患有肺病，說法錯誤，排除A，B;③正確.答案：C5.調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關係，並由調查數據得到y對x的回歸直線方程：y^=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.解析：解法一：特殊值法.令x1=1得y^1=0.254+0.321.令x2=1+1=2得y^2=2×0.254+0.321.y^2-y^1=0.254.解法二：由y^1=0.254x1+0.321，y^2=0.254(x1+1)+0.321，則y^2-y^1=0.254. 答案：0.254。

高中数学必修三导学案23变量间的相关关系1

适用精选文件资料分享高中数学必修三导教课方案变量间的相关关系（1）2.3 变量间的相关关系（ 1）【学习目标】 1 ．认识相关关系的相关看法； 2 ．会画散点图，会利用散点图直观认识变量间的相关关系．【新知自学】知识回顾：课前回顾 1 、函数的定义是什么？ 2 、关于函数，当时， = . 的值是独一的吗？新知梳理：1. 两个变量之间的关系（1）函数关系：两个变量的关系是．（2）相关关系：两个变量的关系是．【感悟】相关关系与函数关系有什么异同点？2.两个变量的相关关系的相关看法（1）散点图：将样本的几个数据描在中获得的图形．（2）正相关：在散点图中，点分布在从到的地域，关于两个变量的这类相关关系，我们称它为正相关．（3）负相关：在散点图中，点分布在从到的地域，关于两个变量的这类相关关系，我们称它为负相关． 3. 两个变量的线性相关、回归直线假如散点图上的点的分布大体在周边，就称这两个变量之间拥有关系，这条直线叫做．对点练习： 1. 以下两个变量中拥有相关关系的是（）（ A）正方体的体积与边长（B）匀速行驶的车辆的行驶距离与时间（C）人的体重与饭量（D）人的身高与视力 2.以下各关系不属于相关关系的是（）（A）产品的样本与生产数目（ B ）球的表面积与体积（C）家庭的支出与收入（D）人的年龄和体重 3.以下变量关系是线性相关的是（）. （A）人的身高与视力（B）角的大小与所对圆弧长（C）收入水平与纳税水平（D）人的年龄和身高【合作研究】典例精析【典型例题】例题 1. 在关于人的脂肪含量（百分比）和年龄关系的研究中，获得以下一组数据：判断它们能否有相关关系，如有，作一拟合直线 . 年龄 23 27 39 41 45 49 50 58脂肪变式训练 1. 观察两相关变量得以下数据： x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 32 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9画出散点图，判断它们能否有相关关系 .例题 2. 以下是某地采集到的不一样样楼盘新房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋面积 x（单位：平方米）的数据：x 115110 80 135 105y 124.8 121.6 119.4 129.2 122 （1）画出数据的散点；（2）判断新房屋的售价格和房屋面之能否拥有相关关系？假如有相关关系，是正相关是相关？【堂小】【当堂达】 1. 判断下形中拥有相关关系的两个量是哪一个？（）2.5 个学生的数学和物理成以下表：学科 / 学生数学 80 75 70 65 60物理 70 66 68 64 62画出散点，并判断它能否性相关 .【作】 1. 相关性回的法，不正确的选项是（）（A）相关关系的两个量不是因果关系（B）散点能直反响数据的相关程度（C）回直最能代表性相关的两个量之的关系（D）任一数据都有回方程 2. 以下两个量拥有相关关系的是（）（A）正方体的体与棱（B）数学成与学数学的（C）匀速行的行距离与（D）球的半径与体 3. 哪些量是相关关系（）（A）出租与行的程里程（B）房屋面与房屋的价格（C）身高与体重（D）的大小与量 4. 有四量：①汽的重量与汽每耗费 1 升汽油所行的均匀行程；②高三年女生的身高与体重；③某人均匀每天吸烟量与其身体健康状况；④汽的重量与百公里耗油量 . 此中两个量成正相关的是（）（A）①③（B）②④ （ C）②③ （ D）①④ 5. 量 x, y 有数据理力争（，）（i=1,2, ⋯，10），得散点 1；量 u ，v 有数据（，）（i=1,2, ⋯，10）, 得散点 2. 由两个散点可以判断（）. （A）量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关（B）量 x 与 y 正相关， u 与v 相关（C）量 x 与 y 相关， u 与 v 正相关（D）量 x 与y 相关， u 与 v 相关 . 6. 某种品的广告支出x 与售 y （位：百万元）之有以下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）画出散点；（2）从散点中判断售金与广告支出成什么的关系？7.假如某公司的广告支出 x（百万元 ) 与售 y ( 百万元）之有以下数据：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70（1）画出散点图；（2）判断广告费支出与销售额之间有无相关关系？如有是正相关还是负相关？。

