小学奥数三阶幻方讲解归纳优秀PPT课件
小学奥数之三阶幻方讲义
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三年级 第9讲 三阶幻方
3. 用2、4、6、12、14、16、22、24、26编 制一个三阶幻方．
课后巩固练习
4. 将9个连续自然数填入3X3的方格内，使得每行、 每列以及每条对角线上的3个数的和都等于66.
5. 将图中的数重新排列，使得每行、每列以及每条、 对角线上的3个数的和都相等。
6. 一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的3 个数的和都等千300. 幻方中央是多少？为什么？
●●●● 随 堂 练 习 3
（1）如果 2、6 、10 、11 、15 、19 、20 、24 、28 可以组成一个三 阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？ 中央的那个数 是多少？
（1）用9个连续的自然数组成三阶幻方，是每一行、每一列、每条对角 线的和都是60.
【例 4】
【例4】图9-4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出 其他的数.
➢ 知识拓展
三阶幻方的历史. 幻方起源于中国 ．传说在大禹治水时有神龟在洛水出现 ， 背上有 图 ，称为“洛书”.宋代学者朱熹在所著的 《 周易本义 》 卷首画出 如下的洛书图 ，它与例（1）排列实际上是一样的 。
➢ 知识拓展
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定 的要求填上1-9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三 数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列成为三阶幻方，又称九宫格.
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究.他称 这种图为“纵横图”. 并总结出了构造三阶幻方的口诀：
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.
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最新三阶幻方(1)教学讲义PPT课件
第13条
病者脉数，无热，微烦，默默但欲卧， 汗出，初得之三、四日，目赤如鸠眼； 七、八日，目四眦黑。若能食者，脓已 成也，赤豆当归散主之。
名词
▲鸠眼：鸠，鸟名，即斑鸠，其目色赤。 ▲目四眦：眦，眼角；目四眦，即二眼的内
角、外角。
提要
★本条论述狐惑病的酿脓的证治
合篇意义： 1.病因：均属热性病范畴。
2.症状：三者临床都有变幻无常的神志方 面症状，如百合、狐惑之精神症状，
（古人认为此三病都很奇怪）
第1条
论曰：百合病者，百脉一宗，悉致 其病也。意欲食复不能食，常默默，欲 卧不能卧，欲行不能行，欲饮食，或有 美食，或有不用闻食臭时，如寒无寒， 如热无热，口苦，小便赤，诸药不能治， 得药则剧吐利，如有神灵者，身形如和， 其脉微数。
三阶幻方(1)
将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入下面的格子中， 使每个横行、竖行、斜行三个数加起来 的和都是15。
幻方的来源及神奇传说
根据记载，传说夏禹治水 时, 在洛水里出现了一只大 乌龟, 龟背上刻有奇特的图 案（如图），古代人们把这 个图取名为“洛书”，也有 的称作“河图”，我国宋代 数学家杨辉称之为“纵横 图”。
提要
★本条论述狐惑病的临床表现及内服方和 外治法。
分析
1．临床表现可分为两部分： ①一般临床症状： 状如伤寒：初起有恶寒发热――湿热伤及营卫 默默欲眠，目不得闭，卧起不安――湿热内扰心神 不欲饮食，恶闻食臭――－湿热扰胃 面目乍赤、乍黑、乍白―――非指颜色突变，乃指 颜色深重――为气血失调，病气见于面
病因病机： 热病之后余热未清， 情志不遂，郁而化火 《医宗金鉴》
阴液受伤，心肺阴虚内热——心主血脉，肺 主治节而朝百脉，人体之脉同出一源，为心 肺所统，心肺正常，则气血调和而百脉皆得 其养。如心肺一病，则百脉皆病，所以“百 脉一宗”之“宗”，实际上是指心肺。
小学奥数之三阶幻方讲义
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
a bc def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
小学奥数--三阶幻方
小学奥数 三阶幻方幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 三阶幻方的规律：（1）幻和= 九个数之和 ÷3； （2）中间数=幻和÷3（3）四个角上的数字 2=（3+1）÷2,8=（9+7）÷2例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
73 84 63 二、例题讲解 672159834例题2在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的三个数之和都等于27。
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
19 1410 18 812介绍杨辉法：介绍公式法：口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：第一种：816 357 492第二种：618 753 294第三种：492357816第四种：294753618第五种：672159834第六种：834159672第七种：276951438第八种：438951276巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方课堂练习1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
小学奥数专题巧解三阶幻方APPT课件
7、 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
48
6、 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
5 26
图1
图3
5
图2
8、 在图3的空格中填入不大于15且互不相同 的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个 数之和都等于30。
9
12 3 8 94 76 5
方案一
12 3 654 789
方案二
五、练习
1、在图1中3×3的阵列里，第一行第三列的 位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请 你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、 纵、斜三个方向的三个数之和为36。
5
6
3、写出一个三阶幻方，使其幻和为24
图1
2、将 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 5 ， 7 这九
2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2
M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2
3、A=（B+C）÷2
E=（B+D）÷2
F=（G+D）÷2
H=（C+G）÷2
AG E DM C HBF
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九 个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的 3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
