几何学发展简史讲义(PPT 70页)

，已鲜有“形学”一词的使用出现
古希腊的几何学发展
解
投
非
微
几
析
影
欧
分
何
几
几
几
几
的
何
何
何
何
公
理
化
欧氏几何的创始
公认的几何学的确立源自公元300多年前,希腊数学家 欧几里得著作《原本》。欧几里得在《原本》中创造性地 用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。全书共有13 卷,包括5条公理,5条公设,119个定义和465条命题。这些公 设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
首先使用了重合法来证明图形的全等。这方法有两点值得 怀疑：
第一，它用了运动的概念，而这是没有逻辑依据的； 第二，重合法默认图形从一处移动到另一处时所有性质 保持不变。要假定移动图形而不致改变它的性质，那就要 对物理空间假定很多的条件。
其次是公理系统不完备，例如没有运动、连续性、顺序等 公理，因此许多证明不得不借助于直观，利用今天的认识 可以发现欧几里德用了数十个他所从未提出而且无疑并未 发觉的假定，包括关于直线和圆的连续性的假定。
柏拉图主张:"只有循数学一途,才能了解实体世界 的真面目,而科学之成为科学,在於它含有数学的份." 就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和 确立了依循数学研究自然的做法,给食腊时代本身及后 来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因.而在数学的 领域中,几何学是最接近实际的描述.对希腊人而言,几 何学的原则是宇宙结构的具体表现,本身正一门实际空 间的科学.几何学就是数学,研究的中心.
衰退期
自阿基米德及阿波罗尼阿斯之后,希腊数学 已渐渐走入衰退期.在这中间,仍有几位值 得一提的人物. 托勒密: 将三角函数发扬光大,并由此将天文学炒热. 帕布斯: 可说是末代时期的代表人物.
古希腊几何发展的原因
毕学派首先提出下列观念:"将神秘性,不确定性从 自然活动中抹去,并将表面看似纷乱不堪的自然现象, 重新整理成可理解的次序和型式,并决定性的关键就在 於数学的应用."继承毕式学派观念的就是柏拉图:
早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并
未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译
，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也
可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、
意并译。
1607年出版的《几何原本》中关于几何的译法在当时并未通行，同时
代也存在着另一种译名——形学，如狄考文、邹立文、刘永锡编译的《形
学备旨》，在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的《
几何原本》后9卷出版后，几何之名虽然得到了一定的重视，但是直到20世
纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势，如1910年《形学备旨》
第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为《续几何》。直至20世纪中期
启蒙期
尤多拉斯：创立穷尽法(exhaustion method),所谓穷尽法就是"无穷的 逼近"的观念,主要构想是为了求取圆周率π的近似值.所予理论上说尤 多拉斯是微积分的开山祖师.
尤多拉斯的另一贡献为对比例问题做有系统的研究
巅峰期
欧几里得
《原本》的简介
古希腊数学家欧几里得把至希腊时代为止所得到的数 学知识集其大成，编成十三卷的《原本》，这就是直到今 天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何 学（简称欧氏几何）。
• 欧几里德《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。 它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式 要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些 命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是 一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或 公理。
• 这就是后来所谓的公理化思想。
几何学发展简史
前言：
几何学是一门古老而实用的科学,是自然科学的 重要组成部分。在史学中,几何学的确立和统一经 历了二千多年,数百位数学家做出了不懈的努力。
•
几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”，由“γέα”
（土地）和“μετρε ĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量
，即测地术。后来拉丁语化为“geomLeabharlann Baidutria”。中文中的“几何”一词，最
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑,在数学 中确立了推理的范式。他的思想被称作“公理化思想”。
萌芽期
实验几何
启蒙期
古希腊天文学与 几何学之父,他曾 正确的预测日蚀 的时间.对一些几 何图形做有系统 的研究.
泰利斯
启蒙期
毕达哥拉斯
首创集体创作,称 为毕式学派.也是 一位音乐家,发明 毕式音阶.毕式定 理为几何学中的 重要定理.这个学 派认为"数"是宇 宙万物的基础.
《原本》是一部划时代的著作，是最早用公理法建立起 演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本精神，是从少数 的几个原始假定（定义、公设、公理）出发，通过逻辑推 理，得到一系列命题。这种精神，充分体现在欧几里得的 《原本》中。
《原本》全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、 119个定义和465条命题。
《原本》的优缺点
希腊数学中的著名问题
方圆问题: 是否能将一个已知的圆,变成一个正方形,而使 得两者面积相等 这个问题在由尤多拉斯时代,就有许多人在这 方面的研究,直到十九世纪才证明其为不可能, 但是研究期间,已经另外产生了许多数学的支.
倍积问题: 对一个已知的正立方体,长,宽,高应该扩大,才可使新的立方体
为原来立方体体积的两倍. 等分角问题: 对任意的一个角,如何将其三等分. 问题2,3到十九世纪才被解决,证明为不可能.
平行公设: 有人认为平行公设不为一公设,所以有人将平
行公设这个去除,结果造出一套新的几何学出 来,而又不会违背原来的欧式几何,这也就是非 欧几何学.也就是爱因斯坦相对论的基础.
也许有人认为希腊人不切实际,这三个问题在 当时,可说完全无实用性,只可说是一些有闲阶 级的人磨练脑力之用.但是就是因为有那麼多 人投下心力去研究,才会间接带动几何学研究 的风潮.而因此产生以后数学蓬勃的发展.
解析几何的诞生
• 解析几何是变量数学最重要的体现。解析几何的基本
思想是在平面上引入“坐标”的概念,并借助这种坐标在 平面上的点和有序实数对(x,y)建立一一对应的关系,于是 几何问题就转化为代数问题。