人教A版高中数学必修三课件2.3变量间的相关关系(2).pptx

课外作业
1.课本94页习题2.3A组1 2.《阳光课堂》41~43页题组集训3~7
40 30 20 10
0 0
脂肪
脂肪
20
40
60
80
上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，
求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看，各点与直线的偏差最小”。
诱思探究6
对一组具有线性相关关系的样本数据：
(x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) ，设其回归方程为
（1）公式：
n
n
(xi x)( yi y) xi yi nx y
bˆ i1 n
(xi x)2
i 1 n
xi 2
2
nx
i 1
i 1
aˆ y bˆx
回归方程为：yˆ bˆx aˆ
诱思探究8
利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 yˆ 0.577x 0.448 ，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？
度/℃
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数.
解：(1)散点图如图所示：
(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少
诱思探究4
回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？
脂肪含量
整体上最接近

变量之间的相互关系

变量之间的相互关系一、引言在研究数据科学、统计学、经济学以及其他众多领域时，变量间的相互关系是不可或缺的议题。

这种关系描述了不同变量如何互相影响，从而帮助我们理解和预测现象。

本文将深入探讨变量间相互关系的概念、类型和测量方法。

二、变量间的关系类型1.因果关系：如果一个变量（原因）的变化导致了另一个变量（结果）的变化，则存在因果关系。

这种关系是有方向的，原因必定在前，结果只能在后。

2.相关关系：当两个或多个变量同时发生变化，但不表示因果方向时，我们称之为相关关系。

相关关系可以是正相关（一个变量增加时，另一个也增加）或负相关（一个变量增加时，另一个减少）。

3.函数关系：当一个变量（自变量）完全确定另一个变量（因变量）的值时，我们称之为函数关系。

这种情况下，因变量的变化完全依赖于自变量的变化。

三、测量变量间关系强度的方法1.皮尔逊相关系数：衡量两个连续变量的线性相关程度，取值范围在-1到1之间。

接近1表示强正相关，接近-1表示强负相关，接近0表示无相关。

2.斯皮尔曼秩相关系数：与皮尔逊相关系数类似，但适用于非参数数据。

它衡量的是两个连续变量之间的秩次相关性。

3.偏相关系数：当存在多个变量影响因变量时，偏相关系数可以用来衡量特定自变量与因变量之间的线性关系。

四、应用场景理解并测量变量间的相互关系在众多实际场景中都有应用价值。

例如，在市场营销中，通过分析消费者行为、购买历史等变量与购买决策之间的相互关系，可以更有效地制定营销策略。

在医学研究中，了解疾病症状、患者生理指标等变量之间的关系，有助于疾病的诊断和治疗。

五、结论理解并测量变量间的相互关系是数据科学和统计学中的重要概念。

通过明确关系的类型和测量方法，我们可以更好地理解和预测现象，从而在各个领域中做出更有效的决策。