赵老师教你学奥数
小学奥数专题
第一讲 三阶幻方
276 951 4 38
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一、三阶幻方的定义
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的 填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问 题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许 多绚丽多彩的幻方.
小学奥数之三阶幻方讲义
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
小学奥数三阶幻方讲解归纳(共10张PPT)
7
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位
规律4：角上的数字=对角相邻的两数字和的一半
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位
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6
第6页，共10页。
大数学家杨辉的构造方法：
规律3:与中间数对应的上下、左右、对角两个数字的和=中间数×2
123456789
3 242、 、 、99每个个“对数数”的的数中中的三阶位位连数数线在在都幻幻过方方“中的的心最最” 中中。心心。。
5
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规律4：角上幻的数字=对角相邻的两数字和的一半
8 大数学家杨辉方的构造方法：
1
6
规律4：角上的数字=对角相邻的
图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： 3、幻和等于中间数的3倍。
4、每“对”数的连线都过“中心” 。 （ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位 （ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位 规律4：角上的数字=对角相邻的两数字和的一半
九子斜排，上下对易， 规律4：角上的数字=对角相邻的两数字和的一半
2、9个数的中位数在幻方的最中心。
1、每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，都等于幻和。
规律4：角上的数字=对角相邻的两数为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位
九子斜排，上下对易，
4 9 2 规律4：角上的数字=对角相邻的两数字和的一半
规律3:与中间数对应的上下、左右、对角两个数字的和=中间数×2
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位 为“一对”，4,6 位为“一对”，）
(精选课件)三阶幻方
1
洛书
2
综合与实践
根据北周甄鸶注《数 术记遗》： 九宫者，二四为肩， 六八为足，左三右七， 戴九履一，五居中央。
3
神奇的幻方
4 92 3 57 8 16
4
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
5
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
17
探寻神奇的幻方
492 357 816
三阶幻方
四海三山八洞天， 九牛五虎一起眠， 二女七星和六国， 周围十五月团圆。
18
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提 出了一个构造三阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出， 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足]
19
杨辉法
20
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来， 脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你： 将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花 岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图 的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一， 五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女 子面如死灰。
这
个 8 17 5
幻 方
11
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
12
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
13
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小学奥数之三阶幻方讲义
小学奥数之三阶幻方讲义同学们：在3 3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1―9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在4 4（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4 4方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
adbecfigh图1 图2分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和(1 2 3 4 5 6 7 8 9) 345 315（3）选择突破口，显然是e，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f 15 所以：(a e i) (b e h) (c e g) (d e f) 15 15 15 15 60也就是：(a b c d e f g h i) 3 e 60 又因为：a b c d e f g h i 45 所以45 3 e 603 e 60 45 e 5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
小学奥数专题巧解三阶幻方A
用3～11这九个数补全 图2中的幻方，并求幻和。
5
2 056
图1
图3
04
在图3的空格中填入不大
于15且互不相同的自然
数使每一横行、竖行和
对角线上的三个数之和
都等于30。
9
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上 1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相等，这样的 3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。
一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续 的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任 一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和 叫做幻和，n叫做阶. .