随着技术的发展和数据的丰富，变量间相互关系的研究将继续深化和拓展，为我们提供更多的洞见和可能。

高一数学人必修三课件第二章变量间的相关关系

拓展延伸：多元线性回归模型简介
多元线性回归模型定义
研究多个自变量与一个因变量之间的线性关系的统计模型，用于描述和预测因变量的变化。
回归方程的建立
利用最小二乘法原理，通过求解自变量系数使得因变量的预测值与实际值之间的误差平方和最小，从而得到回归方程。
模型的检验与评估
采用统计检验方法（如F检验、t检验等）对回归方程进行显著性检验，评估模型的拟合优度和预测能力。
最小二乘法一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，用于建立变量间的回归方程。
散点图用点的密度和变化趋势表示两个变量之间的相关关系，点的分布形态可以反映变量间的相关性强度和方向。
相关系数衡量两个变量之间线性相关程度的统计量，取值范围为[-1,1]，绝对值越接近1表示线性关系越强。
锻炼与身体健康
锻炼可以改善心血管健康、增强免疫系统和降低患多种疾病的风险。长期坚持适量锻炼，对身体健康有着显著的正面影响。
教育水平与收入
通常情况下，教育水平越高的人，在就业市场上更有竞争力，因此更容易获得更高的收入。教育水平和收入之间存在着正相关关系。
06
总结回顾与拓展延伸
重点内容总结回顾
变量间的相关关系定义两个或多个变量之间存在的非确定性关系，当一个变量发生变化时，另一个变量也随之发生变化。
因果推断方法介绍
01
02
03
实验法
通过人为控制某些变量，来观察结果变量的变化，从而推断因果关系。
观察法
通过对自然发生的现象进行观察和分析，寻找变量之间的因果关系。
统计法
运用统计方法对大量数据进行分析，揭示变量之间的因果关系。
实例分析

人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.1 变量之间的相关关系课件(共41张PPT)

设所求回归直线方程是： yˆ bx a
当自变量x取xi（i=1,2,…,n）时可以得到回归直
线上的点的纵坐标为：yˆi bxi a(i 1, 2,, n)
它与样本数据yi的偏差是： yi yˆi yi (bxi a)
(x1，y1)
(x2，y2)
(xn，yn)
这样，用这 n 个偏差的和来刻画“与此直线的整体偏差”
年饮食支出 y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
(1)根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系； (2)如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． [思路探索] 画出散点图，判断其线性相关性，求出回归直线方程．
解 (1)由题意知，年收入x为解释变量，年饮食支出y为预报变量，作散点图如图所示．
高二数学必修三
2.3 变量间的相关关系
2020/7/3
郑平正制作
探索研究，构建新知
你认同这一说法吗？
探究一：在学校里，老师对学生经常这样说“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有多大问题。”
数学成绩
物理成绩
学习兴趣学习时间
其他因素
探索研究，构建新知
函数关系
匀速直线运动中时间和路程的关系
160
140
120
100 系列1
80
60
40
20
0
80
-10
0
系列1
10
20
30
40
相同：不同：
散落在直线的附近有相同的变化趋势有相反的变化趋势
线性相关样本点散布
正相关
的位置有何特点？
负相关

高中数学必修三-变量间的相关关系

变量间的相关关系知识集结知识元变量之间的相关关系知识讲解1、变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．2、线性相关和非线性相关：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例题精讲变量之间的相关关系例1.用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中___（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．例2.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）例3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．例4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．两个变量的线性相关知识讲解1．散点图【知识点的知识】1．散点图的概念：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念：从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．3．正相关和负相关：（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．2．线性回归方程【概念】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【实例解析】例：对于线性回归方程，则＝解：，因为回归直线必过样本中心（），所以．故答案为：58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．【考点点评】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．3．最小二乘法【概念】最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．最小二乘法还可用于曲线拟合．其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达．【例题解析】例：关于x与y有如表数据：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+0.35．解：∵由题意知，，∴＝0.7∴要求的线性回归方程是y＝0.7x+0.35，故答案为：y＝0.7x+0.35．集体步骤就是先做出x，y的平均数，代入的公式，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【考点解析】最小二乘法一般在线性拟合中应用的比较多，主要是一种方法，能够熟记如何操作就可以了，剩下的就是计算要认真．例题精讲两个变量的线性相关例1.'2018年9月17日，世界公众科学素质促进大会在北京召开，国家主席习近平向大会致贺信中指出，科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据{x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6），如表（1）求出p的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价：x（百元）的线性国归方程y=bx+a（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x对应的产品销的估计值当销售数据（x i，y i）的残差的绝对值|y i-y|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组销售数中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率．参考公式及数据=y i=80，=1606，=91，，'例2.'某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00的可能性为20%．统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①．统计近10年杂交稻β的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i=1，2，..10），并得到散点图如图②．（1）根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；（3）①判断杂交稻β的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：=1.60，=2.82，（x i）（y i）=-0.52，（x i）2=0.65，附：线性回归方程=bx+a，b=．'当堂练习单选题练习1.用模型y=ce kx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+2，则c=（）A．e2B．e4C．2D．4练习2.根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i=1，2，…，300），求得的回归方程是=x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线=x+上B．若所有样本点都在回归直线=x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i=1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线=x+的斜率b>0，则变量x与y正相关练习3.已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则=（）A．2B．11C．12D．14练习4.根据如下样本数据得到的回归直线方程为=bx+a，则（）A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b<0D．a<0，b>0练习5.下列表格所示的五个散点数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为，则表格中m的值应为（）A．8.3B．8.2C．8.1D．8练习6.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.5练习1.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）练习2.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中是相关关系的为_____．练习3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．练习4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．练习1.'2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中心任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码x=t-2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率．'练习2.'某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i=1，2…，10）的数据，得到散点图如图所示．（1）利用散点图判断y=a+bx和y=c∙x d（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（2）对数据作出如下处理，令u i=lnx i，v i=lny i，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=18y-x（其中e≈2.71828），根据第（2）问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=．'基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命表如下经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据（x i）2=17.5，（y i）2=76，（x i）（y i）=35，≈36.5参考公式：相关系数r=回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y=a∙b x拟合y与x的关系（1）求y关于x的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．附：①参考数据表中v i=lgy i，=lgy i②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=-β．'习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示作出这组数的散点图如图．（1）请根据散点图判断，y=ax+b与y=c+d中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度（结果保留1位小数）附：=，参考数据：'某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）参考公式对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，=，=-。

高中数学人教版必修三课件：第二章 2-3 变量间的相关关系

7
0.55， 7≈2.646.
i＝1
ti－ t yi－ y
，
n
参考公式：相关系数r＝
i＝1
ti－ t yi－ y 2
2 i＝1
n
n
回归方程 ^ y ＝^ a ＋^ b t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
^ b＝
i＝1
ti－ t yi－ y ti－ t 2
[类题通法] 回归分析的三个步骤 (1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义； (2)求回归直线方程，其关键是正确地求得^ a ，^ b； (3)根据直线方程进行预测．
[活学活用] (全国乙卷)如图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
合计
3 5 6 7 9 30
2 3 3 4 5 17
9 25 36 49 81 200
6 15 18 28 45 112
可以求得^ b ＝0.5，^ a ＝0.4，线性回归方程为^ y ＝0.5x＋0.4.
[类题通法] 求线性回归方程的步骤 (1)计算平均数 x ， y ； (2)计算xi与yi的积，求
[例 3]
一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不
同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：
转速x/转/秒(x∈N*) 每小时生产有缺点的零件数y/件 16 11 14 9 12 8 8 5
(1)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求回归方程； (2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为 10 个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？

2.3《变量间的相互关系》教案(新人教必修3)

2.3.1变量之间的相关关系教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学过程：案例分析:一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。

为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。

关系吗？（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。

（3）如果一个学生的身高是188cm ，你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据，制成的散点图如下。

它们之间是线性相关的。

那么，怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条直线。

同学2：在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同。

同学3：多取几组点对，确定几条直线方程。

再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。

同学4：我从左端点开始，取两条直线，如下图。

再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。

同学5：我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多。

1015202530150155160165170175180185190195同学6：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm 以下的，一部分是身高在170 cm 以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（164，19），（177，21）；最后，将这两点连接成一条直线。

同学7：我先将所有的点按从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”，最小的点为（161.3，18.2），中间的点为（170.5，20.1），最大的点为（179.2，21.3）。

高中数学必修三：2.3变量间的相关关系)

例2. 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
房屋面积
（平方米）销售价格
61
70
115
110
80
135
105
12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2
22
（万元）
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
售价
35 30 25 20 15 10 5 0 0 50 100 面积 150
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
这些点大致分布在一条直线附近.
思考3：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
2.3
变量间的相关关系
问题1
在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？
数学=f(物理)?
知识探究（一）：变量之间的相关关系
思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？
思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？

高中数学必修三23变量间的相互关系