2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2
M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2
3、A=（B+C）÷2
E=（B+D）÷2
F=（G+D）÷2
H=（C+G）÷2
AG E DM C HBF
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填 上九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等， 这样的3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
这九
个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。
4、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构造三阶幻方。
01
把3、7、11、15、19、 23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构 造反三阶幻方。
小学奥数三阶幻方
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
小学奥数三阶幻方
小学奥数三阶幻方三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+。
+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=15 9+5+1，9+4+28+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
816357492随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6.18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、假如2、6、10、11、15、19、20、24、28能够构成一个三阶幻方，那么每行、每列、每条对角线的和是几何？中央数是几何？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
xxxxxxxx2324）（5）5、已知图中，每行、每列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
447？894练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
第1题）（第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30.58第3题）（第4题）（第5题）4、在空格中填数，使每行、每列、每条对角线的和是30.5、用9个连续自然数构成三阶幻方，使每行、每列、每条对角线的和是60.6、下列图是一个三阶幻方，求？是几何。
1913第6题）（第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？。
奥数教程-第9讲-三阶幻方
【5】用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列 、每条对角线的和都是60.
【6】下图是一个三阶幻方.求"?"是多少.
【7】从1～13这13个数中选12个数填到下图，使每一横 行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等.这时 所选的12个数是哪12个数?每一行的和是多少?每一列的 和是多少?
【例4】
【随堂练习4】图9-6是一个三阶幻方，请填出其他数字。
【例5】已知图9-7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的 乘积都相等.请填出其他的数.
【解析】
【随堂练习5】已知图9-9中，每一行、每一列、每条对角线上3 个数的乘积都相等. 请填出其他的数.
【例6】已知图9-10是一个三阶幻方，每一行、每一列、 每条对角线的和都等于2037.求画有"?"的格子填的数是多 少.
【10】将8个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和 等于36.如果总和为37、38、39，你还能填吗?
【10】将8个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和 等于36.如果总和为37、38、39，你还能填吗?
【11】在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使得 每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并 且其中有一个数是10.
【例3】
【随堂练习3】如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以 组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多 少?中央的那个数是多少?
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归纳总结方法
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方法1： 空白格，数字排列有规则； 从小到大站成排； 中间数站中间； 小手大手要拉着； 第2第4很特殊，总是挨着老大站； 剩下数字也好办，三个缺一用减法； 缺啥找啥你会做。
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为“一对”，4,6 位为“一对”，）
123456789
返规律：
规律3:与中间数对应的上下、左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
4 92
三
阶 3 57
幻
方 81 6
规律4：角上的数字=对角相 邻的两数字和的一半
§探索神奇的幻方
三阶幻方初探
CHENLI
1
三阶幻方
492 357 816
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻 方的定义是如何做到的？？
CHENLI
2
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数 的和都相等，都等于幻和。
2、9个数的中位数在幻方的最中心。
3、幻和等于中间数的3倍。
4、每“对”数的连线都过“中心” 。
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
CHENLI
7
杨辉构造法
CHENLI
8
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
CHENLI
9
生活中的幻方
CHENLI
10
小结：
完成三阶幻方的步骤： ①把9个数从小到大排列，找出中位数a,填 在幻方中心 ②求出幻和3a ③先选取“两对”数分别填写在对角线上 ④根据幻和填其它数 ⑤根据定义验证，如不符合，返回步骤③。
CHENLI
11
492 3 57 816
CHENLI
4
提高：
?
a
?
1
2
2a-1 2
a
2a-2 1
CHENLI
5
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
CHENLI
6
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：